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第10讲 整式的加法与减法（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 同类项的判断
典型例题二 去括号
典型例题三 添括号
典型例题四 合并同类项
典型例题五 整式的加减运算
典型例题六 整式的加减中的化简求值
典型例题七 已知同类项求指数中字母或代数式的值
典型例题八 整式加减中的无关型问题
典型例题九 带有字母的绝对值化简问题
典型例题十 整式加减的应用
知识点01 去括号、添括号
1.去括号法则：
括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如；
括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如.
（1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项；
（2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号；
（3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形.
2.添括号法则：
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如．
【即时训练】
1．（25-26七年级上·安徽淮南·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了合并同类项法则与去括号法则，熟练掌握同类项的定义及去括号的符号变化规则是解题的关键．先根据合并同类项法则与去括号法则，逐一分析每个选项的运算是否正确，从而选出正确答案．
【详解】解：∵，
∴A选项错误；
∵与不是同类项，不能合并，
∴B选项错误；
∵，
∴C选项错误；
∵，
∴D选项正确；
故选：D．
2．（24-25七年级上·吉林长春·期中）（_____）；（_____）．
【答案】
【分析】根据等式变形，结合添括号法则求解即可.
【详解】解：对于第一个等式，整理等式左边得
因此第一个括号内应填.
对于第二个等式，先去括号再整理得
因此第二个括号内应填.
知识点02 整式的加减
1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项.
2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号.
3.整式加减的应用
（1）整式的化简求值
一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算.
（2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法
若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0.
（3）解决多项式能否被一个数整除类问题
判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式.
多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为.
【即时训练】
1．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查整式的加减运算，需依据合并同类项法则与去括号法则，逐一判断各选项的运算正误．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、不能合并，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、不能合并，原计算错误，不符合题意；
故选C．
2．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是____．
【答案】/
【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案．
【详解】解：
，
∴王老师捂住的一次式是．
故答案为：．
知识点03 合并同类项
同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项.
1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可；
2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；
3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项；
4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式.
5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项.
6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.
7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）：
（1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记；
（2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并；
（3）利用合并同类项法则，合并同类项；
（4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列.
8.易错点：
（1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；
（2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并；
（3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)；
（4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0.
【即时训练】
1．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项的运算，需依据同类项的定义（所含字母相同且相同字母的指数也相同的项为同类项）及合并同类项法则（同类项系数相加，字母和字母指数不变）来判断各选项正误．
【详解】解：∵同类项需满足所含字母相同且相同字母指数相同，合并同类项时仅将系数相加，字母及指数不变
∴对各选项分析如下：
A、与所含字母不同，不是同类项，无法合并，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、与中的指数不同，不是同类项，无法合并，故此选项错误，不符合题意；
D、与是同类项，系数相加得，结果为，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
2．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）计算：__________．
【答案】
【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项法则合并即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【典型例题一 同类项的判断】
【例1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）下面不是同类项的是（ ）
A．与4 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【分析】本题考查同类项的定义，根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项是同类项，所有常数项都是同类项，逐一判断选项即可得到结果．
【详解】解：∵ 选项A中，和4都是常数项，所有常数项都是同类项，因此A是同类项；
∵ 选项B中，与所含字母都是a、b，a的指数都是2，b的指数都是1，符合同类项定义，因此B是同类项；
∵ 选项C中，与所含字母都是x、y，x的指数都是2，y的指数都是2，符合同类项定义，因此C是同类项；
∵ 选项D中，所含字母为m，所含字母为n，所含字母不同，不符合同类项定义，因此D不是同类项．
【例2】（25-26七年级上·河北保定·期末）下列选项中，与是同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查同类项的定义，关键是熟练应用定义解题；根据同类项的定义，对各选项进行判断．
【详解】解：同类项的定义是所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的单项式，
A选项不含字母，不符合同类项定义；
B选项是多项式，不符合同类项定义；
C选项中的指数为，的指数为，与题干中对应字母指数不同，不符合同类项定义；
D选项含字母，且的指数为，的指数为，的指数为，符合同类项定义，
故选：D．
【例3】（25-26七年级上·安徽六安·期中）请写出一个与是同类项的代数式，你写的式子是______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项；因此，与同类项的代数式必须含有字母和，且的指数为，的指数为．
【详解】解：∵中，字母的指数为，的指数为，
∴与是同类项的代数式可以是（系数可以任意，但字母部分必须相同且指数一致），
故答案为：（答案不唯一）．
【例4】（25-26七年级上·安徽淮南·期中）以下各组中：①与；②与；③与；④与；⑤与；⑥与．是同类项的是：________（填写序号）．
【答案】③⑤⑥
【分析】本题考查了同类项，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项；常数项也是同类项．逐一判断每组是否满足定义．
【详解】解：①中字母x和y的指数均不相同，不是同类项；
②中第一个式子含有字母z，第二个不含z，所含字母不相同，不是同类项；
③中字母m和n相同且指数相同，是同类项；
④中第一个式子含有字母a，第二个是常数，不是同类项；
⑤中字母x和y相同且指数相同，是同类项；
⑥中都是常数项，是同类项．
故答案为：③⑤⑥．
1．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各组中的两项是不是同类项？①与；②与；③－3与5；④与．
【答案】①③是同类项，②④不是同类项
【分析】本题考查了同类项的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项，据此逐个判断即可解答．
【详解】解：①与所含字母都是x、y，且x的指数都是2，y的指数都是1，所以是同类项；
②中x的指数是1，y的指数是2，中x的指数是2，y的指数是1，相同字母的指数不同，不是同类项；
③与5都是常数项，是同类项；
④中a的指数是2，b的指数是1，中a的指数是1，b的指数是2，相同字母的指数不同，不是同类项．
综上所述，①③是同类项，②④不是同类项．
2．（25-26七年级上·广西崇左·期中）指出下列各题中哪两个单项式是同类项的，并说明理由．
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与．
【答案】与，与是同类项，理由见解析．
【分析】本题考查同类项的定义，掌握同类项的定义是解题关键．
依据同类项的定义，对每一组单项式进行验证．
【详解】解：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，几个常数项也属于同类项．
（1）与：所含字母相同，但相同字母的指数不相同，它们不是同类项；
（2）与：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，它们是同类项；
（3）与：所含字母不相同，它们不是同类项；
（4）与：所有常数项都是同类项，它们是同类项．
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）请依照例子将左右两个框内的同类项找出来：
【答案】与，与，与，连线见解析．
【分析】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念逐项判断即可，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同．
【详解】解：与是同类项，与是同类项，与是同类项，
连线，如图，
．
【典型例题二 去括号】
【例1】（25-26七年级上·福建福州·期末）下列去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据去括号法则：括号前是正号，去括号后各项不变号；括号前是负号，去括号后各项都变号，解答即可．
本题考查去括号法则，括号前是正号时，去括号后各项不变号；括号前是负号时，去括号后各项都变号．对于有系数的，需用系数乘括号内的每一项．
【详解】解：A、，但选项为，错误；
B、，但选项为，错误；
C、，正确；
D、，但选项为，错误；
故选：C．
【例2】（25-26七年级上·江西九江·期末）下列各式中，化简结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查去括号法则，解题的关键是掌握：当括号前面是“＋”号时，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里的各项都不改变符号，当括号前面是“－”号时，把括号和前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号，
根据去括号法则逐项进行判断即可．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
【例3】（25-26七年级上·福建厦门·期末）化简：
（1）___________；
（2）___________．
【答案】
【分析】本题考查了去括号．
（1）根据去括号法则，括号前是负号，括号内各项变号；
（2）根据分配律，将3乘以括号内的每一项．
【详解】解：（1）；
（2）
故答案为：，．
【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）去括号法则：
括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都________；
括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都________．
【答案】 不变 改变
【分析】本题考查去括号法则，括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都不变；括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都改变．
【详解】括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都不变；
括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都改变；
故答案为：不变；改变．
1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是整式的加减运算，掌握去括号，合并同类项的法则是解本题的关键；
（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
2．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了整式的加减混合运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．
（1）合并同类项即可；
（2）先去括号，然后再合并同类项即可；
（3）先去括号，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
3．（24-25七年级上·河南郑州·期中）下面是晓彬同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任务．
第一步
第二步
第三步
(1)以上步骤第一步是进行________，依据是________；
(2)以上步骤第______步开始出现错误，错误的原因是_________；
(3)请你进行正确化简．并求当，时，式子的值．
【答案】(1)去括号，乘法分配律
(2)一，括号前面是负号，去括号时，第二项没有变号；
(3)，
【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键：
（1）第一步进行去括号，依据是乘法分配律；
（2）第一步出现错误，括号前面是负号，去括号时，第二项没有变号；
（3）去括号，合并同类项，化简后代值计算即可．
【详解】（1）解：第一步进行去括号，依据是乘法分配律；
（2）第一步开始出现错误，原因是括号前面是负号，去括号时，第二项没有变号；
（3）
；
当，时，原式．
【典型例题三 添括号】
【例1】（25-26七年级上·辽宁抚顺·期中）将多项式添括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了添括号法则，添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
根据添括号法则计算即可．
【详解】解：．
故选：D．
【例2】（24-25七年级上·吉林长春·期中）已知，则代数式的值为（ ）
A．0 B． C．9 D．12
【答案】D
【分析】本题主要考查了代数式求值，添括号，根据，利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
【例3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）添括号：（______）
【答案】
【分析】本题考查了添括号法则，根据添括号法则得括号前面添“”，括号内各项都变号，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【例4】（24-25七年级上·山东潍坊·期末）在等号右边的括号内填上适当的项，
（1）( )；
（2）( )；
（3）( )；
（4）( )．
【答案】
【分析】此题主要考查了添括号法则，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号里的各项都改变符号．直接利用添括号法则得出答案．
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）．
1．（25-26七年级上·河北张家口·期中）下面是一道关于整式运算的例题及解答过程，其中M，N是两个关于x的二项式．
先去括号，再合并同类项：． 解：原式
请确定，，．
【答案】M：；N：；P：
【分析】本题考查合并同类项，添括号，掌握相关知识是解决问题的关键．根据添括号法则，合并同类项法则进行计算即可．
【详解】解：，
，
故：；：；：．
2．（24-25七年级·全国·假期作业）将式子4x＋（3x﹣x）＝4x＋3x﹣x，4x﹣（3x﹣x）＝4x﹣3x＋x分别反过来，你得到两个怎样的等式？
（1）比较你得到的等式，你能总结添括号的法则吗？
（2）根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式﹣3x5﹣4x2＋3x3﹣2的值，把它的后两项放在：
①前面带有“＋”号的括号里；
②前面带有“﹣”号的括号里．
③说出它是几次几项式，并按x的降幂排列．
【答案】（1）添括号的法则见解析；（2）①﹣3x3﹣4x2＋（3x3﹣2）；②﹣3x3﹣4x2﹣（﹣3x3＋2）；③五次四项式，﹣3x5＋3x3﹣4x2﹣2
【分析】（1）将式子4x＋（3x﹣x）＝4x＋3x﹣x，4x﹣（3x﹣x）＝4x﹣3x＋x分别反过来，得到4x＋3x﹣x＝4x＋（3x﹣x），4x﹣3x＋x＝4x﹣（3x﹣x），比较即可得到添括号法则；
（2）①②利用添括号法则即可求解；
③利用多项式的定义，以及降幂排列的顺序求解即可．
【详解】解：（1）将式子4x＋（3x﹣x）＝4x＋3x﹣x，4x﹣（3x﹣x）＝4x﹣3x＋x分别反过来，
得到4x＋3x﹣x＝4x＋（3x﹣x），4x﹣3x＋x＝4x﹣（3x﹣x），
添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；
（2）①﹣3x5﹣4x2＋3x3﹣2＝﹣3x3﹣4x2＋（3x3﹣2）；
②﹣3x5﹣4x2＋3x3﹣2＝﹣3x3﹣4x2﹣（﹣3x3＋2）；
③它是五次四项式，按x的降幂排列是﹣3x5＋3x3﹣4x2﹣2．
【点睛】本题考查了整式的加减，添括号，注意：（1）添括号是添上括号和括号前面的符号．也就是说，添括号时，括号前面的＋或﹣也是新添的不是原来多项式的某一项的符号移出来的．（2）添括号的添括号与去括号互为逆变形，添括号是否正确，可以用去括号进行检验．
3．（24-25七年级·全国·假期作业）观察下列各式：（1）﹣a＋b＝﹣（a﹣b）；（2）2﹣3x＝﹣（3x﹣2）；（3）5x＋30＝5（x＋6）；（4）﹣x﹣6＝﹣（x＋6）．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你的探索出来的规律，解答下面的题目：
已知a2＋b2＝5，1﹣b＝﹣2，求1＋a2＋b＋b2的值．
【答案】添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；9
【分析】注意观察等号两边的变化，等号右边添加了括号，然后观察符号的变化即可；根据已知条件计算出b的值，然后再代入求值即可．
【详解】解：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
∵1﹣b＝﹣2，
∴b＝3，
∴1＋a2＋b＋b2＝（a2＋b2）＋b＋1＝5＋3＋1＝9．
【点睛】此题主要考查了添括号，以及求代数式的值，关键是注意符号问题．
【典型例题四 合并同类项】
【例1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项的法则，只有同类项才能合并，合并时系数相加减，字母和字母的指数保持不变，根据法则逐一判断选项即可．
【详解】解：对选项A：，A错误；
对选项B：与相同字母的指数不同，不是同类项，不能合并，B错误；
对选项C：，C错误；
对选项D：，D正确．
【例2】（25-26七年级上·河南周口·期末）一个多项式加得，则这个多项式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查整式的加减，根据“加数=和 另一个加数”，用所得的多项式减去，合并同类项即可求解．
【详解】解：∵一个多项式加得，
∴这个多项式为合并同类项得，
故选：B．
【例3】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）合并同类项：__________．
【答案】
【详解】解：原式
．
【例4】（25-26七年级上·福建厦门·期末）计算：（1）__________；（2）__________．
【答案】 1 /
【分析】本题考查了有理数的加法及合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据有理数加法法则，正数加负数，符号取绝对值较大的数的符号，再用较大绝对值减去较小绝对值即可；
（2）根据合并同类项法则，系数相加，字母部分不变计算即可．
【详解】解：（1）．
故答案为：1；
（2）．
故答案为：．
1．（25-26七年级上·湖北·期末）计算与化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键．
（1）合并同类项，即可求解；
（2）利用整式的加减混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
2．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）若多项式化简后不含的三次项和一次项．
(1)求、的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查整式加减中的无关问题与代数式求值，掌握整式的加减运算法则是解题关键．
（1）将该多项式以x为主元，合并同类项后，不含某一项就意味着该项的系数为0，据此进行计算即可．
（2）将m、n的值代入，按照有理数的乘方法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
，
，
∵化简后不含的三次项和一次项，
∴，
解得．
（2）解：∵，
∴．
3．（25-26七年级上·江西吉安·期中）【阅读】
我们知道，，类似的，我们可以把看作一个整体：．“整体思想”是中学数学学习中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极其广泛．
【应用】
（1）把看作一个整体，合并的结果是_____；
（2）已知，求的值；
【延伸】
（3）已知，求的值；
（4）若，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了整式的加减，化简求值，解题的关键是掌握整体思想．
（1）先去括号，再利用加法交换律与结合律变形，然后利用整体思想，代入计算即可；
（2）先对原式进行整理，然后整体代入求值即可；
（3）先对原式进行整理，然后整体代入求值即可；
（4）先对原式进行整理，然后整体代入求值即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）
，
当时，代入上式得，
原式；
（3）
将代入上式得，
原式；
（4）
将代入上式得，
原式．
【典型例题五 整式的加减运算】
【例1】（25-26七年级上·江西上饶·期末）在下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了同类项的概念及合并同类项的法则，熟练掌握只有同类项才能合并、合并同类项时系数相加减而字母及指数不变是解题的关键．根据同类项的定义和合并同类项的法则，对每个选项逐一判断，确认计算是否正确，从而选出正确选项．
【详解】解：∵同类项是所含字母相同且相同字母的指数也相同的项，合并同类项时系数相加减，字母及指数不变
∴对各选项分析如下：
A选项：，计算正确．
B选项：与不是同类项，不能合并，故错误．
C选项：，故错误．
D选项：与不是同类项，不能合并，故错误．
故选：A．
【例2】（24-25七年级上·山西临汾·期末）晋晋把错算成，结果比原来（ ）
A．大 B．小 C．大 D．小
【答案】A
【分析】根据题意可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：
，
∴结果比原来大．
【例3】（2026·天津东丽·二模）计算的结果为_________．
【答案】/
【详解】解：原式
．
【例4】（24-25七年级上·山东烟台·期中）已知两个多项式的和是，其中一个多项式是，则另一个多项式是______
【答案】
【分析】根据两个多项式的和与其中一个多项式，可用两式的差求出另一个多项式．
【详解】解：依题意得：另一个多项式
．
1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知：，求下列代数式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：令，代入等式得：
左边，右边，
；
（2）解：令，代入等式得：
左边，右边，
；
（3）解：将（1）和（2）的两个等式相加，得：，
两边同除以，得；
（4）解：将（1）的等式减去（2）的等式，得：，
两边同除以，得．
2．（25-26七年级上·福建漳州·期末）“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则．
(1)比较大小：_______（填“”“”或“”）；
(2)若 ，，请比较A与B的大小．
【答案】(1)<
(2)
【分析】本题主要考查了整式的加减，整式的大小比较，
对于（1），将两式作差，根据结果可得答案；
对于（2），由，根据结果得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴．
故答案为：；
（2）解：∵，
∴ ，
，
∵，
∴>0，
∴．
3．（25-26七年级上·山西大同·期末）下面是成成同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任务．
…第一步
…第二步
…第三步
任务：
(1)以上步骤第__________步开始出现错误，错误的原因是__________．
(2)请你进行正确化简．并求当时，式子的值
【答案】(1)一；去括号时符号错误，应化为
(2)
【分析】本题考查了整式的化简求值．
（1）去括号时符号错误，应化为；
（2）先去括号，合并同类项，再将代入化简结果计算即可．
【详解】（1）解：去括号时符号错误，应化为，
即以上步骤第一步开始出现错误，错误的原因是去括号时符号错误，应化为；
故答案为：一；去括号时符号错误，应化为；
（2）解：原式
，
当时，
原式
．
【典型例题六 整式的加减中的化简求值】
【例1】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知，，则（ ）
A． B． C．34 D．无法计算
【答案】B
【分析】这道题考查了整式的化简求值，解题关键是先对整式去括号、合并同类项，再将已知条件整体代入计算．
先化简代数表达式，再利用已知条件代入计算．
【详解】解：，，
．
故选B．
【例2】（24-25七年级上·云南昆明·期末）已知多项式M与的和是，其中，多项式M中的，，则多项式M及多项式M的值分别为（　　）
A．， B．，6
C．， D．，7
【答案】D
【分析】直接用多项式减去多项式即可求出多项式M，然后代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵多项式M与的和是，
∴
，
当，时，，
故选D．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键．
【例3】（25-26七年级上·吉林·期末）若，则的值为________．
【答案】6
【分析】本题考查了整式的化简求值等知识，化简得到，变形为，再利用已知条件整体代入即可求值．
【详解】解：，
由于，
所以原式．
故答案为：6
【例4】（24-25七年级上·山西朔州·阶段检测）若，则代数式的值为_____．
【答案】15
【分析】本题考查了整式的化简求值知识点，解题的关键是对代数式进行变形，然后整体代入已知条件．
先对代数式去括号，合并同类项进行化简，再将已知条件整体代入求值．
【详解】
已知，将其代入上式可得：
．
故答案为：15．
1．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】化简为，值为
【分析】先利用乘法分配律和去括号法则去掉式子中的括号，再合并同类项将整式化简为最简形式，最后代入给定的、的值，按照有理数的运算顺序计算出结果．
【详解】解：
．
当，时，
原式
．
2．（25-26七年级上·广西玉林·期末）人教版七年级上册数学教材109页的部分内容如下：把和各看作一个整体，对下列式子进行化简：．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)【问题解决】把看成一个整体，求将合并的结果是__________；
(2)【简单应用】已知，则___________；
(3)【拓展提高】已知，，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想．
（1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简；
（2）把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可；
（3）将代数式化为，再将，整体代入计算即可．
【详解】（1）解：原式，
；
（2）解：，
，
故答案为：2022；
（3）解：，，
．
3．（25-26七年级上·山西大同·期末）阅读材料
“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．比如．由此，若我们把看成一个整体，当成字母“”，则．
迁移应用：
(1)把看成一个整体，合并的结果是__________；
(2)已知，则的结果是__________；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键.
()仿照材料，把看成一个整体，即可合并；
()将整体代入计算即可；
()先去括号，再添括号，根据已知，然后整体代入求值即可.
【详解】（1）解：原式
故答案为：；
（2）由，得
因此
故答案为：；
（3）解：，
又∵，即，
∴原式.
【典型例题七 已知同类项求指数中字母或代数式的值】
【例1】（24-25七年级上·宁夏吴忠·期末）已知与是同类项，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】本题考查同类项的定义，利用同类项中相同字母的指数相同列方程，即可求解.
【详解】∵同类项的定义是所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式.
又∵与是同类项.
∴可得，.
解方程，得.
即，.
【例2】（25-26七年级上·全国·期末）已知与的和是，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了同类项，代数式求值，根据两个单项式的和是单项式可知它们是同类项，再根据同类项的定义求出和的值，最后代入代数式计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵与的和是，
∴ 与 是同类项，
∴，，
∴，
故选：．
【例3】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若单项式与的和仍是单项式，则__________．
【答案】6
【分析】两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等．
【详解】解：单项式与的和仍是单项式，
与是同类项，
的指数相等，即，解得，
的指数相等，即，
，
故答案为：6．
【例4】 （25-26七年级上·山东聊城·期末）若单项式与是同类项，那么____________．
【答案】
【分析】本题考查了同类项，理解其定义是解题的关键．
根据同类项的定义解题即可．
【详解】解：由题意知，，
解得，
∴．
故答案为：．
1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）已知：，且
(1)求A等于多少？
(2)若与是同类项，求A的值
【答案】(1)
(2)-7
【分析】（1）根据，且，得到，由此求解即可；
（2）先根据同类项的定义求出，然后把代入到（1）中所求式子中求解即可．
【详解】（1）解：∵，且，
∴
；
（2）解：∵与是同类项，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，同类项的定义和代数式求值，熟知相关知识是解题的关键．
2．（24-25七年级·全国·假期作业）若关于x，y的单项式2axmy与5bx2m﹣3y是同类项，且a，b不为零．
（1）求（4m﹣13）2009的值．
（2）若2axmy+5bx2m﹣3y＝0，且xy≠0，求的值．
【答案】（1）-1；（2）
【分析】根据同类项的定义列出方程，求出m的值．
（1）将m的值代入代数式计算．
（2）将m的值代入2axmy+5bx2m﹣3y＝0，且xy≠0，得出2a+5b＝0，即a＝﹣2.5b．代入求得的值．
【详解】解：∵单项式2axmy与5bx2m﹣3y是同类项，且a，b不为零．
∴m＝2m﹣3，
解得m＝3
（1）将m＝3代入，（4m﹣13）2009＝﹣1．
（2）∵2axmy+5bx2m﹣3y＝0，且xy≠0，
∴（2a+5b）x3y＝0，
∴2a+5b＝0，a＝﹣2.5b．
∴
【点睛】本题考查了同类项的应用，注意同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同，相同字母的指数相同，是易混点．
3．（24-25七年级上·江西宜春·期中）已知与是关于x、y的单项式，且它们是同类项．
(1)求a的值；
(2)若，且，求的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了同类项的定义，解题关键是明确同类项所含字母相同，相同的字母的指数也相同；
（1）根据同类项相同的字母的指数相同列出方程即可求解；
（2）根据同类项合并为0，得出系数和为0，求出字母的值，再代入求解即可．
【详解】（1）解：∵与是关于x、y的单项式，且它们是同类项，
∴
解得．
（2）解：∵，
∴，
∴．
【典型例题八 整式加减中的无关型问题】
【例1】（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）若式子的值与的大小无关，则该式子的值为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【分析】本题考查多项式的系数，掌握相关知识是解决问题的关键．式子的值与的大小无关，即项的系数和为零，据此求出的值，再代入计算即可．
【详解】解：
，
∵式子的值与的大小无关，
∴，
，
则
．
故选：A．
【例2】（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）将“多项式”化简后不含的项，则m的值是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了整式的加减，掌握整式的加减的运算法则是关键．先将多项式展开并合并同类项，令xy项的系数为零，解方程即可求出m的值．
【详解】解：∵原式 =
=
= ，
又∵化简后不含项，
∴ ，
解得 ．
故选：A．
【例3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）多项式中，若不含项，则的值为_____．
【答案】
【分析】本题考查了整式的加减运算，多项式中不含有某项是指合并同类项后该项的系数为．由于不含项，合并同类项后项的系数为，可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值．
【详解】解：
，
不含项，
，
解得：．
故答案为：．
【例4】（25-26七年级上·河南新乡·期中）定义：任意两个数a、b，按规则扩展得到一个新数c，称所得的新数c为“理想数”．若，，“理想数”c的值与x的值无关，则y的值为_____________．
【答案】/
【分析】本题考查整式加减中无关类型，根据“理想数”的定义，代入和的表达式，得到关于和的表达式，再根据的值与无关，即的表达式中的项系数必须为零，从而解出的值．
【详解】解：由，，
则
，
∵的值与无关，故的系数为零，
∴，
解得．
故答案为：．
1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知，．
(1)求；
(2)若的值与x无关，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据整式的加减计算法则求解即可；
（2）根据的值与x无关可得，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵的值与x无关，且，
∴，
∴．
2．（25-26七年级上·云南昭通·期末）七年级数学活动课上，老师安排三位同学分别拿着写有代数式的卡片，其中代数式暂未公开．已知卡片上的代数式如下(为常数)：
代数式：；
代数式：．
(1)若代数式与代数式的倍的差化简后的结果为常数(不含项)，求这个常数的值及此时的值；
(2)当时，若，求代数式．
【答案】(1)这个常数是，此时的值为
(2)
【分析】本题考查整式的加减，熟练进行整式运算是解题关键．
()根据的结果为常数，可以计算出这个常数和的值；
()根据和，可以计算出．
【详解】（1）解：由已知，得
，
∵结果为常数，
∴，
∴，．
则这个常数是，此时k的值为．
（2）解：当时，，，
∵，
∴．
3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即．
(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值；
(2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）合并同类项：将多项式合并为，再由多项式与x无关，可得，即可求解；
（2）设，表示面积，计算面积差：，系数为0：因面积差与x无关，含x项系数为0，即可求出a、b关系．
【详解】（1）解：关于x的多项式的值与x的取值无关，
，
，
解得：．
（2）解：设，
由图可知：，
，
当的长变化时，的值始终保持不变，
含x项的系数为0，
即，
．
【典型例题九 带有字母的绝对值化简问题】
【例1】（24-25七年级上·全国·期末）当时，化简得（ ）．
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】
由已知，可得出，再去绝对值，然后去括号、合并同类项即可解答．
【详解】解：∵，
∴，·
∴
．
【例2】（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）已知，，且．则的值等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【分析】本题考查了求代数式的值，绝对值的性质，理解题意，确定出m、n的值是解题关键．根据绝对值的性质求出m、n，再根据m、n的大小关系确定m、n的对应值，然后代入代数式求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴同号，
当，时，
；
当，时，
；
综上可得：的值为或，
故选：A．
【例3】（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知有理数，，对应的点在数轴上的位置如图所示，化简：______．
【答案】
【分析】本题考查数轴与化简绝对值，由图可知，，可得，再化简绝对值即可．
【详解】解：由图可知，，
∴，
∴．
故答案为：
【例4】（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）已知均为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，例如：．
（1）计算：______；
（2）计算：______．
【答案】 9
【分析】（1）根据定义，得解答即可；
（2）根据定义，解答即可．
本题考查了新定义计算，有理数的加减，乘法以及绝对值，熟练掌握定义与运算法则是解题的关键．
【详解】解：（1）根据定义，得
，
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：9．
1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）解答下列各题．
(1)已知，求的值；
(2)已知a，b，c是不为0的有理数，求的值．
【答案】(1)，见详解
(2)或，见详解
【分析】（1）由条件可知a、b异号，根据绝对值的性质求解即可；
（2）由于a，b，c的符号未知，所以分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：，a、b异号，
，
；
（2）解：当a，b，c都是正数时，，
当a，b，c中有两个正数，一个负数时，不妨设a、b为正数，，
当a，b，c中有一个正数，两个负数时，不妨设b、c为负数，，
当a，b，c都是负数时，，
综上，的值为或．
2．（25-26七年级上·四川南充·期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题：
(1)当时，求的值．
(2)当时，求的值．
(3)若有理数a、b均不等于零，试求的值．
【答案】(1)1
(2)
(3)2或0或
【分析】本题主要考查了绝对值的化简求值，解题的关键是掌握绝对值的化简法则．
（1）根据绝对值的化简法则进行计算即可；
（2）根据绝对值的化简法则进行计算即可；
（3）分四种情况进行讨论，然后根据绝对值的化简法则进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
综上，的值为2或0或．
3．（24-25七年级上·四川成都·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为．
(1)如果表示数和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么___________．
(2)若数轴上表示数的点位于与3之间，求的值．
(3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由
【答案】(1)或10
(2)7
(3)时，最小值为7
【分析】本题主要运用绝对值的几何含义，通过数形结合的思想，根据绝对值表示数轴上两点间的距离来求解．涉及绝对值的性质，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．掌握绝对值的几何含义是解题的关键．
（1）因为，根据绝对值的性质可得解得或10；
（2）因为的点位于与3之间，则，即可解得；
（3）通过数形结合的思想，根据绝对值表示数轴上两点间的距离来求解即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得或10，
故答案为：或10．
（2）解：若数轴上表示数的点位于与3之间，
则
故的值为7．
（3）解：当时，的值最小，
则，
理由：时，正好是3和两点间的距离．
【典型例题十 整式加减的应用】
【例1】（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，两个三角形的面积分别为29、21，若两阴影部分的面积分别为，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了整式加减的应用，根据图形正确列式是解题关键．设空白部分的面积为，则，，即可求解．
【详解】解：设空白部分的面积为，
若两阴影部分的面积分别为，
则，，
则，
故选：C．
【例2】（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）某市地铁3号线正式通车当天，某列地铁在市政府站到站前，原有人，到站时下去了人，又上来了一些人，此时地铁上共有人．则在市政府站上地铁的有（　　）
A．人 B．人 C．人 D．人
【答案】D
【分析】本题考查整式加减的运用．根据“上地铁的人数地铁上共有乘客数原有人数市政府站下地铁的人数”列式，再去括号，合并同类项即可解答．
【详解】解：根据题意，得：
，
即在市政府站有人上地铁．
故选：D
【例3】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）某件商品的成本价为元，按成本价提高后标价，又以八折销售，这件商品的利润为______．（用含的代数式表示）
【答案】
元
【分析】本题考查列代数式，整式加减法的应用．
首先根据成本价提高求标价，再根据八折求售价，即可得这件商品的利润．
【详解】解：根据题意可得这件商品的利润为：（元），
故答案为：元．
【例4】（25-26七年级上·广东江门·阶段检测）下图是某月份的日历，用一个方框圈出任意个数，设最中间一个数是x，则用含x的代数式表示这9个数的和是_______．
【答案】
【分析】此题考查了整式的加减的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据最中间的为x，由日历中数字的规律表示出其他8个数，求出之和即可．
【详解】解：设最中间一个是，另外8个可表示为：，，，，，，，，
这9个数的和可表示为：．
故答案为：．
1．（25-26七年级下·辽宁·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为对消多项式”，它们的“对消值”为5．
(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是___________（填序号）；
①与；②与；③与；
(2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”．
【答案】(1)②③
(2)
【分析】（1）判断和是否为常数即可得到结果；
（2）根据和为常数，可知所有含未知数项的系数均为0，求出的值后计算常数项即可得到对消值.
【详解】（1）解：，和不是常数，故①不是“对消多项式”；
，和为常数，故②是“对消多项式”；
，和为常数，故③是“对消多项式”；
（2）解：∵
；
∵与互为“对消多项式”，和为常数，
∴，
∴ 解得，
∴，即它们的对消值为.
2．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，大坝截面是梯形，梯形的上底为，下底为，高为40，溢洪口是直径为12的半圆．
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)当，π取3，求阴影部分面积的值．
【答案】(1)阴影部分的面积为
(2)阴影部分面积为5546
【分析】（1）根据梯形的面积（上底下底）高，阴影部分的面积等于梯形的面积减去半圆的面积，列式进行计算即可得解；
（2）把代入（1）中的代数式进行计算即可得解．
【详解】（1）解：阴影部分的面积为：
．
（2）解：当，π取3时，
原式
．
所以，阴影部分面积的值为5546．
3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读材料，回答下列问题．
材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么
反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”．
(1)【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”）
(2)【运用】若，证明
(3)【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案．
方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板．
方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题干信息得出答案即可；
（2）分别计算，，即可得出结论；
（3）设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，，作差法比较，的大小即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
计算得：
，
∵，
∴，
∴，
计算得：
，
∵
∴，
∴，
综上可得；
（3）解：设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，且（），则，，
∵
，
又∵，
∴，
∴，
∴．
1．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）下列各组中的两项，属于同类项的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】含有相同的字母并且相同的字母的指数也相同的项即为同类项，据此即可作答．
【详解】解：A、相同字母的指数不同，不是同类项，故该选项不符合题意；
B、所含的字母不同，不是同类项，故该选项不符合题意；
C、相同字母的指数不同，不是同类项，故该选项不符合题意；
D、与属于同类项，故该选项符合题意．
2．（2026·广东云浮·一模）若单项式与可以合并，则的值为（ ）
A．7 B．4 C．5 D．
【答案】A
【分析】两个单项式可以合并，说明它们是同类项，根据同类项定义“相同字母的指数相等”列方程求出和的值，代入代数式计算即可得到结果．
【详解】解：∵两个单项式可以合并，
∴与是同类项，
∴，，
解得，．
将，代入得：．
3．（24-25七年级上·山东烟台·期末）下列各式由等号左边变到右边变形错误的有（ ）
①
②
③
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据去括号法则逐项判断变形是否正确，统计错误个数即可，用到的去括号法则为，括号前为负号时，去括号后括号内每一项都要变号，括号前有系数时，系数需乘括号内的每一项．
【详解】解：① ∵，与等式右边不相等，∴ ①变形错误；
② ∵，与等式右边不相等，∴ ②变形错误；
③ ∵，与等式右边不相等，∴ ③变形错误；
④ ∵，与等式右边相等，∴ ④变形正确；
综上，错误的变形共有3个．
4．（24-25七年级上·陕西延安·阶段检测）已知，，那么的值为（ ）
A． B． C．9 D．10
【答案】A
【分析】去括号，合并同类项后，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵，，
∴
；
故选A．
【点睛】本题考查整式加减中的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，利用整体思想求解，是解题的关键．
5．（2026·广西玉林·模拟预测）如图，长方形由两个小长方形组成，根据图形面积可以得到的等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据长方形的面积等于两个小长方形的面积和求解即可.
【详解】解：根据题意，得.
6．（24-25七年级上·福建厦门·期末）口算：
（1）__________； （2）__________； （3）__________；
（4）__________； （5）__________； （6）__________．
【答案】
【分析】（1）根据有理数的减法运算法则计算即可；
（2）根据有理数的加法运算法则计算即可；
（3）根据有理数的乘法运算法则计算即可；
（4）根据有理数的除法运算法则计算即可；
（5）根据合并同类项法则计算即可；
（6）根据合并同类项法则计算即可；
此题考查有理数的运算法则和合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
故答案为：，，，，，
7．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）已知，．当的值与x无关时，_________．
【答案】2
【分析】先化简，令含x的项的系数为0，得到a，b的值，代入计算即可．
本题考查了整式的加减中无关问题，化简求值，熟练掌握化简是解题的关键．
【详解】解：，
∴
，
∵代数式的值与字母x的取值无关，
∴，
解得；
∴．
故答案为： 2．
8．（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知，则______．
【答案】4013
【分析】本题考查的是整式的加减运算，化简求值．先去括号和合并同类项将式子化简，再整体代入即可.
【详解】解：
∵，
∴
∴原式.
故答案为：
9．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”，例如：，，则所有的“绝对操作”的运算结果的和为______．
【答案】
【分析】本题考查了整式的加减，绝对值的性质，根据定义可知有七种情况，分别把每一种情况的结果求出来，再把它们相加即可求解，理解定义是解题的关键．
【详解】解：有以下七种情况：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
∴所有运算结果的和为，
故答案为：．
10．（25-26七年级上·山东济宁·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________．
6 1 8
7 5 3
2 9 4
图①
2
图②
【答案】6
【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的加法运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值．
【详解】解：设三阶幻方的幻和为S（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为S）．
设三阶幻方的9个数字分别为：
2
a b
根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，
可得：
，
解①得，
解②得，
则，
再代入①得．
11．（24-25七年级上·山东烟台·期中）化简求值
(1)，其中
(2)，其中
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）先去括号，再合并同类项后，把a和b的值代入求值即可；
（2）先去括号，再合并同类项后，把和的值代入求值即可．
【详解】（1）解：
，
当时，
原式
；
（2）解：
，
当时，
原式
．
12．（24-25七年级上·全国·期末）已知 a ， b 为常数，且三个单项式相加得到的和仍然是单项式．那么 a 和b 的值可能是多少？说明你的理由．
【答案】或，理由见解析
【分析】根据题意，三个单项式的和仍是单项式，可知其中必有两个是同类项，且这两个同类项的和为0，剩下第三个单项式，据此分情况讨论求出的值即可。．
【详解】解：或，
理由：∵单项式，，相加得到的和仍然是单项式，
∴其中必有两个单项式是同类项，且这两个同类项的和为0，
∴，是同类项相加等于零或，是同类项相加等于零，
∴或．
13．（25-26七年级上·湖北孝感·阶段检测）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
(1)把看成一个整体，化简的结果是_____．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的加减，解决问题的关键是运用整体思想；给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算．
（1）把看成一个整体，运用合并同类项法则进行计算即可；
（2）把变形，得到，再根据整体代入法进行计算即可．
【详解】（1）解：把看成一个整体，
则
；
故答案为：；
（2）解：∵，
∴．
14．（26-27七年级·全国·暑假作业）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值．
【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①若a，b，c都是正数，即，，时，则；
②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，
，
综上所述，的值为3或．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a，b，c满足，求的值；
(2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值．
【答案】(1)或1
(2)
【分析】（1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论；
（2）由题意得，a，b，c中有2个负数，1个正数，则，利用绝对值的意义可得结论．
【详解】（1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数．
①若a，b，c都是负数，即，，时，
；
②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时，
不妨设，，，
则，
综上所述，的值为或1；
（2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且，
∴a，b，c有2个负数，1个正数，
∴，
∴．
15．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，大长方形的一组邻边长分别为10，m（），在长方形的内部放置4个完全相同的小长方形纸片（图中阴影所示），这样得到长方形，长方形及长方形．
(1)若，求线段的长度；
(2)记长方形的周长为，长方形的周长为，对于任意的m值，与的和是否为一个确定的值？若是一个确定的值，请写出这个值，并说明理由；若不是一个确定的值，请举例子进行说明．
【答案】(1)2
(2)与的和是一个确定的值，
【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减，解题的关键是掌握数形结合的思想．
（1）设阴影长方形的长为a，宽为b，根据线段的和差，列出代数式求解即可；
（2）分别求出，，．
【详解】（1）解：设阴影长方形的长为a，宽为b，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：与的和是一个确定的值，理由如下：
设阴影长方形的长为a，宽为b，
∵，，
∴，
∵，
∴．
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第10讲 整式的加法与减法（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 同类项的判断
典型例题二 去括号
典型例题三 添括号
典型例题四 合并同类项
典型例题五 整式的加减运算
典型例题六 整式的加减中的化简求值
典型例题七 已知同类项求指数中字母或代数式的值
典型例题八 整式加减中的无关型问题
典型例题九 带有字母的绝对值化简问题
典型例题十 整式加减的应用
知识点01 去括号、添括号
1.去括号法则：
括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如；
括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如.
（1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项；
（2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号；
（3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形.
2.添括号法则：
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如．
【即时训练】
1．（25-26七年级上·安徽淮南·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级上·吉林长春·期中）（_____）；（_____）．
知识点02 整式的加减
1.利用合并同类项和去括号法则，我们可以进行整式的加减运算. 整式的加减运算，像数的运算一样满足各种运算律，如果有括号要先去括号，再合并同类项.
2.整式加减注意事项：整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号.
3.整式加减的应用
（1）整式的化简求值
一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算.
（2）整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法
若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0.
（3）解决多项式能否被一个数整除类问题
判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式.
多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为.
【即时训练】
1．（25-26七年级上·陕西汉中·期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是____．
知识点03 合并同类项
同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项.
1.判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可；
2.同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；
3.一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项；
4.同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式.
5.合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项.
6.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.
7.合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）：
（1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记；
（2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并；
（3）利用合并同类项法则，合并同类项；
（4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列.
8.易错点：
（1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；
（2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并；
（3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)；
（4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0.
【即时训练】
1．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）计算：__________．
【典型例题一 同类项的判断】
【例1】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）下面不是同类项的是（ ）
A．与4 B．与 C．与 D．与
【例2】（25-26七年级上·河北保定·期末）下列选项中，与是同类项的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级上·安徽六安·期中）请写出一个与是同类项的代数式，你写的式子是______．
【例4】（25-26七年级上·安徽淮南·期中）以下各组中：①与；②与；③与；④与；⑤与；⑥与．是同类项的是：________（填写序号）．
1．（2025七年级上·北京·专题练习）下列各组中的两项是不是同类项？①与；②与；③－3与5；④与．
2．（25-26七年级上·广西崇左·期中）指出下列各题中哪两个单项式是同类项的，并说明理由．
（1）与；
（2）与；
（3）与；
（4）与．
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）请依照例子将左右两个框内的同类项找出来：
【典型例题二 去括号】
【例1】（25-26七年级上·福建福州·期末）下列去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（25-26七年级上·江西九江·期末）下列各式中，化简结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级上·福建厦门·期末）化简：
（1）___________；
（2）___________．
【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）去括号法则：
括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都________；
括号前面是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都________．
1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）化简：
(1)；
(2)．
2．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)
(2)
(3)
3．（24-25七年级上·河南郑州·期中）下面是晓彬同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任务．
第一步
第二步
第三步
(1)以上步骤第一步是进行________，依据是________；
(2)以上步骤第______步开始出现错误，错误的原因是_________；
(3)请你进行正确化简．并求当，时，式子的值．
【典型例题三 添括号】
【例1】（25-26七年级上·辽宁抚顺·期中）将多项式添括号正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级上·吉林长春·期中）已知，则代数式的值为（ ）
A．0 B． C．9 D．12
【例3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）添括号：（______）
【例4】（24-25七年级上·山东潍坊·期末）在等号右边的括号内填上适当的项，
（1）( )；
（2）( )；
（3）( )；
（4）( )．
1．（25-26七年级上·河北张家口·期中）下面是一道关于整式运算的例题及解答过程，其中M，N是两个关于x的二项式．
先去括号，再合并同类项：． 解：原式
请确定，，．
2．（24-25七年级·全国·假期作业）将式子4x＋（3x﹣x）＝4x＋3x﹣x，4x﹣（3x﹣x）＝4x﹣3x＋x分别反过来，你得到两个怎样的等式？
（1）比较你得到的等式，你能总结添括号的法则吗？
（2）根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式﹣3x5﹣4x2＋3x3﹣2的值，把它的后两项放在：
①前面带有“＋”号的括号里；
②前面带有“﹣”号的括号里．
③说出它是几次几项式，并按x的降幂排列．
3．（24-25七年级·全国·假期作业）观察下列各式：（1）﹣a＋b＝﹣（a﹣b）；（2）2﹣3x＝﹣（3x﹣2）；（3）5x＋30＝5（x＋6）；（4）﹣x﹣6＝﹣（x＋6）．探索以上四个式子中括号的变化情况，思考它和去括号法则有什么不同？利用你的探索出来的规律，解答下面的题目：
已知a2＋b2＝5，1﹣b＝﹣2，求1＋a2＋b＋b2的值．
【典型例题四 合并同类项】
【例1】（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列各式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（25-26七年级上·河南周口·期末）一个多项式加得，则这个多项式为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）合并同类项：__________．
【例4】（25-26七年级上·福建厦门·期末）计算：（1）__________；（2）__________．
1．（25-26七年级上·湖北·期末）计算与化简：
(1)；
(2)．
2．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）若多项式化简后不含的三次项和一次项．
(1)求、的值；
(2)求的值．
3．（25-26七年级上·江西吉安·期中）【阅读】
我们知道，，类似的，我们可以把看作一个整体：．“整体思想”是中学数学学习中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极其广泛．
【应用】
（1）把看作一个整体，合并的结果是_____；
（2）已知，求的值；
【延伸】
（3）已知，求的值；
（4）若，求代数式的值．
【典型例题五 整式的加减运算】
【例1】（25-26七年级上·江西上饶·期末）在下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（24-25七年级上·山西临汾·期末）晋晋把错算成，结果比原来（ ）
A．大 B．小 C．大 D．小
【例3】（2026·天津东丽·二模）计算的结果为_________．
【例4】（24-25七年级上·山东烟台·期中）已知两个多项式的和是，其中一个多项式是，则另一个多项式是______
1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知：，求下列代数式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（25-26七年级上·福建漳州·期末）“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则．
(1)比较大小：_______（填“”“”或“”）；
(2)若 ，，请比较A与B的大小．
3．（25-26七年级上·山西大同·期末）下面是成成同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任务．
…第一步
…第二步
…第三步
任务：
(1)以上步骤第__________步开始出现错误，错误的原因是__________．
(2)请你进行正确化简．并求当时，式子的值
【典型例题六 整式的加减中的化简求值】
【例1】（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知，，则（ ）
A． B． C．34 D．无法计算
【例2】（24-25七年级上·云南昆明·期末）已知多项式M与的和是，其中，多项式M中的，，则多项式M及多项式M的值分别为（　　）
A．， B．，6
C．， D．，7
【例3】（25-26七年级上·吉林·期末）若，则的值为________．
【例4】（24-25七年级上·山西朔州·阶段检测）若，则代数式的值为_____．
1．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）先化简，再求值：，其中，．
2．（25-26七年级上·广西玉林·期末）人教版七年级上册数学教材109页的部分内容如下：把和各看作一个整体，对下列式子进行化简：．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
(1)【问题解决】把看成一个整体，求将合并的结果是__________；
(2)【简单应用】已知，则___________；
(3)【拓展提高】已知，，求代数式的值．
3．（25-26七年级上·山西大同·期末）阅读材料
“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．比如．由此，若我们把看成一个整体，当成字母“”，则．
迁移应用：
(1)把看成一个整体，合并的结果是__________；
(2)已知，则的结果是__________；
(3)已知，求的值．
【典型例题七 已知同类项求指数中字母或代数式的值】
【例1】（24-25七年级上·宁夏吴忠·期末）已知与是同类项，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【例2】（25-26七年级上·全国·期末）已知与的和是，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若单项式与的和仍是单项式，则__________．
【例4】 （25-26七年级上·山东聊城·期末）若单项式与是同类项，那么____________．
1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）已知：，且
(1)求A等于多少？
(2)若与是同类项，求A的值
2．（24-25七年级·全国·假期作业）若关于x，y的单项式2axmy与5bx2m﹣3y是同类项，且a，b不为零．
（1）求（4m﹣13）2009的值．
（2）若2axmy+5bx2m﹣3y＝0，且xy≠0，求的值．
3．（24-25七年级上·江西宜春·期中）已知与是关于x、y的单项式，且它们是同类项．
(1)求a的值；
(2)若，且，求的值．
【典型例题八 整式加减中的无关型问题】
【例1】（25-26七年级上·安徽合肥·阶段检测）若式子的值与的大小无关，则该式子的值为（ ）
A． B． C．5 D．
【例2】（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）将“多项式”化简后不含的项，则m的值是（ ）
A． B．6 C． D．
【例3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）多项式中，若不含项，则的值为_____．
【例4】（25-26七年级上·河南新乡·期中）定义：任意两个数a、b，按规则扩展得到一个新数c，称所得的新数c为“理想数”．若，，“理想数”c的值与x的值无关，则y的值为_____________．
1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知，．
(1)求；
(2)若的值与x无关，求m的值．
2．（25-26七年级上·云南昭通·期末）七年级数学活动课上，老师安排三位同学分别拿着写有代数式的卡片，其中代数式暂未公开．已知卡片上的代数式如下(为常数)：
代数式：；
代数式：．
(1)若代数式与代数式的倍的差化简后的结果为常数(不含项)，求这个常数的值及此时的值；
(2)当时，若，求代数式．
3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）有这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求k的值；通常的解题方法：把x，y看作字母，k看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，即．
(1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值；
(2)如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系．
【典型例题九 带有字母的绝对值化简问题】
【例1】（24-25七年级上·全国·期末）当时，化简得（ ）．
A． B． C．2 D．
【例2】（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）已知，，且．则的值等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【例3】（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知有理数，，对应的点在数轴上的位置如图所示，化简：______．
【例4】（25-26七年级上·安徽六安·阶段检测）已知均为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，例如：．
（1）计算：______；
（2）计算：______．
1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）解答下列各题．
(1)已知，求的值；
(2)已知a，b，c是不为0的有理数，求的值．
2．（25-26七年级上·四川南充·期末）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题：
(1)当时，求的值．
(2)当时，求的值．
(3)若有理数a、b均不等于零，试求的值．
3．（24-25七年级上·四川成都·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为．
(1)如果表示数和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么___________．
(2)若数轴上表示数的点位于与3之间，求的值．
(3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由
【典型例题十 整式加减的应用】
【例1】（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）如图，两个三角形的面积分别为29、21，若两阴影部分的面积分别为，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【例2】（25-26七年级上·安徽淮北·阶段检测）某市地铁3号线正式通车当天，某列地铁在市政府站到站前，原有人，到站时下去了人，又上来了一些人，此时地铁上共有人．则在市政府站上地铁的有（　　）
A．人 B．人 C．人 D．人
【例3】（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）某件商品的成本价为元，按成本价提高后标价，又以八折销售，这件商品的利润为______．（用含的代数式表示）
【例4】（25-26七年级上·广东江门·阶段检测）下图是某月份的日历，用一个方框圈出任意个数，设最中间一个数是x，则用含x的代数式表示这9个数的和是_______．
1．（25-26七年级下·辽宁·期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为对消多项式”，它们的“对消值”为5．
(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是___________（填序号）；
①与；②与；③与；
(2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”．
2．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，大坝截面是梯形，梯形的上底为，下底为，高为40，溢洪口是直径为12的半圆．
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)当，π取3，求阴影部分面积的值．
3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读材料，回答下列问题．
材料：根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
①如果，那么；
②如果，那么；
③如果，那么
反之也成立，这种比较大小的方法称为“作差法”．
(1)【理解】若，则_____；（填“”、“”或“”）
(2)【运用】若，证明
(3)【拓展】请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题．制作某产品有两种用料方案．
方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板．
方案二：用4块A型钢板，7块B型钢板．每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小．方案一的总面积记为，方案二的总面积记为，试比较，的大小．
1．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）下列各组中的两项，属于同类项的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
2．（2026·广东云浮·一模）若单项式与可以合并，则的值为（ ）
A．7 B．4 C．5 D．
3．（24-25七年级上·山东烟台·期末）下列各式由等号左边变到右边变形错误的有（ ）
①
②
③
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（24-25七年级上·陕西延安·阶段检测）已知，，那么的值为（ ）
A． B． C．9 D．10
5．（2026·广西玉林·模拟预测）如图，长方形由两个小长方形组成，根据图形面积可以得到的等式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25七年级上·福建厦门·期末）口算：
（1）__________； （2）__________； （3）__________；
（4）__________； （5）__________； （6）__________．
7．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）已知，．当的值与x无关时，_________．
8．（25-26七年级上·山东聊城·期末）已知，则______．
9．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在多项式（其中）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”，例如：，，则所有的“绝对操作”的运算结果的和为______．
10．（25-26七年级上·山东济宁·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________．
6 1 8
7 5 3
2 9 4
图①
2
图②
11．（24-25七年级上·山东烟台·期中）化简求值
(1)，其中
(2)，其中
12．（24-25七年级上·全国·期末）已知 a ， b 为常数，且三个单项式相加得到的和仍然是单项式．那么 a 和b 的值可能是多少？说明你的理由．
13．（25-26七年级上·湖北孝感·阶段检测）阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
(1)把看成一个整体，化简的结果是_____．
(2)已知，求的值．
14．（26-27七年级·全国·暑假作业）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值．
【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①若a，b，c都是正数，即，，时，则；
②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，
，
综上所述，的值为3或．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)三个有理数a，b，c满足，求的值；
(2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值．
15．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，大长方形的一组邻边长分别为10，m（），在长方形的内部放置4个完全相同的小长方形纸片（图中阴影所示），这样得到长方形，长方形及长方形．
(1)若，求线段的长度；
(2)记长方形的周长为，长方形的周长为，对于任意的m值，与的和是否为一个确定的值？若是一个确定的值，请写出这个值，并说明理由；若不是一个确定的值，请举例子进行说明．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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