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第05讲 有理数的乘法与除法（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 两个有理数的乘法运算
典型例题二 多个有理数的乘法运算
典型例题三 倒数
典型例题四 有理数的乘法运算律
典型例题五 有理数的除法运算
典型例题六 有理数乘除混合计算问题
典型例题七 有理数的乘法的实际应用
典型例题八 有理数的除法应用
典型例题九 有理数四则混合运算
典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用
知识点01 有理数的乘法
有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数）
两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。
即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。
多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。
多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。
【即时训练】
1．（25-26七年级上·山西临汾·期中）计算的结果是（ ）
A．0 B． C． D．
2．（24-25七年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是______．
知识点02 有理数乘法运算律
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。
乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
即：。
乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。
【即时训练】
1．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25六年级上·黑龙江绥化·期中），应用了( )律．
知识点03 倒数
①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。
②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。
（1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。
【即时训练】
1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）77的倒数是（ ）
A．77 B． C． D．
2．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如果两个数的乘积为，我们称它们互为负倒数，那么的负倒数是_________
知识点04 有理数的除法
①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。
有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。
②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
【即时训练】
1．（25-26七年级上·天津河西·期末）计算的结果等于（ ）
A． B．4 C． D．3
2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）对非零有理数a，b定义一种运算，其规则是：，则__________．
【典型例题一 两个有理数的乘法运算】
【例1】（25-26七年级上·广东清远·期末）计算：（ ）
A． B．6 C． D．5
【例2】（25-26七年级上·山西临汾·期末）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）计算 ______．
【例4】 （25-26七年级上·湖北咸宁·期末）若的结果是一个正数，中可以填的一个有理数为_________．
1．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：．
(1)计算的值；
(2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”）
(3)求的值．
2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题：
(1)求的值；
(2)与的值相等吗？请计算说明．
3．（24-25七年级上·福建福州·期中）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路学生改编了下列几题：
(1)计算：
①______ ； (直接写出结果)
②；
(2)计算：
【典型例题二 多个有理数的乘法运算】
【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列式子中，积的符号为负的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期中）张同学在计算时，因印刷问题，□里的数无法看清，老师告知此算式的结果为正数，则□里的数可能是（ ）
A．4 B． C． D．0
【例3】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____．
【例4】（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）腾讯公司将等级用四个图标展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级图标为2个皇冠，则其等级为__________级．
1．（24-25七年级上·广西柳州·期中）计算：．
2．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：
3．（24-25七年级上·全国·课后作业）小明有7张写着不同数字的卡片：，，，0，，，，他想从中抽取3张，使这三张卡片上的数字之积最大，应如何抽取？积最大是多少？
【典型例题三 倒数】
【例1】（25-26七年级上·山东聊城·期中）的倒数是（ ）
A． B． C． D．2
【例2】（2026·安徽六安·二模）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25七年级上·陕西西安·期末）若，则a的倒数为________．
【例4】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）的倒数是______，的倒数是______；的倒数的相反数是______．
1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）一个自然数若能表示为若干个正整数的和，且这些正整数的倒数之和恰好等于1，则称其为“有趣的数”．比如：且，则22就是一个“有趣的数”．
(1)证明：11是“有趣的数”；
(2)证明：若是“有趣的数”，则也是“有趣的数”．
2．（25-26七年级上·云南临沧·期中）课堂上，老师出了一道计算题：．
小丽发现，与互为倒数，那么可以先算，那么的值为．
请你根据小丽的方法，计算：．
3．（2025·河北保定·一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算．
刘聪和他的小伙伴选择常规解法：；
张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：
原式的倒数．
所以，原式．
(1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？
(2)请选择你喜欢的解法计算：．
【典型例题四 有理数的乘法运算律】
【例1】（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）下列各式运用运算律不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（ ）
A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律
【例3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________．
【例4】（25-26七年级上·福建宁德·期中）北师大版七年级上册课本有一道题，给出了两种解法如下：
下面是计算的两种解法．
解法一：
．
解法二：
．
“解法二”计算过程中，运用的运算律是__________．
1．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
计算： 解： 第一步 第二步 第三步
2．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）对有理数a、b、c，在乘法运算中，满足①交换律：；②分配律：．现对这种运算作如下定义，规定：．
(1)计算：______．
(2)举例说明：这种运算是否满足分配律？
3．（25-26七年级上·浙江金华·期中）学了有理数的运算后，宋老师给同学们出了如下两道题．
计算：①； ②．
下面是文文和园园的计算过程：
文文： ． 园园： ．
(1)文文的解答过程正确但不够简便，请用简便方法计算；
(2)园园的解答过程中是否有错误？如果有，请改正并写出正确的计算过程．
【典型例题五 有理数的除法运算】
【例1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）已知，，那么（ ）
A．4 B．6 C．18
【例2】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示98的点与圆周上表示（ ）的点重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
【例3】（24-25六年级上·湖北武汉阶段检测）甲、乙两人展开劳动竞赛，甲36分钟做了63个零件，乙30分钟做了54个零件，则______（选填“甲”或“乙”）的加工速度快．
【例4】（25-26七年级上·湖北恩施·期中）计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表：例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示____________．
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1．（25-26六年级上·山东威海·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以．请你运用小明的解法计算：．
2．（25-26六年级上·山东淄博·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题：
(1)从中选择两张卡片
①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果；
②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果；
③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果；
④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果；
(2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可）．
3．（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数、、满足，求的值．
【解决问题】
解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①、、都是正数，即时，则
②当、、中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，则
综上所述，的值为或．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)填空：
①当时，则的值为___________；
②已知、、是有理数，当时，则的值为___________；
(2)已知、、是有理数，当时，求的值；
(3)已知、、是有理数，，，求的值．
【典型例题六 有理数乘除混合计算问题】
【例1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）规定新运算阶乘：，，……则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列计算①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【例3】（24-25七年级上·河南濮阳·期中）①______；
②______．
【例4】（24-25七年级上·河南郑州·期中）一辆小排量轿车每百公里耗油升，另一辆大排量轿车每百公里耗油升，两辆轿车同样行驶千米的路程，小排量轿车比大排量轿车节省燃油______升．
1．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
2．（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程：
计算：
解：原式…………①
…………②
…………③
(1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步；
(2)请你写出这道题的正确解答过程．
3．（25-26七年级上·河北唐山·期中）琪琪记录了周一到周五储蓄罐中零花钱的变化（罐中原有60元）：
星期 一 二 三 四 五
变化量（元） 0
求：
(1)这五天琪琪一共花了多少零花钱？
(2)哪天储蓄罐中零花钱最多，最多是多少？
(3)琪琪想从记录的五个变化量的数字中选4个，每个数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，请你帮她写出两个算式．
【典型例题七 有理数的乘法的实际应用】
【例1】（25-26七年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）2025年国家实施手机购新补贴政策，规定个人消费者购买单件销售价格不超过6000元的手机，按产品销售价格的给予补贴，每件补贴不超过500元．小明看中一款售价为2880元的手机，按照国补政策，他最终需要付款（ ）
A．432元 B．2448元 C．500元 D．2380元
【例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）诗句“黄河远上白云间，一片孤城万仞山”中的“仞”在古代是一个长度单位，以周、秦、汉的度量衡来论，“一仞”就是八尺，一尺约等于现在的，那么，“一仞”约等于（ ）
A．成年人的身高 B．成年人一臂的长度
C．成年人一掌的长度 D．成年人一拃的长度
【例3】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）一辆小客车可以乘坐17人，一辆大客车乘坐的人数是小客车的2倍，大、小客车各一辆一共可以乘坐______人．
【例4】（2025七年级下·江苏徐州·专题练习）徐州博物馆为游客设计了一种盲盒文创．已知盲盒的包装盒为一个正方体（如图）．帮助打包时，三位同学选择了三种不同的箱子（底部如图），每个箱子都只能放一层，那么曹颖的箱子能放__________个，徐晓的箱子能放__________个，刘鹏的箱子能放__________个．
1．（25-26七年级上·广东东莞·期中）某公司去年月平均每月亏损1.6万元，月平均每月盈利14.7万元，月平均每月盈利12.4万元，月平均每月亏损2.6万元（记盈利额为正，亏损额为负），请通过计算说明该公司去年总的盈亏情况．
2．（25-26七年级上·四川达州·期中）小北爸爸在聚餐饮酒后呼叫代驾返家，代驾收费分为两部分：
①起步价（分时段）7千米以内：为元；为35元；为55元．
②里程费：超出起步路程后每千米收费4.5元（不足1千米，按1千米计算）．
小北爸爸晚上呼叫代驾，车程共13.7千米，需要支付代驾费多少元？
3．（2026·广东东莞·二模）小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购、他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下：
层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分．
计分规则：总分健康监测准确性运动模式丰富度电池续航外观颜值佩戴舒适度．
(1)从计分规则可以看出，小明最重视哪一个评分项目？
(2)请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表？
(3)结合本次计分规则的设计逻辑，分析“B款手表‘非常好’的项目数量最多，但小明未选择它”的原因．
【典型例题八 有理数的除法应用】
【例1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）先锋小学开展奖章兑换活动，20个奖章可以换4支钢笔，笑笑有100个奖章，可以换（ ）支钢笔
A．40 B．5 C．10 D．20
【例2】（25-26七年级上·安徽滁州·期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）；以2025年为例；
天干为；地支为；
对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
依据上述规律推断，2049年应为（ ）
A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．己巳年
【例3】（24-25七年级上·山东聊城·期中）一只蜗牛从一口深的枯井底部往上爬，从井底到井口要用12天时间，则蜗牛平均每天往上爬_______m．
【例4】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小华在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数，加“※”，再输入数，得到运算，当他某次运用这个程序时，屏幕显示“该操作无法进行”，请问小华在输入的数a，b的数量关系是__________.
1．（2025七年级上·湖南长沙·专题练习）在教室里安装空调时需要考虑制冷量．房间需要的制冷量单位制冷量房间面积．一般情况下，这个“单位制冷量”的基础为瓦/平方米．
型号
制冷量/瓦
(1)教室长8米，宽7米，安装空调时应该考虑的制冷量最少是多少瓦？
(2)后勤处准备在第（1）题中的教室里安装两台同一型号的空调，请根据上表作出选择并说明理由．
2．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）我们已经知道：求n个相同因数的积的运算叫做乘方．类比乘方的定义，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．我们把记作，读作“2的下3次方”，记作：，读作“的下4次方”．
(1)直接写出计算结果：_______；
(2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如：．仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：_______，________；
(3)计算：．
3．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）恩格尔系数是国际上通用的衡量居民家庭生活水平高低的指标之一．具体计算公式为：恩格尔系数（），恩格尔系数大于为贫穷，为温饱，为小康，为相对富裕，为富裕，以下为极其富裕，为了了解自己家的生活水平，亮亮对自己家8月份的收支情况进行了整理和记录，如下表：
项目 收支情况/元
爸爸和妈妈的月工资收入总和8000元
水、电、煤气、手机、宽带等共支出1400元
文化教育支出4000元 _____
食品支出1800元 _____
(1)将表格中两处横线部分直接补充完整；
(2)亮亮家本月一共支出多少元
(3)根据以上信息，对亮亮家的生活水平进行评价．
【典型例题九 有理数四则混合运算】
【例1】（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（ ）
A． B． C．同时计算 D．无法确定
【例2】（25-26七年级上·河南许昌·期中）算式可表示为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级上·全国·期末）计算：______．
【例4】 （25-26七年级上·福建泉州·期末）已知a，b为有理数，规定一种新的运算“※”，规定：，例如：，计算：________．
1．（25-26七年级上·广西南宁·期中）对于整数，，有如下规定： ，计算：；
2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）怎样算简便就怎样算．（在第4小题括号里填上合适的数，使计算可以简便，并计算）
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
3．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）下面是珍珍进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算： 解：原式………………第一步； ………………第二步； ………………第三步．
(1)这道计算题是一道有理数的四则混合运算题，珍珍的运算顺序是_____的．（填写“正确”或“错误”）
(2)在运算过程中，用到了一些法则，请将下列法则补充完整．
第一步将有理数的除法转化为乘法，依据的法则是：除以一个不等于0的数，等于_____；第三步算有理数加法，依据的法则是：绝对值不相等的异号两数相加，和取____的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
(3)珍珍的运算结果正确吗？如果不正确，是从第几步开始出错的，并写出正确的计算过程．
【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】
【例1】（24-25七年级上·西藏·期末）某商品进价为150元，销售价为165元，则销售该商品的利润率为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）下表反映的是某地区的用电量与应缴电费之间的关系：
用电量（千瓦·时） 1 2 3 4 ……
应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 ……
下列叙述错误的是（ ）
A．应缴电费随用电量的增加而增加；
B．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元；
C．若用电量为8千瓦·时，则应缴电费4.6元
D．若所缴电费为3.3元，则用电量为6千瓦·时
【例3】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两班之间赛一场），预计全部赛完共需_________场比赛．
【例4】（24-25七年级上·四川广元·期中）如图所示，在容器中放入个圆柱形铁块和个与它等底等高的圆锥形零件，溢出了部分水，则每个圆锥形零件的体积是 __立方厘米．
1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）小悦和冬冬玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的一枚棋子，一开始小悦有枚棋子，冬冬有枚．玩了若干局后，小悦反而比冬冬多了枚棋子．请问此时小悦有多少枚棋子？
2．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零．
第天 1 2 3 4 5 6 7
路程/km
(1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？
(2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？
3．（25-26六年级上·湖北武汉·期末）小明、小丽、小杰三人去一家餐厅吃火锅，付款时打印的结账单如图所示．现有三种优惠活动如下：
结账单锅底 1份 38.00 精品羊肉 1份 48.00 雪花牛肉 1份 58.00 毛肚 1份 68.00 贡丸 1份 28.00 金针菇 1份 18.00 蔬菜拼盘 1份 28.00 可乐（饮料） 1瓶 10.00 共计 296.00 元
（1）大众点评网上可用88元购得该店100元的代金券（每单最多可用两张）；
（2）支付宝付款可享受全单八八折；
（3）火锅店优惠活动“除锅底、酒水、饮料外，每消费满80元立减10元”．
以上三种优惠方式只能选择一种，你能帮他们算一算哪种支付方式最优惠吗？
1．（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
2．（2025七年级上·全国·专题练习）如果两个有理数，的乘积小于，那么（ ）
A．， B．，
C．，符号相同 D．，符号相反
3．（24-25七年级上·全国·期末）若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·河南安阳·二模）如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（ ）
B． C． D．
5．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）区别于十进制，古巴比伦使用的是60进 制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1~12，另一只手用五根手指表示12的1~5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是．若当其左手伸出三根手指，右手大拇指掐中第3指关节时，表示的十进制数字是（ ）
A．9 B．19 C．29 D．39
6．（24-25六年级上·湖北武汉·期中）的倒数是_____________．
7．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）观察思考找规律，______．
8．（2025七年级下·浙江·模拟预测）若规定，则________．
9．（2026·河南洛阳·三模）外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表：
送餐距离 小于等于公里 大于公里
占比
送餐费 元/单 元/单
则小李年月份的送餐收入为_____元．
10．（2026·河南周口·一模）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下：
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按________的先后顺序彩排．
11．（25-26七年级上·湖南永州·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
12．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题：
“计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：．
13．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）课堂上，老师出了一道计算题：，小明和小丽同学的解法如下：
小明的解法： 原式．
小丽的解法：原式的倒数为：． 所以原式．
(1)小明和小丽的解法中，正确的是______的解法（填“小明”或“小丽”）；
(2)请你运用上述正确的方法计算：．
14．（25-26七年级上·山西临汾·期末）跳绳是一项增强心肺功能、促进燃脂减肥、增强肌肉力量的运动，根据临汾市2025年中考体育最新政策，女生1分钟内跳满178个可获得该项目的满分．今年国庆期间，小颖10月1日到10月8日每天都坚持跳绳打卡，打卡记录如表所示（比178多的个数记为“”，比178少的记为“”），请根据表格当中的数据回答下列问题：
日期 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8
跳绳变化（个
(1)小颖10月___________日跳绳个数最多，最多是___________个；
(2)为了鼓励小颖锻炼身体，小颖的妈妈制定了如下奖励方案：从10月1日开始，只要小颖每天坚持跳绳打卡，妈妈每天都奖励她20元．以一分钟跳绳178个为标准，每超出一个再奖励2元，每低于一个则扣2元．10月9日就是妈妈的生日了，小颖想用这笔钱给妈妈购买一个150元的保温杯，请问她的愿望能否实现？请说明理由．
15．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）小海骑变速自行车上坡时，拨一下变速器，脚蹬会变轻；想骑快时再拨一下，后轮转速就会提升，这是如何实现的？
秘密藏在自行车的齿轮组里：如图，前后两个齿轮通过链条连接，前侧连接脚蹬的齿轮组是牙盘（动力轮），后侧连接后轮轴心的齿轮组是飞轮（从动轮），自行车后轮转速与后飞轮一致．齿轮—链条啮合的传动原理与齿轮直接啮合一致（链条改变了飞轮转动方向），通过前（后）拨器切换链条卡在牙盘/飞轮的不同齿轮上，即可改变后轮转速，相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力．
小海观察自己的变速自行车，发现后飞轮有四层不同齿数的齿轮，由外到内的齿数分别为30（1档）、24（2档）、20（3档）、16齿（4档），前牙盘最外层有36齿．
(1)小海在小区平路骑行时，将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度_______小海蹬车速度（填“大于”“小于”），如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为_______圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为_______．
(2)已知自行车后轮直径为，在一段上坡路上，小海将飞轮拨至24齿（牙盘36齿），车后轮转了150圈，这段坡路有多少米？（结果保留）
(3)在（2）的条件下，小海认为此段坡路骑起来还是费力，于是保留后飞轮24齿，将前牙盘拨到另一齿轮档位，保持40圈/分钟的蹬车速度，他想用不超过5分钟骑完该坡路，并希望尽可能省力，请问他应该把前牙盘调到多少齿？（ ）
A．15齿 B．18齿 C．20齿 D．24齿
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第05讲 有理数的乘法与除法（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 两个有理数的乘法运算
典型例题二 多个有理数的乘法运算
典型例题三 倒数
典型例题四 有理数的乘法运算律
典型例题五 有理数的除法运算
典型例题六 有理数乘除混合计算问题
典型例题七 有理数的乘法的实际应用
典型例题八 有理数的除法应用
典型例题九 有理数四则混合运算
典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用
知识点01 有理数的乘法
有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数）
两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。
即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。
多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。
多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。
【即时训练】
1．（25-26七年级上·山西临汾·期中）计算的结果是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查有理数乘法，根据乘法的基本性质，零乘以任何数都等于零可得答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：，
故选：A．
2．（24-25七年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是______．
【答案】
【分析】本题考查的是多个有理数的乘法运算，由观察发现前面三个小正方形内的数据等于顶点处的四个数据的乘积，从而可得答案．
【详解】解：∵，
，
，
即四个角的数字相乘所得乘积即为正方形内的数字，
∴第四个正方形内的数据为：，
故答案为：
知识点02 有理数乘法运算律
乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。
乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
即：。
乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。
【即时训练】
1．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是乘法的运算律，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键．
利用乘法对加法的分配率的逆应用运算即可．
【详解】解：
故选：B．
2．（24-25六年级上·黑龙江绥化·期中），应用了( )律．
【答案】乘法分配
【分析】此题考查了有理数的乘法，理解乘法的分配律的意义，并且能够正确灵活运用乘法的运算定律进行简便计算是解题的关键．
，运用乘法分配律进行简算．
【详解】解：，应用了乘法分配律进行简算．
故答案为：乘法分配．
知识点03 倒数
①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。
②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然．
③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。
（1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。
【即时训练】
1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）77的倒数是（ ）
A．77 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：77的倒数是．
2．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如果两个数的乘积为，我们称它们互为负倒数，那么的负倒数是_________
【答案】/
【分析】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键．根据互为负倒数的定义可知，用即可得到的负倒数．
【详解】解：，
的负倒数是．
故答案为：．
知识点04 有理数的除法
①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。
有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。
②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
【即时训练】
1．（25-26七年级上·天津河西·期末）计算的结果等于（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键．根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）对非零有理数a，b定义一种运算，其规则是：，则__________．
【答案】
【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
根据题意列式计算即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【典型例题一 两个有理数的乘法运算】
【例1】（25-26七年级上·广东清远·期末）计算：（ ）
A． B．6 C． D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握其运算法则是关键，根据两个负数相乘，结果为正数即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
【例2】（25-26七年级上·山西临汾·期末）在简便运算时，把变形成最合适的形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的简便运算，将带分数变形成凑整的形式，便于计算，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∴，这样便于后面的运算，
故选：A
【例3】（24-25七年级上·新疆阿克苏·阶段检测）计算 ______．
【答案】6
【详解】解：6．
【例4】 （25-26七年级上·湖北咸宁·期末）若的结果是一个正数，中可以填的一个有理数为_________．
【答案】
【分析】根据有理数乘法法则，两数相乘同号得正，已知其中一个因数为负数，故另一个因数需为负数，据此确定□内的有理数．
【详解】解：∵的结果是一个正数，
∴中的数必须为负数，
∴中可以填的一个有理数为．（答案不唯一）
1．（24-25七年级上·江苏·阶段检测）小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，运算规则为：．
(1)计算的值；
(2)填空：___________（填“>”或“=”或“<”）
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1），
；
（2），
，
，
；
（3），
．
2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题：
(1)求的值；
(2)与的值相等吗？请计算说明．
【答案】(1)23
(2)与的值不相等．说明见解析
【分析】（1）直接根据新定义计算即可；
（2）根据新定义计算出的值，然后结合（1）中计算结果判断即可．
【详解】（1）解∶∵，
∴；
（2）解∶ 与的值不相等
理由：∵，
∴，
由（1）知，
∵，
∴与的值不相等．
3．（24-25七年级上·福建福州·期中）在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路学生改编了下列几题：
(1)计算：
①______ ； (直接写出结果)
②；
(2)计算：
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题主要考查有理数加减混合运算；
（1）①将两个加数组合在一起作为一组；其和为，共有组，据此计算即可；
②将两个加数组合在一起作为一组；其和为，共有组，据此计算即可；
（2）将四个加数组合在一起作为一组；其和为，共有组，据此计算即可．
【详解】（1）解：①
，
故答案为：
②
，
；
（2）解：
，
；
【典型例题二 多个有理数的乘法运算】
【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）下列式子中，积的符号为负的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
根据有理数乘法的运算法则，几个非0的有理数的乘法，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可．
【详解】解：A、原式有2个负号，积的符号为正，不符合题意；
B、原式有4个负号，积的符号为正，不符合题意；
C、原式有一个因数为0，故积为0，不符合题意；
D、原式有3个负号，积的符号为负，符合题意；
故选D．
【例2】（25-26七年级上·新疆吐鲁番·期中）张同学在计算时，因印刷问题，□里的数无法看清，老师告知此算式的结果为正数，则□里的数可能是（ ）
A．4 B． C． D．0
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的乘法．根据“几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正”判断即可．
【详解】解：∵计算的结果为正数，
∴□里的数是负数，
观察四个选项，只有选项C符合题意，
故选：C．
【例3】（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____．
【答案】
【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘法运算．根据新定义运算，转化为有理数的乘法运算解答即可．
【详解】解：根据题意得，
，
故答案为：．
【例4】（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）腾讯公司将等级用四个图标展示，从低到高分别为星星、月亮、太阳、皇冠，采用“满四进一”制，一开始是星星，一个星星为1级，4个星星等于一个月亮，4个月亮等于一个太阳，4个太阳等于一个皇冠，某用户的等级图标为2个皇冠，则其等级为__________级．
【答案】128
【分析】本题考查了乘法的意义．
根据等级的“满四进一”制，一个皇冠相当于级，因此两个皇冠的等级为级．
【详解】解：由题意，一个皇冠等于4个太阳，一个太阳等于4个月亮，一个月亮等于4个星星，一个星星为1级，
因此一个皇冠的等级为级，
故两个皇冠的等级为级．
故答案为：128．
1．（24-25七年级上·广西柳州·期中）计算：．
【答案】．
【分析】本题主要考查有理数乘法，运算律，根据题意，去括号，运用结合律，乘法分配律的逆运算计算即可．
【详解】解：
．
2．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：
【答案】
【分析】本题考查了有理数的乘法，先根据小括号的个数确定符号，再根据互为倒数的两个数相乘，乘积为1，进行简便计算，从而得出结果．
【详解】解：
．
3．（24-25七年级上·全国·课后作业）小明有7张写着不同数字的卡片：，，，0，，，，他想从中抽取3张，使这三张卡片上的数字之积最大，应如何抽取？积最大是多少？
【答案】抽取、、三张卡片，数字之积最大，积为90
【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数的大小比较，根据同号得正，异号得负，正数大于一切负数列式计算即可得解．
【详解】解：3张卡片数字之积最大的为：
，
所以抽取、、三张卡片，数字之积最大，积为90．
【典型例题三 倒数】
【例1】（25-26七年级上·山东聊城·期中）的倒数是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】解：的倒数是．
【例2】（2026·安徽六安·二模）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：的倒数是．
【例3】（24-25七年级上·陕西西安·期末）若，则a的倒数为________．
【答案】
【详解】解：∵的倒数为；
∴a的倒数为.
【例4】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）的倒数是______，的倒数是______；的倒数的相反数是______．
【答案】 / //
【分析】本题考查了相反数与倒数的概念，相反数为相加为的两个数，倒数为乘积为的两个数，根据概念填空即可，正确的计算是解题的关键．
【详解】，，
的倒数是，的倒数是，的倒数是．的倒数的相反数是
故答案为：，，．
1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）一个自然数若能表示为若干个正整数的和，且这些正整数的倒数之和恰好等于1，则称其为“有趣的数”．比如：且，则22就是一个“有趣的数”．
(1)证明：11是“有趣的数”；
(2)证明：若是“有趣的数”，则也是“有趣的数”．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查有理数的加法运算，倒数的定义，新定义，正确理解“有趣的数”是解题的关键．
（1）根据“有趣的数”的定义解答即可；
（2）设，则，代入可得，由，即可得到，由（1）知，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，，
∴11是“有趣的数”；
（2）证明：设，则，
代入可得，
∵是“有趣的数”，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，且，
∴也是“有趣的数”．
2．（25-26七年级上·云南临沧·期中）课堂上，老师出了一道计算题：．
小丽发现，与互为倒数，那么可以先算，那么的值为．
请你根据小丽的方法，计算：．
【答案】
【分析】本题考查倒数的定义，有理数的混合运算，乘法分配律．先求得，根据阅读材料求出，据此计算即可求解．
【详解】解：
；
∵与互为倒数，且，
∴，
∴．
3．（2025·河北保定·一模）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算．
刘聪和他的小伙伴选择常规解法：；
张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法：
原式的倒数．
所以，原式．
(1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？
(2)请选择你喜欢的解法计算：．
【答案】(1)张明，见解析
(2)
【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律：
（1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法；
（2）仿照题意计算原式的倒数，先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出的值，进而求出的值的倒数即可得到答案．
【详解】（1）解：喜欢张明的解法．
理由如下：观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，所以更喜欢张明的解法；
（2）解：原式的倒数
，
∴．
【典型例题四 有理数的乘法运算律】
【例1】（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）下列各式运用运算律不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律的定义．
结合乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律及除法无分配律的特性，逐一判断各选项运算律的运用是否正确即可．
【详解】解：选项A运用乘法交换律，运算律运用正确；
选项B运用乘法结合律，运算律运用正确；
选项C中，除法无分配律，运算律运用错误；
选项D运用乘法分配律，运算律运用正确；
故选：C．
【例2】（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（ ）
A．乘法交换律 B．分配律 C．移项 D．乘法结合律
【答案】D
【详解】解：原式变形为，
是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”，
符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律．
【例3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________．
【答案】58
【详解】解：
．
【例4】（25-26七年级上·福建宁德·期中）北师大版七年级上册课本有一道题，给出了两种解法如下：
下面是计算的两种解法．
解法一：
．
解法二：
．
“解法二”计算过程中，运用的运算律是__________．
【答案】乘法分配律
【分析】本题考查有理数的乘法，熟知在有理数运算中，乘法分配律是指一个数与几个数的和或差相乘，等于这个数分别与这些数相乘，再把积相加或相减．
根据解法二，将24分别与括号内的每个分数相乘，运用了乘法分配律．
【详解】解：解法二中，24与、、分别相乘，然后相加减，符合乘法分配律．
故答案为：乘法分配律．
1．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
计算： 解： 第一步 第二步 第三步
【答案】原解题步骤从第一步开始出现错误，正确解答见解析
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律的符号运算规则是解题的关键．利用乘法分配律将分别与括号内的数相乘，再进行加减运算．
【详解】解：原解题步骤从第一步开始出现错误，
正确解答过程如下：
原式
2．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）对有理数a、b、c，在乘法运算中，满足①交换律：；②分配律：．现对这种运算作如下定义，规定：．
(1)计算：______．
(2)举例说明：这种运算是否满足分配律？
【答案】(1)
(2)不满足，说明见解析
【分析】本题考查新定义运算，读懂题意，按照新定义计算是解决问题的关键．
（1）根据新定义，计算出即可得到答案；
（2）根据新定义，计算出即可说明情况．
【详解】（1）解：根据题中的新定义，得，
，
；
（2）解：；，
，即这种运算不满足分配律．
3．（25-26七年级上·浙江金华·期中）学了有理数的运算后，宋老师给同学们出了如下两道题．
计算：①； ②．
下面是文文和园园的计算过程：
文文： ． 园园： ．
(1)文文的解答过程正确但不够简便，请用简便方法计算；
(2)园园的解答过程中是否有错误？如果有，请改正并写出正确的计算过程．
【答案】(1)见解析
(2)有，见解析
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律（）及带分数的正确拆分是解题的关键．
（1）观察式子结构，发现两项均含有，利用乘法分配律提取公因式进行简便计算．
（2）根据乘法对加法的分配律分析求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：有错误，园园错误地将带分数拆分为，正确拆分应为，再利用乘法分配律计算．
改正：原式
．
【典型例题五 有理数的除法运算】
【例1】（26-27七年级·全国·小升初衔接）已知，，那么（ ）
A．4 B．6 C．18
【答案】C
【详解】解：∵，，
∴
∴，
∴．
【例2】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示98的点与圆周上表示（ ）的点重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查数轴，有理数的减法与除法，圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，滚动到98时，滚动了99个单位长度，用99除以4，余数即为重合点．
【详解】解：圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，
，
，
∴数轴上表示98的点与圆周上表示3的点重合．
故选：D．
【例3】（24-25六年级上·湖北武汉阶段检测）甲、乙两人展开劳动竞赛，甲36分钟做了63个零件，乙30分钟做了54个零件，则______（选填“甲”或“乙”）的加工速度快．
【答案】乙
【分析】先用除法求出甲、乙的加工速度，再比较即可．
【详解】解：甲：（个/分钟），（个/分钟），
∵，
∴乙的加工速度快．
答：乙的加工速度快．
【例4】（25-26七年级上·湖北恩施·期中）计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表：例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示____________．
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
【答案】
【分析】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是理解题意．根据十六进制与十进制的对应关系，将B和D转换为十进制数后相乘，再将乘积转换为十六进制即可．
【详解】解：B对应十进制11，D对应十进制13，，
余15，
15对应十六进制F，
因此用十六进制表示为．
故答案为：．
1．（25-26六年级上·山东威海·期中）数学老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题，他认为原式的倒数为，所以．请你运用小明的解法计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，准确计算是解题的关键．
根据所给方法计算即可；
【详解】
，
，
．
2．（25-26六年级上·山东淄博·期末）有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题：
(1)从中选择两张卡片
①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果；
②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果；
③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果；
④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果；
(2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式（写出一种即可）．
【答案】(1)①；②；③；④；
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）①根据两个最大的数相加，得出；②运用最小的数减去最大数，所得的差最小；③根据同号得正，且结合正数最大，进行作答；④根据异号得负，且结合负数最小，进行作答；
（2）结合从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：①依题意，，
故答案为：9；
②依题意，，
故答案为：；
③依题意，，
故答案为：；
④依题意，，
故答案为：；
（2）解：依题意，．
3．（25-26七年级上·贵州黔东南·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数、、满足，求的值．
【解决问题】
解：由题意，得三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①、、都是正数，即时，则
②当、、中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，则
综上所述，的值为或．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)填空：
①当时，则的值为___________；
②已知、、是有理数，当时，则的值为___________；
(2)已知、、是有理数，当时，求的值；
(3)已知、、是有理数，，，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，有理数的乘法，分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．
（1）①根据绝对值的意义，得出，，代入式子即可求解；
②仿照题目给出的思路和方法，解决即可；
（2）根据， 分 ,,为一负两正或三负两种情况讨论，再化简求值即可；
（3）根据已知等式，利用绝对值的意义判断出中负数有1个，正数有2个，原式利用绝对值的意义化简计算即可．
【详解】（1）解：∵
∴，，
∴，
∴的值为；
故答案为：．
②是不为的有理数，当时，即，
∴ 或，
当时，；
当 时，．
故答案为：．
（2）∵，
、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，
当、、都是负数，即时，
则：；
、、有一个为负数，另两个为正数时，设，
则；
（3）为三个不为的有理数，且，，
∴，
∴a、、中一个为负数，另两个为正数，设，
．
【典型例题六 有理数乘除混合计算问题】
【例1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）规定新运算阶乘：，，……则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目给出的阶乘新定义，展开分子分母后约分计算即可得到结果．
【详解】解：根据题中阶乘的定义，得，，
∴．
【例2】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列计算①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据有理数乘除混合运算法则计算判断即可．
本题考查有理数的乘除运算，需根据运算法则逐一验证每个计算是否正确．
【详解】解：
① ∵
∴ 计算①错误;
② ∵,
∴ 计算②错误;
③ ∵ , ,
∴ 计算③正确;
④ ∵,
∴ 计算④正确.
综上，正确计算有2个，
故选：C．
【例3】（24-25七年级上·河南濮阳·期中）①______；
②______．
【答案】 1009
【分析】本题主要考查了有理数的乘除，有理数的加减，解题的关键是掌握各运算法则及简便算法．
①按照有理数乘除运算法则进行求解即可；
②寻找规律，利用加法结合律进行简便运算即可．
【详解】解：①，
故答案为：；
②
，
故答案为：1009．
【例4】（24-25七年级上·河南郑州·期中）一辆小排量轿车每百公里耗油升，另一辆大排量轿车每百公里耗油升，两辆轿车同样行驶千米的路程，小排量轿车比大排量轿车节省燃油______升．
【答案】
【分析】本题考查了有理数乘除法的运用，理解数量关系，正确列式求解即可．
【详解】解：根据题意，（升），
故答案为： ．
1．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
【答案】(1)
(2)10
(3)0
(4)
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、运算律的应用、乘方与绝对值的运算，熟练掌握有理数的运算顺序和运算律是解题的关键．
（1）利用加法交换律和结合律，将同分母分数结合计算；
（2）将除法转化为乘法，再根据乘法法则计算；
（3）将除法转化为乘法，然后按照从左到右的顺序进行计算；
（4）先计算乘方、绝对值，再计算乘法，最后计算减法．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
2．（2026·河北邢台·一模）阅读下面解题过程：
计算：
解：原式…………①
…………②
…………③
(1)上面解题过程中有两处错误，第一处是第_____步，第二处是第_____步；
(2)请你写出这道题的正确解答过程．
【答案】(1)②③
(2)36
【分析】（1）第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错；
（2）根据乘除运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：第②步运算顺序出错；第③步运算符号出错；
（2）解：原式
．
3．（25-26七年级上·河北唐山·期中）琪琪记录了周一到周五储蓄罐中零花钱的变化（罐中原有60元）：
星期 一 二 三 四 五
变化量（元） 0
求：
(1)这五天琪琪一共花了多少零花钱？
(2)哪天储蓄罐中零花钱最多，最多是多少？
(3)琪琪想从记录的五个变化量的数字中选4个，每个数只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加括号），使其运算结果为24，请你帮她写出两个算式．
【答案】(1)8元
(2)周四最多，最多是64元
(3)见解析
【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）将这五天支出的钱进行加起来计算即可；
（2）将这五天每天的储蓄罐中的零花钱计算出来即可；
（3）利用有理数的四则运算法则求解即可．
【详解】（1）解：，
答：一共花了8元；
（2）解：周一：（元），
周二：（元）
周三：（元），
周四：（元）
周五：（元）
∵，
∴周四最多，最多是64元；
（3）解：由题意可得，①，
②，
③，
④，
【典型例题七 有理数的乘法的实际应用】
【例1】（25-26七年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）2025年国家实施手机购新补贴政策，规定个人消费者购买单件销售价格不超过6000元的手机，按产品销售价格的给予补贴，每件补贴不超过500元．小明看中一款售价为2880元的手机，按照国补政策，他最终需要付款（ ）
A．432元 B．2448元 C．500元 D．2380元
【答案】B
【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意，求出补贴，再用原价减去补贴，进行计算即可．
【详解】解：（元），（元）；
故选B．
【例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）诗句“黄河远上白云间，一片孤城万仞山”中的“仞”在古代是一个长度单位，以周、秦、汉的度量衡来论，“一仞”就是八尺，一尺约等于现在的，那么，“一仞”约等于（ ）
A．成年人的身高 B．成年人一臂的长度
C．成年人一掌的长度 D．成年人一拃的长度
【答案】A
【分析】本题考查了有理数乘法应用，长度的计算和估算，已知“一仞”是八尺，一尺等于厘米，求“一仞”相当于多少厘米，就是求8个是多少，用乘法计算；再根据进率“”换算单位，即可得解．
【详解】解：，
，
即“一仞”长；
A．成年人身高通常在，接近该范围，符合题意；
B．成年人一臂长度约为，远小于，不符合题意；
C．成年人一掌长度约，远小于，不符合题意；
D．成年人一拃的长度约，远小于，不符合题意．
故选：A．
【例3】（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）一辆小客车可以乘坐17人，一辆大客车乘坐的人数是小客车的2倍，大、小客车各一辆一共可以乘坐______人．
【答案】51
【分析】本题考查有理数的加法和乘法的应用，理解题意，正确列出算式求解即可．
【详解】解：
（人）
答：大、小客车各一辆一共可以乘坐51人．
故答案为：51．
【例4】（2025七年级下·江苏徐州·专题练习）徐州博物馆为游客设计了一种盲盒文创．已知盲盒的包装盒为一个正方体（如图）．帮助打包时，三位同学选择了三种不同的箱子（底部如图），每个箱子都只能放一层，那么曹颖的箱子能放__________个，徐晓的箱子能放__________个，刘鹏的箱子能放__________个．
【答案】 35 36 36
【分析】本题主要考查了有理数乘法的应用，根据图形列出算式进行计算即可．
【详解】解：曹颖的箱子能放（个），
徐晓的箱子能放（个），
刘鹏的箱子能放（个）．
故答案为：35；36；36．
1．（25-26七年级上·广东东莞·期中）某公司去年月平均每月亏损1.6万元，月平均每月盈利14.7万元，月平均每月盈利12.4万元，月平均每月亏损2.6万元（记盈利额为正，亏损额为负），请通过计算说明该公司去年总的盈亏情况．
【答案】
该公司去年总的盈利万元
【分析】根据亏损的为负数，盈利的为正数，列式计算即可．
【详解】解：由题得，，
，
（万元）．
答：该公司去年总的盈利万元．
2．（25-26七年级上·四川达州·期中）小北爸爸在聚餐饮酒后呼叫代驾返家，代驾收费分为两部分：
①起步价（分时段）7千米以内：为元；为35元；为55元．
②里程费：超出起步路程后每千米收费4.5元（不足1千米，按1千米计算）．
小北爸爸晚上呼叫代驾，车程共13.7千米，需要支付代驾费多少元？
【答案】86.5元
【分析】根据题意里程费共要收取千米的费用，再加上起步价即可．
【详解】解：（千米），
里程费共要收取千米的费用，每千米收费4.5元，
故需要支付代驾费（元）．
3．（2026·广东东莞·二模）小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购、他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下：
层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分．
计分规则：总分健康监测准确性运动模式丰富度电池续航外观颜值佩戴舒适度．
(1)从计分规则可以看出，小明最重视哪一个评分项目？
(2)请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表？
(3)结合本次计分规则的设计逻辑，分析“B款手表‘非常好’的项目数量最多，但小明未选择它”的原因．
【答案】(1)“健康监测准确性”
(2)
解：A款智能手表得分：分．
B款智能手表得分：分．
C款智能手表得分：分．
按此评分规则，小明会选购C款智能手表．
(3)
解：B款智能手表被评为“非常好”的四项权重分别为2，1，1，1，而被评为“一般”的那一项的权重是4，重要程度高，对总分影响大．
【分析】（1）根据评分规则分析即可；
（2）分别求出三款手表的得分，取得分最高的手表即可；
（3）根据权重分析即可．
【详解】（1）解：由题意可知，小明最重视“健康监测准确性”这一评分项目．
（2）略
（3）略
【典型例题八 有理数的除法应用】
【例1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）先锋小学开展奖章兑换活动，20个奖章可以换4支钢笔，笑笑有100个奖章，可以换（ ）支钢笔
A．40 B．5 C．10 D．20
【答案】D
【分析】先计算出兑换1支钢笔所需的奖章数，再计算100个奖章可兑换的钢笔数量．
【详解】解：支，
故可以换20支钢笔．
【例2】（25-26七年级上·安徽滁州·期末）干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）；以2025年为例；
天干为；地支为；
对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
依据上述规律推断，2049年应为（ ）
A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．己巳年
【答案】D
【分析】本题考查有理数运算的实际应用．
根据题目给出的天干、地支计算方法，列出算式计算后对照表格判断即可．
【详解】解：计算天干：，对照天干表，第6位为己，
计算地支：，对照地支表，第6位为巳，
∴2049年应为己巳年．
故选：D．
【例3】（24-25七年级上·山东聊城·期中）一只蜗牛从一口深的枯井底部往上爬，从井底到井口要用12天时间，则蜗牛平均每天往上爬_______m．
【答案】/
【分析】本题主要考查了利用有理数的除法运算解决实际问题，解题的关键是熟练掌握有理数除法法则．
利用有理数除法法则进行求解即可．
【详解】解：根据题意得，，
故答案为：．
【例4】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）小华在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数，加“※”，再输入数，得到运算，当他某次运用这个程序时，屏幕显示“该操作无法进行”，请问小华在输入的数a，b的数量关系是__________.
【答案】相等或互为相反数
【分析】本题考查有理数的混合运算．根据题意，提示为该操作无法进行，则得出除数为0，即，再得出关系即可．
【详解】解：屏幕显示“该操作无法进行”，
，
即或．
故答案为：相等或互为相反数．
1．（2025七年级上·湖南长沙·专题练习）在教室里安装空调时需要考虑制冷量．房间需要的制冷量单位制冷量房间面积．一般情况下，这个“单位制冷量”的基础为瓦/平方米．
型号
制冷量/瓦
(1)教室长8米，宽7米，安装空调时应该考虑的制冷量最少是多少瓦？
(2)后勤处准备在第（1）题中的教室里安装两台同一型号的空调，请根据上表作出选择并说明理由．
【答案】(1)8960瓦
(2)应选择型号的空调，理由见解析
【分析】本题主要考查了有理数乘除法的应用，正确理解题意求出教室所需要的最大制冷量和最少制冷量是解题的关键．
（1）用教室的面积乘以“单位制冷量”的最小值即可得到答案；
（2）用教室的面积乘以“单位制冷量”的最大值求出教室所需要的最大制冷量，进而求出每台空调所需要提供的最大制冷量和最少制冷量，再结合表格即可得到答案．
【详解】（1）解：瓦，
答：安装空调时应该考虑的制冷量最少是8960瓦；
（2）解：应选择型号的空调，理由如下：
教室里的最大制冷量为瓦，
教室里的最少制冷量为8960瓦，
∴每台空调所需提供的制冷量最少为瓦，
每台空调所需提供的制冷量最大为瓦，
∴所需每台空调所需提供的制冷量范围为（单位：瓦），
∴应选择型号的空调．
2．（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）我们已经知道：求n个相同因数的积的运算叫做乘方．类比乘方的定义，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．我们把记作，读作“2的下3次方”，记作：，读作“的下4次方”．
(1)直接写出计算结果：_______；
(2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如：．仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：_______，________；
(3)计算：．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解表示“的下次方”的意义是正确计算的关键．
（1）根据表示“的下次方”的意义进行计算即可；
（2）根据表示“的下次方”的意义，进行计算进而得出答案；
（3）按照有理数的运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解： ；
故答案为： ．
（2）解：
；
．
（3）解：
．
3．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）恩格尔系数是国际上通用的衡量居民家庭生活水平高低的指标之一．具体计算公式为：恩格尔系数（），恩格尔系数大于为贫穷，为温饱，为小康，为相对富裕，为富裕，以下为极其富裕，为了了解自己家的生活水平，亮亮对自己家8月份的收支情况进行了整理和记录，如下表：
项目 收支情况/元
爸爸和妈妈的月工资收入总和8000元
水、电、煤气、手机、宽带等共支出1400元
文化教育支出4000元 _____
食品支出1800元 _____
(1)将表格中两处横线部分直接补充完整；
(2)亮亮家本月一共支出多少元
(3)根据以上信息，对亮亮家的生活水平进行评价．
【答案】(1)见解析
(2)7200元
(3)亮亮家的生活水平为富裕
【分析】本题考查了正负数的应用、有理数加法与除法的应用，正确理解正负数的意义是解题关键．
（1）根据表格可得收入记，支出记，由此即可得；
（2）将表格中的所有支出金额相加即可得；
（3）计算亮亮家的恩格尔系数即可得．
【详解】（1）解：由表格可知，收入记为，支出记为，
则文化教育支出4000元，记为，
食品支出1800元，记为，
补充表格如下：
项目 收支情况/元
爸爸和妈妈的月工资收入总和8000元
水、电、煤气、手机、宽带等共支出1400元
文化教育支出4000元
食品支出1800元
（2）解：
（元），
答：亮亮家本月一共支出7200元．
（3）解：亮亮家的恩格尔系数为，
因为，
所以亮亮家的生活水平为富裕．
【典型例题九 有理数四则混合运算】
【例1】（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）按照运算顺序，计算第一步应算（ ）
A． B． C．同时计算 D．无法确定
【答案】B
【详解】解：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算．
【例2】（25-26七年级上·河南许昌·期中）算式可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了乘法与乘方的意义，熟练掌握“多个相同数相加用乘法表示、多个相同数相乘用乘方表示”是解题的关键．
根据乘法的意义表示多个相同数相加，根据乘方的意义表示多个相同数相乘，再组合成代数式．
【详解】解：∵9个4相加可表示为，
∵11个7相乘可表示为，
∴原式为，
故选：C．
【例3】（25-26七年级上·全国·期末）计算：______．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的乘法与加法的混合运算，熟练掌握有理数的乘法与加法的混合运算是关键．根据有理数的混合运算法则，先计算乘法，再计算加法即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【例4】 （25-26七年级上·福建泉州·期末）已知a，b为有理数，规定一种新的运算“※”，规定：，例如：，计算：________．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，根据新运算“※”的定义，将，代入公式，进行计算即可．
【详解】解：∵，
．
故答案为：．
1．（25-26七年级上·广西南宁·期中）对于整数，，有如下规定： ，计算：；
【答案】
【分析】先根据定义计算出，再计算即可．
【详解】解：，
．
2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）怎样算简便就怎样算．（在第4小题括号里填上合适的数，使计算可以简便，并计算）
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)，3
(5)1
(6)
(7)1
(8)2
【分析】本题考查的是简便运算，按照分配律，结合律，交换律的规则以及运算顺序和规则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：

；
（4）解：

；
（5）解：
；
（6）解：

；
（7）解：

；
（8）解：
．
3．（25-26七年级上·河北邯郸·期末）下面是珍珍进行有理数运算的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算： 解：原式………………第一步； ………………第二步； ………………第三步．
(1)这道计算题是一道有理数的四则混合运算题，珍珍的运算顺序是_____的．（填写“正确”或“错误”）
(2)在运算过程中，用到了一些法则，请将下列法则补充完整．
第一步将有理数的除法转化为乘法，依据的法则是：除以一个不等于0的数，等于_____；第三步算有理数加法，依据的法则是：绝对值不相等的异号两数相加，和取____的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
(3)珍珍的运算结果正确吗？如果不正确，是从第几步开始出错的，并写出正确的计算过程．
【答案】(1)正确
(2)乘以这个数的倒数；绝对值较大的加数
(3)不正确，从第二步开始出错，正确结果为96，过程见解析
【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知有理数的相关运算法则是解题的关键．
（1）按照先计算乘除法，再计算加减法的运算顺序判断即可；
（2）根据有理数的除法和加法运算法则可得答案；
（3）第二步计算乘法时，符号错误，先把除法变成乘法，再计算乘法，最后计算加法即可得到答案．
【详解】（1）解：观察可知，珍珍的运算顺序是正确的；
（2）解：第一步将有理数的除法转化为乘法，依据的法则是：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；
第三步算有理数加法，依据的法则是：绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）解：珍珍的运算结果不正确，从第二步开始出错，错误原因是计算乘法时，符号错误，
正确过程如下：
原式
．
【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】
【例1】（24-25七年级上·西藏·期末）某商品进价为150元，销售价为165元，则销售该商品的利润率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用利润售价进价，利润率利润进价，代入数值计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意，得利润率为．
【例2】（24-25七年级下·山东青岛·期中）下表反映的是某地区的用电量与应缴电费之间的关系：
用电量（千瓦·时） 1 2 3 4 ……
应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 ……
下列叙述错误的是（ ）
A．应缴电费随用电量的增加而增加；
B．用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元；
C．若用电量为8千瓦·时，则应缴电费4.6元
D．若所缴电费为3.3元，则用电量为6千瓦·时
【答案】C
【分析】本题先通过表格数据得出用电量与应缴电费的变化规律，即每1千瓦时电费为0.55元，再逐一判断各选项的正误．
【详解】解：∵由表格数据可得：，，，
∴可得每1千瓦时电费为0.55元，用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元，
对选项逐一判断：
A、应缴电费随用电量的增加而增加，该选项正确，不符合题干要求；
B、用电量每增加1千瓦·时，电费增加0.55元，该选项正确，不符合题干要求；
C、若用电量为8千瓦·时，应缴电费为元元，该选项错误，符合题干要求；
D、若所缴电费为3.3元，用电量为 千瓦·时，该选项正确，不符合题干要求．
故本题选C．
【例3】（25-26七年级上·江苏无锡·期末）某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两班之间赛一场），预计全部赛完共需_________场比赛．
【答案】15
【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用，每个班级都要与其他5个班级比赛一场，且相同两个班级之间的比赛只算作一场，据此列式求解即可．
【详解】解：由题意得，预计全部赛完共需场．
故答案为：15．
【例4】（24-25七年级上·四川广元·期中）如图所示，在容器中放入个圆柱形铁块和个与它等底等高的圆锥形零件，溢出了部分水，则每个圆锥形零件的体积是 __立方厘米．
【答案】
【分析】先根据等底等高的圆柱与圆锥的体积关系，将圆柱体积转化为等底等高圆锥体积的倍数，再结合溢出的水的体积，求出单个圆锥的体积。
【详解】解：毫升立方厘米
（立方厘米）
答：每个圆锥形零件的体积是立方厘米．
故答案为：．
1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）小悦和冬冬玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的一枚棋子，一开始小悦有枚棋子，冬冬有枚．玩了若干局后，小悦反而比冬冬多了枚棋子．请问此时小悦有多少枚棋子？
【答案】枚
【分析】根据题意，小悦和冬冬的棋子总数始终不变，为枚，玩了若干局后，小悦比冬冬多了枚棋子，根据题意可得玩了若干局后，“小悦的棋子数小悦的棋子数总数”，据此求解即可．
【详解】解：两人棋子总数为：（枚），
根据和差问题公式，此时小悦的棋子数为：（枚），
答：此时小悦有枚棋子．
2．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零．
第天 1 2 3 4 5 6 7
路程/km
(1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？
(2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？
【答案】(1)/天
(2)元
【分析】（1）先求出7天总路程，再求平均数即可；
（2）先分别求出燃油车和电动车的费用，再比较可得答案．
【详解】（1）解：总路程：，平均：/天；
所以这七天平均每天行驶了60千米；
（2）解：燃油车费用：元，
电动车费用：元；
节省：元，
所以这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省235.2元．
3．（25-26六年级上·湖北武汉·期末）小明、小丽、小杰三人去一家餐厅吃火锅，付款时打印的结账单如图所示．现有三种优惠活动如下：
结账单锅底 1份 38.00 精品羊肉 1份 48.00 雪花牛肉 1份 58.00 毛肚 1份 68.00 贡丸 1份 28.00 金针菇 1份 18.00 蔬菜拼盘 1份 28.00 可乐（饮料） 1瓶 10.00 共计 296.00 元
（1）大众点评网上可用88元购得该店100元的代金券（每单最多可用两张）；
（2）支付宝付款可享受全单八八折；
（3）火锅店优惠活动“除锅底、酒水、饮料外，每消费满80元立减10元”．
以上三种优惠方式只能选择一种，你能帮他们算一算哪种支付方式最优惠吗？
【答案】第二种支付方式最优惠
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算与实际应用，读懂题意，列出算式并正确计算是做题的关键．分别计算三种优惠方式的实际支付金额，比较后选择最小值即可．
【详解】解：由题意得，
第一种优惠方式的实际支付金额为：（元）；
第二种优惠方式的实际支付金额为：（元）；
（元），，
第三种优惠方式的实际支付金额为：（元）．
，
选择第二种支付方式最优惠．
1．（24-25七年级上·广东湛江·期中）下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】D
【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义：乘积是的两个数互为倒数，逐项求出这两个数的乘积进行判断即可求解，掌握倒数的定义是解题的关键．
【详解】解：、，∴和不是倒数；
、，和不是倒数；
、，和不是倒数；
、，和是倒数；
故选：．
2．（2025七年级上·全国·专题练习）如果两个有理数，的乘积小于，那么（ ）
A．， B．，
C．，符号相同 D．，符号相反
【答案】D
【分析】本题考查有理数的乘法法则，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键；
根据有理数乘法法则计算即可求解；
【详解】解：因为两个有理数，的乘积小于，
所以，符号相反，
故选：D
3．（24-25七年级上·全国·期末）若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：依题意可得：
= ．
4．（2026·河南安阳·二模）如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据杠杆原理得：秤钩到提纽的水平距离苹果质量秤砣与提纽的水平距离秤砣质量，即可求解．
【详解】解：苹果质量为：．
5．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）区别于十进制，古巴比伦使用的是60进 制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1~12，另一只手用五根手指表示12的1~5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是．若当其左手伸出三根手指，右手大拇指掐中第3指关节时，表示的十进制数字是（ ）
A．9 B．19 C．29 D．39
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的混合运算，先根据题目定义可得所表示的数为，再进行计算求解.
【详解】解：，
故选：D．
6．（24-25六年级上·湖北武汉·期中）的倒数是_____________．
【答案】
【详解】解：＝，所以的倒数是，
故答案为：
【点睛】此题考查的目的是理解倒数的意义，掌握求倒数的方法及应用.
7．（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）观察思考找规律，______．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据观察找到规律即可得到答案，掌握有理数的混合运算法则是解题关键．
【详解】
，
故答案为：．
8．（2025七年级下·浙江·模拟预测）若规定，则________．
【答案】
/
【分析】先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，每次运算先比较两个数的大小，再根据新定义对应的法则计算即可
【详解】解：先计算括号内的
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴
9．（2026·河南洛阳·三模）外卖员小李年月送餐单的统计数据如下表：
送餐距离 小于等于公里 大于公里
占比
送餐费 元/单 元/单
则小李年月份的送餐收入为_____元．
【答案】
【分析】先根据总订单数和对应占比分别算出两类送餐距离的订单量，再结合各自单餐费用，列式计算求出小李月份的送餐总收入．
【详解】解：由表格数据可得，总送餐收入为
（元）．
10．（2026·河南周口·一模）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下：
节目 A B C D
演员人数 10 2 10 1
彩排时长 30 10 20 10
已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按________的先后顺序彩排．
【答案】
【分析】由题意可得，节目和演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长较长的节目应该放在后面，那么在的前面，和彩排时长一样，人数不一样，那么人数较少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么在前面，再分情况分别计算，比较即可得出结果．
【详解】解：由题意可得，节目和演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长较长的节目应该放在后面，那么在的前面，和彩排时长一样，人数不一样，那么人数较少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么在前面，
按照顺序，则候场时间为；
按照顺序，则候场时间为；
按照顺序，则候场时间为；
按照顺序，则候场时间为；
按照顺序，则候场时间为；
按照顺序，则候场时间为，
∵，
∴若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按的先后顺序彩排．
11．（25-26七年级上·湖南永州·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则以及运算律进行计算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
（4）解：
12．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）数学老师布置了一道思考题：
“计算：，小明仔细思考了一番，用了一种特殊的方法解决了这个问题：原式的倒数为，所以请你运用小明的方法计算：．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算．
的倒数为，求出其值，再求倒数即可．
【详解】解：的倒数为，
，
所以．
13．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）课堂上，老师出了一道计算题：，小明和小丽同学的解法如下：
小明的解法： 原式．
小丽的解法：原式的倒数为：． 所以原式．
(1)小明和小丽的解法中，正确的是______的解法（填“小明”或“小丽”）；
(2)请你运用上述正确的方法计算：．
【答案】(1)小丽
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算和倒数，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序．
（1）根据题目中小明和小丽的解答过程，可以判断小丽的解法正确；
（2）仿照小丽的解法，先求所求式子的倒数，然后即可得到所求式子的值．
【详解】（1）解：小明的解法中没有按照先算小括号，再算除法的顺序做，故小明的解法错误；
小丽的解法是正确的；
故答案为：小丽；
（2）解：原式的倒数为：
，
原式．
14．（25-26七年级上·山西临汾·期末）跳绳是一项增强心肺功能、促进燃脂减肥、增强肌肉力量的运动，根据临汾市2025年中考体育最新政策，女生1分钟内跳满178个可获得该项目的满分．今年国庆期间，小颖10月1日到10月8日每天都坚持跳绳打卡，打卡记录如表所示（比178多的个数记为“”，比178少的记为“”），请根据表格当中的数据回答下列问题：
日期 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8
跳绳变化（个
(1)小颖10月___________日跳绳个数最多，最多是___________个；
(2)为了鼓励小颖锻炼身体，小颖的妈妈制定了如下奖励方案：从10月1日开始，只要小颖每天坚持跳绳打卡，妈妈每天都奖励她20元．以一分钟跳绳178个为标准，每超出一个再奖励2元，每低于一个则扣2元．10月9日就是妈妈的生日了，小颖想用这笔钱给妈妈购买一个150元的保温杯，请问她的愿望能否实现？请说明理由．
【答案】(1)6；
(2)能实现，理由见解析
【分析】本题考查正负数的应用，有理数加减法运算及有理数四则混合运算，结合题意理解正负数的含义是解决本题的关键．
（1）先比较每日跳绳变化个数的大小关系，再求出最多的那日跳绳个数即可；
（2）计算出10月1日到10月8日共获得的奖励金额，再比较大小即可．
【详解】（1）解：，，
月6日跳绳个数最多，最多为个，
故答案为：6；；
（2）解：（元，
，
故她的愿望能够实现．
15．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）小海骑变速自行车上坡时，拨一下变速器，脚蹬会变轻；想骑快时再拨一下，后轮转速就会提升，这是如何实现的？
秘密藏在自行车的齿轮组里：如图，前后两个齿轮通过链条连接，前侧连接脚蹬的齿轮组是牙盘（动力轮），后侧连接后轮轴心的齿轮组是飞轮（从动轮），自行车后轮转速与后飞轮一致．齿轮—链条啮合的传动原理与齿轮直接啮合一致（链条改变了飞轮转动方向），通过前（后）拨器切换链条卡在牙盘/飞轮的不同齿轮上，即可改变后轮转速，相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力．
小海观察自己的变速自行车，发现后飞轮有四层不同齿数的齿轮，由外到内的齿数分别为30（1档）、24（2档）、20（3档）、16齿（4档），前牙盘最外层有36齿．
(1)小海在小区平路骑行时，将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度_______小海蹬车速度（填“大于”“小于”），如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为_______圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为_______．
(2)已知自行车后轮直径为，在一段上坡路上，小海将飞轮拨至24齿（牙盘36齿），车后轮转了150圈，这段坡路有多少米？（结果保留）
(3)在（2）的条件下，小海认为此段坡路骑起来还是费力，于是保留后飞轮24齿，将前牙盘拨到另一齿轮档位，保持40圈/分钟的蹬车速度，他想用不超过5分钟骑完该坡路，并希望尽可能省力，请问他应该把前牙盘调到多少齿？（ ）
A．15齿 B．18齿 C．20齿 D．24齿
【答案】(1)大于，，；
(2)这段坡路有米；
(3)B
【分析】（1）由题意可知，飞轮的齿轮齿数比前牙盘的齿轮齿数少，速度更大；再根据蹬车速度和齿数求解即可；
（2）根据圆的周长计算即可；
（3）结合（2）条件可得若用不超过5分钟骑完该坡路，则前牙盘需不小于齿，再结合相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力，即可得解．
【详解】（1）解：将自行车飞轮拨至20齿，前牙盘调到最外层36齿，此时，后轮的速度大于小海蹬车速度，
如果小海蹬车速度为40圈/分钟，那么后轮的转速为圈/分钟，齿轮—链条的升（降）速率为；
（2）解：，
答：这段坡路有米；
（3）解：由（2）可知，车后轮转了150圈，
若5分钟骑完该坡路，则后轮保持圈/分钟，
则前牙盘齿数为（齿），
若用不超过5分钟骑完该坡路，则前牙盘需不小于齿，
又因为相同蹬车速度下，后轮速度越慢越省力，
所以他应该把前牙盘调到18齿．
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