资源简介

2 一元二次方程的解法
课题 第1课时 用配方法解简单的一元二次方程 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P37-38
教学目标 1.会用开方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。 2.经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力。 3.体会转化的数学思想方法。 4.能根据具体问题中的实际意义检验结果的合理性。
教学重难点 重点：用配方法解答二次项系数为1的一元二次方程。 难点：理解配方法的基本思路。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m。如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 教师活动：在上一节的问题中，梯子的底端滑动的距离x（m）满足方程x2+12x-15=0。同学们还记得x的近似值吗？ 预设：1.12.实践探究，学习新知 【探究1】 思考·交流： （1）你能解哪些特殊的一元二次方程？ 师生活动：教师可以先给出两个最简单的一元二次方程让学生自主练习求解，例如：x2=1，x2=0。然后引导学生自己想出几个简单的特殊一元二次方程并求解，最后再请学生起来说一下，师生交流。如果学生写出其他形式的方程，那么教师应留出充分的时间让学生解释确定其中未知数的值的方法及其根据。如果学生没有想出能求解的方程，那么教师可直接转入问题（2） （2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ x2=5，2x2+3=5，x2+2x+1=5，（x+6）2+72=102。 预设：方程x2=5可由平方根的意义求解，x1=，x2=-；方程2x2+3=5可先化为x2=1，再由平方根的意义求解，x1=1，x2=-1；方程x2+2x+1=5可化为（x+1）2=5，与x2=5比较，得x+1=±，从而得到原方程的解x1=-1+，x2=-1-；方程（x+6）2+72=102可化为（x+6）2=51，再用类似方法求解，x1=-6，x2=--6。 师生活动：问题（2）中的几个方程既有联系又逐步递进，在求解的过程中，应要求学生说明解题思路。学生在表述中可能会用到诸如“用与……相同的方法，可以得到……”“……可以化成……的形式”等语句，对此教师应及时予以关注和鼓励，以加深学生对转化思想的感悟和理解。在此基础上，转入对问题（3）的思考。 （3）你能解方程x2+12x-15=0吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个过程转化成上面方程的形式吗？与同伴进行交流。 师生活动：教师引导学生将上述方法进行迁移，思考从方程x2+12x-15=0到方程（x+6）2=51的具体转化过程，然后再与教材中给出的过程进行比较，并从中体会用配方法解一元二次方程的本质：将方程转化为（x+m）2=n（n≥0）的形式。引导学生思考、尝试、交流之后，教师对配方法的基本思路进行总结，展示一元二次方程的解的表示形式。 【归纳总结】 对于方程（x+m）2=n，当n≥0时，它可以转化为x+m=±，所以x1=-m，x2=--m。 【探究2】 操作·思考：填上适当的数，使下列等式成立： x2+12x+_______=（x+6）2； x2-4x+_______=（x-_______）2； x2+8x+_______=（x+_______）2。 在上面的等式的组边，常数项和一次项系数有什么关系？ 师生活动：教师可先让学生回顾以前学过的完全平方式，据此自主填空完成以上题目，之后教师组织学生通过小组的合作交流，发现等式左边常数项与一次项系数的关系，用自己的语言归纳总结出把形如x2+ax的式子配成完全平方式的方法规律。 【教材例题】 例1 解方程：x2+8x-9=0。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2+8x=9。 两边都加上42（一次项系数8的一半的平方），得 x2+8x+2=9+2， 即 （x+4）2=25。 两边开平方，得 x+4=±5， 即 x+4=5，或x+4=-5。 所以 x1=1，x2=-9。 师生活动：教师在教学时要引导学生在解题后自己尝试归纳用配方法解一元二次方程的一般步骤，并用自己的语言进行表述。教师要提醒学生在自己熟练掌握配方法之后，可以根据题目的条件灵活操作，不必按照例题中的格式和过程解题。 【归纳总结】 1.配方法：在例1中，我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）移——移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； （2）配——配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为（x+m）2=n的形式； （3）开——如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可左右两边开平方得x+m=±； （4）解——方程的解为x=-m±。另外，如果是解决实际问题，还要注意判断求得的结果是否合理。 通过三个问题串，引导学生从简单的问题着手，尝试去解一元二次方程，总结归纳出配方法的基本思路 通过几个既有联系又逐步递进的方程，让学生体会解题过程，逐步形成解方程的思路。 通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。 本例给出了配方的一种参考过程：先把常数项移到方程的右边，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程的左边为完全平方式。
3.学以致用，应用新知 考点1 用直接开平方法解一元二次方程 例1 一元二次方程x2-4=0的根是（ ） A. x=-2 B. x1=2，x2=-2 C. x=2 D. x1=2，x2=0 答案：B 变式训练 用直接开平方法解方程（x+h）2=k，方程必须满足的条件是（ ） A. k≥0 B. h≥0 C. hk>0 D. k<0 答案：A 考点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 例2 用配方法解方程x2-4x-5=0时，原方程应边形为（ ） A. （x-2）2=5 B. （x-2）2=1 C. （x-4）2=5 D. （x-2）2=9 答案：D 变式训练 将一元二次方程x2-8x-5=0化成（x+a）2=b（a，b为常数）的形式，则ab=_______。 答案：-84 通过例题讲解，巩固用直接开平方法解一元二次方程，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题讲解，巩固用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
4.随堂训练，巩固新知 1. 用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为（ ） A. x2-1=0 B. x2=0 C. x2+4=0 D. -x2+3=0 答案：C 2. 若关于x的代数式2x2+2与2x2-10互为相反数，则x的值为（ ） A. -2 B. ±2 C. D. ± 答案：C 3. 一元二次方程x2-6x-6=0配方后化为（ ） A. （x-3）2=15 B. （x-3）2=3 C. （x+3）2=15 D. （x+3）2=3 答案：D 4. 将代数式x2-10x+5配方后，发现它的最小值为（ ） A. -30 B. -20 C. -5 D. 0 答案：B 5. 一名同学将方程x2-4x-3=0化成了（x+m）2=n的形式，则m，n的值应为（ ） A. m=-2，n=7 B. m=2，n=7 C. m=-2，n=1 D. m=2，n=-7 答案：B 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： 移、配、开、解。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P45习题2.2中的T1（1）~（4）、T7、T8。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1课时 直接开平方法和配方法 一、直接开平方法 二、配方法的概念 三、用配方法解一元二次方程的一般步骤 提纲掣领，重点突出。
教后反思 1.创造性地使用教材 教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在七年级、八年级已经学过完全平方公式和如何对一个正数进行开方运算，而且普遍掌握较好，所以本节课从这两个方面入手，利用几个简单的实际问题逐步引入配方法。教学中将难点放在探索如何配方上，重点放在配方法的应用上。 2.相信学生并为学生提供充分展示自己的机会 课堂上要把“激发学生的学习热情和培养学生的学习能力”放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，帮助学生形成积极主动的求知态度.本节课多次组织学生合作交流，通过小组合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解和思维的误区，为今后的教学提供便利。 反思，更进一步提升。
课题 第2课时 用配方法解较复杂的一元二次方程 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P38-39
教学目标 1.经历用配方法解二次项系数不为“1”的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想。 2.能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力。
教学重难点 重点：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，学会将二次项系数化为1。 难点：进一步理解配方法的基本过程，尤其是常数项与一次项系数之间的关系。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 教师活动：请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别。 （1）x2+6x+8=0；（2）3x2+18x+24=0。 预设：区别：方程（2）的二次项系数为3；联系：当方程（2）两边同时除以3以后，这两个方程式为同解方程。 学生活动：观察比较，小组交流得出结论。 类似方程（2）这样的方程应该如何求解呢？这节课，我们来学习用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。（教师板书课题： 第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程） 教师通过给出两个方程，让学生思考两个方程的联系与区别，进而思考对于二次项系数不为1的一元二次方程该如何去解，从而引出本节课的内容。
2.实践探究，学习新知 【教材例题】 例1 解方程：3x2+8x-3=0。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：两边同除以3，得 x2+x-1=0。 配方，得 x2+x+--1=0， -=0。 移项，得 =。 两边开平方，得 x+=±， 即 x+=，或x+=-。 所以 x1=，x2=-3。 师生活动：教师在教学时要引导学生在解题后自己尝试归纳用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤，并用自己的语言进行表述。教师要提醒学生在自己熟练掌握配方法之后，可以根据题目的条件灵活操作，不必按照例题中的格式和过程解题。 【归纳总结】 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤： （1）化——化二次项系数为1； （2）配——配方，使原方程变为（x+m）2-n=0的形式； （1）移——移项，使方程变为（x+m）2=n的形式； （3）开——如果n≥0，就可左右两边开平方得x+m=±； （4）解——方程的解为x=-m±。另外，如果是解决实际问题，还要注意判断求得的结果是否合理。 【应用提高】 【思考·交流】 一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系： h=15t-5t2， 小球何时能达到10 m高？ 预设： 解：根据题意，得15t-5t2=10。 方程两边都除以-5，得t2-3t=-2。 配方，得t2-3t+=-2+， 即=， 两边开平方，得t-=±， 所以t1=2，t2=1。 所以，小球1 s或2 s时能达到10 m高。 师生活动：操作投影仪。鼓励学生先独立思考，自主分析解题思路，并与同学进行交流。等待大部分学生书写完成后，由学生代表展示解题的书写过程，师生共同评议。 【归纳总结】 求解实际应用的题目的一般步骤： 一审；二设；三列；四解；五验：六答。 通过上述例题的讲解，继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程。让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路，关键是将方程转化成（x+m）2=n（n≥0）形式。 在前边学习的基础上，借助“做一做”一个物理问题，感受学科之间的联系，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用。
3.学以致用，应用新知 考点1 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 例1 一元二次方程2x2-3x+1=0配方后可化为（ ） A. =1 B. = C. = D. = 答案：D 变式训练 将方程3x2-2x-2=0配方成（x+m）2=n的形式，则m+n=______。 答案： 考点2 配方法的应用 例2 新定义：若关于x的一元二次方程：a1（x-m）2+n=0与a2（x-m）2+n=0，称为“同族二次方程”。如2（x-3）2 +4=0与3（x-3）2+4=0是“同族二次方程”。现有关于x的一元二次方程：2（x-1）2+1=0与（a+2）x2+（b-4）x+8=0是“同族二次方程”。那么代数式ax2+bx+2 022能取得的最小值是（ ） A. 2 015 B. 2 017 C. 2 022 D. 2 027 答案：B 变式训练 一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压p（毫米汞柱）与年龄x（岁）大致满足关系：p=0.01x2+0.05x+107。如果一个女性的收缩压为117.5毫米汞柱，那么她的年龄大概是多少？ 解：根据题意，得0.01x2+0.05x+107=117.5。 方程两边都除以0.01，得x2+5x+10 700=11 750。 移项，得x2+5x=1 050 配方，得x2+5x+=1 050+， 即=， 两边开平方，得x+=±， 所以x1=30，t2=-35。 所以，她的年龄大概是30岁。 通过例题和变式训练的讲解，巩固学生用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
4.随堂训练，巩固新知 1. 一元二次方程x2-3=0的根是（ ） A. x=± B. x= C. x=3 D. x=0 答案：A 2. 用配方法解一元二次方程x2-4x+2=0化成（x+a）2=b的形式，则a，b的值分别为（ ） A. -4，14 B. 4，14 C. 2，2 D. -2，2 答案：D 3. 把一元二次方程2x2-8x-7=0化成（x+m）2=n的形式是_______。 答案：（x-2）2= 4. 用配方法解下列方程： （1）-3x2+4x+1=0； 解：二次项系数化为1，得x2-x-=0。 移项并配方，得x2-x+=+， 即=。 ∴x-=±。 ∴x=±。 ∴x1=，x2=。 （2）3y2-6y+2=0。 解：二次项系数化为1，得y2-2y+=0. 移项并配方，得y2-2y+=-+， 即（y-1）2=。 ∴y-1=±。 ∴y=1±。 ∴y1=1+，y2=1-。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1．本节课学习的数学知识是用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程。 2．本节课学习的数学方法是什么？ ①转化思想，②根据实际问题建立数学模型。 3．用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤是什么？ 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P45习题2.2中的T1（5）~（8）、T9、T10。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 一、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤 二、配方法的应用 提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课作为用配方法求解一元二次方程的第2课时，主要运用由简单到复杂，由特殊到一般的原则，重点展示了用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤。在教学过程中，学生也会出现个别错误，表现在：①二次项系数没有化为1就盲目配方；②不能给方程“两边”同时配方。在后续的学习过程中还要加强训练。 反思，更进一步提升。
课题 第3课时 用公式法解一元二次方程 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P40-43
教学目标 1.经历探究一元二次方程求根公式的过程，发展推理能力，积累活动经验。 2.能正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程，提高综合运算能力。 3.会用一元二次方程的根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等。 4.进一步发展合作交流的团队意识和能力。
教学重难点 重点：用公式法解一元二次方程。 难点：理解一元二次方程求根公式的推导过程。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 教师活动：先让学生尝试用配方法解方程，学生自主动手解答。 用配方法解方程：2x2-4x-6=0。 预设： 方程两边都除以2，得x2-2x-3=0。 移项，得x2-2x=3。 配方，得x2-2x+1=3+1， 即（x-1）2=4。 两边开平方，得x-1=±2。 ∴x1=3，x2=-1。 教师追问：同学们能用能说一说，用配方法解一元二次方程的步骤吗？ 学生活动：学生根据上节课所学知识自主交流，教师可随机提问，帮助学生回顾所学知识，也可看一下学生的掌握情况 教师活动：我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的，因此，如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多。 那么同学们能用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）吗？这节课我们就来学习用公式法解一元二次方程。（教师板书课题： 第3课时 用公式法解一元二次方程） 通过对旧知识的回顾,学生再次经历了配方法解方程的全过程,由于是旧知识,学生容易做出正确答案,并获得成功的喜悦,调动了学生的学习思维和学习积极性,为用公式法解一元二次方程奠定了良好的基础。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 教师活动：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），请同学们用配方法解此方程。 师生活动：学生在演算纸上自主推导，并针对自己的推导过程中预见的问题在小组内自由研讨。最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式。 预设： 方程两边同除以a，得x2+x+=0。 教师活动：引导学生思考：为什么可以两边都除以二项式系数a？ 学生回答：因为a≠0。 配方，得x2+x+-+=0， 即-=0。 移项，得=。 教师活动：此处引导学生思考：现在可以两边开平方吗？ 学生回答：不可以，因为不能保证≥0。 教师活动：引导学生并进一步思考：什么情况下≥0？可以学生讨论。 学生回答：因为a≠0，所以4a2>0。要使≥0，只要使b2-4ac≥0即可。 预设： 当b2-4ac≥0时，两边开平方，得x+=±， 即x=-±， x=。 教师活动：这样我们就得到了一元二次方程的求根公式，并板书写出。 【归纳总结】 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是： x=。 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 【教材例题】 例3 解方程： （1）x2-7x-18=0；（2）4x2+1=4x。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：（1）这里a=1，b=-7，c=-18。 因为b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0， 所以x==， 即x1=9，x2=-2。 （2）将原方程化为一般形式，得4x2-4x+1=0。 这里a=4，b=-4，c=1。 因为b2-4ac=（-4）2-4×4×1=0， 所以x==， 即x1=x2=。 （对于第（2）题的解x1=x2=，学生可能不易理解：同一个数为什么算两个根？这里可以作为一种约定告诉学生，不必进一步说明） 【归纳总结】 用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）先将方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式； （2）确定a，b，c的值；（注意a，b，c的确定应包括各自的符号） （3）求b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0，代入求根公式，即可求出一元二次方程的根。 【探究2】 尝试·思考： （1）你能解一元二次方程x2-2x+3=0吗？你是怎么想的？ 师生活动：鼓励学生独立思考，然后再进行交流，并明确相关结论。可能有学生尝试用公式法解方程x2-2x+3=0，在这一过程中会得到b2-4ac=4-12=-8<0，无法使用求根公式；也可能有学生用配方法解方程x2-2x+3=0，配方后出现（x-1）2 =-2，由于任何实数的平方都不是负数，因此这个方程没有实数根。 （2）对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac<0时，它的根的情况是怎样的？与同伴交流。 师生活动：在第（1）问基础上，引导学生思考。一般地，对一元二次方程ax2+bx+c=0配方后得到=，如果b2-4ac<0，那么原方程没有实数根。 【归纳总结】 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）， 当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac<0时，方程没有实数根。 （实际上，这个结论反过来也是正确的。也就是说，这种判别条件是充分必要条件） 由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况可由b2-4ac来判定。我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示。 鼓励学生完成公式的推导过程,一方面可以巩固配方法，另一方面对配方后开方需要满足的条件先由学生独立判断，再经过互相交流，让学生加深印象，有助于认识和理解求根公式。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 通过探究b2-4ac<0的情况，引出对方程的根的探讨，总结归纳得出Δ=b2-4ac是一元二次方程的根的判别式。
3.学以致用，应用新知 考点1 用公式法解一元二次方程 例1 用公式法解一元二次方程3x2+x=7时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述中，正确的是（ ） A. a=3，b=-1，c=7 B. a=3，b=1，c=-7 C. a=3，b=-1，c=-7 D. a=3，b=1，c=7 答案：B 变式训练 下列一元二次方程中，根是x=的是（ ） A. 2x2+4x-1=0 B. 3x2+2x-1=0 C. -x2-2x+3=0 D. 3x2-2x-1=0 答案：D 考点2 一元二次方程的根的判别式 例2 一元二次方程x2+5x+1=0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 答案：A 变式训练 若关于x的方程2x2+3x+c=0没有实数根，则c的值可能为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 答案：D 通过例题讲解，巩固学生用公式法解一元二次方程，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题讲解，巩固学生应用一元二次方程的根的判别式。
4.随堂训练，巩固新知 1. 下列方程，最适合用公式法求解的是（ ） A. （x-1）2=4 B. 2x2=8 C. x2-x-1=0 D. 2（x+1）2-20=0 答案：C 2. 在方程2x2+3x=1中，b2-4ac的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 17 D. -17 答案：C 3. 定义运算：m☆n=mn-mn-1。例如4☆2=4×22-4×2-1= 7。则方程1☆x=0的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 答案：A 4. 一元二次方程x2-4x-8=0的解是（ ） A. x1=-2+2，x2=-2-2 B. x1=2+2，x2=2-2 C. x1=2+2，x2=2-2 D. x1=2，x2=-2 答案：B 5. 不解方程，判断下列方程根的情况： （1）16y2+9=24y；（2）5（x2+1）-7x=0。 解：（1）将原方程化为一般形式，得16y2-24y+9=0。 这里a=16，b=-24，c=9。 ∵b2-4ac=（-24）2-4×16×9=0， ∴原方程有两个相等的实数根。 （2）将原方程化为一般形式，得5x2-7x+5=0。 这里a=5，b=-7，c=5。 ∵b2-4ac=（-7）2-4×5×5=-51<0， ∴原方程没有实数根。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.一元二次方程的求根公式：x=。 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤： （1）先将方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式； （2）确定a，b，c的值；（注意a，b，c的确定应包括各自的符号） （3）求b2-4ac的值，如果b2-4ac≥0，代入求根公式，即可求出一元二次方程的根。 3.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）， 当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac<0时，方程没有实数根。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P45习题2.2中的T2、T5、T11。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1课时 用公式法解一元二次方程 一、用公式法解一元二次方程 二、一元二次方程的根的判别式 提纲掣领，重点突出。
教后反思 1.要创造性地使用教材 教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师可以根据学生的实际情况进行适当调整。本节课教师就根据学生的实际情况，调整了配方时的个别过程，使之与后续知识学习相一致，添加了例题和练习题。 2.要为学生的终身学习奠基 这节课不能够仅仅让学生背公式、套公式解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识，亲身体会公式推导的全过程，提高学生的推理能力和逻辑思维能力，进一步发展学生合作交流的意识和能力，帮助学生形成积极主动的求知态度。 反思，更进一步提升。
课题 第4课时 用因式分解法求解一元二次方程 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P43-45
教学目标 1.会用因式分解法（提公因式法、公式法）解决某些简单的数字系数的一元二次方程。 2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活地选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
教学重难点 重点：能用因式分解法（提公因式法、公式法）求解某些数字系数的一元二次方程。 难点：能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系，h=15t-5t2.小球从弹出到落回地面，经过了几秒？ 教师活动：设小球经过t s落回地面，此时h=0，请同学们根据题意列出方程。 学生回答：15t-5t2=0。 教师活动：针对这个方程，同学们有哪些解方程的方法？ 预设：同学A：将原方程化为一般形式，得5t2-15t=0。 这里a=5，b=-15，c=0。 ∵b2-4ac=（-15）2-4×5×0=225>0， ∴t==。 ∴t1=0，t2=3。 所以这个方程的解是t=0，或t=3。 同学B：方程两边同时除以-3，得t2-3t=0。 配方，得t2-3t+=， 即=。 两边开平方，得t-=±， t-=或t-=-。 所以t1=0，t2=3。 所以这个方程的解是t=0，或t=3。 教师活动：同学们还有没有其他的解法？这节课我们就来学习用因式分解法求解一元二次方程。（教师板书课题： 第4课时 用因式分解法解一元二次方程） 通过对旧知识的回顾,学生再次经历了用公式法和配方法解方程的全过程,由于是旧知识,学生容易做出正确答案,并获得成功的喜悦,调动了学生的学习思维和学习积极性,从而更好地进行这节课内容的学习。
2.实践探究，学习新知 【探究】 师生活动：教师根据情境导入的问题给出几个学生的求解过程（公式法求解，配方法求解，有的学生可能已经直接用了因式分解的方法求解，如果没用，教师可直接给出），和学生们一起比较和评析这几种方法。 预设：（同学A、B的解题过程见上面） 同学C：由原方程，得5t2=3t，两边同时约去5t，得t=3。 所以方程的解是t=3。 同学D：由方程15t-5t2=0，得5t2-15t=0， 即5t（t-3）=0。 于是t=0，或t-3=0。 因此t1=0，t2=3。 所以方程的解是是0或3。 教师活动：他们做得对吗？如果不对，为什么？ 学生回答：同学A、B、D做得对。同学C做得不对，因为约去x的时候必须保证x≠0，他的做法漏掉了跟为0的情况。 教师活动：比较一下，哪一种方法比较简便？ 学生回答：因式分解比较简便。 教师活动：配方法和公式法是解一元二次方程的通法，对于某些特殊形式的一元二次方程，用因式分解比较简便。所以同学们在以后求解一元二次方程时，要根据方程的具体特征，灵活选取适当的解法。 【归纳总结】 当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用同学D的方法求解。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。 因式分解法的根据是：如果a·b=0，那么a=0或b=0。这也是其基本思想。 为什么用“或”而不用“且”？ “或”是“二者中至少有一个成立”的意思，包括两种情况：二者同时成立；二者不能同时成立。如ab=0时，a=0和b=0可同时成立，但x（x-3）=0中，x=0和x-3=0就不能同时成立。“且”是“二者同时成立”的意思。 因式分解法是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，体现了一种“降次”的思想。 【教材例题】 例 解下列方程： （1）5x2=4x；（2）x（x-2）=x-2。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：（1）原方程可变形为5x2-4x=0， x（5x-4）=0。 x=0，或5x-4=0。 ∴x1=0，x2=。 （2）原方程可变形为x（x-2）-（x-2）=0， （x-2）（x-1）=0。 x-2=0，或x-1=0。 ∴x1=2，x2=1。 【归纳总结】 用因式分解法解一元二次方程的步骤： ①方程右边化为0； ②将方程左边分解成两个一次因式的乘积； ③至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； ④两个一元一次方程的解就是原方程的解。 【探究】 操作·思考： （1）解下列方程：x2-4=0，（x+1）2-25=0，x2+2x-3=0，x2+6x-8=0吗？ 师生活动：教师可让学生独立求解，灵活使用各种方法。 预设： 解：方程x2-4=0可变形为（x–2）（x+2）=0。 x–2=0或x+2=0。 ∴x1=2，x2=–2。 方程（x+1）2-25=0可变形为（x+1+5）（x+1-5）=0， （x+6）（x–4）=0。 x–4=0或x+6=0。 ∴x1=4，x2=–6。 方程x2+2x-3=0移项、配方，得x2+2x+1=3+1 （x+1）2=4， x+1=±2. 所以x1=1，x2=-3. 方程x2+6x-8=0移项、配方，得x2+6x+9=8+9 （x+3）2=17，， ，。 （2）你用了哪些方法求解（1）中的方程？ 师生活动：小组交流展示，师生共同评议。 回顾·反思： 回顾一元二次方程的各种解法，你对它们的共性及各自的特点有什么理解？ 师生活动：小组交流讨论，总结各个解法的特点，师生共同评议。 预设：它们的共性：都是围绕“降次”核心，通过恒等变形将二次方程转化为一次方程进行求解。 直接开平方法：只适用于形如（mx-n）2=p（p≥0）的方程，最快但受限制. 配方法：最基础的方法，但求解一次项系数不是偶数的方程，比较复杂. 因式分解法：最巧妙、高效，但只适用于能够因式分解的方程. 公式法：最万能、程序化，可以求解所有方程. 通过独立思考,小组协作交流,力求使学生根据方程的具体特征,灵活选取适当的解法。在操作活动过程中,培养学生积极的情感,态度，提高学生自主学习和思考的能力,让学生尽可能自己探索新知,教师要关注每一位学生的参与情况。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。 总结归纳用因式分解法解一元二次方程的步骤，培养学生的概括能力。 通过让学生独立求解不同类型的一元二次方程，引导他们在实践中对比因式分解、直接开平方和配方法的适用条件，从而培养根据方程特征灵活选择最优解法的能力。
3.学以致用，应用新知 考点1 用因式分解法解一元二次方程 例1 方程（x-2）2=2x（x-2）的解是（ ） A. x1=2，x2=1 B. x1=2，x2=-2 C. x1=2，x2=0 D. x1=2，x2=-1 答案：B 变式训练 方程x2-8x+7=0的解是_______。 答案：x1=1，x2=7 考点2 用合适的方法解一元二次方程 例2 解下列方程： （1）x2-6x+2=0； （2）x2+4x-5=0； （3）x（x-4）=2-8x； （4）2x2+3x-4=0。 解：（1）移项，得x2-6x=-2。 配方，得x2-6x+9=-2+9， 即（x-3）2=7。 两边开平方，得x-3=±， 即x-3=，或x-3=-。 ∴x1=3+，x2=3-。 （2）因式分解，得（x+5）（x-1）=0。 x+5=0，或x-1=0。 ∴x1=-5，x2=1。 （3）整理，得x2+4x=2。 配方，得x2+4x+4=2+4， 即（x+2）2=6。 两边开平方，得x+2=±， 即x+2=，x+2=-。 ∴x1=-2+，x2=-2-。 （4）将原方程化为一般形式，得2x2+3x-4=0。 这里a=2，b=3，c=-4。 ∵b2-4ac=32-4×2×（-4）=41>0， ∴x==， 即x1=，x2=。 通过例题讲解，巩固学生用因式分解法解一元二次方程，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题讲解，培养学生能用合适的方法解一元二次方程。
4.随堂训练，巩固新知 1. 我们解一元二次方程3x2-6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x-2）=0，从而得到一元一次方程3x=0或x-2=0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2。这种解法体现的数学思想是（ ） A. 转化思想 B. 函数思想 C. 数形结合思想 D. 公里化思想 答案：A 2. 用因式分解法解方程，下列过程正确的是（ ） A. （2x-3）（3x-4）=0化为2x-3=0或3x-4=0 B. （x+3）（x-1）=1化为x+3=1或x-1＝1 C. （x-2）（x-3）=2×3化为x-2=2或x-3=3 D. x（x+2）=0化为x+2=0 答案：A 3. 方程（x-2）（x+1）=x-2 的解是（ ） A. x=0 B. x=2 C. x=2或x=-1 D. x=2或x=0 答案：D 4. 已知等腰三角形的两边的长分别是一元二次方程x2-6x+8=0的两根，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4 答案：A 5. 若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2-10x+24=0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ） A. 16 B. 24 C.16或24 D. 48 答案：B 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 师生互相交流总结 1.用因式分解法解一元二次方程的基本思路和关键是什么？ 2.在应用因式分解法时，应注意什么问题？ 3.因式分解法体现了怎样的数学思想？ 4.如何选择适当的方法解一元二次方程？ 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P45习题2.2中的T3、T4。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第4节 用因式分解法求解一元二次方程 一、因式分解法的概念 二、用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 三、选择合适的方法解一元二次方程 提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课探究解一元二次方程的一种特殊、简便的方法——因式分解法，通过学生小组讨论，归纳总结探究，掌握其基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用因式分解法，在整个教学过程中注意降次转化思想的渗透。 反思，更进一步提升。

展开更多......

收起↑