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第10讲 等腰三角形（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 等边对等角
典型例题二 三线合一
典型例题三 根据等角对等边证明等腰三角形
典型例题四 根据等角对等边证明边相等
典型例题五 根据等角对等边求边长
典型例题六 含30度角的直角三角形
典型例题七 格点图中画等腰三角形
典型例题八 找出图中的等腰三角形
典型例题九 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
典型例题十 等腰三角形的性质和判定
知识点01 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD.
在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”.
由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”.
【即时训练】
1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点是边上一点，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，
，
，
又，
，
，
点是边上一点，
，选项符合题意．
2．（25-26八年级上·广东汕头·期中）已知等腰三角形的一边长是8，周长是18，它的底边长是___________．
【答案】
2或8
【详解】解：若8为腰长，则底边长为，此时三边为8、8、2，满足，故成立；
若8为底边长，则腰长为，此时三边为5、5、8，满足，故成立，
因此底边长为2或8，
故答案为：2或8．
【分析】本题考查了等腰三角形中的分类讨论及三角形三边关系的应用，分8为腰长和8为底边长两种情况，利用周长公式计算另一边长，并验证是否满足三角形三边关系．
知识点02 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，，平分，下列结论不一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质．根据等腰三角形的判定和性质，逐项判断，即可．
【详解】解：∵，
∴，故A选项正确，不符合题意；
∵平分，
∴，，故B，C选项正确，不符合题意；
根据题意无法得到与的大小关系，故D选项错误，符合题意；
故选：D
2．（2025·广东佛山·二模）如图，在中，，，将沿方向平移得到，与交于点G．在不添加字母和辅助线的情况下，写出三个不同类型的结论______．
【答案】，，（答案不唯一）
【分析】本题考查平移变换、等腰直角三角形，平行线的判定，结合平移的性质、等腰直角三角形的性质以及平行线的判定定理可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵将沿方向平移得到，
∴，，，
∴，，
∴，
故答案为：，，（答案不唯一）．
【典型例题一 等边对等角】
【例1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）在中，按如图方式作图得点D，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等边对等角，根据线段垂直平分线的性质求解即可．
【详解】解：由作图得，垂直平分
∴，，
∴，，故B，C，D正确；
根据题意无法得到，故A错误．
故选：A．
【例2】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，中，，，延长到点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，
∴，
∴．
【例3】（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）等腰三角形的一个内角为，则它的底角为_______．
【答案】
或
【分析】解题时需分已知内角为顶角和底角两种情况讨论，再根据三角形内角和计算底角，验证是否成立即可．
【详解】解：根据等腰三角形性质，结合三角形内角和定理，分两种情况讨论：
①若为顶角，
则底角为；
②若为底角，
则底角为，此时顶角为，符合三角形内角和定理.
∴底角为或．
【例4】（2026·福建三明·二模）如图，点在线段的垂直平分线上，若，则_____°．
【答案】55
【分析】由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得，，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵点在线段的垂直平分线上，
∴，，
∴，，
∴．
1．（2026·云南临沧·二模）如图，点A，F，E，B在同一条直线上，与相交于点M，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】先利用等腰三角形的性质，由推出，再结合已知的、，利用证明。
【详解】证明：，
，
在和中，
，
（）．
2．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用等腰三角形得，结合，推出；再由对顶角相等，得，根据“等角对等边”得，从而证明结论．
（2）过作，由（1）的结论，用“等腰三角形三线合一”得；再由及，推得；最后用证明，得，等量代换得结论．
【详解】（1）证明：，
．
，
，
，，
．
，
，
，
是等腰三角形．
（2）证明：如图，过点作于点．
，
．
，，，
，
．
，，
，
，
．
3．（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，边的垂直平分线分别交于点．
(1)若，求的度数．
(2)已知的周长是12，的长为______．
(3)若，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)12
(3)6
【分析】（1）根据垂直平分线的性质以及等边对等角，得，．因为，以及三角形内角和性质得的度数；
（2）根据垂直平分线的性质得，，再结合周长公式列式计算，即可作答．
（3）先根据垂直平分线的性质以及等边对等角，得，．因为，以及三角形内角和性质得，再结合三角形面积公式列式计算，即可作答．
【详解】（1）解： 和分别垂直平分和，
，，
，．
，
，
，
；
（2）①和分别垂直平分和，
，，
．
的周长是12，
．
（3）解：和分别垂直平分和，
，，
，．
∵，
，
；
∴．
【典型例题二 三线合一】
【例1】（2026·云南普洱·二模）如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵等腰三角形中，，，
∴平分
∴．
【例2】（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图1是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作如图2所示的，，于点，若的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一．
直接根据等腰三角形三线合一作答即可．
【详解】解：∵，，
∴点是的中点，
∴．
故选：C．
【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，小珍将一把直尺按如图方式摆放，取的中点，连接，则为的平分线，小珍这样做的依据是________．
【答案】等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合
【分析】本题考查的是等腰三角形性质，熟练掌握等腰三角形三线合一性质是解题关键，根据等腰三角形三线合一性质解决即可．
【详解】解：在中，，点是的中点，
平分，即为的平分线，
∴小珍这样做的依据是等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合，
故答案为：等腰三角形顶角的平分线与底边上的中线重合．
【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是________．
【答案】等腰三角形的三线合一
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可得解，熟练掌握等腰三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵的中点处挂一重锤，
∴，
又∵，
∴，
∵是重锤所在的直线，
∴是水平的，
这种做法依据的数学原理是：等腰三角形的三线合一．
故答案为：等腰三角形的三线合一．
1．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，是的边上的高，E，F分别是，边上的点，且，连接，，则线段与相等吗？请说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】先运用等腰三角形的性质得到，，再证明，最后根据全等三角形的性质证得．
【详解】解：，理由如下：
∵，是的边上的高，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，，与相交于点．
求证：．
【答案】见解析
【分析】根据全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形“三线合一”的性质，进行证明即可．
【详解】证明：，，，
，
，又，
．
3．（2026·江西上饶·模拟预测）如图，在76的正方形网格中，的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹．
(1)如图1，在边上找点，使得；
(2)如图2，在边上找点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点，连接与交于点，则，
（2）可得为等腰三角形，连接，交于点，连接延长交于点，根据锐角三角形的高交于同一点，可得．
【详解】（1）如图1，点即为所求．
（2）如图2，点即为所求．
【典型例题三 根据等角对等边证明等腰三角形】
【例1】（24-25八年级上·全国·课前预习）一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定，根据三角形内角和定理求出另外一个内角的度数，再根据有两个内角相等的三角形是等腰三角形进行判断即可．
【详解】解：A、另外一个内角的度数为，则该三角形是等腰三角形，符合题意；
B、另外一个内角的度数为，则该三角形不是等腰三角形，不符合题意；
C、另外一个内角的度数为，则该三角形不是等腰三角形，不符合题意；
D、另外一个内角的度数为，则该三角形不是等腰三角形，不符合题意；
故选：A．
【例2】（24-25八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，已知和的平分线交于点F，过F作交AB于点D，交AC于点E，如果，．那么等于（ ）

A．1 B．5 C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据已知条件，可判断出和为等腰三角形，从而能够证明即可解决．
【详解】解：、分别平分、，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，利用边角关系并结合等量代换来推导证明．
【例3】（24-25八年级下·全国·课前预习）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这_______也相等（简写成“等角对等边”）．
【答案】两个角所对的边
【解析】略
【例4】（24-25八年级上·广东汕头·单元测试）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有___个．
【答案】3
【分析】根据等腰三角形的判定，根据已知角利用等量代换即可求解．
【详解】∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，
∴∠ABD＝180°﹣72°﹣36°﹣36°＝36°＝∠A，
∴AD＝BD，△ADB是等腰三角形，
∵根据三角形内角和定理知∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，△BDC是等腰三角形，
∵∠C＝∠ABC＝72°，
∴AB＝AC，△ABC是等腰三角形，
故图中共3个等腰三角形，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边判定定理是解题的关键．
1．（25-26八年级上·甘肃陇南·期中）如图，平分，且，则是怎样的特殊三角形，并说明理由，
【答案】是等腰三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，即，然后运用等角对等边即可解答．
【详解】解：是等腰三角形，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，是的角平分线．
(1)求，的度数；
(2)直接写出图中所有等腰三角形： ．
【答案】(1)，；
(2)、、．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质．
（1）根据等边对等角和三角形内角和得到，进而根据角平分线的定义作答即可；
（2）根据等角对等边和三角形内角和判断即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
∵是的角平分线，
∴；
（2）解：∵，
∴是等腰三角形；
∵，
∴，
∴是等腰三角形；
∵，，
∴，
即，
∴，
∴是等腰三角形；
故答案为：、、．
3．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段检测）在中，于点D，平分且交于点E．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若，求证：．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定．掌握等腰三角形的判定方法，能熟练利用三角形内角和定理进行求解是解题的关键．
（1）由三角形内角和定理得，由直角三角形的特征得，即可求解；
（2）由三角形内角和定理得，可求，由已知得，再结合三角形内角和定理得，即可得证．
【详解】（1）解：，，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）证明：，，
，
解得：，
，
平分，
，
，
，
．
【典型例题四 根据等角对等边证明边相等】
【例1】（24-25八年级下·广东深圳·阶段检测）如图所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，若，则的周长为13，则长为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查翻折变换的性质、等腰三角形的判定，解题的关键是利用折叠不变性进行线段的转换．
根据翻折的性质可知：，，，根据得出，进而求出，再根据的周长为13，求出，即可得出．
【详解】解：根据翻折的性质可知：，，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
的周长为13，
，即，
，
，
，
，
故选B．
【例2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知长方形纸片，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为．则是（ ）．
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，等角对等边．根据平行线的性质得，折叠的性质得，推出，根据等角对等边即可得出结论．
【详解】解：在长方形中，，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴．
由于，
∴是等腰三角形，
故选：B．
【例3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，如果，那么__________
【答案】10
【分析】根据等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：在中，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的等角对等边解答．
【例4】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，已知．与的平分线，交于点O，过点O作，交，于点M，N．若，，则的周长=______．
【答案】15
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的定义．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 由已知条件根据平行线的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质；可推出，．从而得到的周长，答案可得．
【详解】解：∵平分，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
同理可得：．
∴的周长为：
，
故答案为：15．
1．（2025九年级·甘肃陇南·专题练习）如图，在中，，，请用尺规作图法在上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析
【分析】作的平分线即可.由角平分线的定义可得，可得，可得作图正确.
【详解】解：如下图：点即为所求．
理由：∵，，
∴．
由作图可知，平分，
∴，
∴，，
∴，
∴．
2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）按要求完成下列各题：
(1)如图1，中，，求证：．
(2)如图2，，此时成立吗？请说明你的理由．
【答案】(1)见解析；
(2)成立，见解析．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边的知识，合理作出辅助线证明三角形全等是关键，
（1）延长至E，使，连接证明，结合题意得到，，由此即可求解；
（2）延长至F，使，连接，证明，结合题意得到，，由此即可求解．
【详解】（1）证明：延长至E，使，连接，如图1所示：
∵在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：成立，理由如下：
延长至F，使，连接，如图2所示：
∵在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
3．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）已知，如图，点A是上的一点，，．
(1)求证：；
(2)连接并延长交于，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明，可得，再结合已知条件可得结论；
（2）先证明，可得，结合，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）证明：连接并延长交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴；
【典型例题五 根据等角对等边求边长】
【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点为右侧一点，连接，若，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【分析】根据等角对等边，由 可得 ，由 可得 ，进而求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【例2】（2025八年级·全国·模拟预测）长方形纸片中，长，宽．现将长方形纸片按图1所示的方式折叠，使得与重合；再将向右折叠，使得点落在的延长线上，如图2所示，此时与相交于点．则的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，根据折叠的性质得到进而即可求解
【详解】解：在图2中，，
∴的面积=，
故选B
【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则_________．
【答案】8
【分析】本题考查了等角对等边的性质及三角形内角和定理，解题的关键是通过等角对等边推导三角形边的关系．
根据等角对等边，由得；再结合，得，推出，进而得．
【详解】在中，，
∴，，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
故答案为8．
【例4】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知交于点，且，若，，则的长为______．
【答案】8
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．
根据全等三角形的性质和等腰三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，
故答案为：8．
1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接．
(1)求证：．
(2)若平分，，求线段的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边，
（1）借助图中隐含条件，对顶角，通过证明，即可得出；
（2）利用（1）中的结论，由角平分线的定义易得，根据等角对等边，推出，再计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵E为中点，
∴，
又，，
∴，
∴；
（2）解：由（1），得，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点．
(1)若，求的度数．
(2)若的周长为10，求的长．
【答案】(1)
(2)4
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义；
（1）根据等边对等角以及三角形内角和定理求得，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可求解；
（2）根据角平分线的定义，平行线的性质得出，则，进而根据的周长为10，得出，进而即可求解．
【详解】（1）解：，
．
平分，
，
．
（2）解：平分
．
．
．
的周长为10，
．
，
．
3．（2025八年级上·河南·学业考试）在学习完解直角三角形的应用后，某校初三数学学习兴趣小组的同学们开展了测量学校旗杆高度的活动． 他们在旗杆前升起无人机，当无人机在点C位置时，测得旗杆顶端A的仰角为 ，测得旗杆底端B的俯角为 ，测得与旗杆的水平距离．（参考数据： ， ，）
(1)求点C到旗杆顶端A的距离；（结果保留根号）
(2)求学校旗杆的高度．（精确到）
【答案】(1)
(2)学校旗杆的高度为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，等角对等边的性质以及勾股定理的应用，掌握解直角三角形的知识是解题的关键．
（1）由直角三角形两锐角互余可得出，根据等角对等边可得出，最后根据勾股定理即可求出．
（2）由正切的定义即可得出， 最后即可得出的值．
【详解】（1）解：由题意知：，，
∴，
∴，
∴
∴点C到旗杆顶端A的距离为．
（2）根据题意可知：，
∴，
故学校旗杆的高度为．
【典型例题六 含30度角的直角三角形】
【例1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2）．若，于点D，，则的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，直接根据该性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故选：C．
【例2】 （25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，某地从位于山脚下的处沿山坡铺设水管到达处，现测得斜坡的坡角为，出水口所在的高度为米，则水管的长度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查了含角的直角三角形的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题由题意可得：，，，然后根据含角的直角三角形的知识，即可求解；
【详解】解：由题意可得：，，，
∴，
∴水管的长度是米；
故选：C；
【例3】 （25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）如图，在中，于点，将沿翻折得到，已知，则的长是___________．
【答案】5
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、折叠的性质等知识点，掌握30度所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
由直角三角形的性质可得，再根据折叠的性质即可解答．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵将沿翻折得到，，
∴．
故答案为：5．
【例4】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙的夹角，梯子的长为，则梯子底端与墙角的距离的长为_________ ．
【答案】3
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握30度角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：由题意得，，米，
∵在中，，
∴（米），
故答案为：3．
1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，利用尺规作图，在BC边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写画法）
【答案】解：如图，点D即为所求作的点．
【分析】过点A作的垂线，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可知．
【详解】略．
2．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以12海里/时的速度向正北方向航行，上午11时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得．
(1)求海岛B到灯塔C的距离；
(2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？
【答案】(1)海岛到灯塔的距离为36海里
(2)还要经过小时，小船与灯塔的距离最短
【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质、含的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握在直角三角形中所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．
（1）根据，可得等腰，再根据等腰三角形的性质即可解答；
（2）点作于点，的长度即为小船与灯塔的最短距离；然后求出的长度，最后求出时间即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：（海里）．
∵，
∴．
∴．
∴（海里）．
∴从海岛B到灯塔C的距离为36海里．
（2）解：如图，过点C作于点P．
∴根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔C的最短距离，．
又∵，
∴．
在中，，
∴（海里）．
∴航行的时间为（时）．
∴这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，要经过小时，小船与灯塔C的距离最短．
3．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）如图1是某公园内的一条河，欣欣同学想运用所学知识测量这条河某一段的宽度，如图2，她在空地上找一点，沿方向走到点处，使得，再从点处出发，沿着与平行的方向走20米到达点处（即米），沿继续向前走，到达点处时，发现、、三点在一条直线上，欣欣在线段上取了一点，测得米，，，请你根据欣欣的测量结果，计算这条河此段的宽度．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
证明，再结合含角的直角三角形的性质进行求解．
【详解】解：由题意知，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【典型例题七 格点图中画等腰三角形】
【例1】（24-25八年级下·福建三明·阶段检测）如图，在的正方形方格中，点A，B在格点（小正方形的顶点）上，若点C也在格点上，使为等腰三角形，则符合条件的格点C的个数是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】此题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的性质即可得到结论．关键是根据等腰三角形的判定解答．
【详解】解：如图所示：

符合条件的点的个数有6个，
故选：D．
【例2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有（ ）
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的定义即可求解．
【详解】解：如图所示：
，故为等腰三角形，
，故为等腰三角形，
，故为等腰三角形，
，故为等腰三角形，
，故为等腰三角形，
则一共有5个等腰三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了作图——与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形的定义，学会运用数形结合的思想解决问题．
【例3】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则______．
【答案】45°
【解析】略
【例4】（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有________个．
【答案】5
【分析】此题考查等腰三角形的判定．由已知条件，分别为腰找等腰三角形和为底找等腰三角形，即可．
【详解】解：如图，分别为腰画出等腰三角形和为底画出等腰三角形，
符合条件的点C有5个，
故答案为：5．
1．（2025·四川广安·二模）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰三角形，且另外一个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的判定画出图形即可．
【详解】解：如图，即为所求．
2．（2026·浙江宁波·一模）在的方格纸中，点，，都在格点上，请按下列要求作图．
(1)在图1中画出格点，使为等腰三角形（画一个点即可）．
(2)在图2中画出格点，使．
【答案】(1)如图，点D即为所求；（画一个点即可）
(2)如图，点E即为所求；
【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质，求解即可．
（2）构造平行四边形求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
3．（24-25八年级上·吉林四平·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
(1)在图①中以线段为边画一个三角形，使其面积为6．
(2)在图②中以线段为边画一个三角形，使其面积为6．
(3)在图③中以线段为边画一个等腰直角三角形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】题考查了格点作图，等腰三角形的性质，三角形的面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）取格点，连接，则底为，高为的面积为6；
（2）取格点，连接，则底为，高为的面积为6；
（3）取格点，连接，根据网格知识可得为等腰直角三角形．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，即为所求，
（3）解：如图，即为所求，
【典型例题八 找出图中的等腰三角形】
【例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，，
∴ ，
∴，，
∴、是等腰三角形，
∵，，
∴，，
∴、是等腰三角形，
故图中共有5个等腰三角形，
故选：C．
【例2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【分析】逐个画出图形，即可得到答案．
【详解】解：图①中，∠A=36°，AB=AC，则∠ABC=∠ACB=72°，
以B为顶点，在△ABC内作∠ABC的平分线，则∠ABD=∠DBC=36°，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD是等腰三角形，
而∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∠ACB=72°，
∴∠ACB=∠BDC=72°，
∴△BDC是等腰三角形，
故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，故①符合题意；
图③中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B=∠C=45°，
过A作AE⊥BC于E，如图：
则△ABE和△ACE是等腰直角三角形，
故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，故③符合题意；
图④中，∠BAC=108°，AB=AC，则∠B=∠C=36°，
以A为顶点，在△ABC内作∠BAF=72°，如图：
则△ABF和△ACF都是等腰三角形，故④符合题意；
图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形，
故②不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是分别画出图形，计算图中角的大小，用等边对等角判断等腰三角形．
【例3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个．
【答案】6
【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理．
利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形．
【详解】∵，
∴，是等腰三角形．
∵，
∴，是等腰三角形．
∵，
∴，
∴，是等腰三角形．
∵，
∴，
∴，是等腰三角形．
∵，
∴，
∴，是等腰三角形．
∵，
∴，
∴，是等腰三角形．
综上所述：图中等腰三角形有6个．
故答案为：6
【例4】（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．

【答案】4
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识，
根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．
【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．

∴这样的直线最多可画4条．
故答案为：4．
1．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点在上，且，
(1)请直接写出图中所有的等腰三角形；
(2)求的度数．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定．
（1）由在中，，，可得图中的等腰三角形有：，，；
（2）首先设，然后由等腰三角形的性质，求得，然后由三角形的内角和定理，得到方程：，解此方程即可求得答案．
【详解】（1）解：在中，，，
图中的等腰三角形有：，，；
（2）设，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
．
2．（24-25八年级上·河南信阳·期中）过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”．
(1)下列三角形中，不存在“友好分割线”的是 （只填写序号）；
①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形
(2)如图，中，，为边上的高，若为的“友好分割线”，求长度；
(3)在中，，，直接写出被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数．
【答案】(1)②
(2)4
(3)，，，或
【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，画出对应的图形解决问题．
（1）根据“友好分割线”的定义对①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形分别进行判断即可．
（2）根据为的“友好分割线”，得出或为等腰三角形，证出不是等腰三角形，则是等腰三角形，根据等腰三角形性质得出，根据直角三角形的性质得出．
（3）根据，算出，根据“友好分割线”的定义画图后分为当时，当时，当时，当时，当时，当时，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据“友好分割线”的定义可知，
如图，等腰直角三角形，顶角为的等腰三角形存在“友好分割线”．
等边三角形不存在“友好分割线”．
故答案为：；
（2）解：为的“友好分割线”，
或为等腰三角形，
为边上的高，
，
，
，
不是等腰三角形，则是等腰三角形，
，
，，
．
（3）解：，
，
如图，
当时，，
当时，，
当时，．
如图，
当时，，
当时，，
如图，
当时，，
综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：，，，或．
3．（24-25七年级下·上海·期末）利用垂直平分线将三角形分割出等腰三角形：
(1)如图1所示，中，，的垂直平分线交于点，连接，那么图中出现的等腰三角形是_____；
(2)如图2所示，中，，的垂直平分线交于点，连接，那么图中出现的等腰三角形是_____；
(3)尺规作图：请利用上述方法，将图3中的直角三角形分割成三个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）
【答案】(1)
(2)，
(3)如图，，和为等腰三角形
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，可得结论；
（2）根据垂直平分线的性质得，根据等边对等角得，继而推出 ，，可得结论；
（3）作 的垂直平分线交于点，连接，作的垂直平分线交于点，连接即可．
【详解】（1）解：∵的垂直平分线交 于点，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中出现的等腰三角形是；
（2）解：∵的垂直平分线交于点，
∴，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴图中出现的等腰三角形是，；
（3）解：如图，作的垂直平分线交于点，连接，作的垂直平分线交于点，连接，
∴， ，
∴，都是等腰三角形， ，
∵ ，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴是等腰三角形，
∴图中出现的等腰三角形是，和．
【典型例题九 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】
【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（ ）个
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】根据等腰三角形定义，画出图形即可解决问题．
【详解】解：如图，以点A为圆心，为半径画圆，
以点B为圆心，为半径画圆，以点B为圆心，为半径画圆，
以点C为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆，
再作，，的垂直平分线，分别得到8个点P，
则满足条件的所有点的个数为8，
故选：C．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【例2】（25-26八年级上·四川广元·期中）已知一条直线l和直线外的A、B两点，以A、B两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形．除此之外还能画出符合条件的（　　）个等腰三角形．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定．以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点；再以点为圆心、长为半径画圆，交直线于点，然后作的垂直平分线，交直线于点，由此即可得．
【详解】解：如图，
则除此之外还能画出符合条件的点共有4个，
故选：C．
【例3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作____________个．
【答案】6
【分析】本题考查等腰直角三角形．以为直角边有四个，以为斜边有两个．
【详解】解：如图，以为直角边有四个，以为斜边有两个，共6个：
故答案为：6．
【例4】（24-25八年级上·江西宜春·期中）在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为_____．
【答案】或或
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，根据等腰直角三角形的性质和判定，画出图形即可解决问题；
【详解】解：如图，
观察图象可知，满足条件的点C坐标为或或．
故答案为：或或．
1．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P．
【答案】见解析
【分析】根据等腰三角形的定义找到符合题意的点．
【详解】解：如图，
AE=P1E，AP2=AE，AP3=EP3，AE=EP4，AP5=EP5，
则共有5个点P，使得△AEP为等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．
2．（24-25八年级上·广东惠州·阶段检测）如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来．
【答案】图见解析，10
【分析】根据等腰三角形的两边相等，可通过作线段的垂直平分线得出满足条件的点；
【详解】解：如图，在的边的中垂线上有，，和四个点满足条件，而这样的对称轴有三条，且三条对称轴都经过点，
，
所以满足条件的点共有个．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定（有两条边相等的三角形是等腰三角形），理解等腰三角形的三线和一性质是解答关键．
3．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)画出关于x轴对称的，并直接写出点的坐标 ；
(2)在坐标轴上找一点Q，使与全等，请直接写出一个符合条件的点Q的坐标 ；
(3)点F在y轴上，且为等腰三角形，满足条件的点F有 个．
【答案】(1)见解析，
(2)或
(3)4
【分析】本题考查了作轴对称图形，全等三角形的判定，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质；能根据轴对称图形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质进行作图是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据找出点即可求解；
（3）等腰三角形的定义及线段垂直平分线的性质进行作图，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：如图所示，和即为所求；
点Q的坐标为或
故答案为：或；
（3）解：如图，以A为圆心，长为半径作圆与y轴有两个交点，其中交点在直线上，所以只有一个点符合条件；以C为圆心，长为半径作圆交y轴两个交点；作的垂直平分线交y轴有一个交点，则满足条件的点F共有个，
故答案为：4．
【典型例题十 等腰三角形的性质和判定】
【例1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，，平分若，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，平分，得到是底边上的中线，继而得到的长度．
【详解】解：，平分，
是等腰底边上的中线，
．
【例2】（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点O，B的坐标分别为，，且，，现将各顶点的横、纵坐标都乘2，则点C的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作于点，先求出，再由等腰直角三角形的性质求出，即可得出点的坐标为，从而得出结果．
【详解】解：如图，作于点，
，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴点的坐标为，
∵现将各顶点的横、纵坐标都乘2，
∴点C的对应点的坐标是．
【例3】（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，从枕木的端点往铁轨拉两条长度相等的固定绳与，当固定点到枕木的端点的距离相等，且在同一直线上时，枕木就垂直于铁轨．其依据是______．
【答案】等腰三角形的三线合一
【分析】本题考查了等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”．
故答案为：等腰三角形的“三线合一”．
【例4】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形、轴．若点．则点的坐标为_____．
【答案】
【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．熟练掌握平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，等腰三角形三线合一，是解题的关键．
根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，得到点的纵坐标，过点作，利用等腰三角形的三线合一，求出点的横坐标即可．
【详解】解：∵轴，，
∴点的纵坐标为1，
过点作，交轴于点，交于点， 则：，

∵
∴，
∴点的横坐标为，
∴．
故答案为：．
1．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在等腰中，、分别是、边上的中线，、相交于点，连接，求证：．
【答案】证明：∵等腰三角形中，D，E为和的中点，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【分析】根据等边对等角，利用可证得，进而利用可证得，即可得到结论．
【详解】略
2．（2026·江苏常州·一模）如图，、相交于，，．
(1)求证：；
(2)延长、交于点，则线段与线段之间的位置关系是_______．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1），即可证出；
（2）连接，由（1）得，结合，得出，证出；再证明，得出平分．证明是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可证明．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中：
，
∴，
∴．
（2）解：（垂直平分 ） ，
证明：连接，
由（1）得，即，
又，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴平分．
又∵，
∴，
∴，
即，
∴是等腰三角形，
∴（顶角平分线垂直平分底边）．
3．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1，是以为直角的等腰直角三角形，射线是内部的一条射线，过点A作于点．过点C作于点F．
(1)求证：；
(2)如图2，现将图1中的射线逆时针旋转至的外部，过点A作于点E，过点B在射线的左侧作，且，连接交射线的反向延长线于点H．若，求的面积；
(3)如图3，是以为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接和，取的中点E，连接，作，连接与，若，求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析．
【分析】（1）根据证明即可；
（2）过点作，交的延长线于点，先证明得到，再证明，得到，根据三角形面积公式即可求解；
（3）延长至，使，连接，，证明，得到，，证明，得到，，进而得到，再求得，即可得出结论．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
又∵，
（2）解：过点作，交的延长线于点，如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：延长至，使，连接，，如图：
，，，
，
，，
，，
，
又，，
，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
1．（24-25八年级上·上海·阶段检测）下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的底角相等；
B．全等三角形的对应角相等；
C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形；
D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
【答案】B
【分析】先分别写出各选项的逆命题，再结合初中几何知识判断逆命题的真假，即可得到结果．
【详解】解：A、原命题为等腰三角形的底角相等，逆命题为“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，根据等腰三角形判定定理，此逆命题是真命题，不符合题意；
B、原命题为全等三角形的对应角相等，逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，对应角相等的两个三角形不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，对应角相等但不全等，此逆命题是假命题，符合题意；
C、原命题为面积相等的两个三角形一定是全等三角形，逆命题为“全等的两个三角形面积一定相等”，此逆命题是真命题，不符合题意；
D、原命题为线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，逆命题为“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，根据线段垂直平分线的判定定理，此逆命题是真命题，不符合题意．
2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，的中垂线交于，的中垂线交于，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据的中垂线可得，再根据的中垂线可得，再结合即可计算出，再由即可得到答案．
【详解】解：∵的中垂线交于，的中垂线交于，
∴
∴，，
，
，
，
又，
．
3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知，点P在边上，，点E，F在边上，．若，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】过点作于点，利用含角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质进行求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
4．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键；
在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可．
【详解】解：当车长为底时，
，
是等腰三角形是；
当车长为腰时，
，，，，
，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个．
故选：D．
5．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，I为的平分线和的平分线的交点，，，，将平移，使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】连接，设阴影部分与的交点为，由题意易得，由平移可知：，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：连接，设阴影部分与的交点为，如图所示：
∵I为的平分线和的平分线的交点，
∴，
由平移可知：，
∴，
∴，
∴的周长为，
即阴影部分的周长为．
6．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为的中线，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接，若，则______
【答案】20
【分析】本题考查了三线合一，等边对等角．
根据三线合一得到为的角平分线，即，根据等边对等角得到，根据三线合一得到，根据计算即可．
【详解】∵，为的中线，
∴为的角平分线，
，
，
，
，
，为的中线，
，
，
．
故答案为：．
7．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有_______个．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的定义，掌握分类讨论思想是解题关键．
分类讨论为腰和为底的情况，结合网格特征逐一寻找符合条件的格点．
【详解】解： 等腰三角形的情况，可分类讨论：
当为腰时：如图，分别以、为圆心，长为半径画弧，可与个格点相交，则图中点可作为点；
当为底边时：如图，作的垂直平分线，可与个格点相交，则图中点可作为点．
综上，满足条件的点有个．
故答案为：．
8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，为内角平分线的交点，过点O作于点M．若，则的长为__________．
【答案】
【分析】本题主要考查角平分线的性质，直角三角形中，所对的边等于斜边的一半，作合适的辅助线是解题的关键．
过作交于，由角平分线的性质可得，，再解即可．
【详解】解：过作交于，
为内角平分线的交点，
，，
，
．
故答案为：．
9．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知中，，为的平分线．若，则的值为____________________．
【答案】
【分析】如图，作于E，于F，在上截取，连接．首先证明，设，再证明，推出，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，作于E，于F，在上截取，连接．
∵为的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等腰三角形，，是的角平分线，于，若cm，那么的周长为______．
【答案】
【分析】根据等腰直角三角形的定义可得，，根据角平分线的定义得，证明得到，即可求解．
【详解】解：是等腰三角形，，
，，
是的角平分线，于，
，
在和中，
，
，
，
，
的周长为，
故答案为：．
11．（25-26七年级下·全国·课后作业）在线段的垂直平分线上任取两个不同的点，，则和之间有什么关系？为什么？
【答案】，理由如下：
当点、点在的不同的两侧时，如图：
因为垂直平分，
所以，，
则，，
于是，
即；
当点、点在的同一侧时，如图：
因为垂直平分，
所以，，
则，，
于是，
即．
【分析】根据垂直平分线的性质转化为等腰三角形的问题，再进行两角大小的运算，即可求解．
【详解】略
12．（2026·浙江丽水·二模）如图，小明在处看见前面山上有一个气象站，此时测得水平线与视线的夹角为，当他乘坐汽车笔直地向山的方向行驶到达处后，小明再看气象站，测得水平线与视线的夹角为，点离路面的高为，求这个气象站离地面的高度．
【答案】
【分析】先作辅助线构造直角三角形与矩形，利用矩形性质得到观测点高度与相等．再通过三角形外角性质求出，结合判定为等腰三角形，得到然后在中，依据含角的直角三角形性质求出的长度．最后将与观测点离地面的高度相加，得到气象站离地面的总高度．
【详解】解：过点作地面于点过点作地面于点过点作地面于点，交直线于点
由题意可得，
∵过点作地面于点过点作地面于点过点作地面于点，
∴，
四边形和四边形均为矩形
．
是的外角
．
，．
．
．
．
．
．
．
．
在中
．
．
．
．
答：这个气象站离地面的高度为
13．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，，，．
(1)请找出图中所有的等腰三角形，并说明理由．
(2)求的周长．
【答案】(1)等腰三角形有和，见解析
(2)15
【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的定义可得到，所以可得，同理可得，即可得答案；
（2）由（1）得，的周长即为，可得出答案．
【详解】（1）解：等腰三角形有和，
理由：平分，
，
，
，
，是等腰三角形，
平分，
.
，
，
，
，是等腰三角形；
（2）由（1），得，
的周长
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，由条件得到是解题的关键．
14．（24-25八年级上·江苏·阶段检测）针对等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：在中，平分，交边于点，且，求证：为等腰三角形．
以下是甲、乙两位同学的作法．
甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角相等和一组边相等，再加一组公共边，可证，所以这个三角形为等腰三角形；
乙：延长到，使，连接，可证，依据已知条件可推出，所以这个三角形为等腰三角形．
(1)对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是___________；
A．两人都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确
(2)选择一种你认为正确的作法，并证明．
【答案】(1)C
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，关键是构造辅助线得到全等三角形．
（1）甲同学证明的两个三角形全等，没有边边角的判定，故错误，而乙的证明则正确，因此可作出判断；
（2）按照乙的分析方法进行即可．
【详解】（1）解：甲同学证明的两个三角形全等，边边角不能判定两个三角形全等，故错误，而乙的证明则正确，
故选C；
（2）解：乙的作法正确．
证明：依题意，延长至E，使，连接，如图．
∵D为中点，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
15．（26-27八年级·全国·期中）已知与中，，，，连接与相交于点F，与相交点．
(1)猜想：如图1所示，当时，则______；
(2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数；
(3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先证明得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果；
（2）先证明得出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果；
（3）由（1）得，，从而得出，利用平行线的性质证明出，从而可得，，由此计算即可得出结果．
【详解】（1）解：，
，
，
在和中，
，
，
．
在和中，，，
，
∵，
∴，
（2）解：
在和中
．
在和中
，
．
（3）解：由（1）得，，
，
∵，
，，
，
，
，，
，
．
，，
．
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第10讲 等腰三角形（2大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 等边对等角
典型例题二 三线合一
典型例题三 根据等角对等边证明等腰三角形
典型例题四 根据等角对等边证明边相等
典型例题五 根据等角对等边求边长
典型例题六 含30度角的直角三角形
典型例题七 格点图中画等腰三角形
典型例题八 找出图中的等腰三角形
典型例题九 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
典型例题十 等腰三角形的性质和判定
知识点01 等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
如图，在ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD.
在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD。∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠B=∠C。这样就证明了“等边对等角”.
由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边，这也就证明了等腰三角形“三线合一”.
【即时训练】
1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点是边上一点，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·广东汕头·期中）已知等腰三角形的一边长是8，周长是18，它的底边长是___________．
知识点02 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.
要点诠释：
(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图，在中，，平分，下列结论不一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2025·广东佛山·二模）如图，在中，，，将沿方向平移得到，与交于点G．在不添加字母和辅助线的情况下，写出三个不同类型的结论______．
【典型例题一 等边对等角】
【例1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）在中，按如图方式作图得点D，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，中，，，延长到点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）等腰三角形的一个内角为，则它的底角为_______．
【例4】（2026·福建三明·二模）如图，点在线段的垂直平分线上，若，则_____°．
1．（2026·云南临沧·二模）如图，点A，F，E，B在同一条直线上，与相交于点M，，，．求证：．
2．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)若，求证：．
3．（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点，边的垂直平分线分别交于点．
(1)若，求的度数．
(2)已知的周长是12，的长为______．
(3)若，，，求的面积．
【典型例题二 三线合一】
【例1】（2026·云南普洱·二模）如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·云南昭通·期中）如图1是我国古代建筑中常见的梁架示意图，其顶部可看作如图2所示的，，于点，若的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，小珍将一把直尺按如图方式摆放，取的中点，连接，则为的平分线，小珍这样做的依据是________．
【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重垂线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是________．
1．（25-26八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，是的边上的高，E，F分别是，边上的点，且，连接，，则线段与相等吗？请说明理由．
2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，，与相交于点．
求证：．
3．（2026·江西上饶·模拟预测）如图，在76的正方形网格中，的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作图，保留适当的作图痕迹．
(1)如图1，在边上找点，使得；
(2)如图2，在边上找点，使得．
【典型例题三 根据等角对等边证明等腰三角形】
【例1】（24-25八年级上·全国·课前预习）一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是等腰三角形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例2】（24-25八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，在中，已知和的平分线交于点F，过F作交AB于点D，交AC于点E，如果，．那么等于（ ）

A．1 B．5 C．9 D．10
【例3】（24-25八年级下·全国·课前预习）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这_______也相等（简写成“等角对等边”）．
【例4】（24-25八年级上·广东汕头·单元测试）如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有___个．
1．（25-26八年级上·甘肃陇南·期中）如图，平分，且，则是怎样的特殊三角形，并说明理由，
2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，，是的角平分线．
(1)求，的度数；
(2)直接写出图中所有等腰三角形： ．
3．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段检测）在中，于点D，平分且交于点E．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，若，求证：．
【典型例题四 根据等角对等边证明边相等】
【例1】（24-25八年级下·广东深圳·阶段检测）如图所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，若，则的周长为13，则长为（　　）
A． B． C． D．1
【例2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知长方形纸片，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D与点B重合，折痕为．则是（ ）．
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【例3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在中，，如果，那么__________
【例4】（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，已知．与的平分线，交于点O，过点O作，交，于点M，N．若，，则的周长=______．
1．（2025九年级·甘肃陇南·专题练习）如图，在中，，，请用尺规作图法在上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）按要求完成下列各题：
(1)如图1，中，，求证：．
(2)如图2，，此时成立吗？请说明你的理由．
3．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）已知，如图，点A是上的一点，，．
(1)求证：；
(2)连接并延长交于，求证：．
【典型例题五 根据等角对等边求边长】
【例1】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，点为右侧一点，连接，若，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
【例2】（2025八年级·全国·模拟预测）长方形纸片中，长，宽．现将长方形纸片按图1所示的方式折叠，使得与重合；再将向右折叠，使得点落在的延长线上，如图2所示，此时与相交于点．则的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则_________．
【例4】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，已知交于点，且，若，，则的长为______．
1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，点D为边上一点，点E为边中点，连接并延长至点F使得，连接．
(1)求证：．
(2)若平分，，求线段的长度．
2．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点．
(1)若，求的度数．
(2)若的周长为10，求的长．
3．（2025八年级上·河南·学业考试）在学习完解直角三角形的应用后，某校初三数学学习兴趣小组的同学们开展了测量学校旗杆高度的活动． 他们在旗杆前升起无人机，当无人机在点C位置时，测得旗杆顶端A的仰角为 ，测得旗杆底端B的俯角为 ，测得与旗杆的水平距离．（参考数据： ， ，）
(1)求点C到旗杆顶端A的距离；（结果保留根号）
(2)求学校旗杆的高度．（精确到）
【典型例题六 含30度角的直角三角形】
【例1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2）．若，于点D，，则的长为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【例2】 （25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，某地从位于山脚下的处沿山坡铺设水管到达处，现测得斜坡的坡角为，出水口所在的高度为米，则水管的长度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【例3】 （25-26八年级上·吉林松原·阶段检测）如图，在中，于点，将沿翻折得到，已知，则的长是___________．
【例4】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙的夹角，梯子的长为，则梯子底端与墙角的距离的长为_________ ．
1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，，利用尺规作图，在BC边上找一点D，使得．（保留作图痕迹，不写画法）
2．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以12海里/时的速度向正北方向航行，上午11时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得．
(1)求海岛B到灯塔C的距离；
(2)若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？
3．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）如图1是某公园内的一条河，欣欣同学想运用所学知识测量这条河某一段的宽度，如图2，她在空地上找一点，沿方向走到点处，使得，再从点处出发，沿着与平行的方向走20米到达点处（即米），沿继续向前走，到达点处时，发现、、三点在一条直线上，欣欣在线段上取了一点，测得米，，，请你根据欣欣的测量结果，计算这条河此段的宽度．
【典型例题七 格点图中画等腰三角形】
【例1】（24-25八年级下·福建三明·阶段检测）如图，在的正方形方格中，点A，B在格点（小正方形的顶点）上，若点C也在格点上，使为等腰三角形，则符合条件的格点C的个数是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6
【例2】（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果点C也是图形中的格点，且△ABC为等腰三角形，所有符合条件的点C有（ ）
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
【例3】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则______．
【例4】（24-25八年级上·山西晋城·期末）如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有________个．
1．（2025·四川广安·二模）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰三角形，且另外一个顶点在格点上．请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形．
2．（2026·浙江宁波·一模）在的方格纸中，点，，都在格点上，请按下列要求作图．
(1)在图1中画出格点，使为等腰三角形（画一个点即可）．
(2)在图2中画出格点，使．
3．（24-25八年级上·吉林四平·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．
(1)在图①中以线段为边画一个三角形，使其面积为6．
(2)在图②中以线段为边画一个三角形，使其面积为6．
(3)在图③中以线段为边画一个等腰直角三角形．
【典型例题八 找出图中的等腰三角形】
【例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【例2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【例3】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个．
【例4】（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 _____条．

1．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点在上，且，
(1)请直接写出图中所有的等腰三角形；
(2)求的度数．
2．（24-25八年级上·河南信阳·期中）过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”．
(1)下列三角形中，不存在“友好分割线”的是 （只填写序号）；
①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形
(2)如图，中，，为边上的高，若为的“友好分割线”，求长度；
(3)在中，，，直接写出被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数．
3．（24-25七年级下·上海·期末）利用垂直平分线将三角形分割出等腰三角形：
(1)如图1所示，中，，的垂直平分线交于点，连接，那么图中出现的等腰三角形是_____；
(2)如图2所示，中，，的垂直平分线交于点，连接，那么图中出现的等腰三角形是_____；
(3)尺规作图：请利用上述方法，将图3中的直角三角形分割成三个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）
【典型例题九 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】
【例1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）已知中，．，在平面内找一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点有（ ）个
A．4 B．6 C．8 D．10
【例2】（25-26八年级上·四川广元·期中）已知一条直线l和直线外的A、B两点，以A、B两点和直线上某一点作为三角形的三个顶点，就能画出一个等腰三角形，如图中的等腰三角形．除此之外还能画出符合条件的（　　）个等腰三角形．
A．2 B．3 C．4 D．5
【例3】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作____________个．
【例4】（24-25八年级上·江西宜春·期中）在平面直角坐标系中，，，C为第一象限内一点，若以A，B，C三点为顶点的三角形为等腰直角三角形，则C点坐标为_____．
1．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P．
2．（24-25八年级上·广东惠州·阶段检测）如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来．
3．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)画出关于x轴对称的，并直接写出点的坐标 ；
(2)在坐标轴上找一点Q，使与全等，请直接写出一个符合条件的点Q的坐标 ；
(3)点F在y轴上，且为等腰三角形，满足条件的点F有 个．
【典型例题十 等腰三角形的性质和判定】
【例1】（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，，平分若，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点O，B的坐标分别为，，且，，现将各顶点的横、纵坐标都乘2，则点C的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，从枕木的端点往铁轨拉两条长度相等的固定绳与，当固定点到枕木的端点的距离相等，且在同一直线上时，枕木就垂直于铁轨．其依据是______．
【例4】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形、轴．若点．则点的坐标为_____．
1．（25-26七年级下·上海闵行·期末）如图，已知在等腰中，、分别是、边上的中线，、相交于点，连接，求证：．
2．（2026·江苏常州·一模）如图，、相交于，，．
(1)求证：；
(2)延长、交于点，则线段与线段之间的位置关系是_______．
3．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图1，是以为直角的等腰直角三角形，射线是内部的一条射线，过点A作于点．过点C作于点F．
(1)求证：；
(2)如图2，现将图1中的射线逆时针旋转至的外部，过点A作于点E，过点B在射线的左侧作，且，连接交射线的反向延长线于点H．若，求的面积；
(3)如图3，是以为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接和，取的中点E，连接，作，连接与，若，求证：．
1．（24-25八年级上·上海·阶段检测）下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的底角相等；
B．全等三角形的对应角相等；
C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形；
D．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，的中垂线交于，的中垂线交于，若，则为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知，点P在边上，，点E，F在边上，．若，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（ ）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，在中，I为的平分线和的平分线的交点，，，，将平移，使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，为的中线，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接，若，则______
7．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有_______个．
8．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，为内角平分线的交点，过点O作于点M．若，则的长为__________．
9．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知中，，为的平分线．若，则的值为____________________．
10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，是等腰三角形，，是的角平分线，于，若cm，那么的周长为______．
11．（25-26七年级下·全国·课后作业）在线段的垂直平分线上任取两个不同的点，，则和之间有什么关系？为什么？
12．（2026·浙江丽水·二模）如图，小明在处看见前面山上有一个气象站，此时测得水平线与视线的夹角为，当他乘坐汽车笔直地向山的方向行驶到达处后，小明再看气象站，测得水平线与视线的夹角为，点离路面的高为，求这个气象站离地面的高度．
13．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，，，．
(1)请找出图中所有的等腰三角形，并说明理由．
(2)求的周长．
14．（24-25八年级上·江苏·阶段检测）针对等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：在中，平分，交边于点，且，求证：为等腰三角形．
以下是甲、乙两位同学的作法．
甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角相等和一组边相等，再加一组公共边，可证，所以这个三角形为等腰三角形；
乙：延长到，使，连接，可证，依据已知条件可推出，所以这个三角形为等腰三角形．
(1)对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是___________；
A．两人都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确
(2)选择一种你认为正确的作法，并证明．
15．（26-27八年级·全国·期中）已知与中，，，，连接与相交于点F，与相交点．
(1)猜想：如图1所示，当时，则______；
(2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数；
(3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度．
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