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第02讲 数轴（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 数轴的三要素及其画法
典型例题二 用数轴上的点表示有理数
典型例题三 利用数轴比较有理数的大小
典型例题四 数轴上两点之间距离
典型例题五 数轴上点的平移（动点问题）
典型例题六 数轴上找原点
典型例题七 数轴上整点覆盖问题
典型例题八 数轴上的规律探究
典型例题九 有关数轴的新定义问题
知识点01 数轴定义
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。
【即时训练】
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）关于数轴，下列说法正确的是（ ）
A．数轴由原点、单位长度和正方向组成 B．数轴上的一个点只能表示一个数
C．数轴上的点只能表示整数 D．数轴只含有正数部分和负数部分
【答案】B
【分析】本题考查了数轴的定义.
根据数轴的定义和性质逐一分析选项.
【详解】A：数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，但数轴本身是一条直线，这三个要素是其属性而非“组成”部分，因此表述不准确，错误.
B：数轴上的点与实数一一对应，每个点只能表示一个数，正确.
C：数轴上的点可以表示所有实数（如分数、小数等），错误.
D：数轴包含正数、负数和原点（0），错误.
故选：B.
2．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）规定了原点、______和______的直线叫做数轴．
【答案】 正方向 单位长度
【分析】本题考查了数轴的定义，熟练掌握数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴是解题的关键．根据数轴的定义即可解答．
【详解】解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
故答案为：正方向；单位长度．
知识点02 数轴的画法
①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。
【即时训练】
1．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列数轴画法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据数轴的定义逐项判断即可．
【详解】解：A选项：数轴负半轴数的顺序错误，故A选项画法错误；
B选项：数轴的单位长度不统一，故B选项画法错误；
C选项：数轴的原点、正方向、单位长度表示正确，故C选项画法正确；
D选项：数轴的正方向错误，故D选项画法错误．
2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数．
【答案】见解析
【分析】本题考查数轴．根据数轴上的点表示整数或小数即可．
【详解】解：如图：
知识点03 有理数与数轴的关系
①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。
②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。
③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。
④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。
注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。
【即时训练】
1．（2026·河南平顶山·一模）如图，数轴上点 P 表示的数可能是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据点的位置，进行判断即可.
【详解】解：设点表示的数为，
由图可知：，
∴数轴上点 P 表示的数可能是.
2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面数轴上的点A，B，C，D分别表示什么数
【答案】A点表示：；B点表示：；C点表示：；D点表示：5
【分析】此题主要考查了数轴，能根据各点在数轴上的位置正确确定对应的数是解答此题的关键．
根据A，B，C，D各点在数轴上的位置判断即可．
【详解】解：A点表示：；B点表示：；C点表示：；D点表示：5
【典型例题一 数轴的三要素及其画法】
【例1】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）下列数轴画得正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数轴的定义，要明确数轴的三要素：原点、正方向和单位长度．
根据数轴的定义逐一判断即可．
【详解】解： A、没有原点，故不是数轴；
B、单位长度不一致，故不是数轴；
C、符合数轴的定义，正确；
D、正负数的顺序不正确，故不是数轴；
故选：C．
【例2】（2025·河北邯郸·二模）下面是几名同学画的数轴，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查数轴的画法，掌握数轴三要素的解题关键．
根据数轴三要素：原点、正方向、单位长度，即可判断．
【详解】解：数轴三要素：原点、正方向、单位长度，则：
A选项，满足三要素，符合题意；
B选项，单位长度不一致，不符合题意；
C选项，没有原点，不符合题意；
D选项，没有正方向，不符合题意．
故选：A．
【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴是指规定了_____________________、_____________________和________________的直线．
【答案】 原点 单位长度 正方向
【分析】根据数轴的定义即可求得答案．
【详解】根据数轴的定义可知，规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴．
故答案为：原点 单位长度 正方向
【点睛】本题主要考查数轴，牢记数轴的定义（规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴）是解题的关键．
【例4】（24-25七年级上·全国·课堂例题）我们把规定了______________、______________、______________的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是______________数，原点右边的点表示的数都是______________数．在实际问题中，1个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等．
【答案】 原点 正方向 单位长度 负 正
【分析】根据数轴的定义即可求解．
【详解】我们把规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是负数，原点右边的点表示的数都是正数．
故答案为：原点，正方向，单位长度，负，正．
【点睛】本题考查了数轴的定义，能熟记数轴的定义是解此题的关键．
1．（2025七年级上·全国·专题练习）如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点．
【答案】见解析
【分析】本题考查了数轴，理解数轴定义：有原点，正方向和单位长度是解答关键．
先根据数轴的定义补充完整数轴，再将各数表示的数轴上即可．
【详解】解：如图所示．
2．（24-25七年级·全国·假期作业）判断下面所画数轴是否正确，并说明理由
【答案】1、错误；2、错误；3、错误；4、错误；5、错误；6、错误；7、错误；8、正确
【分析】根据数轴的概念，即可求解．
【详解】解：1、不是直线，故所画错误；
2、不是直线，故所画错误；
3、无原点，故所画错误；
4、无单位长度，故所画错误；
5、无正方向，故所画错误；
6、数轴只有一个正方向，故所画错误；
7、数轴上右边的数总是大于左边的数，正数在原点的右侧，负数在原点的左侧，故所画错误；
8、原点、正方向、长度单位都有，故所画正确．
【点睛】本题主要考查了数轴的概念，熟练掌握规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴．原点，正方向，单位长度是数轴的三要素是解题的关键．
3．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图的数轴上，每小格的宽度相等．
(1)填空：数轴上点A表示的数是______，点表示的数是______．
(2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了数轴上的数、比较有理数的大小等知识点，理解两个整数之间的单位长度是解题的关键．
（1）根据数轴直接解答即可；
（2）根据单位长度，在数轴上表示点和点=即可；
【详解】（1）解：由数轴可得：点A表示的数是，点B表示的数是，
故答案为：，；
（2）解：如图：点和点即为所求．
【典型例题二 用数轴上的点表示有理数】
【例1】（2026·湖北孝感·三模）如图，数轴上表示的点是（ ）
A．M B．N C．O D．P
【答案】A
【详解】解：由图可知，数轴上表示的点是M．
【例2】（2026·山东临沂·一模）如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．0.5
【答案】C
【详解】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0，
四个选项中只有C选项中的数符合题意，
故选：C．
【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有________个．
【答案】2
【分析】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键．
根据数轴的特点，数形结合分析即可求解．
【详解】解：根据数轴的特点，墨迹盖住的整数有0，1，共2个，
故答案为：2．
【例4】（25-26七年级上·吉林松原·期末）如图，将一把刻度尺放在数轴上，刻度尺上的数字分别对应数轴上的，则的值应该是________．
【答案】
【分析】本题考查了数轴上点的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据数轴上点的距离换算即可．
【详解】解：由题意知，刻度尺上格，对应数轴上10个单位长度，
∴刻度尺上一格对应数轴上2个单位长度，
∴，
解得．
故答案为： ．
1．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）在数轴上方空格里填上适当的整数或分数．
【答案】如图所示：
【详解】略
2．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）（1）指出图中数轴上A，B，C，D，E各点分别表示的有理数，并用“”将它们连接起来；
（注：E在0与1正中间，B在3与4正中间）
（2）在数轴上把下列5个有理数表示出来，并用“”连接起来．
【答案】（1）点A表示的有理数为：；点B表示的有理数为：；点C表示的有理数为：2；点D表示的有理数为：0；点E表示的有理数为：；；
（2）各数在数轴上的表示见解析，
【分析】本题考查了有理数大小比较，数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）先根据数轴得出各点代表的有理数，然后根据数轴比较有理数的大小即可．
（2）先在数轴上把各数表示出来，然后根据数轴比较有理数的大小即可．
【详解】解：（1）点A表示的有理数为：；点B表示的有理数为：；点C表示的有理数为：2；点D表示的有理数为：0；点E表示的有理数为：；
用“”将它们连接起来为：；
（2）各数在数轴上的表示如图：
，
用“”将它们连接起来为：．
3．（24-25七年级上·吉林·期末）下表有四张卡片，卡片正面分别写有四个数字，背面分别写有四个字母．
正面
背面
(1)在数轴上表示出卡片正面的数：
(2)将正面的数由小到大排列后，翻转到背面，则背面字母组成的单词是______．
【答案】(1)在数轴上表示出卡片正面的数见解析
(2)
【分析】本题主要考查了有理数的化简、数轴表示及有理数的大小比较，熟练掌握有理数的相关运算与数轴的对应关系是解题的关键．
（1）先化简正面的数，再在数轴上找到对应位置标注．
（2）先将化简后的数从小到大排序，再对应背面字母组成单词．
【详解】（1）解：，
，
，
在数轴上表示出卡片正面的数如下：
（2）解：将数从小到大排列：，
对应背面字母：
对应，对应，对应，对应，组成单词：，
故答案为：．
【典型例题三 利用数轴比较有理数的大小】
【例1】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查利用数轴比较数的大小关系，根据数轴得到被墨水遮盖的数在之间，进行判断即可．
【详解】解：由数轴可知，被墨水遮盖的数在之间，
∵，
∴被墨水遮盖的数可能是；
故选：D．
【例2】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，若点A，B，C表示的数依次为a，b，c，则下列大小关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小．从数轴得出，进而得到，据此判断即可．
【详解】解：由题意可知，，
∴．
故选：C．
【例3】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）对于有理数m、n，如果，，那么n________（选填、、）．
【答案】
【分析】此题考查有理数的大小比较，将各数表示在数轴上，利用数轴比较大小即可得
【详解】∵ ，，
∴将各数表示在数轴上：
∴ ，
即 ，
故答案为：>
【例4】（24-25七年级上·云南·单元复习）生活情境气温变化，冬季某天，我国三个城市的最高气温分别是，，，若是在数轴上表示，1，这三个数，通过观察数轴，用“”将它们从左到右排列为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了数轴．熟练掌握用数轴表示数，数轴上数的大小排列顺序，是解题的关键．
把，1，这三个数在数轴上表示出来，根据三个点的位置，用“<”把三个数连起来．
【详解】在数轴上表示，1，这三个数，
观察数轴发现，它们从左到右排列为，，1，
∴．
故答案为：．
1．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来．
．
【答案】；图见解析
【分析】先根据有理数的乘方运算法则，相反数定义进行解答，然后把各数在数轴上表示出来，最后比较有理数的大小即可．
【详解】解：，，
把各数在数轴上表示为：
用“”号连接各数为：．
2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）把下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并按照从小到大的顺序用“ ”号连接起来．
，，0，．
【答案】
【分析】题目主要考查有理数在数轴上的表示及有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较方法是解题关键．
在数轴上表示出来，最后根据数轴上数的位置用“”号连接即可．
【详解】解：如图；
所以： .
3．（25-26七年级上·福建南平·期中）如图，数轴上有A、B两点．
(1)A、B两点表示的数分别是____，____；
(2)若点C表示，点D表示，请你把点C、点D表示在如图所示的数轴上；
(3)将A、B、C、D四个点所表示的数用“”连接起来．
【答案】(1)，
(2)画图见解析
(3)
【分析】本题考查了数轴，理解数轴的性质是解答关键．
（1）观察数轴求解．
（2）根据数轴的性质点、点表示在如图所示的数轴上即可．
（3）根据数轴上右边的数总比左边的大来求解．
【详解】（1）解：根据题意得
点表示的数为4，点表示的数为．
故答案为：，；
（2）解：根据题意表示如下
（3）解：因为数轴上右边的数总比左边的数大可知：
．
【典型例题四 数轴上两点之间距离】
【例1】（25-26七年级上·全国·期中）数轴上点A表示，点B表示1，线段AB的长度是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查数轴上两点距离公式，掌握知识点是解题的关键．
根据数轴上两点距离公式，距离等于两点坐标差的绝对值，即可解答．
【详解】解：∵点A表示，点B表示1，
∴．
故选：C．
【例2】（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是，则点E表示的数是（　　）
A．6 B．1 C．3 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了数轴的性质和数轴上两点的距离，熟练掌握数轴的性质是解决本题的关键．先确定原点，根据D和E的距离可得结论．
【详解】解：如果点C表示的数是，则点D表示原点，所以E表示的数是2，
故选：D．
【例3】（25-26七年级上·北京·期中）已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为3，则点表示的数为___．
【答案】或
【分析】本题考查数轴上两点之间距离求法、数轴上的点表示有理数等知识，由数轴上点表示的数，再根据数轴上两点之间的距离，计算即可得到答案．掌握数轴上两点之间距离的求法是解决问题的关键．
【详解】解：已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为3，则点表示的数为或，
故答案为：或．
【例4】（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图，数轴上的六个点满足，则在点、、、、、对应的数中，最接近的点是点___________．
【答案】C
【分析】本题考查数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离的表示等知识，熟记数轴定义与性质是解决问题的关键．
根据题意，在数轴上表示出各个点对应的有理数即可得到答案．
【详解】解：点表示的数是、点表示的数是，
，
，
从而得到每个点表示的数，如图所示：
最接近的点是点C，
故答案为：C．
1．（24-25七年级上·黑龙江·阶段检测）（1）在图中标出下列各数，，，．
（2）若点A在处，点B与点A相距2个单位长度（一个大格是一个单位长度），请你写出B点可能表示的数．
【答案】（1）见解析；（2）点B表示的数是或1．
【分析】本题考查数轴上两点间的距离、有理数的加减．
（1）在数轴上表示各数即可；
（2）分点B在点A的左侧和右侧求解即可．
【详解】解：（1）如图，
（2）∵数轴上点A表示的数是，数轴上另一点B与点A相距2个单位长度，
∴当点B在点A的左侧时，点B表示的数是，
当点B在点A的右侧时，点B表示的数是，
综上：点B表示的数是或1．
2．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）（1）如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上（数轴的个单位长度为）．木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒在数轴上水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得到木棒的长为 ．
（2）借助上述方法请你运用“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题：一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经115岁，是老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？请求出爷爷和小明现在的年龄．
【答案】（1）（2）小明的年龄为岁，爷爷的年龄为岁
【分析】本题考查数轴的应用，灵活运用数轴的几何意义是解题关键．
（1）将木棒两次移动的距离转化为数轴上从到的总跨度，再根据该跨度等于倍木棒长度，从而计算出木棒长；
（2）将年龄变化转化为数轴上从到的总跨度，该跨度等于倍年龄差，先求出年龄差，再据此算出小明和爷爷的年龄．
【详解】（1）解：根据题意可知，数轴上到，到，到距离相等，且都等于木棒长度，
故．
答：木棒的长为．
（2）解：设点表示小明的年龄，点表示爷爷年龄，两人的年龄差为岁，
根据题意可得，当向左移动，点对应的数为，
当向右移动，点对应的数为，
故两人的年龄差为（岁），
则点对应数即小明的年龄为（岁），
点对应数即爷爷的年龄为（岁）．
答：小明的年龄为岁，爷爷的年龄为岁．
3．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究哈尔滨地铁的运行．
素材1 哈尔滨轨道1号线是哈尔滨第1条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间为30秒．图1是1号线部分线路图：
素材2 小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以哈尔滨东站为原点，建立了如图2所示的数轴，其中数字1代表桦树街站，数字2代表交通学院站，以此类推，数轴上的动点P可以用来刻画运动的地铁，动点P每次运动到一个整数点时，都需要暂停30秒，代表地铁到站停靠．
问题解决
探究1 图2中数字5代表_______站
探究2 如图2，动点P从原点出发，运动t分钟后到数字3和数字4之间（不含数字3和数字4），求点P在数轴上表示的数_______（用含t的代数式表示）
探究3 如图3，乘客A从桦树街站上车，乘坐往哈尔滨南站方向的地铁，同时乘客B从博物馆站上车，乘坐往哈尔滨东站方向的地铁，若两辆地铁恰好同时从桦树站和博物馆站出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距2.5个单位长
【答案】探究1：烟厂；探究2：；探究3：出发4分钟或10.5分钟后两人相距2.5个单位长度
【分析】本题主要考查了数轴的应用，列代数式，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
探究1：根据题意得出图2中数字5代表烟厂站；
探究2：根据每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间30秒，表示出点P在数轴上表示的数即可；
探究3：分两种情况：当两辆地铁相遇前相距2.5个单位长度时，当两辆地铁相遇后相距2.5个单位长度时，分别列式求解即可．
【详解】解：探究1：图2中数字5代表烟厂站．
故答案为：烟厂．
探究2：点P在数轴上表示的数为．
故答案为：．
探究3：设A运动t分钟后在数轴上表示的数为a，
①当两辆地铁相遇前相距2.5个单位长度时，，
则（分钟）；
②当两辆地铁相遇后相距2.5个单位长度时，，
则（分钟）．
综上所述，出发4分钟或10.5分钟后两人相距2.5个单位长度．
【典型例题五 数轴上点的平移（动点问题）】
【例1】（25-26七年级上·云南昆明·期中）数轴上一点表示的数为，则点在数轴上移动个单位长度后表示的数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了数轴上的移动，点在数轴上移动5个单位长度，方向不确定，需分向右和向左两种情况计算．
【详解】解：点向右移动5个单位：，
点向左移动5个单位：，
则点表示的数是：或，
故选：C．
【例2】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段检测）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】B
【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解．
【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列，
即圆的滚动规律为3次一个循环，则：
，所以此时点正好落在数轴上；
，所以此时点正好落在数轴上；
，所以此时点正好落在数轴上；
，所以此时点正好落在数轴上．
点对应的数轴上的数可能为2021，
故选：B．
【例3】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）点为数轴上的一点，动点从点出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点．若点表示的数是，则点表示的数是__________．
【答案】
【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则“左移减，右移加”进行求解即可．
【详解】解：∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B，点表示的数是，
∴点表示的数为；
故答案为：．
【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B．若点B到原点的距离为5个单位长度，则点A表示的数是___________．
【答案】3或
【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，分在原点的左侧和右侧两种情况进行求解即可．
【详解】解：∵点B与原点的距离是5个单位长度，
∴点表示的数为或，
∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B，
∴点表示的数为或；
故答案为：3或．
1．（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒．
(1)当时，求点到原点的距离；
(2)当时，求点到原点的距离；
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键．
（1）计算出点Q运动的路程，即可解答；
（2）计算出点Q的运动路程，即可解答；
【详解】（1）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，
∴当时，，
∵在数轴上点A表示的数是8，
∴，
∴，
∴当时，点到原点的距离为6；
（2）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动
∴当时，点运动的距离为，
∵在数轴上点A表示的数是8，
∴，
∴，
∴当时，点到原点的距离为2；
2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”．
(1)若点表示的数是，则的值为______；
(2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个；
(3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值．
【答案】(1)
(2)
(3)当在之间时，点表示的数为，；当在点左边时，点P表示的数为，
【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键．
（1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为，即可求解；
（2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，；
（3）分两种情况讨论：当在之间时，，点表示的数为，此时；当在点左边时，，点P表示的数为，此时．
【详解】（1）解：∵点表示的数为，
∴点到点的距离与点到点的距离之和为，
∴点为点、的“格距点”，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵整点为点、的“格距点”，
∴，即在线段上，
∴整点所表示的数是，，，，，，共个，
故答案为：；
（3）解：①当在之间时，，
点表示的数为：，
此时；
②当在点左边时，，
点P表示的数为：，
此时．
3．（24-25七年级上·广东广州·期末）（1）、、、四点的位置在如图1所示的数轴上，且点所表示的数，满足，则 ， ；
（2）在（1）的条件下，在该数轴上，线段以个单位的速度向正方向运动·，同时线段以个单位的速度向负方向．那么这两条线段从开始运动到完全离开需要经过多少？
（3）如图，三点在以O为原点的数轴上，点在以O为圆心，半径等于的圆周上，且，点绕点O以的速度顺时针旋转了时停止运动：同时点沿数轴负方向以个单位的速度运动，当到达点时马上以的速度绕点O逆时针旋转(当停止运动，也停止)，问：点P、Q开始运动后，在什么时刻，线段、在同一直线上？
【答案】（1）；（2）；（3）、运动或或 时，在同一条直线上
【分析】本题考查了绝对值与平方数的性质、数轴上的运动以及角度相关知识，解题关键在于利用相关性质建立等式或方程，并清晰分析运动过程与角度关系；
（1）利用绝对值与平方数的非负性求解和的值；
（2）对于线段的运动，通过分析它们的相对运动速度和初始距离来计算完全离开所需时间；
（3）对于点的旋转和运动问题，需要分不同阶段，根据角度关系建立方程求解．
【详解】（1），由非负性可知且，
解得；
（2）由（1）知点A表示数为，点B表示数为6，点Q表示数为8，
线段长为，
运动到完全离开时间为；
（3）点绕点O旋转用时，
点到点的距离为，用时为．
①点与点P第一次重合时，即共线,如图，
则，
解得：；
②当射线与射线第一次成一条直线时．如图，
则，
解得：；
当点与点P第二次重合时，即共线,如图，
，
解得：；
当射线与射线第二次成一条直线时．如图，
则，
解得：（舍去）；
综上所述，当运动时间为或或时，线段、在同一直线上．
【典型例题六 数轴上找原点】
【例1】（2025·河北邯郸·二模）如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ）
A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点
C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点
【答案】D
【分析】本题考查了数轴上找原点，据中点求出点表示的数，进而即可求解，理解中点和数轴的定义是解题的关键．
【详解】解：是线段的中点，
点表示的数是，
∴原点位于线段上，且靠近点，
故选：．
【例2】（25-26七年级上·山东日照·期中）如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意：A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等，得出点A表示的数为，点C表示的数为3，再结合数轴，即可得出点B表示的数．
【详解】解：∵A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等，
∴点A表示的数为，点C表示的数为3，
∵点在点右侧2个单位，
∴点B表示的数为．
【例3】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，数轴上有①②③④四部分，已知，且，则原点所在的部分为________．
【答案】②
【分析】本题考查的是有理数的乘法运算的符号确定，数轴的理解，掌握“有理数的乘法法则”是解本题的关键．
由，且，可得，结合 可得，从而可得原点的位置．
【详解】解：∵，且，可得结合可得
∴
∵，
∴，
∴原点所在的部分为②，
故答案为：②．
【例4】（25-26七年级上·新疆·期末）如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______．
【答案】6
【分析】本题考查数轴的有关知识以及相反数的性质，关键是先求出、两点在直尺上的距离，再结合“互为相反数的两点到原点距离相等”确定原点对应的刻度．
【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点对应刻度，
∴、在直尺上的距离为，
∵点、表示的数互为相反数，
∴原点是线段的中点，即到原点的距离为，
又∵数轴向右为正方向，
∴原点对应直尺上的刻度为；
故答案为：6．
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知一条直线上有四个点A，B，C，D，其中，，．请在给定的直线上确定一点作为原点，建立数轴，并写出这四个点所表示的数．
【答案】数轴见解析，四个点A，B，C，D所表示的数分别为，，，
【分析】本题考查在直线上建立数轴，熟练掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）是解题的关键．根据给定的线段长度和方向，在直线上建立数轴，并确定A，B，C，D所表示的数．
【详解】解：如图，以点C为原点，向右方向为正方向，长为1个单位长度建立数轴，
四个点A，B，C，D所表示的数分别为，，，．
2．（24-25七年级上·河南信阳·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是．
(1)在数轴上标出原点；
(2)点B表示的数是 ；
(3)若点A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动，当点A运动到原点时，求此时点B在数轴上对应的数．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)点B在数轴上对应的数为7
【分析】本题考查数轴，数轴上两点间距离，掌握数轴相关知识是解题的关键．
（1）根据点A表示的数及每个刻度的单位长度，可找出原点；
（2）根据点B所在数轴位置即可求解；
（3）先求出点A运动路程，根据两点运动路程相等即可求解．
【详解】（1）解：如图，点O为原点；
（2）解：点B表示的数是4，
故答案为：4；
（3）解：由题意知，点A运动路程为：，
又A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动，
所以此时点B表示的数为：．
3．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题：
(1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴；
(2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C；
(3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O．
【答案】(1)原点、正方向、单位长度
(2)见解析
(3)B点表示的数为4，见解析
【分析】此题考查了数轴上的点表示数和数轴的定义等知识，准确理解数轴的定义是关键．
（1）根据数轴的定义进行解答即可；
（2）根据点在数轴上的位置进行解答即可；
（3）设，则，根据列方程并解方程即可得B点表示的数，再根据点B的位置找到原点的位置即可．
【详解】（1）解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，
故答案为：原点、正方向、单位长度
（2）如图即为所求，
（3）解：设，则
∵，
∴
解得
所以B点表示的数为4.
如图，在数轴上标出原点O．
【典型例题七 数轴上整点覆盖问题】
【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）数轴上表示与的两点之间，表示整数点的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】根据题意，与的两点之间，表示整数点的有，解答即可．
本题考查了数轴上整数点问题，熟练掌握整数的定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得与的两点之间，表示整数点的有，有5个，
故选：C．
【例2】（24-25七年级上·河南南阳·期中）小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数．写出被遮盖的部分中整数即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得，被遮盖的部分中整数有，共5个，即被遮盖的部分中表示整数的点有5个，
故选：C
【例3】（25-26七年级上·全国·期中）一滴墨水滴在了数轴上，根据图中的数据可判断被墨迹盖住的整数有________个．
【答案】24
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，求出到的整数个数是解题的关键．
由图可知被墨迹盖住的数在到之间，找出到的整数个数并计数即可得到答案．
【详解】解：被墨迹盖住的整数有：，共个
故答案为：
【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数．
（1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个；
（2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个．
【答案】 201 200
【分析】本题考查数轴上的整点覆盖问题，此题要找出变化的规律，分两种情况：①当线段长为1厘米时，如果它的两个端点正好与一个单位长度的两个整数点重合，就能覆盖住这两个点，以此类推，n厘米长的线段可盖住个点；②长为1厘米的线段两端与一个单位长度的两个整数点不重合时，就只能覆盖住一个整数点，类似第一种情况，则n厘米长的线段可盖住n个点．
【详解】解：2米厘米；
（1）当长度为2米的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，线段覆盖住的整点个数为个；
（2）若2米的线段的两端点不与两个整数点重合，则它可覆盖住的整数点个数为200个；
故答案为：201，200
1．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？
【答案】9个，它们对应的数是
【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可．
【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个，
0到之间的整数有1、2、3、4共4个，
所以被墨迹盖住的整数有（个）．
它们对应的数是．
2．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）电子跳蚤在数轴上的点，第一步向左跳一个单位到，第二步由向右跳2个单位到．第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰好是2016
(1)求电子跳蚤的初始位置点所表示的数
(2)在数轴上，某条线段的长度为所表示的数，则这条线段覆盖的整数有多少个？
【答案】(1)1966
(2)1966或1967
【分析】本题考查了数轴、图形的变化规律，得到每跳动 2 次相对于原数的规律是解题的关键．
（1）根据题意易得每跳动 2 次，向右平移 1 个单位，跳动100 次，相当于在原数的基础上加了50 ，据此求解即可．
（2）根据数轴的特征分情况求解即可．
【详解】（1）解：设点所对应的数为，
由题意得，每跳动2次，向右平移1个单位，跳动100次，相当于在原数的基础上加了 50，
则，
解得：，
即电子跳蚤的初始位置点所表示的数为1966．
（2）解：在数轴上，某条线段的长度为所表示的数1966，
当线段的两个端点均为整数时（例如线段为），覆盖的整数有个；
当线段的端点不都为整数时（例如线段为），覆盖的整数有1966个．
3．（25-26七年级上·山东烟台·期中）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
(1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数___________表示的点重合．
(2)若表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：
①7表示的点与数___________表示的点重合；
②若数轴上、两点之间的距离为12（在的左侧），且、两点经折叠重合，求两点表示的数各是多少？
③在②的条件下，数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为14？若存在，请求点所对应的数值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)2
(2)①；②A表示，B表示8；③存在，，9
【分析】本题考查数轴上的点，两点之间的距离，数轴的折叠问题，掌握知识点是解题的关键．
（1）先找到折叠点为，即数轴在原点进行对折，即可解答；
（2）①数轴折叠后若表示的点与5表示的点重合，则折叠点为，即数轴在点2的位置进行对折，由，得到7表示的点与数表示的点重合即可；
②由折叠点为2，则点B到折叠点的距离等于点A到折叠点的距离，列式计算即可；
③设点P表示的数为x，分类讨论：当点P在线段之间（包括点A，B）时，当点P在点A的左边时，当点P在点B的右边时，分类求解即可．
【详解】（1）解：数轴折叠后1表示的点与表示的点重合，则折叠点为，
即数轴在原点进行对折，
∴折叠后表示的点与数2表示的点重合．
故答案为：2．
（2）①数轴折叠后若表示的点与5表示的点重合，则折叠点为，
即数轴在点2的位置进行对折，
∵，
∴7表示的点与数表示的点重合；
故答案为：．
②∵数轴上、两点之间的距离为12，且在的左侧，、两点经折叠重合，
∴，，
∴A表示，B表示8；
③设点P表示的数为x，∵A表示，B表示8，数轴上、两点之间的距离为12，
∴当点P在线段之间（包括点A，B）时，如图
有，不符合题意，
当点P在点A的左边时，如图
，
解得，
当点P在点B的右边时，如图
，
解得，
∴当点所对应的数为或9．
【典型例题八 数轴上的规律探究】
【例1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在数轴上，点A表示的数是，点M从点A出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……依次操作4053次后，此时M表示的数是（ ）
A． B．2024 C．6077 D．
【答案】D
【分析】此题考查了数轴，根据题意发现规律是解答此题的关键．
根据题意得点M每运动两次，则向右移动1个单位长度，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：点M从点A出发，先向左移动1个单位长度，得，
再向右移动2个单位长度，得，
再向左移动3个单位长度，得，
再向右移动4个单位长度，得，
∴点M每运动两次，则向右移动1个单位长度，
∵，
∴操作4053次后，此时点M表示的数是：，
故选D．
【例2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合．（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了图形类规律探究，发现循环规律，并正确计算循环后处于第几组的第几个数是解题的关键．
每4个数为一组，分别与3、2、1、0重合，计算，看余数是几，即可求解．
【详解】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，分别与3、2、1、0重合，
∵，
∴数轴上表示的点与圆周上表示的数字0重合．
故选：A．
【例3】（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，过数轴上表示的点作数轴的垂线，过数轴上表示的点作数轴的垂线，过数轴上表示的点作数轴的垂线，．已知点表示的数为，将点沿直线翻折得到点，将点：沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，则表示的数为_____．
【答案】
【分析】此题考查了数字类规律问题，首先根据题意得到点，，，，，分别表示的数，然后找到规律求解即可．
【详解】解：∵点表示的数为，
∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为，
∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为，
∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为，
∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为，
∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为，
∴将点沿直线翻折得到点，点表示的数为，
…
∴，，
∴表示的数为．
故答案为：．
【例4】（24-25七年级上·河南郑州·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是______．
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数字类的规律探索．根据点从1开始，每翻转6次一个循环，利用，根据余数的情况进行判断即可．
【详解】解：由题意，可知，点从1开始，每翻转6次一个循环，
∵，
∴数轴上数所对应的点是；
故答案为：C
1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点到达点后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点后停止运动．设点运动的时间为秒．
(1)当时，求点表示的数；
(2)当时，求点表示的数；
(3)当点与原点的距离是1个单位长度时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)2
(3)或或或
【分析】本题考查了数轴，有理数的混合运算，关键是有理数混合运算的熟练应用．
（1）用8减去时运动的路路，即可求解；
（2）先求得P到达A点时用的时间，进而求得从点A出发后的所在位置，即可求解；
（3）由数轴可知距离原点1个单位长度的位置有1和，根据往返情况分类讨论，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：当时，点表示的数为：；
（2）解：点到达点所用的时间为：秒，
当时，求点表示的数为：；
（3）解：∵与原点的距离是1个单位长度的数有1和，且方向有从到和从到，
∴分以下四种情况，
当点表示的数为1，方向为从到时，秒；
当点表示的数为1，方向为从到时，秒；
当点表示的数为，方向为从到时，秒；
当点表示的数为，方向为从到时，秒．
故的值为或或或．
2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）如图5，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且．
(1)___________，___________，A，B两点之间的距离为___________；
(2)有一动点M从点A出发，第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，求点M所对应的有理数；
(3)点P为数轴上一点，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，请求出此时点P对应的有理数．
【答案】(1)，7，12
(2)
(3)点P对应的有理数分别是和
【分析】本题考查数轴上的两点间的距离，数轴上的动点问题，有理数的加法运算，一元一次方程的应用．
（1）根据非负性，求出a，b的值，两点间的距离公式求出A，B两点之间的距离即可；
（2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，根据题意，列出算式进行计算即可；
（3）设点P对应的数为x，分点P在点A的左侧，点P在点A和点B之间，点P在点B的右侧，三种情况，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，
解得：，，
∴A，B两点之间的距离为，
故答案为：，7，12；
（2）解：设向左运动记为负数，向右运动记为正数，
∴
，
所以当运动到2025次时，求点M所对应的数为；
（3）解：设点P对应的数为x，
①当点P在点A的左侧时：，
解得：，
②当点P在点A和点B之间时：，
解得：，
③当点P在点B的右侧时：，
解得：，这与点P在点B的右侧矛盾，故舍去，
综上所述，点P所对应的有理数分别是和．
3．（24-25七年级上·福建宁德·期中）如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推．

(1)若点与原点重合，点表示的数为_____．
(2)若点表示的数为，
①点表示的数为_____，
②若边长为4的正方形的边在数轴上，点与点重合，此时点，点在数轴上所表示的数相同，将长方形和正方形都沿数轴无滑动向右翻滚，当点，点在数轴上所表示的数再次相同时，求此时点表示的数？当点第14次落回到数轴上时，点，点在数轴上所表示的数最多有几次相同？

【答案】(1)
(2)①；②当点A第14次落在数轴上时，点E，点A在数轴上所表示的数最多有3次相同
【分析】（1）根据题意，由图可知，若点与原点重合，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上时，，从而得到答案；
（2）①由（1）可知，若点表示的数为，每一次点第一次落回到数轴上，就相当于向右移动个单位长度，设点第次落回数轴，根据规律即可得到点所表示的数；②根据题意得到点所表示的数为，点在所表示的数为，当点与点表示的数相同时，得到，分类讨论即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，若点与原点重合，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上时，，即点表示的数为，
故答案为：；
（2）解：①由（1）可知，若点表示的数为，每一次点第一次落回到数轴上，就相当于向右移动个单位长度，
设点第次落回数轴，则点所表示的数为，
故答案为：；
②当点第次落回数轴，则在所表示的数为，
当点与点表示的数相同时，则，即；
当，点与点在数轴上所表示的数相同；
当时，点与点在数轴上所表示的数相同；
当时点与点在数轴上所表示的数相同；
当时点与点在数轴上所表示的数相同；
……
，
当点A第14次落在数轴上时，点与点在数轴上所表示的数最多有3次相同．
【点睛】本题考查数轴上点表示数的规律、数轴表示数、分类讨论等知识，读懂题意，数形结合找出规律求解是解决问题的关键．
【典型例题九 有关数轴的新定义问题】
【例1】（2025·浙江杭州·二模）在数轴上，点表示的数是4，点表示的数是0，点表示的数是．定义：点在线段上，如果线段的长度有最大值，则称为点与线段的“闭距离”．例如：，当点与点重合时，．若，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了数轴上两点的距离；当点与点重合时，取得最大值．
【详解】解：若，则当点与点重合时，取得最大值，
故选：D．
【例2】（25-26七年级上·北京通州·期末）对于数轴上不同的三点，给出如下定义：若其中一个点到其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“赋能点”．例如数轴上点所表示的数分别为，此时点B是点的“赋能点”．若点D表示数为，点E表示数为3，下列各数所对应的点分别为，其中与点能组成的“赋能点”的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离，新定义运算，解题的关键是理解题意．根据“赋能点”定义，分别检查点与点D、E组成的三点中是否存在一点到其他两点距离相等．
【详解】解：∵点D表示，点E表示3，
对于，
∵，，，
∴不存在其中一个点到另外两个点的距离相等，
∴点与点不能组成“赋能点”；
对于，
∵，，
∴到D、E的距离相等，
∴点与点能组成“赋能点”；
对于，
∵，，
∴到D、的距离相等，
∴点与点能组成“赋能点”；
综上，和符合．
故选：D．
【例3】（25-26七年级上·河南新乡·期中）定义：若一个多项式有两项且两项的次数相同，则这样的多项式就叫做“齐次二项式”．若关于a，b的多项式是“齐次二项式”，在数轴上表示n的点在表示的点距离5个单位长度处，则________．
【答案】9或49
【分析】该题主要考查了多项式的次数和数轴上点的特征，乘方等知识点，解题的关键是算出m，的值．根据多项式是“齐次二项式”求出m，再根据在数轴上表示n的点在表示的点距离5个单位长度处，求出，再代入计算即可．
【详解】解：∵多项式是“齐次二项式”，
∴，
解得：，
∵在数轴上表示n的点在表示的点距离5个单位长度处，
∴或，
∴或，
故答案为：9或49．
【例4】 （24-25七年级下·福建厦门·期中）数轴上点A，B，C表示的实数分别为a，b，c．定义：表示点A，B，C中任意两点距离的最大值．例如：当，，时，，，，．已知：，，，那么c的值是__________________________．
【答案】或
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，根据数轴上两点间的距离公式计算即可得解，正确理解题意列式计算是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴或，
∴或，
∴（不符合题意，舍去）或或或（不符合题意，舍去），
综上所述，c的值是或，
故答案为：或．
1．（25-26七年级上·北京·期中）对于有理数、，定义一种新运算“*”，规定．
(1)直接写出的值为_____；
(2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简；
(3)在条件（2）下，直接写出_____．
【答案】(1)6
(2)
(3)
【分析】（1）根据题干的新定义列式计算即可得解；
（2）由数轴可得： ，得出，，根据题干的新定义结合绝对值的性质计算即可得解；
（3）由（2）可得，，根据题干的新定义结合绝对值的性质计算即可得解．
本题考查了新定义运算、绝对值的意义、利用数轴判断式子的正负，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】（1）解：，
故答案为：6．
（2）解：由数轴可得：，，
∴，，
∴．
（3）解：由（2）可得，，
∴
，
故答案为：．
2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算，规定．

(1)计算的值．
(2)表示数b的点B在数轴上的位置如图所示，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据定义新运算的法则，进行计算即可；
（2）先判断出，再根据定义新运算的法则，进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）∵，且
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算的法则，是解题的关键．
3．（24-25七年级上·四川成都·期末）新定义：一条线段上任意一点与另一条线段上任意一点之间的距离最小值叫做两线段之间的“最佳”距离．如图，数轴上有四个点，，，，它们对应数轴上的数分别为，，5，，连接，．
(1)线段与线段之间的“最佳”距离是______个单位；
(2)将线段以每秒1个单位的速度沿数轴正方向移动．
①若线段保持位置不变，当线段运动多少秒时，线段与线段之间的“最佳”距离为2？
②若线段以每秒2个单位的速度沿数轴负方向移动，运动时间为秒，请用含的式子表示线段与线段之间的“最佳”距离．
【答案】(1)7
(2)①当线段运动5秒或15秒，线段与线段的“最佳”距离为2；②线段与线段之间的“最佳”距离为或．
【分析】本题考查了数轴上的动点问题和整式加减的应用，利用数形结合的思想是解题的关键．
（1）根据两点间的距离和两线段之间的“最佳”距离的定义即可求解；
（2）①设线段运动x秒，线段与线段之间的“最佳”距离为2，分为线段与线段相遇之前和相遇之后两种情况讨论即可；
②方法同①．
【详解】（1）解：线段与线段之间的“最佳”距离：个单位，
故答案为：7；
（2）解：①设线段运动x秒，线段与线段之间的“最佳”距离为2，
当线段与线段相遇之前，线段与线段之间的“最佳”距离为2即点B与点C的距离为2，
根据题意得：，
解得：，
当线段与线段相遇之后，线段与线段之间的“最佳”距离为2即点A与点D的距离为2，
根据题意得：
解得：，
综上，当线段运动5秒或15秒，线段与线段之间的“最佳”距离为2；
②设经过t秒后，
当线段与线段相遇之前，线段与线段之间的“最佳”距离即点B与点C的距离，
根据题意得：；
当线段与线段相遇之后，线段与线段之间的“最佳”距离即点A与点D的距离，
根据题意得：，
综上，线段与线段之间的“最佳”距离为或．
1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列各图中，是数轴的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），解题的关键是依据三要素逐一验证选项是否符合数轴的定义．
明确数轴的三要素，依次检查各选项是否包含原点、正方向且单位长度均匀，从而选出符合数轴定义的选项．
【详解】解：选项A：缺少正方向（无箭头），不是数轴；
选项B：单位长度不均匀（“”到“0”的距离与“0”到“1”的距离不一致），不是数轴；
选项C：缺少原点（没有标注“0”），不是数轴；
选项D：包含原点（0）、正方向（右箭头）、单位长度均匀，符合数轴的定义．
故选D
2．（2025七年级上·河南·专题练习）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上有理数的大小比较，熟练掌握数的意义是解题的关键．
根据数轴上位置得到，，即可推出，，进而得到答案．
【详解】根据数轴可知：，，
∴，，
∴，
故选：D．
3．（25-26七年级上·重庆·期中）数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，推出开始运动后，，即可求解．
【详解】解：由题意得：开始运动前，点M 表示的数为：，，
开始运动后，，
∵，
∴，整理得：；
∵在运动过程中始终满足，
∴，解得：，
故选：C．
4．（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的点对应的数的规律．结合数轴找到与之间的整数，然后相加即可．
【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的数在与之间，
∴盖住的整数是，
∴所盖住的整数的和为：
．
故选：C．
5．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（ ）
A．C B．B C．E D．F
【答案】C
【分析】本题考查了数轴上的有理数，数轴上两点之间的距离，图形的规律，理解图形的翻转规律是解题的关键．先求出与之间的距离，再根据正六边形的周长求出翻转周期，最后确定所对应的点即可．
【详解】解：，
正六边形的周长，
∵点F对应的数为，
∴，，
∵，
∴连续翻转168次后点F所对应的数为2015，
∴连续翻转169次后点A所对应的数为2017，
∴连续翻转170次后点B所对应的数为2019，
∴连续翻转171次后点C所对应的数为2021，
∴连续翻转172次后点D所对应的数为2023，
∴连续翻转173次后点E所对应的数为2025，
连续翻转后数轴上2025这个数所对应的是点．
故选：C．
6．（24-25七年级上·河南安阳·期中）数轴上在和之间的所有整数的和为______．
【答案】3
【分析】本题考查了数轴上的有理数的特点，有理数的加法运算．找出和两点之间的整数，然后计算它们的和，即可解题．
【详解】解：数轴上在和之间的所有整数为，，，，，，
则所有整数的和为，
故答案为：3．
7．（25-26七年级上·江西宜春·期中）数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________．
【答案】或或
【分析】利用两点间的距离公式可以知道点表示的数为或，再由点C到点B距离为2（点C不在原点上），可得答案．
【详解】解：数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，
点表示的数为或，
点C到点B距离为2（点C不在原点上），
点C表示的数为（舍去）或或或．
综上，点C表示的数为或或．
8．（25-26七年级上·全国·课后作业）给出数轴比较变式为画数轴比较
（1）若，用“”连接，其结果是________．
（2）若表示数的点在原点的两侧，且，则用“”把，连接起来为________．
【答案】
【分析】本题考查比较有理数的大小关系，根据题意，画出数轴，借助数轴比较大小即可；
（1）根据题意，画出数轴，借助数轴比较大小即可；
（2）根据题意，画出数轴，借助数轴比较大小，即可得出结果．
【详解】解：（1）由题意，画出数轴如下：
由数轴可知：；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∵表示数的点在原点的两侧，
∴，
画出数轴如图：
∴；
故答案为：．
9．（25-26七年级上·广东佛山·期中）操作思考：将刻度尺放在图1的数轴上，如图2所示，，则刻度尺上的长度相当于该数轴上的______个长度单位．
【答案】
【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．先计算数轴上，相当于刻度尺上的，即可解答．
【详解】解：，，
则刻度尺上的长度相当于该数轴上的个长度单位．
故答案为：．
10．（25-26七年级上·山西晋城·期中）如图，将钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴上的原点重合，再将钟面紧贴数轴并沿着数轴正方向滚动，使钟面上数字5对应的点与数轴上表示0.5的点重合，钟面上数字4对应的点与数轴上表示1的点重合．若钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为_____．（用含n的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，有理数的乘法的实际应用，理解题意，列出正确的代数式表示对应的点是解本题的关键．
根据题意先得到时针一个格表示数轴上个单位长度，再根据向右滚动的圈数可得到答案．
【详解】∵钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴原点重合，再将钟面紧贴数轴沿着数轴
正方向滚动，使钟面上的数字5对应的点与数轴上表示的点重合，
∴时针一个格表示数轴上个单位长度，
∵钟面上1圈对应数轴上的线段的长度为（个单位长度），
∴钟面滚动n圈（n为正整数），对应的线段长度为（个单位长度），
∴钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为
故答案为：．
11．（24-25七年级上·山西运城·期中）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数，并用“”将下列各数连接起来．
，，0，
【答案】见详解；
【分析】本题主要考查画数轴，用数轴上的数表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，先把数轴补充完整，把有理数表示在数轴上，再利用数轴表示出有理数的大小即可．
【详解】解：数轴上表示各数如下：
根据数轴可知：．
12．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得
（1）玩具火车的长为_______________个单位长度；
（2）用上题思考方法解决下面问题：
一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________．
【答案】 4 64岁
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，找到题目中的等量关系．
（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求一个火车的长；
（2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄．
【详解】解：（1）如图1，
可知：三个火车的长为，
则一个火车的长为，
故答案为：4；
（2）同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为，
表示的数为，表示的数为116，
，，则52是奶奶和小如的年龄差，
∴，
则奶奶现在的年龄是64岁．
故答案为：64岁．
13．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）以厘米为个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点，，刚好对着直尺上的刻度，刻度和刻度，如图所示．设点，，在数轴上所表示的数的和是，该数轴的原点为．
(1)若点所表示的数是，则点所表示的数是 ．
(2)若点，所表示的数互为相反数，求p的值．
(3)若点，之间的距离为厘米，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，相反数的概念，有理数的加法运算等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键．
（1）根据数轴上两点之间距离进行计算即可求解；
（2）根据A、B两点的距离及点A，B所表示的数互为相反数，则原点为刻度位置，根据数轴得出所表示的数，进而根据有理数的加法求得的值；
（3）根据，之间的距离为厘米，则在直尺刻度或刻度位置，进而分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：由图知，、相距个单位长度，且点在点的右边，
若点所表示的数是，则点所表示的数是．
故答案为：．
（2）若和所表示的数互为相反数，则原点为刻度位置，
得、、所表示的数分别为：，，，
所以＋＋．
（3）若，之间的距离为厘米，则在直尺刻度或刻度位置，
①在刻度位置时，记为“”，
可得、、所表示的数分别为，，，
所以＋＋；
②在直尺刻度位置时，记为“”，
可得、、所表示的数分别为，，，
所以＋＋．
14．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示．
(1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________；
(2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合；
(3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：．
①第___________次滚动后，点A离原点最远；
②当结束滚动时，点表示的数是___________．
【答案】(1)
(2)
(3)三；
【分析】本题考查了数轴的概念、正负数的意义，周期性规律的探究等，解决问题的关键是据题意得到等边滚动一周，等边的顶点移动3个单位．
（1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数；
（2）根据等边滚动的规律，即可得出答案；
（3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次；
②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数．
【详解】（1）解：由题意得：，
所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是；
故答案为：；
（2）解：因为，
所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2018表示的点与点重合；
故答案为：；
（3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为：
；
；
；
；
；
所以第三次滚动后，点A离原点最远；
由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是．
故答案为：三；．
15．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度；
(1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？
(2)求在数轴上点B所对应的数b；
(3)若D是数轴上一点，且满足，通过计算，求点D所对应的数；
(4)如图3，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第n次跳动后，直接写出数轴上点所表示的数（用含n的代数式表示）．
【答案】(1)数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是
(2)
(3)点D表示的数为2或
(4)
【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上的动点问题是解题的关键．
（1）根据点、是数轴上从左到右排列的点，进而根据数轴上两点距离可进行求解；
（2）根据点B对齐刻度列式求解即可；
（3）首先求出，然后分两种情况求解即可；
（4）首先求出，然后根据线段中点的概念找出规律求解即可．
【详解】（1），是数轴上从左到右排列的点，在数轴上对应的数分别为，2，
；
，
∴数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的；
（2）∵点B对齐刻度，
∴，
∴，
∴在数轴上点B所对应的数；
（3）∵点A表示的数是，点B表示的数是，
∴
∴
∴点D所对应的数为或；
（4）点B表示的数是，点C表示的数是2，
，
一质点从点处向点方向跳动，第一次跳动到的中点处，
点表示的数为，
第二次从点跳动到的中点处，
点表示的数为，
第三次从点跳动到的中点处，
点表示的数为，
第四次从点跳动到的中点处，
点表示的数为，
点表示的数为．
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第02讲 数轴（3大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 数轴的三要素及其画法
典型例题二 用数轴上的点表示有理数
典型例题三 利用数轴比较有理数的大小
典型例题四 数轴上两点之间距离
典型例题五 数轴上点的平移（动点问题）
典型例题六 数轴上找原点
典型例题七 数轴上整点覆盖问题
典型例题八 数轴上的规律探究
典型例题九 有关数轴的新定义问题
知识点01 数轴定义
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。
【即时训练】
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）关于数轴，下列说法正确的是（ ）
A．数轴由原点、单位长度和正方向组成 B．数轴上的一个点只能表示一个数
C．数轴上的点只能表示整数 D．数轴只含有正数部分和负数部分
2．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）规定了原点、______和______的直线叫做数轴．
知识点02 数轴的画法
①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。
【即时训练】
1．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列数轴画法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数．
知识点03 有理数与数轴的关系
①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。
②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。
③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。
④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。
注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。
【即时训练】
1．（2026·河南平顶山·一模）如图，数轴上点 P 表示的数可能是（ ）
A． B． C．0 D．
2．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面数轴上的点A，B，C，D分别表示什么数
【典型例题一 数轴的三要素及其画法】
【例1】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）下列数轴画得正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（2025·河北邯郸·二模）下面是几名同学画的数轴，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴是指规定了_____________________、_____________________和________________的直线．
【例4】（24-25七年级上·全国·课堂例题）我们把规定了______________、______________、______________的直线叫做数轴，这条直线上的任意一个点表示一个数，原点左边的点表示的数都是______________数，原点右边的点表示的数都是______________数．在实际问题中，1个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等．
1．（2025七年级上·全国·专题练习）如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点．
2．（24-25七年级·全国·假期作业）判断下面所画数轴是否正确，并说明理由
3．（2025七年级上·浙江·专题练习）如图的数轴上，每小格的宽度相等．
(1)填空：数轴上点A表示的数是______，点表示的数是______．
(2)点表示的数是，点表示的数是，请在数轴上分别画出点和点的位置．
【典型例题二 用数轴上的点表示有理数】
【例1】（2026·湖北孝感·三模）如图，数轴上表示的点是（ ）
A．M B．N C．O D．P
【例2】（2026·山东临沂·一模）如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．0.5
【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有________个．
【例4】（25-26七年级上·吉林松原·期末）如图，将一把刻度尺放在数轴上，刻度尺上的数字分别对应数轴上的，则的值应该是________．
1．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）在数轴上方空格里填上适当的整数或分数．
2．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）（1）指出图中数轴上A，B，C，D，E各点分别表示的有理数，并用“”将它们连接起来；
（注：E在0与1正中间，B在3与4正中间）
（2）在数轴上把下列5个有理数表示出来，并用“”连接起来．
3．（24-25七年级上·吉林·期末）下表有四张卡片，卡片正面分别写有四个数字，背面分别写有四个字母．
正面
背面
(1)在数轴上表示出卡片正面的数：
(2)将正面的数由小到大排列后，翻转到背面，则背面字母组成的单词是______．
【典型例题三 利用数轴比较有理数的大小】
【例1】（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，若点A，B，C表示的数依次为a，b，c，则下列大小关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）对于有理数m、n，如果，，那么n________（选填、、）．
【例4】（24-25七年级上·云南·单元复习）生活情境气温变化，冬季某天，我国三个城市的最高气温分别是，，，若是在数轴上表示，1，这三个数，通过观察数轴，用“”将它们从左到右排列为________．
1．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来．
．
2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）把下列各数在如图所示的数轴上表示出来，并按照从小到大的顺序用“ ”号连接起来．
，，0，．
3．（25-26七年级上·福建南平·期中）如图，数轴上有A、B两点．
(1)A、B两点表示的数分别是____，____；
(2)若点C表示，点D表示，请你把点C、点D表示在如图所示的数轴上；
(3)将A、B、C、D四个点所表示的数用“”连接起来．
【典型例题四 数轴上两点之间距离】
【例1】（25-26七年级上·全国·期中）数轴上点A表示，点B表示1，线段AB的长度是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2】（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是，则点E表示的数是（　　）
A．6 B．1 C．3 D．2
【例3】（25-26七年级上·北京·期中）已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为3，则点表示的数为___．
【例4】（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图，数轴上的六个点满足，则在点、、、、、对应的数中，最接近的点是点___________．
1．（24-25七年级上·黑龙江·阶段检测）（1）在图中标出下列各数，，，．
（2）若点A在处，点B与点A相距2个单位长度（一个大格是一个单位长度），请你写出B点可能表示的数．
2．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）（1）如图，把一根长度为的木棒放置在一条数轴上（数轴的个单位长度为）．木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒在数轴上水平移动，当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为；当它的右端移动到点时，则它的左端在数轴上所对应的数为，由此可得到木棒的长为 ．
（2）借助上述方法请你运用“数轴”这个工具帮助小明解决下列问题：一天，小明去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生呢；你若是我现在这么大，我已经115岁，是老寿星了，哈哈！”小明纳闷，爷爷到底是多少岁？请求出爷爷和小明现在的年龄．
3．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究哈尔滨地铁的运行．
素材1 哈尔滨轨道1号线是哈尔滨第1条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为2分钟，每站停靠时间为30秒．图1是1号线部分线路图：
素材2 小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以哈尔滨东站为原点，建立了如图2所示的数轴，其中数字1代表桦树街站，数字2代表交通学院站，以此类推，数轴上的动点P可以用来刻画运动的地铁，动点P每次运动到一个整数点时，都需要暂停30秒，代表地铁到站停靠．
问题解决
探究1 图2中数字5代表_______站
探究2 如图2，动点P从原点出发，运动t分钟后到数字3和数字4之间（不含数字3和数字4），求点P在数轴上表示的数_______（用含t的代数式表示）
探究3 如图3，乘客A从桦树街站上车，乘坐往哈尔滨南站方向的地铁，同时乘客B从博物馆站上车，乘坐往哈尔滨东站方向的地铁，若两辆地铁恰好同时从桦树站和博物馆站出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距2.5个单位长
【典型例题五 数轴上点的平移（动点问题）】
【例1】（25-26七年级上·云南昆明·期中）数轴上一点表示的数为，则点在数轴上移动个单位长度后表示的数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【例2】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段检测）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，．．．，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【例3】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）点为数轴上的一点，动点从点出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点．若点表示的数是，则点表示的数是__________．
【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B．若点B到原点的距离为5个单位长度，则点A表示的数是___________．
1．（25-26七年级上·全国·单元复习）如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒．
(1)当时，求点到原点的距离；
(2)当时，求点到原点的距离；
2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点，使得点到点的距离与点到点的距离之和等于，则称点为点、的“n格距点”．例如：在图1中，点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“格距点”．
(1)若点表示的数是，则的值为______；
(2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则这样的整点有______个；
(3)若点在数轴上运动，满足点到点的距离等于点到点的距离的倍，且此时点为点、的“格距点”，求点表示的数及的值．
3．（24-25七年级上·广东广州·期末）（1）、、、四点的位置在如图1所示的数轴上，且点所表示的数，满足，则 ， ；
（2）在（1）的条件下，在该数轴上，线段以个单位的速度向正方向运动·，同时线段以个单位的速度向负方向．那么这两条线段从开始运动到完全离开需要经过多少？
（3）如图，三点在以O为原点的数轴上，点在以O为圆心，半径等于的圆周上，且，点绕点O以的速度顺时针旋转了时停止运动：同时点沿数轴负方向以个单位的速度运动，当到达点时马上以的速度绕点O逆时针旋转(当停止运动，也停止)，问：点P、Q开始运动后，在什么时刻，线段、在同一直线上？
【典型例题六 数轴上找原点】
【例1】 （2025·河北邯郸·二模）如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ）
A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点
C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点
【例2】（25-26七年级上·山东日照·期中）如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　）
A．1 B．0 C． D．
【例3】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，数轴上有①②③④四部分，已知，且，则原点所在的部分为________．
【例4】（25-26七年级上·新疆·期末）如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______．
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知一条直线上有四个点A，B，C，D，其中，，．请在给定的直线上确定一点作为原点，建立数轴，并写出这四个点所表示的数．
2．（24-25七年级上·河南信阳·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是．
(1)在数轴上标出原点；
(2)点B表示的数是 ；
(3)若点A，B同时以相同速度沿数轴正方向运动，当点A运动到原点时，求此时点B在数轴上对应的数．
3．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题：
(1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴；
(2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C；
(3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O．
【典型例题七 数轴上整点覆盖问题】
【例1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）数轴上表示与的两点之间，表示整数点的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【例2】（24-25七年级上·河南南阳·期中）小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【例3】（25-26七年级上·全国·期中）一滴墨水滴在了数轴上，根据图中的数据可判断被墨迹盖住的整数有________个．
【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数．
（1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个；
（2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有_______个．
1．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？
2．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）电子跳蚤在数轴上的点，第一步向左跳一个单位到，第二步由向右跳2个单位到．第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰好是2016
(1)求电子跳蚤的初始位置点所表示的数
(2)在数轴上，某条线段的长度为所表示的数，则这条线段覆盖的整数有多少个？
3．（25-26七年级上·山东烟台·期中）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
(1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数___________表示的点重合．
(2)若表示的点与5表示的点重合，回答以下问题：
①7表示的点与数___________表示的点重合；
②若数轴上、两点之间的距离为12（在的左侧），且、两点经折叠重合，求两点表示的数各是多少？
③在②的条件下，数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为14？若存在，请求点所对应的数值；若不存在，说明理由．
【典型例题八 数轴上的规律探究】
【例1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在数轴上，点A表示的数是，点M从点A出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……依次操作4053次后，此时M表示的数是（ ）
A． B．2024 C．6077 D．
【例2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合．（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例3】（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，过数轴上表示的点作数轴的垂线，过数轴上表示的点作数轴的垂线，过数轴上表示的点作数轴的垂线，．已知点表示的数为，将点沿直线翻折得到点，将点：沿直线翻折得到点，将点沿直线翻折得到点，则表示的数为_____．
【例4】（24-25七年级上·河南郑州·期末）正六边形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数所对应的顶点是______．
1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点到达点后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点后停止运动．设点运动的时间为秒．
(1)当时，求点表示的数；
(2)当时，求点表示的数；
(3)当点与原点的距离是1个单位长度时，直接写出的值．
2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段检测）如图5，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且．
(1)___________，___________，A，B两点之间的距离为___________；
(2)有一动点M从点A出发，第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，求点M所对应的有理数；
(3)点P为数轴上一点，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，请求出此时点P对应的有理数．
3．（24-25七年级上·福建宁德·期中）如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推．

(1)若点与原点重合，点表示的数为_____．
(2)若点表示的数为，
①点表示的数为_____，
②若边长为4的正方形的边在数轴上，点与点重合，此时点，点在数轴上所表示的数相同，将长方形和正方形都沿数轴无滑动向右翻滚，当点，点在数轴上所表示的数再次相同时，求此时点表示的数？当点第14次落回到数轴上时，点，点在数轴上所表示的数最多有几次相同？

【典型例题九 有关数轴的新定义问题】
【例1】（2025·浙江杭州·二模）在数轴上，点表示的数是4，点表示的数是0，点表示的数是．定义：点在线段上，如果线段的长度有最大值，则称为点与线段的“闭距离”．例如：，当点与点重合时，．若，则的值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【例2】（25-26七年级上·北京通州·期末）对于数轴上不同的三点，给出如下定义：若其中一个点到其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“赋能点”．例如数轴上点所表示的数分别为，此时点B是点的“赋能点”．若点D表示数为，点E表示数为3，下列各数所对应的点分别为，其中与点能组成的“赋能点”的有（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级上·河南新乡·期中）定义：若一个多项式有两项且两项的次数相同，则这样的多项式就叫做“齐次二项式”．若关于a，b的多项式是“齐次二项式”，在数轴上表示n的点在表示的点距离5个单位长度处，则________．
【例4】 （24-25七年级下·福建厦门·期中）数轴上点A，B，C表示的实数分别为a，b，c．定义：表示点A，B，C中任意两点距离的最大值．例如：当，，时，，，，．已知：，，，那么c的值是__________________________．
1．（25-26七年级上·北京·期中）对于有理数、，定义一种新运算“*”，规定．
(1)直接写出的值为_____；
(2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简；
(3)在条件（2）下，直接写出_____．
2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算，规定．

(1)计算的值．
(2)表示数b的点B在数轴上的位置如图所示，求的值．
3．（24-25七年级上·四川成都·期末）新定义：一条线段上任意一点与另一条线段上任意一点之间的距离最小值叫做两线段之间的“最佳”距离．如图，数轴上有四个点，，，，它们对应数轴上的数分别为，，5，，连接，．
(1)线段与线段之间的“最佳”距离是______个单位；
(2)将线段以每秒1个单位的速度沿数轴正方向移动．
①若线段保持位置不变，当线段运动多少秒时，线段与线段之间的“最佳”距离为2？
②若线段以每秒2个单位的速度沿数轴负方向移动，运动时间为秒，请用含的式子表示线段与线段之间的“最佳”距离．
1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列各图中，是数轴的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025七年级上·河南·专题练习）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图．把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26七年级上·重庆·期中）数轴上的点A 、B 、C 、D所表示的数如图所示，点M 为线段的中点，线段沿数轴以每秒2个单位长度向右平移，同时，点D沿数轴以每秒m 个单位长度向左平移．当点M 和点C 重合时同时停止运动．若在运动过程中始终满足，则m 的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．5
4．（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（ ）
A．C B．B C．E D．F
6．（24-25七年级上·河南安阳·期中）数轴上在和之间的所有整数的和为______．
7．（25-26七年级上·江西宜春·期中）数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________．
8．（25-26七年级上·全国·课后作业）给出数轴比较变式为画数轴比较
（1）若，用“”连接，其结果是________．
（2）若表示数的点在原点的两侧，且，则用“”把，连接起来为________．
9．（25-26七年级上·广东佛山·期中）操作思考：将刻度尺放在图1的数轴上，如图2所示，，则刻度尺上的长度相当于该数轴上的______个长度单位．
10．（25-26七年级上·山西晋城·期中）如图，将钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴上的原点重合，再将钟面紧贴数轴并沿着数轴正方向滚动，使钟面上数字5对应的点与数轴上表示0.5的点重合，钟面上数字4对应的点与数轴上表示1的点重合．若钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为_____．（用含n的代数式表示）
11．（24-25七年级上·山西运城·期中）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数，并用“”将下列各数连接起来．
，，0，
12．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得
（1）玩具火车的长为_______________个单位长度；
（2）用上题思考方法解决下面问题：
一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________．
13．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）以厘米为个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点，，刚好对着直尺上的刻度，刻度和刻度，如图所示．设点，，在数轴上所表示的数的和是，该数轴的原点为．
(1)若点所表示的数是，则点所表示的数是 ．
(2)若点，所表示的数互为相反数，求p的值．
(3)若点，之间的距离为厘米，求的值．
14．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示．
(1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________；
(2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合；
(3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：．
①第___________次滚动后，点A离原点最远；
②当结束滚动时，点表示的数是___________．
15．（25-26七年级上·河北张家口·期中）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，2．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度，点C对齐刻度；
(1)求数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的长度是多少？
(2)求在数轴上点B所对应的数b；
(3)若D是数轴上一点，且满足，通过计算，求点D所对应的数；
(4)如图3，一质点P从点C处向点B方向跳动，第一次跳动到的中点处，第二次从点跳动到的中点处，第三次从点跳动到的中点处，如此跳动下去，则第n次跳动后，直接写出数轴上点所表示的数（用含n的代数式表示）．
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