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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【教案】
25.2.3　因式分解法
1.理解因式分解法降次解一元二次方程的思路，会用因式分解法解一元二次方程．
2.学会观察方程的特征，选用适当的方法解一元二次方程．
3.通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，体会转化的思想方法．
1.用因式分解法解一元二次方程．（重点）
2.将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式进行因式分解．（难点）
3.针对不同形式的一元二次方程选择适当的解法．（难点）
知识链接：上节课我们学习了公式法解一元二次方程，回顾一下，公式法解方程的前提条件是什么？
创设情境——见配套课件
　探究点一：因式分解法解方程
问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度（单位：m）为10x－5x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？
思考：怎样列出合适的方程并求解？
设物体经过x s落回地面，由题意得10x－5x2=0.
对于这个方程：请分别用配方法和公式法解方程：10x－5x2=0.（学生自行解答）
追问：除上述方法以外，有更简单的方法解这个方程吗？
归纳总结：对于一元二次方程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法．
简记口诀：右化零，左分解；两因式，各求解．
解下列方程：
（1）x（x－2）＋x－2=0；　　　　（2）5x2－2x－=x2－2x＋．
解：（1）因式分解，得（x－2）（x＋1）=0.∴x－2=0或x＋1=0.解得x1=2，x2=－1.
（2）学生自行解答，教师点评．
　探究点二：用合适的方法解方程
思考：学习了直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？
（1）有公因式时，可用因式分解法；
（2）方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法．
（3）二次项系数为1，一次项系数为偶数时，可用配方法解较快；
（4）二次项系数不为1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法．
用适当的方法解方程：
（1）3x（x＋5）=5（x＋5）；　　（2）（5x＋1）2=1；　　（3）x2－12x=4.
解：（1）（3x－5）（x＋5）=0，即3x－5=0，或x＋5=0.解得x1=，x2=－5.
（2）（3）学生自行解答．
归纳总结：配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便．总之，解一元二次方程的基本思路是：先将一元二次方程化为两个一元一次方程，即降次，再分别解两个一元一次方程．
1.（4分）已知一元二次方程的两根分别为x1=1，x2=－3，则这个方程可以是（B）
A．（x－1）（x－3）=0　　B．（x－1）（x＋3）=0
C．（x＋1）（x＋3）=0　　D．（x＋1）（x－3）=0
2.（4分）［高频易错］ 方程x2=2026x的根为（C）
A．x=0　　B．x=2026　　C．x1=0，x2=2026　　D．无实数根
3.（22分）［教材变式］ 用因式分解法解下列方程：
（1）3y2－6y=0；
书写通关
解：因式分解，得　3y（y－2）=0　．∴　3y=0或y－2=0　．
解得y1=　0　，y2=　2　．
（2）x2－3x=x－3；
解法一：左边提公因式，得x（x－3）=（x－3）．移项，得x（x－3）－（x－3）=0.
提公因式，得（x－3）（x－1）=0.∴x－3=0或x－1=0.解得x1=3，x2=1.
解法二：移项合并，得x2－4x＋3=0.因式分解，得（x－3）（x－1）=0.
∴x－3=0或x－1=0.解得x1=3，x2=1.
（3）（2x－1）2=（x＋3）2.
解：移项，得（2x－1）2－（x＋3）2=0.由平方差公式可得［（2x－1）－（x＋3）］［（2x－1）＋（x＋3）］=0，即（x－4）（3x＋2）=0，解得x1=4，x2=－．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
　　
　　
　　
　　
　　
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