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第03讲 全等三角形的判定（2）（2大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 三角形的稳定性及应用
典型例题二 四边形的不稳定性
典型例题三 尺规作图——作三角形
典型例题四 添加条件使三角形全等
典型例题五 灵活选用判定方法证全等
典型例题六 结合尺规作图的全等问题
典型例题七 证一条线段等于两条线段和差
典型例题八 倍长中线模型
典型例题九 旋转模型
典型例题十 垂线模型
典型例题十一 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形）
典型例题十二 全等三角形综合问题
知识点01 三角形的稳定性
性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列生活实例中，没有用到三角形的稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键．根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：选项C中活动门上没有三角形，其余A、B、D选项中都含有三角形，
由三角形的稳定性可知：选项C中没有利用三角形的稳定性，
故选：C．
2．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是__________．
【答案】
三角形具有稳定性
【详解】解：三角形具有稳定性，即当三角形的三条边长确定时，三角形的形状和大小就唯一确定，不会发生改变，自行车的车架由多个三角形组成，利用了三角形具有稳定性这一数学原理，使得车架在受力时不易变形，保证了骑行的安全与稳定．
知识点02 全等三角形的判定
一、全等三角形判定1——“边边边”
定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
二、全等三角形判定2——“边角边”
定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△.
注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
三、全等三角形判定3——“角边角”
定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
四、全等三角形判定4——“角角边”
定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
3.三角形证全等思路
五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”
定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，，添加下列条件，不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．利用，加上公共边，然后利用全等三角形的判定方法对各选项进行判断即可．
【详解】解：在和中，，，
A、当添加时，在和中，，
所以，故不符合题意；
B、当添加时，在和中，，
所以，故不符合题意；
C、当添加时，在和中， 不能证明，故符合题意；
D、当添加时，在和中，，
所以，故不符合题意；
故选：C．
2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．

【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键．
【详解】解：如图所示：

使，则这样的格点三角形最多可以画7个，
故答案为：7
【典型例题一 三角形的稳定性及应用】
【例1】（25-26八年级上·吉林·期末）我国北宋时期李诫编修的《营造法式》中记载，为了使古建筑梁架更加稳固，经常使用三角形结构，这样操作主要利用的三角形性质是（ ）
A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形两边之差小于第三边
C．三角形的内角和为 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【分析】本题考查三角形的稳定性的应用．利用三角形的稳定性求解即可．
【详解】解：∵三角形一旦三边固定，其形状就无法改变，这种性质称为稳定性，
∴在建筑中，利用三角形结构可以防止变形，使框架更加稳固，
∴这样操作主要利用的性质是三角形具有稳定性．
故选：D．
【例2】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图是一个篮球架，主框架依靠三角形结构支撑，其中蕴含的道理是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余 B．三角形具有稳定性
C．三角形的两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的性质在实际生活中的应用，需要根据各个选项所涉及的三角形性质，结合篮球架的结构特点进行判断．
【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余，这是直角三角形角的性质，与篮球架的结构和功能没有关联，故A错误；
B、三角形具有稳定性，篮球架的设计正是利用了这一性质，使其能够稳定地支撑整个篮球架，故B正确；
C、三角形的两边之和大于第三边，这主要是用于三角形的三边关系的判断，与篮球架的结构特点无关，故C错误；
D、三角形的内角和等于，这是关于三角形内角关系的知识，与篮球架的结构和功能没有关系，故D错误；
故选：B．
【例3】（25-26八年级上·新疆·期中）如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是_____．
【答案】三角形具有稳定性
【分析】本题考查了三角形的性质，关键是弄清人字梯与拉杆构成三角形；根据构成的图形是三角形即可解答.
【详解】解：由于人字梯与拉杆构成三角形，这样可以使梯子稳固，
所以，依据是三角形具有稳定性；
故答案为：三角形具有稳定性 ．
1．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）（1）如图1所示设计的折叠凳坐着舒适、稳定．折叠凳这种设计所运用的数学原理是 ．
（2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息求的长度．
【答案】（1）三角形具有稳定性；（2）
【分析】本题考查了三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据三角形的性质即可得出答案；
（2）证明即可得解．
【详解】解：（1）由题意得：折叠凳这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性；
（2），理由如下：
∵O是和的中点，
∴，，
在和中，
，
∴ ，
又∵，
∴．
2．（24-25八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？

(1)请完成下表：
多边形木架的边数 4 5 6 … n
至少钉木条的根数 1 …
(2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条；
(3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数．
【答案】(1)2，3，
(2)9
(3)21
【分析】（1）利用三角形具有稳定性即可解答；
（2）根据（1）中的结论代入计算即可求解；
（3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解．
【详解】（1）解：如下表：
多边形木架的边数 4 5 6 … n
至少钉木条的根数 1 2 3 …
故答案为：2，3，；
（2）解：（根），
∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条，
故答案为：9；
（3）解：，
∴这个多边形的边数是21，
故答案为：21．
【点睛】本题考查三角形的稳定性，注意利用图形总结规律是解题的关键．
3．（24-25七年级下·广东清远·期末）生活中的数学∶
(1)如图1，跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪资势，可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定性，这里所运用的几何知识是____________；
(2)如图2，把小河里的水引到田地处，若要使水沟最短，则过点向河岸作垂线，垂足为点．沿挖水沟即可，这里所运用的几何知识是____________；
(3)如图3，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且，点是线段的中点，要想知道A、E之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由．
【答案】(1)三角形具有稳定性
(2)垂线段最短
(3)合适，证明见解析
【分析】此题主要考查了垂线段的性质，三角形的稳定性，以及全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形判定定理，会用它证明对应边相等．
（1）根据三角形的稳定性解答；
（2）根据垂线段最短解答；
（3）首先证明，根据全等三角形的性质可得．
【详解】（1）解：跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪资势，可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定性，这里所运用的几何知识是三角形具有稳定性；
（2）解：过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，
运用的原理是：垂线段最短；
（3）解：合适，
∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴想知道A、E之间的距离，只需要测出线段的长度．
【典型例题二 四边形的不稳定性】
【例1】（24-25八年级上·重庆开州·期中）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．梯形 B．长方形 C．三角形 D．正方形
【答案】C
【分析】根据三角形的稳定性求解即可．
【详解】解：梯形、长方形、正方形不具有稳定性，三角形具有稳定性，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的性质，熟记三角形的稳定性是解题的关键．
【例2】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．
【详解】解：A、不具有稳定性，故此选项符合题意；
B、具有稳定性，故此选项不符合题意；
C、具有稳定性，故此选项不合题意；
D、具有稳定性，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
【例3】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列图形具有稳定性的是_______（填序号）．
【答案】③
【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形和五边形不具有稳定性，
∴具有稳定性的是③，
故答案为：③．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，是基础题，需熟记，关键是根据三角形具有稳定性解答．
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）准备几根硬纸条．
(1)取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？
(2)取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中两边，这个四边形的形状改变了吗？钉成一个五边形，又会怎样？
(3)上面的现象说明了什么？
【答案】(1)三根硬纸条钉成三角形后，三角形的三边长度和内角度数都被固定，拉动其中两边，无法改变三角形的形状，因此不能使三角形形状发生变化．
(2)四根硬纸条钉成四边形后，仅边长固定，内角可以发生变化，拉动其中两边，四边形形状会发生改变；同理，五边形仅固定边长时内角也可以改变，拉动后五边形形状也会改变．
(3)∵操作中三角形形状无法改变，边数大于等于4的多边形形状可以改变
∴可得结论：上述现象三角形具有稳定性，边数不小于4的多边形具有不稳定性．
【分析】本题是操作验证类题目，考察三角形稳定性的初中基础知识点，通过观察操作现象总结图形特性即可，用到三角形和多边形的结构性质．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？
【答案】见解析
【分析】根据题意运用四边形的不稳定性和三角形的稳定性来回答问题即可．
【详解】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离．它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了．
【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等，理解题意是解题的关键．
3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？

【答案】这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为
【分析】分两种情况进行讨论，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，分别求解即可．
【详解】由于B，C两处可以转动，当A，B，C，D形成一条线段时，最长，它等于；当A，B，C拉直，B，A落在上时，最短，它等于．
答：这根橡皮筋的最大长度可以拉到，最短长度为．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的大小和形状就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
【典型例题三 尺规作图——作三角形】
【例1】（2025·江苏盐城·三模）已知线段a，b，c求作：，使．下面的作图顺序正确的是（　　）
①以点A为圆心，以b为半径画弧，以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于C点；
②作线段等于c；
③连接，则就是所求作图形．
A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③①
【答案】C
【分析】先画，确定A、B点，然后通过画弧确定C点位置，从而得到．
【详解】解：②先作线段等于c，①再以点A为圆心，以b为半径画弧，以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于C点，③然后连接，则就是所求作图形．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
【例2】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图（1）所示，已知线段，，求作，使，，张蕾的作法如图（2）所示，则下列说法中一定正确的是（　　）
A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的
C．弧是以点A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的
【答案】A
【分析】根据作图痕迹可得，先在射线上截取，再分别以B,C为顶点，在线段的两端作，从而可得出所要求的三角形，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键．
【详解】A、根据作图知，作的依据为，故选项正确；
B、弧是以长为半径画的，故选项错误；
C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误；
D、弧是以长为半径画的，故选项错误．
故选：A
【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为______（填序号）
①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；
②作直线，在上截取；
③连接，为所求作的三角形．
【答案】②①③
【分析】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答．
【详解】解：做三角形，使三角形的三边等于已知边，作图的顺序应该是②作直线，在上截取；①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；
③连接，为所求作的三角形．
故答案为：②①③．
1．（25-26七年级下·河南郑州·期中）已知：线段，，（如图）．
求作：，使，，．
【答案】见解析
【分析】画射线，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交的两边于点，；以相同长度为半径，B为圆心画弧，交于点F，以F为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，作射线；以B为圆心，a为半径画弧交射线于点C，以B为圆心，c为半径画弧交射线于点A，连接即可．
【详解】解：如图所示，即为所求．
2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）尺规作图．
已知：（如图）．
求作：，使与全等．
要求：
(1)不写作法，保留作图痕迹；
(2)写出作图时选取的相等的边或角．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键：
（1）利用，作射线，截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即可；
（2）根据进行作答即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）由作图，．
3．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，用直角三角尺摆放两次可以画出的角平分线，图中是第一次摆放的位置，请用尺规作出该直角三角尺第二次摆放的位置，再用没有刻度的直尺画出的角平分线，并说明这种方法的正确性．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图：作一个与直角三角形全等的直角三角形，直角三角形全等的判定与性质等知识；作，使与点O重合，在射线上，且在的内部，延长交于点K，连接，则射线是的角平分线．
【详解】解：如图，为直角三角尺第二次摆放的位置，延长交于点K，连接，则射线是的角平分线．
由作法及已知得：，
由图知，，
∴，
∴，
∴射线是的角平分线．
【典型例题四 添加条件使三角形全等】
【例1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，添加下列条件仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴当时，，故A选项不符合题意；
当时，，故B选项不符合题意；
当时，则，，故C选项不符合题意；
当，，不能判定；故D选项符合题意；
故选D．
【例2】（25-26八年级上·河北保定·期末）甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则：两人轮流给及对应的边或角添加等量条件（，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．下表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（ ）
轮次 行动者 添加条件
甲
乙
甲
①若第轮甲添加，则乙获胜；
②若甲想获胜，则第轮可以添加条件“”；
③此游戏最多轮必分胜负．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵第一轮甲添加，第二轮乙添加，
∴若第轮甲添加，满足，，甲失败，乙获胜，故①正确；
若甲添加，满足，，甲失败，故②错误；
游戏已进行两轮，第三轮甲添加条件后若不全等（如添加），则第四轮乙添加任何条件（如、或)均会导致全等，乙失败，故最多轮必分胜负，③正确；
综上，说法正确的是①③，
故选：．
【例3】（25-26八年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，请你添加一个条件___________，使．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．
根据全等三角形的判定方法添加即可．
【详解】解：已知，，
可添加，证明．
故答案为：（答案不唯一）．
1．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由．
供选择的三个条件：①；②；③．
【答案】不能；选择条件①(还可选择条件②，但不能选择条件③)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定．
选择①，证明得到，即可推出；
选择②，证明得到，即可推出．
【详解】解：不能．
选择①，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
选择②，
，
，
，
在和中
，
，
，
．
2．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫作格点，点，点，点在格点上．
(1)画出的边上的高；
(2)画出中边上的中线；
(3)直接写出的面积为________；
(4)以为一边作（点与点不重合），使之与全等，这样的格点有________个．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)5
(4)3
【分析】本题主要考查了网格作图，全等三角形的判定，三角形高，中线的概念，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键．
（1）延长，过B作于D，即可得到答案；
（2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案；
（3）根据三角形面积公式即可得到答案．
（4）根据全等三角形的判定和网格的特点作图即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
（3）解：；
（4）如图，以为一边作（点与点不重合），使之与全等，这样的格点有3个．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在与中，已知．
(1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_________（填序号）；
①；②；③；④．
(2)根据（1）中添加条件的情况分别判定．
【答案】(1)①③
(2)见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
（1）利用全等三角形的判定定理进行判断；
（2）利用，进行证明即可．
【详解】（1）解：①已知，，且为公共边，根据全等三角形判定定理“边边边”，可以判定；
②虽然，，，但“边边角”不能判定两个三角形全等；
③因为，，，根据全等三角形判定定理“边角边”，可以判定 ；
④，，，“边边角”不能判定两个三角形全等；
故答案为：①③．
（2）证明：选条件①时，
在和中，
，
所以；
选条件③时，
在和中，
，
所以．
【典型例题五 灵活选用判定方法证全等】
【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，但他很快想到办法在作业本上画了一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
图中三角形没被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】解：由图可知，三角形没被污染的部分有两角及夹边，
所以画一样的三角形的依据是．
故选：
【例2】（25-26八年级上·湖北荆门·期中）如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在A处，和第三根木棍摆出，木棍固定，木棍绕A转动，得到，这个实验说明（　　）．
A．有两边分别相等的两个三角形不一定全等
B．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等
C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，理解不能证明三角形全等是解题的关键．
由与不全等，可得有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，据此即可解答．
【详解】解：由题意知，与中有两边和其中一边的对角分别相等，
∵与不全等，
∴有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
故选D．
【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）有下列结论：①一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；②一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的是__________________．（填序号）
【答案】①②④
【分析】根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．逐条排除．
【详解】解：①一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，符合，能判定全等；
②一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形，符合或，能判定全等；
③两个锐角对应相等的两个直角三角形，没有边相等，不符合全等判定，不能判定全等；
④有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形，符合，能判定全等．
综上，正确的有①②④
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；判断两个三角形全等，至少应有一条对应边相等参与其中，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．
1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥，
(1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示）
(2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号）
(3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)①②③（答案不唯一）
(3)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据全等三角形的判定条件，求解即可；
（2）根据全等三角形的判定条件，求解即可；
（3）先推导出，再根据证明即可．
【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断．
故答案为：（答案不唯一）．
（2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③．
故答案为：①②③（答案不唯一）．
（3）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
∴．
2．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线与大圆相交于D，平分．
(1)证明：直线是小圆的切线；
(2)试证明：；
(3)若，，求大圆与小圆形成的圆环的面积．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解；
(3)．
【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握切线的判定、全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）只要证明垂直即可得出是小圆的切线；
（2）利用全等三角形的判定得出，从而得出，从而得到，从而证明；
（3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积．
【详解】（1）解：连接，过O作，垂足为E，
是小圆的切线，经过圆心O，
，
平分，，
，，，
，
，
是小圆的半径，
是小圆的切线；
（2）切小圆于点A，切小圆于点E，
，，，
，
，
∵，
∴，
，
；
（3），
，，
，
，
，
又，
圆环的面积为：．
3．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
(1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由；
(2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______．
【答案】(1)甲，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，
（1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；
（2）甲根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键．
【详解】（1）甲同学的方案可行．
理由：由题意得，
在与中，
，
∴，
∴，
故甲同学的方案可行．
（2）；
理由：
∵，
在与中，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【典型例题六 结合尺规作图的全等问题】
【例1】（24-25八年级上·福建福州·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（）
A．，， B．，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A、∵，能唯一确定三角形，本选项符合题意；
B、∵，不能唯一确定三角形，本选项不符合题意；
C、∵，不能唯一确定三角形，本选项不符合题意；
D、∵不能唯一确定三角形，本选项不符合题意；
故选：A．
【例2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，已知；，线段，求作．
作法；（1）作线段；
（2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法．
【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即．
故选C．
【例3】（24-25八年级下·浙江·期末）如图，利用尺规作图：作的平分线的原理是_________．

【答案】SSS
【分析】根据SSS判断三角形全等即可．
【详解】解：如图，连接PM，MQ．由作图可得：
∵OP=OQ，PM=QM，OM=OM，
∴△POM≌△QOM（SSS），
∴∠POM=∠QOM，即OM是∠AOB的角平分线．
故答案为SSS．

【点睛】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
1．（25-26八年级上·天津河西·阶段检测）如图，方格纸上有一个，请你在方格纸内画出满足条件，，的，并判断与是否一定全等．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定定理，根据题意画出不同的三角形再进行判断.判定全等三角形的方法有 (， ， ， ， ) 五种判定方法，但不能判定三角形全等．
【详解】解：如图所示，与 不一定全等．
2．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
(1)在图①中的边上找一点E，使得；
(2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）；
(3)在图③中的边上找一点E，连接，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了格点作图，全等三角形的性质，根据相关知识点正确作图是解题关键．
（1）取格点、，由全等的性质可得；
（2）由可知，和同底等高，则过点与平行的直线上的格点为点，可作；
（3）取格点、，由全等的性质可得，进而得出，则与的交点即为点．
【详解】（1）解：如图，点即为所求作；
（2）解：如图，即为所求作；
（3）解：如图，点即为所求作．
3．（24-25八年级下·河南信阳·期中）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）．
(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）：
①画EF=BC；
②在线段EF的上方画∠F=∠C；
③画DE=AB；
④顺次连接相应顶点得所求三角形．
(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等；
(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______．
【答案】(1)见解析
(2)2，；
(3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等
【分析】（1）根据尺规作线段，作一个角等于已知角的步骤作图即可；
（2）根据所画图形填空即可；
（3）根据探究过程结合全等三角形的判定可得出结论．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）观察所画的图形，发现满足条件的三角形有2个；其中三角形（填三角形的名称）与△ABC明显不全等，
故答案为：2，；
（3）经历以上探究过程，可得结论：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，
故答案为：两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等．
【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握尺规作图的方法和全等三角形的判定定理是解题的关键．
【典型例题七 证一条线段等于两条线段和差】
【例1】（2025·河北·模拟预测）课堂上老师给出问题∶在中，，使用尺规在上作出点 P，使得．如图1是给出的部分作图痕迹，图2是嘉嘉和淇淇各自补充的作图，则下列选项说法正确的是（ ）
A．嘉嘉，淇淇的作法都对 B．嘉嘉，淇淇的作法都不对
C．嘉嘉的作法对，淇淇的作法不对 D．嘉嘉的作法不对，淇淇的作法对
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图---作角平分线，作一个角等于已知角，作垂线，熟练掌握各知识点是解题的关键．
由嘉嘉的尺规作图痕迹可得，证明即可得到；由淇淇的尺规作图痕迹可得，然后证明即可得到．
【详解】解：由图1可得平分，
则，
由嘉嘉的尺规作图痕迹可得，
则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴嘉嘉的作法正确；
由淇淇的尺规作图痕迹可得，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴淇淇的作法正确，
故选：A．
【例2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE，
成立的有 _____个．

【答案】1
【分析】根据全等三角形的性质可以得出AC=BE，CD=BC， ，根据以上结论可以推导出 ，，即可求解．
【详解】解：∵Rt△ACD≌Rt△EBC，
∴AC＝BE，
∵在Rt△BEC中，BE＜BC，
∴AC＜BC，
∴①错误；
∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD，
∴∠D≠∠BED，
∴AD和BE不平行，
∴②错误；
∵Rt△ACD≌Rt△EBC，
∴∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE，
∵∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠D＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCE＝90°，
∴③正确；
∵Rt△ACD≌Rt△EBC，
∴AD＝CE，CD＝BC，
CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC，
∵BE＜BC，
∴AD+DE＞BE，
∴④错误；
故答案为：1．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边大于直角边等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
【例3】（2025·广东佛山·一模）如图，在四边形中，，是上一点，，，______．
【答案】
【分析】通过等腰直角三角形构建一线三等角模型求解即可．
【详解】
解：如图所示，分别过A、D作于E，于F
∴
∴,
∵
∴
∴ ,
在与中
∴
∴ ，
在中，
∴
同理可得：
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查特殊的直角三角形，灵活运用一线三等角模型及特殊直角三角形三边关系是解题的关键．
1．（24-25八年级上·黑龙江·单元测试）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足．
(1)如图①，求证：；
(2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)不成立，见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明；
（2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可．
【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
．
（2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立．
图②中，结论：；
图③中，结论：．
对于②，截取，连接，
为等腰直角三角形，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
．
对于③，截取，连接，同理可证：．
2．（24-25七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，、分别平分、，交于E点．
(1)如图1，求的度数．

(2)如图2，过点E的直线分别交、于B、C，猜想、、之间的存在的数量关系：_______．

(3)试证明（2）中的猜想．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，，利用三角形内角和定理整体计算即可；
（2）根据图形猜想即可；
（3）在上截取，连接，证明得到，进一步推出，再证明，可得，进而证明．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵、分别平分、，
∴，，
∴
；
（2）猜想：；
（3）
证明：在上截取，连接．

平分，
．
在和中，
，，，
，
．
，
，
又，
．
平分，
．
在和中，
，，，
，
，
．即．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、平行线的性质，关键是添加辅助线，构建对应全等三角形，使问题得以解决．
3．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【问题提出】
（1）如图1，在四边形ABCD中，，，，E、F分别是BC、CD上的点，探究当为多少度时，使得成立．
小亮同学认为：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，则可求出∠EAF的度数为______；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD上的点，当∠EAF与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有成立，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，在正方形ABCD中，，若的周长为8，求正方形ABCD的面积．
【答案】（1）60°；（2）当时，成立，理由见解析；（3）16
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到证明得到根据题意，计算即可得出结果．
（2）延长FD到点H，使，连接AH，分别证明，根据全等三角形的性质解答即可．
（3）根据（2）的结论得到，进而求出AD，根据正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：（1）当时，，理由如下，
延长FD到点G，使，连接AG，
在和中，
在和中，
；
（2）当时，成立，
理由如下：如图2，延长FD到点H，使，连接AH，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴（SAS），
∴；
（3）∵四边形ABCD为正方形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵的周长为8，
∴，
∴，
∴AD+CD=8，
∴，
∴正方形ABCD的面积．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解此题的关键．
【典型例题八 倍长中线模型】
【例1】（24-25八年级上·吉林·阶段检测）是的中线，若，则的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．10
【答案】D
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，先画出图形，延长至点，使得，连接，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的三边关系定理即可得．
【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，则，
是的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，，即，
，
观察四个选项可知， 的长不可能是，
故选：D．
【例2】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】作，证、即可求解．
【详解】解：作，如图：

∵
∵，
①无法推出，故①错误；
②正确；
③∵
且
∴
故③正确；
④∵为中线
∴
故④正确；
⑤
故⑤正确；
故选：D
【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，作出辅助线进行几何推理是解题关键．
【例3】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是________________．
【答案】1＜AD＜7
【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
【详解】解：如图，延长AD到E，使DE=AD，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中,
，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE=AB，
∵AB=6，AC=8，
∴8-6∴1故答案为：1【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
1．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：．
证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明）
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长至点E，使，连接，根据三角形中线定义得，进而依据判定得，，再由得，继而根据“大边对大角”得，由此即可得出结论．
【详解】解：延长至点E，使，连接，如图所示：
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）【问题提出】倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则．
【解决问题】如图②，已知和中，，连接是的中点，连接，求证：．
【答案】见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键．延长至点F，使得，连接，证明，得到，再证明得到，即可得证．
【详解】证明：如图，延长至点F，使得，连接．
是的中点，
．
在和中，
，
，
，
．
，
．
在和中，
．
．
3．（24-25七年级下·江西吉安·阶段检测）【发现问题】
（1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围．
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题解决】
（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________．
①；②；③；④
【问题拓展】
（3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：；
（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________．
【答案】（1）；（2）②④；（3）见解析；（4）
【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解；
（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解；
（3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论；
（4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使．
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，延长至，使，连接，
是中线，
，
又，，
，
，，
，，
，
为中线，
，
，
，
又，
，
，，
，
∴正确选项的序号是：②④；
（3）证明：如图3，延长至，使，连接，
是的中点，
，
又，，
，
，，
，
，
与互补，
，
，
又，，
，
，
；
（4），，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【典型例题九 旋转模型】
【例1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　）
A．64° B．52° C．62° D．56°
【答案】D
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠CAB＝∠C'CA＝62°，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解．
【详解】解：∵CC'∥AB，
∴∠CAB＝∠C'CA＝62°，
∵将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，
∴AC＝AC'，∠CAC'＝∠BAB'，
∴∠AC'C＝∠ACC'＝62°，
∴∠CAC'＝180°-2×62°=56°＝∠BAB'，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和，求得的度数是解题的关键．
【例2】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，证明△BDF≌△MDE（SAS），可得BF=ME，故当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，过M作MN⊥BC于N，即可得ME=NC=2，从而知BF最小值是2．
【详解】解：以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，如图：
∵△BDM和△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，DM＝BD，∠BDM＝∠FDE＝60°，
∴∠BDM﹣∠MDF＝∠FDE﹣∠MDF，即∠BDF＝∠MDE，
∴△BDF≌△MDE（SAS），
∴BF＝ME，
∴当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，如图：
过M作MN⊥BC于N，
∵BC＝3，CD＝1，
∴BD＝2，
∴ND＝0.5BD＝1，NC＝2，
而∠MNC＝∠NCE＝∠CEM＝90°，
∴四边形MNCE是矩形，
∴ME＝NC＝2，
而BF＝ME，
∴BF最小值是2．
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形及等边三角形的综合应用，涉及动点问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，把求BF最小值问题转化为求EM最小值．
【例3】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于__________．
【答案】1
【分析】将三角形ABC绕点C顺时针旋转至AB与AE重合，连AC，AD，可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论．
【详解】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，
由旋转的性质可得Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS），
∴AC=AF，，∠B=∠AEF=90°，
∴∠DEF=∠AED+∠AFE=180°，
∴D、E、F三点共线，
又∵AD=AD，
∴△ACD≌△AFD（SSS），
∴，
∵AB=CD=AE=BC+DE，，
∴DF=CD=1，
∵，
∴．
故答案为：1．
【点睛】本题考查全了等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，小颖对该图形进行探究，得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
【答案】(1)见详解
(2)小颖的结论正确，理由见详解．
【分析】（1）根据SAS证明，即可得到．
（2）由可得又因为因此得根据AAS可得，则，再根据HL可得，则因此．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
又
即
∴
（2）解：小颖的结论正确，理由如下：
如图，过A点作于M，于N，
∵
又
∵
又
∴
在和 中
∴
．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，恰当的添加辅助线是解题的关键．
2．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板，
【问题初探】
（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：；
【类比探究】
（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，，理由如下：
如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形．
（1）由判定，推出；
（2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出．
【详解】（1）略
（2）略
3．（24-25八年级上·黑龙江鹤岗·阶段检测）如图① ，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．
(1)S△ABD = ．（直接写出结果）
(2)如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为α (α<90°)，在旋转过程中：
探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由；
探究二：当α=________时，四边形APDQ是正方形．
【答案】(1)4
(2)四边形APDQ的面积不会随旋转而变化，理由见详解；当时，四边形APDQ是正方形．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由得，则；
（2）①在中，根据等腰直角三角形的性质得，易得，，再利用等角的余角相等得到，于是可判断，所以，即可判断四边形的面积不会随旋转而变化；
②由于，则当时，四边形为矩形，加上，于是可判断四边形是正方形，此时，即．
【详解】（1）解：，，，
，
；
故答案为4；
（2）解：①四边形的面积不会随旋转而变化．理由如下：
在中，，，
，
，
，
，，
又，，
，
在和中，
，
（ASA），
；
②时，四边形是正方形．理由如下：
，
当时，
而，
四边形为矩形，
，
，
四边形是正方形，此时，即．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的判定．
【典型例题十 垂线模型】
【例1】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是( 　)

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴
又∵，，
∴，，
∴．
故选B
【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2， ，之间的距离为3 ，则的值是（ ）
A．68 B．20 C．32 D．47
【答案】A
【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等求出BE＝AD＝3，再由勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出AC的长，最后得到AC2.
【详解】解：如图所示，过A作AD⊥l3于D，过C作CE⊥l3于E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
又∠DAB+∠ ABD=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABD和△BEC中，
，
∴△ABD≌△BCE （AAS）
∴BE=AD=3，
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 .
故答案是68.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形，运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算.
【例3】（24-25八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在P（5,5）处，两直角边与坐标轴交点为A,B,则OA+OB的长是_____________.
【答案】10
【分析】作轴于，轴于，求出∠∠，证，推出，即可．
【详解】
作轴于，轴于，
，则四边形是正方形，
∴，∠∠°，
∴∠∠
在和中，
，
∴，
则，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质的应用，关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
1．（24-25八年级上·广东江门·阶段检测）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．
(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
【答案】(1)，证明见解析；
(2)，，．
【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论；
（2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系；
【详解】（1）证明：如图2，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴（AAS），
∴，
∵，
∴．
（2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，．
如图1时，，
如图2时，，
如图3时，，（证明同理）
【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质．
2．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图1，四边形是正方形，点是边的中点，连接，过E作的垂线交的外角平分线于F．
(1)求证：
(2)如图若E在BC的延长线上，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）取中点，连接，求出，得出，求出，求出，根据推出和全等即可；
（2）在的延长线上取一点，使，连接，根据已知利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以．
【详解】（1）取中点，连接，
，为中点，为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
（ASA），
；
（2）成立．
证明：如图，在的延长线上取一点．
使，连接．
，
，
平分，
，
，
四边形是正方形，
∴，
，
即，
，
（ASA），
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，关键是推出．
3．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．
(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立
(2)AF-BF=2CE
【分析】（1）过B作BH⊥CE于点H，可证△ACE≌△CBH，通过线段的等量代换可得结论；
（2）过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，△ACE≌△CBG，通过线段的等量代换可得答案．
【详解】（1）解：图2，AF+BF=2CE仍成立，
证明：如图，过B作BH⊥CE于点H，
∵∠BCH+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCH，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90°
∴△ACE≌△CBH．
∴CH=AE，BF=HE，CE=BH，
∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC．
（2）解：不成立，线段AF、BF、CE之间的数量关系为：AF-BF=2CE
证明：如图，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，
∵∠BCG+∠ACE=90°，
又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90°
∴△ACE≌△CBG．
∴CG=AE，BF=GE，CE=BG，
∴AF-BF=AE+EF-BF=CG+EF-GE=CE+EF=2EC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，根据题意正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【典型例题十一 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形）】
【例1】（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据题意证明，得到，由得到．
【详解】解：如图，
，，，
，
，
，
∴，
故选：B．
【例2】（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）如图是一个的正方形网格，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．如图，先根据判定，可得，然后可得，同理，，，，进一步即可求出答案．
【详解】解：如图，在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
同理，，，
，
∴，
故选：A．
【例3】（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______．
【答案】 /90度 /45度
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的特点，
首先证明出，得到，然后等量代换得到，即可求出；然后由得到．
【详解】解：如图所示，
∵由网格特点得，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴．
故答案为：，．
1．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图所示是一个的正方形，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键．
由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可．
【详解】解：根据全等三角形的性质可知，
与的余角相等，也就是与互余，
同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又，
、、、、、、，
．
2．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，△ABC的三个顶点均在格点处．
(1)过点B画AC的垂线BD；
(2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)过点B作格点直角三角形与以AC为斜边的直角格点三角形全等，即可画得；
(2)过点A画正方形的对角线，即可画得．
【详解】（1）解：画图如下：
（2）解：画图如下：
【点睛】本题考查了格点作图，平行线与垂线，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
3．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2．
（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 　 　．
（4）△ABC的面积为 　 　．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）（a＋4，﹣b）；（4）3
【分析】（1）（2）根据平移、轴对称的特点作图，把各对应点描出连线即可；（3）根据左加右减，上加下减的规律进行运算即可；（4）先计算所求图形外接矩形（四边均在网格上）面积，再减去多余的三角形面积即可．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）点M2的坐标是（a＋4，﹣b）．
故答案为：（a＋4，﹣b）．
（4）△ABC的面积为：2×4﹣1×4﹣1×2﹣2×2＝8﹣2﹣1﹣2＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平移、轴对称的作图，平移后点坐标得变化，割补法求网格内图形面积，属于常规题目．
【典型例题十二 全等三角形综合问题】
【例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）下列条件中，能判断的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定方法有：，而都不能判定两三角形全等，根据以上内容判断即可．
【详解】解：如图，
A、根据，不能判断，故本选项错误；
B、根据，利用能判断，故本选项正确；
C、根据，不能判断，故本选项错误；
D、，不能判断，故本选项错误；
故选：B．
【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）嘉淇在解决问题时，给出的推理过程如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“”和“”之间作补充，下列说法正确的是（ ）
如图，点D在上，点E在上，，求证：． 证明：在和中，， ， ．
A．嘉淇的推理严谨，不需要补充 B．应补充“”
C．应补充“” D．应补充“”
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明得到，即可得出结论，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
【详解】解：在和中，
，
，
，
，
应补充“”，
故选：B．
【例3】 （24-25八年级上·四川广元·阶段检测）如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以1厘米每秒的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动______秒时，三角形与点P、N、B为顶点的三角形全等（时间不等于0）．
【答案】4或8或
【分析】本题考查了三角形全等的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
首先要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可．
【详解】解：①当P在线段上，时，与全等，
，
，
，
点P的运动时间为（秒）；
②当P在线段上，时，与全等，
这时，因此时间为0秒；（不符合题意，舍去）
③当P在上，时，与全等，
，
，
，
点P的运动时间为（秒）；
④当P在BQ上，时，与全等，
，
，
，
点P的运动时间为（秒），
故答案为：4或8或．
1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知点在的内部，经过点的直线与，分别交于点，，且．分别在下列情形中，求作直线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(1)如图①，点在的平分线上；
(2)如图②，点不在的平分线上．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）作射线，再过作射线的垂线，交于，交于，则可得，可得.
（2）作，与交于点，则，连接并延长至，使，在上截取，连接交于，可得，可得，可得，连接，交于，可得，可得，可得，可得，可得，再证明，可得，可得.
【详解】（1）解：如图，即为所求，直线即为所求.
（2）解：如图，即为所求，直线即为所求.
【点睛】本题考查的是复杂作图，作垂线，作一个角等于已知角，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练的作图是解本题的关键.
2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）（1）阅读下题及证明过程，
如图1，是的边上一点，是上一点，，．求证：．
证明：在和中，
因为，，，
所以……第一步
所以……第二步
上面的证明过程是否正确 若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
（2）如图2，与是锐角三角形，满足，，，那么这两个三角形全等吗 请说明理由．
【答案】（1）第一步错误，正确的证明过程见详解
（2）这两个三角形全等，理由见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键．
（1）根据等边对等角得到，，则，得到，运用边角边即可求证，由全等三角形的性质即可求解；
（2）过点作于点，过点作于点，证明，得，，证明，得，则，运用边角边即可求证．
【详解】解：（1）∵不能运用“边边角”证明两个三角形全等，
∴证明中第一步错误，
正确的证明过程如下，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
在中，
，
∴，
∴；
（2）全等，理由如下，
如图所示，过点作于点，过点作于点，
．
∴，
又，
∴，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
∴，即，
在中，
，
∴．
3．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）【问题探究】
（1）如图1，在四边形中，，，点在上，点在的延长线上，连接、，，点在上，且，连接，试说明；
【问题解决】
（2）如图2，四边形是某小区一块空地，经测量，，，小区物业现计划对这块空地及其周边进行重新规划，在、的延长线上分别取点、，沿、修建两条灌溉水渠，并在内种植某种常绿植物，根据规划要求，满足，请你求出与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析（2），理由见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）证明，得到，进而推出，角的和差关系求出，即可得证；
（2）在延长线上找一点，使得，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质、周角为解答即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴；
（2）解：．理由如下：
在延长线上找一点，使得，连接，
，
又，
，
在和中，，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）

A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形．
【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性，
故选：C．
2．（2026·江苏南通·二模）如图，点在上，点在上，且，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先列出已有的条件，再根据补充的条件，利用全等三角形的判定定理，，，即可判断选项．
【详解】解：已有的条件为，公共角，
补充作为条件，可以根据证明，
故A不符合题意；
补充作为条件，可以根据证明，
故B不符合题意；
补充作为条件，属于，不可以证明，
故C符合题意；
补充作为条件，可以根据证明，
故D不符合题意．
3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　）
A．54 B．60 C．100 D．110
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可．
【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理可证，
∴，
∴．
空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和．
故选：B．
4．（25-26八年级上·天津河西·阶段检测）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长至点，使，连接，根据证明，即可得到，然后根据三角形的三边关系解答即可．
【详解】解：延长至点，使，连接，
∵点D是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，故，
故选：C．
5．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和得到，由全等三角形的判定定理得到，故①选项正确，由，得，于是得到，选项④正确；同时可证明，选项②正确，根据全等三角形的性质得到，
则，选项④正确连接，证得，根据全等三角形的性质得到，即点D在的平分线上，选项③正确，
【详解】解：∵，
，
在中，，在中，
，
在和中，
，
∴，故①选项正确；
，
，
得，
∴，选项④正确；
在和中，
，
∴，选项②正确；
连接，
在和中，
，
∴，
，即点D在的平分线上，选项③正确；
故正确的为①②③④．
6．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， __________度．
【答案】
【分析】证明，得出,根据网格的特点可知，即可求解．
【详解】解：如图，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即，
根据网格的特点可知，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，根据网格的特点求得是解题的关键．
7．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条．
【答案】
3
【分析】根据三角形具有稳定性，要使六边形木框稳定，需利用木条将其分割成三角形，从六边形的一个顶点出发引对角线即可确定所需木条数量.
【详解】 解：从六边形的一个顶点出发，连接该顶点与不相邻的顶点，可以引条对角线，这将把六边形分割成个三角形，从而使整个木框具有稳定性；
故至少要钉上根木条.
8．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段检测）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是______；_______
【答案】 SAS HL
【分析】由图可知小刘同学确定的是两条直角边，根据三角形全等判定定理为 ．
由图可知小赵同学确定了一个直角边和斜边，根据三角形全等判定定理为 ．
【详解】小刘同学画了后，再截取两直角边等于两已知线段，所以确定的依据是定理；
小赵同学画了后，再截取BC,AC一直角边和一个斜边，所以确定的依据是HL定理．
故答案为：①SAS；②HL．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握每种证明方法，做出判断是解题的关键．
9．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，，，过点作．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点的运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当以，，为顶点的三角形与全等时，________秒．
【答案】5或9或14
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．
分情况，当E在线段上，当E在射线上，证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算，即可求解．
【详解】①当E在线段上，时，，
，
，
，
点的运动时间为秒；
当E在线段上，时，，这时在点未动，因此运动时间为0秒，不符合题意；
②当E在射线上，时，，如图1所示，
，
，
，
点的运动时间为秒；
当E在射线上，时，，如图2所示，
，
点的运动时间为秒；
故答案为：5或9或14．
10．（2025·贵州·模拟预测）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长至，使，易证得，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由，，，易证得，可得，即可对④进行判断．
【详解】解：∵是中线，
∴
∴与的面积相等，故①正确，
延长至，使，如图

∵，，
∴，
∴
则在中，
∴，故②正确，
点是线段上的一个动点（点不与点，重合），连接，，如图，

∵
∴
又∵与的面积相等
∴的面积和的面积相等，故③不正确，
点，是，所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，如图，

由，，，
∴，
∴
∴
故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，三角形的三边关系以及平行线的判定，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键．
11．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，已知，过点作，点、在边上，连接、，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程．你添加的条件是：_______．
【答案】，见解析（答案不唯一）
【分析】理解题意，结合得，再根据以及全等三角形的判定方法进行添加条件，即可作答．
【详解】解：添加的条件是，证明过程如下：
，
在与中，
，
．
或当添加的条件是，证明过程如下：
，
在与中，
，
．
或当添加的条件是，证明过程如下：
，
在与中，
，
．
12．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？
【问题探究】如图1，，请你用圆规在的另一边找到点，使；这样的点有______个，说明符合条件的三角形有______种；此时（即“边边角”对应相等）两个三角形______全等．（填“一定”或“不一定”）
【探索思考】如图2，已知，若，则下列判断不正确的是（ ）
A．一定是钝角三角形 B．
C． D．的面积与的面积相等
【答案】【问题探究】2 ，2 ，不一定；【探索思考】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
问题探究：根据要求画出图形即可得结论；由所作图形，利用全等三角形的性质判断即可得到答案；
探索思考：利用全等三角形的性质进行判断，即可得到答案．
【详解】问题探究：解：如图所示：
点及即为所求；
由所作图形可知，这样的点有2个，说明符合条件的三角形有2种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等，
故答案为：2，2，不一定；
探索思考：，是钝角三角形，
一定是钝角三角形，，的面积与的面积相等，
和不一定相等，
故选：C．
13．（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，．
(1)求证：；
(2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题．
（1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得；
（2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得．
【详解】（1）解：证明：，，
，
在和中，
，
；
（2）证明：过点作交于点，如图所示，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
14．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案：
主题 测量斜坡上一点的竖直高度
测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内)
根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度．
【答案】斜坡上一点的竖直高度为2米
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是利用竖直线段的平行关系找到相等的角，结合已知直角和边相等的条件证明三角形全等．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴(米)．
答：斜坡上一点的竖直高度为2米．
15．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】
数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题．
【思考发现】
(1)如图①，的理由是　　　　；
A． B． C． D．
(2)根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可）
【类比迁移】
(3)如图②，是的中线，交于点，交于点，．
求证：．
以下是部分证明过程：
证明：如图③，延长至点，使，连结．

请完成上述证明过程．
【学以致用】
(4)如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　．
【答案】(1)B
(2)2（或3，4，5，6之一）
(3)证明：如图③，延长至点，使，连接．
同（1），可证，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，
∴；
∴．
(4)4
【分析】（1）由题意知，，，可得；
（2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解；
（3）倍长至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论；
（4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得.
【详解】（1）解：在和中，
，
，
故选：B；
（2）解：，
，
在中，，，，，
∴， 即，
∵为整数，，
∴的长可以为 2，3，4，5，6 中之一.
（3）略
（4）解：如图，延长至点，使，连，
∴，
同（1），可证，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴.
在 中，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键．
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第03讲 全等三角形的判定（2）（2大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 三角形的稳定性及应用
典型例题二 四边形的不稳定性
典型例题三 尺规作图——作三角形
典型例题四 添加条件使三角形全等
典型例题五 灵活选用判定方法证全等
典型例题六 结合尺规作图的全等问题
典型例题七 证一条线段等于两条线段和差
典型例题八 倍长中线模型
典型例题九 旋转模型
典型例题十 垂线模型
典型例题十一 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形）
典型例题十二 全等三角形综合问题
知识点01 三角形的稳定性
性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.
三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列生活实例中，没有用到三角形的稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，自行车的车架由多个三角形组成，使用时不会容易变形的数学原理是__________．
知识点02 全等三角形的判定
一、全等三角形判定1——“边边边”
定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
二、全等三角形判定2——“边角边”
定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△.
注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
三、全等三角形判定3——“角边角”
定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
四、全等三角形判定4——“角角边”
定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
3.三角形证全等思路
五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL”
定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）.
要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，，添加下列条件，不能使的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画______个．

【典型例题一 三角形的稳定性及应用】
【例1】（25-26八年级上·吉林·期末）我国北宋时期李诫编修的《营造法式》中记载，为了使古建筑梁架更加稳固，经常使用三角形结构，这样操作主要利用的三角形性质是（ ）
A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形两边之差小于第三边
C．三角形的内角和为 D．三角形具有稳定性
【例2】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图是一个篮球架，主框架依靠三角形结构支撑，其中蕴含的道理是（ ）
A．直角三角形的两个锐角互余 B．三角形具有稳定性
C．三角形的两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于
【例3】（25-26八年级上·新疆·期中）如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是_____．
1．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）（1）如图1所示设计的折叠凳坐着舒适、稳定．折叠凳这种设计所运用的数学原理是 ．
（2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息求的长度．

2．（24-25八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？

(1)请完成下表：
多边形木架的边数 4 5 6 … n
至少钉木条的根数 1 …
(2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条；
(3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数．
3．（24-25七年级下·广东清远·期末）生活中的数学∶
(1)如图1，跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪资势，可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定性，这里所运用的几何知识是____________；
(2)如图2，把小河里的水引到田地处，若要使水沟最短，则过点向河岸作垂线，垂足为点．沿挖水沟即可，这里所运用的几何知识是____________；
(3)如图3，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且，点是线段的中点，要想知道A、E之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由．
【典型例题二 四边形的不稳定性】
【例1】（24-25八年级上·重庆开州·期中）下列图形中具有稳定性的是（ ）
A．梯形 B．长方形 C．三角形 D．正方形
【例2】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列图形具有稳定性的是_______（填序号）．
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）准备几根硬纸条．
(1)取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？
(2)取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中两边，这个四边形的形状改变了吗？钉成一个五边形，又会怎样？
(3)上面的现象说明了什么？
2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？
3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，，，是三根长度分别为，，的木棒，它们之间连接处可以活动，在A，D之间拉一根橡皮筋，请根据四边形的不稳定性思考，这根橡皮筋的最大长度可以拉到多少厘米？最短长度为多少厘米？

【典型例题三 尺规作图——作三角形】
【例1】（2025·江苏盐城·三模）已知线段a，b，c求作：，使．下面的作图顺序正确的是（　　）
①以点A为圆心，以b为半径画弧，以点B为圆心，以a为半径画弧，两弧交于C点；
②作线段等于c；
③连接，则就是所求作图形．
A．①②③ B．③②① C．②①③ D．②③①
【例2】（24-25八年级上·山东青岛·期中）如图（1）所示，已知线段，，求作，使，，张蕾的作法如图（2）所示，则下列说法中一定正确的是（　　）
A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的
C．弧是以点A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的
【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为______（填序号）
①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；
②作直线，在上截取；
③连接，为所求作的三角形．
1．（25-26七年级下·河南郑州·期中）已知：线段，，（如图）．
求作：，使，，．
2．（25-26八年级上·山东泰安·期中）尺规作图．
已知：（如图）．
求作：，使与全等．
要求：
(1)不写作法，保留作图痕迹；
(2)写出作图时选取的相等的边或角．
3．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，用直角三角尺摆放两次可以画出的角平分线，图中是第一次摆放的位置，请用尺规作出该直角三角尺第二次摆放的位置，再用没有刻度的直尺画出的角平分线，并说明这种方法的正确性．
【典型例题四 添加条件使三角形全等】
【例1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，添加下列条件仍不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·河北保定·期末）甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则：两人轮流给及对应的边或角添加等量条件（，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．下表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（ ）
轮次 行动者 添加条件
甲
乙
甲
①若第轮甲添加，则乙获胜；
②若甲想获胜，则第轮可以添加条件“”；
③此游戏最多轮必分胜负．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【例3】（25-26八年级上·甘肃武威·阶段检测）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，请你添加一个条件___________，使．
1．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，，．能否由上面的已知条件得出？如果能，请说明理由；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使成立，并说明理由．
供选择的三个条件：①；②；③．
2．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫作格点，点，点，点在格点上．
(1)画出的边上的高；
(2)画出中边上的中线；
(3)直接写出的面积为________；
(4)以为一边作（点与点不重合），使之与全等，这样的格点有________个．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在与中，已知．
(1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_________（填序号）；
①；②；③；④．
(2)根据（1）中添加条件的情况分别判定．
【典型例题五 灵活选用判定方法证全等】
【例1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，但他很快想到办法在作业本上画了一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·湖北荆门·期中）如图，把长短确定的两根木棍的一端固定在A处，和第三根木棍摆出，木棍固定，木棍绕A转动，得到，这个实验说明（　　）．
A．有两边分别相等的两个三角形不一定全等
B．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等
C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
D．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等
【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）有下列结论：①一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；②一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的是__________________．（填序号）
1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥，
(1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示）
(2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号）
(3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程．
2．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线与大圆相交于D，平分．
(1)证明：直线是小圆的切线；
(2)试证明：；
(3)若，，求大圆与小圆形成的圆环的面积．
3．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：
甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．
乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．
(1)甲、乙两同学的方案哪个可行？_______（填“甲”或“乙”），并说明方案可行的理由；
(2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：_______．
【典型例题六 结合尺规作图的全等问题】
【例1】（24-25八年级上·福建福州·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（）
A．，， B．，
C．，， D．，，
【例2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，已知；，线段，求作．
作法；（1）作线段；
（2）在的同旁作，，与的另一边交于点．则是所作三角形，这样作图的依据是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25八年级下·浙江·期末）如图，利用尺规作图：作的平分线的原理是_________．

1．（25-26八年级上·天津河西·阶段检测）如图，方格纸上有一个，请你在方格纸内画出满足条件，，的，并判断与是否一定全等．
2．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
(1)在图①中的边上找一点E，使得；
(2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）；
(3)在图③中的边上找一点E，连接，使．
3．（24-25八年级下·河南信阳·期中）我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”．探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF=BC，∠F=∠C，DE=AB（即两边和其中一边所对的角分别相等）．
(1)动手画图：请依据下面的步骤，用尺规完成作图过程（保留作图痕迹）：
①画EF=BC；
②在线段EF的上方画∠F=∠C；
③画DE=AB；
④顺次连接相应顶点得所求三角形．
(2)观察：观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有____个；其中三角形____（填三角形的名称）与△ABC明显不全等；
(3)小结：经历以上探究过程，可得结论：______．
【典型例题七 证一条线段等于两条线段和差】
【例1】（2025·河北·模拟预测）课堂上老师给出问题∶在中，，使用尺规在上作出点 P，使得．如图1是给出的部分作图痕迹，图2是嘉嘉和淇淇各自补充的作图，则下列选项说法正确的是（ ）
A．嘉嘉，淇淇的作法都对 B．嘉嘉，淇淇的作法都不对
C．嘉嘉的作法对，淇淇的作法不对 D．嘉嘉的作法不对，淇淇的作法对
【例2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE，
成立的有 _____个．

【例3】（2025·广东佛山·一模）如图，在四边形中，，是上一点，，，______．
1．（24-25八年级上·黑龙江·单元测试）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足．
(1)如图①，求证：；
(2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系．
2．（24-25七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，、分别平分、，交于E点．
(1)如图1，求的度数．

(2)如图2，过点E的直线分别交、于B、C，猜想、、之间的存在的数量关系：_______．

(3)试证明（2）中的猜想．
3．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【问题提出】
（1）如图1，在四边形ABCD中，，，，E、F分别是BC、CD上的点，探究当为多少度时，使得成立．
小亮同学认为：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，则可求出∠EAF的度数为______；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD上的点，当∠EAF与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有成立，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，在正方形ABCD中，，若的周长为8，求正方形ABCD的面积．
【典型例题八 倍长中线模型】
【例1】（24-25八年级上·吉林·阶段检测）是的中线，若，则的长不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．10
【例2】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，为中线，在延长线上取一点E，连接，使．过点C作于点F．下列结论中正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例3】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝6，AC＝8，则AD的取值范围是________________．
1．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：．
证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明）
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）【问题提出】倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则．
【解决问题】如图②，已知和中，，连接是的中点，连接，求证：．
3．（24-25七年级下·江西吉安·阶段检测）【发现问题】
（1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围．
【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形
【问题解决】
（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________．
①；②；③；④
【问题拓展】
（3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：；
（4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________．
【典型例题九 旋转模型】
【例1】（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'的大小为（　　）
A．64° B．52° C．62° D．56°
【例2】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
【例3】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于__________．
1．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，小颖对该图形进行探究，得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
2．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板，
【问题初探】
（1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：；
【类比探究】
（2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．
3．（24-25八年级上·黑龙江鹤岗·阶段检测）如图① ，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．
(1)S△ABD = ．（直接写出结果）
(2)如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为α (α<90°)，在旋转过程中：
探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由；
探究二：当α=________时，四边形APDQ是正方形．
【典型例题十 垂线模型】
【例1】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是( 　)

A． B． C． D．
【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2， ，之间的距离为3 ，则的值是（ ）
A．68 B．20 C．32 D．47
【例3】（24-25八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在P（5,5）处，两直角边与坐标轴交点为A,B,则OA+OB的长是_____________.
1．（24-25八年级上·广东江门·阶段检测）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．
(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；
(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）
2．（24-25八年级下·四川南充·期中）如图1，四边形是正方形，点是边的中点，连接，过E作的垂线交的外角平分线于F．
(1)求证：
(2)如图若E在BC的延长线上，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立说明理由．
3．（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE．
(1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
(2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
【典型例题十一 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形）】
【例1】（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（24-25八年级上·广东汕头·阶段检测）如图是一个的正方形网格，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______．
1．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图所示是一个的正方形，求的度数．
2．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，△ABC的三个顶点均在格点处．
(1)过点B画AC的垂线BD；
(2)过点A画BC的平行线AE．（请用黑水笔描清楚）
3．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
（2）画出△A1B1C1沿x轴向右平移4个单位长度后得到的△A2B2C2．
（3）如果AC上有一点M（a，b）经过上述两次变换，那么对应A2C2上的点M2的坐标是 　 　．
（4）△ABC的面积为 　 　．
【典型例题十二 全等三角形综合问题】
【例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）下列条件中，能判断的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）嘉淇在解决问题时，给出的推理过程如下：小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“”和“”之间作补充，下列说法正确的是（ ）
如图，点D在上，点E在上，，求证：． 证明：在和中，， ， ．
A．嘉淇的推理严谨，不需要补充 B．应补充“”
C．应补充“” D．应补充“”
【例3】 （24-25八年级上·四川广元·阶段检测）如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以1厘米每秒的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动______秒时，三角形与点P、N、B为顶点的三角形全等（时间不等于0）．
1．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知点在的内部，经过点的直线与，分别交于点，，且．分别在下列情形中，求作直线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
(1)如图①，点在的平分线上；
(2)如图②，点不在的平分线上．
2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）（1）阅读下题及证明过程，
如图1，是的边上一点，是上一点，，．求证：．
证明：在和中，
因为，，，
所以……第一步
所以……第二步
上面的证明过程是否正确 若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
（2）如图2，与是锐角三角形，满足，，，那么这两个三角形全等吗 请说明理由．
3．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）【问题探究】
（1）如图1，在四边形中，，，点在上，点在的延长线上，连接、，，点在上，且，连接，试说明；
【问题解决】
（2）如图2，四边形是某小区一块空地，经测量，，，小区物业现计划对这块空地及其周边进行重新规划，在、的延长线上分别取点、，沿、修建两条灌溉水渠，并在内种植某种常绿植物，根据规划要求，满足，请你求出与之间的数量关系，并说明理由．
1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）

A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条
2．（2026·江苏南通·二模）如图，点在上，点在上，且，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　）
A．54 B．60 C．100 D．110
4．（25-26八年级上·天津河西·阶段检测）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法进行思考，求得的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，，，，垂足分别为E，F，与交于点D，有下列结论：①；②；③点D在的平分线上；④．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
6．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在如图所示的3×3正方形网格中， __________度．
7．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）如图，一个六边形木框显然不具有稳定性，要把它固定下来，至少要钉上_______根木条．
8．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段检测）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是______；_______
9．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）如图，在中，，，，过点作．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点的运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当以，，为顶点的三角形与全等时，________秒．
10．（2025·贵州·模拟预测）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是_______．
11．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，已知，过点作，点、在边上，连接、，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程．你添加的条件是：_______．
12．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？
【问题探究】如图1，，请你用圆规在的另一边找到点，使；这样的点有______个，说明符合条件的三角形有______种；此时（即“边边角”对应相等）两个三角形______全等．（填“一定”或“不一定”）
【探索思考】如图2，已知，若，则下列判断不正确的是（ ）
A．一定是钝角三角形 B．
C． D．的面积与的面积相等
13．（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，在中，，在中，．
(1)求证：；
(2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：．
14．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案：
主题 测量斜坡上一点的竖直高度
测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内)
根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度．
15．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】
数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题．
【思考发现】
(1)如图①，的理由是　　　　；
A． B． C． D．
(2)根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可）
【类比迁移】
(3)如图②，是的中线，交于点，交于点，．
求证：．
以下是部分证明过程：
证明：如图③，延长至点，使，连结．

请完成上述证明过程．
【学以致用】
(4)如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　．
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