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第07讲 立方根（1大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 立方根的概念理解
典型例题二 求一个数的立方根
典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数
典型例题四 与立方根有关的规律探索
典型例题五 立方根新定义运算
典型例题六 立方根的实际应用
典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用
知识点01 立方根
1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
总结：
类型 项目 平方根 立方根
被开方数 非负数 任意实数
符号表示
性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；
重要结论
【即时训练】
1．（24-25七年级下·全国·周测）下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4 B．没有立方根
C．－1的立方根为±1 D．
【答案】D
【分析】根据立方根的定义和性质，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，任何实数都有立方根，依次判断即可.
【详解】解：A、的立方根是，不是，所以 A错误；
B、 任何实数都有立方根，的立方根是，所以 B错误；
C、 的立方根是，不是，所以 C错误；
D、 =， = ，∴ = ，故D正确.
【点睛】本题主要考查的是立方根的定义和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2．（25-26七年级下·四川南充·期中）若，则_____，若，则_____．
【答案】
【详解】解：若，则；
若，则．
【典型例题一 立方根的概念理解】
【例1】（25-26七年级下·广西梧州·期中）下列说法正确的是（ ）
A． B．0既没有平方根也没有立方根
C．的立方根是 D．的平方根是
【答案】C
【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根的定义，根据定义逐一判断各选项即可得到正确结果．
【详解】解：∵表示100的算术平方根，结果为非负数，
∴，A选项错误．
∵的平方根是，的立方根也是，
∴B选项错误．
∵，的立方根是，
∴的立方根是，C选项正确．
∵，的平方根是，
∴的平方根是，D选项错误．
故选：C．
【例2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）要使成立，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意数
【答案】D
【详解】解：开立方与立方运算互为逆运算，任意实数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是，
对任意实数，都满足．
【例3】（24-25八年级上·安徽·期末）化简：______．
【答案】
【分析】本题考查了立方根的定义．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作．
根据计算即可．
【详解】，
故答案为：．
【例4】（24-25七年级下·全国·期中）绝对值是它本身的数是_________，平方和平方根都是它本身的数是_________，倒数是它本身的数是_________，相反数是它本身的数是_________．
【答案】 正数和0 0 0
【分析】本题考查了绝对值，倒数，相反数和平方根的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：绝对值是它本身的数是正数和0，平方和平方根都是它本身的数是0，倒数是它本身的数是，相反数是它本身的数是0．
故答案为：正数和0，0，，0．
1．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）已知的算术平方根是5，是27的立方根，的平方根是0．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查平方根、算术平方根以及立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
（1）算术平方根、立方根、平方根的定义求出a、b、c的值即可；
（2）将a，b，c的值代入，求出代数式的值，再求其平方根即可．
【详解】（1）解：∵的算术平方根是5，
∴
解得：；
∵是27的立方根，
∴
解得：；
∵的平方根是0
∴
解得：．
（2）解：∵，，，
∴
∴的平方根为．
2．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）小颖和小聪对话如下：
请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题．
【答案】12
【分析】本题主要考查了平方根与立方根，先根据一个正数的平方根是互为相反数，列出关于m的方程，求出m，再根据立方根的定义列出关于n的方程，解方程求出n，然后求出，进而求出它的算术平方根即可．
【详解】解：∵这个正数的两个平方根是和，
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴，
解得：，
∴
，
∴的算术平方根是12．
3．（24-25七年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，并解决问题
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
∵，，
∴是两位数，
∵的个位数是9
∴的个位数是9，
如果划去后面的三位得到数，而，，由此确定的十位数是3，
所以．
请你应用以上方法计算的立方根（要求写出解答过程）．
【答案】67
【分析】本题主要考查了立方根的意义、数字变化的规律，熟练掌握题干中的解答方法是解题的关键．
利用题干中的解答步骤解答即可．
【详解】解：∵，，
∴是两位数，
∵的个位数是，
∴的个位数是，
如果划去后面的三位得到数，
而，，由此确定的十位数是，
∴，即的立方根是．
【典型例题二 求一个数的立方根】
【例1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：选项A：∵ ，∴ A错误；
选项B：∵ 是16的算术平方根，结果为正数，∴ ，B错误；
选项C：∵ ，∴ ，C正确；
选项D：∵ 是9的算术平方根，结果为正数，∴ ，D错误；
【例2】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）平方根和立方根是七年级下学期学习的两个重要概念．根据相关的定义，8的立方根是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【详解】解：∵
∴ 8的立方根是2.
【例3】（2026·上海·模拟预测）实数的立方根是__________．
【答案】
【详解】解：的立方根是．
【例4】（25-26八年级上·湖南株洲·自主招生）计算：________；________．
【答案】
【详解】解：∵，且一个数的算术平方根为非负数，
∴，
∵，
∴．
1．（25-26七年级下·广西北海·期中）已知一个正数的两个平方根分别为和．
(1)数与这个正数是多少？
(2)这个正数的算术平方根和立方根是多少？
【答案】(1)，；
(2)的算术平方根为，的立方根为．
【分析】（1）根据“一个正数的两个平方根互为相反数”可得，可得，即可得；
（2）由（1）得，求算术平方根和立方根即可．
【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别为和，
∴，
解得，
∴．
（2）解：∵
∴的算术平方根为，的立方根为．
2．（2025·新疆阿克苏·一模）已知一个正数的两个平方根分别为a和．
(1)求a的值，并求这个正数；
(2)求的立方根．
【答案】(1)2；4
(2)
【分析】（1）根据平方根的性质列出算式，求出a的值即可；
（2）求出的值，根据立方根的概念求出答案．
【详解】（1）解：由平方根的性质得，，
解得，
∴这个正数为；
（2）解：当时，，
∵的立方根是，
∴的立方根为．
3．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是；
③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1) ；
(2)若，则 ；
(3)已知，且与互为相反数，求，的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
或或
【分析】（1）依照题干中的解题思路求出；
（2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值；
（3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值．
【详解】（1）解：，，，
是两位数，
，
的个位数字应是，
将的小数点向前移动后约为，
，，
的十位数字应为，
，
依据“负数的立方根是负数”得到：；
（2）解：，
，
解得：；
（3）解：，
，
，
或或，
或或，
当时，可得：，
与互为相反数，
，
解得：，
即；
当时，可得：，
与互为相反数，
，
即，
解得：，
即；
当时，可得：，
与互为相反数，
，
即，
解得：．
【典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数】
【例1】（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）若，则（ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】A
【分析】利用立方根的性质，结合已知条件计算即可得到结果．
【详解】解：根据立方根的性质可得：，
又∵，
∴．
【例2】（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知是整数，则满足条件的正整数最小是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】先得出是一个整数的立方，再根据要求满足条件的正整数最小解答即可．
【详解】解：∵是整数，
∴是一个整数的立方，
又∵要求满足条件的正整数最小，
∴正整数最小是，此时，符合题意．
【例3】（25-26七年级下·广东江门·期中）已知，则的值是_____．
【答案】3
【分析】根据立方根的定义，对等式两边同时开立方，转化为一元一次方程，求解即可得到的值.
【详解】解：∵，
∴，
解得：.
【例4】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知，则___________
【答案】
【分析】根据立方根的小数点向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出的值．
【详解】解：，，
．
1．（25-26七年级下·安徽六安·期末）已知实数的立方根是2，实数的算术平方根是4．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）解：因为a的立方根是2，
所以；
因为b的算术平方根是4，
所以．
（2）解：因为，
所以的平方根是．
2．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．
(1)求n的值；
(2)求这个正数；
(3)求的平方根．
【答案】(1)
(2)16
(3)
【详解】（1）解：∵的立方根为
∴
解得；
（2）解：∵一个正数的平方根分别是和
∴
解得
∴这个正数为；
（3）解：，
∴其平方根为．
3．（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）（1）已知的平方根是，的立方根是3．求的平方根；
（2）已知和是正数m的两个不相等的平方根，求正数m的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了平方根、立方根的应用，熟练掌握平方根，立方根的定义是解题的关键．
（1）利用平方根和立方根的定义得到，，再解方程求出m、n，然后计算的值，然后根据平方根的定义求解；
（2）根据平方根的定义得到，再求出x得到m的平方根，然后确定m的值．
【详解】解：（1）由题意得，，
解得，，
，
的平方根为，
的平方根为；
（2）∵和是正数m的两个不相等的平方根，
，
∴，
∴，，
．
【典型例题四 与立方根有关的规律探索】
【例1】（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（ ）
A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6
【答案】A
【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可．
【详解】，
，
又 ，
．
【例2】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（ ）
0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000
0.16 1.6 16 160 1600
A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35
【答案】D
【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题.
【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位；
∵，且是将的小数点向右移动三位得到，
∴需要将的小数点向右移动一位，即.
【例3】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察规律：，，．则_____．
【答案】
【分析】观察已知开立方运算结果，总结被开方数小数点移动与立方根小数点移动的规律，利用规律求解即可．
【详解】解：观察已知等式：，，，
可得规律：开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，立方根的小数点相应向右或向左移动1位，
对比与，的小数点向右移动3位得到，
因此的小数点向右移动1位，得．
【例4】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下表是部分正数x的平方和立方．
x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5
65.61 67.24 68.89 70.56 72.25
531.441 551.368 571.787 592.704 614.125
根据上表的数据，可得：________；________；________．
【答案】 8.3 8.2 85.85
【分析】本题主要考查平方根和立方根，根据表格中的数据找出开平方和开立方规律解答即可．
【详解】解：根据表格中的数据可得：
∵，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵
∴
∴
∴．
故答案为：8.3；8.2；85.85
1．（24-25八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中
式子 …… ……
结果 …… ……
根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案：
(1)
(2)若，则
参考值：， ，
【答案】(1)
(2)6180
【分析】本题主要考查了立方根的性质：
（1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解；
（2）根据（1）中的规律解答即可．
【详解】（1）解：完成表格，如下：
式子 …… ……
结果 …… 6 60 ……
由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位；
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴．
故答案为：6180．
2．（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题．
a 1 1000 1000000
______ ______ 100
【规律总结】
（1）①请补全如表；
②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位；
【规律应用】
（2）已知，，．
①______；
②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数）
【答案】（1）①见解析；②1；（2）①；②1248平方米．
【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键．
（1）根据立方根的定义求出1，1000的立方根即可，；
（2）①根据规律得到即可；②根据规律求出的值，再根据正方体表面积的计算方法求出表面积即可．
【详解】解：（1）①，，
补全表格如下：
a 1 1000 1000000
1 10 100
②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右或向左移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位，
故答案为：1；
（2）①，
故答案为：；
②正方体的体积为3000立方米，
正方体的棱长为：米
需要铁皮的面积为平方米
3．（24-25七年级下·河北沧州·期中）观察下表：
0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 0.1 1 10 100
(1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________；
(2)根据你发现的规律填空：已知．
则___________，___________；
若，则___________；
(3)拓展提升：
①已知，则___________；
②已知，则___________．
【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位
(2)，，
(3)①；②
【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键．
（1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题；
（2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案；
（3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解．
【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍．
故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位；
（2）解：∵．
∴，；
若，则，
故答案为：，，；
（3）解：①∵知，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
故答案为：．
【典型例题五 立方根新定义运算】
【例1】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）定义一种新的运算：．计算：的值是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，利用题中的新定义计算即可求出．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B．
【例2】 （24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段检测）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根
C． D．
【答案】D
【分析】利用n次方根的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数，
∴负数a没有偶数次方根，
∴A选项的结论不符合题意；
∵任何实数a都有奇数次方根，
∴B选项的结论不符合题意；
∵，
∴
∴C选项的结论不符合题意；
∵，
∴
∴D选项的结论符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方根的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用n次方根的定义是解题的关键．
【例3】（25-26八年级上·河南南阳·期中）定义变换．例如．则的变换结果是________．
【答案】
【分析】本题是数学新定义问题，主要考查了求立方根和算术平方根，
先计算内层变换 ，得到结果后再计算外层变换 ，根据变换定义求平方根和立方根．
【详解】解：∵定义变换 。
∴
故答案为 ．
【例4】（24-25七年级下·重庆梁平·期末）对于任意不相等的两个正实数，，定义运算△如下：，如，那么的立方根是______．
【答案】
【分析】先根据新定义求出的值，再根据立方根的定义求解．
【详解】解：∵，
∴=，
∴的立方根是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义，以及立方根的定义，根据新定义求出的值是解答本题的关键．
1．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）定义一种新运算“”：对于有理数和，．例：；．
(1)计算：__________，________；
(2)若，，求和的值．
【答案】(1)2；3
(2)，．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，算术平方根以及立方根，弄清题中的新定义是解本题的关键．
（1）利用题中的新定义结合算术平方根以及立方根的定义计算即可得到结果；
（2）已知等式利用题中的新定义得到二元一次方程组，利用加减消元法即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
，
故答案为：2；3；
（2）解：由题意得，
整理得，
得，
将代入②，得，
解得．
2．（25-26八年级上·上海闵行·期中）认真阅读下面的材料，再解答问题．
根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义．
(1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______；
(2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______；
(3)求的值：．
【答案】(1)；
(2)；任意实数
(3)或
【分析】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关定义是解此题的关键．
（1）根据，，，并结合题意即可得解；
（2）根据四次方根和三次方根的意义解答即可；
（3）根据四次方根的定义计算即可得解．
【详解】（1）解：∵，，
∴81的四次方根为，
∵，
∴的五次方根为，
故答案为：；；
（2）解：若有意义，则，
故的取值范围是；
若有意义，则的取值范围是任意实数，
故答案为：；任意实数；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或．
3．（24-25七年级下·江西赣州·期中）依照平方根（二次方根）和立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义：①如果x4＝a（a≥0），那么x叫做a的四次方根：②如果x5＝a，那么x叫做a的五次方根．请依据以上定义，解决下列问题：
（1）求81的四次方根；
（2）求﹣32的五次方根；
（3）求下列各式中未知数x的值：
①x4＝16；
②100000x5＝243．
【答案】（1）81的四次方根为±3；（2）﹣32的五次方根为-2；（3）①x＝±2；②．
【分析】（1）利用题中四次方根的定义求解；
（2）利用题中五次方根的定义求解；
（3）分别利用四次方根和五次方根的定义求解．
【详解】解：（1）∵（±3）4＝81，
∴81的四次方根为±3；
（2）∵（﹣2）5＝﹣32，
∴﹣32的五次方根为﹣2；
（3）①∵x4＝16，（±2）4＝16，
所以x＝±2；
②∵100000x5＝243，
∴x5＝，
又∵（）5＝，
∴x＝．
【点睛】本题考查了方根的定义．关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个．
【典型例题六 立方根的实际应用】
【例1】（25-26七年级下·广西桂林·期中）一种正方体形状的集装箱，体积是，这种正方体集装箱的棱长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正方体体积等于棱长的三次方，已知体积求棱长，计算得出结果即可．
【详解】解：设这种正方体集装箱的棱长为．
∵正方体体积公式为体积等于棱长的三次方，
∴．
∵，棱长为正数，
∴．
【例2】（24-25七年级下·云南昆明·期末）地球仪的主体结构是球体，根据球体体积公式（R为球体半径），计算得到下表数据：
地球仪的体积V（单位：） 地球仪的半径R（单位：）
地球仪A
地球仪B
已知地球仪C的体积为，则它的半径约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据立方根的定义及性质即可求得答案．本题考查立方根，熟练掌握其定义及性质是解题的关键．
【详解】解：设地球仪的半径为，
则，
那么，
，
由表格数据可得，
则，
即它的半径约为，
故选：B．
【例3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为________．
【答案】6
【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式列等式，求体积的立方根即可．
【详解】解：设康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为，
由题意得：，
解得：，
∴康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为．
故答案为：6．
【例4】（24-25七年级下·山西朔州·期中）蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的棱长为______．
【答案】5
【分析】本题主要考查了立方根的应用，根据正方体的体积公式结合立方根定义，求出正方体蓄水池的棱长即可．
【详解】解：∵正方体蓄水池容积为，
∴正方体蓄水池的棱长为．
故答案为：5．
1．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？
【答案】长方体铁块的长、宽、高分别为，和．
【分析】设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．根据“将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块”列方程求解即可．
【详解】解：设铸成的长方体铁块的长、宽、高分别为，，．
则，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：长方体铁块的长、宽、高分别为，和．
2．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号），因此，当时，有最小值2，此时．
【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他．
（1）函数的最大值为______．
（2）求函数的最小值，并写出取最小值时x的值．
【猜想提升】小明由上述的是出猜想：（当且仅当时取到等号）．通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题．
（3）设a，b，c是正实数，求的最小值．
【答案】（1）；（2）当时，最小值为8；（3）5
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，算术平方根的应用，不等式性质，熟练掌握完全平方公式和基本不等式的性质是解题的关键．
（1）将原式变形为，再根据“基本不等式”的性质求解即可；
（2）将原式变形为，再根据“基本不等式”的性质求解即可；
（3）原式变形为，再根据“基本不等式”的性质得到，即可求解．
【详解】由题意，，
又，
∴，
∴
有最大值；
故答案为：；
由题意，
∵，
∴
∴，
当时，即舍去或时，y有最小值，
答：当时，最小值为8；
由题意，，
，b，c是正实数，
，
，
的最小值为5，
的最小值为．
3．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）【情境导入】据说我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道求大数的立方根的题目，并很快给出了正确答案．
【知识储备】开立方和立方互为逆运算．请补全下面表格：
整数
[应用]根据以下步骤尝试求出的立方根：
步骤一：根据，，得到的立方根是 位数；
步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是 ；
步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是 ，因此的立方根是 ．
（1）将上述过程补充完整；
（2）请用同样的方法求的立方根．
【答案】[知识储备]，，，，，；[应用]（）两，，，；（）．
【分析】本题考查了有理数乘方，立方根及尾数特征，理解题干中求一个数的立方根的步骤是解题的关键．
[知识储备]根据有理数乘方即可求解；
[应用]根据有理数乘方，立方根即可求解；
（）根据有理数乘方，立方根即可求解；
（）根据有理数乘方，立方根即可求解．
【详解】解：[知识储备]
∵，，，，，；
补全表格如下：
整数
故答案为：，，，，，；
[应用]（）步骤一：根据，，得到的立方根是两位数；
步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是；
步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是，因此的立方根是；
故答案为：两，，，，
（）因为，，
所以的立方根是两位数，
因为的个位上的数是，，
所以的立方根个位上的数是，
如果划去后面的三位数，得到数，
而，，
所以的立方根十位上的数是，
所以的立方根为．
【典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用】
【例1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如果是8的立方根，则的算术平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义是解题的关键．根据是8的立方根，求出，再根据算术平方根定义求出结果即可．
【详解】解：∵是8的立方根，
∴，
∴的算术平方根是．
故选：C．
【例2】（24-25八年级上·安徽淮南·自主招生）若，则的值为（ ）
A．1 B． C．7 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键.
【详解】解： ∵；
∴
故选：A.
【例3】（24-25七年级下·山东德州·期末）若的算术平方根是5，则的立方根是__________．
【答案】2
【分析】本题考查算术平方根，立方根．根据的算术平方根是5可得，从而求出a的值，进而求出，即可求出它的立方根．
【详解】解：∵的算术平方根是5，
∴，
∴，
∴，
∴的立方根是2．
故答案为：2
【例4】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）已知x为64的立方根，y为4的算术平方根，则_____．
【答案】16
【分析】根据立方根和算术平方根可求出x、y的值，然后代入求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，，
∴；
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查立方根与算术平方根，熟练掌握求一个数的立方根与算术平方根是解题的关键．
1．（24-25七年级下·福建莆田·期中）李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！
【答案】的立方根为，过程见解析
【分析】本题考查了算术平方根，平方根和立方根的综合，熟练掌握算术平方根，平方根和立方根的性质是解题的关键．
根据平方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后将其代入中计算后根据立方根的定义即可求得答案．
【详解】解：∵的平方根是，6是的算术平方根，
∴，，
解得：，，
∴，
∴的立方根为．
2．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根．
（2）若的算术平方根是5，求的平方根．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，非负数的性质，代数式求值．解题的关键是：
（1）由算术平方根和立方根的定义可求出，，即得出，，，代入中求值，再求其立方根即可；
（2）由被开方数为非负数即可求出，由算术平方根的定义可求出，代入中求值，再求其平方根即可．
【详解】解：（1）∵是的算术平方根，是的立方根，
∴，，
∴，，
∴，，
∴的立方根为；
（2）根据题意得，
∴，
∴
∵n的算术平方根是5，
∴，
∴的平方根为．
3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换．
A变换：首先对一个数取立方根，然后取不小于该立方根的最小整数；
B变换：首先对一个非负数取算术平方根，然后减去1．
例如：6经过一次A变换得到2，7经过一次B变换得到．
(1)11经过一次A变换得到的数是______；
(2)m经过一次B变换得到b，若，求m的值；
(3)x经过一次A变换得到a，再经过一次B变换得到1，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查立方根、算术平方根、不等式的相关知识，读懂题目中得变换是解题的关键．
（1）根据A变换的方式进行，要理解不小于三个字的意思；
（2）先求出m经过一次B变换得到，再得到等式求解即可；
（3）根据x经过一次A变换得到a，得到不等式组，再根据经过一次B变换得到1，算出即可求解，
【详解】（1）解：11经过一次A变换，
，
得到的数是，
故答案为：；
（2）解：m经过一次B变换得到b，
，
，
即，
解得：，
；
（3）解：x经过一次A变换得到a，
，
再经过一次B变换得到1，
，
解得：，
1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．是的负的平方根
C．的立方根是2 D．是有理数
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方根、立方根等知识点，掌握平方根的定义和立方根的定义是解题的关键．
根据平方根、立方根的定义逐个判断即可．
【详解】解：A． 的平方根是，故该选项错误，不符合题意；
B． 是负数没有平方根根，故该选项错误，不符合题意；
C． 的立方根是2，故该选项正确，符合题意；
D． 是无理数，故该选项错误，不符合题意．
故选C．
2．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键．
将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选A．
3．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（ ）
A．11 B．16 C．28 D．44
【答案】C
【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出a的值，进而求出x的值，再根据立方根的定义求出y的值即可得到答案．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
∴，
∴；
∵实数的立方根是，
∴，
∴．
4．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【答案】A
【分析】本题主要考查了立方根的应用，求得每个小正方体的体积成为解题的关键．
先求出每个小正方体的体积，利用立方根定义求出棱长即可．
【详解】解：根据题意得每个小正方体的体积为，
∴每个小正方体的棱长为，
故选：A．
5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系
【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键．
6．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）一个正数x的平方根是与，则的立方根为______．
【答案】
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出的值，再计算的值，进而求出的立方根．
【详解】解：∵一个正数的平方根是与，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴的立方根为．
7．（25-26七年级下·江西上饶·期中）已知，且与互为相反数，则y的值为______．
【答案】4或或5
【分析】根据题意可得，根据立方根是它本身的数有和0得到或或，据此求出x的值，进而求出的值，根据题意可得到，即，据此建立方程求解即可．
【详解】解：，
，
或或，
或或，
或或．
与互为相反数，
，
，
或或，
或或 ．
8．（24-25七年级下·重庆·期中）已知4m+15的算术平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，则＝___．
【答案】4
【分析】利用算术平方根，立方根定义求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】由题意可得：，，
解得：，，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，其中的正数叫做a的算术平方根，．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．
9．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，则_________．
0.008 8 8000 8000000
0.2 2 20 200
【答案】2.872
【分析】根据表格中的数据可知，被开立方的数的小数点每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，解答即可．
【详解】解：，
．
10．（25-26七年级下·陕西西安·期中）有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的表面积为___________．
【答案】486
【分析】先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方体水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长，进而根据正方体的表面积公式即可求解．
【详解】解：第一个正方体水箱的体积为，
∴第二个正方体水箱的体积为，
∴第二个正方体水箱的棱长为，
∴第二个水箱的表面积为．
11．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）某正数m的平方根分别为和，的立方根为2．
(1)求m的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
的平方根为
【分析】本题主要考查了平方根，立方根，解题关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
（1）根据平方根的定义求出的值，即可解答；
（2）根据立方根的定义求出的值，进而求出的值，再根据平方根的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：∵某正数m的平方根分别是和，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵的立方根为2，
∴，
解得；
由（1）知，
∴，
∴的平方根为．
12．（24-25七年级下·吉林松原·期中）已知的立方根是，的算术平方根是．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（）根据立方根、算术平方根的定义可得方程组，解方程组即可求解；
（）由，可得，求的平方根即可求解；
本题考查了立方根、算术平方根、平方根的定义，根据立方根、算术平方根的定义求出的值是解题的关键．
【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是，
∴，，
即，
解得，
∴，；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴的平方根是．
13．（24-25七年级下·吉林·期中）已知，且与互为相反数，
(1)求的值；
(2)求的算术平方根；
(3)求的立方根．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（）根据非负数的性质可求出的值，再根据立方根的性质和相反数的定义可得的值；
（）把的值代入求出的值，进而根据算术平方根的定义即可求解；
（）把的值代入求出的值，进而根据立方根的定义即可求解；
本题考查了非负数的性质，算术平方根和立方根的定义，相反数的定义，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∵与互为相反数，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴的算术平方根为；
（3）解：∵，，
∴，
∴的立方根为．
14．（25-26七年级下·北京·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
据说华罗庚是这样准确迅速地计算出来的：
(1)由，，可以确定是2位数．
(2)由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9．
(3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此能确定的十位上的数是3．
已知17576，29791，1061208都是整数的立方，按照上述方法，请直接写出它们的立方根，17576的立方根是______，29791的立方根是______，1061208的立方根是______．
【答案】(1)
26
(2)
31
(3)
102
【分析】本题考查立方根的估算，按照题干给出的方法，先根据幂的大小确定立方根的位数，再根据原数的个位数字确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，通过对比立方数确定剩余高位数字，即可求出结果.
【详解】（1）解：求的立方根：
因为，，且，
所以是两位数；
因为的个位数字是，且只有的个位数字为，
所以的个位数字是；
划去的后三位，得到，
因为，，且，
所以的十位数字是，
故；
（2）解：求的立方根：
因为，，且，
所以是两位数；
因为的个位数字是，且只有的个位数字为，
所以的个位数字是；
划去的后三位，得到，
因为，，且，
所以的十位数字是，
故；
（3）解：求的立方根：
因为，，且，
所以是三位数；
因为的个位数字是，且只有的个位数字为，
所以的个位数字是；
划去的后三位，得到，
因为，，且，
所以的前两位是，
故.
15．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表：
a 0.000008 0.008 8 8000
（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______；
（3）根据你发现的规律解答：
①已知，，，则介于哪两个整数之间？
②已知，则______；
③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米）
【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮
【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键．
（1）利用立方根的定义填表即可；
（2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解；
（3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解．
【详解】解：（1）填表如下：
a 0.000008 0.008 8 8000
0.02 0.2 2 20
（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；
（3）①，
，
介于整数12和13之间；
②，
；
③设正方体的棱长为a米，则，
由②知，
；
，
（平方米），
答：需要大约9.02平方米的铁皮．
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第07讲 立方根（1大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 立方根的概念理解
典型例题二 求一个数的立方根
典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数
典型例题四 与立方根有关的规律探索
典型例题五 立方根新定义运算
典型例题六 立方根的实际应用
典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用
知识点01 立方根
1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
总结：
类型 项目 平方根 立方根
被开方数 非负数 任意实数
符号表示
性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；
重要结论
【即时训练】
1．（24-25七年级下·全国·周测）下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4 B．没有立方根
C．－1的立方根为±1 D．
2．（25-26七年级下·四川南充·期中）若，则_____，若，则_____．
【典型例题一 立方根的概念理解】
【例1】（25-26七年级下·广西梧州·期中）下列说法正确的是（ ）
A． B．0既没有平方根也没有立方根
C．的立方根是 D．的平方根是
【例2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）要使成立，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．任意数
【例3】（24-25八年级上·安徽·期末）化简：______．
【例4】（24-25七年级下·全国·期中）绝对值是它本身的数是_________，平方和平方根都是它本身的数是_________，倒数是它本身的数是_________，相反数是它本身的数是_________．
1．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）已知的算术平方根是5，是27的立方根，的平方根是0．
(1)求a、b、c的值；
(2)求的平方根．
2．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）小颖和小聪对话如下：
请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题．
3．（24-25七年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，并解决问题
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人惊奇，忙问计算奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出结果的吗？
∵，，
∴是两位数，
∵的个位数是9
∴的个位数是9，
如果划去后面的三位得到数，而，，由此确定的十位数是3，
所以．
请你应用以上方法计算的立方根（要求写出解答过程）．
【典型例题二 求一个数的立方根】
【例1】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）平方根和立方根是七年级下学期学习的两个重要概念．根据相关的定义，8的立方根是（ ）
A． B． C．2 D．
【例3】（2026·上海·模拟预测）实数的立方根是__________．
【例4】（25-26八年级上·湖南株洲·自主招生）计算：________；________．
1．（25-26七年级下·广西北海·期中）已知一个正数的两个平方根分别为和．
(1)数与这个正数是多少？
(2)这个正数的算术平方根和立方根是多少？
2．（2025·新疆阿克苏·一模）已知一个正数的两个平方根分别为a和．
(1)求a的值，并求这个正数；
(2)求的立方根．
3．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；
②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是；
③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1) ；
(2)若，则 ；
(3)已知，且与互为相反数，求，的值．
【典型例题三 已知一个数的立方根，求这个数】
【例1】（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）若，则（ ）
A．5 B．7 C． D．
【例2】（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知是整数，则满足条件的正整数最小是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【例3】（25-26七年级下·广东江门·期中）已知，则的值是_____．
【例4】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知，则___________
1．（25-26七年级下·安徽六安·期末）已知实数的立方根是2，实数的算术平方根是4．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
2．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为．
(1)求n的值；
(2)求这个正数；
(3)求的平方根．
3．（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）（1）已知的平方根是，的立方根是3．求的平方根；
（2）已知和是正数m的两个不相等的平方根，求正数m的值．
【典型例题四 与立方根有关的规律探索】
【例1】（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（ ）
A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6
【例2】（25-26七年级下·河南信阳·阶段检测）小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（ ）
0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000
0.16 1.6 16 160 1600
A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35
【例3】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察规律：，，．则_____．
【例4】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下表是部分正数x的平方和立方．
x 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5
65.61 67.24 68.89 70.56 72.25
531.441 551.368 571.787 592.704 614.125
根据上表的数据，可得：________；________；________．
1．（24-25八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中
式子 …… ……
结果 …… ……
根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案：
(1)
(2)若，则
参考值：， ，
2．（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察如表，并解答下列问题．
a 1 1000 1000000
______ ______ 100
【规律总结】
（1）①请补全如表；
②根据如表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位；
【规律应用】
（2）已知，，．
①______；
②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（保留整数）
3．（24-25七年级下·河北沧州·期中）观察下表：
0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 0.1 1 10 100
(1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________；
(2)根据你发现的规律填空：已知．
则___________，___________；
若，则___________；
(3)拓展提升：
①已知，则___________；
②已知，则___________．
【典型例题五 立方根新定义运算】
【例1】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）定义一种新的运算：．计算：的值是（ ）
A．2 B．5 C．10 D．
【例2】 （24-25八年级上·辽宁辽阳·阶段检测）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以叫的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根
C． D．
【例3】（25-26八年级上·河南南阳·期中）定义变换．例如．则的变换结果是________．
【例4】（24-25七年级下·重庆梁平·期末）对于任意不相等的两个正实数，，定义运算△如下：，如，那么的立方根是______．
1．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）定义一种新运算“”：对于有理数和，．例：；．
(1)计算：__________，________；
(2)若，，求和的值．
2．（25-26八年级上·上海闵行·期中）认真阅读下面的材料，再解答问题．
根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义．
(1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______；
(2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______；
(3)求的值：．
3．（24-25七年级下·江西赣州·期中）依照平方根（二次方根）和立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义：①如果x4＝a（a≥0），那么x叫做a的四次方根：②如果x5＝a，那么x叫做a的五次方根．请依据以上定义，解决下列问题：
（1）求81的四次方根；
（2）求﹣32的五次方根；
（3）求下列各式中未知数x的值：
①x4＝16；
②100000x5＝243．
【典型例题六 立方根的实际应用】
【例1】（25-26七年级下·广西桂林·期中）一种正方体形状的集装箱，体积是，这种正方体集装箱的棱长是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级下·云南昆明·期末）地球仪的主体结构是球体，根据球体体积公式（R为球体半径），计算得到下表数据：
地球仪的体积V（单位：） 地球仪的半径R（单位：）
地球仪A
地球仪B
已知地球仪C的体积为，则它的半径约为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）某甜品店的李师傅制作的长方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积是李师傅制作的1.5倍，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为________．
【例4】（24-25七年级下·山西朔州·期中）蓄水池（如图）是用人工材料修建、具有防渗作用的蓄水设施．某地准备修建一个容积为的正方体蓄水池，则该正方体蓄水池的棱长为______．
1．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）将棱长为的正方体铁块在炉火中熔化，重新铸成8个大小形状相同的长方体铁块，且长方体铁块的长、宽、高的比为，求铸成的长方体铁块的长、宽、高各是多少？
2．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段检测）【阅读材料】小明在兴趣小组学习了“基本不等式”的相关知识．整理如下：对于正数a、b，有，所以，即（当且仅当时取到等号）．特别地，（当且仅当时取到等号），因此，当时，有最小值2，此时．
【简单应用】小明完成了大部分老师布置的作业，但还有两题不会，请你帮一帮他．
（1）函数的最大值为______．
（2）求函数的最小值，并写出取最小值时x的值．
【猜想提升】小明由上述的是出猜想：（当且仅当时取到等号）．通过查阅资料，他惊奇地发现这个猜想是正确的，请你利用小明这个猜想解答下面的问题．
（3）设a，b，c是正实数，求的最小值．
3．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）【情境导入】据说我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道求大数的立方根的题目，并很快给出了正确答案．
【知识储备】开立方和立方互为逆运算．请补全下面表格：
整数
[应用]根据以下步骤尝试求出的立方根：
步骤一：根据，，得到的立方根是 位数；
步骤二：根据个位上的数是，得到的立方根个位上的数是 ；
步骤三：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数是 ，因此的立方根是 ．
（1）将上述过程补充完整；
（2）请用同样的方法求的立方根．
【典型例题七 算术平方根和立方根的综合应用】
【例1】（24-25七年级下·河北邯郸·期中）如果是8的立方根，则的算术平方根是（ ）
A．2 B． C． D．
【例2】（24-25八年级上·安徽淮南·自主招生）若，则的值为（ ）
A．1 B． C．7 D．
【例3】（24-25七年级下·山东德州·期末）若的算术平方根是5，则的立方根是__________．
【例4】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期末）已知x为64的立方根，y为4的算术平方根，则_____．
1．（24-25七年级下·福建莆田·期中）李三同学遇到这样一道题目：“已知的平方根是，6是的算术平方根，求的立方根．”他费了很大的精力才做了出来，你能很快解决这个问题吗？请试一试！
2．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根．
（2）若的算术平方根是5，求的平方根．
3．（24-25七年级下·福建厦门·期末）小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换．
A变换：首先对一个数取立方根，然后取不小于该立方根的最小整数；
B变换：首先对一个非负数取算术平方根，然后减去1．
例如：6经过一次A变换得到2，7经过一次B变换得到．
(1)11经过一次A变换得到的数是______；
(2)m经过一次B变换得到b，若，求m的值；
(3)x经过一次A变换得到a，再经过一次B变换得到1，求x的取值范围．
1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是 B．是的负的平方根
C．的立方根是2 D．是有理数
2．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，实数的立方根是，则的值为（ ）
A．11 B．16 C．28 D．44
4．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图，由27个完全相同的小正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方体的棱长是（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
5．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26七年级下·安徽合肥·期末）一个正数x的平方根是与，则的立方根为______．
7．（25-26七年级下·江西上饶·期中）已知，且与互为相反数，则y的值为______．
8．（24-25七年级下·重庆·期中）已知4m+15的算术平方根是3，2﹣6n的立方根是﹣2，则＝___．
9．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察下表规律，利用规律解答，若，则_________．
0.008 8 8000 8000000
0.2 2 20 200
10．（25-26七年级下·陕西西安·期中）有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的表面积为___________．
11．（25-26八年级上·江苏淮安·期中）某正数m的平方根分别为和，的立方根为2．
(1)求m的值；
(2)求的平方根．
12．（24-25七年级下·吉林松原·期中）已知的立方根是，的算术平方根是．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
13．（24-25七年级下·吉林·期中）已知，且与互为相反数，
(1)求的值；
(2)求的算术平方根；
(3)求的立方根．
14．（25-26七年级下·北京·期中）我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
据说华罗庚是这样准确迅速地计算出来的：
(1)由，，可以确定是2位数．
(2)由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是9．
(3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此能确定的十位上的数是3．
已知17576，29791，1061208都是整数的立方，按照上述方法，请直接写出它们的立方根，17576的立方根是______，29791的立方根是______，1061208的立方根是______．
15．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表：
a 0.000008 0.008 8 8000
（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______；
（3）根据你发现的规律解答：
①已知，，，则介于哪两个整数之间？
②已知，则______；
③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米）
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