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第11讲勾 股定理的简单应用（2大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 求旗杆高度
典型例题二 求梯子滑落高度
典型例题三 求小鸟飞行距离
典型例题四 求大树折断前的高度
典型例题五 解决水杯中筷子问题
典型例题六 解决航海问题
典型例题七 求河宽
典型例题八 求台阶上地毯长度
典型例题九 判断汽车是否超速
典型例题十 判断是否受台风影响
典型例题十一 选址使到两地距离相等
典型例题十二 求最短路径
知识点01 勾股定理的应用
1.用勾股定理解决一般问题的步骤
（1）由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题；
（2）将待求的量看成直角三角形的一条边；
（3）利用勾股定理求解.
2.求直角三角形边长的方法
若已知两边长，可直接由勾股定理求第三边长，若已知一边及另外两边的关系，可设未知数根据勾股定理求解.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·山东威海·期中）数学兴趣小组的同学要测量与地面垂直的旗杆高度．如图，已知系在旗杆顶端A的绳子紧贴旗杆垂到地面后，在地面上多出1米，将绳子拉直后测出绳子的末端与地面的重合点C到旗杆底部B的水平距离为5米，则旗杆的高度为（ ）

A．5米 B．12米 C．13米 D．17米
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设旗杆的长为，根据，，，运用勾股定理得到，解方程即得．
【详解】解：设旗杆的长为．
根据题意，得，，．
在中，
．
∴．
解方程，得．
答：旗杆的长为12米．
故选：B．
2．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则_________米．

【答案】1.5/
【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
∵米，米，米，
∴（米）．
在中，
由勾股定理得到（米），

故答案为：1.5．
知识点02 利用勾股定理解决最短路线问题
1.求长方体表面上两点间最短路线的方法：
需将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离，构造直角三角形，通过勾股定理求解；
2.求几何体表面上最短路线长的方法
应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线，连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路线长.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·云南文山·期末）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（ ）
A．60m B．80m C．100m D．160m
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键．
直接由勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可得，小明向正东方向走了
故选：B．
2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在底面周长约为6米的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底（点 A）沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶（点 C），B为的中点．已知装饰彩灯部分的柱身高约16米，则这串装饰彩灯至少长为 ______ 米．
【答案】20
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到答案．
【详解】解：如图，把圆柱体的侧面展开，
∵底面周长约为6米，柱身高约16米，
∴米，米，
∴（米），则这串装饰彩灯至少长为米．
故答案为：20．
【典型例题一 求旗杆高度】
【例1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得的长．
根据题意设旗杆的高为，则绳子的长为，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【详解】解：设旗杆的高为，则绳子的长为，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴旗杆的高．
故选C．
【例2】（25-26八年级上·山东青岛·周测）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．掌握勾股定理是解题的关键．设，表示出，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：设秋千绳索，
，，
，
，
在中，，即，
解得，
秋千绳索的长度是．
故答案为：．
【例3】（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，一根电线杆在离地面12米高的点A处各用15米长的铁丝向两侧地面拉线固定，固定点为C和D，求固定点之间的距离．
【答案】18米
【分析】根据题意可以得到是等腰三角形，进而得到，在中，利用勾股定理求出长，从而求出长．
【详解】解：由题意可知，米，米，，
是等腰三角形，
，
，
，
在中，由勾股定理得：米，
米．
1．（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条长为的钢缆．求钢缆的固定点到电线杆底部点的距离．
【答案】
【分析】从题意可知，根据勾股定理可求出解．
【详解】解：∵电线杆离地面处向地面拉一条长的钢缆，钢缆、电线杆与地面正好构成直角三角形，
∴钢缆的固定点到电线杆底部点的距离：．
2．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形．
(1)经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由；
(2)若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度．
【答案】(1)正确，见解析；
(2)风筝垂直下降的高度为
【分析】本题考查了判断三边能否构成直角三角形，用勾股定理解三角形，求风筝高度(勾股定理的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）利用勾股定理的逆定理求解；
（2）先求得，再利用勾股定理求得，从而可利用线段的差求得风筝垂直下降的高度．
【详解】（1）解：他的说法正确．
理由如下：
∵，，，
∴．
∴是直角三角形，．
（2）由题意得，，
∵，
∴．
∵，
∴在中，．
∴，
即风筝垂直下降的高度为．
3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与实践
【实践任务】测量旗杆高度．
【工具素材】卷尺，升旗的绳子．
【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子不解开时的重合长度记为叠合长度．
【实施方案1】
步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a升旗绳子的叠合长度为；
步骤2：如图1，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离为．
（1）根据上述数据，可计算出旗杆a的高度为______．
【实施方案2】
步骤1：如图2，通过测量发现旗杆b升旗绳子的叠合长度比旗杆长；
步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距．
（2）结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度．
【实施方案3】
步骤1：如图3，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C），
另一端拉直至地面的点B处，并测得长度为；
步骤2：如图4，将绳子端点B沿地面前进至点D，发现此时绳子另一端上升至点E．（备注：点D、B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态）
（3）结合方案3中的数据，求旗杆c的高度．
【答案】（1）15；（2）旗杆b的高度为12米；（3）旗杆c的高度为12米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键．
（1）根据勾股定理即可解答；
（2）设旗杆b的高度为t米，则绳子的长度为米，根据勾股定理列方程即可解答；
（3）设米，米，根据题意列出方程组即可解答．
【详解】（1）解：根据题意可得旗杆a的高度为米，
故答案为：；
（2）解：设旗杆b的高度为t米，则绳子的长度为米，
依题意可得：，
解得：．
答：旗杆b的高度为12米．
（3）解：设米，米，
则可得：
，
解得：．
答：旗杆c的高度为12米．
【典型例题二 求梯子滑落高度】
【例1】（25-26八年级下·山东济宁·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理解答即可．
【详解】解：根据勾股定理，得，
即，
所以梯子顶端的高度h为．
【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米．
【答案】2.2
【分析】利用勾股定理算出梯子的长度，再利用勾股定理算出，根据即可解题．
【详解】解：如图：
根据题意，可知，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【例3】（25-26八年级下·甘肃平凉·阶段检测）如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为米，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】米
【分析】在中根据勾股定理求出的长度，从而得出的长度，然后根据和勾股定理求出的长度，从而得出答案．
【详解】解：∵是直角三角形，，米，米，
∴（米），
∵米，
∴米，
∵米，
∴（米），
∴（米）．
故梯子的底端在水平方向滑动了0.8米．
1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，一根长为的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B点离墙根E点的距离为，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动到D点处，试求梯子的顶端将沿墙向下移动的距离为多少？
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据题意可得，，，，由勾股定理求出，的长，即可求解．
【详解】解：由题意得，，，，，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，
答：梯子的顶端将沿墙向下移动的距离为．
2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为．
(1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度；
解决问题：
(2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由．
【答案】(1)答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为．
(2)解：叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．理由如下：
过点作于点，
由题意可得，，，，
∵叉车高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．
【分析】（1）根据题意，可得，，，根据勾股定理求出，根据梯子底端沿向外移动，则，根据勾股定理求出，即可求出；
（2）过点作于点，由题意可得，，，，根据勾股定理求出；，根据，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，，，
∴
∵梯子底端沿向外移动，
∴，
∴，
∴．
答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为．
（2）略
3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理在实际中的应用，正确理解勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意，可知，利用勾股定理即可解答；
（2）结合题意得出，则，再利用勾股定理，算出的长，的大小即为物体升高的高度．
【详解】（1）解：由题可知，，，
绳长，
答：绳子的总长度为．
（2）解：由题可知，滑块向左是水平滑动，则，
，
在直角三角形中，
，
，
物体升高，
答：物体升高了．
【典型例题三 求小鸟飞行距离】
【例1】（25-26八年级下·江西南昌·期中）南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（ ）
A．5米 B．米 C．6米 D．7米
【答案】A
【详解】解：根据题意得，点与点之间的距离是（米）．
【例2】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞____________米．

【答案】10
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】如图所示，为树，且米，米，为两树距离8米，
过作于E，则，
在直角三角形中，．
答：小鸟至少要飞10米．
故答案为：10．

【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际运用和两点之间，线段最短等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
【例3】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高米，另一棵树高米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
【答案】小鸟至少要飞10米．
【分析】作于点E，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，作于点E，
∵∠B=∠C=∠DEB=90°，
∴四边形BCDE是长方形，
∴BE=CD=7（米），BC=ED=8（米），
（米），
（米），
答：小鸟至少要飞10米．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是作垂线构建直角三角形．
1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？
【答案】大约34分钟后，欢欢才能到达山顶
【分析】根据勾股定理求出，再根据缆车的速度即可求解．
【详解】解：∵，米，米，
∴（米），
∵缆车每分钟走50米，
∴（分钟），
答：大约34分钟后，欢欢才能到达山顶．
2．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？
【答案】6.5
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案．
【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，
由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB BE＝AB DC＝1.3 0.8＝0.5m，
∴AC=m，
∴1.3÷0.2＝6.5s，
答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处．
【点睛】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
3．（2025·广东江门·模拟预测）综合与实践
小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度
模型 抽象
测绘数据 ①测得水平距离的长为15米
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米
③牵线放风筝的手到地面的距离为米
说明 点A，B，E，D在同一平面内
请根据表格信息，解答下列问题．
(1)求线段的长；
(2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？
【答案】(1)米
(2)小明同学应该再放出8米线
【分析】本题考查的是勾股定理的应用；
（1）如图，过点作于点，利用勾股定理求解，再进一步解答即可；
（2）如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，利用勾股定理求解，进一步可得答案．
【详解】（1）解：如图，过点作于点．
在中，米，米，
由勾股定理，得（米），
则（米）．
（2）解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，
则（米）．
由勾股定理，得（米），
故（米）．
答：小明同学应该再放出8米线．
【典型例题四 求大树折断前的高度】
【例1】（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面处折断，大树顶部落在距离大树底部处的地面上．则这棵树折断之前的高度（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，画出图形，由勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】解：如图，由题意得：，，，
在直角三角形中，由勾股定理得：
，
∴，
即这棵树折断之前的高度为，
故选：B．
【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）一根木杆高5米，折断后顶端落在离木杆底端3米处．折断处离地面的高度是______米．
【答案】
【分析】此题主要考查勾股定理的应用，设折断处离地面的高度是米，根据勾股定理即可列出方程进行求解．解题的关键是熟知勾股定理的应用．
【详解】解：设折断处离地面的高度是米，
根据勾股定理得，
解得．
故折断处离地面的高度是米，
故答案为：．
【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，从帐篷支撑竿的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷．若绳子的长度为，地面固定点到帐篷支撑竿底部的距离是，则帐篷支撑竿的高是多少？
【答案】
【分析】由题意可得，，然后根据勾股定理求出的长度即可．
【详解】解：由题意可得，，，
∴由勾股定理得：，
∴帐篷支撑竿的高是4.8m．
【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的公式．
1．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面处折断，树尖C恰好碰到地面，经测量，求原来树的高度．
【答案】
【分析】由题意得，，根据勾股定理可求得，即可求得原来树的高度．
【详解】解：由题意得，，，
∴在中，，
∴原来树的高度为．
2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米）
(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？
【答案】(1)米；
(2)米
【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出；
（2）由勾股定理求出的长，即可求解．
【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米），
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米），
答：至少飞了米；
（2）解：由勾股定理得：，
，
解得：，
答：树折断处距离地面米．
3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．

(1)求旗杆折断处点距离地面的高度；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断处的下方1.4m的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的处，形成一个，请求出的长．
【答案】(1)米
(2)米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
（1）由题意可知米，根据勾股定理可得：，又因为米，所以可求得的长；
（2）先求出点距地米，米，再根据勾股定理可以求得的长．
【详解】（1）解：由题意可知：米，
，
，
又米，
，
米；
（2）解：点距地面米，
米，
（米．
【典型例题五 解决水杯中筷子问题】
【例1】（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）如图，是一个带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为，高度为，现有一根的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据杯子内吸管的长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：∵将一根长为的吸管，置于底面直径为，高度为的圆柱形水杯中，
∴在杯子中吸管最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜对角长度，
∴当杯子中吸管最短是等于杯子的高时，吸管长为，
最长时等于杯子斜对角长度是：，
∴a的取值范围是：，
即，
故选：C．
【例2】（24-25八年级·全国·假期作业）一个无盖的圆柱形杯子的展开图如图所示，现将一根长18cm的吸管放在杯子中，则吸管露在杯子外面的部分至少有 __cm．
【答案】3
【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：=15，
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：18﹣15＝3（cm）．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．
【例3】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．
【答案】26cm
【分析】设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因为直径为20cm的杯子，可根据勾股定理列方程求解．
【详解】解：设杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，
∵杯子的直径为20cm，
∴杯子半径为10cm，
∴x2+102＝（x+2）2，
即x2+100＝x2+4x+4，
解得：x＝24，
24+2＝26（cm）．
答：小木棍长26cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形以及各边的长．
1．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为，若将长为的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度为，则筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是多少？
【答案】筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意画出图形，根据筷子露在杯子口外的最短长度以及筷子的长度，求出筷子插入茶杯的最大长度，根据勾股定理求出的长度是解答此题的关键．
【详解】解：由题意，得，，，
由勾股定理，得，
∴，
∴筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是．
2．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？
【答案】米．
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出方程是解题关键．直接利用勾股定理得出，进而求出答案．
【详解】解：设为米，
∵在中，，，，
∴由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴湖水深为米．
3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）某校八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们在保证安全的情况下把一根竹竿AB垂直插到离湖边3dm的水底（即），只见竹竿高出水面OC的距离，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变），竿顶A和湖沿的水面C处平齐（即），求湖水的深度OB和竹竿AB的长．
【答案】湖水的深度OB为4dm，竹竿AB的长为5dm ．
【分析】设湖水的深度OB=h dm，则竹竿AB的长为( h+1) dm，再根据勾股定理求出h的值即可．
【详解】解∶设湖水的深度OB=h dm，则竹竿AB的长为( h+1) dm，
在Rt△BOC中，
∵OB=h dm， BC= ( h+1) dm， CO=3dm，
∴32+h2= (h+1)2，
解得h=4，
∴h+1=5．
答∶湖水的深度OB为4dm，竹竿AB的长为5dm ．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理构造方程是解题的关键．
【典型例题六 解决航海问题】
【例1】（24-25八年级下·北京怀柔·期末）如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【答案】D
【分析】由，，求得，，再利用勾股定理的逆定理计算求解．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
又∵（海里），（海里），
在Rt中，（海里）
∴此时两舰的距离是海里．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确得出是解题关键．
【例2】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距________．
【答案】30
【分析】根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：根据题意得到，，
．
【例3】（25-26八年级上·江苏南通·期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米．
(1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
(2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
【答案】(1)不会
(2)两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰，见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论；
（2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，
出发秒钟时，米，米
米，米
米，米
（米）
出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；
（2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，
由题意得，，解得
此时，
此时，
即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰，
答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．
1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以0.7米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？
【答案】9米
【分析】先算收绳后绳长，再分别在两个直角三角形中用勾股定理求出初始水平距离和收绳后水平距离，最后用得到船移动的距离．
【详解】解：∵此人以米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，
∴收绳长度：（米），
∵开始时绳子的长为17米，
∴（米），
在中，米，米，
∴（米）
在中，米，米，
∴（米），
∴（米），
答：船向岸边移动了9米．
2．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行海里，乙船每小时航行海里．
(1)若甲乙两船离开港口一个半小时后分别位于、处（图1），且相距海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由．
(2)若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时海里，他能在分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（提示：）
【答案】(1)乙船沿南偏东方向航行； 理由见解析
(2)他能在分钟内到海岸线；理由见解析
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可；
（2）过点作于，根据含度角的直角三角形的性质和勾股定理求得的长，进一步计算得出答案．
【详解】（1）解：乙船沿南偏东方向航行； 理由如下：
由题意可得：，（海里），（海里），
在中， ，，
，
是直角三角形，且，
，
乙船沿南偏东方向航行；
（2）解：他能在分钟内到海岸线．理由如下：
如图，过点作于，
由题意可得：，（海里），
，
（海里），
（海里），
（海里）， ，
他能在分钟内到海岸线．
3．（25-26八年级下·重庆·期中）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时．
(1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间．
(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
【答案】(1)5小时
(2)符合航行安全标准，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答．
（2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为10海里/小时，则小时，即可作答．
【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口B在灯塔C的南偏西方向上，
∴，
∵港口A与灯塔C的距离是80海里，港口B与灯塔C的距离是60海里
（海里），
∵货船的航行速度为20海里/小时
（小时），
答：货船从A港口到B港口需要5小时；
（2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下：
如图：过C作交于D，
在上取两点M，N使得海里
∵，
∴（海里），
∴（海里），
∵，
∴是等腰三角形
∵
∴海里，
∴（小时）
∵，
∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准．
【典型例题七 求河宽】
【例1】（24-25八年级·全国·假期作业）如图，为修铁路需凿通隧道，测得，，，若每天凿，则把隧道凿通需要（　　　）
A．天 B．天 C．天 D．天
【答案】A
【分析】由题意知：则，在直角中，已知，根据勾股定理即可求，据此即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴.
在中，，，
∴，
∴隧道凿通需要（天），
∴天才能把隧道凿通．
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解本题的关键是正确的计算的长度．
【例2】（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为___m．
【答案】
【分析】由勾股定理即可完成．
【详解】在Rt△ABC 中，∠CAB=90゜，AC=20m，BC=60m，由勾股定理得：
(m)
即A、B两点间的距离为m．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理在实际测量中的应用，关键是掌握勾股定理．
【例3】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 25米，结果他在水中实际划了65米，求该河流的宽度．
【答案】该河流的宽度为60米
【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理进行计算即可得到该河流的宽度．
【详解】解：根据图中数据，由勾股定理可得：
AB60（米）．
∴该河流的宽度为60米．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，，，．线段是一条水渠，且点在边上，已知水渠的造价为130元，问：当水渠的造价最低时，长为多少米？最低造价是多少元？

【答案】长为米，最低造价是6000元
【分析】根据“垂线段最短”可得，当时，最短，用等面积法求解即可．再乘以单价，即可得出造价．
【详解】解：根据题意可得：当时，最短，
∵，，，
∴根据勾股定理可得：，
∵，
∴，即，
解得：，
∴最低造价（元），
答：长为米，最低造价是6000元．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握“垂线段最短”，勾股定理的内容，会用等面积法求直角三角形斜边上的高．
2．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米．
(1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行）
(2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间．
【答案】(1)米
(2)航行总时间为67.5秒
【分析】（1）根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边的距离．
（2）根据时间路程速度，求出行驶的时间即可．
【详解】（1）解：设米，则米，
在中，根据勾股定理得：
，
解得：，
答：河宽240米．
（2）解：（秒），
（秒），
（秒），
答：航行总时间为67.5秒．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键．
3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题：
(1)根据题意，可知________（填“”“”“”）；
(2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)男孩需向右移动的距离为米
【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解；
（2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解．
【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，
，
（2）解：连接，则点、、三点共线，
在中，（米，
（米，
在中，（米，
，
（米，
男孩需向右移动的距离为米．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键．
【典型例题八 求台阶上地毯长度】
【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【答案】C
【分析】此题考查了勾股定理的应用及平移的知识．先求出的长，利用平移的知识可得出地毯的长度．
【详解】解∶在中，米，
故可得地毯长度米，
故选：C．
【例2】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图，在高，斜坡长，宽为的楼梯表面铺地毯，则地毯的面积至少需要_____．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理求得直角三角形的另一条边长，求得地毯的长，即可求出地毯的面积，正确理解地毯的长度等于直角三角形的两条直角边的长是解题的关键．
【详解】由勾股定理得，，
∴地毯的长，
∴地毯的面积，
故答案为：．
【例3】（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．
(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？
【答案】(1)每一级台阶的高为2分米．
(2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．
【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论；
（2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米，
根据题意得，18×（4＋x）×4＝432，
解得x＝2，
答：每一级台阶的高为2分米；
（2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米，
则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长．
由勾股定理得：AC＝（分米），
答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．
【点睛】本题考查了平面展开 最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
1．（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
【答案】平方米
【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜．
【详解】解：棚高，棚宽，设棚顶的宽为b，
则，
棚的长d为，
∴．
【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力，理清题意，掌握勾股定理是解题的关键．
2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？
【答案】5100元
【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，运用勾股定理得，则得出在楼梯上铺地毯需要的长度，然后结合楼梯宽为，以及每平方米的地毯售价是150元，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：在中，，，
由勾股定理得，，
在楼梯上铺地毯需要的长度为，
∵楼梯宽为，
∴需要铺地毯的面积为，
∵每平方米的地毯售价是150元，
∴购买这种地毯至少需要的费用为（元）．
3．（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，．
(1)求BC的长；
(2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用．
（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可．
【详解】（1）解：由题意可得，；
（2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为，
∴地毯面积为，
故答案为：
【典型例题九 判断汽车是否超速】
【例1】（24-25八年级下·广东珠海·期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______
【答案】/8米
【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长．
【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于，
∵测温仪的有效测温距离为，
∴，
又测温仪与直线的距离为，
在中，据勾股定理得：
，
同理得，
∴，
即学生沿直线行走时测温的区域长度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
【例2】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．
【答案】 80 12
【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可．
【详解】解：作于，
，m，
m，
即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m．
如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，
，
，
在中，m，
m，
重型运输卡车的速度为36千米时米秒，
重型运输卡车经过的时间（秒，
故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒．
故答案为：80，12．
【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【例3】（25-26八年级下·福建厦门·期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．
(1)求的长；
(2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：）
【答案】(1)
(2)没有超速，理由：
结合（1）可得小汽车的速度为；
；
这辆小汽车没有超速行驶．
【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可．
【详解】（1）解：由题意可得：，，，
；
（2）略
1．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方12米的处，过了0.5秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120千米/小时，问该小汽车是否超速，说明理由．
【答案】小汽车速度为32米/秒，该小汽车不超速，理由见解析
【分析】根据勾股定理求出的值，根据速度公式求出小汽车在段的速度，与限速比较即可．
【详解】解：由题意可知米，米，，
∴米，
∴小汽车速度为米/秒，
∵32米/秒千米/小时千米/小时，
∴不超速．
2．（24-25八年级下·重庆南川·期中）“某市道路交通管理条例“规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离为40米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？

【答案】超速了，16.8千米/时
【分析】根据题意得出由勾股定理得出的长，进而得小汽车行驶速度为76.8千米/时，进而得出答案．
【详解】解：根据题意，得，
在中，根据勾股定理，，
所以，
小汽车1.5秒行驶32米，则1小时行驶76800（米），
即小汽车行驶速度为76.8千米/时，因为 ，
所以小汽车已超速行驶,超速千米/时．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，算术平方根的含义，掌握根据已知得出的长是解题关键．
3．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．

(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．
【答案】(1)见解析，80米
(2)超速，见解析
【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度；
（2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可．
【详解】（1）过点A作，交l于点D．

，
在中，，
由勾股定理得
，

新路长度是80米．
（2）该车超速
在中，，
由勾股定理得
，

该车经过区间用时
∴该车的速度为
该车超速．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．
【典型例题十 判断是否受台风影响】
【例1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（ ）个小时开始受到台风影响．
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，分别在和中，利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
时，
即A市经过个小时开始受到台风影响．
故选：D
【例2】（24-25八年级下·河北邢台·阶段检测）若有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B，点C为一所学校，，，，已知距离火车以内会受到噪音的影响．

（1）学校C到铁路AB的距离是_________．
（2）火车在AB路段行驶时，学校C受到火车噪音影响的时间是_______．
（3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（），那么其行驶速度至少应增加到_________．
【答案】 240 12 60
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，再通过直角三角形面积的两种表示方法求解即可；
（2）利用勾股定理求出长度，继而得出长，再利用时间等于路程除以速度求解即可；
（3）用长加上火车长，除以10分钟即可求解．
【详解】（1）过点C作，垂足为D，如图，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，即，
解得，
故答案为：240；
（2）如图，

当时，正好影响学校，
∴，
∴，
∵有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B，
∴，
故答案为：12；
（3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（），
∴，
∴其行驶速度至少应增加到．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，有理数混合运算的应用，准确理解题意是解题的关键．
【例3】（24-25八年级下·广西河池·期中）由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日市气象局测得沙尘中心在市正西方向千米的处，以千米/时的速度向东偏南的方向移动，距离沙尘中心千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域．
(1)问市会不会受到沙尘暴的严重影响？请通过计算说明理由；
(2)若受影响请计算市受影响的时间．
【答案】(1)市会受到沙尘暴的严重影响，见解析；
(2)小时．
【分析】本题主要考查勾股定理，理解题意，掌握勾股定理的计算方法是关键．
（1）过点作于，根据含角的直角三角形的性质得到，由此即可求解；
（2）设沙尘中心距点千米处，刚好处在上的两点，由勾股定理得到千米，则千米，由行程问题的数量关系即可求解．
【详解】（1）解：过点作于，由题意得千米，，
∴（千米）,
∵，
∴市会受到沙尘暴的严重影响；
（2）解：设沙尘中心距点千米处，刚好处在上的两点，
在中，千米，千米，
∴千米，
∴千米，
∴市受影响的时间为（小时），
故市受影响的时间为小时．
1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点位置，洒水车由向移动，学校与路段上的两个路口的距离分别为，，经测量，发现在及以内的区域会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响．
【答案】会受到影响，影响时间为4分钟
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及三角形的面积等知识，利用勾股定理，求出学校会受到影响区域（线段）的长度是解题的关键．在中，由，可得出，过点作于点，利用面积法可求出的长，由该值小于260，学校会受到影响，设直线上点到点的距离为，连接，利用勾股定理，可求出的长，结合，可求出的长，再利用时间路程速度，即可求出学校受影响的时长．
【详解】解：在中，，
∵，
∴，
∴．
过点作于点，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴学校会受到影响．
设直线上点到点的距离为，连接，如图所示：
则，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴受影响时间为（分钟），
答：学校会受到影响，受4分钟影响．
2．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域．
(1)求的度数．
(2)学校C会受噪声影响吗？为什么？
【答案】(1)
(2)学校C会受噪声影响，见解析
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理逆定理，是解题的关键：
（1）利用勾股定理逆定理进行求解即可；
（2）过点C作于D，等积法求出的长，进行判断即可。
【详解】（1）解：，
，
是直角三角形，且；
（2）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作于D，则：
，
，
∵吊车周围以内为受噪声影响区域，，
∴学校C会受噪声影响．
3．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶．
(1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据：
(2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？
【答案】(1)A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒
(2)小明出发4秒后会受到噪音影响
【分析】（1）过作于，过点B作于H，根据题意得，，根据含30度和45度直角三角形的性质求出米，得到，于是得到小区会受到噪音干扰，设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，连接，，根据勾股定理即可得到结论．
（2）假设当小明开始受影响时行到E处，此时行到F处，则此时米，
又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则，，则，，利用勾股定理得到，从而得到得到关于t的方程，即可得解．
【详解】（1）解：过作于，过点B作于H，
由题意得，，，
，
，米，
(米，
∴米，
，
，
小区会受到噪音干扰，
设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，
连接，，
则米，
米，
(米，
(米，
干扰的时间(秒，
答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒．
（2）假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时米，
又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则，
又∵
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
答：小明出发4秒后会受到噪音影响．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【典型例题十一 选址使到两地距离相等】
【例1】（24-25八年级下·河南安阳·阶段检测）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　）
A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定
【答案】B
【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可．
【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，
∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，
∴，
∴ ，
∴，
解得：x＝16，
则煤栈E应距A点16km．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键．
【例2】 （24-25八年级上·全国·单元测试）在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距________．
【答案】15
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用，再结合勾股定理求出即可．
【详解】解：设，则，
，
，
故，
解得；．
故答案为：15．
【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）站应建在距站多少千米处？
（2）和垂直吗？说明理由．
【答案】（1）E站应建在距A站6千米处；（2）DE和EC垂直，理由见解析
【分析】（1）根据使得C，D两村到E站的距离相等，需要证明DE=CE，再根据△DAE≌△EBC，得出AE=BC=6km；
（2）DE和EC垂直，利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC=90°，进而可以证明．
【详解】解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2，
∴AE2+AD2=BE2+BC2，
设AE=x，则BE=AB-AE=（14-x），
∵DA=8km，CB=6km，
∴x2+82=（14-x）2+62，
解得：x=6，
∴AE=6km．
答：E站应建在距A站6千米处；
（2）DE和EC垂直，理由如下：
在△DAE与△EBC中，
，
∴△DAE≌△EBC（SAS），
∴∠DEA=∠ECB，∠D=∠CEB，
∵∠DEA+∠D=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∴∠DEC=90°，
即DE⊥EC．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，证明线段相等利用全等得出△DAE≌△EBC是解决问题的关键．
1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值．
【答案】图见解析，的最小值为．
【分析】本题考查了作图应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题．作点关于的对称点，连接与的交点就是点，点即为中转站的位置；然后根据勾股定理即可得的最小值．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与的交点就是点，
点即为中转站的位置；
过作的延长线于点，
则，，
，
在中，根据勾股定理，得
，
，
的最小值为．
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，铁路上、两点相距，、为两村庄，若，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．
(1)求E应建在距A多远处？
(2)和垂直吗？试说明理由．
【答案】(1)应建在距点处；
(2)垂直，证明见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握勾股定理，表示出和，用方程思想计算出的长．
（1），则，根据勾股定理可得，，由可得，再解方程即可；
（2）首先证明，根据全等三角形的性质可得，再证明，即可得到，进而得到和垂直．
【详解】（1）解：设，则，
在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
∴，
解得：．
∴应建在距点处；
（2）垂直，理由如下：
在和中，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
．
3．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．
（1）求小明家离小红家的距离；
（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．
【答案】（1）米；（2）见解析，米
【分析】（1）如图，连接AB，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）如图，连接AB，
由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，
∵AB＞0
∴AB=1300米；
（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．
驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，
由题意知AD=200米，A'C⊥MN，
∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，
在Rt△A'BC中，
∵∠ACB=90°，
∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，
∵A'B＞0，
∴A'B=1500米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
【典型例题十二 求最短路径】
【例1】（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点处沿圆柱侧面爬到上底面的点处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将圆柱侧面展开，再根据两点之间线段最短可知的长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解即可．
【详解】圆柱的展开图如图：
根据题意：，，，
，
即蚂蚁需要爬行的最短路程是．
【例2】（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，一只昆虫要从边长为的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是______．
【答案】
【分析】把正方体侧面展开图，根据两点之间线段最短，画出昆虫沿盒子表面爬行的最短路径，再利用勾股定理解答即可求解．
【详解】解：正方体侧面展开图如图所示，线段即为昆虫沿盒子表面爬行的最短路程，
根据勾股定理得，，
∴昆虫沿盒子表面爬行的最短路程是．
【例3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用，正确画出展开图，熟练掌握勾股定理是解题关键．将半圆展开，展开后，、、三点构成直角三角形，根据两点之间，线段最短得出为最短距离，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】解：将半圆面展开，如图所示，
∵，，．
∴在中，由勾股定理得．
答：他滑行的最短距离为．
1．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，长方体的底面相邻两边的长分别是和，高是．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕1圈到达点，那么所用细线最短需要多长？如果从点开始经过4个侧面缠绕圈到达点，那么所用细线最短时，其长度的平方是多少？
【答案】
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】解：将长方体的侧面展开，如图所示．
，，
，
用一根细线从点开始经过个侧面缠绕圈到达点，所用细线最短需要．
如果从点开始经过个侧面缠绕圈到达点，则长方体的侧面展开图的一边长，即,
那么所用细线最短时，其长度的平方是．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求用无刻度的直尺在方格纸中画图．
(1)在图①中画出中边上的高线；
(2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形；
(3)在图③中点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离______．
【答案】(1)见解析；
(2)图见解析；
(3)图见解析，．
【分析】本题考查作图-应用与设计作图、三角形的面积、轴对称-最短问题，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
根据三角形的高的定义画出图形；
取的中点，作直线即可；
作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求，再利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：如下图所示，过点作垂足为点，即为所求；
（2）解：如下图所示，取线段的中点，作直线，直线即为所求；
（3）解：如下图所示，
作点关于的对称点，连接交于点，
点即为所求，
由对称可知，
，
当点、、三点在同一条直线上时的值最小，
最小值的长．
故答案为：
3．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用一：最短路径问题
如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ；
(2)应用二：解决实际问题
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理求线段长的应用，理解题意，构造直角三角形由勾股定理求线段长是解决问题的关键．
（1）将圆柱体展开得到平面图形，如图所示，求出直角边长，再由勾股定理求值即可得到答案；
（2）由题意可得，，，，设，得到，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：将圆柱展开得到平面图形，如图所示：
一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，圆柱的高为，圆柱的底面半径为，
，，
在中，，
即最短的路线长是，
故答案为：；
（2）解：由题意可得，，，，
，
设，
则，
在中，，，，，
则由勾股定理可得，
即，
解得，
故绳索的长为．
1．（25-26八年级下·山西大同·期中）一根广告牌立柱在离地面5米的处折断，柱顶落在距离底部的12米处，旗杆折断前的高度为（ ）
A．13米 B．15米 C．17米 D．18米
【答案】D
【详解】解：根据题意有：在中，，，
∴（米），
∴旗杆高度为：（米）．
2．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】解：如图，
根据题意得：，
，
一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞，
故选：B．
3．（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（ ）
A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时
【答案】B
【分析】由题意可知，，海里，海里，利用勾股定理计算出，进而求出乙船的航速．
【详解】解：由题意可知，，（海里），海里，
在中，（海里），
∴乙船的航速为（海里/时）．
4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（ ）．
A． B．16 C．11 D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，求出，即可求出E站离A站的距离．
【详解】解：设，则，
由勾股定理得：在中，，
在中，，
由题意可知：，
∴，
解得：，
∴的长是，
∴．
故选：D．
5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）某公园有一处荷花池如图所示，池边有一观景栈道长100米. 为了方便市民赏花，公园决定规划一条步行观光路线(折线 )，为起点，为终点．已知、到观景栈道的距离米、米，要使池边观景路线为40米，则步行观光路线的最短长度为（ ）．
A．100米 B．120米 C．140米 D．160米
【答案】C
【分析】将定长线段平移，把折线 的最短问题，转化为两点之间线段最短求解．先平移线段，再作对称点，利用勾股定理计算最短距离．
【详解】解： 米（定长），
要使折线 最短，只需使 最短，
过点作 ，交的延长线于点，在上取，
又，
，
四边形为平行四边形，四边形为矩形，
则，即，
作点关于直线的对称点，连接，交于点，
此时最短，
有即，则四点共线，
根据米，米，米，米，
米，
米，
根据勾股定理，米，
所以步行观光路线最短长度米．
6．（24-25八年级上·山东烟台·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_______．
【答案】
【分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，
则尺，尺，
在中，，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
7．（24-25八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______．
【答案】米
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米．
【详解】解：游泳爱好者想横渡一条河，
，
，
在中，米，米，
米．
故答案为：米．
8．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在垂直于地面的墙上离地面的点斜放一个长的梯子，由于摆放不小心，梯子在墙上下滑，则梯子在地面上滑出的距离的长度是______ ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，如果直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，首先在中利用勾股定理计算出的长，在中利用勾股定理求出的长，根据即可得到答案，熟练掌握勾股定理求线段长是解决问题的关键．
【详解】解：设垂直于地面的位置为点，如图所示：
由题意得：，，，
在中，，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
9．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/小时的速度向南偏东45度方向航行，乙轮船向南偏西45度方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船2小时航行_____海里，乙轮船平均每小时航行_______海里．
【答案】
【分析】根据甲轮船运动的时间和速度求出OB的长度，在直角三角形ABO中求出OA的长度，即可得到乙船航行的距离和速度．
【详解】解：根据题意可得OB=2×20=40（海里），∠AOB=45°+45°=90°，
在Rt△ABO中，根据勾股定理可得：
（海里），
∴乙轮船的时速=（海里/小时）
故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．
10．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______的路程．（取）
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，先求出的长，再利用勾股定理解答即可求解，找出蚂蚁爬行的最短路径是解题的关键．
【详解】解：如图，将中间半圆展开，连接，则线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程，
由题意可得，，
∴，
∵，
∴，
∴它至少要走的路程，
故答案为：．
11．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米．
(1)求旗杆的高度；
(2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的3米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？
【答案】(1)旗杆的高度为；
(2)小明需后退．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．
（1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解；
（2）过E作，垂足为M，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解．
【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则，
在中，，由勾股定理得：，
∴，
解得，
答：旗杆的高度为；
（2）解：过E作，垂足为M，
则，
∴四边形为矩形，
∴，，
，
，，
在中，，
由勾股定理得：，
答：小明需后退．
12．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
【答案】(1)米
(2)小鸟下降的距离为米
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键．
（1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答；
（2）在中，根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）由题意知，
∵米，米．
在中
米，
（2）设，
到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，
则，，
在中，，
，
解得，
小鸟下降的距离为米．
13．（24-25八年级下·山东德州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
（2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）

【答案】（1）36；（2）船向岸边移动了米
【分析】（1）根据勾股定理，可以得到的长，再根据勾股定理的逆定理，可以判断是直角三角形由此解答即可；
（2）在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴四边形的面积
；
解：（2）在中，
∵，
∴，
∴米，
∴船向岸边移动了米
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答．
14．（25-26八年级下·全国·单元测试）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．
在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理；
图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理．
(1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理．
(2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______；
A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
【知识应用】
(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长．
【答案】(1)见解析
(2)D
(3)新修路的长为0.8千米
【分析】（1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明．
（2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答；
（3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答．
【详解】（1）解：根据赵爽弦图进行证明：
∵，
∴，
∴；
根据“总统证法”进行证明：
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想．
故选：D；
（3）解：当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．
设千米，则（千米）
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴千米，
∴（千米）．
答：新修路的长为0.8千米．
15．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”

(1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________．
【模型应用】
(2)代数式的最小值是__________．
【模型拓展】
(3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值．
【答案】(1)线段最短，5，12，13
(2)
(3)
【分析】（1）根据"两点之间线段最短"，当 、、三点共线时，最小，即线段 就是最小值．延长 至 ，使 ，连接 ，可证四边形 是矩形，从而得 ，，最后在 中由勾股定理求 ．
（2）将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，将 理解为直角边为 和 的直角三角形斜边，仿照例题方法构造图形求最小值．
（3）将 和 理解为已知斜边、一条直角边为 时，另一条直角边的长，结合备用图构造图形，转化为折线最短路径问题求解．
【详解】（1）解：根据：两点之间线段最短，得到：线段 就是 的最小值．
延长 至 ，使 ，连接 ．
，，
四边形 是平行四边形．
,
四边形 是矩形．
，．
在 中，由勾股定理：
，
的最小值是 ．
（2）解：原式理解为：中，，；中，，；
如图，构造两个直角三角形，令两直角三角形的水平边 和 在同一直线上，平移使 、重合，则总水平长度为 ，竖直高， ．
延长到，构造矩形，竖直总高 ，水平总长 ，
，
的最小值是 ．
（3）解：如图，令 ，，，则：
，．
．
设 ，，则 ，
由勾股定理，得，两式相减：
，即 ，
，
，
解得：，．
代入 ：
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第11讲勾 股定理的简单应用（2大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 求旗杆高度
典型例题二 求梯子滑落高度
典型例题三 求小鸟飞行距离
典型例题四 求大树折断前的高度
典型例题五 解决水杯中筷子问题
典型例题六 解决航海问题
典型例题七 求河宽
典型例题八 求台阶上地毯长度
典型例题九 判断汽车是否超速
典型例题十 判断是否受台风影响
典型例题十一 选址使到两地距离相等
典型例题十二 求最短路径
知识点01 勾股定理的应用
1.用勾股定理解决一般问题的步骤
（1）由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题；
（2）将待求的量看成直角三角形的一条边；
（3）利用勾股定理求解.
2.求直角三角形边长的方法
若已知两边长，可直接由勾股定理求第三边长，若已知一边及另外两边的关系，可设未知数根据勾股定理求解.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·山东威海·期中）数学兴趣小组的同学要测量与地面垂直的旗杆高度．如图，已知系在旗杆顶端A的绳子紧贴旗杆垂到地面后，在地面上多出1米，将绳子拉直后测出绳子的末端与地面的重合点C到旗杆底部B的水平距离为5米，则旗杆的高度为（ ）

A．5米 B．12米 C．13米 D．17米
2．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则_________米．

知识点02 利用勾股定理解决最短路线问题
1.求长方体表面上两点间最短路线的方法：
需将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离，构造直角三角形，通过勾股定理求解；
2.求几何体表面上最短路线长的方法
应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线，连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路线长.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·云南文山·期末）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（ ）
A．60m B．80m C．100m D．160m
2．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在底面周长约为6米的圆柱花柱上，有一串装饰彩灯从柱底（点 A）沿花柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶（点 C），B为的中点．已知装饰彩灯部分的柱身高约16米，则这串装饰彩灯至少长为 ______ 米．
【典型例题一 求旗杆高度】
【例1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·山东青岛·周测）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，则秋千绳索的长度是______．
【例3】（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，一根电线杆在离地面12米高的点A处各用15米长的铁丝向两侧地面拉线固定，固定点为C和D，求固定点之间的距离．
1．（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条长为的钢缆．求钢缆的固定点到电线杆底部点的距离．
2．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”放学后，小明来到广场上放风筝．如图，已知小明站立的最高点B，风筝正下方一点D和风筝连接点C构成三角形．
(1)经测量，，，，小明判断是直角三角形，他的说法是否正确，请说明理由；
(2)若小明沿水平方向移动到点F处，此时风筝垂直下降到点处，测得，求风筝垂直下降的高度．
3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）综合与实践
【实践任务】测量旗杆高度．
【工具素材】卷尺，升旗的绳子．
【备注说明】旗杆滑轮处到旗杆顶部的距离忽略不计；升旗的绳子为环形结构，当绳子不解开时的重合长度记为叠合长度．
【实施方案1】
步骤1：该小组通过查阅相关信息得知旗杆a升旗绳子的叠合长度为；
步骤2：如图1，将绳子沿地面拉直时，测量旗杆底端与绳子末端之间的距离为．
（1）根据上述数据，可计算出旗杆a的高度为______．
【实施方案2】
步骤1：如图2，通过测量发现旗杆b升旗绳子的叠合长度比旗杆长；
步骤2：将绳子沿地面拉直，并让绳子末端在地面上，测量得到旗杆底端与绳子末端相距．
（2）结合方案2中的数据，请求出旗杆b的高度．
【实施方案3】
步骤1：如图3，将旗杆c的升旗绳子解开，令一端与旗杆底部重合（记为点C），
另一端拉直至地面的点B处，并测得长度为；
步骤2：如图4，将绳子端点B沿地面前进至点D，发现此时绳子另一端上升至点E．（备注：点D、B、C在同一水平面上，绳子保持拉直状态）
（3）结合方案3中的数据，求旗杆c的高度．
【典型例题二 求梯子滑落高度】
【例1】（25-26八年级下·山东济宁·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米．
【例3】（25-26八年级下·甘肃平凉·阶段检测）如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为米，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，一根长为的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B点离墙根E点的距离为，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动到D点处，试求梯子的顶端将沿墙向下移动的距离为多少？
2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为．
(1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度；
解决问题：
(2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由．
3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降，实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）
(1)求绳子的总长度；
(2)如图2，若滑块向左滑动了，求此时物体升高了多少？
【典型例题三 求小鸟飞行距离】
【例1】（25-26八年级下·江西南昌·期中）南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（ ）
A．5米 B．米 C．6米 D．7米
【例2】（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米．另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞____________米．

【例3】（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高米，另一棵树高米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
1．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？
2．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？
3．（2025·广东江门·模拟预测）综合与实践
小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格：
课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度
模型 抽象
测绘数据 ①测得水平距离的长为15米
②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米
③牵线放风筝的手到地面的距离为米
说明 点A，B，E，D在同一平面内
请根据表格信息，解答下列问题．
(1)求线段的长；
(2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？
【典型例题四 求大树折断前的高度】
【例1】（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面处折断，大树顶部落在距离大树底部处的地面上．则这棵树折断之前的高度（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）一根木杆高5米，折断后顶端落在离木杆底端3米处．折断处离地面的高度是______米．
【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，从帐篷支撑竿的顶部向地面拉一根绳子固定帐篷．若绳子的长度为，地面固定点到帐篷支撑竿底部的距离是，则帐篷支撑竿的高是多少？
1．（24-25八年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面处折断，树尖C恰好碰到地面，经测量，求原来树的高度．
2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米）
(1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？
(2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？
3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．

(1)求旗杆折断处点距离地面的高度；
(2)工人在修复的过程中，发现在折断处的下方1.4m的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的处，形成一个，请求出的长．
【典型例题五 解决水杯中筷子问题】
【例1】（24-25八年级上·四川成都·阶段检测）如图，是一个带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为，高度为，现有一根的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（24-25八年级·全国·假期作业）一个无盖的圆柱形杯子的展开图如图所示，现将一根长18cm的吸管放在杯子中，则吸管露在杯子外面的部分至少有 __cm．
【例3】（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．
1．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，圆柱形茶杯内部底面的直径为，若将长为的筷子沿底面放入杯中，茶杯的高度为，则筷子露在茶杯口外的部分的最短长度是多少？
2．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？
3．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）某校八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们在保证安全的情况下把一根竹竿AB垂直插到离湖边3dm的水底（即），只见竹竿高出水面OC的距离，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变），竿顶A和湖沿的水面C处平齐（即），求湖水的深度OB和竹竿AB的长．
【典型例题六 解决航海问题】
【例1】（24-25八年级下·北京怀柔·期末）如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O同时出发，1号舰沿东偏南方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西方向以节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
【例2】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距________．
【例3】（25-26八年级上·江苏南通·期中）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米．
(1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？
(2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？
1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以0.7米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？
2．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行海里，乙船每小时航行海里．
(1)若甲乙两船离开港口一个半小时后分别位于、处（图1），且相距海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由．
(2)若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时海里，他能在分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（提示：）
3．（25-26八年级下·重庆·期中）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时．
(1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间．
(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
【典型例题七 求河宽】
【例1】（24-25八年级·全国·假期作业）如图，为修铁路需凿通隧道，测得，，，若每天凿，则把隧道凿通需要（　　　）
A．天 B．天 C．天 D．天
【例2】（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC＝60m，AC＝20m，则A，B两点间的距离为___m．
【例3】（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B 25米，结果他在水中实际划了65米，求该河流的宽度．
1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，，，．线段是一条水渠，且点在边上，已知水渠的造价为130元，问：当水渠的造价最低时，长为多少米？最低造价是多少元？

2．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段检测）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线横渡，由于受水流的影响，实际沿着航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现比河宽多10米．
(1)求该河的宽度；（两岸可近似看作平行）
(2)设实际航行时，速度为每秒5米，从C回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间．
3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题：
(1)根据题意，可知________（填“”“”“”）；
(2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．
【典型例题八 求台阶上地毯长度】
【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【例2】（24-25八年级上·安徽宿州·期中）如图，在高，斜坡长，宽为的楼梯表面铺地毯，则地毯的面积至少需要_____．
【例3】（24-25八年级下·重庆九龙坡·期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．
(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？
1．（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，要修建一个育苗棚，棚高，棚宽，棚的长为，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？
3．（24-25八年级上·江西吉安·期末）某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，．
(1)求BC的长；
(2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶．
【典型例题九 判断汽车是否超速】
【例1】（24-25八年级下·广东珠海·期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______
【例2】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒．
【例3】（25-26八年级下·福建厦门·期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．
(1)求的长；
(2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：）
1．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方12米的处，过了0.5秒，小汽车到达处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米．这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒？若此路段限速120千米/小时，问该小汽车是否超速，说明理由．
2．（24-25八年级下·重庆南川·期中）“某市道路交通管理条例“规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过60千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前方24米的C处，过了1.5秒后到达B处（AC），测得小汽车与车速检测仪间的距离为40米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？

3．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．

(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．
【典型例题十 判断是否受台风影响】
【例1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（ ）个小时开始受到台风影响．
A． B． C．6 D．
【例2】（24-25八年级下·河北邢台·阶段检测）若有一列长为的火车，沿铁路AB以的速度从点A行驶到点B，点C为一所学校，，，，已知距离火车以内会受到噪音的影响．

（1）学校C到铁路AB的距离是_________．
（2）火车在AB路段行驶时，学校C受到火车噪音影响的时间是_______．
（3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（），那么其行驶速度至少应增加到_________．
【例3】（24-25八年级下·广西河池·期中）由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日市气象局测得沙尘中心在市正西方向千米的处，以千米/时的速度向东偏南的方向移动，距离沙尘中心千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域．
(1)问市会不会受到沙尘暴的严重影响？请通过计算说明理由；
(2)若受影响请计算市受影响的时间．
1．（24-25七年级下·陕西西安·期末）为了美化城市，洒水车需要在一条长为的重要路段段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点位置，洒水车由向移动，学校与路段上的两个路口的距离分别为，，经测量，发现在及以内的区域会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响．
2．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）吊车在行驶过程中会产生较大的噪声．如图，有一台吊车沿公路由点A向点B行驶，已知点C处为一所学校，点C与直线上两点A，B的距离分别为和，吊车周围以内为受噪声影响区域．
(1)求的度数．
(2)学校C会受噪声影响吗？为什么？
3．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶．
(1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据：
(2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？
【典型例题十一 选址使到两地距离相等】
【例1】（24-25八年级下·河南安阳·阶段检测）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（　　）
A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定
【例2】 （24-25八年级上·全国·单元测试）在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距________．
【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，A、B两点相距14km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=8km，CB=6km，现在要在AB上建一个供水站E，使得C、D两村到供水站E站的距离相等，则：
（1）站应建在距站多少千米处？
（2）和垂直吗？说明理由．
1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，铁路上、两站相距，、为两个村庄，，，垂足分别为、，已知，，现在要在铁路上修建一个中转站，使得到、两村的距离和最短．请在图中画出点的位置，并求出的最小值．
2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，铁路上、两点相距，、为两村庄，若，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．
(1)求E应建在距A多远处？
(2)和垂直吗？试说明理由．
3．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处．
（1）求小明家离小红家的距离；
（2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．
【典型例题十二 求最短路径】
【例1】（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点处沿圆柱侧面爬到上底面的点处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）如图，一只昆虫要从边长为的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是______．
【例3】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离．
1．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，长方体的底面相邻两边的长分别是和，高是．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕1圈到达点，那么所用细线最短需要多长？如果从点开始经过4个侧面缠绕圈到达点，那么所用细线最短时，其长度的平方是多少？
2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求用无刻度的直尺在方格纸中画图．
(1)在图①中画出中边上的高线；
(2)在图②中，作直线，将分成面积相等的两个三角形；
(3)在图③中点、为格点，在上画一点，使得最小，并直接写出最短距离______．
3．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用一：最短路径问题
如图，一只蚂蚁从点沿圆柱侧面爬到相对一侧中点处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 ；
(2)应用二：解决实际问题
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长．
1．（25-26八年级下·山西大同·期中）一根广告牌立柱在离地面5米的处折断，柱顶落在距离底部的12米处，旗杆折断前的高度为（ ）
A．13米 B．15米 C．17米 D．18米
2．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）如图，甲、乙两船从港口同时出发，甲船以海里/时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．若、两岛相距海里，则乙船的航速是（ ）
A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时
4．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（ ）．
A． B．16 C．11 D．
5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）某公园有一处荷花池如图所示，池边有一观景栈道长100米. 为了方便市民赏花，公园决定规划一条步行观光路线(折线 )，为起点，为终点．已知、到观景栈道的距离米、米，要使池边观景路线为40米，则步行观光路线的最短长度为（ ）．
A．100米 B．120米 C．140米 D．160米
6．（24-25八年级上·山东烟台·期中）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_______．
7．（24-25八年级下·广西南宁·期中）某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______．
8．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，在垂直于地面的墙上离地面的点斜放一个长的梯子，由于摆放不小心，梯子在墙上下滑，则梯子在地面上滑出的距离的长度是______ ．
9．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/小时的速度向南偏东45度方向航行，乙轮船向南偏西45度方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距60海里，则乙轮船2小时航行_____海里，乙轮船平均每小时航行_______海里．
10．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，，一只蚂蚁从点爬到点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走______的路程．（取）
11．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米．
(1)求旗杆的高度；
(2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的3米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？
12．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米．
(1)求出的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．
13．（24-25八年级下·山东德州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
（2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）

14．（25-26八年级下·全国·单元测试）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．
在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理；
图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理．
(1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理．
(2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______；
A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
【知识应用】
(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长．
15．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”

(1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________．
【模型应用】
(2)代数式的最小值是__________．
【模型拓展】
(3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值．
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