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第01讲 三角形中的线段和角（4大知识点+13大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 三角形的识别与有关概念
典型例题二 三角形的个数问题
典型例题三 构成三角形的条件
典型例题四 确定第三边的取值范围
典型例题五 三角形三边关系的应用
典型例题六 大（小）边对大（小）角定理
典型例题七 根据三角形中线求长度、面积
典型例题八 重心的概念
典型例题九 三角形角平分线的定义
典型例题十 画三角形的高
典型例题十一 与三角形的高有关的计算问题
典型例题十二 利用网格求三角形面积
典型例题十三 垂心
知识点01 三角形的概念
1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角.
3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）下列4种说法中正确的是____________．（请填写正确的说法序号）．
①一个三角形中至少有两个角为锐角；
②三角形的中线、高线、角平分线都是线段
③同旁内角互补；
④若三条线段的长a、b、c满足，则以a、b、c为边一定能组成三角形
知识点02 角平分线的定义
①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。
②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。
【即时训练】
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）在画三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是___________.
知识点03 三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。
理论依据：两点之间，线段最短。
应用技巧： 判断能否构成：只需验证较短两边之和 > 最长边即可。 求第三边范围：已知两边长 a,b ( a>b )，则第三边c的取值范围为a b三角形的稳定性
性质：当三角形的三边长度固定后，其形状和大小就完全确定，不易变形。
对比：四边形不具有稳定性（易变形），常通过添加对角线构成三角形来增加稳定性（如房屋人字梁、栅栏门斜钉木板、桥梁钢架）。
【即时训练】
1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，5，10
2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知两条线段a、b，其长度分别为与．另有长度分别为和的5条线段，其中能与线段a、b一起组成三角形的有___________条．
知识点04 三角形的重要线段
【即时训练】
1．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（24-25七年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在中，，，是边上的中线，与的周长的差是，则__________．
【典型例题一 三角形的识别与有关概念】
【例1】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段检测）下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级下·四川眉山·期中）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________；
（2）如图，的3个内角是________，三条边是________．
1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积．
2．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△．
(1)画出△；
(2)利用网格点和直尺画图：画出AB边上的中线CD，请在图中标出点D；
(3)图中△ABC的面积是_________．
3．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，由16个相同的小正方形组成的一个大正方形ABCD，其中点A、点E、点F均在图中的格点上（即图中小正方形的顶点）．
(1)三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的 ；（填“几分之几”）
(2)如果三角形AEF的面积是28平方厘米，那么图中每个小正方形的面积是 平方厘米；
(3)如备用图，若点G也在图中的格点上，且三角形AFG的面积是大正方形ABCD面积的，那么符合要求的点G有 个．
【典型例题二 三角形的个数问题】
【例1】（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，图中三角形的个数为（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）线段上有3个点，，，直线外有一点A，把A和B，，，，C连接起来，可以得到的三角形个数为（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．20个
【例3】（25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则__________．
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）请找出图中所有的三角形，并把它们写出来．
2．（2026七年级下·全国·专题练习）找规律，填空：
(1)请按照下列要求数出三角形的个数．
①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________．
②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________．
③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________．
(2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________．
3．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，．
(1)图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形．
(2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形．
【典型例题三 构成三角形的条件】
【例1】（25-26八年级下·四川泸州·期中）下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【例2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）有长度分别为，，,的四条线段，任选其中的三条线段，不能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【例3】（24-25八年级上·河南许昌·阶段检测）乐乐同学有两根长度为4cm，7cm的木棒，母亲节时他想自己动手给妈妈钉一个三角形相框，现有五根长度分别为3cm，6cm，10cm，12cm，15cm的木棒供他选择，他有_____种选择．
1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？
（1），，；
（2），，；
（3）三条线段的长度之比为；
（4），，．
2．（24-25八年级上·全国·课后作业）在同一平面内，用相同长短的笔芯首尾顺次相接摆成三角形，例如，用3支和5支笔芯摆，则根据三边笔芯数分别表示为和．
【设题】
(1)请找12支笔芯摆一摆，按照上面的记法表示出可以摆出的三角形；
(2)尝试用18支笔芯摆一摆，并按记法表示出符合条件的三角形．
3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图表所示，在平面内，分别用3 根、5根、6根火柴（每根火柴长度相等）首尾顺次相接，能搭成不同形状的三角形．
火柴根数 3 5 6
示意图
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形
(1)4根火柴首尾顺次相接，能搭成一个三角形吗？
(2)8根、12 根火柴首尾顺次相接，能搭成几种不同的三角形？分别写出它们的边长．
【典型例题四 确定第三边的取值范围】
【例1】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）若一个三角形的三边长分别为3，6，，则的值可以是（ ）
A．11 B．8 C．3 D．2
【例2】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，由两根钢丝绳和臂架组成的塔吊可近似看成三角形，已知臂架的长为，其中一根钢丝绳的长为，则另一根钢丝绳的长可能是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2025八年级上·安徽合肥·模拟预测）如图，是凸四边形，则的取值范围是_______．
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）一木工有两根长分别为和的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架．问：第三根木条的长度应在什么范围内？
2．（24-25八年级上·山东临沂·期中）某工厂要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的三角形框架．
(1)设计小组可以设计几种不同规格的三角形框架，为什么？
(2)设计小组成员到建材市场收集数据如下：
铁条规格/米 2 3 4 5 6
单价/（元/根） 6 8 10 15 20
根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架各一个（铁条长度可以切割，但不能拼接），求最少费用．
3．（25-26七年级下·河南郑州·期中）阅读理解：
例：已知：，求：m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，．
解决问题：
(1)若，求x、y的值；
(2)已知a，b，c是的三边长且满足，若c是中最短边的边长，且c为整数，请直接写出________，________，________．
(3)根据平方的非负性，请你尝试确定：当m取何值时，代数式取到最值，最值为多少？
【典型例题五 三角形三边关系的应用】
【例1】（25-26八年级上·天津红桥·期末）用三根木棒首尾相接围成一个，若，，则木棒的长可以是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，将四根长度分别为3，5，7，8的木条钉成一个四边形木架，为使其稳定，新增的木条的长度可能是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
【例3】（24-25八年级上·广东云浮·期末）小刚参加一项跳跃泥潭障碍的体能训练，他平时助跑跳跃距离约为，但不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得，，根据小刚的测量，他________完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”）
1．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，已知的周长为35，是边上的中线，．
(1)当时，求的长．
(2)能否等于12？为什么？
2．（25-26八年级上·全国·期中）（1）如图甲，从经到 是一条柏油马路，是一条小路，人们从到，为什么不走柏油路，而喜欢走小路请你用学过的知识解释一下原因；
（2）如图乙，从经到是一条柏油马路，由 经到是一条小路，人们从 步行到，为什么不走柏油路，而喜欢走小路请你用学过的知识解释一下原因．
3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现：
【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：．
【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：．

【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是 ．

【典型例题六 大（小）边对大（小）角定理】
【例1】（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）在中，如果，那么，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
【例2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接）
1．（24-25七年级下·上海·阶段检测）对于以下两个命题，判断正确的是（ ）
①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题
2．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：．
3．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知：与相交于点，求证：．
把以下证明过程补充完整．
证明：在中，
，
______________________（___________）
（对顶角相等），
_____________________，
，
______________________，
（___________）
【典型例题七 根据三角形中线求长度、面积】
【例1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（ ）
A．45 B．35 C．26 D．22
【例2】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（　 　）
A． B． C． D．
【例3】（2025八年级上·吉林长春·专题练习）如图，点D在的边上，且，点E为中点，若，则的面积为______．
1．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，．
(1)求周长的取值范围；
(2)已知是的中线，若的周长为，求的周长．
2．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践
【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态．
【相关素材】
在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：．
在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，．
【解决问题】
(1)在图3中，若设，，，证明：．
(2)利用（1）中的结论，证明：．
(3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积．
3．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）综合与实践
【探究课题】三角形重心性质的探究
【课本重现】教材页指出三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态．
【提出问题】探究图1中，的值是多少？
我校二班熊老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题．
【解决问题】
（1）在中，由于点是边中点，那么与___________的面积相等，同理可得与___________的面积相等；与___________的面积相等
（2）在中，由于点是边中点，那么的面积是的面积的___________，同理的面积是的面积的___________，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与___________的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等．
（3）由的面积是的面积的2倍，可得___________；同理可得： ___________
【拓展应用】
如图2，在中，点O是的重心．连接并延长分别交，于点．若，直接利用上面的结论，求四边形的面积．
【典型例题八 重心的概念】
【例1】（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（ ）
A．点 B．点 C．直线上 D．无法确定
【例2】（2025八年级上·吉林长春·学业考试）下列图中的都表示一块质地均匀的木板．图中，点、、分别是、、的中点：图中，、、分别是的三条高线；图中，、、别是的三条角平分线；图中，、、分别是的三边的垂直平分线．用一根细针顶住点，能使三角形木板保持平衡的图是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是点______．（从中选择）
1．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图．
(1)画出的重心P．
(2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等．
2．（24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点；
(2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，并解决问题．
项目主题 确定匀质薄板的重心位置
项目背景 在学习三角形的重心时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上
问题探究 问题1 如图①，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片，其中一张记为，C为其直角顶点，且，将这两个三角形拼成一个四边形（无缝隙、不重叠），使它们的斜边重合． 请画出所有符合要求的四边形，并作出所画四边形的重心G（用有刻度的直尺作中线，保留作图痕迹并写出结论）
问题2 如图②，一个长方形缺损一个角（缺损部分也是长方形），请画一条直线将该图形分成面积相等的两部分，并简要说明理由
【典型例题九 三角形角平分线的定义】
【例1】（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是的（ ）
A．中线 B．对角线 C．高线 D．角平分线
【例2】（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，的角平分线、中线相交于点O，①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④是的角平分线．以上结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【例3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为________．
1．（25-26七年级下·北京·阶段检测）作图：
(1)作三角形的三条角平分线；
(2)作三角形的三条高．
2．（25-26七年级下·全国·课后作业）一个缺角的三角形残片如图所示．
(1)不恢复这个缺角，你能画出边上的高所在的直线吗？你是如何画的？依据是什么？
(2)小明分别画出和的平分线，两线交于点，又找到边的中点，画直线，小明说他画出了第三个角的角平分线所在的直线．你认为他说的对吗？为什么？
3．（25-26七年级下·四川·期中）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
如图，是角平分线，，交于点E，点F是上一点且，那么平分吗？
解：∵ 是的角平分线（已知），
∴______．
∵ （已知），
∴ ____________（两直线平行，内错角相等），
∴ （等量代换）．
∵（已知），
∴ （ ），
（ ），
∴ （等量代换），
∴ 平分．
【典型例题十 画三角形的高】
【例1】（25-26七年级下·河北衡水·期中）中边上的高的作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，，则边上的高线为线段__________．
1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）尺规作图：如图，画出的角平分线和高．（不写过程，保留必要的作图痕迹）
2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，与中，与相交于．
(1)△的边上的高是
(2)若，，，求的面积及的长．
3．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，为的中线，为的中线．
(1)在中作边上的高，垂足为；
(2)若△的面积为，．
①的面积为_________；
②求中边上的高的长；
(3)过点作，交于点，连结、且相交于点，若，，求．(用含、的代数式表示)
【典型例题十一 与三角形的高有关的计算问题】
【例1】（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，在直角三角形中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，交的延长线于点．在点的运动过程中，的值（ ）
A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．先变小再变大
【例2】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25八年级上·河北保定·期中）下图（单位：分米）中甲、乙两个三角形面积相差平方分米．则图中最大的直角三角形的一条直角边长为______．
1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，长方形中，，，，求：
(1)的面积是多少？
(2)．
2．（25-26七年级下·辽宁·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（小正方形的顶点）上，请利用格点解决下列问题：
(1)画出的边上的高；
(2)画出的边上的中线；
(3)过点作线段且；
(4)线段，则点到直线的距离为___________个单位长度．
3．（2025七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长；
（2）如图2，在中，，，求的高与的比；
（3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值．
【典型例题十二 利用网格求三角形面积】
【例1】（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（　　）个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【例2】（24-25八年级上·安徽芜湖·自主招生）如图，它是由六个面积为1的正方形组成的矩形，其中有A，B，C，D，E，F，G七点，则以这七个点为顶点能组成面积为1的三角形的个数是（ ）

A．7 B．9 C．10 D．14
【例3】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）每个小方格的边长是1厘米，下面阴影部分的多边形顶点均在格点，其面积是________平方厘米。
1．（24-25七年级下·山东·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．
(1)画出关于对称的（点的对应点是点）；
(2)直接写出四边形的面积是 ．
2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中画的高．
(2)在图②中画的中线．
(3)在图③中边上找一点，连接，使将分成面积比为的两部分．
3．（25-26七年级下·北京·期中）请用直尺和三角板按要求画图并填空．
(1)如图，点是内一点．
①过点画的垂线，垂足为点；
②过点画直线交于点；
③比较线段与的长度，________（填，或），依据是________．
④若，则________，________．
(2)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格上，将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到．
①请在图中画出；并写出的坐标；
②若边上一点经过上述平移后的对应点为，则（用含有，的式子表示）．
③的面积是________．
【典型例题十三 垂心】
【例1】（24-25八年级上·北京西城·期中）在中，，，三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部，以下对的描述正确的是（ ）
A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．是锐角或钝角
【例2】（24-25八年级上·湖北·期中）如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（ ）

A． B． C． D．
【例3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点，连接AO并延长交BC于点F．则∠AFC的度数为_______．
1．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）如图，在 与中，，直角边与交于E．
(1)求作：线段，使，交于点 F．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的条件下，延长线段、和，求证：、、必相交于同一点．
2．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，于D，于E，与交于点F．
(1)画出关于直线的对称图形；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
3．（25-26七年级下·上海普陀·期末）已知，请根据不同条件与要求完成以下作图任务：
任务一：尺规作图
如图1，已知，请用直尺和圆规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）：
(1)求作边上的中线；
任务二：无刻度直尺作图
已知的顶点均在正方形网格的格点上，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在图2中作边上的中线；
(3)在图3中作边上的高．
1．（24-25八年级上·山东泰安·期中）下列语句：
①三条线段组成的图形叫三角形；
②三角形的角平分线是射线；
③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；
④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．
其中正确的有________个．（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列每组数分别是三根小木棍的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3，7，10 B．6，8，16 C．13，11，20 D．6，6，12
3．（24-25八年级上·四川德阳·期中）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，分别是边的中点，若阴影部分的面积为9，则的面积是（ ）
A．21 B．27 C．24 D．18
5．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ）
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线
6．（24-25八年级上·陕西安康·阶段检测）图中以为边的三角形共有______个．
7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）已知一个三角形的边长均为整数，且其中两条边长分别和，则第三边的长度可能是_______________________．（写出满足条件的一个答案即可）
8．（24-25八年级上·青海海东·阶段检测）如图，已知是的中线，，，则的周长比的周长多______．

9．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形 的面积是9平方厘米，请问：阴影部分的面积是_______平方厘米．
10．（24-25八年级下·全国·课前预习）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称_________．如图，线段______是BC边上的高．
11．（24-25八年级上·江苏·阶段检测）把图中的直角三角形和直角梯形相等的边拼合在一起，画出所有拼成的图形．
12．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，是的中线，是的中线．
(1)若，的周长为24，求的周长；
(2)若的面积为48，，求点B到线段的距离．
13．（24-25八年级上·山东德州·期末）某木材市场上木棒规格与价格如下表：
规格
价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40
小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根．
(1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？
(2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由．
14．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出的边上的高以及上的中线；
(2)求出的面积．
15．（24-25七年级下·江西萍乡·阶段检测）请仅用无刻度的直尺完成以下作图：
(1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线；
(2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线．
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第01讲 三角形中的线段和角（4大知识点+13大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 三角形的识别与有关概念
典型例题二 三角形的个数问题
典型例题三 构成三角形的条件
典型例题四 确定第三边的取值范围
典型例题五 三角形三边关系的应用
典型例题六 大（小）边对大（小）角定理
典型例题七 根据三角形中线求长度、面积
典型例题八 重心的概念
典型例题九 三角形角平分线的定义
典型例题十 画三角形的高
典型例题十一 与三角形的高有关的计算问题
典型例题十二 利用网格求三角形面积
典型例题十三 垂心
知识点01 三角形的概念
1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角.
3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的定义：平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所组成的封闭图形，即可进行解答．
【详解】
解：符合三角形概念的是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握：平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所组成的封闭图形是三角形，这三点称为三角形的顶点；三条线段称为三角形的边．
2．（24-25七年级下·江苏南京·期中）下列4种说法中正确的是____________．（请填写正确的说法序号）．
①一个三角形中至少有两个角为锐角；
②三角形的中线、高线、角平分线都是线段
③同旁内角互补；
④若三条线段的长a、b、c满足，则以a、b、c为边一定能组成三角形
【答案】①②
【分析】利用三角形的性质及同旁内角互补的条件分析．
【详解】①因为三角形的内角和是180°，所以三角形的所有内角中，至少有两个角是锐角，故原说法正确；
②三角形的高、中线、角平分线都是线段，故原说法正确；
③两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误；
④满足且的a、b、c三条线段一定能组成三角形，故原说法错误；
故答案为①②．
【点睛】本题考查了三角形的性质及两直线平行同旁内角互补，熟练掌握各知识点是解题的关键．
知识点02 角平分线的定义
①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。
②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。
【即时训练】
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出．
【详解】解：是的角平分线，，
，
是的角平分线，
．
故选：A．
2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）在画三角形的三条重要线段：角平分线、中线和高线时，不一定画在三角形内部的是___________.
【答案】高线
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义求解．
【详解】解：三角形的角平分线和中线都在三角形内部，
而锐角三角形的三条高在三角形内部，
直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，
钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．
故答案为：高线．
【点睛】考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
知识点03 三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。
理论依据：两点之间，线段最短。
应用技巧： 判断能否构成：只需验证较短两边之和 > 最长边即可。 求第三边范围：已知两边长 a,b ( a>b )，则第三边c的取值范围为a b三角形的稳定性
性质：当三角形的三边长度固定后，其形状和大小就完全确定，不易变形。
对比：四边形不具有稳定性（易变形），常通过添加对角线构成三角形来增加稳定性（如房屋人字梁、栅栏门斜钉木板、桥梁钢架）。
【即时训练】
1．（25-26八年级上·福建厦门·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．2，3，5 C．3，4，5 D．4，5，10
【答案】C
【分析】本题考查了三角形三边关系定理；
根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，只需验证最小两边之和是否大于最大边即可判断．
【详解】解：
对于选项A：∵，不大于2，∴不能组成三角形；
对于选项B：∵，不大于5，∴不能组成三角形；
对于选项C：∵，∴能组成三角形；
对于选项D：∵，∴不能组成三角形．
故选：C．
2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知两条线段a、b，其长度分别为与．另有长度分别为和的5条线段，其中能与线段a、b一起组成三角形的有___________条．
【答案】2
【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关系．根据三角形的三边关系，确定第三边的取值范围，进而可得结果．
【详解】解：两条线段a、b，其长度分别为与
∴，
∴能与a、b一起组成三角形的第三边c满足，
∴可选、，共有2条，
故答案为：2．
知识点04 三角形的重要线段
【即时训练】
1．（25-26八年级上·辽宁抚顺·阶段检测）如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】本题考查中线的性质，解题的关键是掌握三角形中线的性质．
根据三角形中线的性质得，则两个三角形的周长之差就是和长度的差．
【详解】解：∵是中线，
∴，
∵，，
∴．
故选：C．
2．（24-25七年级下·辽宁铁岭·阶段检测）如图，在中，，，是边上的中线，与的周长的差是，则__________．
【答案】10
【分析】首先求出，然后根据“与的周长的差是”列方程求解．
【详解】解：∵是边上的中线，
∴
∵，与的周长的差是，
∴
∴，即
∴．
【典型例题一 三角形的识别与有关概念】
【例1】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段检测）下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾依次相连所组成的图形叫做三角形，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，只有A选项中的图形是三角形，
故选：A．
【例2】（24-25七年级下·四川眉山·期中）下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，是基础题，需熟记．根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误；
②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确；
③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确；
④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误；
⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误．
所以正确的有两个．
故选：B．
【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________；
（2）如图，的3个内角是________，三条边是________．
【答案】 ，，， ，， ，，
【详解】（1）解：由题意知，图中所有三角形为，，，；
（2）的3个内角是，，，三条边是，，.
1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积．
【答案】20
【分析】本题考查了构造等腰直角三角形求不规则图形的面积，先把图形补全成为等腰直角三角形，求解即可，补充图形是解题的关键．
【详解】解：延长交于点E
∵A是，角D是，
∴角E是，如图所示：
，
∴是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，
则四边形的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，
即，
答：四边形的面积20．
2．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△．
(1)画出△；
(2)利用网格点和直尺画图：画出AB边上的中线CD，请在图中标出点D；
(3)图中△ABC的面积是_________．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)8
【分析】（1）根据平移的性质即可画出△；
（2）利用网格点即可画出AB边上的中线CD；
（3）根据网格利用割补法即可求出图中△ABC的面积；
【详解】（1）如图，△即为所求；
（2）如图，中线CD即为所求；
（3）△ABC的面积=；
故答案为：8；
【点睛】本题考查了作图-平移变换及求三角形的面积，解决本题的关键是掌握平移的性质．
3．（2025七年级下·上海·专题练习）如图，由16个相同的小正方形组成的一个大正方形ABCD，其中点A、点E、点F均在图中的格点上（即图中小正方形的顶点）．
(1)三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的 ；（填“几分之几”）
(2)如果三角形AEF的面积是28平方厘米，那么图中每个小正方形的面积是 平方厘米；
(3)如备用图，若点G也在图中的格点上，且三角形AFG的面积是大正方形ABCD面积的，那么符合要求的点G有 个．
【答案】(1)十六分之七；
(2)4；
(3)5
【分析】（1）根据三角形和正方形的面积公式即可得到结论；
（2）根据三角形和正方形的面积即可得到结论；
（3）画出图形即可得到结论．
【详解】（1）解：∵S△AEF＝4×4﹣，
∴三角形AEF的面积（即图中阴影部分的面积）占整个大正方形ABCD面积的；
（2）解：∵三角形AEF的面积是28平方厘米，
∴大正方形ABCD面积＝28＝64，
∴每个小正方形的面积＝64÷16＝4；
（3）解：如备用图，符合要求的点G有5个，
故答案为：（1）十六分之七；（2）4，；（3）5．
【点睛】本题考查了三角形的面积，正方形的面积，正确的画出图形是解题的关键
【典型例题二 三角形的个数问题】
【例1】（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段检测）如图，图中三角形的个数为（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】本题考查三角形的个数．
找出图中所有的三角形，即可得三角形的个数．
【详解】解：图中的三角形有：，，，，，
∴图中共有个三角形，
故选：．
【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）线段上有3个点，，，直线外有一点A，把A和B，，，，C连接起来，可以得到的三角形个数为（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．20个
【答案】B
【分析】根据题意可得，点A和其他任意两个点连接，可得到三角形，点B，，，，C中的每一个点可与4个点组合，再除以2（去掉重复的）即可．
【详解】解：根据题意得：
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握不在同一直线上的三个点的连线围成的图形是三角形．
【例3】（25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则__________．
【答案】
【分析】本题考查三角形个数问题，在找三角形时，要做到不重不漏．根据三角形的定义，得出所有的三角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即可．
【详解】解：所有三角形为：共个．
从大小判断，青蛙不能落在中，其它均可，即个．
故答案为：．
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）请找出图中所有的三角形，并把它们写出来．
【答案】、、、、、、、
【分析】本题考查了三角形的认识，根据由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形，据此在图中找出所有的三角形即可．
【详解】解：图中的三角形有：、、、、、、、．
2．（2026七年级下·全国·专题练习）找规律，填空：
(1)请按照下列要求数出三角形的个数．
①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________．
②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________．
③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________．
(2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________．
【答案】(1)3，6，10
(2)
【分析】此题考查了规律型：图形的变化类．
（1）由已知条件可得出点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形；点、之间有2个点时，共有6个三角形；点、之间有3个点时，共有10个三角形；
（2）通过观察得知，点、之间有个点时，边上线段的总数为：，推出结论；
【详解】（1）解：通过观察得知：
点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形；
点、之间有2个点时，即线段共有4个点时，边上线段的总数为：，共有6个三角形；
点、之间有3个点时，即线段共有5个点时，边上线段的总数为：，共有10个三角形；
故答案为：3，6，10
（2）解：由（1）可看出，点、之间有个点时，即线段共有个点时，边上线段的总数为：，共有个三角形；
故答案为：．
3．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，．
(1)图中共有多少个以线段为边的三角形？用符号表示这些三角形．
(2)图中共有多少个以点E为顶点的三角形？用符号表示这些三角形．
【答案】(1)2个；
(2)2个；，
【分析】本题考查认识三角形，解题的关键是根据三角形的定义及角和边的概念进行解答．
（1）由题意观察图形，结合三角形的特征进行以线段为边计数即可；
（2）由题意依据三角形顶点为E结合图形进行观察即可
【详解】（1）解：以线段为边的三角形有2个，分别为，．
（2）解：以点E为顶点的三角形有2个，分别为，．
【典型例题三 构成三角形的条件】
【例1】（25-26八年级下·四川泸州·期中）下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题根据三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，逐个判断选项即可得到结果．
【详解】解：选项A中，∵ ，不满足两边之和大于第三边，
∴ 不能组成三角形，符合题意；
选项B中，∵ ，满足三角形三边关系，
∴ 能组成三角形，不符合题意；
选项C中，∵ ，满足三角形三边关系，
∴ 能组成三角形，不符合题意；
选项D中，∵ ，满足三角形三边关系，
∴ 能组成三角形，不符合题意．
【例2】（25-26八年级上·云南昆明·期末）有长度分别为，，,的四条线段，任选其中的三条线段，不能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三边关系；在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据“三角形中较短的两边之和大于第三边”对各选项进行判断．
【详解】解：A、∵，∴该三边能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，∴该三边不能组成三角形，故此选项符合题意；
C、∵，∴该三边能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，∴该三边能组成三角形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【例3】（24-25八年级上·河南许昌·阶段检测）乐乐同学有两根长度为4cm，7cm的木棒，母亲节时他想自己动手给妈妈钉一个三角形相框，现有五根长度分别为3cm，6cm，10cm，12cm，15cm的木棒供他选择，他有_____种选择．
【答案】2
【分析】设第三根木棒的长度为，根据三角形的三边关系可得，由此即可得．
【详解】解：设第三根木棒的长度为，
若要构成三角形，则，即，
所以在3cm，6cm，10cm，12cm，15cm这5根木棒中，满足的只有和这2根，
即他有2种选择，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的有哪些？
（1），，；
（2），，；
（3）三条线段的长度之比为；
（4），，．
【答案】（1）（3）（4）能构成三角形，（2）不能构成三角形
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边分别进行计算分析即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系：
（1）可以构成三角形；
（2）不能构成三角形；
（3），可以构成三角形；
（4），可以构成三角形；
故（1）（3）（4）可以构成三角形，（2）不能构成三角形．
2．（24-25八年级上·全国·课后作业）在同一平面内，用相同长短的笔芯首尾顺次相接摆成三角形，例如，用3支和5支笔芯摆，则根据三边笔芯数分别表示为和．
【设题】
(1)请找12支笔芯摆一摆，按照上面的记法表示出可以摆出的三角形；
(2)尝试用18支笔芯摆一摆，并按记法表示出符合条件的三角形．
【答案】(1)，，
(2)，，，，，，
【分析】（1）根据围成三角形的条件求解即可；
（2）根据围成三角形的条件求解即可．
【详解】（1）根据边长都为正数、周长为12，以及三角形边长的关系可得出所有的符合条件的三角形分别为，，；
（2）符合条件的三角形分别为，，，，，，．
【点睛】此题考查了围成三角形的条件，解题的关键是熟练掌握围成三角形的条件．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图表所示，在平面内，分别用3 根、5根、6根火柴（每根火柴长度相等）首尾顺次相接，能搭成不同形状的三角形．
火柴根数 3 5 6
示意图
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形
(1)4根火柴首尾顺次相接，能搭成一个三角形吗？
(2)8根、12 根火柴首尾顺次相接，能搭成几种不同的三角形？分别写出它们的边长．
【答案】(1)不能；
(2)8根火柴能搭成1种三角形，边长分别是3，3，2；12根火柴能搭成3种三角形，边长分别是5，4，3或5，5，2或4，4，4．
【分析】本题主要考查三角形的三边关系．
（1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形．
（2）把8和12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形．
【详解】（1）解：4根火柴只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形，故4根火柴不能搭成三角形；
（2）解：8根火柴能搭1种，边长是3，3，2；
12根火柴能搭3种，边长是5，4，3或5，5，2或4，4，4．
示意图如下：
【典型例题四 确定第三边的取值范围】
【例1】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）若一个三角形的三边长分别为3，6，，则的值可以是（ ）
A．11 B．8 C．3 D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决此题的关键．
根据三角形的三边关系列出不等式组，求出的取值范围，进而即可得解．
【详解】解：由三角形三边关系可得：，
解得，
的值可以是8，
故选：B．
【例2】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，由两根钢丝绳和臂架组成的塔吊可近似看成三角形，已知臂架的长为，其中一根钢丝绳的长为，则另一根钢丝绳的长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形三边数量关系，根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解．
【详解】解：设另一根钢丝绳的长为，
∴，即，
根据选项，只有A选项符合题意，
故选：A ．
【例3】（2025八年级上·安徽合肥·模拟预测）如图，是凸四边形，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，从三边关系出发，三角形中的任一边大于两边的差而小于两边之和．连接，在中得到关系式，再在中得到关系式从而解得．
【详解】解：如图，连接
在中，，
∴，
即；
中，，
∴，即．
∴．
故答案为：．
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）一木工有两根长分别为和的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架．问：第三根木条的长度应在什么范围内？
【答案】第三根木条长度大于且小于
【分析】三角形第三边的长度应该大于另两边长之差小于另两边长之和．
【详解】解：∵一木工有两根长分别为和的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架，
∴第三根木条应大于，小于，
即第三根木条长度大于且小于．
2．（24-25八年级上·山东临沂·期中）某工厂要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的三角形框架．
(1)设计小组可以设计几种不同规格的三角形框架，为什么？
(2)设计小组成员到建材市场收集数据如下：
铁条规格/米 2 3 4 5 6
单价/（元/根） 6 8 10 15 20
根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架各一个（铁条长度可以切割，但不能拼接），求最少费用．
【答案】(1)可以设计2种不同规格的三角形框架，理由见解析
(2)最少费用为53元
【分析】本题考查三角形三边关系．
（1）根据构成三角形的三边关系求出第三边的取值范围，再根据题意取值即可；
（2）根据（1）的方案，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：设第三边长为，
则，即，
第三边长为奇数规格有：3和5，
可以设计2种不同规格的三角形框架，三角形框架的边长为2，3，4或2，5，4；
（2）解：由表格可得，4米的铁条每米费用最少，
∵铁条长度可以切割，但不能拼接
∴应尽可能多的使用4米铁条，才能使费用最少，
由（1）知两种三角形框架的边长分别为：2，3，4和2，5，4，各做一个，
∴可以购买4米的3根，3米和5米的各一根，费用最少，
最少费用为：（元）．
答：购买铁条共需53元．
3．（25-26七年级下·河南郑州·期中）阅读理解：
例：已知：，求：m和n的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，．
解决问题：
(1)若，求x、y的值；
(2)已知a，b，c是的三边长且满足，若c是中最短边的边长，且c为整数，请直接写出________，________，________．
(3)根据平方的非负性，请你尝试确定：当m取何值时，代数式取到最值，最值为多少？
【答案】(1)，
(2)，，或
(3)当时，代数式取得最大值，最值为
【分析】本题考查了完全平方式的非负性，解方程，三角形三边之间的关系；
（1）根据阅读材料的方法进行运算，即可求得结果；
（2）根据阅读材料的方法进行运算，求出a、b的值，再根据三角形三边关系确定c的值即可；
（3）将式子化为，然后根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】（1）解：，
∴，，
解得：，；
（2）解：
，
∴，，
解得，，
∴，即，
又∵c是中最短边的边长，且c为整数，
∴或，
故答案为：，，或；
（3）解：，
∵，
∴，
∴，
即时，代数式取得最大值，最值为．
【典型例题五 三角形三边关系的应用】
【例1】（25-26八年级上·天津红桥·期末）用三根木棒首尾相接围成一个，若，，则木棒的长可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，关键是掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，据此确定第三边的取值范围，再判断选项是否符合．
【详解】解：根据三角形三边关系，得，
代入，，得，
即．
选项中只有满足该范围，
故选：C．
【例2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，将四根长度分别为3，5，7，8的木条钉成一个四边形木架，为使其稳定，新增的木条的长度可能是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了三角形三边的关系的应用，根据三角形的三边关系可以求出的范围，即可得到答案．
【详解】解：连接，

在中，，即，
在中，，即，
∴，
观察四个选项，只有C选项符合题意，
故选：C．
【例3】（24-25八年级上·广东云浮·期末）小刚参加一项跳跃泥潭障碍的体能训练，他平时助跑跳跃距离约为，但不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得，，根据小刚的测量，他________完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”）
【答案】能
【分析】此题考查了三角形三边关系定理的应用，熟练掌握三角形任意两边长之和大于第三边是解题的关键．根据，可得答案.
【详解】解：由题意可知，，
∴小刚能完成这项训练挑战．
故答案为：能．
1．（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，已知的周长为35，是边上的中线，．
(1)当时，求的长．
(2)能否等于12？为什么？
【答案】(1)5
(2)不能等于12，理由见解析
【分析】本题考查了与三角形中线有关的计算、三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．
（1）先求出，再根据三角形的周长公式可得，然后根据三角形中线的性质解答即可得；
（2）假设能等于12，则，再利用三角形的三边关系解答即可得．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵的周长为35，
∴，
∴，
∵是边上的中线，
∴．
（2）解：不能等于12，理由如下：
假设能等于12，
∵，
∴，
∵的周长为35，
∴，
∴，
∴的三边长分别为，此时，不满足三角形的三边关系，
∴不能等于12．
2．（25-26八年级上·全国·期中）（1）如图甲，从经到 是一条柏油马路，是一条小路，人们从到，为什么不走柏油路，而喜欢走小路请你用学过的知识解释一下原因；
（2）如图乙，从经到是一条柏油马路，由 经到是一条小路，人们从 步行到，为什么不走柏油路，而喜欢走小路请你用学过的知识解释一下原因．
【答案】（1）三角形两边之和大于第三边；（2）见解析
【分析】本题考查了三角形的三边关系，
（1）根据三角形的三边关系（或两点之间线段最短）即可求解；
（2）延长交于，根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，然后相加即可得解．
【详解】（1）或两点之间线段最短
（2）如图，延长交于，
由三角形的三边关系得，，
，
所以，，
所以，，
所以，人们不走柏油路，而喜欢走小路．
3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现：
【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：．
【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：．

【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是 ．

【答案】直接应用：见解析；深化应用：见解析；拓展应用：
【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理：
直接应用：根据三角形三边关系得到，在不等式两边都加上即可得到结论；
深化应用：延长交于点D，根据三角形三边关系得到①，②，
利用即可推出；
拓展应用：根据三角形三边关系得到，，，将三个关系式相加并整理，结合三角形的周长即可得到答案．
【详解】解：[直接应用]：由三角形三边关系得，，
∴，即；
[深化应用]：如图，延长交于点D，
∵①，②，
∴得，
∴，
即；
[拓展应用]：在中，，
同理，，，
得，，
∴,
得，
∵点是内的任意一点，当点无限接近三角形的某一顶点时，就无限接近三角形的周长，但始终小于三角形的周长，
∴，
∴，
故答案为：．
【典型例题六 大（小）边对大（小）角定理】
【例1】（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）在中，如果，那么，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键．
先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论．
【详解】解：∵在中， ，
又∵、、的对角分别为、、，
∴．
故选：B．
【例2】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解．
【详解】解：在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：A．
【例3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接）
【答案】
【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键．
根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
1．（24-25七年级下·上海·阶段检测）对于以下两个命题，判断正确的是（ ）
①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题
【答案】C
【分析】此题考查了三角形的分类和边角的大小关系，熟练掌握三角形的相关知识是解题的关键．根据三角形中大边对大角进行解答即可．
【详解】命题①正确，因为边长顺序决定对应角的大小顺序．
命题②正确，因为最大角为锐角且其他角必然更小，三角形为锐角三角形．
故选：C
2．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知：与相交于点，，，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题重点考查三角形的基本性质（包括三边关系定理和内角与对边的关系），熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键．
根据大边对大角原则证明即可．
【详解】证明：在中，
，
，
，
，
，
，
．
3．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知：与相交于点，求证：．
把以下证明过程补充完整．
证明：在中，
，
______________________（___________）
（对顶角相等），
_____________________，
，
______________________，
（___________）
【答案】；在三角形中，大边对大角；；；在三角形中，大角对大边
【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可．
【详解】证明：在中，
，
（在三角形中，大边对大角），
（对顶角相等），
，
，
，
（在三角形中，大角对大边）．
【典型例题七 根据三角形中线求长度、面积】
【例1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（ ）
A．45 B．35 C．26 D．22
【答案】C
【分析】根据题意可得，再求出，利用三角形中线的定义可得的长，即可求得的周长．
【详解】解：，
，
，
、是的两条中线，
，
的周长是．
【例2】（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为（　 　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形中线等分三角形面积，熟记三角形中线等分三角形面积，数形结合表示三角形面积关系是解决问题的关键．
由是的中线，得到，由是的中线，得到，即可得到答案．
【详解】解：是的中线，
，
是的中线，
，
故选：D．
【例3】（2025八年级上·吉林长春·专题练习）如图，点D在的边上，且，点E为中点，若，则的面积为______．
【答案】4
【分析】本题考查三角形的面积计算；由可求出的面积，再由点E为中点，可得的面积．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点E为中点，
∴.
故答案为：4．
1．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，在中，，．
(1)求周长的取值范围；
(2)已知是的中线，若的周长为，求的周长．
【答案】(1)
(2)17
【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：∵，．
∴，
∴，
∴
即．
（2）解：∵是的中线，
∴，
的周长为10，
∴，
∵，
∴
的周长
2．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践
【问题背景】三角形三条中线交于一点，这个点叫作三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心，如图1中，如果取一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平、平衡状态．
【相关素材】
在图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作：．
在图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，．
【解决问题】
(1)在图3中，若设，，，证明：．
(2)利用（1）中的结论，证明：．
(3)图4中，是的重心，点在的边、上，与交于点，，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)10
【分析】本题考查了三角形的重心的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意可得，，，再结合得出，结合得出，即可得证；
（2）由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等，求出，得到，再结合重心的性质即可得出结果；
（3）由重心的性质可得，求出，即可得出结果．
【详解】（1）证明：由题意可得：，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的重心，
∴；
（3）解：∵为的重心，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
3．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）综合与实践
【探究课题】三角形重心性质的探究
【课本重现】教材页指出三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态．
【提出问题】探究图1中，的值是多少？
我校二班熊老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题．
【解决问题】
（1）在中，由于点是边中点，那么与___________的面积相等，同理可得与___________的面积相等；与___________的面积相等
（2）在中，由于点是边中点，那么的面积是的面积的___________，同理的面积是的面积的___________，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与___________的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等．
（3）由的面积是的面积的2倍，可得___________；同理可得： ___________
【拓展应用】
如图2，在中，点O是的重心．连接并延长分别交，于点．若，直接利用上面的结论，求四边形的面积．
【答案】（1），，；（2），，；（3），；（4）
【分析】本题考查了利用三角形中线求面积，同底等高三角形，根据已知解题思路求出的值是解题关键．
（1）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可；
（2）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可；
（3）由上述解析得到6个小三角形面积相等，进而得到的面积是的面积的2倍，再根据同高三角形面积之比等于底边之比求解即可；
（4）由上面的结论可知，，进而求出，，再根据中线的性质得到，即可得解．
【详解】解：（1）在中，由于点是边中点，那么与的面积相等，
同理可得与的面积相等；与的面积相等，
故答案为：，，；
（2）在中，由于点是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等，
故答案为：，，；
（3）由的面积是的面积的2倍，可得；同理可得：，
故答案为：，；
（4）由上面的结论可知，，
，
，，，,
，，
在中，是的中点，
，
四边形的面积．
【典型例题八 重心的概念】
【例1】（25-26八年级上·重庆九龙坡·期末）把一个薄板状物体悬挂起来，静止时如图所示，则此薄板状物体的重心位置在（ ）
A．点 B．点 C．直线上 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了不规则物体的重心，把不规则物体悬挂起来，重心一定在悬挂点与物体下端所连的直线上．
【详解】解：不规则物体的重心一定在悬挂点与物体最下端所连接的直线上，
薄板状物体的重心位置在直线上．
故选：C．
【例2】（2025八年级上·吉林长春·学业考试）下列图中的都表示一块质地均匀的木板．图中，点、、分别是、、的中点：图中，、、分别是的三条高线；图中，、、别是的三条角平分线；图中，、、分别是的三边的垂直平分线．用一根细针顶住点，能使三角形木板保持平衡的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的重心和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解答本题的关键．根据三角形重心的概念和性质即可判定．
【详解】解：用一根细针顶住点，能使三角形木板保持平衡，
点是的重心，
线段、、是的三条中线，
故选：A．
【例3】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是点______．（从中选择）
【答案】D
【分析】如图，得出为△ABC的中线， 交于点，根据重心的定义即可求解．
【详解】如图所示，根据图形可知，，
∴为△ABC的中线，
∵交于点，
∴点为的重心．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是三角形重心的定义，找到三角形的中线是解题的关键．
1．（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图．
(1)画出的重心P．
(2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求；
（2）根据等高模型解决问题即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求，
（2）解：如图，点或（）即为所求，
．
2．（24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法）
(1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点；
(2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了重心和垂心的性质．
（1）连接，，两线相交于点，作射线并延长交点，根据三角形三条中线相交于一点，即可判断点是的中点，点即为所作；
（2）连接并延长交的延长线于点，连接交的延长线于点，根据三角形三条垂线相交于一点，即可得到，线段．
【详解】（1）解：点即为所作；
；
（2）解：线段即为所作；
．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，并解决问题．
项目主题 确定匀质薄板的重心位置
项目背景 在学习三角形的重心时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上
问题探究 问题1 如图①，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片，其中一张记为，C为其直角顶点，且，将这两个三角形拼成一个四边形（无缝隙、不重叠），使它们的斜边重合． 请画出所有符合要求的四边形，并作出所画四边形的重心G（用有刻度的直尺作中线，保留作图痕迹并写出结论）
问题2 如图②，一个长方形缺损一个角（缺损部分也是长方形），请画一条直线将该图形分成面积相等的两部分，并简要说明理由
【答案】问题1：见解析；问题2：见解析
【分析】本题考查三角形的重心，四边形的重心，熟练掌握三角形的重心是三角形的三条中线的交点，是解题的关键：
问题1：分两种情况画出图形，根据重心的定义，画图即可；
问题2：延长交于点M，作长方形和长方形的对角线，过两个长方形的对角线交点P，Q的直线即为所求．
【详解】解：问题1：①如答图①所示，的重心是其三条中线的交点的重心是其三条中线的交点F．由题意可得，这两个完全相同的直角三角形拼成一个长方形，而这个长方形也可由和拼成，易知这两个三角形的重心都在上，则线段与的交点G就是长方形的重心．
②如答图②所示，的重心是其三条中线的交点的重心是其三条中线的交点N，连接．易知和的重心都在上，所以四边形的重心是线段与的交点G．
问题2：（所作直线不唯一）如答图③，延长交于点M，作长方形和长方形的对角线，过两个长方形的对角线交点P，Q的直线即为所求．
理由：因为经过多边形重心的任一直线都将这个多边形分成面积相等的两部分，所以既平分长方形又平分长方形，故将该图形分成面积相等的两部分．
【典型例题九 三角形角平分线的定义】
【例1】（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段检测）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是的（ ）
A．中线 B．对角线 C．高线 D．角平分线
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义．由折叠的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，设折痕l交于点D，
由折叠的性质得：，
∴l是的角平分线．
故选：D．
【例2】（24-25八年级上·山东滨州·期末）如图，的角平分线、中线相交于点O，①是的角平分线；②是的中线；③是的中线；④是的角平分线．以上结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形中线的定义，根据题意得，根据这两个条件判断所给选项是否正确即可．
【详解】解：∵的角平分线、中线相交于点O，
，
①在中，，∴是的角平分线，故①正确；
②，所以不是的中线，故②错误；
③在中，是的中线，故③正确；
④不一定等于，那么不一定是的角平分线，故④错误；
正确的有2个选项①③．
故选：B．
【例3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为________．
【答案】/度
【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可．
【详解】解：∵，分别是，的角平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
1．（25-26七年级下·北京·阶段检测）作图：
(1)作三角形的三条角平分线；
(2)作三角形的三条高．
【答案】(1)
见解析
(2)
见解析
【分析】（1）利用量角器和直尺作三角形的三条角平分线；
（2）利用三角板和直尺作出三角形的三条高．
【详解】（1）解：如图，为三角形的三条角平分线；
（2）解：如图，为三角形的三条高．
2．（25-26七年级下·全国·课后作业）一个缺角的三角形残片如图所示．
(1)不恢复这个缺角，你能画出边上的高所在的直线吗？你是如何画的？依据是什么？
(2)小明分别画出和的平分线，两线交于点，又找到边的中点，画直线，小明说他画出了第三个角的角平分线所在的直线．你认为他说的对吗？为什么？
【答案】(1)能画出边上的高所在的直线，
如图所示：
①分别过点、点作三角形的高线、，与相交于点，
②过点作，垂足为，
③即为边上的高所在的直线．
理由：、是三角形的高线，三角形的三条高线（或其延长线）相交于一点（垂心），
点在边的高线上，
过点有且只有一条直线与垂直，
为边上的高所在的直线；
(2)他说得不对，三角形的角平分线不一定经过该角对边的中点．
【分析】（1）分别过点和点作出三角形的两条高线，然后两条高线的交点作的垂线，该直线即为边上的高所在的直线；
（2）三角形的角平分线不一定经过该角对边的中点．
【详解】（1）略
（2）略
3．（25-26七年级下·四川·期中）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
如图，是角平分线，，交于点E，点F是上一点且，那么平分吗？
解：∵ 是的角平分线（已知），
∴______．
∵ （已知），
∴ ____________（两直线平行，内错角相等），
∴ （等量代换）．
∵（已知），
∴ （ ），
（ ），
∴ （等量代换），
∴ 平分．
【答案】；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【分析】先根据角平分线定义得；再由平行线性质得；结合已知条件，利用内错角相等判定两直线平行；再由平行线性质得同位角相等，等量代换后证得EF平分．
【详解】证明：∵是角平分线（已知），
∴，
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（等量代换），
∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
∴平分．
故答案为：； ；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【典型例题十 画三角形的高】
【例1】（25-26七年级下·河北衡水·期中）中边上的高的作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．再据此逐一判断各选项中边上高的画法是否符合定义．
【详解】解：三角形边上的高是从点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上
选项A：垂足在上，不符合题意；
选项B：垂足在上，但不是从点作的垂线，不符合题意；
选项C：垂足在上，不符合题意；
选项D：从点向的延长线作垂线，垂足在延长线上，符合题意．
【例2】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据高是过顶点垂直底面的线段即可判断解答．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解题的关键．
【详解】解：A、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高，
B、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高，
C、将沿折叠后，垂直，故此是的高，
D、将沿折叠后，并不垂直，故此不是的高，
综上所述：C选项符合题意，
故选：C
【例3】（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，，，则边上的高线为线段__________．
【答案】/
【分析】本题考查了三角形的高，由定义可知，三角形的高是线段，线段的两个端点一个是三角形的顶点，另一个是垂足．三角形的高即从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念可求解．
【详解】解：边上的高是，
故答案为：．
1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）尺规作图：如图，画出的角平分线和高．（不写过程，保留必要的作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查的是三角形的角平分线，高的尺规作图，掌握作线段的垂线，角平分线的作图是解题的关键．根据高、角平分线的作图步骤画图即可．
【详解】解：和即为所求．
2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，与中，与相交于．
(1)△的边上的高是
(2)若，，，求的面积及的长．
【答案】(1)
(2)的面积为8，
【分析】此题考查了三角形高的意义和求三角形面积，解题的关键是掌握三角形高的意义和求三角形面积公式．
（1）根据三角形某条边上高的定义可以得解；
（2）根据三角形面积公式即可求出的面积；然后利用的面积还等于，然后代数求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，
∴的边上的高是；
（2）∵在中，，，，
∴的面积；
∵
∴，即
∴．
3．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，为的中线，为的中线．
(1)在中作边上的高，垂足为；
(2)若△的面积为，．
①的面积为_________；
②求中边上的高的长；
(3)过点作，交于点，连结、且相交于点，若，，求．(用含、的代数式表示)
【答案】(1)见解析
(2)①；②
(3)
【分析】本题考查了画三角形的高，三角形的中线的性质；
（1）根据题意画出垂线，
（2）①三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求得的面积；
②由再求出三角形的面积，则得边上的高；
③由平行线可得，从而求得．
【详解】（1）如图，作垂足为，
（2）①为的中线，
，
的面积为，
的面积为；
②为的中线，
，
，
的长；
（3），为的中线，
是的中位线，
是的中线，
，，
，
又
【典型例题十一 与三角形的高有关的计算问题】
【例1】（25-26八年级上·山东烟台·期中）如图，在直角三角形中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，交的延长线于点．在点的运动过程中，的值（ ）
A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．先变小再变大
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的高，能根据高表示出三角形的面积进行判断是解题的关键．根据点沿自点向点运动时，会减小，而的面积不变，由面积公式可得的值逐渐增大．
【详解】解：，，
，
∵点沿自点向点运动时，会减小，而的面积不变，
的值逐渐变大，
故选：A．
【例2】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是点到直线的距离，等面积法的应用，先求解，结合，从而可得答案.
【详解】解：在中，，根据三角形面积公式高，
．
，，
．
，
．
．
解得．
点到直线的距离是．
故选：A．
【例3】（24-25八年级上·河北保定·期中）下图（单位：分米）中甲、乙两个三角形面积相差平方分米．则图中最大的直角三角形的一条直角边长为______．
【答案】分米
【分析】本题考查了直角三角形的面积，根据长方形的面积最大直角三角形的面积甲的面积乙的面积平方分米，求出最大直角三角形的面积即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由图可知，长方形的面积最大直角三角形的面积甲的面积乙的面积平方分米，
所以最大直角三角形的面积长方形的面积平方分米，
所以最大的直角三角形的一条直角边长为分米，
故答案为：分米．
1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，长方形中，，，，求：
(1)的面积是多少？
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了长方形和三角形面积的计算，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键．
（1）根据，，得出，即可得出答案；
（2）连接，，根据，，求出，根据等底等高的三角形求出，根据求出的面积，再求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴．
2．（25-26七年级下·辽宁·期中）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点均在格点（小正方形的顶点）上，请利用格点解决下列问题：
(1)画出的边上的高；
(2)画出的边上的中线；
(3)过点作线段且；
(4)线段，则点到直线的距离为___________个单位长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】（1）借助网格作高即可；
（2）取的中点E，连接即可；
（3）取格点F，利用平移的性质连接即可；
（4）利用等面积法求解即可．
【详解】（1）解：的边上的高如图所示；
（2）解：的边上的中线如图所示；
（3）解：如图，线段即为所作；
（4）解：的面积，
设点到直线的距离为h，则，即
解得．
3．（2025七年级下·江苏·专题练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长；
（2）如图2，在中，，，求的高与的比；
（3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）10．
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
（1）利用面积法求出即可．
（2）利用面积法求出高与的比即可．
（3）利用面积法求出，可得结论．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，，，
，
，
又，
，
即．
【典型例题十二 利用网格求三角形面积】
【例1】（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（　　）个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积是解题的关键．利用面积公式找到其中一个，做平行线即可得到所有满足的点．
【详解】解：根据题意画出，
满足条件的格点6个，
故选D．
【例2】（24-25八年级上·安徽芜湖·自主招生）如图，它是由六个面积为1的正方形组成的矩形，其中有A，B，C，D，E，F，G七点，则以这七个点为顶点能组成面积为1的三角形的个数是（ ）

A．7 B．9 C．10 D．14
【答案】D
【分析】以三角形面积公式为基础，任取三个点组合，求解面积分析判断．
【详解】解：以为短边且面积为1的三角形有：，，，；
以为短边且面积为1的三角形有：，；
以为短边且面积为1的三角形有：，；
以为短边且面积为1的三角形有：，，
此外还有：，，，，共14个．
故选：D
【点睛】本题考查三角形面积求解；掌握网格图中三角形面积求解是解题的关键．
【例3】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）每个小方格的边长是1厘米，下面阴影部分的多边形顶点均在格点，其面积是________平方厘米。
【答案】
【分析】本题考查了网格求三角形的面积；有理数的混合运算的应用，根据题意将阴影部分分为三角形与长方形，再相加即可求解．
【详解】解：如图所示，
阴影部分面积为：
故答案为：．
1．（24-25七年级下·山东·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．
(1)画出关于对称的（点的对应点是点）；
(2)直接写出四边形的面积是 ．
【答案】(1)
解：如图，即为所求．
(2)24
【分析】（1）根据轴对称图形的性质得点，再依次连接，即可作答．
（2）运用割补法进行求面积，即可作答．
【详解】（1）略
（2）解：四边形的面积为
．
2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③的的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，以下所画图形的顶点均在格点上．
(1)在图①中画的高．
(2)在图②中画的中线．
(3)在图③中边上找一点，连接，使将分成面积比为的两部分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取格点D，连接即可；
（2）取的中点E，连接即可；
（3）找到的三等分点和，连接，即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，点或即为所求．
3．（25-26七年级下·北京·期中）请用直尺和三角板按要求画图并填空．
(1)如图，点是内一点．
①过点画的垂线，垂足为点；
②过点画直线交于点；
③比较线段与的长度，________（填，或），依据是________．
④若，则________，________．
(2)如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格上，将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到．
①请在图中画出；并写出的坐标；
②若边上一点经过上述平移后的对应点为，则（用含有，的式子表示）．
③的面积是________．
【答案】(1)①见解析
②见解析
③，垂线段最短
④，
(2)①见解析，　
②　
③
【分析】（1）利用直尺和三角板完成垂线、平行线的尺规作图，再结合垂线段的性质、平行线的性质，进行线段大小比较和角度计算；
（2）利用平面直角坐标系中图形平移的坐标变化规律，先画出平移后的三角形，再写出对应点的坐标；利用平移的逆过程，根据已知的平移规律反推原坐标；采用割补法（或矩形包围法），通过计算包围三角形的矩形面积，减去周围三个直角三角形的面积，得到 的面积．
【详解】（1）解：①如图所示，即所求；
②如图所示，即所求；
③，
（垂线段最短）；
④，
，，
，，
，
；
（2）解：①答案如图所示，
②由点的平移的规律：左减右加，上加下减，可知
③ ．
【典型例题十三 垂心】
【例1】（24-25八年级上·北京西城·期中）在中，，，三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部，以下对的描述正确的是（ ）
A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．是锐角或钝角
【答案】D
【分析】根据锐角三角形的三条高交点在三角形内部，直角三角形的三条高交点为直角顶点，钝角三角形的三条高所在直线交点在三角形外部，判断即可．
【详解】解：∵三角形的高与高所在直线交于点H，点H在的外部，
∴是钝角三角形，
∵，
∴与一个锐角一个钝角，具体谁是钝角无法确定，
故选：D．
【例2】（24-25八年级上·湖北·期中）如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得，由三角形面积公式推出，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，，与交于点，
∴（三角形三条高所在的直线交于一点），
∵，
∵，，，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形的性质，熟知三角形三条高所在的直线交于一点是解题的关键．
【例3】（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点，连接AO并延长交BC于点F．则∠AFC的度数为_______．
【答案】90°
【分析】根据三角形高的定义和三角形的垂心定义以及三角形内角和定理即可求解.
【详解】解：∵CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，CD与BE相交于O点，
∴点O为三角形ABC的垂心，
∵连接AO并延长交BC于点F．
∴AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°．
故答案为：90°．
【点睛】本题主要考查的是垂线的概念，掌握三角形三条边上的高线相交于一点是解决本题的关键．
1．（24-25八年级上·福建福州·阶段检测）如图，在 与中，，直角边与交于E．
(1)求作：线段，使，交于点 F．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的条件下，延长线段、和，求证：、、必相交于同一点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了复杂作图——作垂线，三角形垂心，掌握相关知识点是解题关键．
（1）根据垂线的作法作图即可；
（2）延长线段、交于点，连接，根据三角形的三条高交于一点，可得，再结合过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直，可得和在一条直线上，即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求作；
（2）解：如图，延长线段、交于点，连接，
，
，，
、分别是边、上的高，
与交于E，且三角形的三条高所在直线交于一点，
，
又，
和在一条直线上，即点、、三点共线，
、、必相交于同一点．
2．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，于D，于E，与交于点F．
(1)画出关于直线的对称图形；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)，详见解析
【分析】本题主要考查轴对称和垂心的性质，
（1）根据对称的做法找到点A关于线段的对称点，连接、即可；
（2）根据高线交点即为垂心，在三角形中，垂心与顶点连线垂直于对边即可．
【详解】（1）解：作A关于的对称点，连接、，如图，
（2）解：，理由如下：
F是高线交点（垂心），在三角形中，垂心与顶点连线垂直于对边．
3．（25-26七年级下·上海普陀·期末）已知，请根据不同条件与要求完成以下作图任务：
任务一：尺规作图
如图1，已知，请用直尺和圆规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）：
(1)求作边上的中线；
任务二：无刻度直尺作图
已知的顶点均在正方形网格的格点上，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在图2中作边上的中线；
(3)在图3中作边上的高．
【答案】(1)解：边上的中线如图所示；
(2)解：边上的中线如图所示；
(3)解：边上的高如图所示．
【分析】（1）用尺规作线段的垂直平分线即可；
（2）作出的边上的中线，两条中线交于点O，连接并延长即可；
（3）作出的边上的高，两条高交于点G，连接并延长即可．
【详解】（1）解：略；
（2）解：略；
（3）解：略．
1．（24-25八年级上·山东泰安·期中）下列语句：
①三条线段组成的图形叫三角形；
②三角形的角平分线是射线；
③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；
④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．
其中正确的有________个．（ ）
A．3 B．2 C．0 D．1
【答案】D
【分析】本题考查了三角形及与三角形有关的概念，掌握这些概念是解题的关键；根据三角形及其相关概念判断即可．
【详解】解：①不在同一直线上的三条线段首尾相接组成的图形叫三角形，故原说法错误；
②三角形的角平分线是一条线段，角的平分线才是射线，故原说法错误；
③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外，直角三角形的高在三角形的直角顶点处，故原说法错误；
④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，原说法正确；
故正确的只有④，
故选：D．
2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列每组数分别是三根小木棍的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3，7，10 B．6，8，16 C．13，11，20 D．6，6，12
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三边关系进行判断即可．
【详解】解：，故选项A不能摆成三角形，
，故选项B不能摆成三角形，
，故选项C能摆成三角形，
，故选项D不能摆成三角形，
故选：C．
3．（24-25八年级上·四川德阳·期中）如图是折叠凳及其侧面示意图．若，则折叠凳的宽可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键．
根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：，
，
，
折叠凳的宽可能是，
故选：A．
4．（25-26八年级上·河南三门峡·期中）如图，分别是边的中点，若阴影部分的面积为9，则的面积是（ ）
A．21 B．27 C．24 D．18
【答案】C
【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，由题意可得，，结合阴影部分的面积为9得出，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵D，E，F分别是边，，上的中点，
∴，，，，
∴，，
∵阴影部分的面积为9，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ）
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线
【答案】C
【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图1得，，
∴是的角平分线；
由图2得，，
∵，
∴，
∴是的高线；
由图3得，，
∴是的中线；
∴依次是的角平分线、高线、中线．
6．（24-25八年级上·陕西安康·阶段检测）图中以为边的三角形共有______个．
【答案】
【分析】根据三角形的定义得出三角形的个数即可．
【详解】解；图中以为边的三角形有，，共个．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形的定义，数三角形时做到不重不漏是解答本题的关键．
7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）已知一个三角形的边长均为整数，且其中两条边长分别和，则第三边的长度可能是_______________________．（写出满足条件的一个答案即可）
【答案】4（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边、两边之差小于第三边成为解题的关键．
先根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，然后确定第三边可能取值即可．
【详解】解：已知三角形两条边为和，设第三边为，
则：，即 ，
因为边长为整数，
所以可以取、、、、中任意一个，比如取．
故答案为：4（不唯一）．
8．（24-25八年级上·青海海东·阶段检测）如图，已知是的中线，，，则的周长比的周长多______．

【答案】2
【分析】根据三角形中线的定义可得，然后求出的周长和的周长差为：，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∵的周长为：，的周长为：，
∴的周长和的周长差为：，
∵，，
∴的周长和的周长差为，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形的中线，利用中线的定义求出的周长和的周长差为：是解题的关键．
9．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形 的面积是9平方厘米，请问：阴影部分的面积是_______平方厘米．
【答案】
【分析】本题考查三角形的面积，由图可知，三角形、三角形面积的和比所求的阴影部分多算了（三角形面积与四边形面积），由此列式计算即可．
【详解】解：三角形、三角形、三角形都可以以为底，为高，故它们的面积都等于(平方厘米)，
阴影部分面积三角形面积三角形面积三角形面积四边形面积(平方厘米)．
故答案为：．
10．（24-25八年级下·全国·课前预习）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称_________．如图，线段______是BC边上的高．
【答案】 三角形的高 AD
【解析】略
11．（24-25八年级上·江苏·阶段检测）把图中的直角三角形和直角梯形相等的边拼合在一起，画出所有拼成的图形．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是图形的拼接，根据平面图形的特点进行拼接即可．
【详解】解：如图，拼成的图形如下：
12．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）如图，是的中线，是的中线．
(1)若，的周长为24，求的周长；
(2)若的面积为48，，求点B到线段的距离．
【答案】(1)28
(2)6
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线．
（1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，进而可求的周长；
（2）根据等底等高的三角形的面积相等表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】（1）∵AD是的中线，
∴．
∵的周长，，
∴的周长；
（2）∵和的高为同一条，，
∴．
同理可得，．
设点B到线段AD的距离为h，
则，
解得，
∴点B到线段AD的距离为6．
13．（24-25八年级上·山东德州·期末）某木材市场上木棒规格与价格如下表：
规格
价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40
小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根．
(1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？
(2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由．
【答案】(1)5种选择
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度；
（2）根据木棒价格可直接选出答案．
【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为，
根据三角形的三边关系可得：，
解得，
结合题干信息可得：．共5种选择．
（2）解：在符合条件的木棒规格中，的木棒价格最低，
∴选的木棒最省钱．
14．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出的边上的高以及上的中线；
(2)求出的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)4．
【分析】此题考查了网格中作图和网格中求出三角形面积．
（1）根据网格的特点、三角形的高和中线的定义作图即可；
（2）根据三角形面积公式和三角形中线平分三角形面积计算即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．即为所求．
（2）∵为的中线，
∴，
∵，
∴的面积为．
15．（24-25七年级下·江西萍乡·阶段检测）请仅用无刻度的直尺完成以下作图：
(1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线；
(2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线．
【答案】(1)作图见解析；
(2)作图见解析．
【分析】（）根据的三条角平分线交于一点，即可得到结论；
（）根据的三条高所在直线交于一点，即可得到结论；
本题考查了无刻度直尺作图，熟练掌握三角形的有关线段是解题的关键．
【详解】（1）如图，延长交于点，
∴即为所求；
（2）如图，延长交于点，延长交于点，
∵点，关于对称，
∴，
∴是三角形的高，
∴即为所求．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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