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第10讲 勾股定理的逆定理（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 勾股树（数）问题
典型例题二 判断三边能否构成直角三角形
典型例题三 在网格中判断直角三角形
典型例题四 利用勾股定理的逆定理求解
典型例题五 勾股定理逆定理的拓展问题
典型例题六 勾股定理逆定理的实际应用
知识点01 勾股数
1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数.
2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方.
3.勾股数组的特点
（1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）；
（2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）.
4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下：
①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15……
5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数.
【即时训练】
1．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．6，8，10 B．1，，
C．5，12，13 D．33，44，55
2．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别足、、、，则正方形的边长是______________．

【典型例题一 勾股树（数）问题】
【例1】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【例2】（25-26八年级下·福建福州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．9，30，31 D．9，40，41
【例3】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）若是一组勾股数，则整数的值为___________．
【例4】（25-26八年级下·山东临沂·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：
6 8 10 12 14 …
8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
则当时，的值为_____．
1．（25-26八年级下·广东中山·期中）阅读理解并解答问题
如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数．
(1)请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数；
(2)如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数．
2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）据我国古代某数学著作记载，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”．
(1)观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…．发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间断过，计算，与，，并根据你发现的规律，分别写出能用7，24，25中的勾表示股和弦的算式．
(2)根据（1）的规律，用含n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦．猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明．
(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…．可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用含m（m为勾，m为偶数且）的代数式来表示它们的股和弦．
3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境：
勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题：
(1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______；
(2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，．
①求证：
②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______．
【典型例题二 判断三边能否构成直角三角形】
【例1】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．3、4、5 B．4、5、6 C．6、8、10 D．8、15、17
【例2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是、、，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（ ）
A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理
C．三角形内角和等于 D．勾股定理
【例3】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）在中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则这样的三角形的面积是__________
【例4】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，，D为延长线上一点，．若，则的长为 ___________．
1．（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，在中．于点，，，．
(1)求的长；
(2)判断的形状，并说明理由．
2．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）如图，在中，E为边上一点，连接，过点A作交的延长线于点D，已知．
(1)试说明：为直角三角形；
(2)求的值．
3．（25-26八年级上·山东威海·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米，千米．
(1)求小溪流的长．
(2)求四边形的面积．
【典型例题三 在网格中判断直角三角形】
【例1】（24-25八年级上·山东聊城·期中）放在正方形网格纸的位置如图，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的正方形网格中，和的顶点都在网格线的交点上，则与的和为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【例3】（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）已知：如图，在方格图中_____________．

【例4】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的格点上，则的度数是______．

1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，每个小方格的边长都为1．
(1)求图中格点的面积；
(2)判断的形状，并证明你的结论．
2．（24-25八年级下·广西钦州·阶段检测）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题．
(1)试判断的形状并说明理由；
(2)求点A到的距离；
(3)以为边向右侧作，点在格点上，使是等腰三角形，则的长为_________．
3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．请仅用无刻度的直尺作图：
（1）在图中画出与△ABC关于直线MN成轴对称的△A′B′C′；（不写画法）
（2）请你判断△ABC的形状，并加以证明；
（3）若点P是MN上的动点，求的最小值．
【典型例题四 利用勾股定理的逆定理求解】
【例1】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）若一个三角形的三边分别是7，24，25，则它的面积是( )
A．84 B．87.5 C．168 D．300
【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（ ）

A．3 B．6 C．10 D．16
【例3】（24-25八年级上·吉林长春·期末）测得一块三角形花园三边长分别为5米，12米，13米，则这块花园的面积为_____平方米．
【例4】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，.则________°．
1．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米．判断的形状，并说明理由．
2．（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）如图，四边形，，，，连接，且．
(1)求的长：
(2)若，则_______，________．
3．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)通过计算比较两条路线谁更短．
【典型例题五 勾股定理逆定理的拓展问题】
【例1】 （24-25八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【例2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　）
A． B．
C． D．
【例3】（24-25八年级上·吉林长春·期末）边长为6，8，10的内有一点到三边的距离均为，则的值为________．
【例4】（2025·江苏无锡·模拟预测）在如图所示的正方形网格中，点A，B，P是网格线交点上，则________．
1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．
(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；
(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当时，
当为直角三角形时，则的取值为________；
当为锐角三角形时，则的取值范围________；
当为钝角三角形时，则的取值范围________．
2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形中，为边上的高．
(1)若， ， ， 求证： ；
(2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？
(3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由．
3．（24-25八年级上·江西吉安·期末）先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组：，，； 第二组：，，；
第三组：，，； 第四组：，，；
（1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长．
【典型例题六 勾股定理逆定理的实际应用】
【例1】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）一块三角形沙地三边长分别为，则这块沙地的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______．
【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中长为5个结间距的边所对的角便是直角．依据是______________________________________．
1．（25-26八年级下·天津南开·期末）如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．
(1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由．
2．（24-25八年级下·北京·期末）如图，某景区内有一个露营区C，河边上原有两个观景台A和B，且．为了方便游客观赏，现计划在河边新建一个观景台P（A、P、B在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题：
(1)试判断步道与的位置关系，并说明理由；
(2)求观景台P与观景台B之间的距离的长．（结果保留到整数）
3．（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践：某小区临街的拐角处有一块绿化地，形状如图阴影部分所示．小区管理人员测量绿化地的尺寸得出：．经过一段时间后发现当时建设绿化地时没有考虑灌溉问题，从水源点处提水灌溉绿化地太辛苦，于是想在两处设计浇灌点．小区管理人员请的管道设计师提供了如下两个设计方案：方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点处；方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从H处分别向浇灌点铺设管道．
(1)小区管理人员利用卷尺测量了的长为，便判断出绿化地拐角处为直角（），为什么？
(2)在（）的条件下，若绿化地建造每平方米的费用为元，求当时建造绿化地的费用；
(3)经测量．已知管道铺设费用为每米元，请你计算两种方案的费用，帮助社区管理人员选择比较省钱的管道铺设方案．
1．（25-26八年级下·安徽六安·期末）将下列长度的线段首尾依次相接，不能构成直角三角形的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
4．（2026·河南平顶山·二模）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（ ）
A．2027 B． C． D．
5．（25-26八年级下·天津南开·期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号和“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口后分别位于点Q，R处，且相距．如果“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号航行的方向是（ ）
A．西北方向 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西
6．（24-25八年级下·四川南充·期中）勾股数，①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，，；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：_______．
7．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为_______．
8．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 __．
9．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，B是延长线上的一点，连接．若，则的面积为____________．
10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形四个角都应是直角，他在挖完后测量发现，则他挖的地基______．（填“合格”或“不合格”）
11．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律：
(1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数；
当a为奇数时，如①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，______，______；⑤11，60，61；
当a为偶数时，如①6，8，；②8，，；③，，；④，，，；⑤，______，______；
(2)若，，，n为正整数，且，求证：不论n为何值，a，b，c都是勾股数组．
12．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
13．（25-26八年级下·北京·期中）如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
14．（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图， 在每个小正方形的边长均为 1的方格纸中，有线段和线段，点、均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画以为斜边的等腰直角；
(2)在方格纸中画以为斜边的直角三角形，点在小正方形的顶点上．
15．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且．
(1)求点到点的距离；
(2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格．
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第10讲 勾股定理的逆定理（1大知识点+6大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 勾股树（数）问题
典型例题二 判断三边能否构成直角三角形
典型例题三 在网格中判断直角三角形
典型例题四 利用勾股定理的逆定理求解
典型例题五 勾股定理逆定理的拓展问题
典型例题六 勾股定理逆定理的实际应用
知识点01 勾股数
1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数.
2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方.
3.勾股数组的特点
（1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（是正整数）；
（2）柏拉图发现的勾股数组：（，且是正整数）.
4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下：
①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15……
5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数.
【即时训练】
1．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）下列各组数中不是勾股数的是（ ）
A．6，8，10 B．1，，
C．5，12，13 D．33，44，55
【答案】B
【分析】勾股数需要同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此判断即可．
【详解】解：选项A：，且三个数均为正整数，∴是勾股数；
选项B：和不是正整数，∴不是勾股数；
选项C：，且三个数均为正整数，∴是勾股数；
选项D：，且三个数均为正整数，∴是勾股数．
2．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别足、、、，则正方形的边长是______________．

【答案】
【分析】标记正方形、，分别设正方形、、的边长为、、，由勾股定理得出，，，代入计算出，即最大正方形的面积为．
【详解】解：如下图，标记正方形、，分别设正方形、、的边长为、、，

则由勾股定理得：，，，
即最大正方形的面积为：，
则最大正方形E的边长为
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
【典型例题一 勾股树（数）问题】
【例1】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】B
【分析】勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数平方的三个正整数，根据定义即可逐项判断，即可求解．
【详解】根据勾股数定义，需同时满足两个条件：三个数均为正整数，且两个较小数的平方和等于最大数的平方．
A、，，，不是勾股数，不符合要求；
B、，，且，，都是正整数，是勾股数，符合要求；
C、不是正整数，不是勾股数，不符合要求；
D、，，都不是正整数，不是勾股数，不符合要求．
【例2】（25-26八年级下·福建福州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．9，30，31 D．9，40，41
【答案】D
【详解】解：，
、、不是勾股数；
，
、、不是勾股数；
，
、30、31不是勾股数；
，
、40、41是勾股数．
故选．
【例3】（25-26八年级下·安徽安庆·期中）若是一组勾股数，则整数的值为___________．
【答案】13
【分析】分两种情况讨论：当a最大时，当最大时，即可求解．
【详解】解：当a最大时，，
当最大时， ，不是正整数，
所以a的值为13．
【例4】（25-26八年级下·山东临沂·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：
6 8 10 12 14 …
8 15 24 35 48 …
c 10 17 26 37 50 …
则当时，的值为_____．
【答案】6560
【分析】先观察表格中勾股数的规律，得到与的关系，再结合勾股定理求出和的值，进而计算的值．
【详解】解：观察表格中数据可得，表格中的勾股数均满足．
已知，由勾股定理，代入得：
展开得：
整理得：
解得，则．
因此．
1．（25-26八年级下·广东中山·期中）阅读理解并解答问题
如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数．
(1)请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数；
(2)如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用勾股数的定义去验证即可；
（2）得到即可得到这是一组勾股数．
【详解】（1）解：∵都是正整数，
且，，
∴，
∴是一组勾股数；
（2）解：∵表示大于1的整数，
∴，，都是正整数，
∵，，
∴，
∴、、是一组勾股数．
2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）据我国古代某数学著作记载，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”．
(1)观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…．发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间断过，计算，与，，并根据你发现的规律，分别写出能用7，24，25中的勾表示股和弦的算式．
(2)根据（1）的规律，用含n（n为奇数且）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦．猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明．
(3)继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…．可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用含m（m为勾，m为偶数且）的代数式来表示它们的股和弦．
【答案】(1)股：，弦：
(2)它们之间的关系为：①弦股；②勾股弦；说明见解析
(3)股：，弦：
【分析】本题是研究勾股数，考查学生观察、分析、类比和猜想解决问题的能力．属于探索性题目，有利于培养同学们的发散思维能力．
（1）通过计算，发现规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，从而写出结果；
（2）由（1）可知，用来表示所有这些勾股数的勾，则其股是的平方减1的一半，弦是的平方加1的一半；
（3）根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方的四分之一加1．
【详解】（1）解：，；，；
表示7、24、25这一组数的股与弦的算式股：，弦：；
（2）解：当为奇数且时，勾、股、弦的代数式分别为：，，，
猜想他们之间的关系为：①弦股；②勾股弦；
证明：①弦股；
②勾股弦；
（3）解：用为偶数，且的代数式来表示，股：，弦：．
3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）问题情境：
勾股定理是几何学中的明珠，充满着无穷魅力．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．古希腊数学家毕达哥拉斯利用勾股定理在初始的大正方形上，作出了两个小正方形（如图1），再以此类推无限重复地作出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”，也叫“勾股树”．解决问题：
(1)如图2，是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形的面积分别是6，10，3，6，则正方形的面积是_____，正方形的边长是_______；
(2)如图3，在一株最简单的“勾股树”中，连接，．
①求证：
②若正方形，正方形的面积分别为16，9，请直接写出的长为______．
【答案】(1)16，5
(2)①见解析；②
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质及面积，熟练掌握这些知识是解这道题的关键．
（1）根据勾股定理知两直角边的平方和等于斜边的平方，在勾股树中就是两较小正方形的面积和等于较大正方形的面积，知道这点关系即可解决此问题；
（2）①证和全等，即可得出结论；
②根据正方形，正方形的面积分别为16，9，求出这两个正方形的边长，从而利用勾股定理求出的长度，根据，即可得出结果．
【详解】（1）解：根据勾股定理，得，
正方形E的面积是16，
同理可得，
，
正方形G的边长为5．
故答案为：16，5．
（2）①证明：∵正方形和正方形，
，，
，
在和中，
，
．
②解：正方形，正方形的面积分别为16，9，
，，，
．
由①可知：．
【典型例题二 判断三边能否构成直角三角形】
【例1】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．3、4、5 B．4、5、6 C．6、8、10 D．8、15、17
【答案】B
【分析】验证每组数中两个较小数的平方和是否等于最大数的平方，若不相等则不能作为直角三角形的三边长度，若相等则可以作为直角三角形的三边长度．
【详解】解：∵，
3，4，5能作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意；
B、∵，，，
4，5，6不能作为直角三角形的三边长度，故此选项符合题意；
C、∵，
6，8，10能作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意；
D、∵，
8，15，17能作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意．
【例2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是、、，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（ ）
A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理
C．三角形内角和等于 D．勾股定理
【答案】B
【分析】利用勾股定理的逆定理求解即可.
【详解】解：∵ 三角形三边长为、、，
而，
即两条较短边的平方和等于最长边的平方，
这种由边长关系判定直角三角形的依据是勾股定理的逆定理.
∴B符合题意.
【例3】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）在中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则这样的三角形的面积是__________
【答案】54
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，利用勾股定理逆定理可判断出为直角三角形，然后再求面积即可．
【详解】解：，
为直角三角形，
这个三角形的面积是，
故答案为：54
【例4】（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，，，，D为延长线上一点，．若，则的长为 ___________．
【答案】
【分析】利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形；利用勾股定理求得，根据同一个三角形的面积相等，解答即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积公式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
1．（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，在中．于点，，，．
(1)求的长；
(2)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)25
(2)是直角三角形，见解析
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】（1）解：，，，，
∴，
，
；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
，，，
∴，
，
∵，，
，
是直角三角形．
2．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）如图，在中，E为边上一点，连接，过点A作交的延长线于点D，已知．
(1)试说明：为直角三角形；
(2)求的值．
【答案】(1)见解析
(2)66
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理证明；
（2）根据计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴为直角三角形；
（2）解：
．
3．（25-26八年级上·山东威海·期中）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中，千米，千米，千米，千米．
(1)求小溪流的长．
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)千米
(2)平方千米
【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，割补法求解图形面积，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键．
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）将四边形分成两个三角形，求证为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，千米，千米，
∴（千米）；
（2）解：∵千米，千米，千米．
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，则，
∴（平方千米）．
【典型例题三 在网格中判断直角三角形】
【例1】（24-25八年级上·山东聊城·期中）放在正方形网格纸的位置如图，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，锐角三角函数定义；
连接，利用勾股定理分别计算出、、的长，然后根据勾股定理逆定理得出，再利用三角函数定义可得答案．
【详解】解：如图，连接，
，，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）在如图所示的正方形网格中，和的顶点都在网格线的交点上，则与的和为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【答案】C
【分析】连，可得是等腰直角三角形，过点C作，则有，即，，解题即可．
【详解】连，过点C作，
则，
∴，，
由网格可知：，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【例3】（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）已知：如图，在方格图中_____________．

【答案】/45度
【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】解：连接，

∵，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是得出是等腰直角三角形．
【例4】（24-25八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，都在小正方形的格点上，则的度数是______．

【答案】/度
【分析】利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形即可．
【详解】解：根据题意，得，，，
∴，
∴是直角三角形，；
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理的逆定理是解题的关键．
1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，每个小方格的边长都为1．
(1)求图中格点的面积；
(2)判断的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)是直角三角形，证明见解析
【分析】本题考查了求格点三角形的面积，勾股定理及其逆定理：
（1）的面积等于边长为4的正方形面积减去三个直角三角形面积；
（2）利用勾股定理求得，，，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：是直角三角形．证明如下：
由图可知，，，
，
是直角三角形．
2．（24-25八年级下·广西钦州·阶段检测）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题．
(1)试判断的形状并说明理由；
(2)求点A到的距离；
(3)以为边向右侧作，点在格点上，使是等腰三角形，则的长为_________．
【答案】(1)是直角三角形
(2)
(3)或，
【分析】（1）先根据勾股定理求边长，再根据勾股定理的逆定理判定；
（2）根据面积求解；
（3）画出图形，分类讨论，再求解．
【详解】（1）的形状是直角三角形，
理由是：由勾股定理得
，
所以，
所以是直角三角形；
（2）∵，
∴，
设点A到的距离为，
∴，
∴
点A到的距离为；
（3）点D的位置有2处，如下图：
以中点为圆心，为半径画圆，
当时，此时点D在上；
当时，此时点D是的垂直平分线与的交点，此时D不在格点上；
当时，此时点D是在延长线上，且,此时；
或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，圆的直径所对圆周角是90°，准确的做出图形是解题的关键．
3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在长度为1个单位的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．请仅用无刻度的直尺作图：
（1）在图中画出与△ABC关于直线MN成轴对称的△A′B′C′；（不写画法）
（2）请你判断△ABC的形状，并加以证明；
（3）若点P是MN上的动点，求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）△ABC是等腰直角三角形，证明见解析；（3）
【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用勾股定理逆定理得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：△ABC关于MN的对称点是A'，B'，C'，即可得解，
图中所作△A′B′C′即为所求；
（2）由题可知：∵AB2＝12+42＝17，BC2＝12+42＝17，AC2＝32+52＝34，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（3）连接A'B，与MN相交于点P，连接AP，
，
，
∴A'B即为PA+PB的最小值，
∴，
故PA+PB的最小值是．
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理等知识，正确利用轴对称求最短路线是解题关键．
【典型例题四 利用勾股定理的逆定理求解】
【例1】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）若一个三角形的三边分别是7，24，25，则它的面积是( )
A．84 B．87.5 C．168 D．300
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，先根据勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，再利用面积公式求解即可，关键在于熟悉常用的勾股数．
【详解】∵，
∴这个三角形是直角三角形，
∴面积为∶．
故选A．
【例2】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（ ）

A．3 B．6 C．10 D．16
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．首先求得，利用勾股定理的逆定理证明，，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答．
【详解】解：∵正方形的面积为13，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【例3】（24-25八年级上·吉林长春·期末）测得一块三角形花园三边长分别为5米，12米，13米，则这块花园的面积为_____平方米．
【答案】30
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可判断三角形花园是直角三角形，且5米，12米，是两条直角边，由此可求解．
【详解】解：∵，
∴三角形花园是直角三角形，且5米，12米是两条直角边，
∴这块花园的面积为平方米，
故答案为：30．
【例4】（24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，.则________°．
【答案】90
【分析】本题考查了基本作图，勾股定理的逆定理，根据同圆的半径相等，得到，求得，利用勾股定理逆定理计算即可．
【详解】∵以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，.
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为90．
1．（25-26八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米．判断的形状，并说明理由．
【答案】是直角三角形，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，先由勾股定理求出米，再由勾股定理的逆定理证出即可．
【详解】解：是直角三角形，理由如下：
因为，
所以，
，
又因为，
所以，
所以是直角三角形．
2．（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）如图，四边形，，，，连接，且．
(1)求的长：
(2)若，则_______，________．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据，，，利用勾股定理求出；
（2）如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，过点作交延长线于．
∴，
由(1)知，又知，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
3．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)通过计算比较两条路线谁更短．
【答案】(1)，见解析
(2)路线更短
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理，实数大小比较解答即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】（1）解：，
理由如下：在中，米，米，米，
，
，
，
．
（2）解：在中，米，米，
由勾股定理得：（米），
（米），（米），
，
路线更短．
【典型例题五 勾股定理逆定理的拓展问题】
【例1】 （24-25八年级上·江苏宿迁·期中）若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
【例2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
【详解】解：∵42+92=97＜122，
∴三角形为钝角三角形，
∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部．
【例3】（24-25八年级上·吉林长春·期末）边长为6，8，10的内有一点到三边的距离均为，则的值为________．
【答案】2
【分析】根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，利用直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵62+82=102，
∴△ABC是直角三角形，
∵△ABC内有一点P到三边的距离均为m，
∴×6×m+×8×m+×10×m＝×6×8，
∴m=2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形解答．
【例4】（2025·江苏无锡·模拟预测）在如图所示的正方形网格中，点A，B，P是网格线交点上，则________．
【答案】1
【分析】取网格上的点C、D、E，连接CP、BC；利用全等三角形的性质和平行线性质求得∠CPB=∠PAB+∠PBA；再利用勾股定理及其逆定理求得∠PCB=90°，便可解答；
【详解】解：如图，点C、D、E是网格线交点，连接CP、BC，
由图可得△APE≌△PCD（SSS），
∴∠CPD=∠PAE，
PDAB，
∴∠DPB=∠PBA，
∴∠CPB=∠PAB+∠PBA；
设小网格的边长为a，由勾股定理可得：PC==BC，PB=，
∵，
∴∠PCB=90°，
∴tan（∠PAB+∠PBA）=tan∠CPB==1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理及其逆定理，正切三角函数；结合图形构造直角三角形是解题关键．
1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．
(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；
(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当时，
当为直角三角形时，则的取值为________；
当为锐角三角形时，则的取值范围________；
当为钝角三角形时，则的取值范围________．
【答案】(1)锐角；钝角
(2)
(3)①；②；③
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围．
【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边
当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形
当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当时，为锐角三角形；
当时，为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时，；
当为锐角三角形时，，
；
当为钝角三角形时，，
则的取值范围为，
两边之和大于第三边，
．
2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形中，为边上的高．
(1)若， ， ， 求证： ；
(2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？
(3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)正确，理由见解析
(3)这个房梁安全，理由见解析
【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可；
（2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论；
（3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在中，为边上的高，
∴，
∵， ， ，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：正确，理由如下：
，
∴在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
得：，
，
，
∴，
∴，即，
为直角三角形；
（3）解：安全，理由如下：
， ，，
在中，根据勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
是直角三角形，
∴这个房梁安全．
3．（24-25八年级上·江西吉安·期末）先观察下列各组数，然后回答问题：
第一组：，，； 第二组：，，；
第三组：，，； 第四组：，，；
（1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数；
（2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由；
（3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长．
【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3）
【分析】（1）根据已知数据即可得到结果；
（2）根据勾股定理判断即可；
（3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可；
【详解】（1）∵第一组：，，；
第二组：，，；
第三组：，，；
第四组：，，；
，
∴第组：，，．
（2）直角三角形；
证明：为正整数，
．
以，，为三边的三角形是直角三角形．
（3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，
这组数为第九列：，，，
即，，．
，
．
，，
．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键．
【典型例题六 勾股定理逆定理的实际应用】
【例1】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）一块三角形沙地三边长分别为，则这块沙地的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断三角形形状，再利用直角三角形面积公式计算面积即可.
【详解】解：∵，
∴该三角形是直角三角形，两条直角边长分别为和，
∴这块沙地的面积为.
【例2】（24-25八年级下·云南红河·期末）据说古埃及人先在一根长绳上打等距离的个结，然后以个结间距、个结间距、个结间距的长度为边长，构成一个三角形（如图），这个三角形其中一个角便是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，设结间距为，再根据勾股定理的逆定理即可求解，掌握勾股定理的逆定理的应用是解题的关键．
【详解】解：设结间距为，
∴，
∴这个三角形其中一个角是，
故选：．
【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______．
【答案】/90度
【分析】首先根据勾股定理得出的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可．
【详解】解：∵
∴，
∵
∴，
∴是直角三角形， 且．
【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中长为5个结间距的边所对的角便是直角．依据是______________________________________．
【答案】如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握若三角形三边长满足，则该三角形是直角三角形是解题的关键．
先以结间距为单位确定三角形的三边长，再计算三边的平方，验证两个较短边的平方和是否等于最长边的平方，从而确定对应的判定依据．
【详解】解：设每个结间距的长度为，则三角形的三边长分别为 、、,
∵，
∴该三角形的三边长满足较短两边的平方和等于最长边的平方，
∴长为个结间距的边所对的角是直角，依据是如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形．
故答案为：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．
1．（25-26八年级下·天津南开·期末）如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．
(1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为；
(2)解：，
理由：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案；
（2）根据（1）所求可证明，则，即．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵的长为，的长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
答：供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为；
（2）略
2．（24-25八年级下·北京·期末）如图，某景区内有一个露营区C，河边上原有两个观景台A和B，且．为了方便游客观赏，现计划在河边新建一个观景台P（A、P、B在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题：
(1)试判断步道与的位置关系，并说明理由；
(2)求观景台P与观景台B之间的距离的长．（结果保留到整数）
【答案】(1)解：，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
即；
(2)的长．
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可得到是直角三角形，即；
（2）设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴，
∴的长．
3．（25-26八年级下·福建福州·期中）综合与实践：某小区临街的拐角处有一块绿化地，形状如图阴影部分所示．小区管理人员测量绿化地的尺寸得出：．经过一段时间后发现当时建设绿化地时没有考虑灌溉问题，从水源点处提水灌溉绿化地太辛苦，于是想在两处设计浇灌点．小区管理人员请的管道设计师提供了如下两个设计方案：方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点处；方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从H处分别向浇灌点铺设管道．
(1)小区管理人员利用卷尺测量了的长为，便判断出绿化地拐角处为直角（），为什么？
(2)在（）的条件下，若绿化地建造每平方米的费用为元，求当时建造绿化地的费用；
(3)经测量．已知管道铺设费用为每米元，请你计算两种方案的费用，帮助社区管理人员选择比较省钱的管道铺设方案．
【答案】(1)见解析
(2)元
(3)见解析
【分析】（）先算并与比较，依据勾股定理逆定理证为直角三角形，得；
（）先用勾股定理逆定理证为直角三角形，再把阴影面积拆为与的面积和计算，最后乘单位造价得总费用；
（）方案一直接算边长和求费用；方案二设未知数，借勾股定理求线段长，算得费用后对比，选择费用更低的方案．
【详解】（1）解：∵，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴费用为（元）．
（3）解：方案一：，
（元），
方案二：设，则，
∴，
解得，
∴，
∴费用为（元），
，
∴选择方案二．
1．（25-26八年级下·安徽六安·期末）将下列长度的线段首尾依次相接，不能构成直角三角形的是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理，验证每个选项中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可得到答案．
【详解】解：选项A：最长边为，，，，能构成直角三角形，故A不符合题意；
选项B：最长边为，，，，能构成直角三角形，故B不符合题意；
选项C：最长边为，，，，能构成直角三角形，故C不符合题意；
选项D：最长边为，，，，不满足勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故D符合题意．
2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取格点E，连接，，，由勾股定理结合可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理逆定理得为等腰直角三角形，即可求解.
【详解】解：如图，四边形的四个顶点都在格点上，取格点E，连接，，，
由格点三角形得，
，
，
，
，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
.
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，可知，由勾股定理的逆定理得到是一个直角三角形，则四边形面积可求．
【详解】解：连接，如图所示：
在 中，
，
∴ 在中，，
即，
∴为直角三角形，
∴.
4．（2026·河南平顶山·二模）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（ ）
A．2027 B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由题图可知，第1个图形有1个正方形，
第2个图形中共有个正方形，
第3个图形中共有个正方形，
第4个图形中共有个正方形，
第5个图形中共有个正方形，
……
第2026个图形中共有个正方形．
5．（25-26八年级下·天津南开·期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号和“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口后分别位于点Q，R处，且相距．如果“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号航行的方向是（ ）
A．西北方向 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西
【答案】C
【分析】根据路程=速度时间求出的长，利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据方位角的定义求解
【详解】解：由题意得：，，
，
，，
，
是直角三角形，且，
“远航”号沿北偏东方向航行，
，
，
“海天”号航行的方向是北偏西．
6．（24-25八年级下·四川南充·期中）勾股数，①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，，；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：_______．
【答案】，，
【分析】本题考查了勾股数，解题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照规律进行解答．根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第⑤组勾股数．
【详解】解：①，，，
②，，，
③，，，
……
第⑤组勾股数：，，，
故答案为：，，．
7．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为_______．
【答案】/
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得是正确解决本题的关键．
根据勾股定理的逆定理求出，即，设，在中，由勾股定理得出，求出即可．
【详解】解：设，
，，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
故答案为：．
8．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 __．
【答案】4
【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】由勾股定理得：，，，
，
是直角三角形，，，，，
，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查勾股定理和直角三角形斜边高的求法，掌握这些是本题关键．
9．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，B是延长线上的一点，连接．若，则的面积为____________．
【答案】
【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用．
先用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且.再由勾股定理求出的长，得到的长，利用三角形面积公式即可求出答案．
【详解】解：在中，，，，
∴，即，
∴是直角三角形，且.
在中，，即，
解得（负值已舍去），
∴，
∴的面积为
故答案为：
10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形四个角都应是直角，他在挖完后测量发现，则他挖的地基______．（填“合格”或“不合格”）
【答案】合格
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，掌握运用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形的方法成为解题的关键．
通过勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形可得，即可判断是否合格．
【详解】解：∵，
∴，即，
同理：，
∴他挖的地基是合格的．
故答案为：合格．
11．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律：
(1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数；
当a为奇数时，如①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，______，______；⑤11，60，61；
当a为偶数时，如①6，8，；②8，，；③，，；④，，，；⑤，______，______；
(2)若，，，n为正整数，且，求证：不论n为何值，a，b，c都是勾股数组．
【答案】(1)，，，
(2)见解析
【分析】本题考查勾股数，完全平方公式，数字的规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据所提供的几组勾股数的规律发现，当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数；当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数，据此列方程求解即可；
（2）根据勾股数的定义，证明即可．
【详解】（1）解：根据所提供的几组勾股数的规律发现，
当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数，
设两个连续整数中较小数为x，
则，
，
，
∴两数为；
当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数，
设两个连续偶数或奇数中较小数为x，
则，
，
，
∴两数为；
故答案为：和；
（2）证明：，
，
，
，
，
∴不论n为何值，a，b，c都是勾股数组．
12．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积．
【答案】
【分析】连接，先由勾股定理求解，再由勾股定理逆定理证明，最后根据四边形的面积等于与的面积之和求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，（舍负）
∵，
∴，
∴
∴
∴四边形的面积．
13．（25-26八年级下·北京·期中）如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用垂直平分线的性质得到，结合已知条件，推出，由勾股定理的逆定理证明．
（2）设，，利用垂直平分线性质和勾股定理建立方程，求出的值，进而求出的长．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的垂直平分线，
，
又，
，
，
在中，由勾股定理的逆定理得，
．
（2）解：设，则，
，
由（1）知，
是直角三角形，，
在中，，
，
，
在中，，
，
解得（），
．
14．（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图， 在每个小正方形的边长均为 1的方格纸中，有线段和线段，点、均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画以为斜边的等腰直角；
(2)在方格纸中画以为斜边的直角三角形，点在小正方形的顶点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，勾股定理、勾股定理逆定理、等腰直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可；
（2）利用数形结合的思想、勾股定理的逆定理画出直角三角形即可．
【详解】（1）解：如图，为所求，
由图可得：，，，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）解：如图，或即为所求，
由图可得：，，，
，
，
是直角三角形，
同理可得是直角三角形．
15．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）如图，四边形是由左边的一个零件抽象出来的一个平面图形，已知，，，，且．
(1)求点到点的距离；
(2)根据要求，该零件需要，，三点连接起来是一个直角三角形才合格，请你通过所学知识，判断这个零件是否合格．
【答案】(1)
(2)这个零件合格．
【分析】（1）根据勾股定理列式计算，即可作答．
（2）先分别算出得出，满足勾股逆定理，得出是直角三角形，即可作答．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
∵，，．
∴
（2）解：这个零件是合格的，理由如下：
由（1）得，
∵，，
∴
即
∴是直角三角形，
∴这个零件是合格的．
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