资源简介

一、教学目标
1.经历去括号化简方程的探究过程，理解去括号法则的推导依据为乘法分配律，熟练掌握方程去括号的操作规范，能正确对方程中的括号进行化简变形．
2.能规范运用去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的步骤求解带括号的一元一次方程，能从用电总量、航行路程这类实际情境中提炼等量关系，设未知数列带括号的一元一次方程解决实际问题．
3.体会将带括号方程转化为熟悉的简易方程的化归思想，提升代数式化简运算能力和从实际问题中构建方程模型的推理分析能力．
二、教学重点及难点
重点：依据乘法分配律正确运用去括号法则化简方程，掌握带括号—元一次方程的完整求解步骤，能结合实际情境列带括号的一元一次方程解题．
难点：处理括号前是负系数的去括号易错情况，精准从复杂实际情境中找准等量关系建立方程模型，灵活解决相关综合应用问题．
三、教学过程
【知识回顾】
教师提问：之前我们解一元一次方程用到了哪几步变形？移项的核心规则是什么？
学生回忆作答：移项、合并同类项、系数化为 1；移项要变号．
教师：通过上节课的学习，我们已经能够利用移项、合并同类项解决形式更为复杂的方程．例如：3x+5=2 2x，2x+2.5= 2.5 2x 等．
这类方程在移项、合并同类项之后就可以化系数为 1．
但例如 7x+5(x+1)=2 3x，这类方程即便移项后，也不能彻底合并同类项，我们如何求这类方程的解？
【学生活动】思考带括号方程的化简难点，明确本节课学习方向．
教师引出本节课学习内容——用去括号解一元一次方程．
设计意图：依托已学移项解方程知识设置认知延伸点，引出括号带来的新化简需求，搭建新旧知识衔接桥梁．
【探究新知】
探究：利用去括号解方程.
教师出示问题 3：
某工厂采取节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少 2000 kWh（千瓦时），全年的用电量是 150000 kWh．这个工厂去年上半年平均每月的用电量是多少？
注：一台功率为 1 kW的电器 1 h 的用电量是 1 kWh．
递进提问：① 如何合理设未知数？上半年、下半年各自每月用电量怎么表示？
② 上半年、下半年各有几个月？两段时间用电量分别怎么列式？
③ 题目给出全年总用电量，对应的等量关系是什么？能列出怎样的方程？
【学生活动】学生设元列式后板书：设上半年月均用电 x kWh，下半年月均 (x 2000) kWh；
上半年用电6x，下半年用电 6(x 2000)，列方程 6x+(x 2000) =150000．
教师设问引导：这个方程带有括号，第一步该做什么变形？
提示教材批注：当方程中有带括号的式子时，去括号是常用的化简步骤．带领学生依据去括号法则完成去括号操作．
分步推进解方程：去括号→移项→合并同类项→系数化为 1，每一步向学生追问变形依据，最终算出 x=13500，让学生口头完整作答应用题结论．
【学生活动】独立审题设未知数，根据半年 6 个月的时间条件写出上下半年用电量代数式，依据全年用电量之和列方程．
跟随老师完成去括号变形，回忆整式去括号法则，依次完成后续移项、合并同类项、系数化运算，核对最终结果，规范写出应用题答语．
答案预设：
解：设去年上半年平均每月的用电量是 ，则下半年平均每月的用电量是 ；上半年的用电量是 ，下半年的用电量是 ．
根据全年的用电量是 ，列得方程
去括号
移项
合并同类项
系数化为 1
由上可知，这个工厂去年上半年平均每月的用电量是 13500 kWh．
设计意图：从生活节能用电场景建立含括号的方程模型，让学生完整经历应用题解题全流程；首次引入解方程的去括号步骤，明确去括号的使用场景，衔接整式加减旧知．
【课堂互动】
教师：一元一次方程去括号有什么样的规律？说说你的理由．
先引导学生思考：方程的左右两边本质都是整式，所以方程去括号可以直接沿用整式加减的去括号规则．
分情况探究规律
教师提问：括号前是“+”号，去掉括号和前面的正号，括号里的项符号会怎么变？
学生回答：括号内各项符号保持不变，+a还是a， b 还是 b．
教师补充理由：依据乘法分配律，乘数为正，不改变括号内各项符号．
教师提问：括号前是“ ”号，去掉括号和前面的负号，括号内项要做什么变化？
学生回答：括号里每一项都要改变符号，a变 a， b 变 +b．
教师补充理由：依据乘法分配律，乘数为 1，括号内所有项都要翻转正负号．
教师总结：+(a b)= a b； (a b)= a+b．
【典型例题】
例 5 解下列方程：
（1）；
（2）．
教师提问：两道题括号前分别是负系数，去括号时要重点注意什么？请两位学生上台板演，分别完成两道题．
学生：独立完成两道方程求解，上台展示解题步骤，规范书写每一步变形．
教师针对板演内容点评：重点纠正括号前负号去括号时漏变号的错误，逐题梳理完整流程．
解：（1）去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为 1，得
（2）去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为 1，得
设计意图：设置两类括号前带负号的典型题型，强化去括号变号规则的运用，固化带括号方程的标准化解题步骤，突破符号运算高频易错点．
例6 一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了 2 h；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了 2.5h．已知水流的速度是 3 km/h，求船在静水中的平均速度．
教师点拨：一般情况下，可以认为这艘船往返的路程相等．根据这个相等关系，可以列方程求出船在静水中的平均速度．
解：设船在静水中的平均速度为 ，则顺水速度为 ，逆水速度为 ．
根据往返路程相等，列得方程
去括号，得
移项及合并同类项，得
系数化为 1，得
答：船在静水中的平均速度为 ．
教师拓展：顺水、逆水问题中的相等关系
顺流速度×顺流时间 = 逆流速度×逆流时间
顺流速度 = 静水速度 + 水流速度
逆流速度 = 静水速度 水流速度
设计意图：拓展行程类应用场景，强化 “不变量建立等量关系” 的建模方法，综合运用去括号全套解方程流程，拓宽方程应用范围．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知．
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.去括号解方程依据：整式去括号法则，括号前是负因数时，去括号后括号内各项要全部改变符号，这是化简含括号一元一次方程的首要步骤．
2.带括号一元一次方程运算步骤：先依据去括号法则去掉方程中的括号，再进行移项操作（移项必须变号），接着合并同类项，最后系数化为 1，把方程转化为 x=m 的最简形式．一、教学目标
1.经历解一元一次方程步骤的探究过程，理解移项、合并同类项变形的依据（等式性质与合并同类项法则），掌握移项、合并同类项、系数化为 1 的解方程操作流程．
2.能规范运用移项、合并同类项等步骤求解一元一次方程，能识别＂各分量之和等于总量＂＂同一总量的两种不同表达式相等＂两类等量关系，据此列出一元一次方程解决简单实际问题．
3.体会化归的代数思想，将复杂一元一次方程逐步转化为 x=a 的最简形式，提升代数运算与从实际问题中提取等量关系的推理分析能力．
二、教学重点及难点
重点：掌握移项、合并同类项、系数化为 1 的解方程方法，能根据两类核心等量关系列一元一次方程并规范求解．
难点：理解移项要变号的原理，准确从实际情境中挖掘等量关系列方程，灵活运用变形步骤处理稍复杂的一元一次方程．
三、教学过程
【新知导入】
教师提问：同学们想一想，上节课我们是怎么用等式的性质来解方程的？
学生：解以 x 为未知数的方程，就是把方程逐步化为x=a（常数）的形式，等式的性质是转化的重要依据．
教师导语：我们已经知道，直接利用等式的性质可以解简单的方程．本节我们将结合方程的具体特点，继续研究如何解一元一次方程．
本节课我们结合方程特征，学习新的化简手段，继续研究一元一次方程的解法．
教师提问：如果一个方程里同时出现 x、2x、4x 这样多个含x的项，能不能进行化简？
学生思考发言：可以把含相同未知数的项合并在一起，简化式子．
设计意图：依托旧知等式性质解方程设置认知铺垫，引出本节课合并同类项化简方程的必要性，自然衔接新课内容，激活学生已有整式加减知识储备．
【探究新知】
探究：利用合并同类项解方程.
教师出示问题 1：某校三年共购买计算机 140 台，去年购买的数量是前年的 2 倍，今年购买的数量又是去年的 2 倍．前年这所学校购买了多少台计算机？
教师提问 1：题目中有哪些未知量？它们之间有怎样的倍数关系？
【学生活动】独立审题后举手回答，设前年购买计算机x台，可推出去年2x台、今年4x台．
教师提问 2：题目给出的总量条件是什么？能提炼出怎样的等量关系？
学生小组讨论后汇报：等量关系为前年购买量 + 去年购买量 + 今年购买量 = 140，
教师板书提示：“各分量的和 = 总量” 是基础等量关系．
教师追问：根据这个等量关系可以列出怎样的方程？
学生：列出方程 x+2x+4x=140．
答案预设：
解：设前年购买计算机 台，则去年购买计算机 台，今年购买计算机 台．根据＂三年共购买计算机 140 台＂，可以得到如下相等关系：
前年购买量 + 去年购买量 + 今年购买量 ．
列得方程 ．
把含有 的项合并同类项，得 ．
系数化为 1，得 ．
因此，前年这所学校购买了 20 台计算机．
教师布置任务：请你自己检验 是方程 x+2x+4x=140 的解．
【学生活动】学生代入原方程验算，确认结果成立，写出检验具体过程．
检验：将 ，代入 的左边，则
左边 ，右边 ，
左边 右边，所以 是原方程的解．
教师总结：解方程中＂合并同类项＂的作用
解方程中合并同类项起了化简作用，即把含有未知数的项合并，从而把方程转化为 ax=b，使其更接近 x=m 的形式（其中 a，b 是常数）．
依据：等式的性质 2．
设计意图：以生活实例建立方程模型，让学生完整经历 “审题—设元—找等量—列方程—解方程—检验作答”应用题解题流程；直观感受合并同类项化简方程的优势，理解“分量和=总量”典型等量关系，落实建模思想．
教师拓展用合并同类项解一元一次方程的步骤：
第一步：合并同类项，将等号同侧的含未知数的项、常数项分别合并，方程转化为ax=b(a≠0)的形式．
第二步：系数化为 1，即在方程两边同时除以未知数的系数（或乘未知数系数的倒数），将未知数的系数化为1，得到 ．
注：计算时必须带上每项的正负号．
【典型例题】
例 1 解下列方程：
（2）．
解：（1）合并同类项，得
系数化为 1，得
（2）合并同类项，得
系数化为 1，得
设计意图：设置分数系数、小数系数两类易错题型，巩固合并同类项运算能力；明确合并同类项化简方程的核心功能，规范解方程书写格式，厘清两步解题逻辑，突破系数合并计算易错点．
例 2 有一列数 1， 3，9， 27，81， 243， ，其中第 n 个数是 ( 3)n 1（n>1），如果这列数中某三个相邻数的和是 1701，那么这三个数各是多少？
教师点拨：从符号和绝对值两方面观察，
数字规律：后一个数 = 3 × 前一个数．
某个前面数 + 某个中间数 + 某个后面数 = 1701．
解：设所求三个数中的第 1 个数是 ，则后两个数分别是 ．
由三个数的和是 ，得
合并同类项，得
系数化为 1，得
所以
答：这三个数分别是 ．
设计意图：在基础解方程之上拓展规律型应用，锻炼观察归纳、设元列式能力；进一步巩固合并同类项解方程方法，拓宽方程应用场景，提升学生综合分析问题能力．
【探究新知】
探究：利用移项解方程.
教师出示问题2：把一批图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则缺 25 本．这个班有多少名学生？
教师点拨：这批书的总数有几种表示方法？它们之间有什么关系？
【学生活动】小组讨论后，板书两种表达式：、，点明核心等量：表示同一个量的两个式子相等．
答案预设：
设这个班有 名学生．
每人分 3 本，共分出 本，加上剩余的 20 本，这批书共 本．
每人分 4 本，需要 本，减去缺的 25 本，这批书共 本．
这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等，根据这一相等关系列得方程
教师：＂表示同一个量的两个不同的式子相等＂，是一个基本的相等关系．
教师出示思考问题：方程 的两边都有含 的项（ 与 ）和不含字母的常数项（20与 ），怎样才能把它转化为 （常数）的形式呢？
引导回顾：等式性质 1 的内容是什么？想要消去右侧4x、左侧常数 20，该在等式两边同时做什么运算？
带领学生分步推导：依据等式性质 1，方程两边同时减4x消去右侧含x项，两边同时减20消去左侧常数项，板书得到变形后的方程 3x 4x = 25 20．
标注两处变形的效果：方程右边没有含x的项、方程左边没有常数项．
【学生活动】回忆等式性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，构思消去两侧不同类型项的操作方法．
跟随老师完成等式两边同步减法运算，理解每一步操作的目的：把未知数项集中到左边、常数项集中到右边．
在草稿纸上复刻变形过程，明确两次减法分别达成的化简效果．
设计意图：从已有等式性质旧知出发推导变形，不让学生生硬记忆移项规则；清晰展示“分两次消项”的操作逻辑，为后续提炼移项规律做好铺垫，实现新旧知识自然衔接．
教师抛出对比探究问题：把变形后的 3x 4x = 25 20 和原方程 对照观察，项发生了怎样的位置与符号变化？
设问引导：某项从等式一边移到另一边时，符号有什么变化？
用红、蓝框标注移动的项：左边 +20 移到右边变为 20，右边4x移到左边变为 4x，邀请多名学生复述符号变化规律．
【学生活动】小组讨论观察两个方程的项的位置、符号差异，举手汇报发现：从一边挪到另一边的项，正负号会翻转．
规范总结：跨等式左右移动的项，符号必须改变，同侧挪动的项不需要变号，纠正学生“一动就变号”的片面误区．
教师讲解移项的概念：
像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项．
移项的依据：移项的依据是等式的性质 1 ，移项的作用是将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边，使方程更接近 x=m 的形式．
设计意图：完成从操作现象到数学概念的升华，明确移项的理论根基和化简目的，让学生做到知其形、更知其理，形成严谨的代数变形思维．
【课堂互动】
教师：下面，我们继续解这个方程 3x 4x = 25 20．
带领分步推进：第一步合并同类项得到 x= 45；
第二步依据等式性质 2 系数化为 1，得到 x=45，回归应用题给出班级人数结论．
再次抛出思考：这一整个解方程过程里，移项起到了什么作用？
【学生活动】独立完成后续合并同类项、系数化为 1 的运算，核对最终结果．
口述移项在整体流程里的前置化简作用，完整复述移项解方程的三步规范步骤．
教师板书总结：移项使方程更接近于 x=m 的形式．
梳理完整解题链条：移项→合并同类项→系数化为 1，强调三步的先后顺序与各自功能．
设计意图：闭环完成整道例题求解，让学生看清移项在完整解法里的前置价值；固化标准化解题步骤，把移项知识落地到实操运算中，同时呼应课前转化为 x=m 的总目标．
【典型例题】
例 3 解下列方程：
解：（1）移项，得
合并同类项，得
系数化为 1，得
（2）移项，得
合并同类项，得
系数化为 1，得
例 4 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多 200 t；如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少 100 t．新、旧工艺的废水排量之比为 2:5，采用两种工艺的废水排量各是多少吨？
教师点拨：因为采用新、旧工艺的废水排量之比为2:5，所以可设它们分别为 2x t 和 5x t，再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程．
解：设采用新、旧工艺的废水排量分别为 和 ．
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为 1，得
所以
答：采用新、旧工艺的废水排量分别为 200 t 和 500 t．
教师提问：等式两边代表哪个数量？
学生回答：等式两边代表的是环保限制的最大废水排放量．
设计意图：例 3 通过整数、分数系数两类方程，巩固移项→合并同类项→系数化为 1的标准化解题流程，强化移项变号的操作规范；例 4 结合比例关系设元、依托同一环保限量建立等量方程，拓展移项法在比例型实际问题中的应用．
教师拓展
溯源：约 820 年，阿拉伯数学家花拉子米著有《代数学》（又称《还原与对消计算概要》），其中，＂还原＂指的是＂移项＂，＂对消＂隐含着移项后合并同类项．我国古代数学著作《九章算术》的＂方程＂章，更早使用了＂对消＂和＂还原＂的方法．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知．
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.合并同类项解方程：利用整式同类项合并法则，把方程一侧多个含未知数的项整合为单项，将复杂方程简化成 ax=b (a≠0) 形式，实现方程化简，方便后续求解．
2.移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项．
3.移项的依据：移项的依据是等式的性质 1，移项的作用是将含有未知数的项移到方程的一边，将常数项移到方程的另一边，使方程更接近 x=m 的形式．一、教学目标
1.经历含分母一元一次方程的化简求解探究过程，理解去分母操作的依据是等式的性质，掌握去分母解一元一次方程的方法，熟记解一元一次方程的完整规范步骤．
2.能系统运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的流程求解含分母的一元一次方程，能分析实际问题里的等量关系，列出一元一次方程并完成求解．
3.体会把含分母的复杂方程转化为整式方程的化归思想，提升代数运算准确性与从实际情境构建方程模型的分析推理能力．
二、教学重点及难点
重点：掌握去分母解一元一次方程的操作方法，熟练运用完整步骤解一元一次方程，能分析实际问题等量关系列方程并求解．
难点：规避去分母时漏乘不含分母项、分子未加括号这类易错点，灵活处理分母含小数的方程变形，结合复杂实际情境准确建立方程解决综合问题．
三、教学过程
【新知导入】
教师提问：前两节课我们学习了带括号一元一次方程的解法，完整步骤是什么？遇到未知数系数是分数的方程，直接计算有什么不便？
学生作答：步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为 1；分数系数通分计算繁琐，容易出错．
师引出课题：今天我们学习去分母的方法，把分数系数方程转化为整数系数方程，简化计算．
设计意图：依托旧解法设置新的运算难点，自然引出去分母的学习必要性．
【探究新知】
探究：利用去分母解方程.
教师出示问题 4：如图，翠湖在青山、绿水两地之间，距青山 50 km，距绿水 70 km．某天，一辆汽车匀速行驶，途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表所示．王家庄距翠湖的路程有多远？
地名 王家庄 青山 绿水
时间 10：00 13：00 15：00
教师提问 1：设王家庄距翠湖路程为 ，王家庄到青山、王家庄到绿水的路程分别怎么表示？
学生作答：到青山 ，到绿水 ．
教师：由表可知，
汽车从王家庄到青山的行驶时间为 3 h，从王家庄到绿水的行驶时间为 5 h．
根据汽车在各段的行驶速度相等，列得方程
本题中，各段路程速度相等是列方程的关键等量关系．
提问：你还能列得其他方程吗？
引导学生从青山到绿水段速度相等尝试列式拓展思路．
【学生活动】设王家庄距翠湖的路程为 y km，观察青山到绿水路程、时间，利用这段路程车速不变，自主列出新方程
对比前后两种方程设元、列式思路的区别．
教师：或王家庄到绿水速度等于该车速：
教师提问： 这个方程系数是分数，怎么把分母去掉简化计算？依据什么性质？
学生作答：找分母 3 和 5 的最小公倍数 15，方程两边同乘 15，依据等式性质 2．
师生同步分步解方程：
各分母的最小公倍数是 15．
①去分母得 ；②去括号得；③移项得；④合并同类项得 ；⑤系数化为 1 得 ，
因此，王家庄距翠湖的路程为 230 km．
教师讲解一元一次方程去分母的概念：
解含有分母的一元一次方程时，方程两边乘各分母的最小公倍数，从而约去分母，这个过程叫作去分母．
依据：等式的性质 2
注意 1.勿漏乘：去分母时，每一项都要乘以所有分母的最小公倍数，不带分母的项，不能漏乘．
2.加括号：分数线有括号的作用，去分母时，分子是多项式，要加括号．
设计意图：从匀速行程情境建立分数系数方程，让学生完整感知去分母的由来、操作方法与理论依据，完成应用题全流程求解．
【探究新知】
探究：解一元一次方程的步骤.
教师：为了更全面地研究问题，我们再以方程 为例，以流程图的形式展示解这类一元一次方程的步骤．
去分母：；
方程两边的每一项都要乘分母的最小公倍数 10．
去括号：；
移项：；
合并同类项：；
系数化为 1：；
师生共同归纳：解一元一次方程的一般步骤：
一般形式→去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1，逐步把方程转化为 x=m的形式．
教师提问：你能说出每个步骤的依据吗？
学生依次作答：去分母依据等式性质 2；去括号依据乘法分配律；移项依据等式性质 1；合并同类项依据合并同类项法则；系数化为 1 依据等式性质 2．
教师总结：每一步的依据和具体做法
去分母 等式的性质2 方程两边乘各分母的最小公倍数．
去括号 分配律 可以由内向外依次去括号，也可以由外向内．
移项 等式的性质 1 把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边．
合并同类项 分配律 系数相加，字母及字母的指数不变．
系数化为 1 等式的性质 2 在方程 的两边除以 （或乘 ），得到方程的解 ．
设计意图：用典型范例梳理标准化流程，明确每一步理论依据，提炼普适解法体系．
【典型例题】
例 7 解下列方程：
解：（1）去分母（方程两边乘 4），得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为 1，得
教师点拨：对于 2x+2 4=8+2 x，也可以先合并同类项，再移项．
（2）去分母（方程两边乘 6），得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为 1，得
设计意图：分梯度强化去分母操作规范，优化运算技巧，固化完整解题步骤，集中突破易错点．
四、当堂检测
通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知．
五、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.去分母解方程依据：等式性质 2，方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，给方程每一项都要乘该公倍数，消除分数系数简化运算．
2.解一元一次方程运算步骤：按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的顺序操作，也可根据式子特点灵活调整局部运算顺序，最终将方程化为 x=m 的标准形式．

展开更多......

收起↑