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第19讲 三次函数的图象和性质 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 1
三、典题精讲 2
考点一：三次函数的单调性问题 2
考点二：三次函数的最值、极值问题 4
考点三：三次函数的切线问题 5
考点四：三次函数的对称问题 7
考点五：三次函数的零点问题 9
考点六：三次函数的综合问题 11
四、高考真题 12
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2024 10（多选） 6 直接 三次函数的极值、单调性及图象分析
2025 — — — —
2026 — — — —
近三年全国一卷中，三次函数的图象和性质考查了一次.题目以多选题形式出现，综合性较强，要求学生能够熟练运用导数工具分析三次函数的关键特征.
2. 命题角度与特色
核心考点：三次函数的单调性、极值点以及图象的几何特征.
命题趋势：常以多选题形式出现，结合导数工具对三次函数的图象走势、极值点分布及函数值大小比较进行综合考查.
试题特点：注重数形结合思想的应用，要求学生能够熟练通过导数获取三次函数的关键特征，并能灵活运用其图象进行分析.
3. 备考策略
· 熟练掌握利用导数研究三次函数单调性与极值的基本方法.
· 强化数形结合意识，能够根据解析式快速画出三次函数的草图并分析其性质.
· 注意总结三次函数图象的对称性及极值点分布规律，提高解题速度.
二、知识清单
设三次函数为，其性质有：
1.基本性质：
① 定义域为.
② 值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值.
③ 单调性和图象：
图像特征
图像
2. 三次方程的实根个数
设三次函数，其导函数为二次函数：，判别式为：，设的两根为，结合函数草图易得：
① 若，则恰有一个实根.
② 若，且，则恰有一个实根.
③ 若，且，则有两个不相等的实根.
④ 若，且，则有三个不相等的实根.
【说明】
· 含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）.
· 有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且.
· 有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.
3.对称性
① 三次函数是中心对称曲线，且对称中心是.
② 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
三、典题精讲
考点一：三次函数的单调性问题
考法1：根据单调性求参数
例1.已知三次函数在上是增函数，则的取值范围是（ 　　）
A. 或
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】，由题意得恒成立，∴，∴，对应选项D.
考法2：结合韦达定理求参数范围
例2.（2026·湖北·5月模拟）（多选）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有实数根，，，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】，因为在上是增函数，在上是减函数，故为的极大值点，所以，所以，故A正确.此时，则，依题意可得，即，故，令，解得或，因为在上是增函数，在上是减函数，所以，解得，故B正确.，故C错误.因为，，是方程的三个实数根，所以，所以，所以，所以，所以，，∴，∴，∴，∴，即，故D正确.
【考点一 方法总结】
· 处理三次函数的单调性问题，通常转化为其导函数（二次函数）的符号问题，利用二次函数的图象与性质（如判别式、对称轴等）进行求解.
· 结合韦达定理处理极值点问题时，注意极值点是导函数的零点，利用根与系数的关系简化运算.
考点二：三次函数的最值、极值问题
考法3：求三次函数的最值与极值
例3.已知函数，.
（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；
（2）设.若，在上的最小值为，求的零点.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵在上存在单调递增区间，∴在上有解.又是对称轴为的二次函数，所以在上的最大值大于0.而的最大值为，∴，解得：.
（2），∴.由得：，.则在，上单调递减，在上单调递增.又∵当时，，，∴在上的最大值点为，最小值为或.而.1°当，即时，，得，此时，的零点为.2°当，即时，，得（舍）.综上的零点为.
考法4：结合导数求区间范围
例4.（2026·浙江·5月联考）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是__.
【答案】
【解析】，令，得或，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极小值，且极小值为，又，因为在区间上存在最小值，所以，解得，所以实数的取值范围是.
考法5：结合不等式解集求参数
例5.（2025·河南·5月联考）已知函数，且不等式的解集为，且，，则的极大值为（ 　　）
A. 0
B. 36
C. 72
D. 108
【答案】D
【解析】因为不等式的解集为，且，则，故，又，故，，故，则，令，解得或，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极大值点，的极大值为.
【考点二 方法总结】
· 求三次函数在闭区间上的最值时，先求导确定单调性，比较极值点与区间端点的函数值大小，必要时需对参数进行分类讨论.
· 已知函数在某区间上存在最值，需先求出函数的极值点，并结合端点值确定包含极值点的区间范围，从而列出关于参数的不等式组.
· 根据不等式的解集形式，可以反向构造出函数的因式分解形式，利用恒等式求出参数，再通过导数求极值.
考点三：三次函数的切线问题
考法6：求三次函数的切线方程
例6.已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设常数，如果过点可作曲线的三条切线，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵函数，∴.切线方程为，即.
（2）由已知关于的方程，即有三个不等实根.令，则.可知在递减，在递增，在递减.的极小值为：，极大值为.所以.
考法7：根据过某点的切线条数求参数
例7.（2026·安徽·4月模拟）过曲线外一点做的切线恰好可做两条，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】设切点为，据题意：这样的切点有两个，即关于的方程有且仅有两根.∵，∴，为过切点的切线，又在此切线上，∴，令，又不在曲线上，，由的图像可知.
考法8：结合对称中心求切线与最值
例8.（2026·江西·二模）已知函数.
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若在上有解，求的取值范围；
（3）设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）因为，所以所求切线的斜率.又因为切点为，所以所求的切线方程为.
（2）因为，所以.因为在上有解，所以不小于在区间上的最小值.因为时，，所以的取值范围是.
（3）因为，所以.令可得，所以函数的对称中心为.所以当时，有.故，.所以.
考法9：切线方程推导及新定义应用
例9.（2025·江西·5月联考）已知函数的图象上有三点，，，且这三点互不重合.记曲线在点处的切线为，若点关于对称，且点在直线上，则称具有重构性.
①当时，若具有重构性，则直线的一般式方程为__；
②当时，若曲线上不存在具有重构性的两点，则的取值范围是__.
【答案】①；②
【解析】①此时.由题意可知直线是过点且与垂直的直线，而，于是，，故直线的斜率，于是，即.经检验，直线符合题意.
②假设曲线上有两点具有重构性，此时，，故，.当，即时，轴，函数的图象上不存在与轴垂直的两点，故此时曲线上不存在具有重构性的两点.当时，直线的斜率，于是，即.联立，得，即.显然该方程的根为，，其中.若要使不具有重构性，则应令，即，即.设，即解，可得，即，得到.综上，的取值范围是.
【考点三 方法总结】
· 求过某点的切线方程，通常设切点坐标，利用导数写出切线方程，再将已知点代入，转化为关于切点横坐标的方程，切线条数即为该方程的实根个数.
· 过某点作曲线的切线有两条，等价于关于切点横坐标的方程有两个不相等的实数根，通常转化为函数图象与水平直线的交点个数问题.
· 三次函数的对称中心横坐标是其二阶导数的零点，利用对称性可以快速求出对称点函数值之和.
· 处理新定义问题，关键是理解新定义的几何意义或代数特征，将其转化为熟悉的切线、对称、方程根的分布等问题.
考点四：三次函数的对称问题
考法10：求三次函数的对称中心
例10.给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.若函数，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由，可得.令，可得，又，所以的图像的对称中心为，即.所以.
考法11：结合导数求对称中心
例11.（2025·河南·5月联考）曲线的对称中心的坐标为__.
【答案】
【解析】设，函数的对称中心为，则，两边求导得，即，所以函数的图象关于直线对称.因为，故函数的图象关于直线对称，则.因为，所以曲线的对称中心为.
考法12：利用平移后为偶函数求参数
例12.（2026·江西·3月一模）已知函数，若函数为偶函数，则（ 　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】B
【解析】，，，，对称中心为为偶函数，则为奇函数，对称中心为向右平移，向上平移，对称中心变为.所以，，解得，.
【考点四 方法总结】
· 三次函数的导函数是二次函数，二次函数的对称轴即为原三次函数对称中心的横坐标.
· 利用二阶导数求出三次函数的对称中心，再结合对称性进行求和计算.
· 函数加绝对值后为偶函数，说明原函数为奇函数，即原函数的对称中心为原点.利用平移规律可求出参数.
· 三次函数导函数的对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点.
· 是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称.
· 若图象关于直线对称，则图象关于点对称.
· 已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有.
考点五：三次函数的零点问题
考法13：利用极值乘积判断零点个数
例13.（2026·江西·5月预测）（多选）设关于实数的方程为，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 若方程只有一个实数根，则
B. 若方程有两个实数根，则
C. 若方程有三个实数根，则
D. 若方程有三个实数根，则
【答案】ABC
【解析】令，则.若，则，则在上单调递增，因为时，时，则在上只有一个零点，此时满足；若，则当或时，单调递增，当时，单调递减.，.若方程只有一个实数根，则或，得或，满足，故A正确；若方程有两个实数根，则或，得或，满足，故B正确；若方程有三个实数根，则且，即且，因为，所以，则满足上述不等式，且；若，则成立，由得；若，则成立，由得，故C正确，D错误.故选ABC.
考法14：根据零点个数求参数
例14.（2025·河北·一模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 若，则在上单调递增
B. 的图象关于点成中心对称
C. 若，，则在上有最小值的充要条件为
D. 若，，，则，的充要条件为
【答案】AB
【解析】A选项：当时，，故在上单调递增，故A正确；B选项：由可知，的图象关于点成中心对称，故B正确；C选项：当时，，，，.令，得，可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.若在上有最小值，则一定为该区间内的最小值，又，故，解得，故C错误；D选项：当，，时，，.令，得，可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则极小值点.最小值可能在或处取得.需满足，即，解得，结合，得，故D错误.故选AB.
【考点五 方法总结】
· 三次方程实根个数问题，转化为三次函数的零点个数问题，通过极大值与极小值的乘积符号来判断.
· 根据零点个数求参数，通常先求导确定函数的单调区间和极值点，再结合极值与0的大小关系列出不等式求解.
考点六：三次函数的综合问题
考法15：由图象判断系数符号
例15.（2025·安徽·二模）函数的图像如图所示，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】观察图象知，，函数有3个零点，设3个零点为，于是，当时，，而此时，因此.又，函数有两个极值点，且，即有两个不等实根，，，因此.所以.
考法16：综合判断三次函数的性质
例16.（2025·江西·3月联考）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 有3个零点
B. 的图象关于点对称
C. 既有极大值又有极小值
D. 经过点且与的图象相切的直线有2条
【答案】ACD
【解析】，令，得，所以有3个零点，A正确.因为三次函数的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，B错误.，令，，记方程的两个根为，则在，上单调递增，在上单调递减，所以既有极大值又有极小值，C正确.设切线与的图象相切于点，，所以切线方程为.因为切线经过点，所以，整理得，该方程有两个解，所以经过点且与的图象相切的直线有2条，D正确.
考法17：三次函数性质的综合应用
例17.已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是，则的最小值是（ 　　）
A. 5
B. 6
C. 1
D. 8
【答案】A
【解析】由得，因为在上是增函数，在上是减函数，所以，所以，此时的另外一个根，所以.因为方程有3个实数根，它们分别是，所以，所以，且，所以，则，所以，因为，所以，所以的最小值是5.
【考点六 方法总结】
· 由三次函数图象判断系数符号：看时的函数值符号确定；看与轴交点确定；看极值点横坐标的正负确定.
· 综合判断三次函数的性质，需要熟练掌握三次函数的单调性、极值、零点、对称中心以及切线方程的求法.
· 三次函数性质的综合应用，常结合导数研究函数的单调性、极值、最值，以及方程根的分布、不等式恒成立等问题，有时需要构造函数或利用切线放缩.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）（多选）设函数，则
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】对A，因为函数的定义域为，而，易知当时，，当或时，.函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确.对B，当时，，所以，而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误.对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，所以，即，正确.对D，当时，，所以，正确.故选ACD.
第 2 页，共 17 页第19讲 三次函数的图象和性质 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 1
三、典题精讲 2
考点一：三次函数的单调性问题 2
考点二：三次函数的最值、极值问题 4
考点三：三次函数的切线问题 5
考点四：三次函数的对称问题 7
考点五：三次函数的零点问题 9
考点六：三次函数的综合问题 11
四、高考真题 12
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2024 10（多选） 6 直接 三次函数的极值、单调性及图象分析
2025 — — — —
2026 — — — —
近三年全国一卷中，三次函数的图象和性质考查了一次.题目以多选题形式出现，综合性较强，要求学生能够熟练运用导数工具分析三次函数的关键特征.
2. 命题角度与特色
核心考点：三次函数的单调性、极值点以及图象的几何特征.
命题趋势：常以多选题形式出现，结合导数工具对三次函数的图象走势、极值点分布及函数值大小比较进行综合考查.
试题特点：注重数形结合思想的应用，要求学生能够熟练通过导数获取三次函数的关键特征，并能灵活运用其图象进行分析.
3. 备考策略
· 熟练掌握利用导数研究三次函数单调性与极值的基本方法.
· 强化数形结合意识，能够根据解析式快速画出三次函数的草图并分析其性质.
· 注意总结三次函数图象的对称性及极值点分布规律，提高解题速度.
二、知识清单
设三次函数为，其性质有：
1.基本性质：
① 定义域为.
② 值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值.
③ 单调性和图象：
图像特征
图像
2. 三次方程的实根个数
设三次函数，其导函数为二次函数：，判别式为：，设的两根为，结合函数草图易得：
① 若，则恰有一个实根.
② 若，且，则恰有一个实根.
③ 若，且，则有两个不相等的实根.
④ 若，且，则有三个不相等的实根.
【说明】
· 含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）.
· 有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且.
· 有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以且.
3.对称性
① 三次函数是中心对称曲线，且对称中心是.
② 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.
三、典题精练
考点一：三次函数的单调性问题
考法1：根据单调性求参数
例1.已知三次函数在上是增函数，则的取值范围是（ 　　）
A. 或
B.
C.
D.
考法2：结合韦达定理求参数范围
例2.（2026·湖北·5月模拟）（多选）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有实数根，，，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【考点一 方法总结】
· 处理三次函数的单调性问题，通常转化为其导函数（二次函数）的符号问题，利用二次函数的图象与性质（如判别式、对称轴等）进行求解.
· 结合韦达定理处理极值点问题时，注意极值点是导函数的零点，利用根与系数的关系简化运算.
考点二：三次函数的最值、极值问题
考法3：求三次函数的最值与极值
例3.已知函数，.
（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；
（2）设.若，在上的最小值为，求的零点.
考法4：结合导数求区间范围
例4.（2026·浙江·5月联考）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是__.
考法5：结合不等式解集求参数
例5.（2025·河南·5月联考）已知函数，且不等式的解集为，且，，则的极大值为（ 　　）
A. 0
B. 36
C. 72
D. 108
【考点二 方法总结】
· 求三次函数在闭区间上的最值时，先求导确定单调性，比较极值点与区间端点的函数值大小，必要时需对参数进行分类讨论.
· 已知函数在某区间上存在最值，需先求出函数的极值点，并结合端点值确定包含极值点的区间范围，从而列出关于参数的不等式组.
· 根据不等式的解集形式，可以反向构造出函数的因式分解形式，利用恒等式求出参数，再通过导数求极值.
考点三：三次函数的切线问题
考法6：求三次函数的切线方程
例6.已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设常数，如果过点可作曲线的三条切线，求的取值范围.
考法7：根据过某点的切线条数求参数
例7.（2026·安徽·4月模拟）过曲线外一点做的切线恰好可做两条，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
考法8：结合对称中心求切线与最值
例8.（2026·江西·二模）已知函数.
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）若在上有解，求的取值范围；
（3）设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值.
考法9：切线方程推导及新定义应用
例9.（2025·江西·5月联考）已知函数的图象上有三点，，，且这三点互不重合.记曲线在点处的切线为，若点关于对称，且点在直线上，则称具有重构性.
①当时，若具有重构性，则直线的一般式方程为__；
②当时，若曲线上不存在具有重构性的两点，则的取值范围是__.
【考点三 方法总结】
· 求过某点的切线方程，通常设切点坐标，利用导数写出切线方程，再将已知点代入，转化为关于切点横坐标的方程，切线条数即为该方程的实根个数.
· 过某点作曲线的切线有两条，等价于关于切点横坐标的方程有两个不相等的实数根，通常转化为函数图象与水平直线的交点个数问题.
· 三次函数的对称中心横坐标是其二阶导数的零点，利用对称性可以快速求出对称点函数值之和.
· 处理新定义问题，关键是理解新定义的几何意义或代数特征，将其转化为熟悉的切线、对称、方程根的分布等问题.
考点四：三次函数的对称问题
考法10：求三次函数的对称中心
例10.给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数.若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心.若函数，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
考法11：结合导数求对称中心
例11.（2025·河南·5月联考）曲线的对称中心的坐标为__.
考法12：利用平移后为偶函数求参数
例12.（2026·江西·3月一模）已知函数，若函数为偶函数，则（ 　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【考点四 方法总结】
· 三次函数的导函数是二次函数，二次函数的对称轴即为原三次函数对称中心的横坐标.
· 利用二阶导数求出三次函数的对称中心，再结合对称性进行求和计算.
· 函数加绝对值后为偶函数，说明原函数为奇函数，即原函数的对称中心为原点.利用平移规律可求出参数.
· 三次函数导函数的对称轴为，所以对称中心的横坐标也就是导函数的对称轴，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点.
· 是可导函数，若的图象关于点对称，则图象关于直线对称.
· 若图象关于直线对称，则图象关于点对称.
· 已知三次函数的对称中心横坐标为，若存在两个极值点，，则有.
考点五：三次函数的零点问题
考法13：利用极值乘积判断零点个数
例13.（2026·江西·5月预测）（多选）设关于实数的方程为，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 若方程只有一个实数根，则
B. 若方程有两个实数根，则
C. 若方程有三个实数根，则
D. 若方程有三个实数根，则
考法14：根据零点个数求参数
例14.（2025·河北·一模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 若，则在上单调递增
B. 的图象关于点成中心对称
C. 若，，则在上有最小值的充要条件为
D. 若，，，则，的充要条件为
【考点五 方法总结】
· 三次方程实根个数问题，转化为三次函数的零点个数问题，通过极大值与极小值的乘积符号来判断.
· 根据零点个数求参数，通常先求导确定函数的单调区间和极值点，再结合极值与0的大小关系列出不等式求解.
考点六：三次函数的综合问题
考法15：由图象判断系数符号
例15.（2025·安徽·二模）函数的图像如图所示，则（ 　　）
A. B. C. D.
考法16：综合判断三次函数的性质
例16.（2025·江西·3月联考）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 有3个零点
B. 的图象关于点对称
C. 既有极大值又有极小值
D. 经过点且与的图象相切的直线有2条
考法17：三次函数性质的综合应用
例17.已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是，则的最小值是（ 　　）
A. 5
B. 6
C. 1
D. 8
【考点六 方法总结】
· 由三次函数图象判断系数符号：看时的函数值符号确定；看与轴交点确定；看极值点横坐标的正负确定.
· 综合判断三次函数的性质，需要熟练掌握三次函数的单调性、极值、零点、对称中心以及切线方程的求法.
· 三次函数性质的综合应用，常结合导数研究函数的单调性、极值、最值，以及方程根的分布、不等式恒成立等问题，有时需要构造函数或利用切线放缩.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）（多选）设函数，则
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
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