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第09讲 勾股定理的探究（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 用勾股定理解三角形
典型例题二 以直角三角形三边为边长的图形面积
典型例题三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
典型例题四 利用勾股定理证明线段平方关系
典型例题五 勾股定理的证明方法
典型例题六 以弦图为背景的计算题
典型例题七 用勾股定理构造图形解决问题
典型例题八 勾股定理与无理数
典型例题九 勾股定理与网格问题
典型例题十 勾股定理与折叠问题
知识点01 勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.
勾股定理的变式：.
1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中；
2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解.
【即时训练】
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，为测量小区内池塘最宽处，两点间的距离，在池塘边设定一点，使，并测得的长为，的长为，则最宽处的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：依题意，
2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，，，D为的中点，则的长为____．
【答案】5
【分析】由勾股定理可得，再由直角三角形的性质即可得出结果．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
∵D为的中点，
∴．
知识点02 勾股定理的证明
1.证法一
如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.
由图示可得，即；
2.证法二
如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形.
由图示可得，即；
3.证法三
如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形.
由图示可得，即.
【即时训练】
1．（24-25八年级下·全国·单元测试）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的证明，分别用不同的方法表示出大正方形的面积，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：甲方案中：大正方形的面积可以表示为，还可以表示为，
∴，即，可以证明勾股定理，故甲正确；
乙方案中：大正方形的面积可以表示为，还可以表示为，
∴，不可以证明勾股定理，故乙错误；
故选：A．
2．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么_______．

【答案】20
【分析】由题意可知:大正方形的边长为，，根据勾股定理和正方形的面积以及题目给出的已知数据即可求的长度．
【详解】解：由题意可知：大正方形的边长为：，
直角三角形边长分别为，
根据勾股定理可得：，
又，
可得：，，
．
故答案为：20
【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用几何直观和图形面积，本题属于基础题形．
【典型例题一 用勾股定理解三角形】
【例1】（25-26八年级下·天津津南·期末）在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的应用，利用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，直接计算即可得到结果．
【详解】解：设另一条直角边长为
∵该三角形是直角三角形，斜边长为，一条直角边长为
∴根据勾股定理可得
整理得
∵三角形边长为正数
∴
【例2】（2026·河南·模拟预测）如图，与关于直线对称，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称的性质得到，再在中利用勾股定理求出斜边的长，即可得到的长度．
【详解】解：，，，
在中，，
与关于直线对称，
．
【例3】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中， ，，， D 为斜边中点，连接，则的长为______．
【答案】
【分析】先根据勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：在中，，，，
，
点为的中点，
．
1．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在中，，，点为垂足，，．求：
(1)的面积；
(2)斜边的长；
(3)斜边上的高的长．
【答案】(1)2.94
(2)3.5
(3)1.68
【分析】（1）根据三角形面积计算即可．
（2）根据勾股定理计算即可．
（3）根据三角形面积计算即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：∵在中，，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴．
2．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，、分别是边、上的中线，与相交于点．
(1)求的值；
(2)如果，且，．求的长．
【答案】(1)；
(2)的长为9
【分析】（1）连接，设，由得；设，由得．结合中线平分三角形面积的性质，可推导出，可得，故．
（2）由同高和面积比可得底边的比例，结合得．因，在中，由勾股定理得．同理，得，可得的值．
【详解】（1）解：连接，如图，
∵、是的中线，
∴，，
设，
∵，且与同高，
∴，
∴，
设，
∵，且与同高，
∴，
∴，
同理可得，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∵与同高，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，，
同理可得，，即，
∴，
∴．
3．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）完成以下问题
(1)如图1，在中，，，为上一点（不与点，重合），连接，过点作，且，连接，则线段与线段之间的位置关系是______；
(2)如图2，在中，，，为上一点（不与点，重合），连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，试探索，和之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，在四边形中，，，，求线段的长．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明得到，，再证明，得到，则，；
（2）如图所示，连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，则，由勾股定理得到，则；再由勾股定理得到，即可得到；
（3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则，，即可推出，， 证明，得到， ，则由勾股定理得，进而得到，则．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图1，连接．
，，
．
由旋转可知，，
，即．
又，
，
，，
，
，
．
，，
，
．
（3）解：如图，将线段绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，
，，
，．
，
，，
，即．
，
．
，，
，
．
又，，
．
，
，
．
【典型例题二 以直角三角形三边为边长的图形面积】
【例1】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（ ）
A．100 B．28 C．9 D．10
【答案】D
【详解】解：根据勾股定理得，所代表的正方形的面积为，
∴所代表的正方形的边长是10．
【例2】（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形．若正方形的面积分别为1和5，则正方形的面积为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
【答案】D
【详解】解：由图可知，正方形、的边长分别为直角三角形的两条直角边长，正方形的边长为斜边长．
正方形的面积等于边长的平方，
根据勾股定理可得：
，
，
．
【例3】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则________．
【答案】
【分析】根据正方形的面积公式及勾股定理可得，进而可求出．
【详解】解：∵分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴．
1．（24-25八年级下·吉林·阶段检测）如图在四边形中，为对角线，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
（1）先根据勾股定理求出的值，再求出的长，即可计算出周长；
（2）根据即可得出结论．
【详解】（1），，，，
在中
根据勾股定理得：
，
在中
，
四边形的周长为．
（2），
和为直角三角形，
，
，
∴．
2．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该定理．
(2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明．
【答案】(1)任选一个即可，证明见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的证明，解决本题的关键是学会利用面积法证明勾股定理．
（1）根据图中面积关系即可得证；
（2）根据勾股定理及圆的面积公式解答即可得证．
【详解】（1）解：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：；
在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即，化简得：；
在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即，化简得：；
（2）解：，，满足的关系是，
，，
，
．
3．（25-26八年级下·广西崇左·期中）探究不同情境，回答下面问题：
(1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由．
(2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由．
(3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ．
(4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)
(4)，理由见解析
【分析】（1）根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系；
（2）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系；
（3）设，，，则，，，根据勾股定理，即可得、、之间的数量关系；
（4）与的交点记为点，由勾股定理，结合正方形的面积，可得，，，，即可得、、、之间的数量关系．
【详解】（1）解：，理由如下：
在中，根据勾股定理得，，
又∵，，
∴；
（2）解：，理由如下：
设，，，
∴，，，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
∴；
（3）解：如图，
设，，，则，，，
，，，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
∴；
（4）解：，理由如下：
如图，与的交点记为点，
∵，
∴ ，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，，
∴．
【典型例题三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】
【例1】（25-26八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】解：∵是直角三角形，是斜边，且，
∴．
【例2】（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积．
【详解】解：在中，，
由勾股定理得：，
．
故选：B．
【例3】 （24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则______．

【答案】21
【分析】根据勾股定理即可解答．
【详解】解：，，，
在中，，
在中，，
又在中，，
在中，，
．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键．
1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形ABCD中，BD⊥AC交于点E．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2．
【答案】
证明：∵ BD⊥AC，
∴ ∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠DEC＝90°，
∴ 在Rt△ AED中，AD2＝AE2+DE2，
在Rt△ AEB中，AB2＝AE2+BE2，
在Rt△ BEC中，BC2＝BE2+CE2，
在Rt△ CED中，CD2＝CE2+DE2，
∴ AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴ AD2+BC2＝AB2+CD2．
【分析】由BD⊥AC，利用勾股定理即可求得：在Rt△ AED中，AD2＝AE2+DE2，在Rt△ AEB中，AB2＝AE2+BE2，在Rt△ BEC中，BC2＝BE2+CE2，在Rt△ CED中，CD2＝CE2+DE2，继而证得结论
【详解】略
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
2．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时，有．（提示：连接DC）．
【答案】为米
【分析】连接CD，在中应用勾股定理得到，再联立即可求解．
【详解】解：连接CD，
∵∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米，
∴AC＝12米，
在中，，
即，
∵，
∴，
解得．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
3．（24-25八年级下·河南漯河·阶段检测）问题情境：已知Rt的周长为30，斜边长为13，求的面积．
解法展示：设Rt的两直角边分别为a，b，斜边为c，则_______．
因为，所以__________，
所以_________，所以_________，
因为，所以，所以_________，
所以_______，所以的面积为_________．
（1）填空．
（2）方法迁移：已知一直角三角形的面积为24，斜边，求这个三角形的周长．
【答案】（1）30；17；289；；169；60；30；（2）24．
【分析】（1）根据三角形周长定义，勾股定理，完全平方公式和三角形面积公式依次填空即可；
（2）把（1）中方法反向使用，并结合直接开平方法即可求解．
【详解】解：（1）∵Rt的两直角边分别为a，b，斜边为c，
∴表示周长．
故答案为：30．
∵，
∴．
故答案为：17．
∵，
∴．
故答案为：289．
∵，
∴．
故答案为：．
∵，且c=13，
∴．
∴．
故答案为：169．
∵，
∴解方程得．
故答案为：60．
∵，且Rt的两直角边分别为a，b，
∴．
故答案为：30．
（2）设这个直角三角形的两个直角边分别为a，b．
∵直角三角形的面积为24，斜边c=10，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵a和b分别表示直角三角形的两个直角边，
∴．
∴．
∴三角形的周长为24．
【点睛】本题考查了完全平方公式，勾股定理，三角形的周长和面积公式，正确对完全平方公式进行变形是解题关键．
【典型例题四 利用勾股定理证明线段平方关系】
【例1】（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）在中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】掌握直角三角形中两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，根据直角确定斜边后，结合勾股定理即可判断．
【详解】解：∵，，，的对应边分别是，，，
∴ 斜边为的对边，，为两条直角边，
根据勾股定理得 ．
【例2】（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案．
【详解】解：，，
∴，，
∴，
故选： D．
【例3】（24-25八年级上·四川成都·期中）定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____．
【答案】或
【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可．
【详解】解：在Rt中，，
∴，
当时，
∴，，
∵Rt是“和美三角形”，
∴，
∴，
∴，
∴（负值已舍去），
当，
∴，，
∵Rt是“和美三角形”，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
故或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
1．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．
(1)若，，，，请求出，，，的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)，，，
(2)136
【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解；
（2）由（1）可得，即可求解．
【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，
，
∴，
∴在中，，
在中，，
在中，，
在中，．
（2）解：由（1）有，，，．
∴
，
，，
．
2．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究：
(1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”）
（ii）若，则___________；（填“”“”或“”）
(2)任选上述中的一个猜想证明其正确性．
【答案】(1)（i）>；（ii）<
(2)见解析
【分析】（1）根据题意写出猜想；
（2）利用勾股定理分别证明猜想即可．
【详解】（1）解：猜想：（i）若，则>，
（ii）若，则．
（2）若，则>；证明如下：
如图，过点A作于点D，设，则，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
∴，即．
∵
∴
若，则．证明如下：
如图，过点A作的垂线交的延长线于点M，设，则，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
∴，即．
∵，
∴．
3．（25-26八年级上·福建福州·期末）（1）【阅读材料】
如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________；
（2）【类比探究】
如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系．
（3）【应用结论】
如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证．
【答案】（1）；（2）；（3）见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质：
（1）根据面积的不同算法即可得乘法公式；
（2）结合全等三角形的性质可得到，再由，即可解答；
（3）由（2）得：，根据，可得，从而得到，即可求证．
【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
由面积的不同算法可得乘法公式：；
故答案为：
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
（3）由（2）得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【典型例题五 勾股定理的证明方法】
【例1】（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【详解】解：A、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【例2】（24-25八年级下·湖南郴州·阶段检测）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为a，b，c的全等直角三角形拼成如图①所示的五边形，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明：
则下列说法错误的是（　　）
A．①代表 B．②代表
C．③代表正方形 D．④ 代表
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据题意用两种方法表示出S，然后根据两种表示方法表示的S相等，即可得到结论．
【详解】解：如图所示，延长交于G，
方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则；
方法二：将五边形看成是由正方形，正方形，，拼成，则 ，
根据面积相等可以得到，即，
故选：C．
【例3】（24-25八年级上·吉林长春·期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有______．（直接填写图序号）
【答案】③④/④③
【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求出①②③④的面积，进行化简即可得．
【详解】解：①长方形的面积：，
②，
③，
整理，得，
④，
整理，得，
故答案为：③④．
1．（25-26八年级下·山东济宁·期中）图1和图2都是用四个直角边长分别为a和b，斜边长为c的直角三角形围成的正方形，请在图1或图2中任选一个，结合图形利用等面积法证明勾股定理．
【答案】见解析
【分析】大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，由此列式即可．
【详解】证明：选择图1：
四个完全相同的直角三角形的直角边为a和b，
∴直角三角形的面积为，
小正方形的边长为，
∴小正方形的面积为．
大正方形由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形组成，
∴大正方形的面积为．
大正方形的边长为c，
∴大正方形的面积也可以表示为．
∴．
选择图2：
四个完全相同的直角三角形的直角边为a和b，
∴直角三角形的面积为，
小正方形的边长为，
∴小正方形的面积为．
大正方形由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形组成，
∴大正方形的面积为．
大正方形的边长为，
∴大正方形的面积也可以表示为．
∴，
∴．
2．（25-26八年级下·广西百色·期中）【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，点与点重合，点，，在一条直线上，连接， 的三边长分别为，，，利用四边形的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理．
(1)①根据梯形面积公式得到：；根据面积求和得到：________（用含a，b，c的式子表示）；
②利用面积的等量关系，整理得出：________；
(2)【探究】童童将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止，如图2所示，与交于点．童童在图2中也尝试利用四边形的面积对勾股定理进行证明．请你帮助她完成证明过程；
(3)【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为112.5，的长为9，求的长．
【答案】(1)；
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）①利用三角形面积公式求解即可；
②利用等面积法得到，化简即可；
（2）利用梯形的面积公式得到，再由得到，即可得到，整理式子即可．
（3）由求出的值，再利用勾股定理运算求解即可．
【详解】（1）解：①；
②：
；
（2）证明：连接，，
，
如图1所示：，则由平移的性质可得在图2中，
∴
，
∴，
整理可得：；
（3）解：∵，
∴
∴，
解得：或（舍去），
∴在中，．
3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）（1）如图1，在四边形中，对角线、相交于点，且．
①求证：；
②若，，，则的长为______；
（2）勾股定理现约有五百种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一．其中有一类是运用不同方法计算同一图形的面积，从而得到等式，运用等式性质变形证明勾股定理．例如在《周髀算经》里，古代中国数学家赵爽设计“弦图”（图2）进行勾股定理的证明．如图3，已知在四边形中，，，，对角线、相交于点，且，，作，垂足为．根据已知条件，请用图3证明勾股定理：在中，，求证：．
【答案】（1）①见解析②（2）见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理的证明与应用，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
（1）①根据三角形面积公式得，，则，据此即可得出结论；
②在和中，由勾股定理得，，则，在和中，由勾股定理得，，则，由此得，再根据，，即可得的长；
（2）先证明，进而依据“”判定和全等得，，则，，进而得，再由（1）①的结论得，则，据此即可得出结论．
【详解】解：（1）①证明：∵，
∴，，
∴，
∴；
②∵，
∴均为直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的长为，
故答案为：；
（2）证明：，垂足为M，，垂足为E，
∴，
∴和都是直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
由（1）①的结论得：，
∴，
即．
【典型例题六 以弦图为背景的计算题】
【例1】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，二次根式的性质．由小正方形的面积为49得到小正方形的边长为7，由此得到直角三角形两直角边分别为5和12，，根据勾股定理求出斜边长．
【详解】解：∵小正方形的面积为49，
∴小正方形的边长为7，
设直角三角形的短直角边长为，
∴直角三角形的长直角边为：，
∵直角三角形两直角边和为17，
∴，
解得，
∴直角三角形两直角边分别为5和12，
∴直角三角形的斜边，
即大正方形的边长为13，
故选：C．
【例2】（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】本题考查与直角三角形的三边有关的图形的面积，根据题意，得到小正方形的边长等于两条直角边的差值，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：中间小正方形的边长，
∴小正方形的面积为：；
故选C．
【例3】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．直角三角形的直角边长为、，斜边长为．若，，则的值为_______．
【答案】14
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理，理解大正方形面积为是解题关键．根据图象可得，，得出，，再根据完全平方公式即可求解．
【详解】解：根据图象可得，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴（负值已舍去），
故答案为：14．
1．（25-26八年级下·甘肃平凉·阶段检测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是多少？
【答案】76
【分析】设将延长至点，根据题意可得，，由勾股定理可得，即可得风车的外围周长．
【详解】解：设将延长至点，
根据题意可得，，
∴，
∴，
∴这个风车的外围周长是．
2．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图是我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，每个直角三角形的短直角边长为，较长直角边为，斜边为．
(1)请你用这个图形验证一下勾股定理；
(2)如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式在几何图形的应用，熟练对完全平方公式变形是解题的关键．
（1）根据“4个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积”列式，整理即可；
（2）求出和的值，根据完全平方公式即可求得的值，即可解题．
【详解】（1）解：∵小正方形的边长为，大正方形边长为c，
∴大正方形的面积，
∴；
（2）解：∵大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，
，
，
∴．
3．（24-25八年级下·河北沧州·阶段检测）（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理；
（2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积．
【答案】（1）见解析；（2）该飞镖状图案的面积是24
【分析】此题考查了勾股定理与弦图，完全平方公式，
（1）根据，，进行推理验证即可；
（2）求出直角三角形的边长，设，依题意有，求出x，再根据直角三角形的面积去求．
【详解】解：（1），
即
则；
（2）
设
依题意有
解得
．
故该飞镖状图案的面积是24．
【典型例题七 用勾股定理构造图形解决问题】
【例1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（ ）
A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门
C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，先排除竖直、水平摆放的错误选项，再利用勾股定理计算门框对角线长度，与正方形泡沫板边长比较即可得到结论．
【详解】解：∵ 正方形泡沫板边长为，门框高，宽，
竖直或水平摆放时，因 大于门框的高或宽，故无法进门，排除A，B，
斜着沿门框对角线摆放时，根据勾股定理，门框对角线长为：
∵
∴ ，即泡沫板边长小于门框对角线长，只要将泡沫板倾斜，使其一边顺着门框的对角线方向穿过，可以进门，
因此C正确，D错误．
【例2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）跳绳时，小红按照老师教的方法调节绳长（如图1）：双脚踩住绳中央，大臂紧贴身体，小臂水平，两肘弯曲．将绳拉直，此时绳长为合适长度．将双脚抽象看作一点，得到图2，数据如图所示，则适合的绳长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点A作于D，则，由等腰三角形“三线合一”的性质得，然后根据勾股定理即可求得，即可得解．
【详解】解：如图，
过点A作于D，则，
由题意可知，，
∴，
∴，
∴适合小红的绳长为．
【例3】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图是长、宽、高分别是，，的长方体木箱，一根长的木棒______（填“能”或“不能”）完全放进这个长方体木箱．
【答案】不能
【分析】根据勾股定理求出这个长方体木箱能容纳的最大长度，即可解答．
【详解】解：这个长方体木箱能容纳的最大长度为，
∵，，
∴，
∴一根长的木棒不能完全放进这个长方体木箱．
1．（25-26八年级下·北京·期中） 一架快递无人机自仓库地面处垂直起飞到点，沿水平正东方向匀速飞行一段距离到点，随后再次垂直上升90米到点并悬停执行配送任务．此时，地面操控者发现点与无人机之间的直线距离恰好比无人机水平飞行的距离多30米．求该无人机水平飞行的距离为多少米？
【答案】120米
【分析】该无人机水平飞行的距离为x米，则，在中利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：该无人机水平飞行的距离为x米，则，
在中，，，
∴，
解得；，
答：该无人机水平飞行的距离为120米．
2．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)求秋千的长度；
(2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理求线段长，涉及矩形的判定与性质等知识，数形结合，熟练运用勾股定理是解决问题的关键．
（1）由题中条件，得到四边形是矩形，从而得到，设秋千的长度为，则，，由勾股定理列方程求解即可得到答案；
（2）设时，，构造直角三角形，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意知，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴，
设秋千的长度为，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
即秋千的长度是；
（2）解：设时，，
∵，
∴，
由（1）可知，，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，则 ，
解得，
即此时踏板离地的垂直高度为．
3．（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题．
报告 测量风筝的垂直高度
成员 组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX
工具 皮尺等
示意图
方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风等的同学的身高
数据 米 米 米
评价
(1)求此时风筝的垂直高度；
(2)若站在点A不动，想把风不沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置，则还需放出风筝线多少米？
【答案】(1)米
(2)14米
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．
（1）在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解；
（2）由题意得米，根据米，得到米，在中，利用勾股定理求出的长度，由即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：米，
在中，
由勾股定理得，
∴（负值舍去），
∴（米）；
（2）解：由题意得米，
∵米，
故米，
在中，
∴（米），
∴（米），
故还需放出风筝线14米．
【典型例题八 勾股定理与无理数】
【例1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出矩形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴正方向交于点P，则可得点P表示的数．
【详解】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度，
以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P，
所以数轴上的点P表示的数为：．
【例2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数3的点，然后过点作，使（如图）．以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】勾股定理求出的长即可得出结果．
【详解】解：由题意，，，，，
∴，
∴点P所表示的数是．
【例3】（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A所表示的数为___．
【答案】/
【分析】本题主要考查了勾股定理，无理数与数轴，根据勾股定理求出圆的半径，再根据数轴上两点之间的距离即可得出点A所表示的数．
【详解】解：根据题意可知圆的半径为：，
即点A到的距离为：，
∵点A到原点的左侧，
∴点A所表示的数为：．
故答案为：
1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题：
(1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数．
(2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)
(2)如图，点即为所求．
【分析】（1）利用勾股定理求出，即可得出答案．
（2）过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点．
【详解】（1）解：∵点表示的数是，
∴，
∵，，
∴，
∵以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，
∴，
∴点表示的数为．
（2）解：∵，，，
∴，
∴点即为所求．
2．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）甲同学用如图所示的方法作出点表示数，在中，，，，且点，，在同一数轴上，．
(1)请说明甲同学这样做的理由；
(2)仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上找出表示的点，并说明理由．
【答案】(1)理由见解析；
(2)找出表示的点见解析图，理由见解析．
【分析】（）由勾股定理得，然后代入求解即可；
（）在中，，，，由勾股定理即可求解；
本题考查了勾股定理与无理数，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得，
∴，
即点表示数；
（2）解：如图，
在中，，，，
∴，
即点表示．
3．（24-25八年级下·吉林白城·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图1．在数轴上找出表示的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为______．
(2)应用场景2：解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，踏板离地的垂直高度，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳的长．（作于D）
【答案】(1)
(2)秋千绳的长为
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，关键是正确理解题意，表示出，的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
（1）根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可．
（2）设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论．
【详解】（1）在中，
，
，
点表示的数是；
（2）设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
四边形为矩形，，，，，
，，
在中，，
即，
解得，
即的长度为，
答：绳索的长为．
【典型例题九 勾股定理与网格问题】
【例1】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的顶点均在格点上，则四边形的边长为整数的边是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】本题考查网格中求边长，勾股定理．根据网格图及勾股定理，即可解答．
【详解】解：由题意及图，得
，，，
∴四边形的边长为整数的边是和．
故选B．
【例2】（24-25八年级下·上海虹口·期末）我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如图，在的网格中，四边形是“等邻边四边形”，顶点在网格格点上，如果点也在网格格点上，那么点的位置有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是新定义下的格点问题，解题关键是充分考虑多种情况．
分情况考虑：①时，②时，找到所有符合条件的点即可．
【详解】解：依图得，此时，
则要使四边形是“等邻边四边形”，
可分两种情况考虑：
①时，即要使，符合要求，此时；
②时，即要使，、符合要求，此时，．
综上，点的位置有个．
故选：．
【例3】（2026·陕西·模拟预测）如图，网格中的小正方形边长均为1，和的顶点都在格点上．其中是由经过一次平移得到的，则平移的距离是________．
【答案】
【分析】连接，根据平移性质，平移的距离是的长，故利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，
由图知，，
∴平移的距离是．
1．（25-26八年级下·新疆巴州·期中）如图，在正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，设每个小正方形的边长为1，以格点为顶点分别按下列要求画图．
(1)在图1中，画一条线段的长度为；
(2)在图2中，画一个直角三角形，使它的斜边为．
【答案】(1)解：线段即为所求作；
(2)解：即为所求作；
【分析】（1）根据网格特点以及即可画出图形；
（2）根据网格特点以及即可画出图形．
【详解】（1）略
（2）略
2．（25-26八年级下·河南漯河·期中）定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形．
(1)如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是________；
(2)如图2，在方格纸中，两点在格点上，请画出一个符合条件的对直四边形，且点都在格点上．
【答案】(1)
(2)如图，（答案不唯一）
【分析】（1）连接，利用勾股定理求出，然后求出，利用勾股定理求解；
（2）根据网格的特点和对直四边形的定义画图．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵四边形是对直四边形，
∴，
∴；
（2）略
3．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）如图，在如图所示的的方格中，每个小方格的边长都为1．试在三个方格中，分别画出满足下列条件的三个直角三角形，使各顶点都在方格的格点上．
(1)三边都是整数；
(2)斜边为；
(3)直角边为的等腰直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）作三边长分别为3，4，5的，即可；
（2）作三边长分别为1，3，的，即可；
（3）作直角边为的等腰直角三角形，即可．
【详解】（1）解：如图， 即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，即为所求．
【典型例题十 勾股定理与折叠问题】
【例1】（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，点D在上，点E在上，将沿直线翻折，点A的对称点落在上，若，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由折叠性质得，由勾股定理得，即可求解．
【详解】解：，，
，
由折叠得，
，
．
【例2】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，在长方形中，，，点E，F分别在，上，沿将此长方形折叠，使点B与点D重合．下列结论中正确的有（ ）
①；②的面积为30；③的面积为18．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，
①由折叠得到，然后由勾股定理即可判断①；首先由折叠得到，，然后在中根据勾股定理求出，然后利用三角形面积公式即可判断②；由折叠得，然后在中，利用勾股定理求出，然后根据三角形面积公式即可判断③．
【详解】∵长方形中
∴
∴
∵沿将此长方形折叠，使点B与点D重合
∴
∴，故①正确；
∵在长方形中，
∴，，
由折叠可得，，
∴，即
解得，
∴的面积，故②正确；
由折叠得，
∴在中，
∴
解得
∴的面积，故③错误；
综上所述，结论中正确的有2个．
故选：C．
【例3】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：根据折叠的性质得到，，
，
，
四边形是长方形，
，
，
，
，
．
1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在一次手工活动中，小明将长方形纸片进行翻折，使点落在边的点处，折痕为，已知，，请你帮小明求出线段的长．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性．
由折叠得到，，然后对运用勾股定理求解，然后设为，即可表示，最后对运用勾股定理建立方程求解．
【详解】解：由折叠可知：，
因为是长方形，
所以，
在中，
则：，解得（负值舍去）
因为长方形中，，
所以
在中，设为，则为，
由折叠知：
因为，
，
解得
即长为．
2．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践
(1)如图1，在中，，，．
①求的长；
②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长．
(2)如图2，在中，是边上的高，求的长．
【答案】(1)①10；②
(2)12
【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用勾股定理列出方程是解题的关键．
（1）①直接运用勾股定理求解即可；②由折叠的性质以及线段的和差可得，再根据勾股定理列方程求解即可；
（2）设，则．由勾股定理可得、，然后列出关于x的方程求解即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴．
②由折叠得：，
∴，
∴．
在中，，
∴，解得：，
∴的长为．
（2）解：设，则．
∵是边上的高，
∴．
在中，，
在中，，
∴，解得：，
∴．
3．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是：
①先裁下了一张长，宽的长方形纸片；
②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处．
请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长．
【答案】
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
由折叠的性质可知，， ，由勾股定理得，则，设，由勾股定理得，即，计算求解然后作答即可．
【详解】解：∵长方形，
∴，，
由折叠的性质可知，， ，
由勾股定理得，，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
∴，
∴．
1．（24-25八年级下·云南昭通·阶段检测）长方形一边长为6，对角线与长方形另一边相差2，则长方形的面积为（ ）
A．16 B．6 C．48 D．24
【答案】C
【分析】本题利用长方形四个角为直角，邻边与对角线构成直角三角形，结合勾股定理求出另一边长，再根据长方形面积公式计算即可．
【详解】解：设长方形另一边长为，则对角线长为．
∵长方形内角为直角，相邻两边与对角线构成直角三角形，
∴由勾股定理得：，
展开得：，
化简得：，解得．
∴长方形面积为．
2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案．
【详解】解：过点A作于点E，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴的值不变．
故选：D．
3．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正方形的性质，勾股定理得到，根据圆的面积公式，解答即可．
【详解】解：根据题意，得，且，，
，
根据勾股定理，得，
故圆的面积为，
根据题意，得是半圆的面积，
故；
4．（25-26八年级下·重庆·期末）我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（ ）
A．18 B．22 C．26 D．30
【答案】B
【分析】分别求出三角形的面积，正方形的面积，计算即可．
【详解】解：如下图，
由题意得：，
，
，
同理，
．
5．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】先根据折叠得到，，，，然后根据直角三角形的两个锐角互余以及折叠的性质，求出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由折叠性质得：，，，，
∵，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴．
6．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，字母所在的正方形面积为________．
【答案】
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，结合图形可知中间三角形为直角三角形，利用勾股定理建立三边平方之间的关系，进而求出字母所在正方形的面积．
【详解】解：设直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．
由正方形面积公式可知，面积为225的正方形对应，
面积为289的正方形对应，
正方形的面积为．
因为三角形为直角三角形，根据勾股定理得．
所以．即正方形的面积为64．
7．（24-25八年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．

【答案】64
【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可.
【详解】解：连接，
由题意得：，，，，
∵，
∴.
∴.
∴.

故答案为：64．
【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键．
8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在门上方离地面的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该灯及内，灯就会自动发光．小明身高，他走到点D处时（即），灯刚好发光，则___________．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练地掌握勾股定理．过点C作于点E，则人离墙的距离为， 在中，根据勾股定理列式计算即可得到答案．
【详解】解：如图，传感器A距地面的高度为，人高，
过点C作于点E，则人离墙的距离为，
由题意可知，，
当人离传感器A的距离时，灯发光．
此时，在中，根据勾股定理可得，
，
∴，
∴，
即人走到离墙远时，灯刚好发光．
故答案为：．
9．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则______．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，由折叠的性质可得，，，，结合三角形内角和定理 ，从而可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由折叠的性质可得：，，，，
∵直角三角形纸片中，，
∴，
∴，
∵，，三点共线，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是________．
【答案】675
【分析】根据题意，都由直角三角形和正方形的面积组成的，故设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为，建立等式代入即可；用、表示是解题的关键．
【详解】解：设八个全等的直角三角形其中一个的面积为，正方形的面积为，
，
，
，
，，
．
故答案为：675．
11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程．
【答案】见解析
【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法．
根据列出关系式，进而得出结论．
【详解】证明：如图．，
，
，
．
12．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，a，b，c分别表示，，的对边．
(1)已知，，求a，b．
(2)已知，，求a，c．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）先结合，设，再运用勾股定理列式计算，即可作答．
（2）根据30度角的直角三角形的性质，得，再运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，．
（2）解：∵，，
∴，
则．
13．（2026·吉林长春·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，按下列要求作图，适当保留作图痕迹．
(1)在图①中，确定点C，使，点C在格点上；
(2)在图②中，确定点D，使．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）如图，取格点，可得，且，即为等腰直角三角形，所以；
（2）取点，连接交于点，可得，即，则．
【详解】（1）略
（2）略
14．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践．
【项目主题】特殊三角形的再探究
【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中．
勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方的和是否等于最大边的平方．
勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想．
②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍（k为正整数），那么这个三角形叫做k倍“平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”．
例如：三边长分别为3，4，时，，是5倍平方和三角形，方和倍等于5．
又的正整数倍，的正整数倍，仅仅是5倍平方和三角形．
【项目实施】
(1)已知三角形三边长分别为2，3，，试说明该三角形是1倍平方和三角形；
(2)在平方和中，，，的对边分别为a，b，c，，，，求方和倍的值；
(3)在4倍平方和中，，设，，的对边分别为a，b，c，且，求的值．
【答案】(1)说明见解析
(2)平方和的方和倍的值是1或7
(3)
【分析】（1）根据k倍“平方和”三角形的定义说明即可；
（2）先求出，再分情况讨论即可；
（3）根据勾股定理可知，进而分当时，当时，两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：，，，且，
∴该三角形是1倍平方和三角形；
（2）解：根据勾股定理，得，即，
①，
方和倍；
②，
方和倍；
③，不等于60的正整数倍；
∴平方和的方和倍的值是1或7；
（3）解：在中，，
；
根据“是4倍平方和三角形”，再分两种情况考虑：
①当时，
将代入，得，
；
又，
不合题意，舍去；
②当时，
将代入，得，
，
，
，
．
15．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
(1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：．
小李的解法如下：过点作于点于点，过点作于点，
是的角平分线，且，
_________．
，
．
(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：；
(3)【直接应用】如图3所示，在中，平分交于点，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出．
(4)【拓展应用】如图4所示，在中，，设，记的面积为，将先沿的平分线折叠，点刚好落在边上的点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分，记剩余部分的面积为，请猜测的值，并说明理由．
【答案】(1)，，
(2)见详解
(3)
(4)
【分析】（1）根据三角形面积公式分别得到，，再根据角平分线的性质得到，由此列式即可求解；
（2）过点A作于点P，过点D作于点M，作延长线于点N ，，，由此列式求解即可；
（3）根据题意得到，结合题意得到，，设，在中，根据勾股定理列式求解即可；
（4）根据题意，运用勾股定理得到，且，结合（1）的计算得到，，，，则，分别算出，，，得到，代入计算即可．
【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点，
是的角平分线，且，
∴，，
，
．
（2）证明：如图所示，过点A作于点P，过点D作于点M，作延长线于点N ，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
（3）解：在中，平分交于点，
∴，
∵，，则，
∴，
设，
在中，，
∴，
解得，（负值舍去），
∴；
（4）解：在中，，平分，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∵折叠，点刚好落在边上的点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∴．
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第09讲 勾股定理的探究（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 用勾股定理解三角形
典型例题二 以直角三角形三边为边长的图形面积
典型例题三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
典型例题四 利用勾股定理证明线段平方关系
典型例题五 勾股定理的证明方法
典型例题六 以弦图为背景的计算题
典型例题七 用勾股定理构造图形解决问题
典型例题八 勾股定理与无理数
典型例题九 勾股定理与网格问题
典型例题十 勾股定理与折叠问题
知识点01 勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如图所示，如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.
勾股定理的变式：.
1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，使用的前提条件是在直角三角形中；
2.在使用勾股定理过程中，一定要分清楚直角边和斜边，当题目中已知条件中没有明确哪条是斜边的情况下，要分类讨论，避免漏解.
【即时训练】
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，为测量小区内池塘最宽处，两点间的距离，在池塘边设定一点，使，并测得的长为，的长为，则最宽处的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，，，D为的中点，则的长为____．
知识点02 勾股定理的证明
1.证法一
如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的小正方形和一个以c为边长的大正方形.
由图示可得，即；
2.证法二
如图所示，用4个全等的直角三角形，可以得到一个以为边长的正方形.
由图示可得，即；
3.证法三
如图所示，用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形，可以得到一个直角梯形.
由图示可得，即.
【即时训练】
1．（24-25八年级下·全国·单元测试）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（ ）
A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确
2．（24-25八年级下·河南信阳·期中）如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么_______．

【典型例题一 用勾股定理解三角形】
【例1】（25-26八年级下·天津津南·期末）在直角三角形中，斜边长为，一条直角边长为，则另一条直角边长是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2026·河南·模拟预测）如图，与关于直线对称，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中， ，，， D 为斜边中点，连接，则的长为______．
1．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，在中，，，点为垂足，，．求：
(1)的面积；
(2)斜边的长；
(3)斜边上的高的长．
2．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，、分别是边、上的中线，与相交于点．
(1)求的值；
(2)如果，且，．求的长．
3．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）完成以下问题
(1)如图1，在中，，，为上一点（不与点，重合），连接，过点作，且，连接，则线段与线段之间的位置关系是______；
(2)如图2，在中，，，为上一点（不与点，重合），连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，试探索，和之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)如图3，在四边形中，，，，求线段的长．
【典型例题二 以直角三角形三边为边长的图形面积】
【例1】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长是（ ）
A．100 B．28 C．9 D．10
【例2】（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形．若正方形的面积分别为1和5，则正方形的面积为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
【例3】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，分别以的三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，．若，，则________．
1．（24-25八年级下·吉林·阶段检测）如图在四边形中，为对角线，，，，．
(1)求四边形的周长；
(2)求四边形的面积．
2．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）在我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图1，图2，图3的证明方法中任选一种来证明该定理．
(2)如图4所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明．
3．（25-26八年级下·广西崇左·期中）探究不同情境，回答下面问题：
(1)【初步探究】如图①，分别以三条边为边向外作正方形，其面积分别用表示．请写出之间满足的等量关系，并说明理由．
(2)【类比探究】如图②，分别以三条边为直径向外作半圆，其面积分别用表示，请写出之间满足的等量关系，并说明理由．
(3)【探究应用】如图③，分别以三条边为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别用表示，则之间满足的等量关系是 ．
(4)【拓展应用】如图④，在四边形中，，现以四边形的四条边为边向外作正方形，其面积分别为．请写出之间满足的等量关系，并说明理由．
【典型例题三 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】
【例1】（25-26八年级下·河北唐山·期中）在直角三角形中，斜边，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2】（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【例3】 （24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则______．

1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形ABCD中，BD⊥AC交于点E．求证：AD2+BC2＝AB2+CD2．
2．（24-25八年级下·福建龙岩·期末）一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时，有．（提示：连接DC）．
3．（24-25八年级下·河南漯河·阶段检测）问题情境：已知Rt的周长为30，斜边长为13，求的面积．
解法展示：设Rt的两直角边分别为a，b，斜边为c，则_______．
因为，所以__________，
所以_________，所以_________，
因为，所以，所以_________，
所以_______，所以的面积为_________．
（1）填空．
（2）方法迁移：已知一直角三角形的面积为24，斜边，求这个三角形的周长．
【典型例题四 利用勾股定理证明线段平方关系】
【例1】（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）在中，，，，的对应边分别是，，，则下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【例3】（24-25八年级上·四川成都·期中）定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____．
1．（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O．
(1)若，，，，请求出，，，的值；
(2)若，，求的值．
2．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，已知，，，若，如图1，由勾股定理可得结论：（；若（如图2）或（如图3）时，请你完成下列探究：
(1)猜想：（i）若，则___________；（填“”“”或“”）
（ii）若，则___________；（填“”“”或“”）
(2)任选上述中的一个猜想证明其正确性．
3．（25-26八年级上·福建福州·期末）（1）【阅读材料】
如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________；
（2）【类比探究】
如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系．
（3）【应用结论】
如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证．
【典型例题五 勾股定理的证明方法】
【例1】（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级下·湖南郴州·阶段检测）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为a，b，c的全等直角三角形拼成如图①所示的五边形，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明：
则下列说法错误的是（　　）
A．①代表 B．②代表
C．③代表正方形 D．④ 代表
【例3】（24-25八年级上·吉林长春·期末）人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有______．（直接填写图序号）
1．（25-26八年级下·山东济宁·期中）图1和图2都是用四个直角边长分别为a和b，斜边长为c的直角三角形围成的正方形，请在图1或图2中任选一个，结合图形利用等面积法证明勾股定理．
2．（25-26八年级下·广西百色·期中）【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，点与点重合，点，，在一条直线上，连接， 的三边长分别为，，，利用四边形的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理．
(1)①根据梯形面积公式得到：；根据面积求和得到：________（用含a，b，c的式子表示）；
②利用面积的等量关系，整理得出：________；
(2)【探究】童童将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止，如图2所示，与交于点．童童在图2中也尝试利用四边形的面积对勾股定理进行证明．请你帮助她完成证明过程；
(3)【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为112.5，的长为9，求的长．
3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）（1）如图1，在四边形中，对角线、相交于点，且．
①求证：；
②若，，，则的长为______；
（2）勾股定理现约有五百种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一．其中有一类是运用不同方法计算同一图形的面积，从而得到等式，运用等式性质变形证明勾股定理．例如在《周髀算经》里，古代中国数学家赵爽设计“弦图”（图2）进行勾股定理的证明．如图3，已知在四边形中，，，，对角线、相交于点，且，，作，垂足为．根据已知条件，请用图3证明勾股定理：在中，，求证：．
【典型例题六 以弦图为背景的计算题】
【例1】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．10
【例2】（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．2
【例3】（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．直角三角形的直角边长为、，斜边长为．若，，则的值为_______．
1．（25-26八年级下·甘肃平凉·阶段检测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是多少？
2．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图是我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，每个直角三角形的短直角边长为，较长直角边为，斜边为．
(1)请你用这个图形验证一下勾股定理；
(2)如果大正方形的面积是12，一个三角形的面积是3，求：的值．
3．（24-25八年级下·河北沧州·阶段检测）（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理；
（2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积．
【典型例题七 用勾股定理构造图形解决问题】
【例1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（ ）
A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门
C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门
【例2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）跳绳时，小红按照老师教的方法调节绳长（如图1）：双脚踩住绳中央，大臂紧贴身体，小臂水平，两肘弯曲．将绳拉直，此时绳长为合适长度．将双脚抽象看作一点，得到图2，数据如图所示，则适合的绳长为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图是长、宽、高分别是，，的长方体木箱，一根长的木棒______（填“能”或“不能”）完全放进这个长方体木箱．
1．（25-26八年级下·北京·期中） 一架快递无人机自仓库地面处垂直起飞到点，沿水平正东方向匀速飞行一段距离到点，随后再次垂直上升90米到点并悬停执行配送任务．此时，地面操控者发现点与无人机之间的直线距离恰好比无人机水平飞行的距离多30米．求该无人机水平飞行的距离为多少米？
2．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
(1)求秋千的长度；
(2)如果将秋千往前推送4米，求此时踏板离地的垂直高度为多少？
3．（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）学习了“勾股定理”后，郑州某校数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下面试题．
报告 测量风筝的垂直高度
成员 组长：XXX 组员：XXX，XXX，XXX
工具 皮尺等
示意图
方案 先测量水平距离，然后根据手中剩余线的长度得出风筝线长，最后测量放风等的同学的身高
数据 米 米 米
评价
(1)求此时风筝的垂直高度；
(2)若站在点A不动，想把风不沿方向从点F的位置上升18米至点C的位置，则还需放出风筝线多少米？
【典型例题八 勾股定理与无理数】
【例1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个长方形，以表示0的点为圆心，以长方形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点表示的数是（　　）．
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数3的点，然后过点作，使（如图）．以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数是（ ）

A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A所表示的数为___．
1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如何在数轴上找到表示无理数的点？部分无理数可通过构造直角三角形，运用勾股定理的知识来解决．请阅读并完成下列问题：
(1)如图，过数轴上表示的点，作数轴的垂线，并截取长度为的线段，连接，以点为圆心，以为半径画弧，与数轴正半轴交于点，请直接写出点表示的数．
(2)如图，请参照（1）的作法，在数轴上找到表示的点．（保留作图痕迹，不写作法）
2．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）甲同学用如图所示的方法作出点表示数，在中，，，，且点，，在同一数轴上，．
(1)请说明甲同学这样做的理由；
(2)仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上找出表示的点，并说明理由．
3．（24-25八年级下·吉林白城·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图1．在数轴上找出表示的点A，表示1的点B，过点B作直线l垂直于，在l上取点C，使，以点A为圆心，为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为______．
(2)应用场景2：解决实际问题．
如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，踏板离地的垂直高度，整个过程中它的绳索始终拉直，求秋千绳的长．（作于D）
【典型例题九 勾股定理与网格问题】
【例1】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的顶点均在格点上，则四边形的边长为整数的边是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【例2】（24-25八年级下·上海虹口·期末）我们把有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．如图，在的网格中，四边形是“等邻边四边形”，顶点在网格格点上，如果点也在网格格点上，那么点的位置有（　　）
个 B．个 C．个 D．个
【例3】（2026·陕西·模拟预测）如图，网格中的小正方形边长均为1，和的顶点都在格点上．其中是由经过一次平移得到的，则平移的距离是________．
1．（25-26八年级下·新疆巴州·期中）如图，在正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，设每个小正方形的边长为1，以格点为顶点分别按下列要求画图．
(1)在图1中，画一条线段的长度为；
(2)在图2中，画一个直角三角形，使它的斜边为．
2．（25-26八年级下·河南漯河·期中）定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形．
(1)如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是________；
(2)如图2，在方格纸中，两点在格点上，请画出一个符合条件的对直四边形，且点都在格点上．
3．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）如图，在如图所示的的方格中，每个小方格的边长都为1．试在三个方格中，分别画出满足下列条件的三个直角三角形，使各顶点都在方格的格点上．
(1)三边都是整数；
(2)斜边为；
(3)直角边为的等腰直角三角形．
【典型例题十 勾股定理与折叠问题】
【例1】（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，点D在上，点E在上，将沿直线翻折，点A的对称点落在上，若，则的长是（ ）．
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，在长方形中，，，点E，F分别在，上，沿将此长方形折叠，使点B与点D重合．下列结论中正确的有（ ）
①；②的面积为30；③的面积为18．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【例3】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______．
1．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）在一次手工活动中，小明将长方形纸片进行翻折，使点落在边的点处，折痕为，已知，，请你帮小明求出线段的长．
2．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践
(1)如图1，在中，，，．
①求的长；
②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长．
(2)如图2，在中，是边上的高，求的长．
3．（24-25八年级下·北京·期中）八年级开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是：
①先裁下了一张长，宽的长方形纸片；
②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处．
请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长．
1．（24-25八年级下·云南昭通·阶段检测）长方形一边长为6，对角线与长方形另一边相差2，则长方形的面积为（ ）
A．16 B．6 C．48 D．24
2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，分别以的直角边，为边向外作正方形，其面积分别为，，以斜边为直径向外画半圆，其面积为．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级下·重庆·期末）我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（ ）
A．18 B．22 C．26 D．30
5．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，字母所在的正方形面积为________．
7．（24-25八年级下·河南漯河·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是______．

8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在门上方离地面的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该灯及内，灯就会自动发光．小明身高，他走到点D处时（即），灯刚好发光，则___________．
9．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，直角三角形纸片中，，将，分别沿着，折叠，使点，恰好都落在点，且，，三点共线．已知，，则______．
10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是________．
11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程．
12．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，a，b，c分别表示，，的对边．
(1)已知，，求a，b．
(2)已知，，求a，c．
13．（2026·吉林长春·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，按下列要求作图，适当保留作图痕迹．
(1)在图①中，确定点C，使，点C在格点上；
(2)在图②中，确定点D，使．
14．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践．
【项目主题】特殊三角形的再探究
【项目准备】①勾股定理将“形转化为数”，应用的前提是在直角三角形中．
勾股定理的逆定理将“数转化为形”，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，需要判断较小两边平方的和是否等于最大边的平方．
勾股定理及其逆定理揭示了“数形转化”思想．
②在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边平方的k倍（k为正整数），那么这个三角形叫做k倍“平方和”三角形，其中k的值称为“方和倍”．
例如：三边长分别为3，4，时，，是5倍平方和三角形，方和倍等于5．
又的正整数倍，的正整数倍，仅仅是5倍平方和三角形．
【项目实施】
(1)已知三角形三边长分别为2，3，，试说明该三角形是1倍平方和三角形；
(2)在平方和中，，，的对边分别为a，b，c，，，，求方和倍的值；
(3)在4倍平方和中，，设，，的对边分别为a，b，c，且，求的值．
15．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
(1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：．
小李的解法如下：过点作于点于点，过点作于点，
是的角平分线，且，
_________．
，
．
(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：；
(3)【直接应用】如图3所示，在中，平分交于点，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出．
(4)【拓展应用】如图4所示，在中，，设，记的面积为，将先沿的平分线折叠，点刚好落在边上的点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分，记剩余部分的面积为，请猜测的值，并说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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