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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【教案】
25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系．
2.通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与两根之和与两根之积的规律发现、完成归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程．
1.一元二次方程根与系数的关系及其推导过程．（重点）
2.一元二次方程根与系数的关系的推导过程及其应用．（难点）
知识链接：前面我们学习了公式法解一元二次方程，回顾一下，求根公式得出的两个根在形式上有哪些相同点和不同点？
创设情境——见配套课件
　探究点：一元二次方程的根与系数的关系
思考1：观察求根公式x=，它有什么特点？
整体上看，两个根分别是“m＋n”和“m－n”的形式，而且式子“n”中含有根号．这种形式的式子相加可以消去“n”，相乘可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁．
教师引导学生推导教材P15的证明过程．
归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系：如果ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，那么x1＋x2=－，x1 x2=．
思考2：我们知道，如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0的左边可以分解因式为a（x－x1）（x－x2），那么方程ax2＋bx＋c=0的两个根为x1和x2．反过来，如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根为x1和x2，那么上面的关系还能通过什么方法得出？
ax2＋bx＋c=a（x－x1）（x－x2），即ax2＋bx＋c=ax2－a（x1＋x2）x＋ax1x2．由此可得－a（x1＋x2）=b，ax1x2=c．因此x1＋x2=－，x1x2=．
利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积．
（1）x2－6x－15=0；　　　（2）3x2＋7x－9=0；　　　（3）5x－1=4x2.
解：（1）∵a=1，b=－6，c=－15，∴Δ=b2－4ac=（－6）2－4×1×（－15）=96＞0.∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2=－（－6）=6，x1x2=－15.
（2）（3）学生自行解答．
归纳总结：求两根之和、两根之积的步骤：化为一般式→判断Δ≥0→代入a，b，c．
知识拓展：常见的求值式子如下：
（1）＋=；
（2）＋=（x1＋x2）2－2x1x2；
（3）＋==；
（4）（x1＋1）（x2＋1）=x1x2＋（x1＋x2）＋1；
（5）|x1－x2|==．
1.（15分）［教材变式］ 不解方程，求下列方程两个根的和与积．
（1）x2＋4x－1=0；
解：x1＋x2=－4，x1x2=－1.　　（2）2x2＋4x＋1=0；
解：x1＋x2=－2，x1x2=．
（3）6x2－x=2x2＋3.
解：原方程化为一般形式得4x2－x－3=0，则x1＋x2=，x1x2=－．
2.（15分）［高频易错］ 已知关于x的方程x2＋（2k＋1）x＋k2－k＋1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
解：∵方程有两个实数根，∴Δ=（2k＋1）2－4（k2－k＋1）≥0，解得k≥．
（2）若该方程有两个实数根x1，x2，且（x1＋1）（x2＋1）=11，求k的值．
解：∵x1＋x2=－2k－1，x1x2=k2－k＋1，（x1＋1）（x2＋1）=11，
∴x1x2＋（x1＋x2）＋1=11，
即k2－k＋1－2k－1＋1=11.整理得k2－3k－10=0，解得k1=－2，k2=5.
∵k≥，∴k=5.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
　　
　　
　　
　　
　　
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