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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【教案】
25.2.2　公式法
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程．
2.会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程．
3.理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理．
1.一元二次方程求根公式的推导、公式的简单应用以及利用根的判别式进行相关的判定和计算．（重点）
2.一元二次方程求根公式的推导．（难点）
知识链接：上节课我们学习了配方法解一元二次方程，回顾一下，配方法解方程的一般过程是什么？
创设情境——见配套课件
　探究点一：求根公式的推导
活动：动手用配方法解方程：ax2＋bx＋c=0（a≠0）．
解：移项，得ax2＋bx=－c．系数化为1，得x2＋x=－．配方，得x2＋x＋（）2=－＋（）2.即（x＋）2=①．
思考：对于方程①，能直接采用开平方法解这个方程吗？
因为a≠0，所以4a2＞0.对b2－4ac的取值分情况讨论：
（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根：
x＋=±，∴x1=，x2=．
（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根：x＋=0，∴x1=x2=－．
（3）当b2－4ac＜0时，方程无实数根．
发现：式子b2－4ac可以判别一元二次方程的根的情况．
归纳总结：b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c=0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac．
判别式 根
Δ＞0 两个不相等的实数根
Δ=0 两个相等的实数根
Δ＜0 没有实数根
Δ≥0 两个实数根
当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的实数根可写成x=的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c=0的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法．
若关于x的一元二次方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（B）
A．k＞－1　　　　　B．k＞－1且k≠0　　　　　C．k＜1　　　　　D．k＜1且k≠0
反思：当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为0，再根据“Δ”求字母的取值范围．
　探究点二：公式法解一元二次方程
用公式法解下列方程：
（1）x2－4x－7=0；　（2）2x2－2x＋1=0；　（3）5x2－3x=x＋1；　（4）x2＋17=8x．
解：（1）∵a=1，b=－4，c=－7，∴Δ=b2－4ac=（－4）2－4×1×（－7）=44＞0.∴方程有两个不相等的实数根．∴x===2±，即x1=2－，x2=2＋．
（2）（3）（4）学生自行解答，教师点评．
归纳总结：用公式法解一元二次方程的步骤：
1.（4分）一元二次方程3x2－2x－4=0根的判别式的值为（C）
A．－44　　B．16　　C．52　　D．56
2.（4分）方程2x2－5x＋3=0的根的情况是（B）
A．有两个相等的实数根　　B．有两个不相等的实数根
C．无实数根　　D．有一个根为0
3.（4分）若关于x的一元二次方程x2－2x－k=0有实数根，则k的取值范围是　k≥－1　．
4.（28分）［教材变式］ 用公式法解下列方程：
（1）x2－5x－6=0；
书写通关
解：a=　1　，b=　－5　，c=　－6　．
∵Δ=　（－5）2－4×1×（－6）=49　＞0，
∴x=　　，
即x1=　6　，x2=　－1　．　　　　　　　（2）x2－3x＋4=0；
解：x1=2，x2=．
（3）2y2＋4y=y＋2；
　　　易错通关：先化为一般式，再确定a，
b，c的值，注意其符号．
解：y1=，y2=－2.　　　　　　　（4）4x（x－1）=－3.
解：无实数根．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
　　
　　
　　
　　
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