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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【教案】
25.2　降次——解一元二次方程
25.2.1　配方法
第1课时　直接开平方法
1.初步了解利用转化思想降次解一元二次方程的思路．
2.会利用直接开平方法对形如（x＋m）2=n（n≥0）的一元二次方程进行求解．
3.通过探究用直接开平方法解一元二次方程，培养学生勇于探索的良好学习习惯，会用数学的思维思考现实．
1.熟练并准确地运用直接开平方法解一元二次方程．（重点）
2.能根据平方根的意义解形如x2=n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如（x＋m）2=n（n≥0）的方程．（难点）
知识链接：
　　如图，一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？
创设情境——见配套课件
　探究点一：直接开平方法解形如x2=p的方程
解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法．
（1）x2=4；
解：根据平方根的意义，得x1=2，x2=－2.
（2）x2=0；
解：根据平方根的意义，得x1=x2=0.
（3）x2＋1=0.
解：移项，得x2=－1.∵负数没有平方根，∴原方程无实数根．
思考：对于方程x2=p，p取不同的值，方程的根分别是怎样的？你能归纳一下这类方程的根的情况吗？
归纳总结：一般地，对于可化为x2=p的方程：
p的取值范围 方程的根
p＞0 两个不相等的实数根x1=，x2=－
p=0 两个相等的实数根x1=x2=0
p＜0 无实数根
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根，我们称这种方法叫直接开平方法．
　探究点二：直接开平方法解形如（x＋a）2=p的方程
思考：对照上面解方程x2=4的过程，你认为应怎样解方程（x＋3）2=5？
一个一元二次方程两个一元一次方程
将（x＋3）看作一个整体
解下列方程：
（1）4x2－3=0；　　　　　（2）（x＋2）2－9=0.
解：（1）移项，并将二次项系数化为1，得x2=．由此可得x=±．即x1=，x2=－．
（2）移项，得（x＋2）2=9.由此可得x＋2=±3，即x1=1，x2=－5.
方法总结：在上面的解法中，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程（x＋a）2=p转化为我们会解的方程了．
1.（4分）用直接开平方法解下列方程，其中无实数解的是（A）
A．x2＋3=0　　B．－2x2=0
C．x2－4=0　　D．（x－2）2=0
2.（4分）方程x2=36的解是（D）
A．x=6　　B．x=－6
C．x1=9，x2=4　　D．x1=6，x2=－6
3.（4分）若方程（x－4）2=a有实数解，则a的取值范围是（B）
A．a≤0　　B．a≥0
C．a＞0　　D．无法确定
4.（4分）方程（x－2）2=16的解是　x1=6，x2=－2　．
5.（24分）解下列方程：
（1）25（x－3）2－9=0；
书写通关
解：方程整理得（　x－3　）2=　　．
开平方得　x－3=　，或　x－3=－　．
解得x1=　　，x2=　　．
（2）（2x＋3）2=7；
解：x1=，x2=．
（3）t2＋4t＋4=4；
解：t1=0，t2=－4.　　　　　　　（4）（3x－1）2=（2x＋3）2.
解：x1=4，x2=－．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
　　
　　
　　
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