资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第05讲 等腰三角形（4大知识点+14大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 等腰三角形的定义
典型例题二 等边对等角
典型例题三 三线合一
典型例题四 格点图中画等腰三角形
典型例题五 找出图中的等腰三角形
典型例题六 根据等角对等边证明等腰三角形
典型例题七 根据等角对等边证明边相等
典型例题八 根据等角对等边求边长
典型例题九 等腰三角形的性质和判定
典型例题十 等边三角形的判定和性质
典型例题十一 含30度角的直角三角形
典型例题十二 斜边的中线等于斜边的一半
典型例题十三 直角三角形的两个锐角互余
典型例题十四 锐角互余的三角形是直角三角形
知识点01 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD.
在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”.
由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．等腰三角形的两个底角相等
D．全等三角形的对应角相等
2．（24-25八年级下·广西南宁·期中）将一副三角板按如图所示方式摆放（点E落在上），连接，若，则的长为 ________
知识点02 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，是线段的中垂线．下列选项不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积；④．其中正确的结论有______．
知识点03 等边三角形的概念与性质
1.等边三角形概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形；也称为正三角形。
注意：
等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
2.等边三角形的性质
（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
（2）三个角都是60°
【即时训练】
1．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在等边三角形中，是高，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（25-26八年级上·吉林延边·期中）若等边三角形的边长是，则的周长是______．
知识点04 等边三角形的判定
1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形．
2.三个角都相等的三角形是等边三角形．
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【即时训练】
1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，①若，则为等边三角形；②若，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；④一个角为的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25八年级下·山西太原·期中）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形．
【典型例题一 等腰三角形的定义】
【例1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ）
A． B． C．或 D．
【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，且，以为边作等边三角形，若周长为，那么为________．
1．（25-26七年级下·河南开封·期末）小明用边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架．
(1)若x为奇数，求x的值；
(2)若围成的三角形铁架为等腰三角形，求这个等腰三角形的周长．
2．（25-26八年级上·山东滨州·期末）已知，，为的三边长．
(1)若为等腰三角形，且周长为13，已知，求，的值；
(2)若，满足，且是整数，求的值．
3．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，与相交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由．
【典型例题二 等边对等角】
【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将一个平板保护套展开放置在水平桌面上，其示意图如图所示．若，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.25
【例3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰中，，若，则的度数为______．
1．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在，中，，，，点，，三点在同一直线上，连接．
(1)与全等吗？为什么？
(2)试猜想，有何关系？并说明理由．
2．（2026·河北承德·二模）【情境】已知，求作的平分线，除了基本的尺规作图方法外，嘉嘉、淇淇两位同学提供了如下两种正确的作法．
【操作】嘉嘉、淇淇的作法如图1和图
嘉嘉 淇淇
步骤 ①利用直尺和三角板作； ②_____； ③作射线，即为所求． ①利用圆规截取； ②过点C，D作垂线，相交于点P； ③作射线，即为所求．
作图
【探究】
(1)根据图1的作图痕迹，嘉嘉的第②步应是“以点______为圆心，______长为半径画弧，与交于点P”；
(2)根据淇淇的作图过程，请证明图2中的射线符合要求．
3．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．
【模型呈现】
(1)如图①，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由；
(2)【模型应用】如图②，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为________；
(3)【深入探究】如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由．
【典型例题三 三线合一】
【例1】（2026·云南普洱·二模）如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2026·江苏无锡·二模）如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合
D．三角形具有稳定性
【例3】 （25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在等边中，于点D，若，则______．
1．（2026·陕西西安·三模）如图四边形中，于点，，连接、交于点，若点是的中点，．求证：．
2．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，D是边的中点，P是上任意一点，于点E，于点F．求证：
(1)；
(2)．
3．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，等边三角形的边长为8，点E是边上一动点（不与点B，C重合），以为边在的下方作等边三角形，连接，．
(1)在运动的过程中，与有何数量关系？请说明理由．
(2)当时，求的度数．
【典型例题四 格点图中画等腰三角形】
【例1】（2025·陕西渭南·一模）在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（ ）个
A．2个 B．5个 C．3个 D．1个
【例3】（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，随机选取另一个格点C （不与A，B重合） ， 得到的为等腰直角三角形的点C的个数为__________．
1．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用直尺或三角板，分别按下列要求作图：（要求：点、、都在格点上）
(1)作的边上的中线；
(2)作的边上的高线；
(3)作射线平分．
2．（2026·安徽安庆·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点）．
(1)将先向左平移7个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到，画出平移后的；
(2)边与网格线交于点D，在边上作一点E，使得．
3．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图．
(1)在图①中，画出的中点；
(2)在图②中，画出线段的垂直平分线，且、在格点上；
(3)在图③中，画一个以为腰且面积最大的等腰三角形，且在格点上．
【典型例题五 找出图中的等腰三角形】
【例1】（24-25八年级下·山西太原·阶段检测）如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．4个 B．3个 C．5个 D．1个
【例2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【例3】（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．

1．（24-25八年级上·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．

(1)求证：；
(2)直接写出图中所有的等腰三角形．
2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：矩形内有一点．
求作：等腰直角，使它的直角顶点为，斜边落在边上．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，已知等边中，D、E分别是上的点，连接．
(1)若，求证：是等边三角形；
(2)如图2，若D、E分别为中点，连接，与相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（与除外）
【典型例题六 根据等角对等边证明等腰三角形】
【例1】（24-25八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，已知和的平分线交于点F，过F作交AB于点D，交AC于点E，如果，．那么等于（ ）

A．1 B．5 C．9 D．10
【例2】（24-25八年级下·福建三明·阶段检测）老师在黑板上画出了如图所示的3个三角形，则下列说法中错误的是（ ）
A．①是不等边三角形 B．②③都是等腰三角形
C．③是等边三角形 D．①②都是等腰三角形
【例3】 （24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知一块四边形草地，其中，，，，则这块土地的面积为______．

1．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，射线平分．请用尺规作图法在射线上作一点P，连接，使得是等腰直角三角形，且为斜边．（不写作法，保留作图痕迹）
2．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在中，是中线，．
(1)若，求的度数；
(2)过点作，交于点．求证：是等腰三角形．
3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，，求和的长．
【典型例题七 根据等角对等边证明边相等】
【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，若，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．
【例2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知长方形纸片，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为．则是（ ）．
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【例3】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，已知．与的平分线，交于点O，过点O作，交，于点M，N．若，，则的周长=______．
1．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，点D，E在的边上，，．求证：．
2．（2026·河北廊坊·二模）如图，点B，E，C，F在直线l上，，相交于点，，，．求证：
(1)；
(2)是等腰三角形．
3．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图①，在中，，分别平分和，过点作直线，交于点，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：；
(3)如图②，若将题干中的条件“，分别平分和”改成“，分别平分和的外角”，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出和，的数量关系．
【典型例题八 根据等角对等边求边长】
【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
【例2】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，平分交于点，作，垂足为，连接，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，若，则的长是_________．
1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接．
(1)求证：．
(2)若平分，，求线段的长度．
2．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)过点D作于点M，若，求的长．
3．（24-25八年级下·四川德阳·阶段检测）如图1，一张长方形纸片，其中，，先沿对角线对折，点C落在点的位置，交于点G．
(1)求的面积；
(2)如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕，交于点M，求的长．
【典型例题九 等腰三角形的性质和判定】
【例1】（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在中，，的中垂线交于点，交于点，连接，若的周长为，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期中）如图，在等腰三角形中，，过点 C 作且，连接，若，则的面积为（ ）
A． B．9 C．18 D．36
【例3】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）图中三角形是等腰三角形．已知．点在点的( )方向上，点在点的东偏北( )方向上．
1．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在等腰中，、分别是、边上的中线，、相交于点，连接，求证：．
2．（25-26八年级上·重庆开州·期中）在学习了全等三角形和轴对称的知识后，小聪同学对等腰直角三角形进行了深入研究，发现等腰直角三角形两个底角顶点到过直角顶点的直线的距离之和与垂足之间的线段长度具有一定的数量关系，通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．根据她的想法，完成以下作图和填空：
(1)尺规作图：过点A作直线的垂线交于点E（只保留作图痕迹）
(2)如图，是等腰直角三角形，，在（1）的条件下，证明：．
证明：是等腰直角三角形
，①
②
，
③
在和中
小聪进一步发现，任意等腰直角三角形均有此特征．依据题意，写出正确命题：④
3．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）问题的解决策略：反思
【课本再现】
如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30°角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明．
【方法探究】
针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明．
(1)已知：如图2，是直角三角形，，．求证：．
证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接；
【知识应用】
如图3，等边的边长为8，点D在上，且，过D点作于点E，过点E作于点F，求的长．
【典型例题十 等边三角形的判定和性质】
【例1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）一个含角的三角尺如图①所示，用两个完全相同的这种三角尺恰好能拼成一个如图②所示的等边三角形．若，则（ ）
A．3 B． C．12 D．9
【例2】（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上___________填上一个适当的条件．
1．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点．
(1)求证：；
(2)求证：是等边三角形．
2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）将两个全等的直角三角形，拼成如图1所示的图形，其中．将 沿着线段 的方向平移到图2位置，连接，．
(1)求证：；
(2)若 ，，求 平移的距离．
3．（24-25八年级上·河南商丘·期中）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由．
小华与同桌小明讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况入手探索：
当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：______（填“>”、“<”或“=”）．
(2)一般情况进行论证：
对原题中的一般情形，与的大小关系是：______（填“>”、“<”或“=”）．
理由如下：如图2，过点作，交于点．（请你完成以下证明过程）
【典型例题十一 含30度角的直角三角形】
【例1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【例2】（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，则的长是（ ）
A． B．1 C． D．
【例3】（2026·上海浦东新·二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______．
1．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）在中，，点D在上，，，垂足分别为E，F，且，求的长．
2．（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，OC平分，将直角尺（宽度相同，上、下边互相平行）按如图所示的方式摆放，使直尺下边沿与边重合，刻度处的点落在边上，直尺上边缘与交于点，点对应的刻度为，，．
(1)求的长；
(2)直接写出的面积．
3．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）感知：如图1，平分，，，易知：．
(1)探究：如图2，平分，，，求证：．
(2)应用：如图3，在四边形中，，，，写出线段，和的数量关系．并说明理由．
【典型例题十二 斜边的中线等于斜边的一半】
【例1】（2026·云南玉溪·二模）如图，在中，，是的中点，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，在中，，根据以下步骤作图：（1）分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线，交于点D．若，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【例3】（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，公路互相垂直，公路的中点与点被池塘隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为_____．
1．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）如图，四边形中，，，分别是的中点．求证：．
2．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）已知：如图，在中，，点E是边的中点，在图中作点D，使得，且，分别连接，过点A作，垂足为点F．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，点B为边上一点（不与点A，E重合），连接，将绕点C旋转到的位置．
(1)若，请用表示的度数；
(2)连接，过点C作，求长的最小值．
【典型例题十三 直角三角形的两个锐角互余】
【例1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是斜边上的中线，，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级下·福建厦门·阶段检测）一张长方形纸片，沿着对角线折叠后的图形如图，交于点，已知，则________度．
1．（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）如图在中，，，以点C为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，CD交AB于点F．如图，当DE经过点B时，求证：；
2．（24-25八年级下·广东梅州·阶段检测）如图，为的角平分线，，于点，于点，连接交于点．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，猜测与间有何数量关系？请说明理由．
3．（24-25七年级下·山西长治·期末）阅读与思考．
请认真阅读并完成相应的问题：
“友爱三角形”的研究 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”．
(1)如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”，．则____________；
(2)如图在（1）基础上，作中边上的高，请判断和是不是“友爱三角形”，并说明理由．
【典型例题十四 锐角互余的三角形是直角三角形】
【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【例2】（24-25八年级下·重庆江津·阶段检测）如图，在四边形中，，与的角平分线交于点，点为中点，若，则（ ）

A． B． C． D．
【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，若，则___________；若，则___________，此时是___________三角形．
1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，和都是等腰直角三角形，．求证：
(1)；
(2)．
2．（2025·安徽蚌埠·二模）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B，C均在格点上，在图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图．（不要求写出画法，保留作图痕迹）
(1)在图中作四边形，且四边形是以直线为对称轴的轴对称图形；
(2)在图中作的边上的高．
3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，在中，于点O，，过点A作于点H，交于点P．
(1)求线段的长度；
(2)连接，求的度数；
(3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
1．（25-26七年级下·河南周口·期中）用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A． B． C．或 D．
2．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026·湖南永州·二模）将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点、分别与点、对应，若线段，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，中，，，D是的中点，连接，于点E，，那么的值为______．
7．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有_____个．
8．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号）
9．（2026·山东济南·一模）如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度．
10．（25-26八年级上·天津·期中）线段的端点A，B在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可，并用文字语言表述如何作图）
（1）在图①中找出格点D，使；____________
（2）在图②中画出非格点的点E，使．____________
11．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在中，，点D在外，，．求证：．
小明同学通过作辅助线构造全等三角形来解决此问题．根据他的想法与思路，完成以下的问题．
(1)用尺规过点A作的垂线，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，求证：．
12．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点B的对应点落在上，交于点E，在上取点F，使．
(1)求证：．
(2)求的度数．
13．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，点在的右侧，连接、，平分，过点作交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的长．
14．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，，，三点共线，和均为等边三角形．
(1)_____，试证：；
(2)如图，与交于点，与交于点，连接，
求证：；
猜想与的位置关系，并说明理由．
15．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，点为边的中点，为线段上动点（点不与点E，C重合），连接平分，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若交于点．
①求证：平分；
②如图2，交于点，连接交于点，，请判断与的大小关系，并说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第05讲 等腰三角形（4大知识点+14大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 等腰三角形的定义
典型例题二 等边对等角
典型例题三 三线合一
典型例题四 格点图中画等腰三角形
典型例题五 找出图中的等腰三角形
典型例题六 根据等角对等边证明等腰三角形
典型例题七 根据等角对等边证明边相等
典型例题八 根据等角对等边求边长
典型例题九 等腰三角形的性质和判定
典型例题十 等边三角形的判定和性质
典型例题十一 含30度角的直角三角形
典型例题十二 斜边的中线等于斜边的一半
典型例题十三 直角三角形的两个锐角互余
典型例题十四 锐角互余的三角形是直角三角形
知识点01 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD.
在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”.
由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．等腰三角形的两个底角相等
D．全等三角形的对应角相等
【答案】D
【分析】本题考查逆命题的概念及真假判断，全等三角形、等腰三角形、直角三角形的性质及垂直平分线的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题需先写出各命题的逆命题，再根据全等三角形、等腰三角形、直角三角形的性质及垂直平分线的判定进行分析，然后即可求解；
【详解】解：选项A：原命题为“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，逆命题为“到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上”，根据垂直平分线的判定定理，逆命题为真；
选项B：原命题为“直角三角形的两锐角互余”，逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，若两角互余，第三角必为，故逆命题为真；
选项C：原命题为“等腰三角形的两个底角相等”，逆命题为“三角形两角相等，则该三角形是等腰三角形”，根据等腰三角形的判定（等角对等边），逆命题为真；
选项D：原命题为“全等三角形的对应角相等”，逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，对应角相等仅能判定相似，无法保证全等（如大小不同的等边三角形），故逆命题为假；
综上，逆命题为假命题的选项是D，
故选：D
2．（24-25八年级下·广西南宁·期中）将一副三角板按如图所示方式摆放（点E落在上），连接，若，则的长为 ________
【答案】
【分析】
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是准确运用直角三角形的性质和勾股定理求出相关线段的长度，理清各线段的关系．先利用直角三角形性质求出的长，再根据即可求解．
【详解】
解：，
，
，
，
，
故．
故答案为：．
知识点02 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，是线段的中垂线．下列选项不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识．根据线段垂直平分线的性质得到，，则，即可判断选项．
【详解】解：∵是线段的中垂线．
∴，，
∴，
但无法推出，故选项D不正确，
故选：D.
2．（25-26八年级上·四川德阳·阶段检测）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③四边形的面积；④．其中正确的结论有______．
【答案】①②③④
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的三线合一的性质的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
根据等边证得，得到，再根据等腰三角形的性质求得，；四边形的面积分解为三角形和的面积求解．
【详解】解：在与中，
，
，故①正确；
，
，
，，故②④正确；
四边形的面积，故③正确．
故答案为：①②③④．
知识点03 等边三角形的概念与性质
1.等边三角形概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形；也称为正三角形。
注意：
等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
2.等边三角形的性质
（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
（2）三个角都是60°
【即时训练】
1．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在等边三角形中，是高，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据三线合一的性质求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，是高，，
∴，
故选：C．
2．（25-26八年级上·吉林延边·期中）若等边三角形的边长是，则的周长是______．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质，三边相等，周长等于边长乘以3．
【详解】解：等边三角形的边长是，
，
的周长是（），
故答案为：．
知识点04 等边三角形的判定
1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形．
2.三个角都相等的三角形是等边三角形．
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【即时训练】
1．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）在中，①若，则为等边三角形；②若，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；④一个角为的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的定义和判定定理，逐一分析各结论的正确性．
【详解】解：①，由等边三角形定义可知为等边三角形，正确；
② ，只能推出为等腰三角形，但无法保证三边相等或三角均为，错误；
③ 有两个角都是，则第三个角为，三角均为，为等边三角形，正确；
④ 一个角为的等腰三角形，则其余两角也均为，为等边三角形，正确；
综上分析可知：正确的结论有①、③、④，共3个．
故选：C．
2．（24-25八年级下·山西太原·期中）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求解．
【详解】解：括号内填（答案不唯一）可以使等腰成为等边三角形．
【典型例题一 等腰三角形的定义】
【例1】（25-26八年级上·四川泸州·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的底角相等以及三角形内角和列式计算，注意分类讨论．
【详解】解：等腰三角形两底角相等，
设底角为，
若为顶角，则，
解得：，
若为底角，则另一底角也为，顶角为，不成立，
只能是顶角，底角为，
故选：B．
【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形、全等三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．
根据和都是等腰直角三角形，得，，从而通过推导证明，得；再结合三角形内角和的性质，通过计算即可得到答案．
【详解】和都是等腰直角三角形，
，，
∵
，
故选：C．
【例3】（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，的周长为，且，以为边作等边三角形，若周长为，那么为________．
【答案】10
【分析】本题考查的是等边三角形的性质及等腰三角形的性质，
先根据等边三角形的周长求出其边长，再根据等腰三角形的性质得出其底边长即可．
【详解】解：∵等边的周长为45cm，
∴，
，
，
∵等腰的周长为40cm，
∴，
故答案为：10．
1．（25-26七年级下·河南开封·期末）小明用边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架．
(1)若x为奇数，求x的值；
(2)若围成的三角形铁架为等腰三角形，求这个等腰三角形的周长．
【答案】(1)或或或
(2)
【分析】（1）根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再取奇数即可；
（2）根据等腰三角形的定义得到x的值，再结合三角形三边关系进行取舍，即可求出周长．
【详解】（1）解：根据题意，得，
∴，
∵x为奇数，
∴x的值为5或7或9或11．
（2）解：边长分别为4，8，x（单位：）长的铁丝围成一个三角形铁架是等腰三角形，
∴或，
当时，三边长为4，8，4，
由于，不满足三角形的三边关系，故舍去；
当时，三边长为4，8，8，满足三角形三边关系，
∴这个等腰三角形的周长为．
2．（25-26八年级上·山东滨州·期末）已知，，为的三边长．
(1)若为等腰三角形，且周长为13，已知，求，的值；
(2)若，满足，且是整数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分当为底边时，当为腰时，两种情况解答，结合三角形三边关系验证三角形是否存在；
（2）先利用绝对值和完全平方的非负性求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，取范围内的整数．
【详解】（1）解：，，是的三边长，是等腰三角形，且周长为13，，
分两种情况讨论：
①当为底边时，，
，，
符合三角形的三边关系，；
②当为腰时，，，
，
不符合三角形的三边关系；
综上所述，．
（2）解：，
，
，．
，，是的三边长，
．
即，
是整数，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形，三角形三边关系，熟练掌握绝对值和完全平方的非负性，三角形三边关系，等腰三角形定义，分类讨论，是解题的关键．
3．（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，与相交于点，交于点．
(1)求证：；
(2)试判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）证明，即可得证；
（2）根据全等三角形的性质，结合对顶角相等，三角形的内角和定理，求出，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∴．
【典型例题二 等边对等角】
【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将一个平板保护套展开放置在水平桌面上，其示意图如图所示．若，，，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是熟悉等角对等边的性质．
根据等角对等边得到，即可求出的周长．
【详解】解：，，
，
，
则的周长为，
故选：A．
【例2】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.25
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．
根据等边对等角得出，再根据，得出，，从而得出，再根据对顶角相等得出，最后根据等角对等边得到，，进而求解即可．
【详解】解：在中，，
，
，
，，
，
又，
，
，
∵，
，
．
故选：A．
【例3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰中，，若，则的度数为______．
【答案】/度
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据题意可知，据此即可求得答案．
【详解】∵，
∴．
∴．
故答案为：
1．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在，中，，，，点，，三点在同一直线上，连接．
(1)与全等吗？为什么？
(2)试猜想，有何关系？并说明理由．
【答案】(1)全等，理由见解析
(2)，，理由见解析
【分析】（1）已知，，由可得，利用“”即可证明；
（2）由（1）知，可得，，通过角之间的等量代换，得出即可得到．
【详解】（1）解：全等，理由见解析：
，
，
，
在与中，
，
；
（2）解：，，理由如下：
由（1）知，，
，，
∵，，
∴，
即，
，
，
∴，
则．
2．（2026·河北承德·二模）【情境】已知，求作的平分线，除了基本的尺规作图方法外，嘉嘉、淇淇两位同学提供了如下两种正确的作法．
【操作】嘉嘉、淇淇的作法如图1和图
嘉嘉 淇淇
步骤 ①利用直尺和三角板作； ②_____； ③作射线，即为所求． ①利用圆规截取； ②过点C，D作垂线，相交于点P； ③作射线，即为所求．
作图
【探究】
(1)根据图1的作图痕迹，嘉嘉的第②步应是“以点______为圆心，______长为半径画弧，与交于点P”；
(2)根据淇淇的作图过程，请证明图2中的射线符合要求．
【答案】(1)C；
(2)证明：，
，
又，，
，
，
在和中，
，
，
，
即平分，射线符合要求．
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由作图可知，，则有，然后可得，进而问题可求证．
【详解】（1）解：由题可知：嘉嘉的第②步应是“以点C为圆心，长为半径画弧，与交于点P”；
（2）略
3．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）“在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索．
【模型呈现】
(1)如图①，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，猜想，与之间满足的数量关系，并说明理由；
(2)【模型应用】如图②，在等腰直角三角形中，，，过点C作直线，过点A作于点D，过点B作于点E，，，则的长为________；
(3)【深入探究】如图③，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)，与之间满足的数量关系是：，理由如下：
如图1所示：
在等腰直角中，，，
，
于点D，于点E，
，
，
，
在和中，，
，
，，
；
(2)8
(3)，理由如下：
如图3，过点D作于点F，
，，
∴同理得：，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
，
．
【分析】（1）先利用同角的余角相等，证明，结合、，用判定，根据全等三角形对应边相等，将拆分为，替换为得到数量关系；
（2）同样先证明，得到对应边，，由图中线段位置关系，用计算的长度；
（3）过点作交的延长线于点，构造一线三垂直模型，证明，得到对应边相等关系，推导，得到，结合，计算的度数，判断与的位置关系．
【详解】（1）略；
（2）如图2所示：
在等腰直角中，，，
，
于点D，于点E，
，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，，
；
（3）略．
【典型例题三 三线合一】
【例1】（2026·云南普洱·二模）如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵等腰三角形中，，，
∴平分
∴．
【例2】（2026·江苏无锡·二模）如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合
D．三角形具有稳定性
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．
【详解】解：这种做法依据的数学原理是：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合．
理由：∵，，
∴．
∵是重锤所在的直线，
∴是水平的．
【例3】 （25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在等边中，于点D，若，则______．
【答案】4
【分析】本题考查等边三角形的基本性质，熟练掌握等边三角形的三线合一是解题关键；
直接利用等边三角形的三线合一直接解题即可．
【详解】解：是等边三角形，于点D，
故答案为：
1．（2026·陕西西安·三模）如图四边形中，于点，，连接、交于点，若点是的中点，．求证：．
【答案】见解析
【分析】根据题意可得，，进一步可推得，再根据等腰三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
在和中，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
2．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在中，，D是边的中点，P是上任意一点，于点E，于点F．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明：，是边的中点，
∴平分，
，，
；
(2)证明：∵，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∵点在上，
∴，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【分析】（1）先由等腰三角形的“三线合一”得平分，结合，，即可作答；
（2）根据题意可证明直线是线段的垂直平分线，可得，再通过证明，即得．
【详解】（1）略
（2）略
3．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，等边三角形的边长为8，点E是边上一动点（不与点B，C重合），以为边在的下方作等边三角形，连接，．
(1)在运动的过程中，与有何数量关系？请说明理由．
(2)当时，求的度数．
【答案】(1)；理由见解析
(2)
【分析】（1）通过已知条件，证明，即可得到；
（2）当时，易证，再由（1）可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵和是等边三角形，
∴，，；
∴，
∴；
（2）∵，，
∴E为的中点，
又∵是等边三角形，
∴，
由（1）知，，
∴．
【典型例题四 格点图中画等腰三角形】
【例1】（2025·陕西渭南·一模）在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的定义在格点上分以为腰和底进行求解即可．
【详解】解：如图，
∴使得为等腰三角形的点有4个；
故选D．
【例2】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在的网格中，以为一边，点在格点处，使为等腰三角形的点有（ ）个
A．2个 B．5个 C．3个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分两种情况：当为底边时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案．
【详解】解：如图，当为底边时，以为底边的等腰三角形有3个，
；
如图，当为腰时，以为腰的等腰三角形有2个，
；
综上所述，使为等腰三角形的点有个，
故选：B．
【例3】（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，随机选取另一个格点C （不与A，B重合） ， 得到的为等腰直角三角形的点C的个数为__________．
【答案】6
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
分情况讨论：当是腰长时，当是底边时，根据等腰直角三角形的定义，结合图形找出符合条件的点C即可．
【详解】解：如图，分情况讨论：
①为等腰的底边时，符合条件的C点有2个；
②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
共有6个．
故答案为：6．
1．（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用直尺或三角板，分别按下列要求作图：（要求：点、、都在格点上）
(1)作的边上的中线；
(2)作的边上的高线；
(3)作射线平分．
【答案】(1)中线如图所示：
(2)高线如图所示：
(3)射线如图所示：
【分析】（1）根据三角形中线的定义画出中线即可；
（2）根据三角形的高线定义画出高线即可；
（3）作，利用等腰三角形的性质，即可得到的平分线．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
2．（2026·安徽安庆·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点）．
(1)将先向左平移7个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到，画出平移后的；
(2)边与网格线交于点D，在边上作一点E，使得．
【答案】(1)见详解
(2)见解析
【分析】（1）将先向左平移7个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到平移后的；
（2）连接，此时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接，，所以．
【详解】（1）先将的图象向左平移7个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到，如图所示．
（2）连接，此时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接，，根据等边对等角，所以．如图所示，
3．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图．
(1)在图①中，画出的中点；
(2)在图②中，画出线段的垂直平分线，且、在格点上；
(3)在图③中，画一个以为腰且面积最大的等腰三角形，且在格点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题四格点作图题，考查了全等三角形的应用，等腰三角形的定义，勾股定理，根据要求正确作图即可．
（1）取格点、，利用全等三角形的性质可得，即点为所求作；
（2）取格点、、、，利用全等三角形的性质可得，，即为所求作；
（3）利用勾股定理找出与相等的线段或，再取面积最大时的位置即可．
【详解】（1）解：如图①，点即为所求作；
（2）解：如图②，即为所求作；
（3）解：如图③，等腰三角形（或）即为所求作；
【典型例题五 找出图中的等腰三角形】
【例1】（24-25八年级下·山西太原·阶段检测）如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．4个 B．3个 C．5个 D．1个
【答案】C
【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数．
【详解】解：根据三角形的内角和定理，得：，
根据三角形的外角的性质，得
．
再根据等角对等边，得
等腰三角形有，，，和，共个．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的判定定理．
【例2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】逐个画出图形，即可得到答案．
【详解】解：图①中，∠A=36°，AB=AC，则∠ABC=∠ACB=72°，
以B为顶点，在△ABC内作∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形，
而∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∠ACB=72°，
∴∠ACB=∠BDC=72°，
∴△BDC是等腰三角形，
故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，故①符合题意；
图③中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°，
过A作AE⊥BC于E，如图：
则△ABE和△ACE是等腰直角三角形，
故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，故③符合题意；
图④中，∠BAC=108°，AB=AC，则∠B=∠C=36°，
以A为顶点，在△ABC内作∠BAF=72°，如图：
则△ABF和△ACF都是等腰三角形，故④符合题意；
图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形，
故②不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是分别画出图形，计算图中角的大小，用等边对等角判断等腰三角形．
【例3】（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．

【答案】4
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，
根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．
【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．

∴这样的直线最多可画4条．
故答案为：4．
1．（24-25八年级上·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．

(1)求证：；
(2)直接写出图中所有的等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)图中的等腰三角形有、
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握全等三角形的判定成为解题的关键．
（1）根据平行线的性质判定，再由可得，再结合，利用即可证明结论；
（2）根据（1）的结论可得，再结合等腰梯形的性质即可确定所有等腰三角形．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵由（1）可得
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有、．
2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：矩形内有一点．
求作：等腰直角，使它的直角顶点为，斜边落在边上．
【答案】见详解
【分析】作于Q，然后在直线上截取，，则为等腰直角三角形,满足条件．
【详解】解：如图，为所作．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定以及作图-复杂作图的方法,复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图1，已知等边中，D、E分别是上的点，连接．
(1)若，求证：是等边三角形；
(2)如图2，若D、E分别为中点，连接，与相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（与除外）
【答案】(1)见解析
(2)为等腰三角形
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
（1）由是等边三角形，可得，由，可得，即，进而结论得证；
（2）由等边，可得，，由D、E分别为中点，可得，，，，则，是等边三角形，，，可得，是等腰三角形；，则，，，；进而可得，是等腰三角形．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
（2）解：∵等边，
∴，，
∵D、E分别为中点，
∴，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，是等腰三角形；，
∴，，
∴，；
∴，是等腰三角形；
综上所述，是等腰三角形．
【典型例题六 根据等角对等边证明等腰三角形】
【例1】（24-25八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，已知和的平分线交于点F，过F作交AB于点D，交AC于点E，如果，．那么等于（ ）

A．1 B．5 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据已知条件，可判断出和为等腰三角形，从而能够证明即可解决．
【详解】解：、分别平分、，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，利用边角关系并结合等量代换来推导证明．
【例2】（24-25八年级下·福建三明·阶段检测）老师在黑板上画出了如图所示的3个三角形，则下列说法中错误的是（ ）
A．①是不等边三角形 B．②③都是等腰三角形
C．③是等边三角形 D．①②都是等腰三角形
【答案】D
【分析】根据等边三角形，等腰三角形的性质与判定可逐项判定求解．
【详解】解：由图可得：
①2≠3≠4，故①--不等边三角形，故A选项不符合题意；
②三角形中两角相等，故②--等腰三角形，
③3=3，有一个角是60°，故③--等边三角形，故B选项不符合题意；C选项不符合题意；
D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的性质与判定，掌握其性质与判定是解决此题的关键．
【例3】 （24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知一块四边形草地，其中，，，，则这块土地的面积为______．

【答案】
【分析】分别延长交于点，证明和是等腰直角三角形，然后求出和的面积即可．
【详解】解：如图，分别延长交于点，
，，
，
，
m，m，
m，m，
，，
这块土地的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过作辅助线，构造新的直角三角形，利用土地的面积来求解．
1．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，射线平分．请用尺规作图法在射线上作一点P，连接，使得是等腰直角三角形，且为斜边．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】作的垂直平分线交射线于点P，则，易得，，则点P即为所求．
【详解】解：如图，点P即为所求．
∵，射线平分，
∴，
由图可知，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，且为斜边．
2．（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在中，是中线，．
(1)若，求的度数；
(2)过点作，交于点．求证：是等腰三角形．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解此题的关键．
（1）根据等腰三角形三线合一可得，再由直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）根据等腰三角形三线合一可得是的平分线，再根据平行线的性质，可得，即可求证．
【详解】（1）解： 在中，，是中线，
，
，
．
（2）证明：在中，，是中线，
是的平分线，
．
，
，
，
是等腰三角形．
3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，，求和的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
【分析】本题考查了长方形与折叠问题、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
（1）先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，则可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）过点作于点，先利用勾股定理可得，再设，则，在中，利用勾股定理可得的值，则可得的长，然后根据折叠的性质可得，根据求解即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形是长方形，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：如图，过点作于点，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∴四边形是长方形，
∴，，
∵，
∴在中，，
由（1）已证：，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，，
由折叠的性质得：，
∴．
【典型例题七 根据等角对等边证明边相等】
【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，若，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，30度角所对的直角边等于斜边的一半，等角对等边等知识．先求出，结合平分，求出，从而，然后根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故选B．
【例2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知长方形纸片，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为．则是（ ）．
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，等角对等边．根据平行线的性质得，折叠的性质得，推出，根据等角对等边即可得出结论．
【详解】解：在长方形中，，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴．
由于，
∴是等腰三角形，
故选：B．
【例3】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，已知．与的平分线，交于点O，过点O作，交，于点M，N．若，，则的周长=______．
【答案】15
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的定义．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 由已知条件根据平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质；可推出，．从而得到的周长，答案可得．
【详解】解：∵平分，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
同理可得：．
∴的周长为：
，
故答案为：15．
1．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，点D，E在的边上，，．求证：．
【答案】证明：∵，且，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【分析】根据等角对等边证明，再根据证明即可．
【详解】略
2．（2026·河北廊坊·二模）如图，点B，E，C，F在直线l上，，相交于点，，，．求证：
(1)；
(2)是等腰三角形．
【答案】(1)证明：
，
，
即，
在和中，
．
(2)证明：由（1）可知，，
，
，
是等腰三角形．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，等腰三角形的判定方法，进行解答，即可．
（1）根据全等三角形的判定方法，可证明，即可；
（2）由全等三角形的性质，得到，根据等角对等边，即可．
【详解】（1）略
（2）略
3．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图①，在中，，分别平分和，过点作直线，交于点，交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：；
(3)如图②，若将题干中的条件“，分别平分和”改成“，分别平分和的外角”，其他条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若不成立，直接写出和，的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)不成立，
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，平行线的性质，解决本题的关键是证明等角对等边．
（1）由平分，可得，再根据，可得内错角相等，即，由此可证；
（2）证明，再由等角对等边可得，即可证明；
（3）先证明，，再由等角对等边可得，，再由边的关系即可得．
【详解】（1）证明：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴是等腰三角形；
（2）证明：由（1），
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
；
（3）解：不成立，，理由如下：
∵，分别平分和的外角，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
即．
【典型例题八 根据等角对等边求边长】
【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握等角对等边；
根据，可得，即可解答．
【详解】∵在中，，
∴（等角对等边）．
∵，
∴．
故选：B．
【例2】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，平分交于点，作，垂足为，连接，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
作交的延长线于点，连接，由角平分线的性质得，可证明，得，求得，再证明，得，由，得，则，所以，则．
【详解】解：如图，作交的延长线于点，连接，
∴，
∵，
∴，
∵平分，且，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中 ，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【例3】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，的平分线交于点，若，则的长是_________．
【答案】6
【分析】本题考查含角的直角三角形，等角对等边，直角三角形两锐角互余，首先求出，然后结合角平分线得到，根据角所对直角边是斜边的一半和等角对等边得到．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：6．
1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接．
(1)求证：．
(2)若平分，，求线段的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边，
（1）借助图中隐含条件，对顶角，通过证明，即可得出；
（2）利用（1）中的结论，由角平分线的定义易得，根据等角对等边，推出，再计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵E为中点，
∴，
又，，
∴，
∴；
（2）解：由（1），得，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（25-26八年级上·吉林长春·阶段检测）如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)过点D作于点M，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
（1）根据角平分线的定义得，结合平行线的性质可证，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解；
（2）利用等腰三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解．
【详解】（1）证明：平分，
，
又，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：如图，
为等腰三角形，，
，
，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
则的长为4．
3．（24-25八年级下·四川德阳·阶段检测）如图1，一张长方形纸片，其中，，先沿对角线对折，点C落在点的位置，交于点G．
(1)求的面积；
(2)如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕，交于点M，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了折叠性质、勾股定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
（1）先根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，，，，则，然后根据等腰三角形的判定可得，最后设，在中，利用勾股定理可得的长，利用三角形的面积公式计算即可得；
（2）先求出，，再利用勾股定理可得，然后根据平行线的性质、折叠的性质可得，根据等腰三角形的判定可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，，
∴，，，，
∴，
由折叠的性质得：，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴的面积为．
（2）解：∵四边形是长方形，，，
∴，，，，，
∴，
由折叠的性质得：，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴的长为．
【典型例题九 等腰三角形的性质和判定】
【例1】（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）如图，在中，，的中垂线交于点，交于点，连接，若的周长为，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，进而得到，求出、的值，即可求解．
【详解】解：是的中垂线，
，
的周长为，
，
，
，，
，
的周长为，
故选：D．
【例2】（25-26八年级上·黑龙江大兴安岭·期中）如图，在等腰三角形中，，过点 C 作且，连接，若，则的面积为（ ）
A． B．9 C．18 D．36
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
过点作于点，过点作于点，则，根据垂直的性质证得，进而证得，根据全等三角形的性质证得，进而计算的面积即可．
【详解】解：过点作于点，过点作于点
、
在和中
，
故选：B．
【例3】（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）图中三角形是等腰三角形．已知．点在点的( )方向上，点在点的东偏北( )方向上．
【答案】 正西 /80度
【分析】本题考查了等腰三角形性质、三角形内角外角的性质及方向判定．解题关键在于利用等腰三角形两底角相等的性质计算未知角度，并结合直角坐标系的方向判断规则，准确确定点的位置方向．根据上北下南、左西右东判断方向即可；根据三角形的内角和及平角定义，求出的角度即可求解．
【详解】解：点B在点C的正西方向上；
，
，
点A在点C的东偏北80度方向上。
故答案为：正西；
1．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在等腰中，、分别是、边上的中线，、相交于点，连接，求证：．
【答案】证明：∵等腰三角形中，D，E为和的中点，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【分析】根据等边对等角，利用可证得，进而利用可证得，即可得到结论．
【详解】略
2．（25-26八年级上·重庆开州·期中）在学习了全等三角形和轴对称的知识后，小聪同学对等腰直角三角形进行了深入研究，发现等腰直角三角形两个底角顶点到过直角顶点的直线的距离之和与垂足之间的线段长度具有一定的数量关系，通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．根据她的想法，完成以下作图和填空：
(1)尺规作图：过点A作直线的垂线交于点E（只保留作图痕迹）
(2)如图，是等腰直角三角形，，在（1）的条件下，证明：．
证明：是等腰直角三角形
，①
②
，
③
在和中
小聪进一步发现，任意等腰直角三角形均有此特征．依据题意，写出正确命题：④
【答案】(1)图见详解
(2)①；②；③；④等腰直角三角形两个底角顶点到过直角顶点的直线的距离之和等于垂足之间的距离
【分析】（1）过点作弧，与交于两点，再以这两点为圆心作弧，再连线即可；
（2）根据题意补全证明过程，再写出一个正确的命题即可．
【详解】（1）解：作图如下，
（2）证明：是等腰直角三角形
，，
，
，
，
在和中
小聪进一步发现，任意等腰直角三角形均有此特征．
依据题意，正确命题：等腰直角三角形两个底角顶点到过直角顶点的直线的距离之和等于垂足之间的距离．
3．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）问题的解决策略：反思
【课本再现】
如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含30°角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明．
【方法探究】
针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明．
(1)已知：如图2，是直角三角形，，．求证：．
证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接；
【知识应用】
(2)如图3，等边的边长为8，点D在上，且，过D点作于点E，过点E作于点F，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先求出，再根据判定是等边三角形，进而得，，再求出得，由此得，据此即可得出结论；
（2）由得的长度；在中求得；在中求，进而得．
【详解】（1）证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接，如图所示：
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【典型例题十 等边三角形的判定和性质】
【例1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）一个含角的三角尺如图①所示，用两个完全相同的这种三角尺恰好能拼成一个如图②所示的等边三角形．若，则（ ）
A．3 B． C．12 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，关键根据等边三角形的性质解答．
根据等边三角形的性质解答．
【详解】解：∵纸片，用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个等边三角形，
∴．
故选：C．
【例2】（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形．
【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意；
B、不能判定为等边三角形，不符合题意；
C、不能判定为等边三角形，不符合题意；
D、能判定为等边三角形，符合题意；
故选D．
【例3】（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上___________填上一个适当的条件．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是掌握三角形的判定定理．
利用等边三角形的判定定理即可求解．
【详解】解：添加，理由如下：
∵为等腰三角形，，
，
∴为等边三角形，
故答案为：（答案不唯一）．
1．（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点．
(1)求证：；
(2)求证：是等边三角形．
【答案】(1)证明：∵、都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴；
(2)证明：∵，
∴，，
∵分别是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【分析】（1）首先结合等边三角形的性质证明，进一步可得，然后利用“”证明即可；
（2）首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，即可证明结论．
【详解】（1）略
（2）略
2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）将两个全等的直角三角形，拼成如图1所示的图形，其中．将 沿着线段 的方向平移到图2位置，连接，．
(1)求证：；
(2)若 ，，求 平移的距离．
【答案】(1)证明：
(2)平移的距离为6
【分析】（1）利用同角的余角相等和全等三角形的性质推导，从而得证；
（2）利用三角形内角和推导，从而得到，继而证明为等边三角形，结合即可得解．
【详解】（1）略
（2），
，
，
，．
，
为等边三角形，
，
，即平移的距离为6．
3．（24-25八年级上·河南商丘·期中）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由．
小华与同桌小明讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况入手探索：
当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论：______（填“>”、“<”或“=”）．
(2)一般情况进行论证：
对原题中的一般情形，与的大小关系是：______（填“>”、“<”或“=”）．
理由如下：如图2，过点作，交于点．（请你完成以下证明过程）
【答案】(1)
(2)；见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到、，易证得，从而得出结论；
（2）过点作，交于点，得到是等边三角形，易证得，从而得出结论．
【详解】（1）解：是等边三角形、点为的中点，
、，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：，理由如下：
如图2，过点作，交于点，
、，
是等边三角形，
，
，
，
，
、，
，
在和中，
，
，
．
【典型例题十一 含30度角的直角三角形】
【例1】（25-26八年级下·广东深圳·期中）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【详解】解：∵，，
∴．
【例2】（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，则的长是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据30度角的性质作答即可．
【详解】解：∵，
∴．
【例3】（2026·上海浦东新·二模）如图是地铁入口双翼闸机示意图．已知双翼边缘，与闸机侧立面夹角，双翼展开时端点、的间距为．当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为_______．
【答案】68
【分析】过点作于点，过点作于点，求出的长即可．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
∵，，
∴，，
∵双翼展开时端点、的间距为，
∴当双翼收起时，可通过闸机的物体最大宽度为．
1．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）在中，，点D在上，，，垂足分别为E，F，且，求的长．
【答案】
【分析】证明得到，再由含30度角的直角三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
2．（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，OC平分，将直角尺（宽度相同，上、下边互相平行）按如图所示的方式摆放，使直尺下边沿与边重合，刻度处的点落在边上，直尺上边缘与交于点，点对应的刻度为，，．
(1)求的长；
(2)直接写出的面积．
【答案】(1)的长为；
(2)的面积为．
【分析】（）由平行线的性质可得，又平分，所以，从而可得，然后通过直角三角形性质即可求解；
（）用面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即的长为；
（2）解：∵，
∴的面积为．
3．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）感知：如图1，平分，，，易知：．
(1)探究：如图2，平分，，，求证：．
(2)应用：如图3，在四边形中，，，，写出线段，和的数量关系．并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）过点D作于，交的延长线于，证明，即可得到；
（2）先证明，再证明，然后得到，即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，过点D作于，交的延长线于，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，连接、作于，交的延长线于，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴．
【典型例题十二 斜边的中线等于斜边的一半】
【例1】（2026·云南玉溪·二模）如图，在中，，是的中点，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
【详解】解：，是的中点，，
．
【例2】（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，在中，，根据以下步骤作图：（1）分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线，交于点D．若，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则点D为的中点，结合直角三角形斜边上的中线的性质可得．
【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，
∴点D为的中点．
∴为斜边上的中线，
∴，
∴．
故选：D．
【例3】（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，公路互相垂直，公路的中点与点被池塘隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为_____．
【答案】150
【详解】解：由公路互相垂直，
∴，
∵M为中点，
∴．
1．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）如图，四边形中，，，分别是的中点．求证：．
【答案】详见解析
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理和全等三角形的判定与性质，先证明，，可得到，再根据全等三角形即可证明．
【详解】证明：连接，如图所示，
，分别是的中点，
，
，
，
，
，
．
2．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）已知：如图，在中，，点E是边的中点，在图中作点D，使得，且，分别连接，过点A作，垂足为点F．
(1)求证：平分；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键：
（1）根据斜边上的中线，得到，等边对等角得到，平行线的性质，得到，进而得到，即可得证；
（2）根据等边对等角，得到，等角的余角相等，得到，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，，点E是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）证明：∵，点E是边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
由（1）知：平分，
∴．
3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，点B为边上一点（不与点A，E重合），连接，将绕点C旋转到的位置．
(1)若，请用表示的度数；
(2)连接，过点C作，求长的最小值．
【答案】(1)；
(2)2．
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，三角形的内角和，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，旋转的性质，掌握知识点是解题的关键．
（1）先证明是等腰直角三角形，得到，则，推导出，即可解答；
（2）先证明，，得到是等腰直角三角形，则，继而推导出，得到，当时，的值最小，此时的值最小，即可解答．
【详解】（1）解：在中，，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
将绕点C旋转到的位置，
（2）将绕点C旋转到的位置，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
，
当时，BC的值最小，此时CH的值最小，
，
，
，
故长度的最小值为
【典型例题十三 直角三角形的两个锐角互余】
【例1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算求解．
【详解】解：∵在中，
∴直角三角形两锐角和为，即
又∵
∴ ．
【例2】（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在中，是斜边上的中线，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，即可求解．
【详解】解：在中，是斜边上的中线，
，
，
．
【例3】（25-26七年级下·福建厦门·阶段检测）一张长方形纸片，沿着对角线折叠后的图形如图，交于点，已知，则________度．
【答案】29
【分析】根据长方形的性质得到，进而得到的度数，由折叠的性质得，进而求出的度数，利用求解即可．
【详解】解：四边形是长方形，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
在中，．
1．（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）如图在中，，，以点C为旋转中心，将逆时针方向旋转得到，CD交AB于点F．如图，当DE经过点B时，求证：；
【答案】见解析
【分析】先证明是等边三角形，然后求出，再求出，即可得到，即可求证．
【详解】证明：是旋转得到的图形，
，，
是等边三角形．
．
，
，
．
，
．
2．（24-25八年级下·广东梅州·阶段检测）如图，为的角平分线，，于点，于点，连接交于点．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，猜测与间有何数量关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】（1）由为的角平分线，得到，推出和相等，得到，即可推出结论；
（2）由已知推出，得到，在中，由推出，即可推出结论．
【详解】（1）证明：为的角平分线，，，
，，
，
∴，
，
，
点、都在的垂直平分线上，
垂直平分；
（2）解：，理由如下：
，平分，，
，
，，
，
，
，
，
，
．
3．（24-25七年级下·山西长治·期末）阅读与思考．
请认真阅读并完成相应的问题：
“友爱三角形”的研究 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”．
(1)如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”，．则____________；
(2)如图在（1）基础上，作中边上的高，请判断和是不是“友爱三角形”，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)和是“友爱三角形”，理由见解析．
【分析】（1）由“友爱三角形”的定义得到由直角三角形的性质得到即可求出；
（2）由直角三角形的性质得到判定和是“友爱三角形”．
【详解】（1）解：如图是“友爱三角形与互为“友爱角
；
（2）解：如图和是“友爱三角形”，理由如下：
由知
和是“友爱三角形”．
【典型例题十四 锐角互余的三角形是直角三角形】
【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的判定．
由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴是直角三角形．
故选：B．
【例2】（24-25八年级下·重庆江津·阶段检测）如图，在四边形中，，与的角平分线交于点，点为中点，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质及角平分线的性质可知，再根据直角三角形的判定与性质可知，进而即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的角平分线，是的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
故选．
【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理，掌握直角三角形的性质与判定是解题的关键．
【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，若，则___________；若，则___________，此时是___________三角形．
【答案】
直角
【分析】本题考查直角三角形的判定．由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的类型．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴在中，若，则，
∵在中，，
∴，
∴当时，是直角三角形．
故答案为：；；直角．
1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，和都是等腰直角三角形，．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得，则有，然后可证，进而问题可求证；
（2）由（1）知，则有，然后可得，进而问题可求证．
【详解】（1）证明：和都是等腰直角三角形，
，
，
．
在与中，，
，
．
（2）证明：由（1）知，
．
，
，
，
．
2．（2025·安徽蚌埠·二模）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，A，B，C均在格点上，在图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图．（不要求写出画法，保留作图痕迹）
(1)在图中作四边形，且四边形是以直线为对称轴的轴对称图形；
(2)在图中作的边上的高．
【答案】(1)
解：如图，四边形为所求．
(2)
解：如图，为所求．
【分析】本题考查轴对称图形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余．
（1）取格点D，使得，，即可得到所求四边形；
（2）在上取格点E，连接，由网格特点可得，在上取格点F，使得，连接，并延长交于点H，则为所求．
【详解】（1）略
（2）理由：由网格特点可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是边上的高．
3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，在中，于点O，，过点A作于点H，交于点P．
(1)求线段的长度；
(2)连接，求的度数；
(3)如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】(1)
(2)
(3)不变，
【分析】（1）证△，即可得出；
（2）过O分别作于M点，作于N点，证，得出．得出平分，即可得出结论；
（3）连接，由等腰直角三角形的性质得出，，则，证出．证，得，进而得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴
∴；
（2）解：过O分别作于M点，作于N点，如图1所示：
在四边形中，，
∴．
在与中，
，
∴
∴．
∵，
∴平分，
∴；
（3）解：的值不发生改变，等于．理由如下：
连接，如图2所示：
∵，D为的中点，
∴
∴，
∴．
∵，
即，
∴．
在和中，
，
∴△
∴，
∴
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
1．（25-26七年级下·河南周口·期中）用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】分两种情况讨论，已知边长分别为腰和底边，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到腰长．
【详解】解：分两种情况讨论：
情况1：若为等腰三角形的腰长，
则底边长为，
∵，满足三角形三边关系，
∴此时腰长为；
情况2：若为等腰三角形的底边长，
则腰长为，
∵，满足三角形三边关系，
∴此时腰长为，
综上，该等腰三角形的腰长为或．
2．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．
根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
∵平分，
∴，
∴，则是等腰三角形；
∵，
∴，则是等腰三角形；
∵平分，
∴，
∴，则是等腰三角形；
∵，
∴，则是等腰三角形，
综上，图中共有5个等腰三角形，
故选：A．
3．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】逐一求出各选项的隐含条件，进而判断即可．
【详解】解：A．根据等腰三角形的定义可知两底角均为，则顶角为，根据可证明和题干图全等；
B．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等；
C．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等；
D．根据三角形内角和可知顶角为，但不知道腰长数据，无法证明全等．
4．（2026·湖南永州·二模）将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由图可知，．
5．（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，将绕点顺时针旋转得到，点、分别与点、对应，若线段，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】容易判断是等边三角形，则．
【详解】解：由旋转的性质可得，，，
∴是等边三角形，
∴．
6．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，中，，，D是的中点，连接，于点E，，那么的值为______．
【答案】6
【分析】根据在中，，D是的中点，于点E，可以求得，，以及和的度数，从而可以求得的长，本题得以解决．
【详解】解：∵在中，，D是的中点，
∴，，
∴，
∵于点E，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有_____个．
【答案】3
【分析】根据已知条件，，可得是底角为的等腰三角形，再根据尺规作图可得平分，从而判断等腰三角形的个数．
【详解】∵中，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
由题图可知，平分，
∴，
∴，，
∴,，
∴是等腰三角形，，
∴是等腰三角形．
综上可知，题图中的等腰三角形有，，，共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、尺规作图——角平分线，掌握“等角对等边”是解决此题的关键．
8．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至点，使，连接．有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的是___________．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】根据等边三角形的性质及等边对等角依次判断即可．
【详解】∵是等边三角形，是中线，
∴平分；；故①②正确；
∵，
又，
∴，
∴，
∴
∴，故③④正确，
综上其中正确的是①②③④．
9．（2026·山东济南·一模）如图，，直线与、分别交于点、，的平分线与交于点，过点作 于点，，则 ______度．
【答案】50
【分析】先利用角平分线的定义求出的度数，再结合平行线的性质得到与的关系，最后结合垂直的性质和三角形内角和定理计算出的度数．
【详解】解：平分，
．
，
．
，
．
10．（25-26八年级上·天津·期中）线段的端点A，B在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可，并用文字语言表述如何作图）
（1）在图①中找出格点D，使；____________
（2）在图②中画出非格点的点E，使．____________
【答案】 图见详解，文字说明见详解 图与文字说明见详解
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）构造等腰直角三角形，点D即为所求；
（2）构造推出，再由，可得．
【详解】解：（1）所作点D如图所示：
由作图可知：是等腰直角三角形，
∴；
（2）所作点E如图所示；
先构造，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即．
11．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在中，，点D在外，，．求证：．
小明同学通过作辅助线构造全等三角形来解决此问题．根据他的想法与思路，完成以下的问题．
(1)用尺规过点A作的垂线，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）所作图形中，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于两点；再分别以这两点为圆心，大于两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点；过点A和该交点作直线，交于点E，则即为所求．
（2）由等腰三角形性质得E为中点，结合已知条件证明直角三角形全等，从而得证．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求，
（2），，
为的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
12．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点B的对应点落在上，交于点E，在上取点F，使．
(1)求证：．
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明，，然后根据旋转，，， ，，接着求出和，然后即可得证；
（2）由（1）得到，，，那么为等边三角形，然后证明，以及求出，最后利用三角形内角和定理求出答案即可．
【详解】（1）证明：矩形中，
，
∵在中，，
∴，，
，
由旋转可得：，， ，，
，
，
；
（2）解：由（1）得到，，，
为等边三角形，
，，
，
∴∠FBB′=15°；
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定，30度所对的直角边等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
13．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，点在的右侧，连接、，平分，过点作交于点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的性质证即可；
（2）根据等角的余角相等，结合等角对等边得到，即可得出结果．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：，
，，
，
，，
，
．
14．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，，，三点共线，和均为等边三角形．
(1)_____，试证：；
(2)如图，与交于点，与交于点，连接，
求证：；
猜想与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)，见解析；
(2)见解析；，见解析；
【分析】（）由等边三角形性质可得，，，所以，然后证明，再由全等三角形性质即可得证；
（）证明，再由全等三角形性质即可得证；先证明是等边三角形，所以，则，然后通过平行线的判定方法即可求解．
【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形；
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：由（）可知，，
又∵，
∴，
∴；
解：猜想：，理由：
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
15．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，点为边的中点，为线段上动点（点不与点E，C重合），连接平分，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若交于点．
①求证：平分；
②如图2，交于点，连接交于点，，请判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①见详解；②，理由见详解
【分析】（1）根据平角的定义和，求出，结合平分，即可求解．
（2）①根据，得出，结合，即可得，得证；②根据，，得出，结合，，，证出，即可证，得出，从而可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
（2）①证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分；
②解：，理由如下，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑