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第06讲 角的平分线（3大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 作角平分线(尺规作图)
典型例题二 角平分线的性质定理
典型例题三 角平分线的判定定理
典型例题四 根据角平分线的性质求面积
典型例题五 根据角平分线的性质求长度
典型例题六 根据角平分线的性质求角度
典型例题七 角平分线性质的实际应用
知识点01 角平分线的画法（尺规作图）
如图所示：作∠AOB的角平分线
（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E；
（2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
（3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）用直尺和圆规作一个角的平分线，其作图依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图所示，则能说明是的角平分线的依据是________．（选填“”、“”、“”、“”）
知识点02 角的平分线的性质
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
结论：PD=PE.
【提示】
（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
【即时训练】
1．（2026·山西吕梁·二模）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，则以下结论一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·广东韶关·期末）如图，在中，是角平分线，若，则点到的距离是_____．
知识点03 角的平分线的判定
内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点.
【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
【即时训练】
1．（24-25八年级上·内蒙古兴安·阶段检测）如图，P是内一点，，，，垂足分别为D，E，F，且，则点P是的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，，D为边上一点，且平分，交于点E，连接，则___________°，____________°．
【典型例题一 作角平分线(尺规作图)】
【例1】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·福建南平·期中）下列作图中，点到，两边距离相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出________°．
【例4】（2025·江苏扬州·三模）如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E．②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F．③作射线交于点G．如果，的面积为6，则的面积为__________．
1．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，．
(1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在第（1）题的前提下，若，，求的长．
2．（2026·广东·二模）如图，已知．
【动手操作】
(1)请用圆规和无刻度的直尺按照以下步骤作图：
步骤1：以点O为圆心，适当的长度为半径作弧，交于点 M，交于点 N；
步骤 2： 分别以点 M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部交于点 C；
步骤3：作射线．
【推理证明】
(2)请证明平分．
3．（2026·重庆南岸·模拟预测）如图，已知直线，直线与，分别相交于，，是的平分线．
(1)用尺规按要求作图：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）问的条件下，求证：．
证明：，
_____________，
又平分，平分，
，．
___________，
．
【典型例题二 角平分线的性质定理】
【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【例2】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3】（2026·福建泉州·模拟预测）如图，，平分，，，则点D到的距离为______．
【例4】（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）如图，的三边长分别是，，，其三条角平分线将其分为三个三角形，则___________
1．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的平分线，点P在上，，，垂足分别为D，E．点F，G分别在，上，，连接，．求证：．
2．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，，平分，，分别为，的高．
(1)试说明：；
(2)已知，求的长．
3．（25-26八年级下·贵州·期末）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与，相交于点，．
(1)如图①，若于点，于点．求证：；
(2)当三角板绕点旋转到与不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．
【典型例题三 角平分线的判定定理】
【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（ ）
A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等
C．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．以上均不正确
【例3】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________．
【例4】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，中，平分，平分．
（1）和的数量关系________；
（2）若，连接，则________度．
1．（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P．
2．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
3．（25-26七年级下·重庆·期中）请将下面的解答过程补充完整．
在中，已知，垂足为，是的角平分线，，试判断与的位置关系，并说明理由．
解：与的位置关系为： ① ，理由如下：
（已知）
（垂直的定义）
是的角平分线（已知）
②
，
③ （同位角相等，两直线平行）
④ （ ⑤ ）
⑥
【典型例题四 根据角平分线的性质求面积】
【例1】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，是的角平分线，，分别是和的高，，，的面积是30，则的面积是（ ）
A．36 B．30 C．24 D．66
【例2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大2，则的面积是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．28
【例3】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，是的角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是___________．
【例4】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，中，，，，三条角平分线交于点O．的面积等于9，则的面积______．

1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，E为的中点，平分，与相交于点O，若的面积比的面积大1，则的面积是多少？
2．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决很多数学问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．请你用等面积法来探究下列两个问题：
(1)如图①，在中，，，与是的高，求的值；
(2)如图②，在中，，，分别在，上，且，求证：．
3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）【方法回顾】
在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系．
【方法应用】
（1）如图1，正方形是由长为，宽为的4个全等小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系，请你写出这个等量关系；
【方法迁移】
（2）如图2，长方形是由8个长为，宽为的全等的小长方形拼摆而成的，请你根据“等积法”计算两次的基本思想，解答下列问题：
①求a，b之间的数量关系；
②若长方形的宽，求小长方形的面积．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，是三条角平分线的交点，求点到边的距离．
【典型例题五 根据角平分线的性质求长度】
【例1】（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（ ）
A．3 B．5 C． D．6
【例2】（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点．连接并延长交于点．若，则点到直线的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【例3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为________．
【例4】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，为的角平分线，且．现按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，则线段的长为______________．
1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）（1）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，，求的长．
（2）如图，是的角平分线，于点E，，，，求的长．
2．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图所示，在中，作的平分线．
(1)下列操作中，作的平分线的正确顺序是______（将序号按正确的顺序写在横线上）．
①分别以点为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点；
②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点；
③画射线，交于点．
(2)能说明的依据是_______（填序号）．
①；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等
(3)若，，，过点作于，求的长．
3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）【证明体验】
（1）如图1，在中，平分，为上一点且．求证：．
【思考探究】
（2）如图2，在中，，平分，交于点，，，求的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，已知中，，，平分，，，求的长．
【典型例题六 根据角平分线的性质求角度】
【例1】（24-25八年级上·天津·期中）如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【例2】 （25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，是上一点，连接，过点作于点，若，则的度数为__________．
【例4】（24-25七年级下·河南漯河·期中）如图，直线，与直线分别相交于点N，M，且，、分别平分和．如果，则的度数为________．
1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）（1）如图1，在中，的平分线相交于点F，，求的度数；
（2）如图2，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若．
①求的度数；
②求的度数．
2．（24-25八年级上·广东广州·阶段检测）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接，，．
(1)若，求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，则的度数为______．（用含的代数式表示）
3．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，和的平分线交于点，．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，连接，求证：平分；
(3)如图③，若，求的度数．（用含的式子表示）
【典型例题七 角平分线性质的实际应用】
【例1】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，、、表示三条公路，现想在内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（ ）
A．三条高所在直线的交点处
B．三条边的垂直平分线的交点处
C．三个角的角平分线的交点处
D．三条中线的交点处
【例3】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则与的数量关系是______．

【例4】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知的周长是16，、分别平分和，于，且，的面积是________．
1．（25-26八年级下·全国·期中）在中，是边上的点（不与点，重合），连接．
(1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）．
(2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值．
2．（2025八年级上·上海青浦·专题练习）如图，△的和的外角平分线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)如图2，连接，求证：平分；
3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H．
平分
，
即．
新知应用：
(1)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(2)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）．
1．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列结论：①；②；③∠BDE＝∠BAC；④BE＝DE；⑤，其中正确的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，若，，根据作图痕迹可知，的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，平分，，，则的面积是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）正方形网格中，位置如图，点O、A、B三点都是格点，则格点C、D、E、F中到两边距离相等的点是（ ）
A．C点 B．D点 C．E点 D．F点
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是的两外角平分线的交点．有下列结论：①；②点到，的距离相等；③点到的三边所在直线的距离相等；④点在的平分线上．其中正确的个数是__________．
7．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，点C在线段上（不与点A，B重合），在的上方分别作和，且，，连接，交于点P，下列结论正确的是（填序号）________．
①； ②平分； ③平分；④．
8．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，AD是的平分线，，，则____________．
9．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则：①是的平分线；②若，则；③；④．以上说法中正确的序号是_____．
10．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，的面积为42，平分，为的中点，点在上，，若阴影部分的面积为，则的值为______．
11．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，．请你用尺规作图法在边上找一点D，连接，使得的面积与的面积之比为．（不写作法，保留作图痕迹）
12．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，分别交，于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：平分．
13．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，．
(1)求证：；
(2)若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由．
14．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知直线，两条直线相交于点O，为等腰三角形，点A在射线上，点B在射线上．
(1)如图1，点C在内部，若于H，证明：
(2)如图2，，点C在射线上，点E、F分别是边BC、AB上的点，若．求证：；
(3)如图3，点C与点O重合时点E在内部，，连接，求的度数．
15．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）（1）【母题呈现】如图的三角形纸片中，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长．
（2）【知识应用】在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接．
①如图1，若，求的面积；
②如图2，求证：平分；
③如图3，过点作于，若，求的长．
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第06讲 角的平分线（3大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 作角平分线(尺规作图)
典型例题二 角平分线的性质定理
典型例题三 角平分线的判定定理
典型例题四 根据角平分线的性质求面积
典型例题五 根据角平分线的性质求长度
典型例题六 根据角平分线的性质求角度
典型例题七 角平分线性质的实际应用
知识点01 角平分线的画法（尺规作图）
如图所示：作∠AOB的角平分线
（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线OA、OB于点D、E；
（2）分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；
（3）过O、C两点作射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）用直尺和圆规作一个角的平分线，其作图依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定；由作图过程得角平分线的作图通过构造两个全等三角形来实现，其中三边对应相等，故依据SSS全等判定，即可求解．
【详解】解：设，以O为圆心画弧交于C，于D；再以C、D为圆心画弧交于E，连接．
，，，
，
，
即平分．
故选：A．
2．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）用直尺和圆规作一个角的平分线，示意图如图所示，则能说明是的角平分线的依据是________．（选填“”、“”、“”、“”）
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定的应用，培养学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．连接，，根据证，即可推出答案．
【详解】解：连接，，如图所示：
在和中，
∴，
∴，
∴是的角平分线．
故答案为：．
知识点02 角的平分线的性质
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
结论：PD=PE.
【提示】
（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．
【即时训练】
1．（2026·山西吕梁·二模）如图，在中，，平分交于点，过点作于点，则以下结论一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等即可求解．
【详解】∵平分，，，
∴．
2．（25-26八年级上·广东韶关·期末）如图，在中，是角平分线，若，则点到的距离是_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．先利用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，再结合已知条件，得出点到的距离等于的长度．
【详解】解：∵是的角平分线，，
∴点到的距离等于的长度，
∵，
∴点到的距离为，
故答案为：．
知识点03 角的平分线的判定
内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
结论：①点P到三边AB，BC，CA的距离相等；②△ABC的三条角平分线交于一点.
【提示】角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．
【即时训练】
1．（24-25八年级上·内蒙古兴安·阶段检测）如图，P是内一点，，，，垂足分别为D，E，F，且，则点P是的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形角平分线的判定．根据角平分线性质的逆定理即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴是的角平分线，
同理分别是，的角平分线，
故P是角平分线交点，
故选：A．
2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，，D为边上一点，且平分，交于点E，连接，则___________°，____________°．
【答案】 50 40
【分析】根据，，可得，过E分别作的垂线，垂足分别为G，H，P，根据角平分线的性质定理和判定定理可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，即可．
【详解】解：∵，，
∴；
如图，过E分别作的垂线，垂足分别为G，H，P，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：50；40
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角的平分线的性质定理和逆定理，本题的关键是作出辅助线，角的平分线性质定理的应用．
【典型例题一 作角平分线(尺规作图)】
【例1】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，利用尺规作的角平分线的作法，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，连接，，由作图得，，，然后利用证明即可．
【详解】解：如图，连接，，
由作图得，，，，
∴，
∴，即平分．
∴用到的三角形全等的判定方法是．
【例2】（25-26八年级上·福建南平·期中）下列作图中，点到，两边距离相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断．
【详解】解：点到、两边距离相等，
点在的角平分线上，
由作法可知，选项C中 为 的角平分线，选项A、B、D均不符合题意．
【例3】（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，根据尺规作图所留痕迹，已知，可以求出________°．
【答案】
【分析】根据作图痕迹得到平分，利用角平分线的定义求得的度数即可．
【详解】解：由作图痕迹可知，平分，
∵，
∴．
【例4】（2025·江苏扬州·三模）如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E．②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F．③作射线交于点G．如果，的面积为6，则的面积为__________．
【答案】9
【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，角平分线的性质；由题意知，平分；过G作于M，于N，则，由的面积为6，可求得，再由三角形面积公式即可求出的面积．
【详解】解：由题意知，平分；
如图，过G作于M，于N，则，
∵的面积为6，
即，
∴，
∴；
∴，
．
故答案为：9．
1．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图，已知，．
(1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在第（1）题的前提下，若，，求的长．
【答案】(1)的平分线如图所示：
(2)3
【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和步骤解答即可；
（2）作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求出即可.
【详解】（1）略；
（2）解：作于点E，如图，
∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴.
2．（2026·广东·二模）如图，已知．
【动手操作】
(1)请用圆规和无刻度的直尺按照以下步骤作图：
步骤1：以点O为圆心，适当的长度为半径作弧，交于点 M，交于点 N；
步骤 2： 分别以点 M，N为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在 的内部交于点 C；
步骤3：作射线．
【推理证明】
(2)请证明平分．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的判定与性质：
（1）根据尺规作图的步骤完成作图即可；
（2）连接，通过证明三角形全等，利用全等三角形对应角相等来证明角平分．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）证明：连接，
由作图步骤1可知，，
由作图步骤2可知，，
，
，
，
平分．
3．（2026·重庆南岸·模拟预测）如图，已知直线，直线与，分别相交于，，是的平分线．
(1)用尺规按要求作图：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）问的条件下，求证：．
证明：，
_____________，
又平分，平分，
，．
___________，
．
【答案】(1)
如图，射线即为所求．
(2)，
【分析】（1）根据角平分线的作法作出射线即可；
（2）根据角平分线的定义结合平行线的性质即可推出结论．
【详解】（1）略
（2）证明：，
，
又平分，平分，
，．
，
．
【典型例题二 角平分线的性质定理】
【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出，从而求出的长．
【详解】解：∵是的角平分线， 且，，
∴，
∵，
∴．
【例2】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：∵平分，，，
∴．
【例3】（2026·福建泉州·模拟预测）如图，，平分，，，则点D到的距离为______．
【答案】2
【详解】解：如图，过点作，
，，
，
平分，，
，
点D到的距离为2．
【例4】（25-26八年级下·辽宁阜新·期中）如图，的三边长分别是，，，其三条角平分线将其分为三个三角形，则___________
【答案】
【分析】过点分别作于，于，于，可得，进而得到.
【详解】解：过点分别作于，于，于，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴.
1．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的平分线，点P在上，，，垂足分别为D，E．点F，G分别在，上，，连接，．求证：．
【答案】证明：，
，
，
∵是的平分线，点P在上，，
，
在和中，
∴，
∴．
【分析】先根据角平分线的性质证，然后再证，最后根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】略
2．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，，平分，，分别为，的高．
(1)试说明：；
(2)已知，求的长．
【答案】(1)证明：∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
(2)
【分析】（1）证明，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的性质得到答案.
【详解】（1）略；
（2）解：∵，
∴，
∵，分别为，的高，即，
∴，
∵，
∴.
3．（25-26八年级下·贵州·期末）已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与点重合，它的两条直角边分别与，相交于点，．
(1)如图①，若于点，于点．求证：；
(2)当三角板绕点旋转到与不垂直时，在图②这种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．
【答案】(1)证明：∵平分，
又∵，，
∴．
(2)成立，证明如下;
如图，过点作于点，于点，
∵平分，
又∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【分析】（1）由角平分线的性质定理即可证明；
（2）过点作于点，于点，利用角平分线的性质定理可得，容易计算出，由“同角的余角相等”可得，进而证明，因此．
【详解】（1）略
（2）略
【典型例题三 角平分线的判定定理】
【例1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度．
【详解】解：于点，于点，且，
平分，
，
．
【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线、重合，另一边相交于点，则平分的依据是（ ）
A．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等
C．线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
D．以上均不正确
【答案】A
【详解】解：平分的依据是：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
【例3】（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）在内部，将两个完全一样的含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，连接，则可得到平分，判断依据是__________．
【答案】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
【详解】
解：两个完全一样的三角尺，
且，
根据角的平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，
平分．
【例4】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，中，平分，平分．
（1）和的数量关系________；
（2）若，连接，则________度．
【答案】 50
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题关键．
（1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，则，由此即可得；
（2）连接，过点作的垂线，垂足分别为点，先求出，再根据角平分线的性质定理可得，，则，根据角平分线的判定可得是的角平分线，由此即可得．
【详解】解：（1）∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
（2）如图，连接，过点作的垂线，垂足分别为点，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，，
∴，，
∴，
又∵点在的内部，
∴是的角平分线，
∴，
故答案为：50．
1．（25-26八年级下·福建漳州·期中）已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P．
【答案】证明：过点P分别作，，，
是的角平分线，
（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）．
同理，．
．
点P在的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即的平分线经过点P．
【分析】过点P分别作，，，根据角平分线的性质得出，然后根据角平分线的判定即可得证．
【详解】略
2．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，的外角，的平分线，相交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过P作于G，根据角平分线的性质定理，结合等量代换证明即可；
（2）先证明平分，再由三角形内角和定理以及角平分线进行计算即可．
【详解】（1）证明：过P作于G，如图所示：
∵平分，，
∴，
同理：，
∴；
（2）解：如图，
∵，，，
∴平分，
∴，
∴
∵平分，平分，
∴，，
∴
∴．
3．（25-26七年级下·重庆·期中）请将下面的解答过程补充完整．
在中，已知，垂足为，是的角平分线，，试判断与的位置关系，并说明理由．
解：与的位置关系为： ① ，理由如下：
（已知）
（垂直的定义）
是的角平分线（已知）
②
，
③ （同位角相等，两直线平行）
④ （ ⑤ ）
⑥
【答案】；；；；两直线平行，同位角相等；．
【分析】根据垂直的定义得到，由角平分线的定义以及推出，得到，推出，即可求解．
【详解】解：与的位置关系为：，理由如下：
（已知）
（垂直的定义）
是的角平分线（已知）
，
，
，
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
．
故答案为：；；；；两直线平行，同位角相等；．
【典型例题四 根据角平分线的性质求面积】
【例1】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）如图，是的角平分线，，分别是和的高，，，的面积是30，则的面积是（ ）
A．36 B．30 C．24 D．66
【答案】A
【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算问题，角平分线的性质定理等知识点，解题关键是掌握角平分线的性质并能熟练运用它来求解．
先根据角平分线的性质，得出，再根据的面积是30，求得，从而可求得的面积．
【详解】解：∵AD是的角平分线，DE，DF分别是和的高，
∴，
∵的面积是30，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的面积是，
故选：A．
【例2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大2，则的面积是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．28
【答案】D
【分析】作于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式得到，根据题意列式计算得到答案．
【详解】解：作于，于，
平分，，，
，
，
设的面积为，则，，
的面积比的面积大2，
的面积比的面积大2，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【例3】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，是的角平分线，是的中线，若的面积是，则的面积是___________．
【答案】8
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等．
过点D作，，垂足分别为、，根据角平分线的性质和三角形的面积先求出点D到、的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论．
【详解】解：如图，过点D作，，垂足分别为、，
∵是角平分线，
∴，
设，
∵，即
∴，
解得，
∴，
∵是中的中线，
∴．
故答案为：8．
【例4】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，中，，，，三条角平分线交于点O．的面积等于9，则的面积______．

【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，牢记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点O分别作，，垂足分别为D，E，根据角平分线的性质可得，再由的面积等于9，可得，再由三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：如图，过点O分别作，，垂足分别为D，E，

∵平分，
∴，
∵的面积等于9，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在中，E为的中点，平分，与相交于点O，若的面积比的面积大1，则的面积是多少？
【答案】
【分析】本题考查三角形的面积、角平分线的性质定理、三角形的中线等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
作于M，于N，得出，，设的面积为S．则，，得出，求解即可．
【详解】解：如图所示，作于M，于N．
∵平分于于N，
∴，
∴，
设的面积为S．则，，
∵的面积比的面积大1，
∴的面积比的面积大1，
∴，
∴．
2．（25-26八年级上·江西上饶·阶段检测）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决很多数学问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．请你用等面积法来探究下列两个问题：
(1)如图①，在中，，，与是的高，求的值；
(2)如图②，在中，，，分别在，上，且，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，角平分线的性质，熟练掌握并运用三角形的面积公式，是解题的关键．
（1）根据三角形的面积公式列出，再根据，，即可得出答案；
（2）先证明，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式得出，即可得出，整理可证明结论．
【详解】（1）解：∵与是的高，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）【方法回顾】
在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系．
【方法应用】
（1）如图1，正方形是由长为，宽为的4个全等小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系，请你写出这个等量关系；
【方法迁移】
（2）如图2，长方形是由8个长为，宽为的全等的小长方形拼摆而成的，请你根据“等积法”计算两次的基本思想，解答下列问题：
①求a，b之间的数量关系；
②若长方形的宽，求小长方形的面积．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，是三条角平分线的交点，求点到边的距离．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）2
【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，三角形面积的计算，角平分线的性质，解题的关键是数形结合熟练掌握整式混合运算法则．
（1）根据正方形的面积公式和大正方形可以看作四个长方形和中间一个小正方形面积之和，得出等量关系即可；
（2）①用两种方法表示长方形的面积，得出等式，即可得出a，b之间的数量关系；
②根据长方形的宽得出，结合，求出a、b的值，然后得出小长方形的面积即可；
（3）设点到边的距离为h，根据点P是三条角平分线的交点，得出点P到边的距离为h，到边的距离为h，求出，根据得出，求出h即可．
【详解】解：（1）大正方形的边长为：，面积为；小正方形的边长为，面积为，4个长方形的面积之和为，
∴；
（2）①∵长方形的面积为：，小长方形面积为，
∴，
即，
∴，
即，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴小长方形的面积为；
（3）设点到边的距离为h，
∵点P是三条角平分线的交点，
∴点P到边的距离，到边的距离都等于点到边的距离，
即点P到边的距离为h，到边的距离为h，
∵在中，，
∴，
∵
，
∴，
解得：，
即点到边的距离为2．
【典型例题五 根据角平分线的性质求长度】
【例1】（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（ ）
A．3 B．5 C． D．6
【答案】B
【分析】本题考查了作图基本作图，角平分线的性质；利用基本作图得平分，过点作于，根据角平分线的性质得到则，再利用面积法得到，最后解方程即可．
【详解】解：由作法得平分，
过点作于，如图，则，
，
，
即，
，
，
故选：B．
【例2】（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点．连接并延长交于点．若，则点到直线的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】本题考查角平分线的性质及尺规作图、点到直线的距离，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．
过D作于H，根据作图过程，得平分，再根据角平分线的性质得到即可求解．
【详解】解：过D作于H，
根据作图过程，得平分，又，，
∴，
即点到直线的距离是6．
故选：A．
【例3】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，，则的长为________．
【答案】3
【分析】本题主要考查了三角形的面积公式，作角平分线（尺规作图），角平分线的性质定理等知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图法及角平分线的性质定理是解题的关键．
过点作于点，由三角形的面积公式可得，，于是可得，由作图步骤可知是的平分线，由可得，再结合，由角平分线的性质定理可得，由此即可求出的长．
【详解】解：如图，过点作于点，
，，
，
由作图步骤可知，是的平分线，
，
，
又，
，
的长为，
故答案为：．
【例4】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，为的角平分线，且．现按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，则线段的长为______________．
【答案】
【分析】本题考查了含有的直角三角形，尺规作图画垂直平分线以及等腰三角形的性质，需熟练掌握由尺规作图得到垂直平分线，再根据的直角三角形求解各边长是解决本题的关键．
先由步骤①的尺规作图可知是的垂直平分线，再结合为的角平分线与可求解，和的度数，再由的直角三角形的性质求解边长即可．
【详解】解：记与的交点为点F，如图，
∵在中，，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
由步骤①可知，是的垂直平分线，
∴且为直角三角形，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
故答案为： ．
1．（24-25八年级上·浙江金华·期中）（1）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，，求的长．
（2）如图，是的角平分线，于点E，，，，求的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等和角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得出，结合求解即可；
（2）过点D作于F，根据角平分线的性质得出，再结合和三角形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）由作图知，是线段的垂直平分线，
∴．
∵，，
∴；
（2）过点D作于F，如图，
∵是的角平分线，，
∴，
∴，
∴．
2．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）如图所示，在中，作的平分线．
(1)下列操作中，作的平分线的正确顺序是______（将序号按正确的顺序写在横线上）．
①分别以点为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点；
②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点；
③画射线，交于点．
(2)能说明的依据是_______（填序号）．
①；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等
(3)若，，，过点作于，求的长．
【答案】(1)②①③
(2)①
(3)5
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，作角平分线；
（1）根据作角平分线的顺序进行判断，即可求解；
（2）证明，根据全等三角形的性质，即可得证；
（3）根据角平分线的性质可得，进而根据，即可求解．
【详解】（1）作的平分线的正确顺序是②①③
（2）解：能说明的依据是①；如图所示，连接，．
在和中，
，
故选：①．
（3）解：如图所示，过点作于点．
，，，
．
，
即，
，
解得．
3．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）【证明体验】
（1）如图1，在中，平分，为上一点且．求证：．
【思考探究】
（2）如图2，在中，，平分，交于点，，，求的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，已知中，，，平分，，，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）3；（3）7
【分析】
（1）证，可得；
（2）根据（1）中得：，，相加可得的长；
（3）在边上取点，使，连接，得到，在边上取点，使，连接，得到，即可推出结论．
【详解】（1）证明：如图1， 平分，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：如图2，在边上取点，使，连接．
，
，，，
，，
，
，
；
（3）解：中，，，
，
平分，
，，
在边上取点，使，连接，
在和中，
，
，
，
，
，
在边上取点，使，连接，
同理得，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据题意正确的作出辅助线构造全等三角形即可解决问题．
【典型例题六 根据角平分线的性质求角度】
【例1】（24-25八年级上·天津·期中）如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是角平分线的性质，作于Z，于Y，于W，根据角平分线的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，根据题意得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
【详解】解：作于Z，于Y，于W，如图所示：

∵平分，，，
∴，
同理，
∴，，，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，的平分线相交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【例2】 （25-26八年级上·全国·课后作业）如图，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定是解题的关键；根据“到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上”即可得到是角平分线，即可求得的度数.
【详解】解：于，于
又
是的角平分线
故选：B ．
【例3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，是上一点，连接，过点作于点，若，则的度数为__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上这一判定定理是解题的关键．
先根据角平分线的判定定理，由且、，得出平分，再在中利用直角三角形两锐角互余的性质求出的度数．
【详解】解：∵，，，
∴平分．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：．
【例4】（24-25七年级下·河南漯河·期中）如图，直线，与直线分别相交于点N，M，且，、分别平分和．如果，则的度数为________．
【答案】/130度
【分析】本题考查了平行线的性质及角平分线的性质，根据角平分线的性质求得，进而可求得，，再根据角平分线的性质求得即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：是的角平分线，，
，
，
，，
是的角平分线，
，
，
故答案为：．
1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）（1）如图1，在中，的平分线相交于点F，，求的度数；
（2）如图2，的外角的平分线与内角平分线交于点P，若．
①求的度数；
②求的度数．
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质和判定定理，三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先根据三角形内角和为180度求出，再根据角平分线的定义得出，最后利用三角形内角和定理求解即可；
（2）①根据三角形外角的性质得出，，再由角平分线的定义得出，进而求解即可；
②作于E，于F，于G，根据角平分线的性质定理得出，再由角平分线的判定定理证明平分，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵的平分线相交于点F，
∴，
∴；
（2）解：①在中，，
在中，，
∵分别是和的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即；
②作于E，于F，于G，
∵的平分线与内角平分线交于点P，
∴，
∴，
∴平分，
∴．
2．（24-25八年级上·广东广州·阶段检测）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，两垂直平分线交的边于点，，，，连接，，．
(1)若，求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，则的度数为______．（用含的代数式表示）
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，根据等角对等边得出，根据三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，即可求解；
（2）过点作的垂线，垂足分别为点，根据角平分线的性质与判定即可得证；
（3）先由三角形内角和定理得到，则，再推出，，据此根据三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：分别为的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：过点作的垂线，垂足分别为点，
，
，
又，
，
，
，
同理，
平分．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质以及角平分的性质与判定是解题的关键．
3．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，和的平分线交于点，．
(1)如图①，若，求的度数；
(2)如图②，连接，求证：平分；
(3)如图③，若，求的度数．（用含的式子表示）
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用三角形的内角和先求出与的和，再根据角平分的定义求出与的和即可解答；
（2）根据角平分线的性质定理，想到过点O作，垂足分别为，证出即可解答；
（3）根据角平分的定义，角的和差转化即可解答．
【详解】（1）解：，
，
,
和的平分线交于点，
，，
，
；
;
（2）证明：过点作，，，垂足分别为，，，
和的平分线交于点，，，，
，，
，
平分；
（3），
，
平分，
∴，
∴，
平分，
，
，
，
，
，
即：.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义和角平分线的性质定理是解题的关键．
【典型例题七 角平分线性质的实际应用】
【例1】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）如图，直线表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质，即可求解．
【详解】解：如图1，作两内角的角平分线，交于点，即所求中转站地址；
理由：两内角的角平分线，交于点，
，，
，即点到三条公路的距离相等；
同理可得，如图2，图3，图4，作两外角的角平分线，交于点，即所求中转站地址．
综上所述，可供选择的地址有四处．
【例2】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，A、B、C表示重庆市南岸区黄桷垭三个生活区，、、表示三条公路，现想在内设置一个快递点，若要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在（ ）
A．三条高所在直线的交点处
B．三条边的垂直平分线的交点处
C．三个角的角平分线的交点处
D．三条中线的交点处
【答案】C
【分析】本题考查的角平分线的性质，根据三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等的特点解答即可．
【详解】解：三角形三条角平分线的交点到三角形各边的距离相等，
要使快递点到三条公路的距离相等，则这个快递点应修在三条角平分线的交点处．
故选：C．
【例3】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则与的数量关系是______．

【答案】
【分析】利用基本作图得到点P到x轴和y轴的距离相等，则根据角平分线的性质得到，从而得到m、n的数量关系．
【详解】解：∵由作图痕迹得点在的平分线上，
∴点到轴和轴的距离相等，
∵，且点在第二象限，
∴，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图 基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
【例4】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知的周长是16，、分别平分和，于，且，的面积是________．
【答案】
【分析】将三角形面积转化为三个小三角形的面积和求解即可．
【详解】解：如图，过O点分别向和作垂线，垂足分别为E和F，连接，
∵、分别平分和，，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和求三角形的面积，解题关键是得到O点到三边的距离相等．
1．（25-26八年级下·全国·期中）在中，是边上的点（不与点，重合），连接．
(1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）．
(2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值．
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）过点作于点，于点，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可；
（2）根据已知和（1）的结论求出和的面积，即可求出的面积．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点．
是的平分线，，，
．
，，
．
（2）解：，
．
，
．
，，平分，
∴由（1）知，，
，
．
【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题．
2．（2025八年级上·上海青浦·专题练习）如图，△的和的外角平分线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)如图2，连接，求证：平分；
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质，三角形内角和定理．
（1）根据三角形内角和定理得出，求出，根据角平分线定义求出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可；
（2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据角平分线的性质得出，，求出，即可证明平分；
【详解】（1）解：，
，
，，
，
平分，平分，
，，
，
；
（2）证明：过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图所示：
平分，平分，
，，
，
平分；
3．（24-25八年级下·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H．
平分
，
即．
新知应用：
(1)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(2)如图②，是的角平分线，若，则_________；
(3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系．
（1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出．
（2）根据探索新知中，结合已知，直接得．
（3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出
由，代入计算得结果．
【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H
由探索新知，是的角平分线时，
，
∵，，
∴．
设，，
∴，
∴．
（2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H
由探索新知可知，对于，是角平分线时：
，
，
∵
∴．
∵，
∴．
故答案为；
（3）∵平分，
∴点D到，的距离相等，
∴，
∵，
∴，，
同理平分，
∴，
∴，，
连接，过点F作,，分别垂直于，，，
∵平分，平分，
∴，，
∴
∴平分，
∴点F到，，三边的距离相等，
∴，
∵
∴，，，
∴
．
故答案为．
1．（24-25八年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列结论：①；②；③∠BDE＝∠BAC；④BE＝DE；⑤，其中正确的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质，可得CD＝ED，易证得△ADC≌△ADE，可得AC＋BE＝AB；由等角的余角相等，可证得∠BDE＝∠BAC；然后由∠B的度数不确定，可得BE不一定等于DE；又由CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC．
【详解】解：①正确，∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴CD＝ED；
②正确，因为由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC＝AE，即AC＋BE＝AB；
③正确，因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余，根据同角的余角相等，所以∠BDE＝∠BAC；
④错误，因为∠B的度数不确定，故BE不一定等于DE；
⑤正确，因为CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC．
故正确的个数为4个.
故选：B．
【点睛】此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题比较适中，注意掌握数形结合思想的应用．
2．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，若，，根据作图痕迹可知，的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了作角平分线，作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识；由作图知，平分，，则可证明，有，，
则的周长等于，从而求解．
【详解】解：由作图知，平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴的周长等于，
故选：C．
3．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，平分，，，则的面积是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】A
【分析】作于点E，根据角平分线的性质和三角形面积公式即可求解．
【详解】解：作于点E，如图，
∵平分，，，，
∴，
．
4．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形外角的性质，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断④．
【详解】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，所以②正确；
设与交于点
，
，所以①正确；
过O点作于E，于F，如图，
≌，
∴
∵
，
平分，所以④正确；
对于平分，现有条件不足以证明，
，所以③错误．
综上所述：正确的结论是①②④．
∴有3个正确的．
5．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）正方形网格中，位置如图，点O、A、B三点都是格点，则格点C、D、E、F中到两边距离相等的点是（ ）
A．C点 B．D点 C．E点 D．F点
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，将“到两边距离相等的点”转化为“在的平分线上的点”，通过图象即可找出符合条件的点．
【详解】解：由题意，可知该点在的平分线上，
通过图象可知，点E在的平分线上，
故选： C．
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，是的两外角平分线的交点．有下列结论：①；②点到，的距离相等；③点到的三边所在直线的距离相等；④点在的平分线上．其中正确的个数是__________．
【答案】3
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
过点作于，作于，作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．
【详解】解：如图，过点作于，作于，作于，
∵点是的两外角平分线的交点，，，，
∴，，
∴，
，，，
∴点在的平分线上，故②③④正确，
只有点是的中点时，，故①错误，
综上所述，说法正确的是②③④，有个．
故答案为：．
7．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，点C在线段上（不与点A，B重合），在的上方分别作和，且，，连接，交于点P，下列结论正确的是（填序号）________．
①； ②平分； ③平分；④．
【答案】①②④
【分析】根据题意证明即可求解①；作于点，于点，证明，利用全等三角形性质即可判断②，再结合三角形内角和定理，即可判断③；借助全等三角形性质和对顶角相等即可证明④．
【详解】解：，
，
，
，，
，
，
故①正确；
作于点，于点，
，
，
，，
，
，
平分.
故②正确；
，
，
，
，
不一定等于，
不一定等于，
不一定平分，
故③错误；
记与相交于点，
，
，
，
，
，
故④正确，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了对顶角相等，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，角的平分线判定，本题的关键是全等三角形性质求得对应高相等．
8．（24-25八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，AD是的平分线，，，则____________．
【答案】5：4
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，根据角平分线的性质得到DE=DF，再由三角形面积公式可求得结论．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，如图，
∵AD是的平分线，
∴DE=DF
∵，，
∴
故答案为：5：4
【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则：①是的平分线；②若，则；③；④．以上说法中正确的序号是_____．
【答案】①②④
【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等角对等边，直角三角形的性质等，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．利用基本作图对①进行判断；证明，从而得到，则可对②③进行判断；过点作，由角平分线的性质得到，根据三角形面积公式可对④进行判断．
【详解】解：由作法得平分，故①正确；
，
，，
，
，
，故②正确；
若，则，
，故③错误；
过点作，
，
，
，平分，
，
，故④正确．
故答案为：①②④．
10．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，的面积为42，平分，为的中点，点在上，，若阴影部分的面积为，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质与三角形面积的结合，利用角平分线的 “到角两边距离相等” 及面积比例关系是解题关键．先根据线段比例推出三角形面积关系，再结合角平分线性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），通过面积比建立的比例关系．
【详解】解：，
，
又，
，
，
为的中点，
，
，
，
如图，过点作，，
，
又平分，
，
，
即．
11．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，．请你用尺规作图法在边上找一点D，连接，使得的面积与的面积之比为．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】如图：用尺规作的角平分线，其与的交点为点D即为所求．
【详解】解：如图：作的角平分线，其与的交点为点D，点D即为所求；
证明：如图：过D作于E，过D作于F，
∵的角平分线，
∴，
∴，即点D即为所求．
12．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，分别交，于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理；
（1）证明即可得到；
（2）过点分别作于点，于点，根据得到，，利用三角形的面积公式得到，再利用角平分线的判定定理即可证明平分．
【详解】（1）证明：，
，
即，
，
，
．
（2）证明：过点分别作于点，于点，
由（1）得，，
，，
，
，
又，，
平分．
13．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）如图，在与中，满足，．
(1)求证：；
(2)若是线段上一点，，，垂足分别是点，试判断 与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
【分析】（1）根据证明即可；
（2）证明，结合，可得结论.
【详解】（1）证明：在和中，
∵，
∴．
（2）解：， 理由如下：
∵，
∴．
∵，，
∴．
14．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知直线，两条直线相交于点O，为等腰三角形，点A在射线上，点B在射线上．
(1)如图1，点C在内部，若于H，证明：
(2)如图2，，点C在射线上，点E、F分别是边BC、AB上的点，若．求证：；
(3)如图3，点C与点O重合时点E在内部，，连接，求的度数．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）利用证明，即可求解；
（2）设，则，推导出，则，再证明，即可得到；
（3）过点O作交于点G，过点O作交于的延长线于点H，证明，可得是的角平分线，再求．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点O作交于点G，过点O作交于的延长线于点H，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
15．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）（1）【母题呈现】如图的三角形纸片中，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，求的周长．
（2）【知识应用】在中，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接．
①如图1，若，求的面积；
②如图2，求证：平分；
③如图3，过点作于，若，求的长．
【答案】（1）；（2）①；②见解析；③
【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，折叠的性质，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）折叠得到，进而得到，，进而求出的长，再根据三角形的周长公式结合等量代换进行求解即可．
（2）①根据折叠得出，，，根据求出结果即可；
②过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，根据角平分线的性质得出，，证明，根据角平分线的判定得出答案即可；
③过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接，证明，根据，得出，代入数据求出结果即可．
【详解】（1）解：是由折叠而得到，
．
，．
，
．
，
的周长为：．
（2）①根据折叠可知：，，，
；
②证明：如图，过点P分别作、、边的垂线垂足分别为点F、H、M，
由题可知，，，
，
平分，
，
，
，
即平分；
③如图，过点P分别作、边的垂线，垂足分别为点G、M，连接，
由题可知，，，
，
由（2）可知，
，
，
，
∵，，
∴，
解得：．
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