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第11讲 等边三角形（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 等边三角形的性质
典型例题二 等边三角形的判定
典型例题三 等边三角形的判定和性质
典型例题四 大（小）边对大（小）角定理
典型例题五 最短路径问题
典型例题六 根据等边三角形的性质求长度
典型例题七 根据等边三角形的性质求角度
知识点01 等边三角形的概念与性质
1.等边三角形概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形；也称为正三角形。
注意：
等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
2.等边三角形的性质
（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
（2）三个角都是60°
【即时训练】
1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质，由是等边三角形，则，又，所以，掌握等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
故选：．
2．（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）若等边的周长为，则_______．
【答案】4
【分析】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三边相等是解题的关键．
设的长为，即可得一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】解：设的长为，
是等边三角形，
，
解得，，
即，
故答案为：．
知识点02 等边三角形的判定
1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形．
2.三个角都相等的三角形是等边三角形．
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【即时训练】
1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）下列条件不能判断是等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
根据等边三角形的定义、判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意；
B、得到，那么只能得到是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意；
C、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意；
D、，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意；
故选：B．
2．（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上___________填上一个适当的条件．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是掌握三角形的判定定理．
利用等边三角形的判定定理即可求解．
【详解】解：添加，理由如下：
∵为等腰三角形，，
，
∴为等边三角形，
故答案为：（答案不唯一）．
【典型例题一 等边三角形的性质】
【例1】（25-26七年级下·山西运城·阶段检测）边长为4的等边三角形的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】利用等边三角形三边相等的性质，直接计算周长即可得到结果.
【详解】解：∵等边三角形的三条边长度相等，该等边三角形的边长为，
∴周长为：．
【例2】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
，
故选：B．
【例3】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______．
【答案】/75度
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【例4】（25-26八年级上·青海海东·期中）如图，将一个等边三角形沿向右平移后得到，若，则两个三角形重叠部分的周长为__________．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、平移的性质，令与交于点，由等边三角形的性质可得，，由平移的性质可得，，从而得出，为等边三角形，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，令与交于点，
，
∵为等边三角形，
∴，，
∵将一个等边三角形沿向右平移后得到，
∴，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴两个三角形重叠部分的周长为，
故答案为：．
1．（2026·福建·模拟预测）如图，是等边三角形，，，．求证：．
【答案】证明：，，
．
是等边三角形，
，．
．
在和中，
．
．
【分析】先根据、的垂直条件，得到．结合等边三角形的性质，得到，．推导与的大小关系，判断二者是否相等．因为已知，可通过判定和全等．依据全等三角形对应边相等的性质，即可求证．
【详解】略
2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点．
(1)求证：；
(2)求．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合“”进行证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，然后求出结果即可．
【详解】（1）证明：和都是等边三角形，
，
，
即，
在 中
，
∴；
（2）解：是等边三角形，
，
又由（）得，
．
3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，的三边相等，三个内角也相等，点H，I，J分别在的三边上．
(1)如果H，I，J分别为三边的中点，那么，，全等吗？的三边相等吗？
(2)如果，，，那么，，全等吗？的三边相等吗？
(3)请你尝试提出一个更一般的问题．
【答案】(1)，的三边相等
(2)，的三边相等
(3)如果，那么，，全等吗？的三边相等吗？（答案不唯一）
【分析】（1）根据题意和中点的定义，易得，利用“”可得，同理得，从而可得，利用全等三角形的性质，可得；
（2）根据题意，易得，，，，从而，利用“”可得，同理得，从而可得，利用全等三角形的性质，可得；
（3）根据（1）和（2）可得，只需添加条件使得，即可说明，，全等，的三边相等，因此从这方面提出问题即可．
【详解】（1）解：的三边相等，三个内角也相等，
，，
H，I，J分别为三边的中点，
，，，
，
在和中，
，
，
同理可得，
，
，
的三边相等；
（2）解：的三边相等，三个内角也相等，
，，
，，，
，，，
，
在和中，
，
，
同理可得，
，
，
的三边相等．
（3）略
【典型例题二 等边三角形的判定】
【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的判定条件．
根据等边三角形的判定条件：三条边相等的三角形是等边三角形，有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，有两个角是60度的三角形是等边三角形，进行判断即可．
【详解】解：①∵等腰三角形有一个外角是，
∴与这个外角相邻的内角是，
∴这个等腰三角形是等边三角形，正确；
②等腰三角形有两个外角相等，当这两个外角是两个底角相邻的外角时，等腰三角形不是等边三角形，错误；
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，如这条高是底边的高也满足这条高是底边的中线，但是这个三角形不一定是等边三角形，错误；
④三个内角都相等的三角形是等边三角形，正确．
故选C．
【例2】（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，在中，是的中点，．若添加一个条件可以证明是等边三角形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．以上都可以
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的判定．先证明是线段的垂直平分线，推出，，再根据等边三角形的判定定理即可判断．
【详解】解：∵是的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，，
当添加时，
∴是等边三角形；
当添加时，则，
∴是等边三角形；
当添加时，则，
∴是等边三角形；
故选：D．
【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，且，则这个三角形是________三角形．
【答案】等边
【分析】根据等边对等角的性质，由可得，结合已知条件，可推出三个内角相等，进而即可得到三角形的形状．
【详解】解：在中，，
，
又，
．
∴是等边三角形．
【例4】（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求解．
【详解】解：括号内填（答案不唯一）可以使等腰成为等边三角形．
1．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，点、是边上两点，且．
(1)求证：；
(2)如果且，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形．理由见解析
【分析】（1）由得到，再由即可得到；
（2）由得到，根据等角的余角相等求得，得到，，可得到是等边三角形．
【详解】（1）证明：∵（已知），
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：是等边三角形．
理由：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，交于点，，点，分别在边上，连接．
(1)的形状是：______；
(2)若，求证：．
【答案】(1)等边三角形
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论；
（2）由是等边三角形，得出，证出，由证明，得出．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）证明：由（1）知，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴．
3．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，点C在线段上，平分，，．
(1)求证：．
(2)若，，，求的长
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用全等三角形判定即可证明；
（2）根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，推出是等边三角形，最后利用线段的和差即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
由（1）得，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【典型例题三 等边三角形的判定和性质】
【例1】（2026·广西贵港·三模）在中，，，则的形状是（ ）
A．等腰但非等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】先根据边相等的条件得到三角形为等腰三角形，再利用等边三角形的判定定理即可判断形状．
【详解】解：∵在中，，
∴是等腰三角形，
∵，
∴是等边三角形．
【例2】（25-26八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】证明出是等边三角形，得到，然后求解即可．
【详解】解：∵以点A为圆心，长为半径作弧，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
【例3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________．
【答案】/15度
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明为等边三角形，可得，可得的度数，再由等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵等腰，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【例4】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，一艘轮船从海平面上的岛出发，向南偏东方向航行100海里到达岛，再从岛向北偏东方向航行100海里到达岛，则、两岛之间的距离是___________海里．
【答案】100
【分析】先利用方向角求出，再判定是等边三角形，即可求解．
【详解】连接，
由题意可知，，，海里，
∴，
∴，
又∵海里，
∴是等边三角形，
∴海里．
1．（26-27九年级·全国·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长；
(3)求证：．
【答案】(1)证明：∵，，
，
，
，
，
是等边三角形．
(2)4
(3)证明：是等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
．
【分析】（1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论；
（2）由等边三角形三线合一可得，，再结合已知即可求解；
（3）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵是等边三角形，
，
，
，
又，
．
（3）略
2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）将两个全等的直角三角形，拼成如图1所示的图形，其中．将 沿着线段 的方向平移到图2位置，连接，．
(1)求证：；
(2)若 ，，求 平移的距离．
【答案】(1)证明：
(2)平移的距离为6
【分析】（1）利用同角的余角相等和全等三角形的性质推导，从而得证；
（2）利用三角形内角和推导，从而得到，继而证明为等边三角形，结合即可得解．
【详解】（1）略
（2），
，
，
，．
，
为等边三角形，
，
，即平移的距离为6．
3．（2026·山西阳泉·三模）阅读与思考
下面是某同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
根据已知条件作等边三角形 学习了等边三角形的有关知识后，老师提出了如下问题． 问题1：如图1，已知线段．求作：，使其为等边三角形． 小聪的作法：如图2，分别以点，为圆心，线段的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则即为所求． 理由如下： 根据作法，得． 是等边三角形．（依据） 小明的作法：如图3，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线；以点为圆心，长为半径作弧，与直线交于点，连接，，则即为所求． 理由如下： …… 问题2：如图4，为直线外一点，直线于点．求作：，使为等边三角形，且点，均在直线上． ……
任务：
(1)填空：材料中的依据是指：______
(2)请补全材料中小明的作法的理由．
(3)请在图4中画出．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)三条边都相等的三角形是等边三角形（或等边三角形的定义）
(2)根据作法，得直线是的垂直平分线，，点在直线上．
．
．
是等边三角形．
(3)如图，即为所求；（答案不唯一，合理即可）
【分析】（1）根据等边三角形的判定定理或定义求解；
（2）由作图得直线是的垂直平分线，，推出，即可证明是等边三角形；
（3）分别以点D和点H为圆心，以为半径画弧交于点M，然后以点D为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点G，P，然后分别以点G，P为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点N，连接并延长交直线l于点E，以点H为圆心，为半径画弧，交l于点F，连接即可．
【详解】（1）解：材料中的依据是指：三条边都相等的三角形是等边三角形（或等边三角形的定义）；
（2）略
（3）解：作图略；
如图，连接，
由作图得，
∴是等边三角形
∴
由作图得，平分
∴
由作图得，
∵直线
∴
又∵
∴
∴，
∴
∴是等边三角形．
【典型例题四 大（小）边对大（小）角定理】
【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中大角对大边．根据三角形中大角对大边求解．
【详解】解：在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：A．
【例2】（24-25七年级下·上海·阶段检测）对于以下两个命题，判断正确的是（ ）
①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题
【答案】C
【分析】此题考查了三角形的分类和边角的大小关系，熟练掌握三角形的相关知识是解题的关键．根据三角形中大边对大角进行解答即可．
【详解】命题①正确，因为边长顺序决定对应角的大小顺序．
命题②正确，因为最大角为锐角且其他角必然更小，三角形为锐角三角形．
故选：C
【例3】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）．
【答案】
【分析】本题考查了大（小）边对大（小）角定理．根据三角形中“大边对大角”的性质，通过比较对应边的大小关系判断角的大小关系，即可作答．
【详解】解：在中，是的对边，是的对边，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【例4】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接）
【答案】
【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键．
根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
1．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）（1）如图，在中，点D在边上．求证：．
（2）如图，在中，，点D在上，比较的大小，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的外角性质，不等式的性质等知识点．
（1）根据三角形的三边关系以及不等式的性质即可证明；
（2）根据三角形的外角性质得到，而，则，再由大角对大边即可求解．
【详解】（1）证明：在中，，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
∴．
2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）如图1，在中，已知．
如图1，通过定理“在三角形中，___________”可以证明；
如图1，若D是边的中点，连接，求证：．
（2）如图2，在中，已知，且D是内的一点，．求证：．
【答案】（1）大边对大角；证明见解析；（2）证明见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、大边对大角定理、等腰三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
（1）证明：作的角平分线，交于点，在上取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证；
延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，根据大边对大角，小边对小角定理可得，由此即可得证；
（2）在右侧作，且，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后根据大角对大边，小角对小边定理可得，由此即可得证．
【详解】证明：（1）如图1，通过定理“在三角形中，大边对大角”可以证明，定理证明如下：
如图，作的角平分线，交于点，在上取一点，使得，连接，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
由题意，画出图形如下：
延长至点，使得，连接，
∵是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴．
（2）如图，在右侧作，且，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴在中，，
∴．
3．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点．
(1)求证：：
(2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值；
(3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)2或8
(3)或
【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出=即可得出结论；
（2）先借助（1）的结论，判断出，进而分两种情况，即可得出结论；
（3）借助（2）的结论即可得出范围．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴
在和中，
∴；
（2）如图，由（1）知，，
∵为直角三角形，
①当时，
∵，
∴，
②当时，即，
∴，
即是直角三角形时，或8.
（3）∵为钝角三角形，
∴当时，，
②当时，．
即：是钝角三角形时，或．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，钝角三角形的特点，解本题的关键是判断出．
【典型例题五 最短路径问题】
【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离．
【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短，
故选：B．
【例2】（25-26八年级上·天津南开·阶段检测）如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为；
过点作于点，交于点，过点作于点，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．
【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，过点作于点，
∵平分，，，
∴，
∴，此时的值最小，
∵的面积为18，，
∴，
∴，
即的最小值为，
故选：A．
【例3】 （25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）．
【答案】②
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边式解决问题的关键．
由三角形三边关系得到，根据图形即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，
∴
路线的长度为，
路线的长度为，
故答案为：②．
【例4】 （25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________．
【答案】点处
【分析】本题主要考查了两点之间的距离，
设P，C间的路程为，再分类讨论，当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据两点之间的距离解答即可.
【详解】解：设P，C间的路程为，当点P在点C左侧时，
车站到三个村庄的路程为；
当点P在点C右侧时，
车站到三个村庄的路程为；
当点P与点C重合时，车站到三个村庄的距离是，
所以当车站建在村庄C处时，车站到三个村庄的距离之和最小.
故答案为：点C处.
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点E，过点E作垂直河岸于点F，则为所建桥的位置．
【详解】解：如图所示，即为所作．
2．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值．
【答案】10
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边关系的应用，如图，连接，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接．
∵是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，
∴，
∴，
∴的最小值即为的长，
∵，
∴的最小值为10．
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）解决问题
(1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）．
(2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求；
（2）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求．
【详解】（1）解：在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求．
（2）解：在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求．
【典型例题六 根据等边三角形的性质求长度】
【例1】（25-26八年级上·云南红河·期中）如图，是等边三角形，，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查等边三角形的性质，解题的关键是掌握相关的性质．由等边三角形的性质可得，根据，可得为的中点，即可求解．
【详解】解：是等边三角形，，，
，为的中点，
，
故选：B．
【例2】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】证明，结合，，可得．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴．
【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等边中，，垂足为点O，且，E是线段上的一个动点，连接，线段与线段关于直线对称．（1）连接，则的度数为______；（2）连接，当的长取得最小值时，的长为______．
【答案】 /60度 4
【分析】（1）根据题意得，由对称性可证得，有即可求得答案；
（2）延长至点P，使，则点F在线段上运动，当时，最短，且，即可求得答案．
【详解】解：（1）是等边三角形，且，
，
由题意知，在和中，
，
，
，
；
（2）延长至点P，使，如图，
由题意知，点F在线段上运动，
当时，最短，此时，
，
．
故答案为：，4．
【点睛】本题主要考查对称的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质，解题的关键是熟练对称性和找最短距离．
【例4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，过点B作，过点A作，垂足为D，已知的周长是24，则的长为_______．
【答案】4
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形及等边三角形的性质，难度适中，关键是掌握30度角所对的直角边为斜边的一半．
首先求出，，然后得到，然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】∵为等边三角形，的周长是24，
∴，
∵，
∴，
∵
∴．
故答案为：4．
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，已知，P是射线上一动点，．

(1)当是等边三角形时，求的长；
(2)当是直角三角形时，求的长．
【答案】(1)10；
(2)5或20．
【分析】（1）根据等边三角形的性质即可求解；
（2）分两种情况讨论：①若，则，根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求；②若，则，从而可求。
【详解】（1）当为等边三角形时，．
（2）当是直角三角形时，分两种情况讨论：
①若，则，
∴，
∴；
②若，则，
∴．
综上所述，的长为5或20．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，熟练运用相关知识是解题的关键．
2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图1，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为厘米秒．当点到达点时，、两点停止运动．设点的运动时间为（秒）．
(1)当运动时间为秒时，的长为厘米，的长为厘米．（用含的式子表示）
(2)当为何值时，是直角三角形；
(3)如图2，连接、，相交于点，则点，在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数．
【答案】(1)，
(2)当为或时，为直角三角形
(3)不会变化，
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定；
（1）根据点、的速度都为厘米秒．得到厘米，厘米，则厘米；
（2）分当时和当时，两种情况讨论求解即可；
（3）只需要证明得到，则，即不会变化．
【详解】（1）解：点、的速度都为厘米秒．
厘米，厘米，
厘米，
故答案为：，；
（2）解：由题意得：厘米，厘米，
①如图1，当时，
是等边三角形，
，
，
，得，
解得，，
②如图，当时，
，
，
，得，
解得，，
∴当为或时，为直角三角形；
（3）解：不变，理由如下：
是等边三角形，
，，
在与中，
，
，
，
，
不会变化．
3．（24-25八年级上·北京·期中）已知：等边边长为6，点D是边上一点，，点F是射线上一点，作等边，使得点E与点A在线段同侧，连接．
(1)如图1，若点F与点C重合，则线段的长为；
(2)如图2，若F在线段延长线上，
①依题意补全图形；
②探究线段与之间的数量关系，并给出证明．
(3)当线段取得最小值时，请在图3中画出点F的位置，并直接写出线段的长．
【答案】(1)2；
(2)①见解析；②，证明见解析；
(3)如图所示；．
【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.
（1）由可证，即可得到解题；
（2）①根据题目文字语言画图即可；
②由可证，可得，，得到是等边三角形，即可得到，解题即可；
（3）由（2）可知，则点在过点平行于的直线上运动，由垂线段最短可得当 时，有最小值，即可求解.
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①如图，
②， 理由如下：
在上截取， 连接， 设与交点为，
∵和是等边三角形，
∴，
，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
（3）解：由（2）可知，，
∴点在过点平行于的直线上运动，
∴当时，有最小值，如图，
，
，
，
，
．
【典型例题七 根据等边三角形的性质求角度】
【例1】（2025·广东深圳·三模）如图，是等边三角形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于点E、F．再分别以E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D．连接交于点G，度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由作图方法可知，是的垂直平分线，则根据等边三角形的性质可得．
【详解】解：由作图方法可知，是的垂直平分线，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键．
【例2】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【例3】（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，是等边三角形，，，则的度数为________．
【答案】/15度
【分析】本题主要考查等边三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据三角形内角和可进行求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【例4】（25-26八年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，三点在同一直线上，，则的度数为______．
【答案】
【分析】本题涉及等边三角形的性质以及平角的定义，通过这些性质求出的度数，再结合与的数量关系求出的度数.
【详解】是等边三角形，
共线，
，
故答案为.
【点睛】利用等边三角形的性质求出的度数，再根据平角定义求出，最后结合与的倍数关系，求出，关键是熟练运用等边三角形和平角的相关性质.
1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示，以的两边，为边向外作等边三角形和等边三角形，，相交于点．

(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)当的度数发生变化时，的度数是否变化？若不变化，请直接写出的度数；若发生变化，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)不变，
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得到，，，然后推出，证明出，即可得到；
（2）由等边三角形的性质得到，由得到，然后根据三角形外角的性质等量代换求解即可；
（3）由（2）即可得结论．
【详解】（1）解：证明：和是等边三角形，
，，
，
∴
在和中，
，
；
（2）解：是等边三角形，
；
（3）解：当的度数发生变化时，的度数不变，．
由（2）可知，的度数与的度数无关，故当的度数发生变化时，的度数不变，．
2．（25-26七年级下·四川·期中）在学习完《问题解决策略：特殊化》内容后，同学们利用特殊化研究三角形角平分线相交形成的角度度数关系．
在中，线段和是的角平分线，与相交于点P，判断与的关系．
(1)同学们首选选取等边三角形进行特殊化研究，请求出的度数；
(2)请同学们作出一个特殊三角形，并说明它的特殊性，并写出的度数；
(3)猜想与的关系，并证明与的关系．
【答案】(1)
(2)见解析，为等腰直角三角形，
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及特殊化到一般化的数学探究方法．解题的关键是利用角平分线定义表示出与，再结合三角形内角和定理推导与的关系；
（1）通过等边三角形的特殊内角计算角平分线夹角；
（2）构造等腰直角三角形验证规律；
（3）由三角形内角和定理、角平分线定义即可得到与的关系．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴．
∵、是角平分线，
∴，
∴．
在中，
．
（2）解：构造等腰直角三角形，，
则．
∵、是角平分线，
∴，
∴．
在中，．
故为等腰直角三角形时，．
（3）证明：∵、平分、，
∴，
∴．
在中，．
在中，
．
即．
3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）问题发现：如图①，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连结．填空：
（1）∠的度数为___________；
（2）线段，之间的数量关系是___________．
拓展探究：
（3）如图②，当和均为等腰直角三角形，时，点，，在同一直线上，连结，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），（2），（3），
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识熟知相关知识，证明三角形全等是解题关键．
（1）证明,得到，即可求出；
（2）根据,即可得到；
（3）证明∴，即可得到，，从而求出．
【详解】解：（1）∵和均为等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴,
∴，
∴；
（2）∵，
∴；
故答案为：
（3）∵和均为等腰直角三角形，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴．
1．（25-26八年级下·山西晋中·期中）下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形底边上的高所在的直线是底边的垂直平分线
B．两组边对应相等的两个直角三角形全等
C．如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半
D．有一个角等于的三角形是等边三角形
【答案】D
【分析】本题考查等腰三角形性质、直角三角形全等判定、含30°角的直角三角形性质和等边三角形的判定，逐一判断各选项正误即可得到答案．
【详解】解：选项A：∵等腰三角形三线合一，底边上的高平分底边，
∴等腰三角形底边上的高所在直线是底边的垂直平分线，A说法正确．
选项B：∵两组边对应相等的两个直角三角形，若为两条直角边可利用判定全等，若为斜边和一条直角边可利用判定全等，
∴B说法正确．
选项C：∵等腰三角形底角为，
∴顶角为，腰上的高在三角形外部，可得高与另一腰的延长线围成的直角三角形中，锐角为，
∵直角三角形中，角对的直角边是斜边的一半，
∴腰上的高是腰长的一半，C说法正确．
选项D：只有一个角等于的等腰三角形才是等边三角形，任意一个有一个角为的三角形不一定是等边三角形，因此D说法错误．
2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查三角形的边角关系，掌握知识点是解题的关键．
根据三角形的边角关系定理：在一个三角形中，较大的角对较大的边．
【详解】解：在中，
∵，边的对角为，边的对角为，
∴，
即 ．
故选A．
3．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，将一张等边三角形纸片沿虚线剪开，得到一个三角形和一个四边形，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质可知其三个内角均为，利用三角形内角和得出，再由邻补角求解即可．
【详解】解：原三角形纸片是等边三角形 ，
剪下的小三角形的顶角为，
设小三角形右侧的内角为，
，
与互为邻补角，
∴．
4．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．甲：，路程为．乙：，路程为．丙：，路程为．下列关系正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出．
【详解】解：设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形，
∴；
由于和是等边三角形，设的边长为m，
可得，
∴；
丙路程中，延长与，交于点I（如图），
∵，两边同加得，
∴，又
∴，又，
因此，，只有A选项正确．
5．（2025·山东临沂·二模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（ ）
A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2
【答案】B
【分析】本题涉及到距离的计算．有理数加法的实际应用，需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离．
【详解】找出所以可能路线计算：
P→B→A→C→P，距离为km；
P→B→C→A→P，距离为km
P→A→B→C→P，距离为km；
P→A→C→B→P，距离为km；
P→C→A→B→P，距离为km；
P→C→B→A→P，距离为km
通过比较这些路线的距离，是最短的．
故选：B
6．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接）
【答案】
【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键．
根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答．
【详解】解：在中，边所对的角为，边所对的角为，边所对的角为，
∵，
∴．
故答案为：．
7．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则_____．
【答案】3
【分析】由等边三角形的性质得出，，即可得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案．
【详解】解：∵为等边三角形，为的高，
∴，，
∴，
∴．
8．（2025·四川资阳·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．

【答案】，（答案不唯一）
【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形．
【详解】解：增加，理由为：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
故答案为：．
9．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点P为△ABC内一点，∠ABC=45°，点D，E分别是AB，BC上的动点，连接DP，EP，DE，BP．若BP=6，则△DEP周长的最小值为__________．
【答案】6
【解析】略
10．（25-26八年级上·云南文山·期末）如图，在四边形中将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处．若，，则的周长为__________．
【答案】18
【分析】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是解题关键．
根据折叠的性质可得是等边三角形，得到，即可求出周长．
【详解】解：由折叠的性质可知，，
，
是等边三角形，
，
的周长，
故答案为：．
11．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，点D在线段的延长线上，与都是等边三角形，请判断，，的等量关系并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由等边三角形的性质得，，，推导出，可根据“”证明，得，因为点D在线段的延长线上，所以，则．
【详解】解：，
理由：∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点D在线段的延长线上，
∴，
∴．
12．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，延长，交的延长线于点．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)等腰三角形；理由见详解
(2)
【分析】本题考查等腰三角形的判定和求三角形的周长，等边三角形的判定和性质，解题关键是利用等腰三角形两腰相等的特点进行边长转换．
（1）通过角度转化，证明来证明等腰三角形；
（2）根据和是等腰三角形的特点，可推导出，然后再中，可求得的长，从而得出的周长．
【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，，
，
，
，
，
即是等腰三角形；
（2）解：，
．
，
是等边三角形．
是等腰三角形，
，
在中，，
，
，
的周长为；
13．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，．

(1)求的长；
(2)点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，求的值．
【答案】(1)8
(2)
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质解决最短路径问题是解答的关键．
（1）证明是等边三角形即可求解；
（2）作点E关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，，则当三点共线且时，最小，即此时最小，利用等边三角形的性质得到，进而利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图所示，作点E关于的对称点，连接，

由轴对称的性质可得，，
∴，
∴当三点共线且时，最小，即此时最小，
∵，
∴三点共线，
∵在等边三角形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．（2025·山东泰安·一模）已知，为等边三角形，点D在边上．
(1)【基本图形】如图1，以为一边作等边，连接．可得．
(2)【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角形．求证：．
(3)【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
（1）根据等边三角形的性质证明，即可求解；
（2）过点D作，交于点G，可证为等边三角形，再证明，即可求解；
（3）过点D作，交于点G，可证为等边三角形，再证明，即可求解．
【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：如图2，过点D作，交于点G，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，即，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，
理由如下：如图3，过点D作，交于点G，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，即，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
15．（24-25八年级上·江西宜春·期末）综合与实践：
我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？
【观察猜想】
（1）在中，，猜想与的大小关系；
【操作证明】
（2）如图1，某同学发现在中，若，可将折叠，使边落在上，点C落在边上的点，折线交于点D，连接
，发现， ，请用上述思路证明（1）中猜想的结论；
【操作发现】同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角；大角对大边”．发现存在图1中的四边形，满足，．查阅资料，如图2有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．
【拓展应用】
（3）资料显示，“筝形”仪器可用于检测门框是否水平．如图3，“筝形”仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤．某同学将仪器上的点E、C紧贴门框上方，观察若线绳恰好经过点D，则可判断门框是水平的．请说明此同学做法的理由；
（4）如图4，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，当是等腰三角形时，的度数为　　　（直接写出答案）．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）或或
【分析】（1）由图形可猜想；
（2）利用三角形的外角的性质，即可得出结论；
（3）由等腰三角形的性质可求解；
（4）分情况讨论：当时，由折叠性质即可求解；当时，当时，同理可得答案．
【详解】解：（1）猜想：；
（2）证明：由折叠可得：，，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：∵，，
∴垂直平分，
∴；
∵为铅锤线，
∴是水平的，即门框是水平的；
（4）当时，连接,如图2，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
当时，同理可得；
当时，同理可得，
综上：的度数为或或．
故答案为：或或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌以上知识．
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第11讲 等边三角形（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 等边三角形的性质
典型例题二 等边三角形的判定
典型例题三 等边三角形的判定和性质
典型例题四 大（小）边对大（小）角定理
典型例题五 最短路径问题
典型例题六 根据等边三角形的性质求长度
典型例题七 根据等边三角形的性质求角度
知识点01 等边三角形的概念与性质
1.等边三角形概念
三条边都相等的三角形叫做等边三角形；也称为正三角形。
注意：
等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
（2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
2.等边三角形的性质
（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.
（2）三个角都是60°
【即时训练】
1．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在等边三角形中，于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·河南郑州·阶段检测）若等边的周长为，则_______．
知识点02 等边三角形的判定
1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形．
2.三个角都相等的三角形是等边三角形．
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【即时训练】
1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）下列条件不能判断是等边三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上___________填上一个适当的条件．
【典型例题一 等边三角形的性质】
【例1】（25-26七年级下·山西运城·阶段检测）边长为4的等边三角形的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【例2】（25-26八年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______．
【例4】（25-26八年级上·青海海东·期中）如图，将一个等边三角形沿向右平移后得到，若，则两个三角形重叠部分的周长为__________．
1．（2026·福建·模拟预测）如图，是等边三角形，，，．求证：．
2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，已知和都是等边三角形（三条边都相等，三个角都是的三角形），且点在的延长线上，连接与相交于点．
(1)求证：；
(2)求．
3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，的三边相等，三个内角也相等，点H，I，J分别在的三边上．
(1)如果H，I，J分别为三边的中点，那么，，全等吗？的三边相等吗？
(2)如果，，，那么，，全等吗？的三边相等吗？
(3)请你尝试提出一个更一般的问题．
【典型例题二 等边三角形的判定】
【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列结论中：①有一个外角是的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个内角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级上·河南鹤壁·期末）如图所示，在中，是的中点，．若添加一个条件可以证明是等边三角形，则这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．以上都可以
【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）在中，，且，则这个三角形是________三角形．
【例4】（25-26八年级下·山东枣庄·阶段检测）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形．
1．（25-26七年级下·上海·阶段检测）如图，在中，点、是边上两点，且．
(1)求证：；
(2)如果且，试判断的形状，并说明理由．
2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，交于点，，点，分别在边上，连接．
(1)的形状是：______；
(2)若，求证：．
3．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，点C在线段上，平分，，．
(1)求证：．
(2)若，，，求的长
【典型例题三 等边三角形的判定和性质】
【例1】（2026·广西贵港·三模）在中，，，则的形状是（ ）
A．等腰但非等边三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【例2】（25-26八年级上·广西玉林·期中）如图，在中，，，，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点E，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【例3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________．
【例4】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，一艘轮船从海平面上的岛出发，向南偏东方向航行100海里到达岛，再从岛向北偏东方向航行100海里到达岛，则、两岛之间的距离是___________海里．
1．（26-27九年级·全国·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交于点．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长；
(3)求证：．
2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）将两个全等的直角三角形，拼成如图1所示的图形，其中．将 沿着线段 的方向平移到图2位置，连接，．
(1)求证：；
(2)若 ，，求 平移的距离．
3．（2026·山西阳泉·三模）阅读与思考
下面是某同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
根据已知条件作等边三角形 学习了等边三角形的有关知识后，老师提出了如下问题． 问题1：如图1，已知线段．求作：，使其为等边三角形． 小聪的作法：如图2，分别以点，为圆心，线段的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则即为所求． 理由如下： 根据作法，得． 是等边三角形．（依据） 小明的作法：如图3，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线；以点为圆心，长为半径作弧，与直线交于点，连接，，则即为所求． 理由如下： …… 问题2：如图4，为直线外一点，直线于点．求作：，使为等边三角形，且点，均在直线上． ……
任务：
(1)填空：材料中的依据是指：______
(2)请补全材料中小明的作法的理由．
(3)请在图4中画出．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【典型例题四 大（小）边对大（小）角定理】
【例1】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（24-25七年级下·上海·阶段检测）对于以下两个命题，判断正确的是（ ）
①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题
【例3】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）在中，已知，那么 _______（填“＞”、“＜”或“=”）．
【例4】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接）
1．（25-26八年级上·江苏·阶段检测）（1）如图，在中，点D在边上．求证：．
（2）如图，在中，，点D在上，比较的大小，并说明理由．
2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）如图1，在中，已知．
如图1，通过定理“在三角形中，___________”可以证明；
如图1，若D是边的中点，连接，求证：．
（2）如图2，在中，已知，且D是内的一点，．求证：．
3．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点．
(1)求证：：
(2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值；
(3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围．
【典型例题五 最短路径问题】
【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（25-26八年级上·天津南开·阶段检测）如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
【例3】 （25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）．
【例4】 （25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________．
1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出．
2．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值．
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）解决问题
(1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）．
(2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置．
【典型例题六 根据等边三角形的性质求长度】
【例1】（25-26八年级上·云南红河·期中）如图，是等边三角形，，，那么的长为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，是等边三角形，点D在边上，过点D作于点E．若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【例3】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等边中，，垂足为点O，且，E是线段上的一个动点，连接，线段与线段关于直线对称．（1）连接，则的度数为______；（2）连接，当的长取得最小值时，的长为______．
【例4】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，过点B作，过点A作，垂足为D，已知的周长是24，则的长为_______．
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图所示，已知，P是射线上一动点，．

(1)当是等边三角形时，求的长；
(2)当是直角三角形时，求的长．
2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图1，是边长为的等边三角形，点，分别从顶点，同时出发，沿线段，运动，且它们的速度都为厘米秒．当点到达点时，、两点停止运动．设点的运动时间为（秒）．
(1)当运动时间为秒时，的长为厘米，的长为厘米．（用含的式子表示）
(2)当为何值时，是直角三角形；
(3)如图2，连接、，相交于点，则点，在运动的过程中，会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数．
3．（24-25八年级上·北京·期中）已知：等边边长为6，点D是边上一点，，点F是射线上一点，作等边，使得点E与点A在线段同侧，连接．
(1)如图1，若点F与点C重合，则线段的长为；
(2)如图2，若F在线段延长线上，
①依题意补全图形；
②探究线段与之间的数量关系，并给出证明．
(3)当线段取得最小值时，请在图3中画出点F的位置，并直接写出线段的长．
【典型例题七 根据等边三角形的性质求角度】
【例1】（2025·广东深圳·三模）如图，是等边三角形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于点E、F．再分别以E、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D．连接交于点G，度数为（ ）

A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·湖北宜昌·期中）如图，是等边三角形，，，则的度数为________．
【例4】（25-26八年级上·全国·期中）如图，是等边三角形，三点在同一直线上，，则的度数为______．
1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示，以的两边，为边向外作等边三角形和等边三角形，，相交于点．

(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)当的度数发生变化时，的度数是否变化？若不变化，请直接写出的度数；若发生变化，请说明理由．
2．（25-26七年级下·四川·期中）在学习完《问题解决策略：特殊化》内容后，同学们利用特殊化研究三角形角平分线相交形成的角度度数关系．
在中，线段和是的角平分线，与相交于点P，判断与的关系．
(1)同学们首选选取等边三角形进行特殊化研究，请求出的度数；
(2)请同学们作出一个特殊三角形，并说明它的特殊性，并写出的度数；
(3)猜想与的关系，并证明与的关系．
3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）问题发现：如图①，和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连结．填空：
（1）∠的度数为___________；
（2）线段，之间的数量关系是___________．
拓展探究：
（3）如图②，当和均为等腰直角三角形，时，点，，在同一直线上，连结，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由．
1．（25-26八年级下·山西晋中·期中）下列说法错误的是（ ）
A．等腰三角形底边上的高所在的直线是底边的垂直平分线
B．两组边对应相等的两个直角三角形全等
C．如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半
D．有一个角等于的三角形是等边三角形
2．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）在中，若，则边与的数量关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，将一张等边三角形纸片沿虚线剪开，得到一个三角形和一个四边形，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地．甲：，路程为．乙：，路程为．丙：，路程为．下列关系正确的是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2025·山东临沂·二模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（ ）
A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2
6．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）在中，已知，那么，，的大小关系是_______（用“<”号连接）
7．（25-26八年级下·四川达州·阶段检测）已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则_____．
8．（2025·四川资阳·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是______．

9．（2025九年级·全国·专题练习）如图，点P为△ABC内一点，∠ABC=45°，点D，E分别是AB，BC上的动点，连接DP，EP，DE，BP．若BP=6，则△DEP周长的最小值为__________．
10．（25-26八年级上·云南文山·期末）如图，在四边形中将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处．若，，则的周长为__________．
11．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，点D在线段的延长线上，与都是等边三角形，请判断，，的等量关系并说明理由．
12．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，点是上一点，过点作交于点，延长，交的延长线于点．
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)若，，求的周长．
13．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，．

(1)求的长；
(2)点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，求的值．
14．（2025·山东泰安·一模）已知，为等边三角形，点D在边上．
(1)【基本图形】如图1，以为一边作等边，连接．可得．
(2)【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角形．求证：．
(3)【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
15．（24-25八年级上·江西宜春·期末）综合与实践：
我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？
【观察猜想】
（1）在中，，猜想与的大小关系；
【操作证明】
（2）如图1，某同学发现在中，若，可将折叠，使边落在上，点C落在边上的点，折线交于点D，连接
，发现， ，请用上述思路证明（1）中猜想的结论；
【操作发现】同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角；大角对大边”．发现存在图1中的四边形，满足，．查阅资料，如图2有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．
【拓展应用】
（3）资料显示，“筝形”仪器可用于检测门框是否水平．如图3，“筝形”仪器上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤．某同学将仪器上的点E、C紧贴门框上方，观察若线绳恰好经过点D，则可判断门框是水平的．请说明此同学做法的理由；
（4）如图4，是锐角的高，将沿边翻折后得到，将沿边翻折后得到，延长，交于点G．若，当是等腰三角形时，的度数为　　　（直接写出答案）．
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