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第06讲 平方根（2大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 平方根概念理解
典型例题二 求一个数的算术平方根
典型例题三 利用算术平方根的非负性解题
典型例题四 估计算术平方根的取值范围
典型例题五 求一个数的平方根
典型例题六 求代数式的平方根
典型例题七 已知一个数的平方根，求这个数
典型例题八 利用平方根解方程
典型例题九 平方根的新定义运算
典型例题十 与算术平方根有关的规律探索题
典型例题十一 算术平方根的实际应用
知识点01 平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
【即时训练】
1．（2026·安徽合肥·模拟预测）若a是实数，则下列一定是非负数的是（ ）
A．a的倒数 B．a的相反数 C．a的平方根 D．a的绝对值
2．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如果，是同一个正数的两个平方根，那么________．
知识点02 平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
【即时训练】
1．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级下·福建南平·期中）已知，则≈______．
【典型例题一 平方根概念理解】
【例1】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若有平方根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）5的平方根是__________．
【例4】 （25-26八年级上·吉林长春·期中）若是2026的两个平方根（），则的值为___________．
1．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）正数的平方根是和，求的值．
2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知数有平方根．
(1)求x的取值范围；
(2)数A的两个不同的平方根是和，求A的值．
3．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）某数学小组提出了一个问题：一个实数的算术平方根为，平方根为，求这个实数．小红的解答过程如下图所示．老师看后说小红的答案是错误的，你知道小红错在哪里吗？请写出正确的解答过程．
解：一个实数的算术平方根为， 平方根为， 或． ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个实数为16或4．
【典型例题二 求一个数的算术平方根】
【例1】（25-26八年级下·贵州遵义·期中）计算的结果是（ ）
A． B．2 C． D．4
【例2】（25-26八年级上·江苏常州·期中）25的算术平方根是（ ）
A． B．5 C． D．
【例3】 （25-26七年级下·重庆·期中）的算术平方根为______．
【例4】（25-26七年级下·重庆·期中）设为正数，已知，当很小（此处约定）时，，所以，于是．利用可以求某些数的算术平方根的近似值，如．计算的近似值为____．（结果精确度到）
1．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，如1，4，9，16，25，…均为完全平方数．
(1)请你写出一个大于100的完全平方数，并求出它的算术平方根；
(2)是完全平方数吗？若是，请写出它的算术平方根；若不是，请说明理由．
2．（25-26七年级下·江西·阶段检测）根据下表回答下列问题：
x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9
x 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01
(1)_______，__________，__________
(2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）；
(3)若，则满足条件的整数n有__________个．
3．（25-26七年级下·河北沧州·期中）先填写表格，通过观察后再回答问题．
0 0.0001 0.01 1 100 10000 …
0 0.01 1 100 …
(1)表格中________，________；
(2)从表格中探究与数位的规律：当被开方数每扩大100倍时，扩大________倍，利用这个规律解决下面两个问题．
①已知，，则________；
②已知，，用含的式子表示．
【典型例题三 利用算术平方根的非负性解题】
【例1】（25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【例2】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）已知，则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【例3】（25-26八年级下·北京大兴·期中）若，则的值是_____．
【例4】（25-26八年级上·上海·期中）已知，则________．
1．（25-26八年级下·全国·单元复习）已知与互为相反数，求的值．
2．（24-25七年级下·云南大理·期中）探究题：根据计算结果回答
(1)计算： ； ；
； ； ．
(2)一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请用数学语言描述出来；
(3)利用（2）题总结的规律计算：
利用你总结的规律计算，当时，的值．
3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）【课本再现】
一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为．0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数．
【探究新知】
(1)若，则的取值范围是__________．
【知识应用】
(2)若，求的值．
【拓展应用】
(3)若，求的值．
【典型例题四 估计算术平方根的取值范围】
【例1】（25-26八年级上·重庆万州·期中）估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3间 D．3和4之间
【例2】（24-25八年级上·山西太原·期中）观察表格中的数据：
32 33 34 35 36 37 38
1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444
由表格中的数据可知（ ）
A．在3.4～3.5之间 B．在之间
C．在35～36之间 D．在0.35～0.36之间
【例3】（2025·吉林·模拟预测）已知一个正方形的面积为24，那么与它的边长最接近的整数是__________．
【例4】（25-26八年级上·江苏南京·期中）利用表格中的数据计算的近似值是________（结果保留整数）．
a a2
17 289 4.12
18 324 4.36
1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知一个长方形长和宽的比为，面积为．
(1)求该长方形的长与宽．
(2)如图在此长方形内沿着这条边裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为的圆．
2．（24-25七年级下·福建福州·阶段检测）某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案：
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料；
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为．
王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．
3．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存．
(1)有多大呢？完成下列问题．在教材中“有多大呢？”的探究活动，有同学是下面这样探究的．我们知道面积是的正方形边长是，且因为，，所以．设，画出示意图一．由面积公式，可得．因为值很小，所以可以忽略不计，则得到，解方程得______（保留到），即______．
(2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到）
(3)怎样画出？教材中告诉了如何画的方法，用两个面积为的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图二．可以求出大正方形的边长为．现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图三，类比图二的方法，请你在图三中用实线把它们分割，然后在图四中拼接成-一个新的大正方形．要求：在图三中画出分割线，并在正方形网格图四中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为．
【典型例题五 求一个数的平方根】
【例1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）81的平方根是（ ）
A． B．9 C． D．
【例2】（25-26八年级上·河南周口·期末）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级下·广西南宁·期中）9的平方根是__________________
【例4】（24-25八年级上·山东济南·期中）的平方根是______，的算术平方根是______
1．（24-25七年级下·辽宁铁岭·阶段检测）已知正数的两个平方根是、，且，求的平方根
2．（25-26七年级下·全国·周测）已知数有平方根．
(1)若数的平方根是它本身，求的值．
(2)若和是数的平方根，求的值．
3．（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）已知，
(1)若的值为，求的平方根．
(2)如果和是一个数的两个不相等的平方根，求这个数的算术平方根．
【典型例题六 求代数式的平方根】
【例1】（25-26八年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（ ）
A．13 B．9 C．1 D．9或1
【例2】（24-25八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则的平方根为（ ）
A．7 B． C． D．49
【例3】（25-26八年级上·河南周口·期中）若，则__________．
【例4】（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________．
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
2．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段检测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：.其中d代表苔藓的直径（单位：厘米）；t代表冰川消失后经过的时间（单位：年）.
(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；
(2)如果测得一些苔藓的直径是28厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
3．（24-25八年级下·福建莆田·阶段检测）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系_________；
(2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
【典型例题七 已知一个数的平方根，求这个数】
【例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知一个正数的平方根是和，则的值是（ ）
A．3 B．0 C．2 D．1
【例2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）一个正数m的两个不同的平方根分别是和，则a的值是__________．
【例4】（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______．
1．（24-25七年级下·安徽六安·阶段检测）一个正数x的两个不同的平方根分别是与．
(1)求x和m的值；
(2)求的平方根．
2．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）按要求解答下列各题：
(1)一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数．
(2)与都是的平方根，求的值．
3．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）在学方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为，平方根为．求这个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确．
解：这个数的算术平方根为．平方根为．
或．①
（i）当时，解得，，，∴这个数为16；②
（ii）当时，解得，，，∴这个数为4．③
综上所述，这个数为16或4．
(1)①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________；
(2)已知一个数的算术平方根是，平方根是，求这个数．
【典型例题八 利用平方根解方程】
【例1】（25-26七年级下·广西钦州·期中）若， 则x的值为（ ）．
A． B．0 C．2 D．
【例2】（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）日常生活中，很多同学发现，用电器的导线在使用过程中会发热，这是因为用电器在使用过程中，电流通过导线时会产生热量，并且满足，其中为产生的热量（单位：），为电流（单位：），为电阻（单位：），是通电时间（单位：）．如果导线的电阻为，时间导线产生的热量，则通过导线的电流为（ ）．
A． B． C． D．
【例3】（24-25七年级下·甘肃武威·阶段检测）已知：x满足，根据平方根的意义可求得_____．
【例4】（24-25七年级下·广西玉林·期中）假设存在一个数i，且它具有的性质，若，则______．
1．（25-26七年级下·西藏日喀则·期中）解方程：
(1)；
(2)．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
3．（24-25七年级下·河南信阳·期末）小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如（为常数）的这类方程．
(1)小天先尝试解了下面两个方程：
①，解得或；②，此方程无实数解．
方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数；
方程②无实数解的依据是：___________；
(2)小天进一步探究了解方程③和④：
③
解：．
或．
④．
解：或．
或．
请你参考小天的方法，解下列两个方程：
⑤；
⑥．
【典型例题九 平方根的新定义运算】
【例1】（24-25七年级下·河南信阳·期末）定义一种新运算“*” ∶ 则中x的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【例2】（25-26八年级上·上海闵行·期末）定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例3】（24-25七年级下·安徽淮南·阶段检测）定义新运算“☆”：☆，则______．
【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a*b＝，例如10*21＝＝11，则*（*2）的运算结果为 _____．
1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：．
(1)_______．
(2)求的平方根．
(3)我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算 是否也满足交换律？请说明理由．
2．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：；
(1)已知，，求，的值；
(2)在（1）的条件下，关于的不等式组恰好有2个整数解，求实数的取值范围．
(3)若对于任意不相等的实数，都成立，且，求的值．
3．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）阅读材料：
新定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数学和谐数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“数学和谐数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．
(1)请你写出与本题中不同的一组“数学和谐数”是 ．
(2)3，12，48，这三个数是“数学和谐数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”；若不是，请说出理由．
(3)已知a，64，100，这三个数是“数学和谐数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值．
【典型例题十 与算术平方根有关的规律探索题】
【例1】（25-26七年级下·云南昆明·期中）若，，则（ ）
A．38.1 B．381 C．12 D．120
【例2】（25-26七年级下·河北保定·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：根据以上规律，若，，则（ ）．
n …
…
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）若，，，则__________．
【例4】（25-26七年级下·山东济宁·期中）观察下列等式：；
；
；
……，
根据以上规律，计算______．
1．（安徽省阜阳市部分校2025～2026学年度第二学期期末检测七年级数学试题）学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，…
(1)按照此规律：
①计算：________；
②第n个式子是________；（用含n的式子表示，且n为正整数）
(2)直接写出结果：________．
2．（24-25七年级下·海南三亚·阶段检测）先填写表，通过观察后再回答问题．
(1)表格中______，______．
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，，则______；
②已知，，用含m的代数式表示n，则______．
3．（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”．
(1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由．
(2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值．
(3)写出两组含有的“组合平方数”．
【典型例题十一 算术平方根的实际应用】
【例1】（25-26七年级下·天津北辰·期中）如图，将两个面积都为3的小正方形沿对角线剪开，得到4个直角三角形，用这4个直角三角形拼成一个大正方形，这个大正方形的边长是（ ）
A． B． C．3 D．
【例2】（25-26八年级下·山西吕梁·期中）一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离（米）与时间（t）的关系为（g为重力加速度，）．物体从125米自由下落时，下落的时间为（ ）
A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒
【例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方形的面积为，则边长是_________．
【例4】（25-26八年级上·山西晋城·期中）如图，将两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，它们与一个边长为2的正方形可拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______．
1．（25-26七年级下·河南新乡·期中）物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系：在地球上约为，在月球上约为．
(1)物体从地球上离地面的高空自由下落的时间是多少？
(2)比较物体在哪里自由下落得更快？
2．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）解答下列问题：
(1)如图1，用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长；
(2)如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分是一个小正方形，求小正方形的边长；
(3)请在网格中（图3）画出长为的线段，并简单说明理由．
3．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）完成以下问题
(1)【发现问题】如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形．所得到大正方形的面积为______，大正方形的边长为______．
(2)【知识迁移】小明把长为2，宽为1的两个长方形沿对角线剪开裁剪，拼成如图2所示的一个大正方形．仿照上面的探究方法求空白部分正方形的面积及其边长x的值；
(3)【拓展延伸】为响应节约资源的号召，赵师傅将两块废弃的正方形铁片重新加工成一个面积为平方米的大正方形铁片用于制作零件．已知原来其中一块正方形铁片的边长是米，问另一块正方形铁片边长比原来拼成的大正方形铁片边长少多少米？
1．（25-26七年级下·广东潮州·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．一定没有平方根
C．非负数的平方根是非负数 D．因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负
2．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为（ ）
A． B．2或 C．4 D．2
3．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．与这个比值最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2026·江苏扬州·一模）已知，，，…，设（为正整数），则值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·河北唐山·二模）如图，由内到外依次为正方形，，，若的面积为，的面积为，则正方形的边长可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知，则______．
7．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）（1）若关于x的方程的两个根分别是与，则________．
（2）若关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个根是和，则方程的根是________．
8．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）观察下表规律：
利用规律求值：若，，________．
9．（25-26七年级下·福建福州·期中）小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表：
x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5
580.81 585.64 590.49 595.36 600.25
下面有四个推断：
①59049的平方根是；
②由表可知，介于24.2和24.3之间；
③若，且，则；
④若x满足，则满足条件的整数x共有5个．
以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号）
10．（2026·江西上饶·模拟预测）将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为25和7的正方形，则阴影部分的面积是______．
11．（25-26七年级下·广东广州·期中）若，求的平方根．
12．（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知一个正数m的两个平方根分别是与．
(1)求a的值；
(2)求的平方根；
13．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）根据下表所提供的信息解答问题．
x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21
(1)10.89的平方根是________．
(2)物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到）
14．（25-26七年级下·河北沧州·期中）某数学兴趣小组在学方根后，对和的性质展开了探究，请你参与并完成下列问题：
(1)探究的性质（a为非负数）
①计算下列各式的值：
______ ______ ______
______ ______ ______
②归纳总结：对于任意非负数等于多少？
(2)探究的性质（为任意实数）
①计算下列各式的值：
______ ______ ______
______ ______ ______
②归纳总结：对于任意实数等于多少？
15．（25-26七年级下·广东广州·期中）根据下表回答下列问题：
x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9
100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81
(1)112.36的算术平方根是_____，118.81的平方根是____；
(2)若介于10.3与10.5之间，求满足条件的正整数a；
(3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到）
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第06讲 平方根（2大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 平方根概念理解
典型例题二 求一个数的算术平方根
典型例题三 利用算术平方根的非负性解题
典型例题四 估计算术平方根的取值范围
典型例题五 求一个数的平方根
典型例题六 求代数式的平方根
典型例题七 已知一个数的平方根，求这个数
典型例题八 利用平方根解方程
典型例题九 平方根的新定义运算
典型例题十 与算术平方根有关的规律探索题
典型例题十一 算术平方根的实际应用
知识点01 平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
【即时训练】
1．（2026·安徽合肥·模拟预测）若a是实数，则下列一定是非负数的是（ ）
A．a的倒数 B．a的相反数 C．a的平方根 D．a的绝对值
【答案】D
【分析】根据实数相关概念与非负数的定义，判断是否一定满足大于等于即可．
【详解】解：A选项：当时，的倒数为负数，不符合要求；
B选项：当时，的相反数，是负数，不符合要求；
C选项：当时，实数范围内没有平方根，不符合要求；
D选项：根据绝对值的性质，对任意实数，都有，一定是非负数．
2．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如果，是同一个正数的两个平方根，那么________．
【答案】/
【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，由此求解即可．
【详解】解：由题意可知，，
解得．
知识点02 平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
【即时训练】
1．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据被开方数的小数点向左（右）移动两位，则算术平方根的小数点向左（右）移动一位求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴．
2．（25-26七年级下·福建南平·期中）已知，则≈______．
【答案】
【分析】被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点就向右（或向左）移动一位．
【详解】∵，
∴．
【典型例题一 平方根概念理解】
【例1】（25-26八年级上·陕西渭南·期中）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：，
的平方根是；
故选：C
【例2】（25-26七年级下·四川泸州·阶段检测）若有平方根，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平方根的基本性质，只有非负数才有平方根，列不等式即可求解的取值范围．
【详解】解：∵ 只有非负数才有平方根，且有平方根 ，
∴ ，
解得：．
【例3】（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）5的平方根是__________．
【答案】
【详解】根据平方根的定义，若，则称为的平方根，正数有两个平方根，且互为相反数．
因为，
所以的平方根是．
【例4】 （25-26八年级上·吉林长春·期中）若是2026的两个平方根（），则的值为___________．
【答案】
【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可求出的值．
【详解】解：，是的两个平方根，且，
与互为相反数，
．
1．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）正数的平方根是和，求的值．
【答案】
【分析】由正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可．
【详解】解：正数的平方根是和，
，
解得，
则，
．
2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知数有平方根．
(1)求x的取值范围；
(2)数A的两个不同的平方根是和，求A的值．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）利用平方根的非负性列不等式求解；
（2）依据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出a，再求．
【详解】（1）解：根据题意可知，，
解得：；
（2）解：根据题意可知，，
解得：，
将代入，得其中一个平方根为，
所以．
3．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）某数学小组提出了一个问题：一个实数的算术平方根为，平方根为，求这个实数．小红的解答过程如下图所示．老师看后说小红的答案是错误的，你知道小红错在哪里吗？请写出正确的解答过程．
解：一个实数的算术平方根为， 平方根为， 或． ①当时，解得， ，这个数为16； ②当时，解得， ，这个数为4． 综上所述，这个实数为16或4．
【答案】见解析
【分析】本题考查了算术平方根与平方根，掌握这两个概念是关键；由题意知，或，再分别求出x的值并检验即可．
【详解】解：实数的算术平方根不能是负数，即，应当舍去，
正确的解答过程如下：
一个实数的算术平方根为，平方根为，
或．
①当时，解得，
，这个数为16；
②当时，解得，
，
算术平方根不能为负数，
舍去．
综上所述，这个实数为16．
【典型例题二 求一个数的算术平方根】
【例1】（25-26八年级下·贵州遵义·期中）计算的结果是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【详解】解：由于，则．
【例2】（25-26八年级上·江苏常州·期中）25的算术平方根是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【分析】算术平方根的结果一定为非负数．
【详解】 解：的算术平方根是．
【例3】 （25-26七年级下·重庆·期中）的算术平方根为______．
【答案】
【详解】解：的算术平方根为．
【例4】（25-26七年级下·重庆·期中）设为正数，已知，当很小（此处约定）时，，所以，于是．利用可以求某些数的算术平方根的近似值，如．计算的近似值为____．（结果精确度到）
【答案】
【分析】理解题目给出的近似计算公式，将被开方数拆分为一个完全平方数与一个较小正数的和，确定和的值，代入近似公式计算即可得到结果．
【详解】解：
由近似公式得
．
1．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，如1，4，9，16，25，…均为完全平方数．
(1)请你写出一个大于100的完全平方数，并求出它的算术平方根；
(2)是完全平方数吗？若是，请写出它的算术平方根；若不是，请说明理由．
【答案】(1)121，11；（答案不唯一）
(2)解：是完全平方数，理由如下：
设，
则，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
即的算术平方根是48．
【分析】（1）根据题干信息进行求解即可；
（2）设，整理得出，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴是完全平方数，它的算术平方根为11；
（2）略
2．（25-26七年级下·江西·阶段检测）根据下表回答下列问题：
x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9
x 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01
(1)_______，__________，__________
(2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）；
(3)若，则满足条件的整数n有__________个．
【答案】(1)14.6；144；0.142
(2)148；1.45
(3)286
【分析】观察表格中数据，找到对应的数据即可解决问题．
【详解】（1）解：观察表格中数据，发现：当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵22000与21904更接近，
∴与最接近的整数是148；
∵，且2.1与2.1025更接近，
且，
∴；
（3）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴整数n的个数为：．
3．（25-26七年级下·河北沧州·期中）先填写表格，通过观察后再回答问题．
0 0.0001 0.01 1 100 10000 …
0 0.01 1 100 …
(1)表格中________，________；
(2)从表格中探究与数位的规律：当被开方数每扩大100倍时，扩大________倍，利用这个规律解决下面两个问题．
①已知，，则________；
②已知，，用含的式子表示．
【答案】(1)0.1；10
(2)10；①26.5；②
【分析】（1）通过计算，即可得到答案；
（2）观察规律，从表格中可发现当被开方数的值扩大到原来的倍时，的值扩大到原来的倍，①根据从到被开方数扩大到原来的倍，结果扩大到原来的倍，即可得到答案；②根据题意可得，进一步得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据表格可得，，．
（2）解：根据表格可得规律：当被开方数每扩大100倍时，相应地扩大倍．
①，
；
②，
，
．
【典型例题三 利用算术平方根的非负性解题】
【例1】（25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据非负数的性质求出的值，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【例2】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）已知，则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】A
【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，进而代入计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
【例3】（25-26八年级下·北京大兴·期中）若，则的值是_____．
【答案】
【详解】解：∵，
，
∴，
∴，
∴．
【例4】（25-26八年级上·上海·期中）已知，则________．
【答案】
【分析】根据非负数的性质，平方根和绝对值都非负，它们的和为零，则每个部分为零，从而求出x和y的值．
【详解】解：∵ ，且 ，，
∴ 且 ，
即 ，解得 ，
，解得 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为．
1．（25-26八年级下·全国·单元复习）已知与互为相反数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为根据互为相反数的两个数的和等于列出方程，再根据非负数的性质解答．
【详解】解：与互为相反数，
，
，
解得：
．
2．（24-25七年级下·云南大理·期中）探究题：根据计算结果回答
(1)计算： ； ；
； ； ．
(2)一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请用数学语言描述出来；
(3)利用（2）题总结的规律计算：
利用你总结的规律计算，当时，的值．
【答案】(1)，，，，，
(2)不一定，；
(3)；
【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值；
（2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律．
（3）运用（2）得出的规律进行运算即可．
【详解】（1）解：，，，
，，；
（2）解：由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，即；
（3）解：，
；
∵，
∴，
∴．
3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）【课本再现】
一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为．0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数．
【探究新知】
(1)若，则的取值范围是__________．
【知识应用】
(2)若，求的值．
【拓展应用】
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据算术平方根的被开方数为非负数可得a的取值范围；
（2）根据绝对值与算术平方根的非负性列出二元一次方程组，求解后代入计算即可；
（3）先根据被开方数的非负性确定a的取值范围，再化简绝对值，整理等式即可得到结果．
【详解】（1）解：对于，根据算术平方根定义，被开方数必须为非负数，
因此的取值范围是；
（2）解：，，且，
，
解得 ，
；
（3）解：，
，即，
，
原方程可化为，
整理得，
两边平方得，
．
【典型例题四 估计算术平方根的取值范围】
【例1】（25-26八年级上·重庆万州·期中）估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3间 D．3和4之间
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的估算能力，
通过比较平方数确定 的取值范围，然后计算 的区间．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
因此值在2和3之间
故选：C．
【例2】（24-25八年级上·山西太原·期中）观察表格中的数据：
32 33 34 35 36 37 38
1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444
由表格中的数据可知（ ）
A．在3.4～3.5之间 B．在之间
C．在35～36之间 D．在0.35～0.36之间
【答案】B
【分析】本题考查了估算无理数大小，根据表中的数据可得1269的平方根在35到36之间，进而可得12.69的平方根在3.5到3.6之间．
【详解】解：根据表中数据可得1269的平方根在35到36之间，
∵，
∴在之间，
故选：B．
【例3】（2025·吉林·模拟预测）已知一个正方形的面积为24，那么与它的边长最接近的整数是__________．
【答案】5
【分析】本题主要考查了算术平方根的故事，根据正方形面积计算公式可得该正方形的边长为，再估算出的范围即可得到答案．
【详解】解：∵一个正方形的面积为24，
∴该正方形的边长为，
∵，
∴，
∴该正方形的边长最接近的整数是5，
故答案为：5．
【例4】（25-26八年级上·江苏南京·期中）利用表格中的数据计算的近似值是________（结果保留整数）．
a a2
17 289 4.12
18 324 4.36
【答案】19
【分析】本题考查算术平方根和近似数，根据题干得到算术平方根的值是解题的关键．
根据表格数据，当时，，因此，同理得，据此进行计算，将结果四舍五入保留整数即可．
【详解】解：由表格可知，当时，
所以
又因为，
所以
因此．
故答案为：19．
1．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知一个长方形长和宽的比为，面积为．
(1)求该长方形的长与宽．
(2)如图在此长方形内沿着这条边裁剪一排圆，请计算说明最多能裁剪出多少个面积为的圆．
【答案】(1)该长方形的长为，宽为
(2)4个
【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，正确列出方程求出长方形的长和宽是解题的关键．
（1）设该长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求解即可；
（2）根据可推出，再根据圆面积计算公式求出圆的半径，进而求出圆的直径，再用长方形的长除以圆的直径即可得到答案．
【详解】（1）解：设该长方形的长为，宽为，
由题意得，，
∵，
∴，
∴，
答：该长方形的长为，宽为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵一个圆的面积为，
∴该圆的半径为，
∴该圆的直径为，
∵，
∴最多能裁剪出4个面积为的圆．
2．（24-25七年级下·福建福州·阶段检测）某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案：
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料；
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为．
王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．
【答案】方案一可行，方案二不可行，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程、算术平方根的实际应用和估算无理数的大小．
先求出正方形的边长为，再分别求出两种方案的长方形的长和宽，最后比较大小即可．
【详解】解：方案一可行．
∵正方形木板的面积为，
正方形木板的边长为．
如图所示，沿着裁剪，
∵，
只要使就满足条件；
方案二不可行．理由如下：
设所裁长方形装饰材料的长为、宽为，
则，即，
解得（负值已舍去），
所裁长方形的长为，
∵，
所裁长方形的长大于正方形的边长，
方案二不可行．
3．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存．
(1)有多大呢？完成下列问题．在教材中“有多大呢？”的探究活动，有同学是下面这样探究的．我们知道面积是的正方形边长是，且因为，，所以．设，画出示意图一．由面积公式，可得．因为值很小，所以可以忽略不计，则得到，解方程得______（保留到），即______．
(2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到）
(3)怎样画出？教材中告诉了如何画的方法，用两个面积为的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图二．可以求出大正方形的边长为．现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图三，类比图二的方法，请你在图三中用实线把它们分割，然后在图四中拼接成-一个新的大正方形．要求：在图三中画出分割线，并在正方形网格图四中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为．
【答案】(1)，
(2)，过程见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了正方形的性质，算术平方根，解题的关键是数形结合．
（1）根据题意计算即可；
（2）由（1）的方法求解即可；
（3）根据题意画出图形即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
故答案为：，；
（2），，
设，画出示意图，
由面积公式，可得，
值很小，所以可以忽略不计，
，
解方程得：，
即，
黄金分割数；
（3）如图：
【典型例题五 求一个数的平方根】
【例1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）81的平方根是（ ）
A． B．9 C． D．
【答案】C
【详解】解：．
【例2】（25-26八年级上·河南周口·期末）的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴的平方根是，
故选：D．
【例3】（25-26七年级下·广西南宁·期中）9的平方根是__________________
【答案】
【详解】解： ∵
∴9的平方根是
【例4】（24-25八年级上·山东济南·期中）的平方根是______，的算术平方根是______
【答案】 /
【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根等知识点，理解平方根、算术平方根的定义是解题的关键．
先计算乘方运算得到4，再求平方根；直接根据算术平方根定义求解即可．
【详解】解： = 4，4 的平方根是；
的算术平方根是．
故答案为，．
1．（24-25七年级下·辽宁铁岭·阶段检测）已知正数的两个平方根是、，且，求的平方根
【答案】的平方根是．
【分析】由题意得到，代入，求得，，进一步求得，据此求解即可．
【详解】解：∵正数的两个平方根是、，
∴，
∴，
将代入，得，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵16的平方根是，
∴的平方根是．
2．（25-26七年级下·全国·周测）已知数有平方根．
(1)若数的平方根是它本身，求的值．
(2)若和是数的平方根，求的值．
【答案】(1)
(2)81或9．
【分析】本题考查了平方根的性质，解题关键是利用“平方根等于本身的数是” 和“一个数的两个平方根要么互为相反数，要么相等”这两个核心性质来建立方程．
（1）一个数的平方根是它本身，说明这个数是，由此可列方程求；
（2）一个数的平方根有两种情况：互为相反数或相等，需分类讨论，据此列方程求出，再代入求．
【详解】（1）解：∵数的平方根是它本身，
∴．
解得：．
（2）解：∵和是数的平方根，
①
解得：
解得：．
将代入，得一个平方根为，
∴．
②
解得：
将代入，得一个平方根为，
∴．
∴ 的值为或．
3．（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）已知，
(1)若的值为，求的平方根．
(2)如果和是一个数的两个不相等的平方根，求这个数的算术平方根．
【答案】(1)；
(2).
【分析】本题考查了算术平方根与平方根，熟练掌握一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数，是解题的关键．
根据的值为，求出的值，即可得到，把、的值代入代数式求出的值，再求出它的平方根；
根据一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数，可得：，求出的值，再根据的值求出算术平方根的值．
【详解】（1）解：，，，
可得：，
解得：，
，
，
的平方根是；
（2）解：和是一个数的两个不相等的平方根，
，
解得：，
，，
这个数的算术平方根是.
【典型例题六 求代数式的平方根】
【例1】（25-26八年级上·全国·期中）已知代数式的值是4，则代数式的值是（ ）
A．13 B．9 C．1 D．9或1
【答案】D
【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算．
先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值．
【详解】解：因为，
所以，
对进行变形可得：，
当时，代入上式可得：，
当时，代入上式可得：，
所以，代数式的值是9或1，
故选：D．
【例2】（24-25八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则的平方根为（ ）
A．7 B． C． D．49
【答案】C
【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值．
将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可．
【详解】解：
，
，
的平方根为，
故答案为： C．
【例3】（25-26八年级上·河南周口·期中）若，则__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键．
由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解．
【详解】解：由 ，
根据平方根的性质，得：
或 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ．
由于 是平方和，具有非负性，即 ，
因此 不成立，舍去；
故 ．
故答案为：．
【例4】（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________．
【答案】
【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题．
根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案．
【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和．
，
若
则，
解得，
，
，
则的平方根为．
故答案为：．
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的平方根即可；
（2）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的算术平方根即可．
【详解】解：（1）
.
（2）
，
∴，
.
【点睛】本题考查了平方根的定义，平方差公式，利用整体思想求出和是解决本题的关键．
2．（24-25七年级下·安徽淮南·阶段检测）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：.其中d代表苔藓的直径（单位：厘米）；t代表冰川消失后经过的时间（单位：年）.
(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；
(2)如果测得一些苔藓的直径是28厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
【答案】(1)冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米
(2)冰川约是在28年前消失的
【分析】本题考查了无理数的应用，已知字母的值求代数式的值，求一个数的算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，得，进行计算，即可作答．
（2）理解题意，得，进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，，
答：冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米．
（2）解：依题意，，
解得：，
答：冰川约是在28年前消失的．
3．（24-25八年级下·福建莆田·阶段检测）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：，，之间的等量关系_________；
(2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】(1)
(2)①2；②
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应用完全平方公式进行变形计算，也涉及平方根，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，．
（1）图2的面积可以表示为一个边长为的正方形面积，又可以表示为一个边长为a的正方形面积加上一个边长为b的正方形面积再加上两个长为b，宽为a的长方形面积，据此可得结论；
（2）①根据可得，再根据（1）中的结论计算即可；②设，则，，根据，得出，求出，再根据平方根定义即可得到答案．
【详解】（1）解：∵图②是边长为的正方形，
∴，
∵图②可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b，宽为a的长方形的组合图形，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）解：①∵，
∴，
即，
又∵，
∴；
②设，则，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即，
∴．
【典型例题七 已知一个数的平方根，求这个数】
【例1】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知一个正数的平方根是和，则的值是（ ）
A．3 B．0 C．2 D．1
【答案】D
【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据该性质列方程即可求解的值．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数
去括号得
合并同类项得
移项得
解得．
【例2】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查平方根的定义；根据平方根的定义，一个正数的两个平方根互为相反数，它们的和为0．由此建立方程求解a的值，再代入平方根表达式计算即可．
【详解】解：∵正数n的两个不同平方根为和，
根据平方根互为相反数的性质，得方程：
，
，
，
，
将代入平方根表达式：
因此，n的平方根为1和．
∴，
故选：A．
【例3】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）一个正数m的两个不同的平方根分别是和，则a的值是__________．
【答案】
【分析】根据正数的两个不同平方根互为相反数，列一元一次方程求解即可．
【详解】解：根据正数的两个不同平方根互为相反数，得
解得．
【例4】（25-26八年级上·上海徐汇·阶段检测）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______．
【答案】
【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；根据平方根和算术平方根的定义，分别求出a和b的值，再计算的算术平方根即可．
【详解】解：由题意得：，
∵，且9的算术平方根是b，
∴，
∴，
故答案为．
1．（24-25七年级下·安徽六安·阶段检测）一个正数x的两个不同的平方根分别是与．
(1)求x和m的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，理解平方根的定义是正确解答的关键．
（1）根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案；
（2）由（1）中，，代入，利用平方根定义求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得，
∴；
（2）解：
∴的平方根为
2．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）按要求解答下列各题：
(1)一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数．
(2)与都是的平方根，求的值．
【答案】(1)9
(2)9或1
【分析】（1）根据平方根的定义得到，然后解方程即可；
（2）根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得，
∴这个正数是；
（2）解：∵与都是的平方根，
∴当与不相等时，
解得，
∴；
当与相等时，
解得，
∴；
综上，的值为9或1．
3．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）在学方根后，老师提出了一个问题：一个数的算术平方根为，平方根为．求这个数．小明的解答过程如下．老师看完小明的解答后，说解答不正确．
解：这个数的算术平方根为．平方根为．
或．①
（i）当时，解得，，，∴这个数为16；②
（ii）当时，解得，，，∴这个数为4．③
综上所述，这个数为16或4．
(1)①②③中有问题的步骤是_____，错误原因是__________；
(2)已知一个数的算术平方根是，平方根是，求这个数．
【答案】(1)③，算术平方根不能为负数．
(2)25或
【分析】本题考查了平方根与算术平方根的概念，正确理解平方根与算术平方根的概念是解题的关键．
（1）错误的在第③部分，求出后，将x的值代入得，不符合算术平方根的概念，应舍去．
（2）根据一个数的算术平方根是，平方根是，即或，求出m的值，即可解答．
【详解】（1）解：这个数的算术平方根为．平方根为．
或．
（i）当时，
解得，
，
，
∴这个数为16；
（ii）当时，
解得，
，
由这个数的算术平方根为，得
，
∴不符合题意，舍去．
故答案为：③，算术平方根不能为负数．
（2）∵一个数的算术平方根是，平方根是，
∴或．
（i）当时，
解得，
，
，
∴这个数为25；
（ii）当时，
解得，
，
，
∴这个数为；
综上所述，这个数为或．
【典型例题八 利用平方根解方程】
【例1】（25-26七年级下·广西钦州·期中）若， 则x的值为（ ）．
A． B．0 C．2 D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴．
【例2】（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）日常生活中，很多同学发现，用电器的导线在使用过程中会发热，这是因为用电器在使用过程中，电流通过导线时会产生热量，并且满足，其中为产生的热量（单位：），为电流（单位：），为电阻（单位：），是通电时间（单位：）．如果导线的电阻为，时间导线产生的热量，则通过导线的电流为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将已知数值代入热量公式，得到关于电流的方程，求解后取正根即可得到结果．
【详解】解：将 ，，代入公式，得，
，
整理得 ，
解得（负值舍去），
∴．
【例3】（24-25七年级下·甘肃武威·阶段检测）已知：x满足，根据平方根的意义可求得_____．
【答案】4或
【分析】本题考查了平方根的意义；根据平方根的意义得，从而求得x的值．
【详解】解：∵x满足，
∴，
∴或，
故答案为：4或．
【例4】（24-25七年级下·广西玉林·期中）假设存在一个数i，且它具有的性质，若，则______．
【答案】
【分析】先对方程进行整理化简，得到，结合将方程变形后，利用开平方求解即可．
【详解】，
移项得 ，
系数化为得 ，
，
，
开方得 ，
．
1．（25-26七年级下·西藏日喀则·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：，
开平方得：，
即，；
（2）解：，
方程两边同除以2得：，
开平方得：，
解得：，．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)或
【分析】本题考查利用平方根解方程，利用平方根的定义，解方程即可，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键．
【详解】（1）解：，
∴；
（2），
∴，
∴；
（3），
∴，
∴；
（4），
∴，
∴，
∴；
（5），
∴，
∴，
∴或，
∴或．
3．（24-25七年级下·河南信阳·期末）小天学完平方根和开平方运算后，发现可以运用这些知识解形如（为常数）的这类方程．
(1)小天先尝试解了下面两个方程：
①，解得或；②，此方程无实数解．
方程①有两个解的依据是：正数有两个平方根，它们互为相反数；
方程②无实数解的依据是：___________；
(2)小天进一步探究了解方程③和④：
③
解：．
或．
④．
解：或．
或．
请你参考小天的方法，解下列两个方程：
⑤；
⑥．
【答案】(1)负数没有平方根
(2)⑤或；⑥或
【分析】本题考查利用平方根解方程，读懂题意，按照阅读材料中的方法求解是解决问题的关键．
（1）根据平方根的性质即可得到答案；
（2）仿照③、④，利用平方根解方程即可．
【详解】（1）解：方程②无实数解的依据是：负数没有平方根，
故答案为：负数没有平方根；
（2）⑤解：．
．
或
⑥解：．
或．
或．
【典型例题九 平方根的新定义运算】
【例1】（24-25七年级下·河南信阳·期末）定义一种新运算“*” ∶ 则中x的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题考查新定义，根据新定义运算的规则，将已知条件代入，转化为一元二次方程，运用平方根求解即可．
【详解】解：根据定义，运算“*”的规则为，
∵，
∴，
解得：
故选：D．
【例2】（25-26八年级上·上海闵行·期末）定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题结合新定义“根号整数”考查估计算术平方根，关键是根据定义转化为不等式，再结合自然数的范围确定的取值．
【详解】解：根据“根号整数”的定义，若，
则；
两边平方，得．
∵是自然数，
∴的取值为1、2、3，共3个．
故选：C．
【例3】（24-25七年级下·安徽淮南·阶段检测）定义新运算“☆”：☆，则______．
【答案】6
【分析】本题考查了新定义运算，求算术平方根，根据新定义运算结合运算法则计算即可得解，解题的关键是理解新定义运算．
【详解】解：，
故答案为：．
【例4】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a*b＝，例如10*21＝＝11，则*（*2）的运算结果为 _____．
【答案】4
【分析】根据定义计算即可．
【详解】解：∵a*b＝，
∴*2，*2，
故答案为4．
【点睛】本题主要考算术平方根，能够熟练运用新运算法则是解题关键．
1．（24-25八年级上·浙江台州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算，例如：．
(1)_______．
(2)求的平方根．
(3)我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算 是否也满足交换律？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)实数a，b的这种新运算满足交换律；
【分析】此题主要考查了新定义下的实数运算，利用代入法求代数式的值，求平方根（1）运用运算公式，计算即可；
（2）先求得，再计算平方根，即可求解．
（3）是否满足关键是利用公式计算一下和的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：
的平方根为
（3）解：满足交换律
∵，
，
∴，
∴实数a，b的这种新运算满足交换律．
2．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）对于，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：；
(1)已知，，求，的值；
(2)在（1）的条件下，关于的不等式组恰好有2个整数解，求实数的取值范围．
(3)若对于任意不相等的实数，都成立，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
（1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组求出a，b的值；
（2）据（1）求出的a，b的值和新运算列出方程组求出m的取值范围，根据题意列出不等式，解不等式求出实数k的取值范围；
（3）根据新运算列出方程组，可求出a，b的值，代入即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
解得：，；
（2）由（1）可得，，
根据题意得：，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组恰好有2个整数解，即，
∴，
解得：；
（3）由，得到，
整理得：，
∵对于任意不相等的实数，都成立，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴．
3．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）阅读材料：
新定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数学和谐数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“数学和谐数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．
(1)请你写出与本题中不同的一组“数学和谐数”是 ．
(2)3，12，48，这三个数是“数学和谐数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”；若不是，请说出理由．
(3)已知a，64，100，这三个数是“数学和谐数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值．
【答案】(1)2，8，50
(2)3，12，48这三个数是“数学和谐数”，其中最小算术平方根是6，最大算术平方根是24．
(3)25或256．
【分析】本题考查了算术平方根的应用、“数学和谐数”的定义等知识点，正确理解“数学和谐数”的意义是解题的关键．
（1）根据“数学和谐数”的定义写成一组“数学和谐数”即可；
（2）根据“数学和谐数”的定义和算术平方根的定义即可求解；
（3）根据“数学和谐数”的定义，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍建立方程，利用算术平方根的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵．
∴2，8，50这三个数是“数学和谐数”．
故答案为：2，8，50 ．
（2）解：∵．
∴3，12，48这三个数是“数学和谐数”，其中最小算术平方根是6，最大算术平方根是24．
（3）解：∵a，64，100，这三个数是“数学和谐数”，
∴a是正整数，，
∵，
∴分两种情况：
①当，即时，则最大算术平方根是80，最小算术平方根是，
∵“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，
∴，解得：，符合题设，且符合“数学和谐数”的定义；
②当，即时，则最大算术平方根是，最小算术平方根是80，
∵“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，
∴，解得：，符合题设，且符合“数学和谐数”的定义．
综上所述：a的值为25或256．
【典型例题十 与算术平方根有关的规律探索题】
【例1】（25-26七年级下·云南昆明·期中）若，，则（ ）
A．38.1 B．381 C．12 D．120
【答案】A
【分析】根据被开方数的小数点向左（或向右）每移动两位，其算术平方根的小数点就向左（或向右）移动一位即可得．
【详解】解：∵，
∴．
【例2】（25-26七年级下·河北保定·期中）用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：根据以上规律，若，，则（ ）．
n …
…
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查算术平方根的小数点移动规律，先通过表格总结规律，再利用规律计算得到结果．
【详解】由表格数据可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，其算术平方根的小数点向相同方向移动一位．
是将的小数点向右移动两位得到的，且，
．
【例3】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）若，，，则__________．
【答案】200
【详解】解：由题意可知：，
，，
∴，
∴．
【例4】（25-26七年级下·山东济宁·期中）观察下列等式：；
；
；
……，
根据以上规律，计算______．
【答案】
【分析】根据等式所呈现的规律，将原式转化为，再进行运算即可求解．
【详解】解：
．
1．（安徽省阜阳市部分校2025～2026学年度第二学期期末检测七年级数学试题）学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，…
(1)按照此规律：
①计算：________；
②第n个式子是________；（用含n的式子表示，且n为正整数）
(2)直接写出结果：________．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从而得出答案；
②总结前几个式子的规律求解即可；
（2）结合（1），将式子化简，然后再计算有理数的乘法即可．
【详解】（1）解：①；
②第1个式子为：，
第2个式子为：，
第3个式子为：，
第4个式子为：，
…
∴第个式子是；
（2）解：
．
2．（24-25七年级下·海南三亚·阶段检测）先填写表，通过观察后再回答问题．
(1)表格中______，______．
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，，则______；
②已知，，用含m的代数式表示n，则______．
【答案】(1)，；
(2)①；②；
【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用．
（1）填写表格，通过计算，即可得到答案；
（2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案．
【详解】（1）解：根据表格可得：∵，，
∴；
∵，，
，
故答案为：；．
（2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，
∴从到被开方数扩大到原来倍，
∵，
∴；
②∵，，
∴，
∴，
∴．
3．（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”．
(1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由．
(2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值．
(3)写出两组含有的“组合平方数”．
【答案】(1)，，这三个数是“组合平方数”，理由见解析
(2)m的值为
(3)，，；，，（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了新定义，解题关键是能够熟练理解新定义的含义．
（1）先分别求出这三个数两两乘积的算术平方根，然后根据已知条件中的新定义，进行判断即可；
（2）根据两个数乘积的算术平方根为，求出这两个数的乘积，列出关于m的方程，解之可得；
（3）根据“组合平方数”的定义，写出一组“组合平方数”．
【详解】（1）解：，，这三个数是“组合平方数”．理由如下．
∵，，，
∴，，这三个数是“组合平方数”．
（2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，
∴，，都是整数．
∴或．
∴或（不合题意，舍去）．
当时，这三个数，，是“组合平方数”．
综上所述，m的值为．
（3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一）
故答案为：，，或，，（答案不唯一）．
【典型例题十一 算术平方根的实际应用】
【例1】（25-26七年级下·天津北辰·期中）如图，将两个面积都为3的小正方形沿对角线剪开，得到4个直角三角形，用这4个直角三角形拼成一个大正方形，这个大正方形的边长是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】计算出大正方形的面积，从而得出大正方形的边长．
【详解】解：∵两个小正方形的面积都为3，
∴大正方形的面积为6，
∴大正方形的边长为．
【例2】（25-26八年级下·山西吕梁·期中）一个物体从静止开始做自由落体运动，下落距离（米）与时间（t）的关系为（g为重力加速度，）．物体从125米自由下落时，下落的时间为（ ）
A．3秒 B．4秒 C．5秒 D．6秒
【答案】C
【分析】将已知的下落距离h和重力加速度g代入给定公式，解关于t的方程，结合时间为正数即可得到结果．
【详解】解：由题意，，，代入公式得
化简得
整理得
∵时间为正数
∴，
答：物体从125米自由下落时，下落的时间为5秒．
【例3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方形的面积为，则边长是_________．
【答案】/
【详解】解：∵正方形的面积为，
∴正方形的边长是．
【例4】（25-26八年级上·山西晋城·期中）如图，将两个长为3，宽为1的长方形纸片分别沿对角线剪开，它们与一个边长为2的正方形可拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______．
【答案】
【分析】本题考查图形的拼剪，算术平方根的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据大正方形面积=2个长方形的面积+1个正方形的面积=10，再开方，即可得出答案．
【详解】解：根据图形可得：大正方形面积=2个长方形的面积+1个正方形的面积=，
大正方形的边长为．
故答案为：．
1．（25-26七年级下·河南新乡·期中）物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系：在地球上约为，在月球上约为．
(1)物体从地球上离地面的高空自由下落的时间是多少？
(2)比较物体在哪里自由下落得更快？
【答案】(1)
(2)物体在地球上自由下落得更快
【分析】（1）将代入，求出时间即可；
（2）设下降相同距离为，分别代入，，求出时间，最后比较大小即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，
，
解得（负值已舍去）．
（2）解：设下降的距离都为，（），
在中，，
，
解得（负值已舍去）．
在中，，
，
解得（负值已舍去）．
，
物体在地球上自由下落得更快．
2．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）解答下列问题：
(1)如图1，用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长；
(2)如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分是一个小正方形，求小正方形的边长；
(3)请在网格中（图3）画出长为的线段，并简单说明理由．
【答案】(1)大正方形的边长为
(2)小正方形的边长为
(3)见解析
【分析】（1）首先得到大正方形的面积为2，然后求出边长即可；
（2）首先得到中间正方形的面积为5，然后求出边长即可；
（3）仿（2）的构造方法得到正方形的面积为10，进而得到边长，，，的长为．
【详解】（1）解：∵用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形
∴大正方形的面积两个边长为1的小正方形的面积和
∴大正方形的边长为；
（2）解：根据题意得，中间正方形的面积为，
∴中间小正方形的边长为；
（3）解：如图，，，，的长为；
仿（2）的构造方法，原网格图形面积为16个平方单位，
∴正方形的面积
∴正方形的边长为，
∴，，，的长为．
3．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）完成以下问题
(1)【发现问题】如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形．所得到大正方形的面积为______，大正方形的边长为______．
(2)【知识迁移】小明把长为2，宽为1的两个长方形沿对角线剪开裁剪，拼成如图2所示的一个大正方形．仿照上面的探究方法求空白部分正方形的面积及其边长x的值；
(3)【拓展延伸】为响应节约资源的号召，赵师傅将两块废弃的正方形铁片重新加工成一个面积为平方米的大正方形铁片用于制作零件．已知原来其中一块正方形铁片的边长是米，问另一块正方形铁片边长比原来拼成的大正方形铁片边长少多少米？
【答案】(1)2；
(2)面积为5，边长为
(3)少米
【分析】（1）根据大正方形的面积两个边长为1的小正方形的面积，求解即可．
（2）空白部分面积大正方形的面积4个直角三角形的面积求得，再根据平方根的定义求解．
（3）根据大正方形铁片的面积得出大正方形铁片的边长，再根据两个正方形铁片的面积之和为大正方形铁片的面积求出另一块正方形铁片的边长，最后作差即可．
【详解】（1）解：大正方形的面积，
设大正方形的边长为，
则，
解得：或（舍），
∴大正方形的边长；
（2）解：由题意可知，大正方形的边长为．
根据题意可得，
解得：或（舍），
即：空白部分正方形的面积为5，边长；
（3）解：∵大正方形铁片的面积为平方米，
∴大正方形铁片的边长为米，
设另一片正方形铁片边长为a米，
根据面积关系可得：，
解得：；（舍），
∵大正方形边长为1.6米，另一块正方形边长为米．
∴（米），
即：另一块正方形铁片边长比拼成的大正方形边长少米．
1．（25-26七年级下·广东潮州·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．一定没有平方根
C．非负数的平方根是非负数 D．因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负
【答案】A
【分析】本题考查平方根的定义与性质，根据平方根的概念逐一判断各选项即可．
【详解】解：先明确平方根的基本性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．
∵ 对选项A：，且，
∴ 的平方根是，A正确．
∵ 对选项B：当时，，0有平方根为0，
∴ B错误．
∵ 对选项C：正数的平方根一正一负，例如的平方根包含，是负数，
∴ C错误．
∵ 对选项D：正数的平方根有一个负数，例如的平方根是负数，
∴ D错误．
综上，正确答案为A．
2．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）若一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根为（ ）
A． B．2或 C．4 D．2
【答案】D
【分析】先求出参数的值，再计算出，最后求出的算术平方根即可得到结果．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴，
解得：，
∴其中一个平方根为，
∴，
∴，
∵的算术平方根即的算术平方根，
∴的算术平方根为．
∴结果为．
3．（25-26七年级下·重庆·期中）如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．与这个比值最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】估算出的范围，即可得出结果.
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故这个比值最接近的整数是4.
4．（2026·江苏扬州·一模）已知，，，…，设（为正整数），则值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案．
【详解】解：由题意，可得
，
，
，
……
，
∴
．
5．（2026·河北唐山·二模）如图，由内到外依次为正方形，，，若的面积为，的面积为，则正方形的边长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由题中已知条件及图形，得到，直接开方得到正方形的边长的范围，再结合四个选项数据即可确定答案．
【详解】解：若的面积为，的面积为，由图可知，
正方形的边长要满足，
则由四个选项中的数据可知，满足题中条件的只有2．
6．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知，则______．
【答案】
【分析】利用完全平方公式变形计算即可．
【详解】∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，计算平方根，熟练掌握公式，准确计算平方根是解题的关键．
7．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）（1）若关于x的方程的两个根分别是与，则________．
（2）若关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个根是和，则方程的根是________．
【答案】 1
【分析】（1）先将原方程变形，根据平方根的意义可知方程的两根互为相反数，利用两根之和为列方程求解即可；
（2）利用换元思想，将所求方程变形后，对比已知方程的根，得到关于的一次方程，进而求解．
【详解】解：（1）对方程两边同除以，得：
，
，
，
∴方程的两个根为，
所以两根互为相反数，因此两根之和为0，即：
，
整理得：，
解得：；
（2）已知关于的方程的两根为：，
将方程移项整理，得：
，
令，可得，
因此或，
即或，
解得，
解得，
方程的根为．
8．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）观察下表规律：
利用规律求值：若，，________．
【答案】
【分析】先观察表格得到算术平方根的变化规律：被开方数的小数点每移动两位，算术平方根的小数点向相同方向移动一位，将的被开方数与已知被开方数对比，根据规律求解．
【详解】解：
又
．
9．（25-26七年级下·福建福州·期中）小榕用计算器计算了一些正数的平方，记录如下表：
x 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5
580.81 585.64 590.49 595.36 600.25
下面有四个推断：
①59049的平方根是；
②由表可知，介于24.2和24.3之间；
③若，且，则；
④若x满足，则满足条件的整数x共有5个．
以上推断合理的是______．（写出所有正确推断的序号）
【答案】
①②④
【分析】根据表格给出的数据，结合平方根的性质逐一判断各推断即可.
【详解】解：①由表格可知，；
∴，即；
因此的平方根是，故①正确；
②由表格可知，，，
∵，
∴，故②正确；
③由表格可知，，
∴，即；
∴，
∵且，
∴，.
∴，故③错误；
④∵，
∴，即；
满足条件的整数为，共个，故④正确.
综上，合理的推断为①②④.
10．（2026·江西上饶·模拟预测）将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为25和7的正方形，则阴影部分的面积是______．
【答案】
【分析】由正方形的面积可求出大小两个正方形的边长，再由折叠的性质可得阴影图形的长和宽，从而可得出答案．
【详解】解：如图，
由题意可知，
∴，
∴阴影部分的面积为．
11．（25-26七年级下·广东广州·期中）若，求的平方根．
【答案】
【分析】根据绝对值，算术平方根和平方的非负性，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根为，
12．（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知一个正数m的两个平方根分别是与．
(1)求a的值；
(2)求的平方根；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根的意义列方程计算即可；
（2）求出m的值，将a、m的值代入求出的值，再求其平方根即可．
【详解】（1）解：由已知可得，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴19的平方根为．
13．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）根据下表所提供的信息解答问题．
x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21
(1)10.89的平方根是________．
(2)物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根的意义结合表格求解即可；
（2）先求出时间，再根据算术平方根的意义结合表格求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知，，
的平方根是，
故答案为：；
（2）解：物体自由下落的高度（单位：与下落时间（单位：之间的关系是．
由题意知，，
∴，又，
由表格知，，
该物体到达地面需要．
14．（25-26七年级下·河北沧州·期中）某数学兴趣小组在学方根后，对和的性质展开了探究，请你参与并完成下列问题：
(1)探究的性质（a为非负数）
①计算下列各式的值：
______ ______ ______
______ ______ ______
②归纳总结：对于任意非负数等于多少？
(2)探究的性质（为任意实数）
①计算下列各式的值：
______ ______ ______
______ ______ ______
②归纳总结：对于任意实数等于多少？
【答案】(1)①，，，，，；②对于任意非负数
(2)①，，3，，，；②对于任意实数．
【分析】（1）①根据算术平方根的性质计算，②归纳①中的规律即可解答；
（2）①分别对几个特殊情况计算求值，②分析①中的规律，得到一般情况的结论即可解答．
【详解】（1）解：①，，，
， ， .
②对于任意非负数.
（2）解：①，， ，
，，.
②归纳总结：对于任意实数.
15．（25-26七年级下·广东广州·期中）根据下表回答下列问题：
x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9
100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81
(1)112.36的算术平方根是_____，118.81的平方根是____；
(2)若介于10.3与10.5之间，求满足条件的正整数a；
(3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到）
【答案】(1)；
(2)或或或
(3)
【分析】（1）根据表格即可解答；
（2）根据表格得到对应的的取值范围，即可解答；
（3）将代入题中的式子，对比表格即可解答．
【详解】（1）解：根据表格可得112.36的算术平方根是，118.81的平方根是；
（2）解：，
，
正整数a的值为或或或；
（3）解：将代入可得，
根据表格可得，
答：该物体到达地面大概需要．
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