资源简介

21.3.1矩形(课时2)
一、教学目标
1.理解并掌握矩形的判定办法；
2.能熟练运用矩形的判定知识进行计算和证明；
3.经历矩形的判定定理的探索和运用其解决相关问题的过程，培养和发展学生的推理能力.
二、教学重点及难点
重点：掌握矩形的判定办法.
难点：能应用矩形的判定定理进行相关计算与证明.
三、教学过程
【知识回顾】
回顾矩形的性质.
1.矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.
2.矩形的四个角都是直角.
数学语言：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.
3.矩形的对角线相等.
数学语言：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.
设计意图：系统梳理矩形的性质及规范数学语言，帮助学生巩固知识、形成结构，为后续学习奠定基础.
【新知导入】
矩形的定义： .
根据定义有一个角是直角的平行四边形是矩形，可以判定一个四边形是不是矩形.除了矩形的定义，还有其他的判定方法吗？
教师提出：与研究平行四边形的判定类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，看一看它们是否成立.
设计意图：回顾矩形定义，类比平行四边形判定的研究思路，引导学生从性质定理的逆命题出发探究新的判定方法，激发探究兴趣，渗透逆向思维.
【探究新知】
教师提出：我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形.
反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
教师引导学生进行证明
已知：如图，在□ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，且AC=BD.
求证：□ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB//CD.
又∵AC=DB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
∵AB//CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC=∠DCB=90°.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
通过证明得出结论，归纳总结，学生做笔记.
矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：在□ABCD中，∵AC=BD，∴□ABCD是矩形.
设计意图：通过猜想、证明、归纳，让学生自主推导并掌握对角线相等的平行四边形是矩形这一判定定理，培养逻辑推理与几何证明能力.
教师提出：通过上述学习我们知道对角线相等的平行四边形一定是矩形.
思考：对角线相等的四边形一定是矩形吗？
学生积极回答，教师对学生的回答进行提炼，确定正确答案，归纳总结.
不一定，等腰梯形的对角线也相等.
矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
设计意图：通过反例辨析，帮助学生区分“对角线相等的四边形”与“对角线相等的平行四边形”，突出矩形判定中平行四边形这一前提，避免概念混淆.
教师提出：工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等.你知道其中的道理吗？
学生同桌之间进行讨论，形成共识后教师选取学生代表进行回答，教师根据回答进行归纳总结.
设计意图：结合生活实际问题，让学生运用矩形判定定理解决问题，体会数学与生活的联系，提升知识应用能力.
教师提出：我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题是？
学生回答：四个角都是直角的四边形是矩形.
教师提出：它的逆命题成立吗？
学生思考并回答：根据矩形的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可以得到它的逆命题成立.
设计意图：通过逆向思考探究矩形角相关的判定方法，深化定义理解，培养逆向推理思维.
教师提出：至少有几个角是直角的四边形是矩形？有一个角是直角的四边形是矩形吗？有两个角是直角的四边形是矩形吗？有三个角是直角的四边形是矩形吗？
学生积极回答，教师对学生的回答进行反馈，并通过ppt展示例子.
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
教师引导学生进行证明
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，
∴ AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
通过证明得出结论，归纳总结，学生做笔记.
矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形.
符号语言：在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
设计意图：通过分层设问、举例辨析、猜想证明，引导学生探究并掌握有三个角是直角的四边形是矩形这一判定定理，体会从特殊到一般的探究思路，培养逻辑推理与分类思考能力.
【例题练习】
如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.
求证：四边形EFGH是矩形.
教师提出：你有什么解题思路吗？
学生积极回答，教师提炼思路.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD.
∴ ∠BAD+∠ADC=180°.
又AF，DF分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠DAF+∠ADF=∠BAD+∠ADC=(∠BAD+∠ADC)=90°.
∴∠F=90°.同理∠H=∠AEB=90°.
∴∠FEH=∠AEB=90°.
∴四边形EFGH是矩形.
设计意图：通过综合运用平行四边形的性质、角平分线的定义与矩形的判定定理（三个角是直角的四边形是矩形），巩固新知，培养学生的几何分析、推理证明与知识综合运用能力.
四、随堂练习
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知.
设计意图：通过练习，及时巩固课堂所学，使学生牢牢掌握新知.
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.矩形的判定定理；
2.运用矩形的判定定理进行计算和证明.
六、板书设计
矩形的判定
判定方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.(定义).
判定方法2：对角线相等的平行四边形是矩形.
判定方法3：有三个角是直角的四边形是矩形.

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