资源简介

4.2.1 两角和与差的余弦公式及其应用
一、教学目标
1．会用向量的数量积推导出两角和与差的余弦公式.
2．能利用两角和与差的余弦公式进行求值、化简与计算.
3．体会向量工具的作用，提升逻辑推理与运算求解能力.
二、教学重难点
教学重点：两角和与差的余弦公式的推导、记忆与应用.
教学难点：向量法推导公式；角的拆分与符号判断.
三、本节内容和内容解析
本节课是三角恒等变换的核心内容，以单位圆+向量数量积为工具，推导得出两角和与差的余弦公式，是后续和差公式、倍角公式的基础.内容包括公式推导、特殊角求值、给值求值、公式逆用，起到承上启下的关键作用.
四、学情分析
学生已掌握向量数量积、单位圆三角函数定义、同角基本关系，但对用向量推导三角公式不熟悉，对角的拆分、符号判断容易出错，教学以师生问答、分步推导突破难点.
五、教学准备
教师准备：准备好课件，利用课件动态展示教学内容．
学生准备：提前预习教材152-153页内容.
六、教学过程设计
(一)知识拓展，情境引入:
教师活动
1．提问：向量数量积的坐标运算与定义分别是什么？
2．提问：单位圆上任意角终边交点坐标是什么？
3．引出问题：已知的正余弦，能否求？
学生活动：回顾知识点，思考问题，进入新课.
新课讲授
1．探究两角差的余弦公式
教师：我们先研究，请同学们在单位圆中画出角的终边，交点坐标分别是什么？
学生：.
教师：向量用坐标怎么算？
学生：.
教师：从数量积定义看，等于什么？
学生：等于是夹角，即.
教师：如果夹角不在范围内，结论还成立吗？
学生：成立，用诱导公式可证.
教师：所以我们得到什么公式？
学生：.
2．推导两角和的余弦公式
教师：可以写成哪两个角的差？
学生：.
教师：把上面公式里的换成，会得到什么？
学生：.
教师：两个公式有什么特点？
学生：同名相乘，余余正正；符号和差相反.
3．公式总结
教师：一起写出两个公式.
学生：，
例题讲评：
例1利用两角差的余弦公式求的值．
解：我们熟知的三角函数值，可用表示，也可用表示．
例2已知，，，求的值．
解：观察已知的两个角与未知角之间的运算关系，可以得到．因此，求的值可以看成求两个角和的余弦值．因为，所以，（如图）．从而
(三)课堂练习
1.的值是( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C.0 D.
3.的值为( )
A. B. C. D.
(四)课堂小结
1．两角和与差的余弦公式
，
2．推导方法：单位圆+向量数量积
3．核心用法
正用：求非特殊角余弦
逆用：化简式子
拆角：把未知角用已知角表示
4．关键：先判断象限、确定符号，再计算.
布置作业
教材第154页，练习第1-4题.

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