资源简介

第25讲 三角函数概念及诱导公式 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精讲 4
考点一：角的概念与表示 4
考点二：弧长与扇形面积公式 5
考点三：三角函数的定义与象限符号 7
考点四：同角三角函数基本关系 10
考点五：诱导公式及其综合应用 13
四、高考真题 16
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 第4题 单选 5分 直接 利用两角和的余弦公式与同角三角函数基本关系求值
2025 第11题 多选 6分 间接 在解三角形背景下，利用二倍角公式、诱导公式进行三角恒等变换
2026 第7题 单选 5分 直接 利用诱导公式与两角和差的三角函数公式进行化简求值
近三年全国一卷对本讲知识点的考查较为稳定，既有直接考查三角恒等变换与求值的单选题，也有在解三角形等综合问题中作为工具进行间接考查的多选题.
2. 命题角度与特色
（1） 核心考点：重点考查同角三角函数基本关系（平方关系、商数关系）以及诱导公式的灵活运用，常与两角和差公式、二倍角公式结合命题.
（2） 命题趋势：试题往往不单独考查某一个公式，而是将多个公式融合，强调公式的正用、逆用及变形使用，注重考查学生的代数变形能力和运算求解能力.
（3） 试题特点：题目形式灵活多样，可能以纯代数式化简求值的形式出现，也可能融入到解三角形、三角函数图象与性质等综合问题中，对公式的熟练程度要求较高.
3. 备考策略
（1） 熟练记忆并掌握同角三角函数基本关系和各组诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”的口诀内涵，确保在化简求值时符号判断准确无误.
（2） 加强公式变形应用的训练，如“1”的代换、弦切互化、齐次式处理等技巧，提升对三角式结构的观察力和变形能力.
（3） 注重知识的交汇运用，在复习解三角形、三角函数图象与性质等章节时，有意识地强化三角恒等变换的工具性作用，提高综合解题能力.
二、知识清单
1. 三角函数基本概念
（1） 角的概念
① 任意角定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
② 分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.
③ 所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是.
④ 象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
⑤ 象限角的集合表示方法：
第一象限角：
第二象限角：
第三象限角：
第四象限角：
（2） 弧度制
① 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
② 角度制和弧度制的互化：，，.
③ 扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：.
（3） 任意角的三角函数
① 定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，.
② 推广：三角函数坐标法定义中，若取点是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，.
三角函数的性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
（4） 三角函数线
如下图，设角的终边与单位圆交于点，过作轴，垂足为，过作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点.
2. 同角三角函数基本关系
（1） 平方关系：.（2） 商数关系：.
3. 三角函数诱导公式
（1） 公式表：
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
（2） 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.
① 先将诱导三角函数式中的角统一写作.
② 无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负.
③ 当为奇数时，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可.
三、典题精讲
考点一：角的概念与表示
考法1：角度制与弧度制的互化及表示
例1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【思路】观察各选项中角的表示形式，结合终边相同的角的集合定义，将原角化为或的形式进行比对.
【解析】对于A，B，，中角度和弧度混用，不正确.对于C，与是终边相同的角，与角的终边相同的角可表示为，C正确.对于D，，不妨取，则表示的角与终边不相同，D错误.
【规律】判断两个角终边是否相同，核心是看它们的差是否为或的整数倍，注意角度制与弧度制不能在同一个式子中混用.
考法2：终边相同的角的表示与应用
例2.已知角的终边上一点的坐标为，则的最小正值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】利用诱导公式将已知坐标转化为同角的余弦和正弦形式，从而确定该角的终边位置，再结合终边相同的角的集合求出最小正值.
【解析】，而，角的终边上点的坐标可写为，，因此的最小正值为.
【规律】已知角终边上一点的坐标求角，通常先将坐标化为的形式，利用三角函数定义直接得出角的集合，再根据限制条件求特定角.
考法3：等分角与倍角的象限判断
例3.若角满足，则的终边一定在（ 　　）
A. 第一象限或第二象限或第三象限
B. 第一象限或第二象限或第四象限
C. 第一象限或第二象限或轴非正半轴上
D. 第一象限或第二象限或轴非正半轴上
【答案】D
【思路】对整数进行分类讨论，由于分母为，可按被除的余数分为三种情况，分别求出对应的角所在象限.
【解析】当时，，终边位于第一象限.当时，，终边位于第二象限.当时，，终边位于轴的非正半轴上.当时，，终边位于第一象限.综上可知，则的终边一定在第一象限或第二象限或轴的非正半轴上.
【规律】判断或类似等分角的象限，常用列举法，令，分别计算出对应的角，即可确定所有可能的终边位置.
【考点一 方法总结】
1. 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.
2. 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.
3. 判断等分角的象限，先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：
（1） 双向等差数列法.
（2） 的象限分布图示法.
考点二：弧长与扇形面积公式
考法4：利用弧长与扇形面积公式求基本量
例4.（2025·广东·三月联考）已知扇形的面积为，半径为，则该扇形的圆心角为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】直接代入扇形的面积公式，已知面积和半径，解方程求出圆心角即可.
【解析】设扇形的圆心角为，则，解得.
【规律】扇形的弧长和面积公式中，圆心角必须使用弧度制，这是解题的基本前提.
例5.在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为，圆面剩余部分的面积为，当时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为__.
【答案】
【思路】根据题意分别表示出扇形的面积和剩余部分的面积，利用两面积之比为建立关于圆心角的方程，解方程即可求得.
【解析】设扇子圆心角为，则圆面剩余部分的圆心角为，圆的半径为，则，，，即，即，.
【规律】处理圆面分割问题时，关键是抓住各部分圆心角之和为，利用面积公式将面积比转化为圆心角之比，从而构建方程求解.
考法5：扇形面积的最值问题
例6.已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为，若扇形周长为，当这个扇形的面积最大时，则圆心角__弧度.
【答案】
【思路】利用扇形周长公式将弧长用半径表示，代入面积公式得到关于的二次函数，通过求二次函数的最值确定此时的和，进而求出圆心角.
【解析】由题意，扇形的圆心角为，半径为，弧长为，且扇形周长为，可得，即，则扇形的面积，当时，扇形面积取得最大值，此时.
【规律】求扇形面积最大值的问题，通常利用周长定值消去一个变量，转化为关于半径或弧长的二次函数，利用配方法求最值.
【考点二 方法总结】
1. 应用弧度制解决问题的方法：利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
2. 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
3. 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
考点三：三角函数的定义与象限符号
考法6：判断三角函数值的符号及所在象限
例7.（2026·唐山·一模）若为锐角，且.则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】将不等式转化为两个因式同号的两个不等式组，结合为锐角得出正余弦的取值范围，分别解不等式组求交集即可.
【解析】由题意得或，又为锐角，则，，即或，解第一个不等式组得，则.解第二个不等式组得，无解.综上，的取值范围是.
【规律】解三角不等式时，先化简为基本三角不等式，再结合三角函数图象或单位圆，在给定区间内找出满足条件的角的范围.
例8.已知点是第二象限的点，则的终边位于（ 　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【思路】根据点在第二象限确定横纵坐标的符号，即且，分别求出满足条件的角的象限，取交集即可.
【解析】点是第二象限的点，，.由可得，的终边位于第二象限或第三象限或轴的非正半轴.由可得，的终边位于第一象限或第三象限.综上所述，的终边位于第三象限.
【规律】判断角所在象限，需根据已知条件列出三角函数值的符号不等式组，利用“一全正、二正弦、三正切、四余弦”的口诀分别确定象限，最后取公共部分.
考法7：已知终边上一点坐标求三角函数值
例9.（2025·保定·一模）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则__.
【答案】
【思路】利用三角函数的坐标定义，结合点在第二象限确定横坐标的值，再代入正切的坐标定义公式求解.
【解析】由题意：，，，.又是第二象限角，，.
【规律】已知终边上一点的坐标（含参数），利用三角函数定义列方程求出参数时，务必结合角所在的象限对参数进行取舍.
例10.（2025·沧州·一模）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】根据终边上的点坐标求出正切值，将待求的齐次分式分子分母同除以，转化为关于的式子代入计算.
【解析】由三角函数的定义可得，.
【规律】对于正余弦的齐次分式求值问题，最常用的技巧是“弦化切”，即分子分母同时除以余弦的最高次幂，转化为正切的表达式求解.
例11.（2026·河南·五月预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】利用半角公式将点的坐标化简，判断出点所在的象限，再利用正切定义求出，结合的范围得出结果.
【解析】，，，.点即，，，，该点在第四象限.又，.
【规律】当终边上的点坐标含有三角函数式时，先利用三角恒等变换化简坐标，再根据已知角的范围判断横纵坐标的符号，从而确定终边所在象限.
例12.（2026·随州·三模）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则__.
【答案】
【思路】先由点坐标求出，再利用两角差的正切公式展开代入求值.
【解析】角的终边经过点，则，则.
【规律】已知终边坐标求复合角的三角函数值，分两步：第一步利用坐标定义求出单角的三角函数值，第二步利用和差角公式展开计算.
例13.（2025·福州一中·五月模考）（多选）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，，则（ 　　）
A. B. 终边在第二象限 C. D.
【答案】AD
【思路】根据点的坐标得出的正余弦值，结合的值判断的象限，进而确定点的象限，最后利用和差角公式逐项判断.
【解析】对于A，，A正确.对于B，由，可知为第一或第三象限角，当为第一象限角时，，，此时点在第四象限，即终边在第四象限，当为第三象限角时，，，此时点在第二象限，即终边在第二象限，B错误.对于C，由题意可知，，所以，C错误.对于D，，D正确.
【规律】处理含有参数的坐标点问题，必须先根据参数的取值范围（如正切值大于0）分类讨论参数所在象限，从而准确判断点的象限位置.
考法8：结合圆周运动或旋转求坐标与最值
例14.（2025·青岛·一模）在平面直角坐标系中，动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动.、分别以、为起点同时开始运动，经过后，动点、的坐标分别为、，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】根据圆周运动的角速度和初始位置，写出动点A、B的坐标关于时间的参数方程，代入目标式转化为关于的三角函数，利用辅助角公式或二次函数求最值.
【解析】由三角函数的定义可知，，，则，其中，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
【规律】圆周运动的坐标表示本质上是三角函数的定义应用，将几何运动转化为三角函数表达式，再利用三角恒等变换化为二次函数求最值是通法.
例15.已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】先求出射线的倾斜角，加上旋转角得到射线的倾斜角，再利用三角函数定义求出点的纵坐标.
【解析】设射线与轴非负半轴所成夹角为，则，，射线与轴非负半轴所成夹角为，则，，又，，.
【规律】平面内点的旋转问题，通常转化为极坐标或三角函数定义来处理，旋转角度即为倾斜角的增量，利用诱导公式或和差角公式计算旋转后的坐标.
【考点三 方法总结】
1. 利用三角函数的定义，已知角终边上一点的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置.
2. 判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.
3. 正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负.
考点四：同角三角函数基本关系
考法9：已知正余弦和差求值
例16.已知，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】将已知等式两边平方求出的值，再根据角的范围判断的符号，最后利用完全平方公式求值.
【解析】，，即，，，，.
【规律】处理与的关系时，核心方法是“平方法”，即，注意开方时需根据角的范围判断符号.
例17.已知，则__.
【答案】
【思路】同例16，先平方求出乘积，再求出差，联立和与差的方程组解出正余弦值，最后求正切.
【解析】已知①，则，，，，则，，②，联立①②，得，，.
【规律】“知和求差”或“知差求和”是同角三角函数关系中的经典题型，利用平方关系建立联系，解方程组求出单角的三角函数值是通法.
考法10：已知正切值求齐次式的值
例18.（2026·南京·二模）已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】将已知等式两边平方，利用进行齐次化处理，转化为关于的二次方程求解.
【解析】由，两边平方得，即，整理得，即，，则.
【规律】遇到且的形式，两边平方并利用“1”的代换齐次化，是求正切值的快捷方法.
例19.（2025·张家口·二模）已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】先求出，再将待求式分子分母同除以，转化为关于的表达式代入求值.
【解析】由得，.
【规律】已知正切值求正余弦的齐次分式值，直接分子分母同除以（或其高次幂）实现“弦化切”即可.
例20.已知，则__.
【答案】
【思路】将待求式看作分母为1，利用代换分母，转化为齐次分式，再分子分母同除以化为正切求值.
【解析】，.
【规律】对于二次齐次整式求值，利用隐形的“分母1”进行代换，将其转化为齐次分式，再进行“弦化切”是标准处理流程.
考法11：同角三角函数关系的综合应用
例21.（2026·台州·二模）已知为第二象限角，且，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】利用同角三角函数的商数关系和平方关系，结合角所在象限确定符号，直接求解.
【解析】由为第二象限角，知，而，故.
【规律】已知正切求正余弦，可利用构造直角三角形法，或利用结合象限符号直接计算.
例22.（2026·厦门·二模）已知为第四象限角，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】同例21，利用商数关系和平方关系联立求解，注意第四象限余弦为正.
【解析】为第四象限角，，，结合可得.
【规律】已知正切求正余弦，列出方程组求解是最基础的方法，注意根据象限取舍.
例23.若，，则__.
【答案】
【思路】先利用正切值求出正余弦的关系，代入平方关系求出正弦值，再计算差值.
【解析】，则，，又，则，且，解得或（舍去），.
【规律】在锐角范围内，已知正切求正余弦，直接利用比例关系设未知数代入平方关系求解最为简便.
【考点四 方法总结】
1. 利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化.
2. “，，”方程思想知一求二.
考点五：诱导公式及其综合应用
考法12：利用诱导公式化简求值
例24.（2026·南京盐城·一模）设和表示坐标平面内的几何变换，表示将几何对象绕原点逆时针旋转，表示将几何对象关于轴对称，表示连续次变换.已知角的终边经过点，若对角的终边先进行变换，再进行变换，得到角的终边，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】先根据初始坐标求出初始角的正切值，再根据旋转变换确定最终角与初始角的关系，利用两角和的正切公式求解.
【解析】对角的终边先进行变换后，角的终边经过，则.再进行变换得到角的终边，则.
【规律】几何变换中的对称和旋转，对应着角的变换.关于轴对称，终边坐标横变号纵不变；逆时针旋转，角度加上旋转量.
例25.（2025·江西·五月联考）已知角满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】观察已知角与未知角的关系，发现，利用诱导公式转化即可.
【解析】.
【规律】在求复合角的三角函数值时，优先观察已知角与未知角的和差关系，若差为的整数倍，则直接使用诱导公式.
例26.已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】观察两角关系，，利用诱导公式转化.
【解析】.
【规律】诱导公式的核心在于“配凑”，将未知角拆分为已知角与的整数倍的和差形式，再应用口诀化简.
考法13：同角关系与诱导公式的综合应用
例27.（2025·沧州运东五校·二模）已知角的终边过点，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】先根据终边坐标求出，再利用诱导公式求.
【解析】角的终边过点，，.
【规律】结合坐标定义求出基本三角函数值，是应用诱导公式求值的基础.
例28.（2026·杭州二中）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距()的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ 　　）
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
【答案】B
【思路】根据题意列出第一次测量的关系式求出，再利用两角差的正切公式逆用或变形求出，即可得出倍数关系.
【解析】由题可得，又，.即第二次的“晷影长”是“表高”的.
【规律】实际应用题中，先将文字语言转化为数学符号语言（如正切值），再利用三角恒等变换公式求解目标量.
例29.在平面直角坐标系中，是坐标原点，角的终边与单位圆的交点坐标为，射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点，点的纵坐标关于的函数为.
（1）求函数的解析式，并求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1），；（2）
【思路】（1）根据点A坐标求出初始角，旋转后角变为，利用正弦定义写出解析式.（2）已知正弦值求正切值，先求余弦，注意根据角的范围判断符号.
【解析】（1）点在单位圆上，由三角函数的定义可得，又，，，.
（2）由可得，即，由于得，又，，由平方关系得，.
【规律】处理旋转后的坐标问题，关键是确定初始角的具体数值，写出解析式后，就转化为常规的已知三角函数值求值问题.
例30.已知角满足.
（1）若角是第三象限角，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）当角是第一象限角时，；当角是第三象限角时，
【思路】（1）联立平方关系求出正余弦值，根据象限取舍后求正切.（2）先利用诱导公式化简复杂的三角分式，再代入（1）中求得的余弦值.
【解析】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，消去得，解得或角是第三象限角，，，.
（2），当角是第一象限角时，，.当角是第三象限角时，，.
【规律】对于结构复杂的三角分式，第一步永远是利用诱导公式将其化简为最简形式，然后再代入数值计算，切忌直接代入导致运算繁琐.
【考点五 方法总结】
1. 诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数.
2. 通过, , 等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数.
3. 利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数符号的影响.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）已知，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，而，所以，故即，从而，故.故选：A.
2.（2026·全国一卷）若，，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由两边取平方，可得①，由，两边取平方，可得②，由①+②得到，整理得到，又，，解得，即或.将其代入，可得，即，即，所以，故得.同理，若，代入，可得，即，即，所以，解得，此时，则，与选项不符.故选：A.
3.（2025·全国一卷）（多选）已知的面积为，若，，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABC
【解析】，由二倍角公式，，整理可得，，A选项正确.由诱导公式，，展开可得，即，若，则，可知等式成立.若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，又，，于是，与条件不符，则不成立.若，类似可推导出，则不成立.综上讨论可知，，即.由，由，则，即，则，同理，注意到是锐角，则，不妨设，则，，即，，由两角和差的正弦公式可知，C选项正确.由两角和的正切公式可得，，设，，则，由，则，则，于是，B选项正确.由勾股定理可知，，D选项错误.故选：ABC.
第 2 页，共 17 页第25讲 三角函数概念及诱导公式 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精练 4
考点一：角的概念与表示 4
考点二：弧长与扇形面积公式 4
考点三：三角函数的定义与象限符号 5
考点四：同角三角函数基本关系 7
考点五：诱导公式及其综合应用 7
四、高考真题 9
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容
2024 第4题 单选 5分 直接 利用两角和的余弦公式与同角三角函数基本关系求值
2025 第11题 多选 6分 间接 在解三角形背景下，利用二倍角公式、诱导公式进行三角恒等变换
2026 第7题 单选 5分 直接 利用诱导公式与两角和差的三角函数公式进行化简求值
近三年全国一卷对本讲知识点的考查较为稳定，既有直接考查三角恒等变换与求值的单选题，也有在解三角形等综合问题中作为工具进行间接考查的多选题.
2. 命题角度与特色
（1） 核心考点：重点考查同角三角函数基本关系（平方关系、商数关系）以及诱导公式的灵活运用，常与两角和差公式、二倍角公式结合命题.
（2） 命题趋势：试题往往不单独考查某一个公式，而是将多个公式融合，强调公式的正用、逆用及变形使用，注重考查学生的代数变形能力和运算求解能力.
（3） 试题特点：题目形式灵活多样，可能以纯代数式化简求值的形式出现，也可能融入到解三角形、三角函数图象与性质等综合问题中，对公式的熟练程度要求较高.
3. 备考策略
（1） 熟练记忆并掌握同角三角函数基本关系和各组诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”的口诀内涵，确保在化简求值时符号判断准确无误.
（2） 加强公式变形应用的训练，如“1”的代换、弦切互化、齐次式处理等技巧，提升对三角式结构的观察力和变形能力.
（3） 注重知识的交汇运用，在复习解三角形、三角函数图象与性质等章节时，有意识地强化三角恒等变换的工具性作用，提高综合解题能力.
二、知识清单
1. 三角函数基本概念
（1） 角的概念
① 任意角定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
② 分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.
③ 所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是.
④ 象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
⑤ 象限角的集合表示方法：
第一象限角：
第二象限角：
第三象限角：
第四象限角：
（2） 弧度制
① 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
② 角度制和弧度制的互化：，，.
③ 扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：.
（3） 任意角的三角函数
① 定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，.
② 推广：三角函数坐标法定义中，若取点是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，，.
三角函数的性质如下表：
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
（4） 三角函数线
如下图，设角的终边与单位圆交于点，过作轴，垂足为，过作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点.
2. 同角三角函数基本关系
（1） 平方关系：.（2） 商数关系：.
3. 三角函数诱导公式
（1） 公式表：
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
（2） 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.
① 先将诱导三角函数式中的角统一写作.
② 无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负.
③ 当为奇数时，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可.
三、典题精练
考点一：角的概念与表示
考法1：角度制与弧度制的互化及表示
例1.下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（ 　　）
A. B.
C. D.
考法2：终边相同的角的表示与应用
例2.已知角的终边上一点的坐标为，则的最小正值为（ 　　）
A. B. C. D.
考法3：等分角与倍角的象限判断
例3.若角满足，则的终边一定在（ 　　）
A. 第一象限或第二象限或第三象限
B. 第一象限或第二象限或第四象限
C. 第一象限或第二象限或轴非正半轴上
D. 第一象限或第二象限或轴非正半轴上
【考点一 方法总结】
1. 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.
2. 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.
3. 判断等分角的象限，先从的范围出发，利用不等式性质，具体有：
（1） 双向等差数列法.
（2） 的象限分布图示法.
考点二：弧长与扇形面积公式
考法4：利用弧长与扇形面积公式求基本量
例4.（2025·广东·三月联考）已知扇形的面积为，半径为，则该扇形的圆心角为（ 　　）
A. B. C. D.
例5.在东方设计中存在着一个名为“白银比例”的理念，这个比例为，它在东方文化中的重要程度不亚于西方文化中的“黄金分割比例”，传达出一种独特的东方审美观.如图，假设扇子是从一个圆面剪下的，扇形的面积为，圆面剩余部分的面积为，当时，扇面较为美观.那么按“白银比例”制作折扇时，扇子圆心角的弧度数为__.
考法5：扇形面积的最值问题
例6.已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为，若扇形周长为，当这个扇形的面积最大时，则圆心角__弧度.
【考点二 方法总结】
1. 应用弧度制解决问题的方法：利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.
2. 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.
3. 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
考点三：三角函数的定义与象限符号
考法6：判断三角函数值的符号及所在象限
例7.（2026·唐山·一模）若为锐角，且.则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
例8.已知点是第二象限的点，则的终边位于（ 　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
考法7：已知终边上一点坐标求三角函数值
例9.（2025·保定·一模）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则__.
例10.（2025·沧州·一模）已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则（ 　　）
A. B. C. D.
例11.（2026·河南·五月预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，，则（ 　　）
A. B. C. D.
例12.（2026·随州·三模）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则__.
例13.（2025·福州一中·五月模考）（多选）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，，则（ 　　）
A. B. 终边在第二象限
C. D.
考法8：结合圆周运动或旋转求坐标与最值
例14.（2025·青岛·一模）在平面直角坐标系中，动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动；动点在以原点为圆心，为半径的圆上，以的角速度按逆时针方向做匀速圆周运动.、分别以、为起点同时开始运动，经过后，动点、的坐标分别为、，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
例15.已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ 　　）
A. B. C. D.
【考点三 方法总结】
1. 利用三角函数的定义，已知角终边上一点的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置.
2. 判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.
3. 正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负.
考点四：同角三角函数基本关系
考法9：已知正余弦和差求值
例16.已知，，则（ 　　）
A. B. C. D.
例17.已知，则__.
考法10：已知正切值求齐次式的值
例18.（2026·南京·二模）已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
例19.（2025·张家口·二模）已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
例20.已知，则__.
考法11：同角三角函数关系的综合应用
例21.（2026·台州·二模）已知为第二象限角，且，则（ 　　）
A. B. C. D.
例22.（2026·厦门·二模）已知为第四象限角，，则（ 　　）
A. B. C. D.
例23.若，，则__.
【考点四 方法总结】
1. 利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化.
2. “，，”方程思想知一求二.
考点五：诱导公式及其综合应用
考法12：利用诱导公式化简求值
例24.（2026·南京盐城·一模）设和表示坐标平面内的几何变换，表示将几何对象绕原点逆时针旋转，表示将几何对象关于轴对称，表示连续次变换.已知角的终边经过点，若对角的终边先进行变换，再进行变换，得到角的终边，则（ 　　）
A. B. C. D.
例25.（2025·江西·五月联考）已知角满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
例26.已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
考法13：同角关系与诱导公式的综合应用
例27.（2025·沧州运东五校·二模）已知角的终边过点，则（ 　　）
A. B. C. D.
例28.（2026·杭州二中）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距()的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ 　　）
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
例29.在平面直角坐标系中，是坐标原点，角的终边与单位圆的交点坐标为，射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点，点的纵坐标关于的函数为.
（1）求函数的解析式，并求的值；
（2）若，，求的值.
例30.已知角满足.
（1）若角是第三象限角，求的值；
（2）若，求的值.
【考点五 方法总结】
1. 诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数.
2. 通过, , 等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数.
3. 利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数符号的影响.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）已知，，则（ 　　）
A. B. C. D.
2.（2026·全国一卷）若，，，则（ 　　）
A. B. C. D.
3.（2025·全国一卷）（多选）已知的面积为，若，，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
第 2 页，共 17 页

展开更多......

收起↑