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2026秋人教九上数学AI赋能完全备课【教案】
数学活动　探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割
1.通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割．
2.经历“猜想—验证—推导”的探究过程，提升逻辑推理与数形结合能力．在互动中感受数学的关联性，激发主动探究的兴趣．
1.方程公共解的条件探究，线段分割的数量关系转化．（重点）
2.从“问题”到“数学模型”的转化，尺规作图的思路生成．（难点）
知识链接：教师展示两个任务：“三个一元二次方程，系数不同却有公共解，背后藏着什么规律？”“线段分三段，既要‘最长段=另两段和’，又要满足分式等式，是巧合还是必然？”
学生自由猜想，教师引导：“今天我们通过‘探究＋推导’来解开这两个谜题．”
　探究点一：探究方程有公共解的条件
活动1：已知abc≠0，下列方程：①ax2＋bx＋c=0，②bx2＋cx＋a=0，③cx2＋ax＋b=0，恰有一个公共解．给出a，b，c满足的条件，并求出方程①②③的解．
第1步：先设公共解，代入找线索．
小组交流：既然三个方程有公共解，咱们先假设这个公共解是x=k，把它代入三个方程，会得到什么？谁来写一写？
第2步：相加消元，找系数关系．
三个式子加起来（a＋b＋c）（k2＋k＋1）=0.
追问：k2＋k＋1能等于0吗？为什么？
引导学生得出a＋b＋c=0.
第3步：验证公共解，求其他解．
把c=－a－b代入第一个方程，化简得ax2＋bx－a－b=a（x2－1）＋b（x－1）=（x－1）［a（x＋1）＋b］=0.解得x1=1，x2=．同理，可求出方程②③的解，得出上述方程的公共解为x=1.
归纳总结：通过“设公共解→代入方程→相加消元”，结合完全平方式的非负性，得出方程有唯一公共解的条件是a＋b＋c=0，公共解为x=1；各方程的另一个解可通过因式分解求得．
　探究点二：神奇的线段分割
活动2：教材P25活动2.
王芳提出的问题：
依据“线段和差的拼接规则”：若线段总长为L=a＋b＋c，当a=b＋c时，只需在原线段上先截取长为b的线段，再截取长为c的线段，剩余部分即为a（a=L－b－c=b＋c），可实现共线的三段分割．
李明提出的问题：
把a=b＋c代入＋=，得＋=→=→c（2b＋c）=b（b＋c）．化简后得到c2＋bc－b2=0，两边除以b2，得（）2＋－1=0.设t=，解得t=（负值已舍去）．比如取b=2，那c=－1，a=b＋c=＋1，这样就满足条件．
思考：怎么用尺规作出李明提出的问题中线段的两个分点？
画图步骤：画水平线段BP=2（即b），过点B作垂线截取BD=1；连接DP，以点D为圆心、1为半径画弧截DP得点E，则PE=－1（即c）；以点P为圆心、PE长为半径画弧，在BP的延长线上截得点F，则BF=BP＋PF=2＋－1=＋1（即a），完成分割．
归纳总结：这个过程看成“先定已知数，再凑总数”．
1.已知三个一元二次方程：x2＋bx＋c=0，bx2＋cx＋1=0，cx2＋x＋b=0有唯一公共解，且b=2，则c=　－3　．
2.将一条长为10 cm的线段分成三段m，n，p（p为最长段），满足p=m＋n且＋=．则n与m的数量关系为　n=m　．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
1.探究方程的公共解：a＋b＋c=0→求公共解
2.神奇的线段分割：联立条件→求a，b，c的长度
　　
　　
　　
　　
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