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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【教案】
25.3　实际问题与一元二次方程
第1课时　几何图形的面积与边长问题
1.通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．
2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．
3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．
1.通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．（重点）
2.在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．（难点）
知识链接：前面我们学习了一次方程（组）的实际应用，回顾一下相关知识．
创设情境——见配套课件
　探究点一：一元二次方程解决图形的边长问题
是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？
思考：直角三角形的三边关系满足什么条件？
a2＋b2=c2（勾股定理）．
追问：若存在这样的三角形，该怎么设未知数求解？
解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为　x　，　x＋1　，　x＋2　，其中x为正整数．由勾股定理，得x2＋（x＋1）2=（x＋2）2.解方程，得x1=3，x2=－1（不符合题意，舍去）．因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3，4，5.
归纳总结：在解决与直角三角形三边长度的数量问题中，勾股定理是联系各边长的桥梁．
　探究点二：一元二次方程解决图形的面积问题
用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的　周长　就是细绳的长度．设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含x的式子表示出该边和邻边长，再利用面积列方程求解．
解：设矩形的一边长为x m，由矩形的周长为40 m，可得此边的邻边长为（20－x）m；再由矩形的面积为96 m2，得x（20－x）=96.解方程，得x1=12，x2=8.
追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？
由题可知12 m和8 m分别是矩形区域的长和宽，只能围成一个满足条件的矩形区域．
思考：对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有几种？试着列举两例．
例如：（1）可设一边长为x m，那么其邻边长为　　m；
（2）可设一边长为（10＋x）m，那么其邻边长为　（10－x）　m．
追问：能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点．
如图①，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为多少？
方法一：解：如图②，设道路的宽为x m．则　20×32－32x－20x＋x2=540　．
思考：还有其他列法吗？
方法二：如图②，设道路的宽为x m．则　（32－x）（20－x）=540　．整理，得　x2－52x＋100=0　．
学生自行完成解答．
归纳总结：在几何图形的面积问题中：规则图形可直接运用面积公式；不规则图形可先割或补成规则图形，找出各部分面积之间的等量关系，再运用规则图形的面积公式列出方程．
1.（4分）用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形，设长方形的长为x cm，则可列方程为（B）
A．x（20＋x）=64　　B．x（20－x）=64　　C．x（40＋x）=64　　D．x（40－x）=64
2.（4分）若用一条长为30 cm的铁丝围成一个斜边长是13 cm的直角三角形，则两直角边的长分别为　5　cm，　12　cm．
3.（10分）如图，在一块长为22 m、宽为17 m的矩形空地上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪．要使草坪面积为300 m2，则道路宽为多少米？
书写通关
解：设　道路宽为x m　．
根据题意得　（22－x）（17－x）=300　．
解得　x1=37，x2=2　．
（x=　37　不合题意，舍去）
答：　道路宽为2 m　．
4.（12分）如图，要利用一面墙（墙长为25 m）建羊圈，用75 m长的围栏围成总面积为300 m2的两个大小相同的矩形羊圈，那么羊圈的边长AB，BC各为多少米？
解：设AB的长度为x m，则BC的长度为（75－3x） m．根据题意得（75－3x）x=300，解得x1=20，x2=5.当x=20时，75－3x=15＜25，符合题意．当x=5时，75－3x=60＞25，不符合题意，舍去．
∴AB=20 m，BC=15 m．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20 m，15 m．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
图形的面积问题
　　
　　
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