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第五章 分式与分式方程
3 分式方程
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（下册）第五章“分式与分式方程”的第3节第2课时。学生学习分式方程需经历概念建构、解法探究与实际应用这一完整过程，这一过程是在学生已掌握一元一次方程、二元一次方程（组）的基础上，对方程学习的进一步深化。分式方程的解法不仅是方程的基础知识，更是方程内容体系的延续与发展。
在第1课时，学生通过对实际问题的分析，已初步感受分式方程是刻画现实世界的有效数学模型。本课时旨在引导学生经历分式方程解法的探索过程，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会数学中转化思想的价值。通过本节课的学习，学生将进一步构建并完善与方程相关的知识结构，提高运算能力，为后续运用分式方程解决实际问题提供必要的数学基础。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：学生已初步了解分式方程的概念及其“解”的含义，掌握了分式的基本性质、最简公分母的确定方法，并能运用等式的性质解一元一次方程，以及通过消元法将二元一次方程（组）转化为一元一次方程进行求解。这些知识储备和能力基础，有助于学生通过观察、类比等方式探索分式方程的解法，并理解解题步骤的数学依据。
学生活动经验基础：本节课主要采用观察、类比、讨论的学习方式，学生对这些学习方式较为熟悉。此前，学生已经历将二元一次方程（组）转化为一元一次方程的学习过程，积累了一定的方程转化与化归的思维经验，这为本节课探索分式方程的解法奠定了方法基础。
三、教学目标
1.掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，了解增根的概念及产生的原因，并能对分式方程的根进行检验。
2.经历将分式方程转化为整式方程的过程，感悟数学中的转化思想。
3.通过讨论分式方程增根现象，养成对求解过程进行反思和检验的良好习惯，体会严谨的数学态度。
教学重点：掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，感悟其中蕴含的转化思想。
教学难点：探讨分式方程增根产生的原因，认识对方程的根进行检验的必要性。
四、教学过程设计
【第一环节】知识回顾，结构关联
1.活动内容
（1）想一想，我们是如何解一元一次方程和二元一次方程（组）的？
（2）二元一次方程（组）与一元一次方程有什么联系？
2.活动目的
回顾已有的方程求解经验，复习解一元一次方程的程序性算法步骤：“去分母”“去括号”“移项”“合并同类项”“系数化为1”，以及解二元一次方程组的两种主要方法——加减消元法与代入消元法，明晰解二元一次方程组的本质是将其转化为一元一次方程。通过构建前后知识的联系，引导学生运用类比的方法研究新知识，形成对方程解法的研究思路，为分式方程和后续一元二次方程的学习做好铺垫，从而实现知识的整体建构。
3.注意事项
在教学中，教师应给予学生充分的思考时间。必要时，可为学生提供解含有分数的一元一次方程、二元一次方程组的实例。
【第二环节】新知引入，自主探究
（一）尝试解题，归纳特点
1.活动内容
你能设法求出上一节课列出的分式方程的解吗？你有几种不同的解法？思考并交流：这些解法的共同点是什么？
2.活动目的
沿用由上节课的实际问题列出的分式方程作为本节课的起点，并解决上节课“尝试·思考”环节留下的问题。这样设计既实现了知识的自然衔接，也体现了分式方程在解决实际问题中的应用价值。教学中，可先让学生根据已有经验自主探索解分式方程的不同方法。通过对比引导学生发现所有的求解方法本质都是通过“去分母”将分式方程转化为整式方程进行求解。进而明确，利用等式的基本性质进行去分母这一方法更具一般性。分式方程的求解过程和思考问题既突出了分式方程在解法上的特点及其算理，又反映了分式方程与整式方程在解法上的内在联系。在此阶段，暂不引入“增根”的概念和检验步骤。
3.注意事项
鼓励学生自主求解方程，关注解法的多样性，并组织学生展示不同方法，进而总结各种解法的共性。学生可能会有以下几种解法。
方法一：方程的两边都乘2x，得。解这个方程，得。
方法二：方程的两边都乘2，得。解这个方程，得。
方法三：方程的两边都乘x，得。解这个方程，得。
方法四：方程左边通分，得。化简，得。解这个方程，得。
对于以上解法，如果学生未能全部呈现，教师不必逐一补充讲解。重点在于引导学生说明已有解法的算理。
（二）例题解析，把握重点
1.活动内容
例1 解方程：。
解：因为分式中分母不能为零，
所以x≠2，且x≠0。
方程的两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2)。
解这个方程，得x＝3。
检验：将x＝3代入原方程，得
左边＝1，右边＝1，左边＝右边。
所以，x＝3是原方程的根。
思考：（1）如何把分式方程转化为整式方程？
（2）如何去分母？
（3）去分母的依据是什么？
2.活动目的
经过前一环节，学生对解分式方程已有初步的认识。在例题讲解中，应重点展示解分式方程的一般步骤与规范格式。教学时，需引导学生在解方程的每一步操作中说明其背后的算理，从而强化代数推理意识，掌握代数推理的基本方法，帮助学生对解分式方程有全面的理解。以问题串的形式引导学生逐步深入思考，体会解分式方程中蕴含的转化思想，即利用等式的性质2，在方程两边同时乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程进行求解。
3.注意事项
在例题教学中，验根的必要性不是教学重点，不必做过多解释。如果有学生在解题过程中提出这一问题，教师可先予以肯定和鼓励，待后续教学中出现增根之后再做解释。
（三）合作交流，突破难点
1.活动内容
尝试·交流
你会解吗？小亮的解法如下。
就本题思考、讨论下列问题：
（1）你认为x＝2是原方程的根吗？与同伴进行交流。
（2）你认为方程有解吗？
（3）“增根”产生的原因是什么？
2.活动目的
让学生尝试解方程，并围绕上述三个问题进行思考与讨论。从而理解分式方程产生增根的原因，体会检验的必要性，并完善解分式方程的一般步骤。
3.注意事项
在解分式方程的过程中，学生容易忽视两个分母互为相反数的情况，此时直接去分母是易错点。教学中可提示学生先观察分母特征，若发现分母互为相反数，可先将其中一个分母化为另一个分母的相同形式。
（四）完善步骤，总结验根
1.活动内容
解方程。
解：将原方程变形为。
方程的两边都乘(x－2)，得
1－x＝－1－2(x－2)。
解这个方程，得x＝2。
经检验，x＝2是原方程的增根。
所以原方程无解。
2.活动目的
因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程时，验根是必要的步骤。在例题教学中，需完整展示检验的步骤与规范书写格式，并引导学生总结验根的方法。
3.注意事项
对比例1，给予学生充分的思考时间，由学生总结验根的两种方法：
（1）把解直接代入原方程进行检验；
（2）把解代入分式的最简公分母，看最简公分母的值是否等于零；若等于零，即为增根。（最简方法）
方法一：
例1 解方程：。
解：方程的两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2)。
解这个方程，得x＝3。
检验：将x＝3代入原方程，得左边＝1，右边＝1，左边＝右边。
所以，x＝3是原方程的根。
方法二：
例1 解方程：。
方程的两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2)。
解这个方程，得x＝3。
经检验，x＝3是原方程的根。
【第三环节】揭示本质，归纳总结
1.活动内容
思考·交流
你是怎样解分式方程的？解分式方程应注意什么？与同伴进行交流。
2.活动目的
归纳解分式方程的一般步骤，有助于学生对新知的理解与巩固。通过引导学生回顾与反思本节课所学内容，强化学生对分式方程解法的掌握，发展学生的观察能力与总结归纳能力。
3.注意事项
学生在解分式方程过程中容易出现的典型错误包括：（1）解方程后忘记检验；（2）去分母时，当分子为多项式时忘记加括号；（3）去分母时漏乘不含分母的项。
教师应及时引导学生概括、总结解分式方程的基本过程与方法，以下结构图可供参考。
【第四环节】随堂练习，学以致用
1.活动内容
解方程：。
2.活动目的
通过学生的反馈练习，教师可以全面了解其对解分式方程的掌握情况，进而为后续的针对性指导提供依据。
3.注意事项
引导学生注重解题过程的规范书写，不要忘记验根环节，规范解答如下。
解方程：。
解：方程的两边都乘x(x＋20)， 得
4 800(x＋20)＝5 000x。
解这个方程，得x＝480。
经检验，x＝480是原方程的根。
【第五环节】归纳总结，明晰结构
1.活动内容
（1）通过本节课的探究，请从知识和方法两个层面谈谈你的收获。
（2）类比一元一次方程的研究思路，接下来我们还将研究分式方程的哪些内容？
2.活动目的
以问题为载体展开梳理，引导学生回顾本节课所学的知识与方法，进一步明确研究方程的一般路径，并深化对“类比”这一数学思想的理解。
3.注意事项
在课堂互动中，若学生的回答不够全面，教师应通过追问或提示进行引导，并鼓励学生之间互相补充与完善。
【第六环节】布置作业，巩固新知
1.活动内容
（1）填空：
①解方程，去分母时，方程两边都乘（ ）；
②解方程，去分母时，方程两边都乘（ ）；
③解方程，去分母时，方程两边都乘（ ）。
（2）解方程：
①； ②； ③。
五、教学设计反思
1.教学设计的亮点
教材为教师提供最基本的教学素材，教师可根据学生的实际学习情况进行适当调整。在“尝试解题，归纳特点”环节，教师需注重归纳不同解法的共同点，提炼出其中蕴含的转化思想。在“合作交流，突破难点”环节，学生解方程时，可通过问题串进行引导，从数学知识内部出发，寻找学生的最近发展区和认知的生长点。
2.注意改进的方面
组织小组讨论之前，应给予学生充分的独立思考时间，避免思维活跃的学生回答代替其他学生的思考，掩盖了部分学生的疑问。
教学中应鼓励学生提出多种解法，并引导学生对比不同解法的优缺点，思考“你更喜欢哪种解法？为什么？”从而强化方法的多样性与优化意识。教学过程中应注重引导学生理解，无论是一元一次方程还是分式方程，其最终求解目标都是转化为x＝a的形式，帮助学生形成整体、联系、系统的知识观。
3.可能的课堂生成与应对
在“尝试解题，归纳特点”和“例题解析，把握重点”环节，学生可能提出多种不同解法。此时，教师应及时追问每一步运算的算理依据，强调所有的运算都必须以相关的概念、公式、法则及运算律为基础，帮助学生发展代数推理能力。
当学生解题出现错误时，教师不宜直接指出错误，而应引导学生自查或通过生生互查发现问题并尝试修正，从而培养学生的自我反思与纠错能力。
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