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第04讲 线段垂直平分线与角平分线（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 线段垂直平分线的性质
典型例题二 线段垂直平分线的判定
典型例题三 根据垂直平分线的性质求长度、周长、角度
典型例题四 根据角平分线的性质求面积
典型例题五 根据角平分线的性质求长度
典型例题六 根据角平分线的性质求角度
典型例题七 角平分线的判定定理
典型例题八 角平分线性质的实际应用
知识点01 线段垂直平分线的定义及性质
1.定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。
2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证PA=PB.
证明：当点P与点C不重合时，
∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，的边，的垂直平分线交于点，若，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的性质是解决问题的关键．
由题意，结合垂直平分线的性质得到，再结合即可得到答案．
【详解】解：的边，的垂直平分线交于点，
，
，
，
故选：C．
2．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长是_______．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据题意得出，再结合图形，即可求解．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
，，
的周长．
故答案为：．
知识点02 垂直平分线的性质与判定
1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．
　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB．
2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。
证明：（1）当点P在线段AB上时，
∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.
∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
3.线段垂直平分线的作法
①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线，
②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；
③尺规法：
分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F；
过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。
4.总结
【即时训练】
1．（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理．
到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，据此解答即可求解．
【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，，点N在上，可以进一步推出．依据是_________．
【答案】线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质．先判断是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得到．
【详解】解：∵是边上的高，，
∴是的垂直平分线，
∵点N在上，
∴（线段垂直平分线的性质），
故答案为：线段垂直平分线的性质．
知识点03 角的平分线的性质
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
结论：PD=PE.
【提示】
（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
【即时训练】
1．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，平分，在上取一点，作，已知，的面积为，点是射线上一动点，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质，先求解，过P点作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：∵，的面积为，，
∴，
∴，
过P点作于H，如图：
∵平分，，，
∴，
∵点E是射线上的动点，
∴的最小值为，
故选：A．
2．（2026·湖南长沙·三模）如图，的两个外角的平分线，相交于点，连接若点到的距离为7，，则的面积为_________．
【答案】
28
【分析】根据角平分线的性质定理，推出点到的距离，再根据三角形的面积公式进行求解即可.
【详解】解：∵的两个外角的平分线，相交于点，
∴点到的距离等于点到的距离，点到的距离等于点到的距离，
∴点到的距离等于点到的距离，
∵点到的距离为7，
∴点到的距离为7，
∵，
∴的面积为.
知识点04 角的平分线的判定
内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点.
【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
【即时训练】
1．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段检测）如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角平分线的判定定理，过点D作于H，则，由角平分线的判定定理可得平分，则．
【详解】解：如图所示，过点D作于H，
∵中边上的高为3，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴平分，
∵，
∴，
故选：D．
2．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则________ ．
【答案】/25度
【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理以及判定定理．
过F作于M，于N，于K，由角平分线的性质定理推出，，得到，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，求出．
【详解】解：过F作于M，于N，于K，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵于M，于N，
∴平分，
∴．
故答案为：．
【典型例题一 线段垂直平分线的性质】
【例1】（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（ ）
A．17 B．18 C．16 D．12
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
的周长为20，
，
，
，
的周长．
【例2】（25-26八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，中，，的垂直平分线交于E，交于点D，若，，则的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【分析】由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∴，
∴．
【例3】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，若的周长为，．则的周长为___________．
【答案】
【分析】根据线段垂直平分线的性质，推出，从而将的周长转化为，最后结合三角形周长公式计算即可．
【详解】解：边的垂直平分线分别交于点
的周长为
即
的周长
【例4】（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别与交于点M，N，若，则的周长是_____________．
【答案】6
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形周长计算公式求解即可．
【详解】解：∵的垂直平分线分别与交于点M，
∴，
∵，
∴的周长，
故答案为：6．
1．（2026·陕西西安·二模）如图，在锐角中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】
解：如图，点即为所作，使．
【分析】作的垂直平分线，交于点，连接，则，故可得．
【详解】略
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F，连接，．当与满足什么条件时，是的角平分线？为什么？
【答案】解：当垂直平分时，是的角平分线；
理由如下：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴是的角平分线．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据角平分线的判定定理即可证得是的角平分线．
【详解】略
3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)画出线段关于所在直线对称的线段（点，分别为A，B的对应点）；
(2)将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，画出线段（点，分别为A，B的对应点）；
(3)连接，在所给的网格图中描出一个格点E，使得直线是线段的垂直平分线．
【答案】(1)
解：如图，线段即为所求；
(2)
解：如图，线段即为所求；
(3)
解：如图，点E即为所求．（答案不唯一）
【分析】（1）利用轴对称性质，通过找对称点来画出对称线段；
（2）依据旋转性质，确定旋转后的对应点，进而画出旋转后的线段；
（3）根据线段垂直平分线的性质，借助网格确定垂直平分线上的格点．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
【典型例题二 线段垂直平分线的判定】
【例1】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，，，则有（ ）
A．是等腰三角形 B．垂直平分
C．垂直平分 D．与互相垂直平分
【答案】C
【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定定理推理，即可解题．
【详解】解：，，
A、B在的垂直平分线上，
即垂直平分（但不一定垂直平分）．
故选：C．
【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，下列条件不能判定直线为线段的垂直平分线的是（ ）
A．且 B．且
C．且平分 D．且
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键．结合全等三角形的判定与性质，根据线段垂直平分线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、∵且，
∴直线是线段的垂直平分线，故A符合题意；
B、∵且，
∴直线是线段的垂直平分线，故B不符合题意；
C、∵且平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，故C不符合题意；
D、∵且，
∴直线是线段的垂直平分线，故D不符合题意；
故选：A．
【例3】（24-25八年级上·山西晋城·期末）小明在纸上画出线段及它的中点O，再过点O画出与垂直的直线，沿直线将纸对折．发现与重合，则直线称为线段的__________．
【答案】垂直平分线/中垂线
【分析】根据线段垂直平分线的定义，即可得到直线称为线段的垂直平分线．
【详解】解：∵沿直线将纸对折．发现与重合
∴
∵点O画出与垂直的直线
∴
∴直线称为线段的垂直平分线
故答案为：垂直平分线
【点睛】本题考查了线段垂直平分线定义，理解线段垂直平分线的定义是解题的关键．
【例4】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，一形状为四边形的风筝（四边形），测量得：， cm， cm， cm，则此风筝的大小为（即四边形的面积）_______cm2．
【答案】3360
【分析】先证明是的垂直平分线，再利用对角线互相垂直的四边形的面积是对角线乘积的一半即可求解．
【详解】∵， cm
∴是的垂直平分线．
∴
∴ cm2
故答案是3360．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定和对角线互相垂直的四边形的面积公式，证明对角线垂直和记忆公式是解题的关键．
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P．
【答案】证明：如图，连接，
∵点P在边的垂直平分线上，
∴(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)，
同理：，
∴，
∴点P在线段的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，
∴边的垂直平分线经过点P．
【分析】如图，连接，利用垂直平分线的性质以及等量代换可得，即点 P在线段的垂直平分线上，从而证明结论．
【详解】略
2．（24-25八年级下·山西太原·阶段检测）如图，在中，，是的角平分线．
(1)尺规作图：求作的高线；
(2)在（1）的条件下，连接，求证：垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（）过点作的垂线即可；
（）证明，得到，，再根据线段垂直平分线的判定即可求证；
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）证明：如图，
由（）得是的高线，
∴，
∴，
∵，
∴,
∵是的角平分线，
∴,
在和中,
，
∴，
∴，，
∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点．
(1)求证：；
(2)求证：垂直平分；
(3)若，的面积为，求的面积．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)24
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据题意易得，，然后根据“”证明即可；
（2）由全等三角形的性质可得，结合“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”即可证明垂直平分；
（3）首先确定，结合易得，然后由求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴垂直平分；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即的面积为24．
【典型例题三 根据垂直平分线的性质求长度、周长、角度】
【例1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，由作图可知直线是线段的垂直平分线，进而由线段垂直平分线的性质即可求解，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线，
∴，
故选：．
【例2】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由线段垂直平分线的性质得出，，由三角形内角和定理得出，等量代换可得出，再利用角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：∵分别是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【例3】 （24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，根据作图痕迹及相关信息推断的度数为___________．
【答案】
【分析】本题考查垂直平分线与角平分线，掌握知识点是解题的关键．
根据垂直平分线与角平分线的性质，即可解得．
【详解】由作图，点A在的垂直平分线上，是的垂直平分线，
∴
∴
∴．
故答案为．
【例4】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，中，是的垂直平分线，如果，的周长为，则的周长为______．

【答案】
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质；由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到线段相等，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
【详解】解：垂直平分，
根据线段垂直平分线的性质可得，，
又的周长，
的周长．
故答案为：．
1．（25-26八年级上·福建南平·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，已知，的周长等于．
(1)求的周长；
(2)尺规作图，在射线上求作一点F，使等于的周长．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)22
(2)见解析
【分析】本题考查垂直平分线的性质，作一条线段等于已知线段．
（1）根据垂直平分线的性质得到，从而由的周长等于可得到，即可求解；
（2）以点C为圆心，的长为半径作弧，交射线于点F，则，即点F为所求．
【详解】（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴．
（2）解：如图，点F为所求．
2．（25-26八年级上·江西南昌·期中）已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接．
(1)若，，求的长；
(2)若的周长为，，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键．
（1）由线段垂直平分线的性质得，再求出即可求解；
（2）先根据的周长为求出，由线段垂直平分线的性质得，进而可求出的长．
【详解】（1）解：垂直平分，
，
，，
，
．
（2）解：的周长为，，
，
垂直平分，
，
．
3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，垂直平分线．
(1)求作：的角平分线交于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，分别连接，，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据作角平分线的方法作出的角平分线交于点F即可；
（2）过点作于点M，交的延长线于点N．证明，推出，可得结论．
【详解】（1）解：如图，即为的角平分线；
（2）解：如图，过点作于点M，交的延长线于点N．
∵平分，，，
∴，
∵垂直平分线段，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【典型例题四 根据角平分线的性质求面积】
【例1】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，是的角平分线，，分别是和的高，，，的面积是30，则的面积是（ ）
A．36 B．30 C．24 D．66
【答案】A
【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算问题，角平分线的性质定理等知识点，解题关键是掌握角平分线的性质并能熟练运用它来求解．
先根据角平分线的性质，得出，再根据的面积是30，求得，从而可求得的面积．
【详解】解：∵AD是的角平分线，DE，DF分别是和的高，
∴，
∵的面积是30，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的面积是，
故选：A．
【例2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，是的平分线，若，则的面积是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等．作，可得，据此即可求解．
【详解】解：作，如图所示：
∵是的角平分线，，，
∴，
∴的面积．
故选：A．
【例3】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，是的角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是___________．
【答案】8
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等．
过点D作，，垂足分别为、，根据角平分线的性质和三角形的面积先求出点D到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论．
【详解】解：如图，过点D作，，垂足分别为、，
∵是角平分线，
∴，
设，
∵，即
∴，
解得，
∴，
∵是中的中线，
∴．
故答案为：8．
【例4】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，点F，G分别是AB，AC上的点，且DF＝DG，△ADG与△DEF的面积分别是10和3，则△ADF的面积是 _____．
【答案】4
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF≌Rt△DHG，根据全等三角形的面积相等可得，然后根据求解即可得出答案．
【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE＝DH，
在Rt△DEF和Rt△DHG中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DHG（HL），
∴，
同理Rt△ADE≌Rt△ADH，
∴＝10﹣3＝7，
∴＝7﹣3＝4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．
1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知：如图，平分，，，垂足分别为E，F，且．若和的面积分别为49和31，请求出的面积．
【答案】
【分析】由“”可证，可得，证明，得，设和的面积分别为x和y，列出方程组求解即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
【详解】解：平分，，，
，，
，，
，
在和中，
，
∴，
，
，，
，
，
和的面积分别为49和31，
设和的面积分别为x和y，
，
，
的面积为
2．（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，E为的中点，平分，与相交于点O，若的面积比的面积大1，则的面积是多少？
【答案】
【分析】本题考查三角形的面积、角平分线的性质定理、三角形的中线等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
作于M，于N，得出，，设的面积为S．则，，得出，求解即可．
【详解】解：如图所示，作于M，于N．
∵平分于于N，
∴，
∴，
设的面积为S．则，，
∵的面积比的面积大1，
∴的面积比的面积大1，
∴，
∴．
3．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，点E是的平分线上一点，的两边分别与的两边交于点M，N，且，于点C，若和的面积分别为50和30．请求出的面积．
【答案】10
【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
过点E作于点D，证明，利用证明，进而解决问题．
【详解】解：过点E作于点D，
，
，平分，
， ，
，
，
，
，
，
即，
在和中
，
，
∴，
在和，
，
，
∴，
设，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
∴
【典型例题五 根据角平分线的性质求长度】
【例1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．若，则点G到的距离为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
过点G作于点H，由作图过程可知，射线为的平分线，可得，则点G到的距离为6．
【详解】解：过点G作于点H，
由作图过程可知，射线为的平分线，
∵，，
∴，
∴点G到的距离为6．
故选：A．
【例2】（2025·天津宝坻·二模）如图，中，已知，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理．利用勾股定理求得的长，利用角平分线的性质得到，再利用等积法求得，据此求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
作，垂足为，
由作图知，是的平分线，
∵，，
∴，
∵，
即，
解得，
∴，
故选：C．
【例3】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点D，E；分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点G．若，且的面积为10，则的长为_________．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，尺规作角平分线，解题的关键是作出辅助线，根据三角形面积公式求出，根据角平分线性质求出．
【详解】解：如图，作于点M，
∵，的面积为10，
∴，即，
解得：，
由作图知平分，
∴，
故答案为：．
【例4】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，的面积为24，则的长为___________．
【答案】3
【分析】首先过点作的垂线交于点，根据角平分线的尺规作图方法可知：平方，，再根据角平分线的性质，可得，然后设，再根据，即可得出方程，解出即可得出的长．
【详解】解：如图，过点作的垂线交于点，
由题意可知：平分，
∵，
∴，
设，
∵，
又∵，
，
又∵，
∴，
解得：，
即．
故答案为：
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图方法和角平分线的性质，解本题的关键在根据题意得出平方．
1．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在直角中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F；②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G；③作射线交于点D；若，，求的长．

【答案】
【分析】本题考查角平分线的作法和性质，勾股定理，三角形的面积公式等知识，利用等面积法求是解题的关键．
利用勾股定理求出，过点作于点，根据角平分线的性质可知，再用等面积法即列出方程即可求出的长．
【详解】解：在直角中，，，，

∴，
过点D作于点H，
依题意得：是的角平分线，
又∵，即，，
∴．
设，
∵，
即，
∴，
∴，
即．
2．（2025·湖南长沙·三模）如图，在中，．以点为圆心，以任意长为半径作弧交，于点，，以点，为圆心，以大于的长为半径分别作弧，两弧交于点．连接并延长交于点．
(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现射线是的______；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)角平分线
(2)
【分析】本题考查基本尺规作图-作角平分线、角平分线的性质、勾股定理等知识，掌握基本尺规作图-作角平分线及等面积法求线段长是解决问题的关键．
（1）由基本尺规作图-作角平分线操作步骤，结合图中痕迹即可得到答案；
（2）过点作，如图所示，由角平分线性质得到，在中，由勾股定理求出，数形结合，由，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：通过观察尺规作图的痕迹，可以发现射线是的角平分线，
故答案为：角平分线；
（2）解：过点作，如图所示：
由（1）知是的角平分线，，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，
，即，
，
解得．
3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）（1）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，，求的长．
（2）如图，是的角平分线，于点E，，，，求的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等和角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得出，结合求解即可；
（2）过点D作于F，根据角平分线的性质得出，再结合和三角形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）由作图知，是线段的垂直平分线，
∴．
∵，，
∴；
（2）过点D作于F，如图，
∵是的角平分线，，
∴，
∴，
∴．
【典型例题六 根据角平分线的性质求角度】
【例1】（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的性质和判定，作于点，于点，交的延长线于点，根据角平分线的性质，推出，进而得到平分，得到，即可得出结果．
【详解】解：作于点，于点，交的延长线于点，
∵与的角平分线交于点E，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∴只需要知道的度数即可求出的度数；
故选C．
【例2】（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，是的平分线，点，分别在射线和上，且．是射线上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，过作于点，过作于点，根据角平分线的性质可得，然后分当在点右侧时，当在点左侧时两种情况，分别通过全等三角形的判定与性质即可求解，掌握以上知识点及分类讨论是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于点，过作于点，
∵是的平分线，
∴，
当在点右侧时，如图，则，
∵，
∴，
∴，即，
当在点左侧时，如图，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上可得：的度数为或，
故选：．
【例3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，是的中点，平分，若，则的度数为_________．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，解答此题的关键是根据题意作出辅助线；构造出全等三角形，再由全等三角形的性质解答．
【详解】解：过点作于，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为： ．
【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是内的射线，，，垂足分别为，且，，则的度数为_________．
【答案】
【分析】先求出平分，再结合已知的度数求出的度数．
【详解】解：∵,，且，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，解题关键是熟练掌握角平分线的判定定理．
1．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，，于D，于G，∠1＝40°．
(1)求∠2的度数；
(2)若CD平分∠ACB，求∠AED的度数．
【答案】(1)40°
(2)80°
【分析】（1）根据题意得出GFCD，则∠2=∠BCD，根据DEBC，可得∠1=∠BCD，据此即可得解．
（2）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠AED的度数．
【详解】（1）解：∵CD⊥AB，FG⊥AB，
∴GFCD，
∴∠2=∠BCD，
∵DEBC，
∴∠1=∠BCD，
∴∠1=∠2，
∵∠1=40°，
∴∠2=40°；
（2）解：∵DEBC，
∴∠1=∠BCD，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠ACD=∠1，
∵∠1=40°，
∴∠ACD=40°，
∴∠ACB=2∠ACD=80°，
∵DEBC，
∴∠AED=∠ACB=80°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线．熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
2．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
(1)的度数是 ；
(2)求证：平分；
(3)若，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
证明：如图，过点作于点，作于点，
平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，
，
又点在的内部，
平分．
(3)
【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用；
（1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得；
（2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证；
（3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）解：，
，
，
，
．
（2）略
（3）解：如图，过点作于点，作于点，
由（2）已得：，
设，
，
，
，即，
又，
，
，
，
的面积为．
3．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）已知：，，，是从点O引出的三条射线．

(1)如图1，若平分，平分，当时，　　　　　　；当射线绕点O在内部旋转时，　　　　　　．
(2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余．
(3)如图3，当射线在外，若，平分，平分．
①当小于时，猜想与的关系，并说明理由．
②当大于而小于时，直接写出的度数．
【答案】(1)，；
(2)见详解；
(3)①和互余，理由见解析；②．
【分析】本题考查了角平分线的定义、余角等知识，熟练掌握角平分线的计算是解题关键．
（1）先根据角的和差可得，根据角平分线的定义可得，，然后根据求解即可；根据角平分线的定义可得，，然后根据求解即可得；
（2）根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差得即可解答；
（3）①根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差得即可解答；
②根据角平分线的定义可得，，，然后根据角的和差得求解即可．
【详解】（1）解：平分，
，
，
，
平分，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
故答案为：，；
（2）平分，
，
平分，
，
，
和互余；
（3）①如图，当小于时，

平分，
，
平分，
，
，
和互余；
②如图，当大于而小于时，

平分，
，
平分，
，
．
的判定即可得证．
【详解】略
【典型例题七 角平分线的判定定理】
【例1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，从小树处延伸出两段小路，，到，的距离均为米，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的判定，根据已知可得是的角平分线，即可求解．
【详解】解：∵到，的距离均为米，
∴是的角平分线，
∵，
∴
故选：B．
【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知点在的外部、的内部．若点到，的距离相等，则下列关于点位置的说法最准确的是（ ）
A．点在的平分线上
B．点在的平分线上
C．点在的平分线上
D．是的平分线的交点
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的判定，根据到角两边相等的点在角的角平分线上，进行判断即可．
【详解】解：∵点到，的距离相等，
∴点在的平分线上，在的平分线上，在角平分线上，
∴是的平分线的交点；
故选D．
【例3】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________．
【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
【详解】
解：两个完全一样的三角尺，
且，
根据角的平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，
平分．
【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，于点B，于点C，，则的度数为_______．
【答案】55°
【分析】本题考查了角平分线的性质，牢记角平分线的性质（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）是解题的关键．
根据，，，可得为的角平分线．
【详解】解：∵，，，
∴为的角平分线，
∴，
故答案为： ．
1．（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P．
【答案】证明：过点P分别作，，，
是的角平分线，
（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）．
同理，．
．
点P在的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即的平分线经过点P．
【分析】过点P分别作，，，根据角平分线的性质得出，然后根据角平分线
2．（25-26八年级下·山西运城·期中）如图，已知，王老师提出一个问题：能不能利用有刻度的直尺作出的平分线？小宇同学利用两把完全相同的直尺，设计了一种独特的作一个角的平分线的方法：在中，将两把直尺按照如图所示的方式摆放，则射线为的平分线．请你说明小宇的思路有没有道理？请说明理由．
【答案】小宇的思路有道理，理由见解析
【分析】作，垂足为，根据题意，可得，根据角平分线的判定定理，可得点在的角平分线上，即可说明射线为的平分线．
【详解】解：小宇的思路有道理，
理由如下：作，垂足为，
根据题意，两把直尺完全相同，即宽度相同，
，
，，
点在的角平分线上，
射线为的平分线．
3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知于点，于点，，相交于点，．
(1)写出图中所有全等三角形并证明；
(2)求证：点在的平分线上．
【答案】(1)，，证明见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，掌握全等三角形的判定条件是解题关键．
（1）利用垂直得到直角，结合对顶角相等及，先证得，再结合公共角和直角，证明．
（2）由得，结合与，根据角平分线判定定理证得结论．
【详解】（1）解：，，证明如下：
，，
,
，
，
，
，
即，
，
.
（2）证明：由（1）知，可得，
又，，
点在的平分线上．
【典型例题八 角平分线性质的实际应用】
【例1】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质，即可求解．
【详解】解：如图1，作两内角的角平分线，交于点，即所求中转站地址；
理由：两内角的角平分线，交于点，
，，
，即点到三条公路的距离相等；
同理可得，如图2，图3，图4，作两外角的角平分线，交于点，即所求中转站地址．
综上所述，可供选择的地址有四处．
【例2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，
∴应建在三条角平分线的交点．
故选：C．
【例3】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，平分，，，则的长为______．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点，根据角平分线的性质得出．结合三角形的面积求出的值，即可求解．
【详解】解：作于点，如图：
∵，
∴，
∵平分，，，
∴．
∵，，
故，
即．
故答案为：．
【例4】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在______．
【答案】三条角平分线的交点处
【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可．
【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处．
故答案为：三条角平分线的交点处．
1．（24-25八年级上·四川眉山·期末）为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质，解答本题的关键是熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作图以及性质．
根据线段垂直平分线和角平分线的性质即可画出中转站的位置．
【详解】解：如图所示：点即为中转站．
作线段的垂直平分线，
两条公路的夹角的平分线，
两条线相交于点．
2．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，在中，，过点作于点，的平分线交于点，交于点，过点作于点．
(1)求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的应用：
（1）用等面积法求出，从而可求；
（2）证明，求出，设，在中利用勾股定理求出x，从而求出，从而得证．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
在中，由勾股定理，得，即，
解得：，
3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H．
平分
，
即．
新知应用：
(1)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(2)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系．
（1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出．
（2）根据探索新知中，结合已知，直接得．
（3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出
由，代入计算得结果．
【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H
由探索新知，是的角平分线时，
，
∵，，
∴．
设，，
∴，
∴．
（2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H
由探索新知可知，对于，是角平分线时：
，
，
∵
∴．
∵，
∴．
故答案为；
（3）∵平分，
∴点D到，的距离相等，
∴，
∵，
∴，，
同理平分，
∴，
∴，，
连接，过点F作,，分别垂直于，，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
∴平分，
∴点F到，，三边的距离相等，
∴，
∵
∴，，，
∴
．
故答案为．
1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，点D在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．3 D．7
【答案】D
【分析】由线段垂直平分线的性质可得，又由的周长等于15，可得，继而求得答案；
【详解】解：∵点D在边的垂直平分线上，
∴，
∵，的周长为15，
∴，
∴．
2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解．
【详解】解：过点作于点，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
3．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（ ）
A．平分和 B．垂直平分
C． D．
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可．
【详解】解：，，
点，都在线段的垂直平分线上 ，
垂直平分，故B选项正确；
在和中，
，
，，
平分和，故A选项正确 ；
垂直平分，在上 ，
，
在和中，
，
，故C选项正确 ；
与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ．
4．（2025·贵州遵义·一模）如图，、，垂足分别为E、F，若，，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法；根据证明，即可判断①；根据，，且，得出平分，即可判断②；根据全等三角形的性质得出，根据，即可等量代换得到，结合即可判断③；通过证明，得出，则，即可得出，即可判断④．
【详解】解：
，
在和中，
，
，
，故正确；
且，
平分，故正确；
∵，
，
又，
，
而，
结论错误；
在和中，
，
，
，
，
，
即，故正确；
综上所述，正确的有①②④．
故选：B．
5．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：如图：过点作，垂足为点F，
∵C是的中点，，
∴，
∵，，射线是的平分线，
．
故选：B．
6．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，是上一点，已知，则点在线段__________的垂直平分线上．
【答案】/
【分析】根据已知得出，根据线段垂直平分线定理得出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴D在的垂直平分线上，
7．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，是内一点，于点，于点，于点，且，若，则______.
【答案】/度
【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形内角和定理的应用；根据题意可得平分，平分，进而根据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】，，，且，
平分，平分
∴，
，
，
，
．
故答案为：．
8．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，点是上一点，，，且，则点到的距离为__________．
【答案】4
【分析】由，，可得，由，可求，如图，作于，则点D到的距离为，由角平分线的性质可得．
【详解】解：，，
∴，即，
又∵，
∴，
如图，作于，则点D到的距离为，
∵，，，
∴．
9．（2026·湖南永州·二模）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________．
【答案】22
【分析】由作图可得，垂直平分，得到，然后等量代换即可得到的周长．
【详解】解：由作图可得，垂直平分，
，
的周长为．
10．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若，DE＝4，AB＝8，则AC长是______．
【答案】6
【分析】首先由角平分线的性质可知，然后由及三角形的面积公式得出结果．
【详解】解：是中的平分线，于点，交于点，
．
又，，
，
．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是利用三角形的面积求线段的大小．
11．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点P，使，且°．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图：点P即为所求．
【分析】作线段的垂直平分线和的角平分线，其交点即为所求．
【详解】解：如图：点P即为所求．
图略
12．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
(1)求证：．
(2)若，求证：直线垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（如）以及垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）通过角的和差关系得到，再结合已知条件用ASA证明，从而证得．
（2）利用和推出是的垂直平分线，结合全等三角形的性质得到，再结合，证明垂直平分．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）连接，
证明：，，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
∴点在的垂直平分线上，
又，
∴点在的垂直平分线上，
垂直平分．
13．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）由证明，即可得出结论；
（2）证明，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵平分，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
根据题意得： ，
∴．
14．（2025八年级上·江苏·专题练习）已知：如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：
(1)可选择的地点有几处？
(2)你能画出塔台的位置吗？
【答案】(1)4处
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的性质得出符合条件的点，即可得到答案；
（2）作出相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．
【详解】（1）解：可选择的地点有4处，如图：
、、、，共4处．
（2）解：能，如图，根据角平分线的性质，作三条直线相交的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到．
15．（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，中，于点．
(1)求证：平分，
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)4
【分析】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，解题关键是推出，注意：全等三角形的对应边相等．
（1）根据，可得，证明即可求证；
（2）根据（1）可得，，推出，代入即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
∴
∴，
∴，
∴平分，
（2）解：由（1）中可得，，
∴，
∵，
∴．
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第04讲 线段垂直平分线与角平分线（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 线段垂直平分线的性质
典型例题二 线段垂直平分线的判定
典型例题三 根据垂直平分线的性质求长度、周长、角度
典型例题四 根据角平分线的性质求面积
典型例题五 根据角平分线的性质求长度
典型例题六 根据角平分线的性质求角度
典型例题七 角平分线的判定定理
典型例题八 角平分线性质的实际应用
知识点01 线段垂直平分线的定义及性质
1.定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。
2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证PA=PB.
证明：当点P与点C不重合时，
∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，的边，的垂直平分线交于点，若，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长是_______．
知识点02 垂直平分线的性质与判定
1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．
　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB．
2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。
证明：（1）当点P在线段AB上时，
∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.
∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
3.线段垂直平分线的作法
①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线，
②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；
③尺规法：
分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F；
过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。
4.总结
【即时训练】
1．（24-25八年级下·四川巴中·期中）如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是边上的高，，点N在上，可以进一步推出．依据是_________．
知识点03 角的平分线的性质
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
结论：PD=PE.
【提示】
（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
【即时训练】
1．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，平分，在上取一点，作，已知，的面积为，点是射线上一动点，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·湖南长沙·三模）如图，的两个外角的平分线，相交于点，连接若点到的距离为7，，则的面积为_________．
知识点04 角的平分线的判定
内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点.
【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
【即时训练】
1．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段检测）如图，在中，，点在上，且中边上的高也为3，若，则的度数为（ ）
B． C． D．
2．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则________ ．
【典型例题一 线段垂直平分线的性质】
【例1】（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（ ）
A．17 B．18 C．16 D．12
【例2】（25-26八年级上·辽宁辽阳·期中）如图，中，，的垂直平分线交于E，交于点D，若，，则的周长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【例3】（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，若的周长为，．则的周长为___________．
【例4】（25-26八年级上·山西忻州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别与交于点M，N，若，则的周长是_____________．
1．（2026·陕西西安·二模）如图，在锐角中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F，连接，．当与满足什么条件时，是的角平分线？为什么？
3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)画出线段关于所在直线对称的线段（点，分别为A，B的对应点）；
(2)将线段绕点D顺时针旋转，得到线段，画出线段（点，分别为A，B的对应点）；
(3)连接，在所给的网格图中描出一个格点E，使得直线是线段的垂直平分线．
【典型例题二 线段垂直平分线的判定】
【例1】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，，，则有（ ）
A．是等腰三角形 B．垂直平分
C．垂直平分 D．与互相垂直平分
【例2】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，下列条件不能判定直线为线段的垂直平分线的是（ ）
A．且 B．且
C．且平分 D．且
【例3】（24-25八年级上·山西晋城·期末）小明在纸上画出线段及它的中点O，再过点O画出与垂直的直线，沿直线将纸对折．发现与重合，则直线称为线段的__________．
【例4】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，一形状为四边形的风筝（四边形），测量得：， cm， cm， cm，则此风筝的大小为（即四边形的面积）_______cm2．
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P．
2．（24-25八年级下·山西太原·阶段检测）如图，在中，，是的角平分线．
(1)尺规作图：求作的高线；
(2)在（1）的条件下，连接，求证：垂直平分．
3．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点．
(1)求证：；
(2)求证：垂直平分；
(3)若，的面积为，求的面积．
【典型例题三 根据垂直平分线的性质求长度、周长、角度】
【例1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例3】 （24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，根据作图痕迹及相关信息推断的度数为___________．
【例4】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，中，是的垂直平分线，如果，的周长为，则的周长为______．

1．（25-26八年级上·福建南平·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，已知，的周长等于．
(1)求的周长；
(2)尺规作图，在射线上求作一点F，使等于的周长．（不写作法，保留作图痕迹）
2．（25-26八年级上·江西南昌·期中）已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接．
(1)若，，求的长；
(2)若的周长为，，求的长．
3．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，垂直平分线．
(1)求作：的角平分线交于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，分别连接，，若，求的度数．
【典型例题四 根据角平分线的性质求面积】
【例1】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，是的角平分线，，分别是和的高，，，的面积是30，则的面积是（ ）
A．36 B．30 C．24 D．66
【例2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，是的平分线，若，则的面积是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．10
【例3】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，是的角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是___________．
【例4】（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，点F，G分别是AB，AC上的点，且DF＝DG，△ADG与△DEF的面积分别是10和3，则△ADF的面积是 _____．
1．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段检测）已知：如图，平分，，，垂足分别为E，F，且．若和的面积分别为49和31，请求出的面积．
2．（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，E为的中点，平分，与相交于点O，若的面积比的面积大1，则的面积是多少？
3．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，点E是的平分线上一点，的两边分别与的两边交于点M，N，且，于点C，若和的面积分别为50和30．请求出的面积．
【典型例题五 根据角平分线的性质求长度】
【例1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点G．若，则点G到的距离为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【例2】（2025·天津宝坻·二模）如图，中，已知，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（ ）
A．1 B． C． D．3
【例3】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点D，E；分别以D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点G．若，且的面积为10，则的长为_________．
【例4】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，的面积为24，则的长为___________．
1．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在直角中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点E，F；②分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G；③作射线交于点D；若，，求的长．

2．（2025·湖南长沙·三模）如图，在中，．以点为圆心，以任意长为半径作弧交，于点，，以点，为圆心，以大于的长为半径分别作弧，两弧交于点．连接并延长交于点．
(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现射线是的______；
(2)若，，求的长．
3．（24-25八年级上·浙江金华·期中）（1）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，，求的长．
（2）如图，是的角平分线，于点E，，，，求的长．
【典型例题六 根据角平分线的性质求角度】
【例1】（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，是的平分线，点，分别在射线和上，且．是射线上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【例3】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，是的中点，平分，若，则的度数为_________．
【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是内的射线，，，垂足分别为，且，，则的度数为_________．
1．（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，，于D，于G，∠1＝40°．
(1)求∠2的度数；
(2)若CD平分∠ACB，求∠AED的度数．
2．（24-25八年级上·天津南开·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
(1)的度数是 ；
(2)求证：平分；
(3)若，且，求的面积．
3．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）已知：，，，是从点O引出的三条射线．

(1)如图1，若平分，平分，当时，　　　　　　；当射线绕点O在内部旋转时，　　　　　　．
(2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余．
(3)如图3，当射线在外，若，平分，平分．
①当小于时，猜想与的关系，并说明理由．
②当大于而小于时，直接写出的度数．
【典型例题七 角平分线的判定定理】
【例1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，从小树处延伸出两段小路，，到，的距离均为米，若，则（　　）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知点在的外部、的内部．若点到，的距离相等，则下列关于点位置的说法最准确的是（ ）
A．点在的平分线上
B．点在的平分线上
C．点在的平分线上
D．是的平分线的交点
【例3】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________．
【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，于点B，于点C，，则的度数为_______．
1．（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P．
2．（25-26八年级下·山西运城·期中）如图，已知，王老师提出一个问题：能不能利用有刻度的直尺作出的平分线？小宇同学利用两把完全相同的直尺，设计了一种独特的作一个角的平分线的方法：在中，将两把直尺按照如图所示的方式摆放，则射线为的平分线．请你说明小宇的思路有没有道理？请说明理由．
3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知于点，于点，，相交于点，．
(1)写出图中所有全等三角形并证明；
(2)求证：点在的平分线上．
【典型例题八 角平分线性质的实际应用】
【例1】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【例2】（25-26八年级上·上海·阶段检测）上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【例3】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，平分，，，则的长为______．
【例4】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在______．
1．（24-25八年级上·四川眉山·期末）为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
2．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，在中，，过点作于点，的平分线交于点，交于点，过点作于点．
(1)求的长；
(2)求证：．
3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H．
平分
，
即．
新知应用：
(1)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(2)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）．
1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，点D在边的垂直平分线上，的周长为15，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．3 D．7
2．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（ ）
A．平分和 B．垂直平分
C． D．
4．（2025·贵州遵义·一模）如图，、，垂足分别为E、F，若，，则以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
5．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，是上一点，已知，则点在线段__________的垂直平分线上．
7．（24-25八年级上·湖北十堰·阶段检测）如图，是内一点，于点，于点，于点，且，若，则______.
8．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，点是上一点，，，且，则点到的距离为__________．
9．（2026·湖南永州·二模）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________．
10．（24-25八年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若，DE＝4，AB＝8，则AC长是______．
11．（2026·山东青岛·模拟预测）如图，已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点P，使，且°．（保留作图痕迹，不写作法）
12．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．
(1)求证：．
(2)若，求证：直线垂直平分．
13．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
14．（2025八年级上·江苏·专题练习）已知：如图，直线，，表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：
(1)可选择的地点有几处？
(2)你能画出塔台的位置吗？
15．（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，中，于点．
(1)求证：平分，
(2)若，求的长．
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