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第08讲 线段的垂直平分线（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 线段垂直平分线的性质
典型例题二 线段垂直平分线的判定
典型例题三 写出命题的逆命题
典型例题四 判断是否为互逆命题
典型例题五 互逆定理
典型例题六 作已知线段的垂直平分线
典型例题七 作垂线(尺规作图)
典型例题八 画对称轴
典型例题九 求对称轴条数
典型例题十 根据垂直平分线的性质求长度、周长、角度
知识点01 逆命题
在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题。
【即时训练】
1．（25-26八年级上·福建厦门·期中）已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（ ）．
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
2．（上海市普陀区2025-2026学年七年级下学期期末自适应练习数学试卷）命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果_____________________，那么_____________________．
知识点02 尺规作图
过一点作已知线段的垂线
【即时训练】
1．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，与交于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．则（ ）
A． B．
C． D．平分
2．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若的周长为12，的周长为21，则的长为_______．
知识点03 线段垂直平分线的定义及性质
1.定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。
2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证PA=PB.
证明：当点P与点C不重合时，
∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在中，，，垂直平分交于点，，则______．
知识点04 垂直平分线的性质与判定
1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．
　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB．
2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。
证明：（1）当点P在线段AB上时，
∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.
∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
3.线段垂直平分线的作法
①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线，
②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；
③尺规法：
分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F；
过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。
4.总结
【即时训练】
1．（24-25八年级上·山东滨州·阶段检测）如图，，，则正确的结论是（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确
2．（24-25八年级上·山东·课后作业）到已知线段两个端点距离相等的点一定在该线段的_____上．
【典型例题一 线段垂直平分线的性质】
【例1】（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，是边的垂直平分线．若，则的周长为( )
A．9 B．13 C．15 D．17
【例2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是（ ）
A．6 B．8 C．11 D．13
【例3】（25-26七年级下·全国·期中）如图，在中，，，为边的中垂线．若，则的周长为________．
【例4】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为了能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在______线的交点．
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F，连接，．当与满足什么条件时，是的角平分线？为什么？
2．（25-26八年级下·江西九江·期中）解决问题
(1)如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积．
(2)如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长．
(3)如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：．
3．（25-26七年级下·全国·单元复习）按照下面的步骤，你会折出一朵漂亮的纸花．动手做一做．
（1）将正方形对折； （2）再对折； （3）把得到的两个等腰直角三角形分别折成正方形； （4）将正方形的边隆起，折成一个等腰三角形；
（5）其他三边也重复同样的步骤； （6）将尖角向内折； （7）折成直角； （8）将尾部向内折；
（9）打开； （10）纸花做成了．
将纸花铺平，观察折痕中是否有线段的垂直平分线和角的平分线．分别有几条呢？
【典型例题二 线段垂直平分线的判定】
【例1】（24-25八年级上·江西上饶·期中）到的三个顶点距离相等的点是的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三边中线的交点
【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，，，则有（ ）
A．是等腰三角形 B．垂直平分
C．垂直平分 D．与互相垂直平分
【例3】（24-25八年级上·河南鹤壁·阶段检测）半径为4cm的圆中，垂直平分半径的弦长为__________．
【例4】（24-25八年级上·湖南张家界·期末）如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为______．
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P．
2．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接．
(1)若，的周长为，则的长为______；
(2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
3．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上．
(2)若的周长为，的周长为，求的长．
【典型例题三 写出命题的逆命题】
【例1】（24-25八年级上·山东·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知下列命题：①能被4整除的数一定能被2整除；②有一个内角是直角的三角形是直角三角形；③若，则．其中逆命题属于假命题的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【例3】（2026·安徽合肥·二模）请写出命题“如果，那么”的逆命题：_______．
【例4】（25-26八年级上·全国·单元测试）以“如果……，那么……”的形式写出命题“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题：_______
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明．
(1)如果一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是直角三角形．
(2)两个非0数，如果它们互为相反数，那么其和等于0．
(3)对于任意两数a，b，如果，那么．
2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图．
(1)在四边形中，与的面积相等，求证：直线必平分
(2)写出（1）的逆命题，并判断这个命题是否正确，为什么
3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）（1）已知：如图①，，求证：．

（2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　
（3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．

【典型例题四 判断是否为互逆命题】
【例1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ）
A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题
【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　）
A．同旁内角不互补，两直线平行
B．同旁内角不互补，两直线不平行
C．两直线平行，同旁内角互补
D．两直线不平行，同旁内角不互补
【例3】（24-25八年级下·全国·寒假作业）题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______．
【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的________．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的________．
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)互为相反数的两个数的和为零．
2．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）回答以下问题
(1)如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格：
∵（已知），
∴ （ ）．
∵（已知），
∴ （ ），
∴ （ ）．
(2)说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题．
3．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：．
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来．
【典型例题五 互逆定理】
【例1】（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同位角相等，两直线平行 D．互为相反数的两个数的绝对值相等
【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（ ）
A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等
B．对应角相等的两个三角形全等
C．对应边不相等的两个三角形不全等
D．全等三角形的对应边相等
【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等角的补角相等”_________(填“有”或“没有”)逆定理．
【例4】（2025·江苏南京·一模）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________．
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．
2．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)三角形的两边之和大于第三边．
3．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理．
(1)等腰三角形的两个底角相等．
(2)内错角相等，两直线平行．
(3)对顶角相等．
【典型例题六 作已知线段的垂直平分线】
【例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，作直线交于点O，则下列结论正确的是（　　）
A．线段垂直平分直线 B．点O不是线段的中点
C．直线垂直平分线段 D．直线垂直但不平分线段
【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形三条边距离相等的点是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接，，，则，依据是___________
【例4】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）某天，小花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C（如图）．要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，小花猫最好蹲守在 ____．
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，利用尺规作图作的边上的中线和高．
2．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知线段与点，按要求用无刻度直尺与圆规作图：
(1)若线段、线段关于直线l对称，点A与点重合，作出对称轴l．（在图1中完成作图）．
(2)若线段沿直线n作轴对称变换，线段恰好能落在直线m上，作出对称轴n．（在图2中完成作图）．
(3)平移线段，使点A与点重合，作出平移后的线段的端点．（在图3中完成作图）．
【典型例题七 作垂线(尺规作图)】
【例1】（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点D，使点D到、的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（24-25八年级上·河北保定·期末）下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的作图过程．在作图过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（　　）
已知：如图，直线及外一点． 求作：经过点，且垂直于的直线． 作法；（1）以点为圆心，适当的长为半径画弧，交直线于点． （2）分别以点为圆心，适当的长为半径，在直线的另一侧画弧，两弧交于点． （3）过点作直线，直线为所求．
A．这两个“适当的长”相等
B．（1）中“适当的长”指大于点到直线的距离
C．（2）中“适当的长”指等于线段的长
D．（2）中“适当的长”指大于点到直线的距离
【例3】（2025·内蒙古赤峰·一模）如图，根据尺规作图痕迹与标记的数据，计算的长为____________．
【例4】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长为____________．

1．（24-25八年级下·山西太原·阶段检测）如图，在中，，是的角平分线．
(1)尺规作图：求作的高线；
(2)在（1）的条件下，连接，求证：垂直平分．
2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，请完成下面的作图和问题．
(1)用尺规完成基本作图：作边的垂直平分线，与边、分别交于点D、E；
(2)用尺规完成基本作图：作的角平分线，与边的垂直平分线交于点Q；
(3)求的度数．
3．（25-26八年级下·山西太原·期中）已知：如图，等腰中，．
(1)【实践操作】
尺规作图：①作的平分线，交于点；②过点作的垂线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)【灵活运用】
在（1）条件下，若，直接写出的周长为__________．
【典型例题八 画对称轴】
【例1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级上·陕西安康·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）角的对称轴是_________，线段的对称轴是_________．
【例4】（25-26七年级下·全国·期中）如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________．
1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是由三个小正方形组成的图案，请在图中补画一个小正方形，使补画后的图案是轴对称图形．请用三种不同方法补画图形，并画出各自的对称轴．

2．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）解决下列问题：
(1)平移，使点A移到点的位置，画出平移后得到的；
(2)与关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在图中作出直线．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，用直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹）：
(1)如图①，在中，，，在边上作一点，使的三个内角分别为，，；
(2)作图②的对称轴．
【典型例题九 求对称轴条数】
【例1】（2026·辽宁沈阳·一模）如图所示的图案，它的对称轴有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）下列各图中，对称轴条数最多的是（ ）．
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，该轴对称图形有______________条对称轴．
【例4】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，将一张彩色正方形纸沿对角线对折，再沿等腰三角形底边上的高对折．用剪刀在折好的纸上剪一个漂亮的图案，并将纸打开，该图案有___________条对称轴．
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）平面上的两条相交直线是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？作图试试看．
2．（25-26七年级下·全国·课后作业）图中三角形4与图中哪些三角形成轴对称？整个图形中有几条对称轴？
3．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图所示的是小明家的地板砖的一部分(图中所有三角形都是等腰直角三角形)．

(1)这个图形 (填“是”或“不是”)轴对称图形，若是，它有 条对称轴．
(2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率．
【典型例题十 根据垂直平分线的性质求长度、周长、角度】
【例1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【例2】（2026·湖南郴州·一模）如图，在中，分别以的端点A，B为圆心，以大于长为半径在两边画弧，使两弧相交于点M，N；作直线交于点P，连接．已知点P是的中点，，则的长是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【例3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，在中，是边的垂直平分线，连接，平分交于点F，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例4】 （25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，是边的垂直平分线，，． 则的长为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
1．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在等腰中，，垂直平分．
(1)若的周长为35，求的长度；
(2)若，求的周长．
2．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，已知的周长为，的周长为．
(1)求线段的长．
(2)连接，求线段的长．
3．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若的周长为14，，求的长．
1．（24-25八年级上·四川资阳·阶段检测）下列定理没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应角相等
C．直角三角形两锐角互余 D．等腰三角形两底角相等
2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是( )
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，连接AD．若的周长为18，，则的周长为（ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
4．（24-25八年级上·吉林长春·期中）在中，．用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·广东·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以B、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点M、N；
②作直线交于点D，连接；若，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
6．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）写出命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题__________.
7．（24-25八年级上·全国·课后作业）角的对称轴是________；圆的对称轴是________；正n边形的对称轴有______条．
8．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，是上一点，已知，则点在线段__________的垂直平分线上．
9．（2026·湖南永州·二模）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________．
10．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为_________．
11．（2026·陕西西安·二模）如图，在锐角中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
12．（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在数学活动课中，嘉嘉剪了一张的纸片，他将折叠压平使点落在点处，折痕分别交、于点、．请用尺规作图法，求作折痕．（保留作图痕迹，不写作法）
13．（25-26八年级上·上海·寒假作业）判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)如果，那么；
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
(4)如果，那么，．
14．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，四边形和四边形关于直线成轴对称．
(1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法）
15．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段检测）请结合图形阅读作法，并将证明“”的过程补充完整．
已知直线和外一点，下面是小明设计的“过点作直线的垂线”的作法：
作法：①在直线上取点，；
②分别以点、为圆心，、为半径作弧，两弧在直线下方交于点；
③作直线．
结论：，且经过点．
证明：连接，，，．
由作法可知，
∵ ，∴点在线段的垂直平分线上；
∵ ，∴点在线段的垂直平分线上；（依据： ）
∴直线是线段的垂直平分线（依据：两点确定一条直线）
∴．
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第08讲 线段的垂直平分线（4大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 线段垂直平分线的性质
典型例题二 线段垂直平分线的判定
典型例题三 写出命题的逆命题
典型例题四 判断是否为互逆命题
典型例题五 互逆定理
典型例题六 作已知线段的垂直平分线
典型例题七 作垂线(尺规作图)
典型例题八 画对称轴
典型例题九 求对称轴条数
典型例题十 根据垂直平分线的性质求长度、周长、角度
知识点01 逆命题
在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫作互逆命题,如果把其中一个命题叫作原命题,那么另外一个命题就叫作它的逆命题。
【即时训练】
1．（25-26八年级上·福建厦门·期中）已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（ ）．
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】B
【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换即可．
【详解】解：∵原命题为“如果，那么”，
∴逆命题为如果 ，那么 ，
故选：B
2．（上海市普陀区2025-2026学年七年级下学期期末自适应练习数学试卷）命题“等边三角形的三条边相等”的逆命题是：如果_____________________，那么_____________________．
【答案】 一个三角形的三条边相等 这个三角形是等边三角形
【分析】明确逆命题的构造方法，交换原命题的题设与结论即可得到所求逆命题．
【详解】将原命题“等边三角形的三条边相等”改写为“如果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形的三条边相等”，可得原命题的题设为“一个三角形是等边三角形”，结论为“这个三角形的三条边相等”，交换原命题的题设与结论，即可得到该命题的逆命题．因此如果后横线处填一个三角形的三条边相等，那么后横线处填这个三角形是等边三角形．
知识点02 尺规作图
过一点作已知线段的垂线
【即时训练】
1．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，与交于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．则（ ）
A． B．
C． D．平分
【答案】A
【详解】解：由作图知，，
不能得到，，平分，
综上，只有选项A符合题意．
2．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若的周长为12，的周长为21，则的长为_______．
【答案】9
【分析】本题考查了尺规作图-作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，掌握此性质是解题的关键；由作图知是线段的垂直平分线，则得，由的周长可得的长，再由的周长即可求得．
【详解】解：由作图知是线段的垂直平分线，
则，
∵的周长为12，
∴，
∵的周长为21，
即，
∴，
故答案为：9．
知识点03 线段垂直平分线的定义及性质
1.定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。
如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。
2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证PA=PB.
证明：当点P与点C不重合时，
∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握此性质是关键；由是的垂直平分线，得，，由的周长为，可得，即可求解．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴
的周长为．
故选：D．
2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在中，，，垂直平分交于点，，则______．
【答案】3
【分析】本题考查中垂线的性质，含30度角的直角三角形，根据中垂线的性质，得到，等边对等角结合三角形的外角的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果．
【详解】解：∵垂直平分交于点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：3．
知识点04 垂直平分线的性质与判定
1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．
　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB．
2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。
证明：（1）当点P在线段AB上时，
∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.
∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
3.线段垂直平分线的作法
①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线，
②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线；
③尺规法：
分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F；
过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。
4.总结
【即时训练】
1．（24-25八年级上·山东滨州·阶段检测）如图，，，则正确的结论是（ ）
A．垂直平分 B．垂直平分
C．与互相垂直平分 D．以上说法都正确
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴垂直平分，
根据现有条件，无法证明垂直平分，
故选A．
2．（24-25八年级上·山东·课后作业）到已知线段两个端点距离相等的点一定在该线段的_____上．
【答案】垂直平分线
【分析】根据线段垂直平分线性质的逆运用得出即可．
【详解】解：到已知线段两个端点距离相等的点一定在该线段的垂直平分线上，
故答案为：垂直平分线．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，能熟记垂直平分线的性质是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【典型例题一 线段垂直平分线的性质】
【例1】（25-26八年级下·河北保定·阶段检测）如图，是边的垂直平分线．若，则的周长为( )
A．9 B．13 C．15 D．17
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质得到，从而得到的周长即为，从而得解．
【详解】解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∴的周长为：．
【例2】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是（ ）
A．6 B．8 C．11 D．13
【答案】B
【分析】由垂直平分线的性质，易得，又由，，即可得出的周长．
【详解】解：的垂直平分线交于，
，
的周长：．
【例3】（25-26七年级下·全国·期中）如图，在中，，，为边的中垂线．若，则的周长为________．
【答案】20
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，然后将的周长转化为即可．
【详解】解：∵为边的中垂线
∴
∵，
∴的周长．
【例4】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为了能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在______线的交点．
【答案】
三边垂直平分
【详解】解：∵ 到距离相等的点在的垂直平分线上，到距离相等的点在的垂直平分线上，
∴两条垂直平分线的交点，就是到三个顶点距离都相等的点，
∴应该蹲守在三边垂直平分线的交点．
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点D在边上，，垂足分别为E，F，连接，．当与满足什么条件时，是的角平分线？为什么？
【答案】解：当垂直平分时，是的角平分线；
理由如下：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴是的角平分线．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据角平分线的判定定理即可证得是的角平分线．
【详解】略
2．（25-26八年级下·江西九江·期中）解决问题
(1)如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积．
(2)如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长．
(3)如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：．
【答案】(1)
(2)7
(3)证明：如图，连接．
在和中，
，
．
又，，
【分析】（1）根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，再求出梯形的面积即为阴影部分的面积．
（2）根据垂直平分线的性质可得，进而根据即可求解．
（3）连接，证明，得到，再利用角平分线的性质得到．
【详解】（1）解：把向下平移至，
，，
，
，
阴影部分面积梯形的面积，．
（2）垂直平分
，
．
（3）略
3．（25-26七年级下·全国·单元复习）按照下面的步骤，你会折出一朵漂亮的纸花．动手做一做．
（1）将正方形对折； （2）再对折； （3）把得到的两个等腰直角三角形分别折成正方形； （4）将正方形的边隆起，折成一个等腰三角形；
（5）其他三边也重复同样的步骤； （6）将尖角向内折； （7）折成直角； （8）将尾部向内折；
（9）打开； （10）纸花做成了．
将纸花铺平，观察折痕中是否有线段的垂直平分线和角的平分线．分别有几条呢？
【答案】线段的垂直平分线有8条，角的平分线有4条
【分析】通过动手实践，观察作答即可.
【详解】解：由图（10）可知，该图形为轴对称图形，共有8条对称轴，即有8条线段的垂直平分线，其中有4条为角的平分线.
【典型例题二 线段垂直平分线的判定】
【例1】（24-25八年级上·江西上饶·期中）到的三个顶点距离相等的点是的（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三边中线的交点
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决此题的关键．
根据线段垂直平分线的判定定理判断即可．
【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：B．
【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，，，则有（ ）
A．是等腰三角形 B．垂直平分
C．垂直平分 D．与互相垂直平分
【答案】C
【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定定理推理，即可解题．
【详解】解：，，
A、B在的垂直平分线上，
即垂直平分（但不一定垂直平分）．
故选：C．
【例3】（24-25八年级上·河南鹤壁·阶段检测）半径为4cm的圆中，垂直平分半径的弦长为__________．
【答案】
【分析】先画出图形，作☉O，作半径OC，作半径OC的垂直平分线AB，点A、点B都在圆上，垂足为D，则求长度AB，连接OA，在Rt△AOD中根据勾股定理即可求得AD的长，根据垂径定理可知弦AB=2AD即可解决问题．
【详解】解：先画出图形，作☉O，作半径OC，作半径的垂直平分线AB，点A、点B都在圆上，垂足为D，则求AB长度，连接OA，
在直角△OAD中，OA=4cm，OD=2cm，
∴AD== cm，
∵BD垂直平分OC，：
∴AB=2AD=cm．（垂径定理）
故答案为．
【点睛】本题主要考查了垂径定理．圆弦，半径，弦心距之间的计算一般可以转化为直角三角形中的计算．正确画出图形是解题得关键．
【例4】（24-25八年级上·湖南张家界·期末）如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为______．
【答案】5
【分析】此题考查垂直平分线的判定及四边形的面积，关键是熟练掌握垂直平分线的判定．根据线段垂直平分线的判定得出是线段的垂直平分线，再求解即可．
【详解】解：，，
∴点C，点D在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，
，
故答案为：5
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P．
【答案】证明：如图，连接，
∵点P在边的垂直平分线上，
∴(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)，
同理：，
∴，
∴点P在线段的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，
∴边的垂直平分线经过点P．
【分析】如图，连接，利用垂直平分线的性质以及等量代换可得，即点 P在线段的垂直平分线上，从而证明结论．
【详解】略
2．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接．
(1)若，的周长为，则的长为______；
(2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)点在边的垂直平分线上，理由见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解；
（2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论．
【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，，
，
，
的周长为，
，
，
，
即；
（2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下：
连接、，
直线垂直平分边，点在直线上，
，
点在边的垂直平分线上，
，
，
点在边的垂直平分线上．
3．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上．
(2)若的周长为，的周长为，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答．
【详解】（1）证明：连接，，，
垂直平分，垂直平分，
，，
，
点在线段的垂直平分线上；
（2）解：垂直平分，垂直平分，
，，
的周长为，
，即，
，的周长为，
，
，
垂直平分，垂直平分，
，，
．
【典型例题三 写出命题的逆命题】
【例1】（24-25八年级上·山东·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】D
【分析】本题主要考查了逆命题、命题真假的判定、不等式的性质、绝对值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．分别写出逆命题，然后根据相关知识判断命题的真假即可．
【详解】解：A．逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意；
B．逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意；
C．逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意；
D．逆命题为：如果，那么是真命题，符合题意．
故选：D．
【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知下列命题：①能被4整除的数一定能被2整除；②有一个内角是直角的三角形是直角三角形；③若，则．其中逆命题属于假命题的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】先交换原命题的题设与结论部分得到各命题的逆命题，然后分别根据整除的定义、直角三角形的定义和有理数的性质判断三个逆命题的真假.
【详解】解：① 能被4整除的数一定能被2整除， 它的逆命题为：能被2整除的数一定能被4整除，例如：6能被2整除但不能被4整除，故①的逆命题为假命题；
②有一个内角是直角的三角形是直角三角形，它的逆命题为：直角三角形有一个内角为直角，此逆命题为真命题，故②的逆命题为真命题；
③若，则，它的逆命题为：若，则，例如：，此时不成立，故③的逆命题为假命题；
故答案为：C.
【例3】（2026·安徽合肥·二模）请写出命题“如果，那么”的逆命题：_______．
【答案】如果，那么
【详解】解：原命题的条件是，结论是，
将条件和结论互换，得到逆命题为“如果，那么”．
【例4】（25-26八年级上·全国·单元测试）以“如果……，那么……”的形式写出命题“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题：_______
【答案】如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.
【分析】本题考查了命题的相关知识点，找到题设和结论是解题关键．
【详解】解：“垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的题设为：一个点在一条线段的垂直平分线上，结论为：这个点到这条线段两端点的距离相等．
故：逆命题为：如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．
故答案为：如果一个点到一条线段两端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．对于假命题，请举出反例说明；对于真命题，请给出证明．
(1)如果一个三角形的三个内角的度数之比为，那么这个三角形是直角三角形．
(2)两个非0数，如果它们互为相反数，那么其和等于0．
(3)对于任意两数a，b，如果，那么．
【答案】(1)原命题真，见解析；逆命题假，反例：直角三角形角度45°，45°，90°．
(2)原命题真，见解析；逆命题真，见解析．
(3)原命题假，反例见解析 ；逆命题假，反例：取，，，满足，但．
【分析】本题考查命题与逆命题的概念，正确互换原命题的“条件”和“结论”得到逆命题是解题关键．
（1）原命题：设内角为x，，，用内角和定理求角，验证最大角为，判定为真．逆命题：举等腰直角三角形（内角比）的反例，判定为假．
（2）原命题：用相反数定义（）推导和为0，判定为真．逆命题：由和为0推出，符合相反数定义，判定为真．
（3）解题思路原命题：举的例子，验证，判定为假．逆命题：举的例子，验证但，判定为假．
【详解】（1）原命题：如果一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形．
真命题．
证明：设三个内角分别为x，，，由内角和为得，解得，最大角为，故为直角三角形．
逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么它的三个内角的度数之比为．
真假判断：假命题．
反例：等腰直角三角形的度数为45°，45°，90°，内角比为，不是．
（2）原命题：两个非0数，如果它们互为相反数，那么其和等于0．
真假判断：真命题．
证明：互为相反数的两个数满足（），则．
逆命题：两个非0数，如果它们的和等于0，那么这两个数互为相反数．
真假判断：真命题．
证明：若（），则，符合相反数的定义．
（3）原命题：对于任意两数a， b，如果，那么．
真假判断：假命题．
反例：取，满足，但，，此时，不满足．
逆命题：对于任意两数a， b，如果，那么．
真假判断：假命题．
反例：取，，，满足，但．
2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图．
(1)在四边形中，与的面积相等，求证：直线必平分
(2)写出（1）的逆命题，并判断这个命题是否正确，为什么
【答案】(1)见解析
(2)逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形．通过证明，判定是真命题
【分析】（1）过点B作于点E，过点D作于点F ，设与的交点为点G，证明，再证明，得到，即可证明直线平分．
（2）根据题意，其逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形．通过证明，判定是真命题．
本题考查了三角形全等的判定和性质，逆命题的书写与真假判定，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：过点B作于点E，过点D作于点F ，设与的交点为点G，
∵与的面积相等，
∴，
∴，
∵
∴．
∴，
∴直线平分．
（2）解：根据题意，其逆命题为：若四边形的对角线平分对角线，则必将四边形分成面积相等的两个三角形．
证明：过点B作于点E，过点D作于点F ，设与的交点为点G，
∵直线平分，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴与的面积相等．
故逆命题是真命题．
3．（24-25七年级下·江苏南京·期中）（1）已知：如图①，，求证：．

（2）小明在探究时发现，该命题的逆命题也成立，直接写出逆命题为　　　　　
（3）小明发现当时，改变点P的位置（点P不在上），三个角的数量关系随之而变化，请利用下面的备用图进行探究，画出示意图，直接写出对应的三个角的数量关系（写两个即可）．

【答案】（1）见解析；（2）如果，那么；（3）或或，示意图见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，准确作出辅助线是解答本题的关键．
（1）根据平行线性质可证得，从而得出结论；
（2）写出命题的逆命题即可；
（3）分三种情况，分别作出示意图根据平行线的性质得出结论．
【详解】（1）证明：如图，过点P作，
，
又，
，
，
；
（2）如果，那么，的逆命题为：如果，那么，
故答案为：如果，那么；
（3）①如图，，理由如下：过点P作，
，
，，
，
，
，
；
②如图，，理由如下：过点P作，
，
，
，
，
，
；
③如图，，理由如下：过点P作，
，
，，
，
，
，
．
【典型例题四 判断是否为互逆命题】
【例1】（24-25八年级上·福建泉州·期末）“直角都相等”与“相等的角是直角”是（ ）
A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题
【答案】A
【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可．
【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”
“相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”
条件和结论互换，所以是互为逆命题．
定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题，
所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理．
故选：A．
【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键．
【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　）
A．同旁内角不互补，两直线平行
B．同旁内角不互补，两直线不平行
C．两直线平行，同旁内角互补
D．两直线不平行，同旁内角不互补
【答案】C
【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可．
【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”，
故选C．
【例3】（24-25八年级下·全国·寒假作业）题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______．
【答案】 互逆命题 逆命题
【解析】略
【例4】（24-25八年级上·全国·课后作业）两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的________，而第一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的________．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的________．
【答案】 结论 条件 逆命题 逆定理
【分析】根据互逆命题的定义：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．以及定理的逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理，进行作答即可．
【详解】解：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么就叫它是原定理的逆定理．
故答案为：结论，条件，逆命题，逆定理．
【点睛】本题考查互逆命题，以及定理的逆定理．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)互为相反数的两个数的和为零．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查命题书写及判断真假：
（1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案；
（2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
“若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等，
∵三角形全等对应边相等，
∴该命题是真命题，
逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题；
（2）解：由题意可得，
“若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零，
∵两个互为相反的数和为0，
∴是真命题，
逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题．
2．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）回答以下问题
(1)如图，点A、B、C、D在一条直线上，填写下列空格：
∵（已知），
∴ （ ）．
∵（已知），
∴ （ ），
∴ （ ）．
(2)说出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题．
【答案】(1)1；两直线平行，内错角相等；1；等量代换；；；内错角相等，两直线平行
(2)两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】（1）根据平行线的性质，得出，证明，根据平行线的判定，得出答案即可；
（2）根据互逆命题的定义，进行判断即可．
【详解】（1）解：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
（2）解：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行” 是互逆的真命题．
3．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段检测）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：．
（2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来．
【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论；
（2）利用了平行线的判定与性质定理求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【典型例题五 互逆定理】
【例1】（24-25八年级上·河北沧州·阶段检测）下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同位角相等，两直线平行 D．互为相反数的两个数的绝对值相等
【答案】D
【分析】分别写出个命题逆命题，即可求解．
【详解】解：A、逆定理为：两直线平行，同旁内角互补，故本选项不符合题意；
B、逆定理为：两直线平行，内错角相等，故本选项不符合题意；
C、逆定理为：两直线平行，同位角相等，故本选项不符合题意；
D、逆命题为：绝对值相等的两个数互为相反数，是假命题，即该定理没有逆定理，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了逆定理，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（ ）
A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等
B．对应角相等的两个三角形全等
C．对应边不相等的两个三角形不全等
D．全等三角形的对应边相等
【答案】A
【分析】本题考查互逆定理．
将原定理的题设和结论互换，判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，即为原定理的逆定理．
【详解】解：“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆命题为“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”，
∵“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”是真命题，
∴定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．
故选：A．
【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）定理“等角的补角相等”_________(填“有”或“没有”)逆定理．
【答案】有
【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”．根据等式的性质即可得出其逆命题成立，即可求解．
【详解】解：定理“等角的补角相等”的逆命题是“补角相等的两个角相等”．
设两个角分别为和，它们的补角分别为和．
若补角相等，即，根据等式的性质，可得，
因此逆命题成立．故有逆定理．
故答案为：有
【例4】（2025·江苏南京·一模）定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________．
【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形．
【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形．
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．
【答案】“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”．原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理．
【分析】根据逆命题的定义：把原命题的结论作为条件，把原命题的条件作为结论，所组成的命题是原命题的逆命题；如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，进行求解即可．
【详解】解：“相等的角是内错角”这个命题的逆命题是：“内错角相等”．原命题：相等的角不一定是内错角，是假命题；内错角也不一定是相等的，也是假命题；原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理．
【点睛】本题主要考查了逆命题与互逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
2．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)三角形的两边之和大于第三边．
【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补
(2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形
【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论；
（2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论．
【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，
故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补；
（2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，
故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形．
【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理．
3．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理．
(1)等腰三角形的两个底角相等．
(2)内错角相等，两直线平行．
(3)对顶角相等．
【答案】(1)有逆定理，逆定理为：两个底角相等的三角形是等腰三角形
(2)有逆定理，逆定理为：两直线平行，内错角相等
(3)没有逆定理
【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可得到答案．
【详解】（1）解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，故定理“等腰三角形的两个底角相等”有逆定理；
（2）解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，故定理“内错角相等，两直线平行”有逆定理；
（3）解：命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题，
故定理“对顶角相等”没有逆定理．
【点睛】本题主要考查了互逆命题和互逆定理，正确写出每个命题的逆命题并判断真假是解题的关键．
【典型例题六 作已知线段的垂直平分线】
【例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，作直线交于点O，则下列结论正确的是（　　）
A．线段垂直平分直线 B．点O不是线段的中点
C．直线垂直平分线段 D．直线垂直但不平分线段
【答案】C
【分析】利用基本作图（作线段垂直平分线）进行判断．
【详解】解：由作法得垂直平分，
∴，，
即直线垂直平分线段．
【例2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形三条边距离相等的点是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线上的点到该角的两边的距离相等可得到三角形三边距离相等的点为该三角形三个内角的角平分线的交点，据此可得答案．
【详解】解：∵到三角形三边距离相等的点为该三角形三个内角的角平分线的交点，
∴由作图方法可知，只有B选项中的图形满足题意．
【例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接，，，则，依据是___________
【答案】线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等
【分析】根据线段垂直平分线的性质解题即可．
【详解】解：由作图过程可知，直线是线段的垂直平分线，
∴．
【例4】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）某天，小花猫发现一只老鼠溜进了一个内部连通的鼠洞，鼠洞只有三个出口A，B，C（如图）．要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞，小花猫最好蹲守在 ____．
【答案】线段、线段的垂直平分线的交点
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：由题意得：小花猫蹲守的位置到三个出口的距离相等，
∴小花猫最好蹲守在线段、线段的垂直平分线的交点．
故答案为：线段、线段的垂直平分线的交点．
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，利用尺规作图作的边上的中线和高．
【答案】解：如图，中线，高线即为所求作．
．
【分析】先作线段的垂直平分线交于E，则为中线；再过点A作的垂线，垂足为H即可．
【详解】略．
2．（25-26八年级下·陕西宝鸡·期中）如图，和是两条公路，，表示两个村庄，现要建造一个车站（位于的内部），使车站到两个村庄的距离相等，且车站到和两条公路的距离也相等，那么车站应建造在什么位置？（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，点即为所求．
【分析】先连接，然后作的平分线，再作线段的垂直平分线，两线的交点即为所求．
【详解】略
3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知线段与点，按要求用无刻度直尺与圆规作图：
(1)若线段、线段关于直线l对称，点A与点重合，作出对称轴l．（在图1中完成作图）．
(2)若线段沿直线n作轴对称变换，线段恰好能落在直线m上，作出对称轴n．（在图2中完成作图）．
(3)平移线段，使点A与点重合，作出平移后的线段的端点．（在图3中完成作图）．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线即可；
（2）延长与直线m相交，作夹角的平分线即可；
（3）分别以点B为圆心，以为半径和以为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点．
【详解】（1）解：如图1所示，直线即为所求
（2）解：如图2所示，直线即为所求
（3）解：如图3所示，点即为所求
【典型例题七 作垂线(尺规作图)】
【例1】（2025·吉林长春·二模）如图，在中，，．用直尺和圆规在边上确定一点D，使点D到、的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图的基本方法，准确理解相关作图法是解题的关键．根据选项，结合尺规作图方法逐一分析即可．
【详解】解：对于选项A：该作图痕迹表明，此时点D到、的距离不相等，不符合题意；
对于选项B：该作图痕迹表明平分，且点D在上，根据角平分线的性质可知，点D到、的距离相等，符合题意；
对于选项C：该作图痕迹表明虚线为的中垂线，点D为该中垂线与的交点，此时点D到、的距离不相等，不符合题意；
对于选项D：该作图痕迹表明于点D，此时点D到、的距离不相等，不符合题意；
故选：B．
【例2】（24-25八年级上·河北保定·期末）下面是“过直线外一点作已知直线的垂线”的作图过程．在作图过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（　　）
已知：如图，直线及外一点． 求作：经过点，且垂直于的直线． 作法；（1）以点为圆心，适当的长为半径画弧，交直线于点． （2）分别以点为圆心，适当的长为半径，在直线的另一侧画弧，两弧交于点． （3）过点作直线，直线为所求．
A．这两个“适当的长”相等
B．（1）中“适当的长”指大于点到直线的距离
C．（2）中“适当的长”指等于线段的长
D．（2）中“适当的长”指大于点到直线的距离
【答案】B
【分析】本题考查尺规作图-作线段中垂线的方法及步骤，根据尺规作图-作线段中垂线的方法及步骤理解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知（1）中“适当的长”指大于点到直线的距离；
（2）中“适当的长”指大于线段的长的一半，
四个选项说法中，只有B选项正确，
故选：B．
【例3】（2025·内蒙古赤峰·一模）如图，根据尺规作图痕迹与标记的数据，计算的长为____________．
【答案】2
【分析】本题考查基本作图—作垂线，含30度角的直角三角形的性质，根据作图可知，垂直平分，利用含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：由图可知：垂直平分，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：2．
【例4】（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长为____________．

【答案】
【分析】由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，即可得出答案．
【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，
，
，
，
，
的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键．
1．（24-25八年级下·山西太原·阶段检测）如图，在中，，是的角平分线．
(1)尺规作图：求作的高线；
(2)在（1）的条件下，连接，求证：垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（）过点作的垂线即可；
（）证明，得到，，再根据线段垂直平分线的判定即可求证；
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）证明：如图，
由（）得是的高线，
∴，
∴，
∵，
∴,
∵是的角平分线，
∴,
在和中,
，
∴，
∴，，
∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，请完成下面的作图和问题．
(1)用尺规完成基本作图：作边的垂直平分线，与边、分别交于点D、E；
(2)用尺规完成基本作图：作的角平分线，与边的垂直平分线交于点Q；
(3)求的度数．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)
【分析】（1）分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交上下两端，连接两个交点，与交于点E，与交于点D，垂直平分线即为所求；
（2）以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于一点，再分别以该两点为圆心，相同的任意长为半径画弧，两弧交于一点，连接点A至该点作射线交于垂直平分线于点Q，即为所求；
（3）由角平分线的性质得到，再由直角三角形两锐角互余得到，通过垂直平分线的性质结合三角形外角的性质得到的度数，最后利用三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】（1）解：如图所示，边的垂直平分线即为所求：
（2）解：如图所示，的角平分线即为所求：
（3）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴，
在中，．
3．（25-26八年级下·山西太原·期中）已知：如图，等腰中，．
(1)【实践操作】
尺规作图：①作的平分线，交于点；②过点作的垂线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)【灵活运用】
在（1）条件下，若，直接写出的周长为__________．
【答案】(1)见详解
(2)20
【分析】（1）①理解题意，结合题干要求作的平分线，交于点；
②理解题意，结合题干要求过点作的垂线，交于点；
（2）先证明，则，即，整理 ，即可作答．
【详解】（1）解：①依题意，角平分线，如图所示：
②垂线，如图所示．
（2）解：∵等腰中，，
∴，
由（1）得出，是的平分线，
∴，
∵，
∴，
则，
即，
∴ ，
∴的周长为．
【典型例题八 画对称轴】
【例1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，能使图形完全重合的直线叫做该图形的对称轴，据此即可解题．
【详解】解：由图知，该图形的对称轴是直线．
故选：A．
【例2】（24-25八年级上·陕西安康·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的意义和性质解答．
【详解】解：A、如图，A是轴对称图形；
B、如图，B是轴对称图形；
C、找不到一条直线，使得C沿这条直线对折后两边完全重合，所以C不是轴对称图形；
D、如图，D是轴对称图形；
故选C ．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别与对称轴的绘制，熟练掌握轴对称图形的意义和性质是解题关键．
【例3】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）角的对称轴是_________，线段的对称轴是_________．
【答案】 角平分线所在的直线 垂直平分线
【分析】分别利用各图形，结合对称轴的定义得出答案．
【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线，线段的对称轴是垂直平分线，
故答案为：角平分线所在的直线，垂直平分线．
【点睛】本题考查了轴对称图形，得出其对称轴位置是解题的关键．
【例4】（25-26七年级下·全国·期中）如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________．
【答案】
【分析】本题考查轴对称图形的对称轴识别，掌握长方形的对称轴是过对边中点的直线，而非对角线所在直线是解题的关键．
先根据轴对称图形的定义，判断图中哪条直线能使长方形沿其折叠后完全重合，从而确定长方形的对称轴．
【详解】解：长方形是轴对称图形，它的对称轴是过对边中点的直线．
图中直线是竖直方向过对边中点的直线，沿它折叠，长方形两边能完全重合，是对称轴；
直线是对角线所在直线，折叠后两边无法完全重合，不是对称轴；
沿折叠后两边无法完全重合，不是对称轴；
因此，对称轴可以是直线．
故答案为：．
1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是由三个小正方形组成的图案，请在图中补画一个小正方形，使补画后的图案是轴对称图形．请用三种不同方法补画图形，并画出各自的对称轴．

【答案】见解析
【分析】此题考查了利用轴对称设计图案，根据轴对称与对称轴的定义，即可求得答案，注意如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形．
【详解】解：如图所示．
2．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）解决下列问题：
(1)平移，使点A移到点的位置，画出平移后得到的；
(2)与关于直线l对称，请只用无刻度的直尺，在图中作出直线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点即可；
（2）根据对称轴的定义作出直线l即可．
【详解】（1）解：如图1中，即为所求；
（2）解：如图2中，直线l即为所求．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，用直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹）：
(1)如图①，在中，，，在边上作一点，使的三个内角分别为，，；
(2)作图②的对称轴．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图——复杂作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合．
（1）在中，，，则，作线段的垂直平分线交于点，连接，得到，推出，则，，则点即为所求所作；
（2）作线段的垂直平分线即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）如图，即为所求．
【典型例题九 求对称轴条数】
【例1】（2026·辽宁沈阳·一模）如图所示的图案，它的对称轴有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【答案】C
【详解】解：如图所示：
该图形有3条对称轴．
【例2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）下列各图中，对称轴条数最多的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查对称轴，确定各个图形的对称轴的条数，进行判断即可．
【详解】解：观察可知，A图形有2条对称轴，B图形有2条对称轴，C图形有3条对称轴，D图形有2条对称轴，
故对称轴最多的图形是C图形；
故选：C．
【例3】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图，该轴对称图形有______________条对称轴．
【答案】
【详解】解：如图，该轴对称图形共有条对称轴．
【例4】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，将一张彩色正方形纸沿对角线对折，再沿等腰三角形底边上的高对折．用剪刀在折好的纸上剪一个漂亮的图案，并将纸打开，该图案有___________条对称轴．
【答案】2/两
【分析】此题考查了有关轴对称的相关知识，其中要明确题中每次的对折都是完全重合的，即就是轴对称图形，那么题中有两次折叠，这样对称轴的个数也就出来了． 根据每次的折叠都是完全重合的图形，由此可得到对称轴的条数．
【详解】解：根据图中的每次的折叠，都是完全重合，故两次折叠得到了2个对称轴，且之后的裁剪对对称轴没有影响．
故该图案有2条对称轴，
故答案为：2．
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）平面上的两条相交直线是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？作图试试看．
【答案】直线与相交组成的图形是轴对称图形，对称轴为直线，，共两条对称轴
【详解】略
2．（25-26七年级下·全国·课后作业）图中三角形4与图中哪些三角形成轴对称？整个图形中有几条对称轴？
【答案】三角形4与图中三角形1、三角形3成轴对称，整个图形共有两条对称轴；
【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义即可得到结果．
【详解】解：三角形4与图中三角形1、三角形3成轴对称，整个图形共有两条对称轴；
3．（24-25七年级下·广东清远·期末）如图所示的是小明家的地板砖的一部分(图中所有三角形都是等腰直角三角形)．

(1)这个图形 (填“是”或“不是”)轴对称图形，若是，它有 条对称轴．
(2)一只小老鼠在这个地板砖上跑来跑去，并随机停留在某块地板砖上，求小老鼠停留在阴影区域的概率．
【答案】(1)是，4
(2)
【分析】（1）根据轴对称图形的定义和正方形的对称性求解即可；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；
（2）停留在阴影区域的概率就是阴影部分占地板砖面积的比值，据此求解即可．
【详解】（1）解：根据轴对称图形的定义可知：这个图形是轴对称图形，它有4条对称轴．它的对称轴如下图虚线所示：

故答案为：是，4；
（2）设原图中最小的等腰直角三角形的面积为，
则阴影部分有4块这样的等腰直角三角形，面积为，
空白部分有12块这样的等腰直角三角形，面积为，
∴这个地板砖的面积为：，
∴停留在阴影区域的概率是：
答：求小老鼠停留在阴影区域的概率是．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别和几何概率，掌握轴对称图形的定义和几何概率计算公式是解题的关键．
【典型例题十 根据垂直平分线的性质求长度、周长、角度】
【例1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质进行求解即可．
【详解】解：由作图可知：垂直平分，
∴，
∴，
∴的周长为．
【例2】（2026·湖南郴州·一模）如图，在中，分别以的端点A，B为圆心，以大于长为半径在两边画弧，使两弧相交于点M，N；作直线交于点P，连接．已知点P是的中点，，则的长是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【分析】根据作图，得到直线是线段的垂直平分线，得到，结合点P是的中点，，得到，求解即可．
【详解】解：根据作图，得到直线是线段的垂直平分线，
，
由点P是的中点，，
．
【例3】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元测试）如图，在中，是边的垂直平分线，连接，平分交于点F，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质，由线段垂直平分线的性质可得，由三角形外角性质得，由角平分线定义得，由三角形外角性质得．
【详解】解：∵是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵平分交于点F， ，
∴，
∴．
故选：B．
【例4】 （25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，是边的垂直平分线，，． 则的长为（ ）
A．7 B．5 C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴．
故选：A．
1．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在等腰中，，垂直平分．
(1)若的周长为35，求的长度；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，再将的周长转化为，据此求出长；
（2）由（1）知，的周长为，据此求解即可．
【详解】（1）解：是的垂直平分线，
，
的周长为35，
，
，
．
；
（2）解：由（1）知，的周长为．
2．（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，已知的周长为，的周长为．
(1)求线段的长．
(2)连接，求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）先推导出，，则，即可解答．
（2）先证明，得到，，由，，得到，求出的长即可．
【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线，
．
∵是边的垂直平分线，
，
∴．
∵的周长为，
．
（2）解：∵是边的垂直平分线，
，
是边的垂直平分线，
，
．
，，
∴，
．
3．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，在中，是的高，E是上一点，，且垂直平分，交于点F，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若的周长为14，，求的长．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
（1）根据于点D，，可得，从而得到，从而得到，再由线段垂直平分线的性质，可得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质，即可求解；
（2）根据题意可得，再由三角形的周长，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴
∵
∴在中，
∵垂直平分
∴
∴
∵
∴；
（2）解：∵，
∴
∵，
∴，
且的周长为14，
∴，
∴
即
∴．
1．（24-25八年级上·四川资阳·阶段检测）下列定理没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应角相等
C．直角三角形两锐角互余 D．等腰三角形两底角相等
【答案】B
【分析】本题考查逆命题，判断命题的真假．
根据原命题写出逆命题，判断是否为真命题即可．
【详解】解：A．原命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，该逆命题为真命题，故A有逆定理，不符合题意；
B．原命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，该逆命题为假命题，故B无逆定理，符合题意；
C．原命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，该逆命题为真命题，故C有逆定理，不符合题意；
D．原命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题为“两角相等的三角形是等腰三角形”，该逆命题为真命题，故D有逆定理，不符合题意．
故选：．
2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查无刻度直尺绘图——画对称轴，先找出所有对称轴，再结合相关理论知识尝试作图，找出所有对称轴是解题的关键．
【详解】解：A、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：

则直线m即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意；
B、本选项图形对称轴只有1条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：

则直线m即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意；
C、本选项图形对称轴只有3条，可用无刻度直尺直接准确画出，作图如下：

则直线l、m、n即为所求做的对称轴，故此选项不符合题意；
D、本选项图形对称轴只有4条，其中可用无刻度直尺直接准确画出的有2条，作图如下：

则直线m、n即为所求做的对称轴，
但是还有如下两条对称轴不能用无刻度直尺直接准确画出：

故此选项符合题意；
故选D．
3．（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，连接AD．若的周长为18，，则的周长为（ ）
A．24 B．30 C．32 D．36
【答案】B
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质．
根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是的垂直平分线，
，，
的周长为18，
，
，即，
，
的周长为30，
故选：B．
4．（24-25八年级上·吉林长春·期中）在中，．用无刻度的直尺和圆规在边上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与作线段垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线，然后利用基本作图对各选项进行判断，即可解题．
【详解】解：，在边上确定一点P，使点P到点A，B的距离相等，
只需要做线段的垂直平分线即可，
A、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意；
B、作图痕迹是线段的垂直平分线，符合题意；
C、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意；
D、作图痕迹不是线段的垂直平分线，不符合题意；
故选：B．
5．（2025·广东·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以B、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点M、N；
②作直线交于点D，连接；若，，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】解：，
，
，
由作图可知，垂直平分，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
6．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）写出命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题__________.
【答案】等腰三角形是等边三角形
【分析】把命题“等边三角形是等腰三角形”的题设和结论互换即可得到逆命题解答．
【详解】解：命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题为： 等腰是三角形是等边三角形，
故答案为：等腰三角形是等边三角形．
【点睛】本题考查逆命题的写法，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
7．（24-25八年级上·全国·课后作业）角的对称轴是________；圆的对称轴是________；正n边形的对称轴有______条．
【答案】 角平分线所在的直线 圆的直径所在的直线 n
【分析】将一个图形沿着某条直线翻折，使两侧能够完全重合，这条直线叫对称轴，根据定义解答．
【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线；圆的对称轴是圆的直径所在的直线；正n边形的对称轴有n条，
故答案为：角平分线所在的直线；圆的直径所在的直线；n．
【点睛】此题考查图形的对称轴定义，熟记定义是解题的关键．
8．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，是上一点，已知，则点在线段__________的垂直平分线上．
【答案】/
【分析】根据已知得出，根据线段垂直平分线定理得出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴D在的垂直平分线上，
9．（2026·湖南永州·二模）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________．
【答案】22
【分析】由作图可得，垂直平分，得到，然后等量代换即可得到的周长．
【详解】解：由作图可得，垂直平分，
，
的周长为．
10．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短．
连接，过点作于，利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论．
【详解】解：连接，过点作于．
面积为，，
，
，
垂直平分线段，
，
，
当的值最小时，的值最小，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，
，
，
的最小值为．
11．（2026·陕西西安·二模）如图，在锐角中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】
解：如图，点即为所作，使．
【分析】作的垂直平分线，交于点，连接，则，故可得．
【详解】略
12．（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在数学活动课中，嘉嘉剪了一张的纸片，他将折叠压平使点落在点处，折痕分别交、于点、．请用尺规作图法，求作折痕．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】先根据折叠的性质可得折痕是的线段垂直平分线，再利用尺规作图作的线段垂直平分线，分别交于点D，交于点E，则即为所求。
【详解】解：如图，折痕即为所求.
13．（25-26八年级上·上海·寒假作业）判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假：
(1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
(2)如果，那么；
(3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；
(4)如果，那么，．
【答案】(1)原命题是真命题．逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．
(2)原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是假命题．
(3)原命题是真命题．逆命题：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题．
(4)原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是真命题．
【分析】本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键．
（1）（2）（3）（4）先判断原命题的真假，再写出逆命题，再判断命题的真假；
【详解】（1）解：∵如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
∴原命题是真命题；
逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题；
（2）解：∵，，满足，但不满足；
∴如果，那么，这是假命题，故原命题是假命题；
其逆命题为：如果，那么，这是假命题，
例如：，，满足，但不满足；
（3）解：∵相反数的和为零，
∴原命题是真命题；
逆命题为：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题；
（4）解：∵当时，或．
∴原命题是假命题；
逆命题为：如果，那么．逆命题是真命题．
14．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，四边形和四边形关于直线成轴对称．
(1)请你在图中用直尺和圆规作出对称轴；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如果你只有一把无刻度的直尺，请你在图中画出对称轴．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为所求作直线；
（2）利用无刻度的直尺，通过连接对应点，依据对应点连线被对称轴垂直平分来确定对称轴．连接、交于点，延长、交于点，连接，所在直线即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求．
15．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段检测）请结合图形阅读作法，并将证明“”的过程补充完整．
已知直线和外一点，下面是小明设计的“过点作直线的垂线”的作法：
作法：①在直线上取点，；
②分别以点、为圆心，、为半径作弧，两弧在直线下方交于点；
③作直线．
结论：，且经过点．
证明：连接，，，．
由作法可知，
∵ ，∴点在线段的垂直平分线上；
∵ ，∴点在线段的垂直平分线上；（依据： ）
∴直线是线段的垂直平分线（依据：两点确定一条直线）
∴．
【答案】，，到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上
【分析】先根据同圆的半径相等可知，，再根据到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上可得点都在线段的垂直平分线上，然后根据两点确定一条直线可得直线是线段的垂直平分线，由此即可得证．
【详解】证明：连接，，，．
由作法可知，∵，
∴点在线段的垂直平分线上；
∵，
∴点在线段的垂直平分线上；（依据：到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上）
∴直线是线段的垂直平分线，（依据：两点确定一条直线）
∴．
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