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第08讲 实数（4大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 无理数
典型例题二 无理数的大小估算
典型例题三 无理数整数部分的有关计算
典型例题四 实数概念理解
典型例题五 实数的性质
典型例题六 实数与数轴
典型例题七 实数的大小比较
典型例题八 程序设计与实数运算
典型例题九 求一个数的近似数
典型例题十 近似数的精确度
典型例题十一 新定义下的实数运算
典型例题十二 与实数运算相关的规律题
知识点01 无理数
1.无理数：无线不循环小数叫做无理数.
无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.
2.常见的无理数三种形式
（1）开方开不尽的数的方根，如等；
（2）及化简后含的数，如，等；
（3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）.
3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式.
4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据定义判断各选项即可，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数．
【详解】解：选项A．是有限小数，属于有理数，
选项B．是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，
选项C．是分数，属于有理数，
选项D．是整数，属于有理数．
2．（25-26八年级上·四川成都·期末）在实数，，，，0，中，无理数有_______ 个．
【答案】2
【分析】根据无理数的定义，逐个判断每个实数： 是有理数； 是无理数； 是无理数； 是有理数；0 是有理数； 是有理数，因此无理数有 2 个
【详解】- 是分数，分子和分母都是整数，因此属于有理数；
- 是无理数， 是无理数，因为有理数与无理数之和为无理数；
- = = ， 是无理数，因此 是无理数；
- = -4，是整数，因此属于有理数；
- 0 是整数，因此属于有理数；
- 是循环小数，可化为分数 ，因此属于有理数；
无理数有 2 个，
故答案为2
知识点02 实数及分类
1.有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类
（1）按定义分类：
（2）按性质分类：
PS：0既不是正实数，也不是负实数.
【即时训练】
1．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）在实数中，有理数的个数是（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题根据有理数的定义，逐一判断每个数的类型，统计有理数的个数即可得到结果．有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数，无限不循环小数是无理数．
【详解】 是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数；
是分数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
中是无限不循环小数，因此属于无理数；
是负整数，属于有理数；
是有限小数，可以化为分数，属于有理数；
∴ 有理数共有个，
故选：D．
2．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）在下列各数，中：
整数有{__________________}
有理数有{_________________}
无理数有{__________________}
负实数有{__________________}．
【答案】整数有；有理数有；无理数有；负实数有
【分析】此题考查了实数的分类，掌握实数的分类是解题的关键，实数包括有理数和无理数；实数可分为正数、负数和0．
根据实数的分类即实数分为有理数和无理数，有理数分为正有理数和负有理数和0，即可得出答案．
【详解】解：在中，
整数有，
有理数有
无理数有
负实数有．
故答案为：0；；；．
知识点03 实数与数轴上点的关系
1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应.
2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点.
正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧.
【即时训练】
1．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】A
【分析】先求解出的范围，再结合数轴求解即可．
【详解】解：∵，，
由可得，
∵，则，
∴，
∴，
∴，即，
可知实数的点可能是点A．
2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点，则点对应的数的小数部分是___________．
【答案】
【分析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
用原点表示的数加上圆的周长，再减去周长的整数部分即可得到答案．
【详解】解：∵直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点，
∴点对应的数是，它的小数部分是．
故答案为：．
知识点04 比较实数的大小
有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用.
1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小.
3.比较两个实数大小的常用方法：
（1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小；
（2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；
（3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较；
（4）作差比较法：当时，；当时，；当时，.
（5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则
（6）倒数比较法：a、b为正数，若，则；
（7）平方比较法：a、b为正数，若，则.
【即时训练】
1．（2026·四川成都·模拟预测）在四个实数中，最大的实数是（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【分析】利用实数比较大小的基本规则，先区分正负，再比较正数大小即可得到结果．
【详解】解：∵ 负数小于0，0小于正数，
∴ ，
比较正数和，
∵ ，且，
∴ ，即．
因此四个数的大小关系为 ．
故最大的实数是
2．（25-26七年级下·山东日照·期中）在学习无理数的估算时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏，数值大的为赢家．小丽抽到的卡写的是，小颖抽到的卡写的是1，那么赢家是________．（填“小丽”或“小颖”）
【答案】小颖
【分析】用作差法比较大小即可求解．
【详解】解：，
，
∴，
，
赢家是小颖．
【典型例题一 无理数】
【例1】（2026·山西长治·模拟预测）下列是无理数的是（ ）
A． B． C．3.14 D．
【答案】A
【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，逐一判断选项即可．
【详解】解：∵ 无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数，
∴ 是整数，属于有理数，是有限小数，可化为分数，属于有理数，是分数，属于有理数，
是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数．
【例2】（25-26七年级下·广西南宁·期中）在实数，，，中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】无理数是指无限不循环小数，且不能表示为分数形式的实数，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、是开方开不尽的数，属于无理数，符合题意；
B、，是整数，属于有理数，不符合题意；
C、是有限小数，属于有理数，不符合题意；
D、是分数，属于有理数，不符合题意．
【例3】（2026七年级下·四川广元·专题练习）下列各数：0.1212212221…（每两个1之间依次多1个6）中，无理数有______个．
【答案】3
【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此判断即可．
【详解】解：、、0.1212212221…（每两个1之间依次多1个6）是无理数，共有3个，
、，是有理数，
故答案为：3．
1．（25-26七年级下·吉林松原·期中）数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下：
（每两个“1”之间依次多一个“0”）．
(1)主办方需要准备__________个“无理数”的席位；
(2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内．
“整数”席：（ ）；
“分数”席：（ ）．
【答案】(1)3
(2)；
【分析】（1）根据无理数的定义解答；
（2）根据有理数分类解答即可.
【详解】（1）解：由题可知，“无理数”有：
则共有无理数3个．
（2）解：由题可知：“整数”席为：；
“分数”席为：．
2．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m、n为有理数．x为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题：
(1)如果，其中m、n为有理数，则_____________，_____________；
(2)若x、y均为有理数，且，求的值．
【答案】(1)，2
(2)的值为5或－3
【分析】（1）根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可；
（2）先整理，再按题干提供的方法求解．
【详解】（1）解：∵，其中为有理数，
∴，；
∴，．
（2）解：∵，
∴
∵x、y为有理数，
∴，，
∴，，
∴当，时，；
当，时，；
综上所述，的值为5或．
3．（24-25七年级下·广西河池·期中）理解与应用
【阅读材料】设a，b是有理数，且满足，求a，b的值．
解：由得．
因为a，b都是有理数，
所以，也是有理数．
因为是无理数，
所以，，解得：，，
【方法应用】设x，y是有理数，满足，求的值．
【答案】的值为64或
【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，无理数的应用，由，可得：，再进一步求解即可.
【详解】解：由，
得：．
因为x，y都是有理数，
所以，也是有理数．
因为是无理数，所以，，
解得，，
当，时，
当，时，
综上所述，的值为64或．
【典型例题二 无理数的大小估算】
【例1】（25-26七年级下·广西桂林·期中）与无理数最接近的整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴，
即，
∴与无理数最接近的整数是：．
【例2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知，若n为整数且，则n的值为（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
【答案】B
【详解】解：∵，，且，
∴，
即．
∵，且为整数，
∴．
【例3】（25-26七年级下·湖北武汉·期中），是连续的两个整数，若，则的值是__________．
【答案】
【分析】找到平方分别小于和大于的两个连续整数，即可得到的值．
【详解】解：，，
即，
，且，是连续的两个整数，
．
1．（25-26七年级下·广东江门·期中）按要求完成作答：
(1)25的平方根是_____．
(2)已知一个正数的两个不同的平方根分别和，则_____．
(3)已知一个正数的两个不同的平方根分别为和．求这个正数，并写出的立方根在哪两个连续整数之间．
【答案】(1)
(2)
(3)这个正数是，的立方根在和之间
【分析】（1）根据平方根的定义，直接计算25的平方根．
（2）根据正数的两个不同平方根互为相反数的性质，可得它们的和为0．
（3）先利用正数的两个不同平方根互为相反数，列方程求出的值，再求出这个正数，最后计算的立方根并判断其所在的两个连续整数之间的范围．
【详解】（1）解：
的平方根是
（2）解：一个正数的两个不同平方根互为相反数，
．
（3）解：∵一个正数的两个不同的平方根分别为和，
，
解得．
，
这个正数为
，，
，
的立方根在和之间．
2．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）已知无理数的整数部分和小数部分可以通过夹逼法确定，解答下列问题：
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值；
(3)已知，其中p是整数，且，求的相反数．
【答案】(1)4，
(2)
(3)
【分析】（1）估算无理数的大小，即可确定其整数部分和小数部分；
（2）估算无理数、的大小，确定m、n的值，再代入计算即可；
（3）估算无理数的大小，根据题意确定p、q的值，代入计算后再求其相反数即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4，；
（2）解：∵，
∴的小数部分，
又∵，
∴的整数部分，
∴；
（3）解：∵，
∴，
又∵，且，p是整数，
∴，，
∴．
∴的相反数为．
3．（25-26七年级下·福建莆田·期中）单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程：
面积为2的正方形边长为，可知，因此设，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即．
(1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；
(2)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若，且，试用含m和n式子表示的估算值．
【答案】(1)2.65，图见解析，求解过程见解析
(2)
【分析】（1）首先由得到，设，然后同题干的方法求解；
（2）设，然后同题干的方法求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，设，
如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，
∴，
∵较小故略去，得，
∴，即；
（2）解：∵，且
∴设，
如下图所示，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成，
∴，
∵较小故略去，得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【典型例题三 无理数整数部分的有关计算】
【例1】（2025·广东广州·二模）若的整数部分为a，小数部分为b，则（）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】B
【分析】本题考查无理数的整数部分与小数部分的确定以及平方差公式的应用，解题关键是利用平方数大小关系确定的范围，从而得到其整数部分与小数部分．
1．利用，，，确定的范围为，得出整数部分，小数部分．将、的值代入，利用平方差公式计算出结果．
【详解】，，，
，
的整数部分，小数部分，
原式
，
故选：B．
【例2】（24-25七年级下·山东临沂·期中）用符号表示一个实数的整数部分，例如：，按此规定的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出的范围．再进一步求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴.
故选：A
【例3】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）若的整数部分为，小数部分为，则______．
【答案】/
【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．根据首先确定的值，则小数部分即可确定．
【详解】解：，
∴，
，
∴．
故答案为：．
1．（25-26七年级下·云南昆明·期中）已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根．
(1)求的平方根；
(2)若的整数部分是，小数部分是，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据平方根和立方根的定义求出a，b的值，代入求出的值，再计算它的平方根．
（2）先求出，再估算无理数得到整数部分和小数部分，最后代入计算即可．
【详解】（1）解：的平方根是
解得
的立方根是
解得
∴
的平方根是；
（2）解：是的算术平方根，
，
，
的整数部分，小数部分，
．
2．（25-26七年级下·安徽阜阳·阶段检测）阅读下面的文字：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分．根据以上的内容，解答下面的问题：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)如果的整数部分为a，的立方根是2，求a和b的值；
(3)已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的平方根．
【答案】(1)2；
(2)
(3)
【分析】（1）通过平方数比较确定的取值范围，从而得到其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分；
（2）通过平方数比较确定的取值范围，从而得到其整数部分，得到，将其代入，再利用已知条件得到b的值；
（3）先确定的取值范围，从而得到的范围，分离出整数部分和小数部分，再代入代数式计算．
【详解】（1）解：，且，
，
的整数部分是2；小数部分是；
（2）解：，
的整数部分；
的立方根是2，
，
，
即；
（3）解：，
，
的整数部分，的小数部分，
，
的平方根为．
3．（25-26七年级下·福建莆田·期中）素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间．例如，因为，即，所以，的整数部分是．
素材2：国际标准的系列长方形纸张（常用于信封）遵循长宽比为的规则．假设某定制纸的面积为．每降低一个号数（如从到），是将上一号纸张沿长边对折而成，面积减半．参考数据：，，．
【问题】
(1)设纸（由对折一次得到）的宽为．
①求纸的面积；
②求纸宽的整数部分．
(2)请估算纸的宽（单位：）介于哪两个相邻整数之间？
【答案】(1)①；②
(2)介于和两个相邻整数之间
【分析】（1）①根据纸由对折一次得到可知，即可求解；②设纸的宽为，则长为，利用面积列方程求解即可；
（2）设纸的宽为 ，长为 ，已知面积为，列方程求解即可.
【详解】（1）①解：∵从到，共对折了次，
∴；
②解：设纸的宽为，则长为，
，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
结论：纸宽的整数部分是；
（2）解：设纸的宽为 ，长为 ，已知面积为，
，
即：，
，
∴， ，
∵
∴，
结论：纸的宽介于和两个相邻整数之间.
【典型例题四 实数概念理解】
【例1】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（ ）
A．无理数都是无限小数 B．有理数只是有限小数
C．无限小数都是无理数 D．实数可以分为正实数和负实数
【答案】A
【分析】无限不循环小数是无理数，无理数和有理数统称实数，根据定义进行逐项判断即可．
【详解】、根据无理数的定义，无理数都是无限小数，故本选项正确；
、有理数不只是有限小数，例如无限循环小数也是有理数，故本选项错误；
、无限小数不一定都是无理数，其中无限循环小数为有理数，故本选项错误；
、实数可以分为正实数和负实数和，故本选项错误；
故选：．
【点睛】此题考查了有理数，无理数，实数的定义，解题的关键在于正确区分各名词的含义．
【例2】（24-25八年级上·广东河源·期中）实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项．
【详解】解：实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，
是无理数的有：，，，（每两个3之间依次多一个1），
∴无理数的个数是4个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式，熟记无理数的定义是解题的关键．
【例3】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）的相反数是______________．
【答案】/
【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数，即可得到正确的答案．
【详解】解：无理数的相反数是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求一个实数的相反数的能力，关键是能准确理解、运用相反数的概念．
1．（24-25八年级上·福建三明·期中）把下列各数填入相应的括号内：
(1)无理数：{ …}；
(2)负实数：{ …}；
(3)整 数：{ …}；
(4)分 数：{ …}；
【答案】(1)无理数：；
(2)负实数：；
(3)整 数：；
(4)分 数：
【分析】（1）根据无理数是无限不循环的小数判断即可；
（2）根据负实数包括负有理数和负无理数判断即可；
（3）根据整数包括正整数、0、负整数判断即可；
（4）根据分数包括正分数和负分数判断即可．
【详解】（1）解：无理数：；
（2）负实数：；
（3）整 数：；
（4）分 数：．
【点睛】本题考查了实数的有关定义，解题的关键是掌握相关定义．
2．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段检测）一组实数按如下规律排列：，___，_____．
(1)两条横线上的实数分别____；
(2)第11、12个实数分别是_____．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，据此即可求解；
（2）按照（1）中的方法即可求解．
【详解】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，
∴横线上的实数，的系数为5+8=13，8+13=21，
所以横线上的实数分别为，
（2）由（1）可知第8个数为，
∴第9个数为，
第10个数为，
第11个数为，
第12个数为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了实数的规律问题，观察数字中的系数，找到规律是解题的关键．
3．（25-26七年级下·山西忻州·期中）阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务．
关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得
任务：
(1)是___________．（填“无理数”或“有理数”）
(2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程．
(3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值．
【答案】(1)无理数
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据无理数的意义进行判断；
（2）仿照阅读材料中的证明过程进行解答即可；
（3）根据相反数的意义得，再根据立方根的意义求解即可．
【详解】（1）解：是无理数；
（2）证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，
∴，
两边立方，得：，
∵是偶数，
∴是偶数，
∴是偶数，
设（是正整数），
∴，即，
∵是偶数，
∴是偶数，
∴是偶数，
∴，都是偶数，与假设矛盾，
即不是有理数；
（3）解：∵是无理数，且与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
∴．
【典型例题五 实数的性质】
【例1】（25-26八年级上·河北唐山·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得答案．
【详解】解：，
故选：B．
【例2】（24-25七年级下·广西玉林·期末）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数的性质，根据绝对值的定义，负数的绝对值是其相反数求解即可．
【详解】解：
故选B．
【例3】（24-25八年级上·山西·期中）的相反数是___________；的倒数为___________；___________
【答案】
【分析】本题考查实数的相反数，倒数，绝对值，根据只有符合不同的两个数互为相反数，乘积为的两个数互为倒数，负数的绝对值是它的相反数解答即可．
【详解】解：的相反数，的倒数为，
故答案为：，，．
1．（24-25七年级下·吉林白城·期末）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握算术平方根与立方根的计算是关键；计算算式中的算术平方根、绝对值及立方根即可求解．
【详解】解：原式=
．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明．
(1)已知两个实数a，b，则．
(2)两个无理数的和一定是无理数．
【答案】(1)不正确；举例见详解
(2)不正确；举例见详解
【分析】本题考查实数的性质，通过举反例判断说法的正确性．
（1）考虑b的符号并举例即可判断．
（2）考虑互为相反数的无理数即可求解．
【详解】（1）解：不正确，理由如下：
当时，，例如，则，因此说法不正确．
（2）解：不正确，理由如下：
两个无理数的和不一定是无理数，例如无理数和，
它们的和为0（有理数），因此说法不正确．
3．（24-25七年级下·广西南宁·期中）情境：一天小明在复习数学的时候，看到课本多次出现无理数，于是他展开了联想；
提出问题：有多大？小数部分是什么样的？能在数轴上表示出来吗？怎么表示呢？
实践操作：小明按计算器，发现计算器显示…，了解到是一个大于1且小于2的无限不循环小数，计算器不能全部地把小数部分显示出来，于是小明用来表示的小数部分．随即小明又想到，如果没有计算器，该如何去估计一个无理数的大小呢？于是小明继续翻阅资料，获取了两条重要材料．材料如下：
材料一：以1个单位长度为边长画一个正方形，这个正方形的对角线就是，借助圆规就可以在数轴上表示和，B两点： 材料二：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为．
学以致用：（1）的整数部分是_______，小数部分是_______；
拓展应用：（2）小明继续发散思维，发现还可以借助坐标平移和绝对值等知识比较实数的大小，进行数的计算，于是小明自己出题，请你独立思考并解决以下问题：
①写出介于哪两个相邻整数之间？去绝对值等于多少？
②若，求x的值．
【答案】（1）4；；（2）①介于3和4两个相邻整数之间；去绝对值等于；②或
【分析】本题考查无理数的估算，掌握夹逼法，判断无理数的范围，是解题的关键．
（1）利用夹逼法确定的范围，即可得出结果；
（2）①结合的范围，确定的范围，根据绝对值的意义，去绝对值即可；
②根据绝对值的意义，解绝对值方程即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分为：；
（2）①∵，
∴，
∴；
即：介于3和4之间；
∵，
∴；
②∵，
∴，
∴或．
【典型例题六 实数与数轴】
【例1】（2026·重庆大足·一模）数轴上的点与数是一一对应的关系．如图，数轴上表示0的点是（　　）
A．M B．N C．P D．Q
【答案】B
【详解】解：根据图示，点N位于数轴上0的位置，
因此正确答案是B．
【例2】（25-26八年级上·福建莆田·期中）小明用一枚硬币在数轴上作滚动游戏，如图，A是硬币圆周上一点，开始时点A在原点O处．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（ ）
A． B．2 C．5 D．10
【答案】A
【详解】解：∵硬币的直径为1个单位长度，
∴圆的周长是（个单位），
∵A与数轴的原点O重合，
∴点表示的数是π．
【例3】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为_______．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴是解题的关键；由勾股定理可得，然后根据实数与数轴可进行求解．
【详解】解：如图，
由数轴可知：，
∴，
∴a的值为；
故答案为：．
1．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，一只瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为．设点表示的数为．
(1)实数的值为______；
(2)数轴上还有，两点分别表示实数和，且与互为相反数．求的算术平方根．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题综合考查数轴上点的移动规律、绝对值与算术平方根的非负性、相反数的定义及算术平方根的计算．解题关键是利用“非负数和为0则各非负数均为0”求出和，再逐步完成后续计算．
（1）利用数轴上点向右移动时数值的变化规律（原数加移动单位长度）来确定的值；
（2）先依据绝对值与算术平方根的非负性及相反数的性质求出和，再代入计算并求其算术平方根．
【详解】（1）解：因为瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为，
所以点表示的数为，
故答案为：；
（2）解：因为与互为相反数，
所以，
即，
解得．
所以，
故的算术平方根为2．
2．（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图，数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，设点所表示的数为．
(1)_____．
(2)发现沿数轴向右运动来抓自己，它立刻沿数轴往老鼠洞的方向逃跑，点所表示的数为5，则______，若的速度是1个单位长度/秒，的速度为个单位长度/秒，则从到达时，运动的路程是_______，______（填“能”或“不能”）逃脱的魔爪．
【答案】(1)
(2)；；能
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数比较大小，无理数的估算，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）用点A表示的数减去点A和点B之间的距离即可得到答案；
（2）用电C表示的数减去点B表示的数即可得到的长；求出运动的时间即可求出运动的路程；比较出运动的路程与的长的大小关系即可得到最后的答案．
【详解】（1）解：∵数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，
∴；
（2）解：由（1）可得，点B表示的数为，
∵点所表示的数为5，
∴；
∵的速度是1个单位长度/秒，
∴从到达时的运动时间为秒，
∴运动的路程是，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴能逃脱的魔爪
3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．

(1)则大正方形的边长为______；
(2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________；
(3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）；
(4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在
(4)
【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，读懂题意是解题的关键．
（1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长；
（2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数；
（3）设存在正整数n，则，由进行判断即可求解；
（4）设点D与数x对应的点重合，根据对折可得，，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：，
∴边长为：；
故答案为：；
（2）∵点A表示的数为，正方形的边长为，
∴第一次翻滚后B表示的数为，
第二次翻滚后C表示的数为，
第三次翻滚后D表示的数为，
∵经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P，
∴点P表示的数为；
故答案为：；
（3）设存在正整数n，则，
∴，
∵n为正整数，
∴为有理数，而为无理数，
∴上述等式不成立，即不存在正整数n；
故答案为：不存在；
（4）设点D与数x对应的点重合，
由题意得：，
解得：，
∴点D与数对应的点重合．
故答案为：．
【典型例题七 实数的大小比较】
【例1】（2026·湖南长沙·模拟预测）下列四个实数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查实数的大小比较，利用实数大小比较的基本规则，结合无理数的估算即可得到结果．
【详解】解：∵实数大小比较的性质为，负数小于0，正数大于0，且可得，
∴四个数的大小关系为，
∴最大的数是4．
【例2】（2026·安徽合肥·模拟预测）在，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．4
【答案】A
【详解】解：∵，
∴四个数中最小的数是．
【例3】 （2026·安徽六安·二模）在电子制作的过程中，我们发现电阻的阻值为，电阻的阻值为，比较大小：_____2.3（填“＞”或“＜”）．
【答案】
【分析】要比较两个正数的大小，可将两个数分别平方，通过比较平方结果的大小得到原数的大小关系，正数中平方更大的数更大．
【详解】解： ， ，
，， ，
．
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小：
(1)和3．
(2)与．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握平方法比较正数大小和负数比较大小的规则是解题的关键．
（1） 两个正数比较大小，可通过平方法，平方值大的原数更大．分别计算两数的平方，比较平方结果即可；
（2） 两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，用平方法比较绝对值的大小，再根据负数比较规则判断原数大小．
【详解】（1）解：，，，
．
（2）解：，，，
，
．
2．（25-26七年级下·全国·周测）小云的作业中有一道题目如下：
请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接．
(1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________．
(2)请你帮助小云完成剩下的任务．
【答案】(1)C
(2)见解析
【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系及实数的大小比较，掌握估算无理数的取值范围，结合数轴上点的位置和实数大小比较规则是解题的关键．
（1）先估算 的取值范围，再确定它在数轴上的对应点；
（2）先化简绝对值、估算无理数的近似值，再根据实数大小比较规则，将个数按从小到大的顺序连接．
【详解】（1）解：
因此在数轴上位于和之间，对应点．
（2）解：将个实数在数轴上表示出来如图所示．
由图可知，．
3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则．
例：比较和2的大小．
由“作差法”得，因为，所以，所以，所以．
请你根据上面的方法解决下列问题：
(1)比较和1的大小；
(2)比较和7的大小．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较．
（1）根据“作差法”比较大小即可；
（2）根据“作差法”比较大小即可．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
【典型例题八 程序设计与实数运算】
【例1】（24-25八年级上·河南新乡·阶段检测）已知有一个数值替换器，其原理如图所示，当输入x的值是64时，输出y的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了立方根，解决本题的根据是熟记立方根的定义．根据立方根的定义，即可解答．
【详解】解：64的立方根是4，
4的立方根是：．
故选：B
【例2】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）按如图所示的运算程序，若，，则输出结果y为（ ）
A．9 B．11 C．17 D．19
【答案】A
【分析】根据新定义的要求进行整式混合运算，代入数值进行实数四则运算．
【详解】解：∵输入，，，即走“否”的路径，
∴，
输出结果为9，
故选：A
【点睛】本题考查了实数运算的程序设计，关键是要读懂题意，能正确代入数据求解．
【例3】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）有一个数值转换器，原理如图．
（1）当输入的x为16时，输出的______．
（2）若始终输不出y值、则输入的______．
【答案】 0或1/1或0
【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键．
（1）根据数值转换器，输入，进行计算即可；
（2）根据的算术平方根是1，的算术平方根是0，即可得出答案．
【详解】解：（1）第1次计算得，，而4是有理数，
因此第2次计算得，，而2是有理数，
因此第3次计算得，，是无理数，
因此输出结果是；
故答案为：；
（2）∵的算术平方根是1，的算术平方根是0，且1和0都是有理数，
∴输入的或0始终输不出y值．
故答案为：0或1．
1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）下图是一个数值转换机

(1)当输入的x为16时，输出的y值是______．
(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______．
(3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______．
【答案】(1)；
(2)和1；
(3)5和25．
【分析】（1）根据算术平方根，即可解答；
（2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出值；
（3）根据625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是，进行回答即可．
【详解】（1）的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，
的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，
的算术平方根是，是无理数，输出，
故答案为：
（2）和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，
当和1时，始终输不出的值，
故答案为：和1；
（3）625的算术平方根是25，25的算术平方根是5，5的算术平方根是，
当和5时，输出的y是，
故答案为：5和25．
【点睛】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
2．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．

(1)当输入的x值为时，求输出的y值；
(2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
(3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值．
【答案】(1)
(2)1或2或3，理由见解析
(3)或．
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可；
（2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；
（3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案．
【详解】（1）解：当时，，
4的算术平方根为，
而2是有理数，2的算术平方根为，
故答案为：；
（2）解：1或2或3，理由如下：
∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，
∴当或0时，
解得或2或3，
∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数；
（3）解：若1次运算就是，
∴
∴
∴解得或，
∴x为负整数，
则输入的数为；
若2次运算输出的数是，
∴
∴
∴解得或
∵
∴不符合题意，或
综上所述，或．
【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键．
3．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段检测）如图，是一个计算流程图：

(1)求的取值范围；
(2)当输入的为时，输出的是多少？
(3)是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或者
【分析】（1）根据非负数才有算术平方根列出不等式即可解得．
（2）把代入即可解得．
（3）为0和1时，有效，始终输不出值．
【详解】（1）解：∵取算术平方根，负数没有算术平方根，
∴
解得，
（2），
取算术平方根：，
2是有理数继续取算术平方根，
是无理数，输出即可，
故答案为：．
（3）当时，
0的算术平方根是0，
始终输不出值，
解得，
当时，
1的算术平方根是1，
始终输不出值，
解得．
【点睛】此题考查了程序设计与实数运算，解题的关键是熟悉实数运算规则．
【典型例题九 求一个数的近似数】
【例1】（24-25八年级上·四川自贡·期中）精确到百分位是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】找准要观察的尾数数位，当尾数最高位数字小于5时直接舍去，大于或等于5则向前一位进1后舍去尾数．
【详解】解：要将精确到百分位，即保留小数点后两位，需看千分位上的数字．
∵的千分位数字是4，且，
∴直接舍去千分位及后面的数字，得到．
因此正确选项为C．
【例2】（25-26八年级上·江西上饶·期中）用四舍五入法按要求对0.15038分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.2（精确到0.1） B．0.1504（精确到万分位）
C．0.15（精确到千分位） D．0.150（精确到0.001）
【答案】C
【分析】本题考查近似数与有效数字，解题的关键是明确“精确到某一位”的含义，即对下一位数字进行四舍五入．
分别分析每个选项中“精确到某一位”的四舍五入规则，判断近似值是否正确．
【详解】解：已知原数为0.15038：
A、精确到0.1（即十分位），需看百分位数字5，因为，所以向十分位进1，得0.2，正确；
B、精确到万分位，需看十万分位数字8，因为，所以向万分位进1，得0.1504，正确；
C、精确到千分位，需看万分位数字3，因为，所以舍去，结果应为0.150，而非0.15，错误；
D．精确到0.001（即千分位），与选项C同理，结果为0.150，正确．
故选：C．
【例3】（25-26八年级上·江苏南通·期中）年月日“苏超”联赛南通队主场对阵连云港队，现场观赛人数为26383人，横线上的数省略“万”后面的尾数是______万．此外，全市“第二现场”观赛点共个，吸引约万人次球迷观看，线上直播平台观看人次超1668万，把横线上的数改写成用“亿”作单位的数，是______亿．这场胜利不仅让南通队提前晋级淘汰赛，更点燃了全城的足球热情，展现了“全域主场”的强大凝聚力．
【答案】 3 0.1668
【分析】本题考查近似数的求解与数的改写，第一空利用四舍五入法省略万位后面的尾数求近似数，第二空根据亿与万的进率，将以万为单位的数改写成以亿为单位的数即可．
【详解】解：对于，千位上的数字为，，向万位进，因此万，
因为亿万，
因此万亿亿，
故答案为；．
1．（26-27七年级·浙江·期中）用四舍五入法按下列要求取各数的近似数：
(1)（精确到）；
(2)（精确到十分位）；
(3)（精确到千分位）；
(4)（精确到个位）；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)86
【详解】（1）解：（精确到）；
（2）解：（精确到十分位）；
（3）解：（精确到千分位）；
（4）解：（精确到个位）．
2．（2025八年级上·浙江·专题练习）把一个四位整数先四舍五入到十位，再把所得的数字四舍五入到百位，然后再把所得的数字四舍五入到千位，这时的数字是4×103，你能说出这个数的最大值和最小值吗？它们的差是多少？
【答案】最大值是4444，最小值是3445，差是999．
【分析】把一个数四舍五入到十位，要将这个数的个位数字四舍五入．
【详解】解：因为一个四位整数先四舍五入到十位，再把所得数四舍五入到百位，然后又把所得的数四舍五入到千位，这时的数为4×103，
所以这个数最大时千位上的数字为4，最小时千位上的数字为3，
当千位上的数字为3时，
3.445×103四舍五入到十位后的结果为3.45×103，
3.45×103四舍五入到百位后的结果为3.5×103，
3.5×103四舍五入到千位后的结果为4×103，
所以4×103可能是由3445取近似值得到的；
类似的，当千位上的数字为4时，
4×103可能是由4444取近似值得到的，
所以这个数的最大值是4444，最小值是3445，
差：4444﹣3445＝999．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．因为，所以．
则可以设成以下两种形式：
①，其中；
②，其中．
小明用①的形式求的近似值的过程如下：
因为，所以．即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以．
【尝试探究】（1）用②的形式求的近似值．（结果保留2位小数）
【比较分析】（2）用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由．
【答案】
（1）
（2）用①的形式求的近似值精确度更高，理由见解析
【分析】对于（1），根据，其中忽略不计，可得答案；
对于（2），先确定，可得答案．
【详解】解：（1）因为，
所以，
即．
因为比较小，将忽略不计，
所以，
即，
所以；
（2）因为，，且，
所以，
所以①得出近似值的精确度更高．
【典型例题十 近似数的精确度】
【例1】（24-25八年级上·湖北荆门·期中）下列说法正确的是（ ）
A．0.810精确到百分位 B．2.1万精确到个位
C．精确到千分位 D．精确到千位
【答案】D
【分析】本题考查了近似数，利用近似数的精确度对各选项进行判断即可，掌握精确度的概念是解题的关键．
【详解】解：、精确到千分位，原说法错误，不符合题意；
、万精确到千位，原说法错误，不符合题意；
、精确到十位，原说法错误，不符合题意；
、精确到千位，原说法正确，符合题意；
故选：．
【例2】（25-26八年级上·安徽亳州·期中）用四舍五入法对取近似值，精确到百分位，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确度百分位，那么对千分位上的数字进行四舍五入即可得到答案．
【详解】解：∵的千分位是，
∴向百分位进；
∵百分位是，进一后为，即百分位变为并向十分位进；
∵十分位是，进一后变为，
∴结果为．
故选：C．
【例3】（25-26八年级上·河南周口·期末）用四舍五入法得到的近似数精确到_________．
【答案】千位
【分析】本题考查近似数的精确度．科学记数法表示的近似数，其精确度由系数最后一位数字所在的数位决定，据此进行解答即可．
【详解】解：，
系数最后一位数字0对应千位，
故精确到千位．
故答案为：千位．
1．（24-25七年级·全国·期中）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？
(1)600万
(2)7.03万
(3)5.8亿
(4)3.30×105
【答案】(1)万位
(2)百位
(3)千万位
(4)千位
【分析】（1）根据近似数的精确度求解；
（2）根据近似数的精确度求解；
（3）根据近似数的精确度求解；
（4）根据近似数的精确度求解．
【详解】（1）解：∵600万的末尾为万位，
∴600万精确到万位；
（2）解：∵7.03万的末尾为百位，
∴7.03万精确到百位；
（3）解：∵5.8亿的末尾为千万位，
∴5.8亿精确到千万位；
（4）解：∵3.30×105的末尾为千位，
∴3.30×105亿精确到千位；
【点睛】本题考查了近似数和有效数字∶近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法，熟练掌握近似数的意义是解题的关键．
2．（26-27七年级·浙江·期中）用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示．
(1)（精确到万位）
(2)（精确到千万位）
(3)（精确到百位）
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解： （精确到万位）；
（2）解：（精确到千万位）；
（3）解： （精确到百位）．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？”
(1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因；
(2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？
【答案】(1)小王加工的轴不合格，理由见解析
(2)轴长为的车间工人加工完原轴的范围是
【分析】本题考查了近似数，小数的位数不同，它们表示的计数单位就不相同，意义也不相同．
（1）根据原轴的范围是，于是得到轴长为与的产品不合格；
（2）根据近似数的精确度说明，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【详解】（1）解：小王加工的轴不合格，理由如下：
图纸要求精确到，则原轴的范围是，故轴长为与的产品不合格；
（2）解：近似数的要求是精确到，
所以轴长为的车间工人加工完原轴的范围是．
【典型例题十一 新定义下的实数运算】
【例1】（25-26七年级下·河南商丘·期中）定义新运算“”的运算法则为：，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题为新定义运算题，先理解运算法则，按照从内到外的顺序，根据给定的运算法则逐步代入求解即可．
【详解】解：新运算法则为
则，
∴，
A选项符合题意．
【例2】（2026·广东茂名·一模）定义关于任意正整数的一种新运算：．若规定，则（ ）
A．3 B．6 C．18 D．81
【答案】D
【分析】根据给定的运算规则，将变形为两个的乘积，代入已知条件计算即可．
【详解】解：∵对任意正整数，满足，且已知，
又∵，
∴．
【例3】（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中）定义运算“”的运算法则为：，则 _____．
【答案】
【分析】根据新定义的运算法则，先计算括号内的运算，再计算括号外的运算即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
1．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）新定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的数，记作．
(1)根据数的定义，填空：______，______；
数有如下运算性质：，，根据运算性质，计算：
(2)①若，求（用的代数式表示）；
②若已知，，试求，的值（用、、表示）．
【答案】(1)1，
(2)，②，
【分析】本题主要考查阅读题的理解，运用所给公式进行化简，要对公式能够活学活用，考查学生的运用解题能力．
（1）根据新定义进行求解即可；
（2）根据题意可得；由 结合已知计算即可；依据 结合已知和代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
故答案为：1，；
（2）解：∵，，
；
，
；
∵，，，
∴原式
．
2．（25-26七年级下·贵州铜仁·阶段检测）请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
若任意一个实数设为x，则不大于x的最大整数表示为，例如，．善思小组的同学根据上述定义，求的值． 解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到，，，．
任务：
(1)填空：请你根据善思小组的计算，帮助他们得出结论：当n为正整数，则 ；
(2)计算：____，____， ；
(3)已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)，，
(3)
【分析】（1）根据材料找到规律即可解答；
（2）根据定义，直接可得到和的值，估算的大小，结合定义，即可得到的值；
（3）根据进行化简，求出，求出即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
∴若为正整数，则；
（2）解：，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：根据材料，得
，
，
∵，
∴，
∴，
．
3．（2026·广东·二模）阅读与思考
【阅读理解】
材料一：对于实数m，n，定义新运算：当时，；当时，．例如：，．
材料二：计算：．
设，则．
由得
．
所以
【问题解决】
(1)计算：；
(2)已知，求；
(3)对于正数t，有，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据新定义规则判断两个数的大小关系，再代入对应法则计算；
（2）利用推出，再代入对应法则化简计算；
（3）先根据已知条件求出正数，再根据的大小分情况，结合材料二的求和法则计算即可.
【详解】（1）解：根据新定义，，
，
，
，
．
（2）解：
，即，．
．
（3）解：t是正数，
，
．
，即，
．
【典型例题十二 与实数运算相关的规律题】
【例1】（25-26七年级下·全国·周测）已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（ ）
A． B．
C． D．2026
【答案】B
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，发现规律是解题的关键．
观察序列规律，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同．
【详解】解：由条件可知：这一列数是从开始的连续的自然数，每三个数为一组，每组中第一个数为负平方根，第二个数为平方根，第三个数为立方根，且每个数对应的数字与项数相同，
∵ ，
∴ 第项为负平方根，即.
故选：B．
【例2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式：
；
；
．
请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果）
【答案】
【分析】本题考查数字的变化规律，正确找到数字的变化规律是解题的关键．
观察已知等式的规律，发现对于形如 的式子，其计算结果为 ，将，代入公式计算即可．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
由此发现规律：，
那么，
计算，
通分后，，，
则，
因此．
故答案为：．
【例3】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段检测）观察下列等式：
等式1：；等式2：；等式3：
(1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ；
(2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键．
（1）观察可知被开方数中第一项的分母为序号加1的倒数，第二项的分母为第一项分母的平方，等式右边的结果中分母为序号加1，分子为序号的算术平方根，据此求解即可；
（2）根据（1）分析中的规律可得答案．
【详解】（1）解：根据题意可猜想第4个等式为，第10个等式为；
（2）解：第1个等式为，
第2个等式为，
第3个等式为，
第4个等式为，
……
以此类推可得第n个等式为．
1．（24-25七年级下·山东日照·阶段检测）观察下列等式：
第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题：
(1)第4个等式为
(2)猜想：第n个等式为 （n为正整数）
(3)根据你的猜想，计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意写出第四个式子即可；
（2）找到题中规律即可写出第n个等式；
（3）根据规律变形，再计算即可．
【详解】（1）解：第4个等式为，即；
（2）解：根据题意可得第n个等式为；
（3）解：，
，
．
2．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式．
第1个：；
第2个：；
第3个：；
……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)___________；
(2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数）
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字类规律探索，理解题意，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据题干所给式子进行计算即可得解；
（2）根据题干所给式子得出规律即可；
（3）利用（2）中得出的规律，计算即可得解．
【详解】（1）解：∵第1个：；
第2个：；
第3个：；
……
∴；
（2）解：由（1）可得第个等式为：；
（3）解：
．
3．（24-25八年级下·福建厦门·期中）观察下面算式：
第一个算式：
第二个算式：
第三个算式：
第n个算式：………………
(1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________
(2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律；
(3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)，证明见解析．
【分析】本题考查二次根式的运算以及数字的变化规律，通过观察找到各式子分母分子之间的规律是解题的关键．
（1）通过观察所给的式子，直接分析即可求解；
（2）通过观察算式的左边和右边的变化量和不变化量可以得出规律；
（3）通过观察算式的规律可以直接写出用含n式子表示上述规律，并利用二次根式的计算进行计算证明．
【详解】（1）解：由题意可得第五个算式：；
故答案为：；
（2）解：通过观察可以得出规律：等号左边的被开方数都是这个算式的序号大的数减去的差再乘以加上比这个算式的序号大的数的倒数，等号右边是这个算式的序号大的数分之这个算式的序号大的数乘以比这个算式的序号大的数的算术平方根；
（3）解：第个等式：，
证明：是正整数，
．
1．（25-26八年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法正确的是（ ）
A．是精确到百分位 B．万精确到万位
C．是精确到百位 D．近似数和的精确度一样
【答案】A
【分析】本题考查近似数的精确度，掌握相关知识是解决问题的关键．根据数字的表示形式判断其精确的位数即可．
【详解】解：∵ 有两位小数，∴精确到百分位，A正确；
∵ 万，最后一位有效数字9在十位，∴精确到十位，不是万位，B错误；
∵ 最后一位数字0在个位，∴精确到个位，不是百位，C错误；
∵ 精确到千分位，精确到百分位，∴精确度不同，D错误．
故选：A．
2．（25-26七年级下·江西赣州·期中）在数0、、2025、、、（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据无理数是无限不循环小数，据此逐项判断即可解答．
【详解】解：0是整数，属于有理数；
是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；
2025是整数，属于有理数；
是无限不循环小数，属于无理数；
，仍含开方开不尽的部分，属于无理数；
（相邻两个2之间1的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数；
所以，无理数共4个．
3．（24-25八年级上·湖北·期末）下列说法：
①数轴上的点与实数成一一对应关系； ②两个无理数的和还是无理数；③无限小数都是无理数；④任何实数不是有理数就是无理数，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了数轴与实数的关系、无理数的定义等知识点，掌握无理数的定义是解题的关键．
根据数轴上的点与实数一一对应可判断①；互为相反数的两个无理数的和为0可判断②；根据无限循环小数是有理数可判断③；根据实数分为有理数和无理数可判断④．
【详解】解：①由数轴上的点与实数一一对应，故 ①正确；
②两个无理数的和可能为有理数，如 ，故②错误；
③由无限小数包括无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数），故 ③错误；
④实数仅包括有理数和无理数，故 ④正确．
综上正确个数为2．
故选B．
4．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用点A表示的数减去的长即可得到答案．
【详解】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，
∴，
∴点C表示的数为．
5．（25-26七年级下·重庆巴南·期末）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键；通过估算的范围，利用不等式性质加1得到的范围．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的值在2和3之间，
故选：C．
6．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）若为正整数，且满足，则________．
【答案】3
【分析】先将变形为，利用算术平方根的性质确定的取值范围，再推导得到的范围，结合为正整数和已知不等式求出的值即可．
【详解】解：，又，
∴，
∴，
，且为正整数，
．
7．（24-25八年级上·江苏南京·期中）用 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 十个数字（每个数字只用一次）写出一个最接近 24 亿的数，这个数是_______________．
【答案】2398765410
【分析】此题考查的目的是理解掌握利用“四舍五入法”，省略亿位后面的尾数求近似数的方法，与这个数的差越小越接近这个数．
比较接近24亿的数亿位上是3，十亿位数字是3，其余各位上的数字按从大到小的顺序排列，所得的数与24亿的差，哪个差小，哪个数就最接近24亿．
【详解】解：
所以0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字（每个数字只能用一次）写出一个最接近24亿的数，这个数是2398765410；
答：这个数是2398765410．
8．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段检测）给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是_________________．
【答案】2
【分析】根据实数的分类逐个分析即可解答．
【详解】解：①整数包括正整数和负整数，则0是最小的整数,故①错误；
②有理数分为正数、负数和0,故②错误；
③正整数、负整数、正分数、负分数、0统称为有理数，故③错误；
④非负数包含正数和0，故④错误；
⑤无限小数不都是有理数，无限不循环小数是无理数，循环小数一定是有理数；故⑤正确；
⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确；
综上，正确的有⑤和⑥，共2个．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键．
9．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上A点表示的数为，B点表示的数是2，过点B作于点B，且（单位长度）以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的一个交点D表示的数为______．
【答案】
【分析】利用数轴知识和实数的性质解答．
本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握实数的性质，数轴知识．
【详解】解：根据题意得，
，
，
点D表示的数为，
故答案为：．
10．（2026·安徽阜阳·一模）对于实数，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推．
（1）当时，______；
（2）当时，______．
【答案】 2 /
【分析】（1）根据给定的变换规则，先计算再计算即可；
（2）先计算前几次变换的结果，归纳得到循环周期，再根据总项数和周期计算总和．
【详解】（1）当时，，
；
（2）当时，
，
，
，
因此结果每3个数为一个循环周期，
一个周期内的和为，
，
．
11．（24-25八年级上·上海·期中）老师黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出的答数是，老师说最后一位数字错了，其它的数字都对，正确答案应该是什么？
【答案】
【分析】因为自然数都是整数，所以这个自然数的和一定是一个整数；因为小明计算出的答数是．老师说最后一位数字错了，其它的数字都对，因此正确的答案应在和之间；又因为，，所以可以知道这个自然数的和是在和之间，由此可以确定一定是；用除以，结果是约等于；所以正确的答案是．
【详解】解：自然数都是整数，所以这个自然数的和一定是一个整数；
又因为，，所以可以知道这个自然数的和一定是，
；
答：正确答案应该是．
【点睛】本题考查了近似数，解题的关键是先结合题意，推导出这13个数的和，进而根据平均数、数量和总数三者之间的关系，求出正确的答案．
12．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
【答案】（1）；（2）1
【分析】本题考查了估算无理数的大小及实数与数轴，熟练掌握估算无理数的方法以及会根据数轴判定实数的大小是解题的关键．
（1）根据数轴上a的位置，判断出a，b，c的取值范围，然后代入所求的式子中进行化简；
（2）先估算出与的大小，从而得到a、b的值，然后代入计算即可．
【详解】解：（1）由数轴知，，
∴
；
（2）∵，，
∴，，
∴．
13．（25-26七年级下·广西柳州·期中）【阅读理解】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数为“完美组合数”．
(1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
(2)若三个数，a，是“完美组合数”且其中两个数乘积的算术平方根为10，求a的值．
【答案】(1)，，这三个数是“完美组合数”，理由如下：
，，
，其结果15，10，6都是整数，
，，这三个互不相等的负整数是“完美组合数”．
(2)
【分析】此题考查了算术平方根的应用，解题的关键是理解“完美组合数”的定义，利用分类讨论的思想进行求解，注意检验．
（1）根据“完美组合数”的定义，进行判断即可；
（2）根据“完美组合数”的定义，以及题意，分两种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：略．
（2）解：①当时，，
解得不符合题意，舍去；
②当时，，
解得，
此时，，
且结果10，40，20都是整数，，，这三个数是“完美组合数”，符合题意．
综上所述，．
14．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段检测）观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
．．．．．．
(1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________；
(2)用含的式子表示出第个等式：___________；
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字的变化规律，实数的简便计算，找出分数的分母与n的关系是解题关键．
（1）根据分数的分母变化规律即可解答；
（2）根据分数的分母变化规律即可解答；
（3）根据前后两项相加后抵消的规律，利用（2）的结论计算求值即可．
【详解】（1）解：∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
∴第5个等式为：，
故答案为：；
（2）解：由上规律可得，第个等式为：，
故答案为：；
（3）解：原式
．
15．（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读下列材料：
材料1：“为什么不是有理数”．
假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得，
于是有．
是偶数，
也是偶数，
是偶数．
设（是正整数），则，即，
也是偶数
都是偶数，不互质，与假设矛盾．
假设错误，
不是有理数
材料2：无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部直接写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以是的小数部分．
请解答：
(1)用类似的方法，请证明是无理数．
(2)你能求出的整数部分和小数部分吗？并求的值；
(3)已知，其中是整数，且，试求出的相反数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）仿照例题证明即可求解；
（2）根据材料提示，分别求出整数部分和小数部分，即可求解；
（3）分别求出，再根据相反数的定义即可求解．
【详解】（1）证明：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得，
于是有．
是5的倍数，
也是5的倍数，
是5的倍数．
设（是正整数），则，即，
也是5的倍数．
都是5的倍数，不互质，与假设矛盾．
假设错误，
不是有理数；
（2）解：∵，
∴，即的整数部分，小数部分，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∴的相反数是．
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第08讲 实数（4大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 无理数
典型例题二 无理数的大小估算
典型例题三 无理数整数部分的有关计算
典型例题四 实数概念理解
典型例题五 实数的性质
典型例题六 实数与数轴
典型例题七 实数的大小比较
典型例题八 程序设计与实数运算
典型例题九 求一个数的近似数
典型例题十 近似数的精确度
典型例题十一 新定义下的实数运算
典型例题十二 与实数运算相关的规律题
知识点01 无理数
1.无理数：无线不循环小数叫做无理数.
无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.
2.常见的无理数三种形式
（1）开方开不尽的数的方根，如等；
（2）及化简后含的数，如，等；
（3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）.
3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式.
4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）下列实数中，是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
2．（25-26八年级上·四川成都·期末）在实数，，，，0，中，无理数有_______ 个．
知识点02 实数及分类
1.有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类
（1）按定义分类：
（2）按性质分类：
PS：0既不是正实数，也不是负实数.
【即时训练】
1．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）在实数中，有理数的个数是（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）在下列各数，中：
整数有{__________________}
有理数有{_________________}
无理数有{__________________}
负实数有{__________________}．
知识点03 实数与数轴上点的关系
1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应.
2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点.
正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧.
【即时训练】
1．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点，则点对应的数的小数部分是___________．
知识点04 比较实数的大小
有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用.
1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小.
3.比较两个实数大小的常用方法：
（1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小；
（2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；
（3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较；
（4）作差比较法：当时，；当时，；当时，.
（5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则
（6）倒数比较法：a、b为正数，若，则；
（7）平方比较法：a、b为正数，若，则.
【即时训练】
1．（2026·四川成都·模拟预测）在四个实数中，最大的实数是（ ）
A． B． C．0 D．2
2．（25-26七年级下·山东日照·期中）在学习无理数的估算时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏，数值大的为赢家．小丽抽到的卡写的是，小颖抽到的卡写的是1，那么赢家是________．（填“小丽”或“小颖”）
【典型例题一 无理数】
【例1】（2026·山西长治·模拟预测）下列是无理数的是（ ）
A． B． C．3.14 D．
【例2】（25-26七年级下·广西南宁·期中）在实数，，，中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2026七年级下·四川广元·专题练习）下列各数：0.1212212221…（每两个1之间依次多1个6）中，无理数有______个．
1．（25-26七年级下·吉林松原·期中）数学文化节主办方邀请“实数”作为嘉宾，请仔细辨别并为它们安排合适的席位．到访的“实数”嘉宾名单如下：
（每两个“1”之间依次多一个“0”）．
(1)主办方需要准备__________个“无理数”的席位；
(2)请为“实数”嘉宾们安排合适的席位，并填入对应的区域内．
“整数”席：（ ）；
“分数”席：（ ）．
2．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m、n为有理数．x为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题：
(1)如果，其中m、n为有理数，则_____________，_____________；
(2)若x、y均为有理数，且，求的值．
3．（24-25七年级下·广西河池·期中）理解与应用
【阅读材料】设a，b是有理数，且满足，求a，b的值．
解：由得．
因为a，b都是有理数，
所以，也是有理数．
因为是无理数，
所以，，解得：，，
【方法应用】设x，y是有理数，满足，求的值．
【典型例题二 无理数的大小估算】
【例1】（25-26七年级下·广西桂林·期中）与无理数最接近的整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【例2】（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知，若n为整数且，则n的值为（ ）
A．44 B．45 C．46 D．47
【例3】（25-26七年级下·湖北武汉·期中），是连续的两个整数，若，则的值是__________．
1．（25-26七年级下·广东江门·期中）按要求完成作答：
(1)25的平方根是_____．
(2)已知一个正数的两个不同的平方根分别和，则_____．
(3)已知一个正数的两个不同的平方根分别为和．求这个正数，并写出的立方根在哪两个连续整数之间．
2．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）已知无理数的整数部分和小数部分可以通过夹逼法确定，解答下列问题：
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值；
(3)已知，其中p是整数，且，求的相反数．
3．（25-26七年级下·福建莆田·期中）单项式“”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程：
面积为2的正方形边长为，可知，因此设，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即．
(1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）；
(2)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若，且，试用含m和n式子表示的估算值．
【典型例题三 无理数整数部分的有关计算】
【例1】（2025·广东广州·二模）若的整数部分为a，小数部分为b，则（）
A．2 B．1 C．0 D．
【例2】（24-25七年级下·山东临沂·期中）用符号表示一个实数的整数部分，例如：，按此规定的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【例3】（24-25七年级下·甘肃武威·期中）若的整数部分为，小数部分为，则______．
1．（25-26七年级下·云南昆明·期中）已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根．
(1)求的平方根；
(2)若的整数部分是，小数部分是，求的值．
2．（25-26七年级下·安徽阜阳·阶段检测）阅读下面的文字：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差，即就是其小数部分．根据以上的内容，解答下面的问题：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ；
(2)如果的整数部分为a，的立方根是2，求a和b的值；
(3)已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的平方根．
3．（25-26七年级下·福建莆田·期中）素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间．例如，因为，即，所以，的整数部分是．
素材2：国际标准的系列长方形纸张（常用于信封）遵循长宽比为的规则．假设某定制纸的面积为．每降低一个号数（如从到），是将上一号纸张沿长边对折而成，面积减半．参考数据：，，．
【问题】
(1)设纸（由对折一次得到）的宽为．
①求纸的面积；
②求纸宽的整数部分．
(2)请估算纸的宽（单位：）介于哪两个相邻整数之间？
【典型例题四 实数概念理解】
【例1】（24-25七年级下·上海浦东新·期末）下列说法正确的是（ ）
A．无理数都是无限小数 B．有理数只是有限小数
C．无限小数都是无理数 D．实数可以分为正实数和负实数
【例2】（24-25八年级上·广东河源·期中）实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【例3】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）的相反数是______________．
1．（24-25八年级上·福建三明·期中）把下列各数填入相应的括号内：
(1)无理数：{ …}；
(2)负实数：{ …}；
(3)整 数：{ …}；
(4)分 数：{ …}；
2．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段检测）一组实数按如下规律排列：，___，_____．
(1)两条横线上的实数分别____；
(2)第11、12个实数分别是_____．
3．（25-26七年级下·山西忻州·期中）阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务．
关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得
任务：
(1)是___________．（填“无理数”或“有理数”）
(2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程．
(3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值．
【典型例题五 实数的性质】
【例1】（25-26八年级上·河北唐山·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级下·广西玉林·期末）的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25八年级上·山西·期中）的相反数是___________；的倒数为___________；___________
1．（24-25七年级下·吉林白城·期末）计算：
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）判断下列说法是否正确．若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明．
(1)已知两个实数a，b，则．
(2)两个无理数的和一定是无理数．
3．（24-25七年级下·广西南宁·期中）情境：一天小明在复习数学的时候，看到课本多次出现无理数，于是他展开了联想；
提出问题：有多大？小数部分是什么样的？能在数轴上表示出来吗？怎么表示呢？
实践操作：小明按计算器，发现计算器显示…，了解到是一个大于1且小于2的无限不循环小数，计算器不能全部地把小数部分显示出来，于是小明用来表示的小数部分．随即小明又想到，如果没有计算器，该如何去估计一个无理数的大小呢？于是小明继续翻阅资料，获取了两条重要材料．材料如下：
材料一：以1个单位长度为边长画一个正方形，这个正方形的对角线就是，借助圆规就可以在数轴上表示和，B两点： 材料二：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为．
学以致用：（1）的整数部分是_______，小数部分是_______；
拓展应用：（2）小明继续发散思维，发现还可以借助坐标平移和绝对值等知识比较实数的大小，进行数的计算，于是小明自己出题，请你独立思考并解决以下问题：
①写出介于哪两个相邻整数之间？去绝对值等于多少？
②若，求x的值．
【典型例题六 实数与数轴】
【例1】（2026·重庆大足·一模）数轴上的点与数是一一对应的关系．如图，数轴上表示0的点是（　　）
A．M B．N C．P D．Q
【例2】（25-26八年级上·福建莆田·期中）小明用一枚硬币在数轴上作滚动游戏，如图，A是硬币圆周上一点，开始时点A在原点O处．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（ ）
A． B．2 C．5 D．10
【例3】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）如图，在数轴上点所表示的数为，则的值为_______．
1．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，一只瓢虫从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为．设点表示的数为．
(1)实数的值为______；
(2)数轴上还有，两点分别表示实数和，且与互为相反数．求的算术平方根．
2．（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图，数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，设点所表示的数为．
(1)_____．
(2)发现沿数轴向右运动来抓自己，它立刻沿数轴往老鼠洞的方向逃跑，点所表示的数为5，则______，若的速度是1个单位长度/秒，的速度为个单位长度/秒，则从到达时，运动的路程是_______，______（填“能”或“不能”）逃脱的魔爪．
3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．

(1)则大正方形的边长为______；
(2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________；
(3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）；
(4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合．
【典型例题七 实数的大小比较】
【例1】（2026·湖南长沙·模拟预测）下列四个实数中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2026·安徽合肥·模拟预测）在，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．4
【例3】 （2026·安徽六安·二模）在电子制作的过程中，我们发现电阻的阻值为，电阻的阻值为，比较大小：_____2.3（填“＞”或“＜”）．
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小：
(1)和3．
(2)与．
2．（25-26七年级下·全国·周测）小云的作业中有一道题目如下：
请画出数轴并把实数，π，，－4，，在数轴上表示出来，再把这6个数用“＜”连接．
(1)下图是小云画的数轴和标出来的4个无理数，你认为表示的是点________．
(2)请你帮助小云完成剩下的任务．
3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则．
例：比较和2的大小．
由“作差法”得，因为，所以，所以，所以．
请你根据上面的方法解决下列问题：
(1)比较和1的大小；
(2)比较和7的大小．
【典型例题八 程序设计与实数运算】
【例1】（24-25八年级上·河南新乡·阶段检测）已知有一个数值替换器，其原理如图所示，当输入x的值是64时，输出y的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【例2】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）按如图所示的运算程序，若，，则输出结果y为（ ）
A．9 B．11 C．17 D．19
【例3】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）有一个数值转换器，原理如图．
（1）当输入的x为16时，输出的______．
（2）若始终输不出y值、则输入的______．
1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）下图是一个数值转换机

(1)当输入的x为16时，输出的y值是______．
(2)若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出满足要求的x的值______．
(3)若输入的值，且输出的y是，请写出满足要求的x的值______．
2．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．

(1)当输入的x值为时，求输出的y值；
(2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
(3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值．
3．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段检测）如图，是一个计算流程图：

(1)求的取值范围；
(2)当输入的为时，输出的是多少？
(3)是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在，请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由．
【典型例题九 求一个数的近似数】
【例1】（24-25八年级上·四川自贡·期中）精确到百分位是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·江西上饶·期中）用四舍五入法按要求对0.15038分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．0.2（精确到0.1） B．0.1504（精确到万分位）
C．0.15（精确到千分位） D．0.150（精确到0.001）
【例3】（25-26八年级上·江苏南通·期中）年月日“苏超”联赛南通队主场对阵连云港队，现场观赛人数为26383人，横线上的数省略“万”后面的尾数是______万．此外，全市“第二现场”观赛点共个，吸引约万人次球迷观看，线上直播平台观看人次超1668万，把横线上的数改写成用“亿”作单位的数，是______亿．这场胜利不仅让南通队提前晋级淘汰赛，更点燃了全城的足球热情，展现了“全域主场”的强大凝聚力．
1．（26-27七年级·浙江·期中）用四舍五入法按下列要求取各数的近似数：
(1)（精确到）；
(2)（精确到十分位）；
(3)（精确到千分位）；
(4)（精确到个位）；
2．（2025八年级上·浙江·专题练习）把一个四位整数先四舍五入到十位，再把所得的数字四舍五入到百位，然后再把所得的数字四舍五入到千位，这时的数字是4×103，你能说出这个数的最大值和最小值吗？它们的差是多少？
3．（25-26八年级上·浙江温州·期中）【阅读理解】我们来学习利用完全平方公式近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．因为，所以．
则可以设成以下两种形式：
①，其中；
②，其中．
小明用①的形式求的近似值的过程如下：
因为，所以．即． 因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以．
【尝试探究】（1）用②的形式求的近似值．（结果保留2位小数）
【比较分析】（2）用哪种形式求的近似值的精确度更高？并说明理由．
【典型例题十 近似数的精确度】
【例1】（24-25八年级上·湖北荆门·期中）下列说法正确的是（ ）
A．0.810精确到百分位 B．2.1万精确到个位
C．精确到千分位 D．精确到千位
【例2】（25-26八年级上·安徽亳州·期中）用四舍五入法对取近似值，精确到百分位，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·河南周口·期末）用四舍五入法得到的近似数精确到_________．
1．（24-25七年级·全国·期中）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？
(1)600万
(2)7.03万
(3)5.8亿
(4)3.30×105
2．（26-27七年级·浙江·期中）用四舍五入法按括号内的要求对下列各数取近似数，结果用科学记数法表示．
(1)（精确到万位）
(2)（精确到千万位）
(3)（精确到百位）
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？”
(1)你认为小王加工的轴合格吗？分析小王和质检员存在分歧的原因；
(2)图纸要求精确到，原轴的范围是多少？
【典型例题十一 新定义下的实数运算】
【例1】（25-26七年级下·河南商丘·期中）定义新运算“”的运算法则为：，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【例2】（2026·广东茂名·一模）定义关于任意正整数的一种新运算：．若规定，则（ ）
A．3 B．6 C．18 D．81
【例3】（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中）定义运算“”的运算法则为：，则 _____．
1．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）新定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的数，记作．
(1)根据数的定义，填空：______，______；
数有如下运算性质：，，根据运算性质，计算：
(2)①若，求（用的代数式表示）；
②若已知，，试求，的值（用、、表示）．
2．（25-26七年级下·贵州铜仁·阶段检测）请仔细阅读下列材料，并完成相应的任务．
若任意一个实数设为x，则不大于x的最大整数表示为，例如，．善思小组的同学根据上述定义，求的值． 解答过程如下： ， ． ． ． 继续计算，得到，，，．
任务：
(1)填空：请你根据善思小组的计算，帮助他们得出结论：当n为正整数，则 ；
(2)计算：____，____， ；
(3)已知，，求的值．
3．（2026·广东·二模）阅读与思考
【阅读理解】
材料一：对于实数m，n，定义新运算：当时，；当时，．例如：，．
材料二：计算：．
设，则．
由得
．
所以
【问题解决】
(1)计算：；
(2)已知，求；
(3)对于正数t，有，求的值．
【典型例题十二 与实数运算相关的规律题】
【例1】（25-26七年级下·全国·周测）已知按照一定规律排成的一列实数：－1，，，－2，，，，，，，…．按此规律可推得这一列数中的第2026个数应是（ ）
A． B．
C． D．2026
【例2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）观察下列各式：
；
；
．
请你根据以上信息，计算______．（直接写出计算结果）
【例3】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段检测）观察下列等式：
等式1：；等式2：；等式3：
(1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ；
(2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ．
1．（24-25七年级下·山东日照·阶段检测）观察下列等式：
第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：；…根据等式所反映的规律，解答下列问题：
(1)第4个等式为
(2)猜想：第n个等式为 （n为正整数）
(3)根据你的猜想，计算：
2．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式．
第1个：；
第2个：；
第3个：；
……
根据以上规律，解决下列问题：
(1)___________；
(2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数）
(3)计算：．
3．（24-25八年级下·福建厦门·期中）观察下面算式：
第一个算式：
第二个算式：
第三个算式：
第n个算式：………………
(1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________
(2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律；
(3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律．
1．（25-26八年级上·黑龙江七台河·期中）下列说法正确的是（ ）
A．是精确到百分位 B．万精确到万位
C．是精确到百位 D．近似数和的精确度一样
2．（25-26七年级下·江西赣州·期中）在数0、、2025、、、（相邻两个2之间1的个数逐次加1）中，无理数的个数有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（24-25八年级上·湖北·期末）下列说法：
①数轴上的点与实数成一一对应关系； ②两个无理数的和还是无理数；③无限小数都是无理数；④任何实数不是有理数就是无理数，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26七年级下·重庆巴南·期末）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
6．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）若为正整数，且满足，则________．
7．（24-25八年级上·江苏南京·期中）用 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 十个数字（每个数字只用一次）写出一个最接近 24 亿的数，这个数是_______________．
8．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段检测）给出下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数；④非负数就是正数；⑤无限小数不都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的说法是_________________．
9．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上A点表示的数为，B点表示的数是2，过点B作于点B，且（单位长度）以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的一个交点D表示的数为______．
10．（2026·安徽阜阳·一模）对于实数，在它的允许取值范围内，经过第1次变换可得，经过第2次变换可得，经过第3次变换可得，…，以此类推．
（1）当时，______；
（2）当时，______．
11．（24-25八年级上·上海·期中）老师黑板上写了十三个自然数，让小明计算平均数（保留两位小数），小明计算出的答数是，老师说最后一位数字错了，其它的数字都对，正确答案应该是什么？
12．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
13．（25-26七年级下·广西柳州·期中）【阅读理解】我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数为“完美组合数”．
(1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
(2)若三个数，a，是“完美组合数”且其中两个数乘积的算术平方根为10，求a的值．
14．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段检测）观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
．．．．．．
(1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：___________；
(2)用含的式子表示出第个等式：___________；
(3)计算：．
15．（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读下列材料：
材料1：“为什么不是有理数”．
假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，使得，
于是有．
是偶数，
也是偶数，
是偶数．
设（是正整数），则，即，
也是偶数
都是偶数，不互质，与假设矛盾．
假设错误，
不是有理数
材料2：无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部直接写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以是的小数部分．
请解答：
(1)用类似的方法，请证明是无理数．
(2)你能求出的整数部分和小数部分吗？并求的值；
(3)已知，其中是整数，且，试求出的相反数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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