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第01讲 三角形的概念（2大知识点+4大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 三角形的识别与有关概念
典型例题二 三角形的个数问题
典型例题三 三角形分类判断
典型例题四 等腰三角形的定义
知识点01 三角形的概念
1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角.
3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，下列图形中是三角形的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25八年级下·全国·课前预习）由不在同一直线上的三条线段_______________所组成的图形叫做三角形．
如图，线段_______ 、______、______是三角形的边．三角形的边有时也用小写字母abc来表示，a＝________、b＝________、c＝________，点A、点B、点C是三角形的_______，________、______、________是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角．图中三角形记作_______．
知识点02 三角形的分类
1.按边分类：
剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形；
②三边都相等的三角形叫作等边三角形；
③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形；
④可以用画图的方式表示（如右图）
【即时训练】
1．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，一个三角形纸片被一块长方形木板遮挡了一部分，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，以为边的三角形是__，以为一个内角的三角形是___，的三个内角是___．
【典型例题一 三角形的识别与有关概念】
【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下列说法错误的是（ ）
A．DF是的边 B．是的内角
C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个
【例3】（25-26七年级下·上海·阶段检测）在中，若，则，其依据是___________．
【例4】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________．
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
2．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知，，若，则△ABD的面积为_________．
3．（24-25八年级上·全国·暑假作业）如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积．
4．（24-25八年级上·四川广安·期末）如图，已知四点．
(1)画直线，射线，线段，；（不需写作图过程）
(2)求作点，使的值最小；（不需写作图过程）
(3)在（）的条件下，若，，，则______．
【典型例题二 三角形的个数问题】
【例1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）图中共有（ ）个三角形
A．2 B．4 C．6 D．8
【例2】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图中三角形的个数是（　　）
A．4 B．6 C．9 D．5
【例3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图：三角形有____________个．
【例4】（25-26八年级上·广东阳江·阶段检测）如图，图中包含的直角三角形的个数是_______．
1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（ ）个直角三角形．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有_______个三角形．（写出所有可能的值）
3．（24-25八年级上·全国·单元测试）（1）如图1，D1是△ABC的边AB上的一点，则图中有哪几个三角形？
（2）如图2，D1，D2是△ABC的边AB上的两点，则图中有哪几个三角形？
（3）如图3，D1，D2，…，D10是△ABC的边AB上的10个点，则图中共有多少个三角形？
4．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）．
【问题解决】
（1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____；
【问题探究】
（2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形；
【拓展延伸】
（3）直接写出y，m，n之间的关系：_____．
【典型例题三 三角形分类判断】
【例1】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）若为的三边长，且，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（ ）
A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形
C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形
【例3】（25-26八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______．
【例4】（24-25七年级下·四川成都·期中）等腰三角形的一个底角是，它的顶角是_______；按角分，它是_______三角形．
1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形
B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形
C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形
D．以上说法都不对
2．（2025·山东东营·模拟预测）一个三角形的三个内角的度数比是，其中最大的一个角是( )度，按角分，这是一个( )三角形，按边分，这是一个( )三角形．
3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．

(1)按边分类：
三边均不相等的______是不等边三角形；
两条边相等的______是等腰三角形；
三条边相等的______是等边三角形．
(2)按角分类：
都是锐角的______是锐角三角形；
有直角的______是直角三角形；
有钝角的______是钝角三角形．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形．
(1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称；
(2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形．
【典型例题四 等腰三角形的定义】
【例1】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（ ）
A． B． C． D．或
【例2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．15
【例3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）的三边为，且满足关系，则是___________三角形．
【例4】（25-26七年级下·新疆阿克苏·期中）如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______．
1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 在中，． 若某个三角形与能拼成一个等腰三角形 （无重叠），则拼成的等腰三角形有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
2．（24-25八年级·江苏·暑假作业）如图，已知直线垂直于直线，点A在直线上，且，点B在直线上，在直线或直线上找一点C（与A、B不重合），使成为一个等腰三角形，这样的点C能找到 __个．

3．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段检测）若等腰三角形一腰上的中线分周长为和两部分，请你画出示意图，并结合图形，求这个等腰三角形的各边长
4．（24-25八年级上·广东东莞·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
(2)能围成有一边的长是的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
1．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·全国·课后作业）线段上有3个点，，，直线外有一点A，把A和B，，，，C连接起来，可以得到的三角形个数为（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．20个
5．（25-26八年级上·重庆·期中）如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是等腰三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均不对 D．甲、乙均对
6．（24-25八年级上·河南许昌·阶段检测）如图所示，在中，于点D．E为上一点，且，，若，，则__________．
7．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）如图，点D在内，写出图中所有三角形：________________________；
（2）如图，线段是____________和____________的边；
（3）如图，的3个内角是____________，三条边是____________．

8．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如果依次用分别表示图3中（1）、（2）、（3）、（4）内三角形的个数，那么，________．

9．（24-25八年级上·湖南永州·阶段检测）如图，在长方形中，，点E，F在边上（不与点A，D重合），点G在边上（不与点B，C重合），若图中直角三角形有m个，钝角三角形有n个，则的值为( )

10．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，将大小不等的两个等腰直角三角形用两种方法摆放，其中，，则图中阴影部分的面积为_____．
11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若一个等腰三角形的周长是，腰长是，求另外两边的长．
12．（25-26七年级下·全国·课后作业）请举出现实生活中有关三角形的实例．
13．（24-25八年级上·全国·课后作业）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．
14．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接．
(1)写出的三个内角；
(2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________．
(3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？
15．（24-25八年级上·全国·课后作业）阅读材料：
文字描述 图形展示
如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰，的距离分别为，，可得结论．
证明；连接，，，， 又， ， ∵， ，
结论：等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离和等于一腰的高
【解决问题】
如图，在等腰中，，其一腰上的高为，且在延长线上，到腰，的距离分别为，．，，之间有什么样的结论？依据所画图形，证明你的结论．

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第01讲 三角形的概念（2大知识点+4大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 三角形的识别与有关概念
典型例题二 三角形的个数问题
典型例题三 三角形分类判断
典型例题四 等腰三角形的定义
知识点01 三角形的概念
1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
2.基本元素：组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角，例如，在图中，线段AB，BC，CA是三角形的边;点A，B，C是三角形的顶点；∠A，∠B，∠C是三角形的角.
3.表示：顶点是A，B，C的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，△ABC的三边有时也用a，b，c来表示：如图，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，下列图形中是三角形的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据三角形的定义，即可求解．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形是三角形．
【详解】解：依题意，只有（1）是三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的定义，熟练掌握三角形的定义是解题的关键．
2．（24-25八年级下·全国·课前预习）由不在同一直线上的三条线段_______________所组成的图形叫做三角形．
如图，线段_______ 、______、______是三角形的边．三角形的边有时也用小写字母abc来表示，a＝________、b＝________、c＝________，点A、点B、点C是三角形的_______，________、______、________是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角．图中三角形记作_______．
【答案】 首尾顺次连结 AB BC AC BC AC AB 顶点 ∠A ∠B ∠C △ABC
【解析】略
知识点02 三角形的分类
1.按边分类：
剖析：①有两边相等的三角形叫作等腰三角形；
②三边都相等的三角形叫作等边三角形；
③等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形；
④可以用画图的方式表示（如右图）
【即时训练】
1．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，一个三角形纸片被一块长方形木板遮挡了一部分，则该三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均有可能
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的知识，由图可知三角形的一个内角是锐角，另外两个角中有可能都是锐角，也有可能含有一个钝角，或含有一个直角， 接下来根据三角形的分类，确定对应的形状，从而确定结果，明确三角形的分类是解题的关键．
【详解】解：当三角形的一个内角是锐角时，另外两个内角有可能都是锐角，则是锐角三角形；
另外两个内角有可能是一个锐角，一个直角，则是直角三角形；
另外两个内角有可能是一个钝角，一个锐角，则是钝角三角形；
∴该三角形可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，
故选：．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，以为边的三角形是__，以为一个内角的三角形是___，的三个内角是___．
【答案】 ，， ，， ，，
【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角，分别分析填空即可．
【详解】以为边的三角形是：，，；
以为一个内角的三角形是：，，；
的三个内角是：，，．
故答案为：，，；，，；，，．
【点睛】此题主要考查了三角形中的重要元素，关键是正确理解三角形、三角形的边，三角形的内角的定义．
【典型例题一 三角形的识别与有关概念】
【例1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可．
【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形，
故选：C．
【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下列说法错误的是（ ）
A．DF是的边 B．是的内角
C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个
【答案】D
【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答．
根据三角形的内角和边判断即可．
【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意；
B、是的内角，说法正确，不符合题意；
C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意；
D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意；
故选：D．
【例3】（25-26七年级下·上海·阶段检测）在中，若，则，其依据是___________．
【答案】
在同一个三角形中，大角对大边
【详解】解：在中，边所对的内角为，边所对的内角为，由可推出，其依据是三角形的边角基本性质，即在同一个三角形中，大角对大边，
故答案为：在同一个三角形中，大角对大边．
【例4】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，中，与的夹角是____________，，的公共边是____________．
【答案】
【分析】本题主要考查三角形的基本构成，掌握角、边的表示是关键，根据图示，写出角、边即可．
【详解】解：与的夹角是，
，的公共边是，
故答案为：①，②．
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．6对
【答案】B
【详解】解：以BC为公共边的“共边三角形”有：△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC三对．
故选：B．
2．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知，，若，则△ABD的面积为_________．
【答案】4
【分析】由三角形面积公式，当高一样时，面积比=底边比，由，解得，，由解得，据此解答．
【详解】解：，
故答案为：4．
【点睛】本题考查三角形面积公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
3．（24-25八年级上·全国·暑假作业）如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积．
【答案】20
【分析】本题考查了构造等腰直角三角形求不规则图形的面积，先把图形补全成为等腰直角三角形，求解即可，补充图形是解题的关键．
【详解】解：延长交于点E
∵A是，角D是，
∴角E是，如图所示：
，
∴是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，
则四边形的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，
即，
答：四边形的面积20．
4．（24-25八年级上·四川广安·期末）如图，已知四点．
(1)画直线，射线，线段，；（不需写作图过程）
(2)求作点，使的值最小；（不需写作图过程）
(3)在（）的条件下，若，，，则______．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)
【分析】（）根据直线、射线、线段和角的定义画出图形即可；
（）根据两点之间，线段最短，可知点为的交点时的值最小，即可求解；
（）由三角形的面积公式可得，即得，进而即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，直线、射线、线段、即为所求；
（2）解：如图所示，点即为所求；
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【典型例题二 三角形的个数问题】
【例1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）图中共有（ ）个三角形
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【详解】解：如图，
三角形有，一共有6个．
【例2】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图中三角形的个数是（　　）
A．4 B．6 C．9 D．5
【答案】D
【分析】本题考查三角形的概念．三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形；观察所给图形，先数出单个的三角形，再数出组成的三角形，然后求和可得答案．
【详解】解：图中的单个三角形有，，，共3个，
由2个三角形组成的三角形有，共1个，
由3个三角形组成的三角形有，共1个，
所以共有（个）三角形．
故选：D．
【例3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图：三角形有____________个．
【答案】15
【分析】本题主要考查三角形的计数，涉及对图形的观察、分类归纳能力，以及对“由不同数量小三角形组成的三角形”的识别，解题的关键点在于分类计数，易错点在于重复计数，分类混乱，遗漏计数；或者掌握利用“底边线段数”计数的方法也可以；方法一：由一个小三角形组成的有个；由两个小三角形组成的有个；由三个小三角形组成的有个；由四三角形组成的有个；最有还有个最大的三角形，加上总和即可．方法二：利用“底边线段数”计数，对于这种顶点固定、底边被分成若干段的三角形计数问题，先观察底边的分段，再计算底边的线段总数，线段总数的计算公式为：（其中是基本线段的数量），每一条底边的线段（无论是短的还是长的）都与顶点形成一个唯一的三角形，按公式计算即可．
【详解】底边线段分段数：5
三角形个数：（个）
故三角形有个．
【例4】（25-26八年级上·广东阳江·阶段检测）如图，图中包含的直角三角形的个数是_______．
【答案】5
【分析】本题主要考查了直角三角形的定义，有一个内角度数为90度的三角形是直角三角形，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，直角三角形有，共5个，
故答案为：5．
1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（ ）个直角三角形．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数．
【详解】解：，
是直角三角形，
是延长线上一点，
，
是直角三角形，
，
，
和都是直角三角形，
综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个．
2．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，图①中有个三角形，在图①中的三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与三角形的个顶点得到图②，图②中共有4个三角形．若在图②中的一个小三角形内部（不含边界）取一点，连接该点与该小三角形的个顶点得到图③．在虚线框中画出图③，图③中共有_______个三角形．（写出所有可能的值）
【答案】或
【分析】本题考查了画三角形，根据题意画出图形即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：如图所示，共有两种情况：
由图可知，图③中共有或个三角形，
故答案为：或．
3．（24-25八年级上·全国·单元测试）（1）如图1，D1是△ABC的边AB上的一点，则图中有哪几个三角形？
（2）如图2，D1，D2是△ABC的边AB上的两点，则图中有哪几个三角形？
（3）如图3，D1，D2，…，D10是△ABC的边AB上的10个点，则图中共有多少个三角形？
【答案】（1）3；（2）6；（3）66．
【分析】（1）根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可；
（2）根据三角形的定义结合图形进行分析即可得；
（3）根据直线AB上有几条线段就有几个三角形，由线段的计数方法进行计算即可得答案.
【详解】（1）图中三角形有：△ABC、△AD1C、△AD1B共3个；
（2）图中三角形有：△ACD1、△ACD2、△ABC、△D1CD2、△D1CB、△D2CB共6个；
（3）∵直线AB上有12个点，
∴直线AB上的线段共有：=66（条），即图中共有66个三角形．
【点睛】本题考查了三角形，规律题，关键在数三角形个数时要做到不重不漏.
4．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小星想通过多边形分割三角形的活动探究多边形的边数、多边形内点的个数以及分割三角形的个数之间的关系，于是他做了如下操作：在一个n边形内部取m个点，连同n边形的n个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到n边形内所有区域都变成三角形．设分得三角形的个数为y（不计被分割的三角形）．
【问题解决】
（1）如图①，当，时，_____；如图②，当，时，_____；
【问题探究】
（2）当时，直接写出n，m的值，并画出图形；
【拓展延伸】
（3）直接写出y，m，n之间的关系：_____．
【答案】（1）3，6；（2），，图见详解；（3）
【分析】本题主要考查了图形规律探索，利用数形结合正确找出三角形的个数与n边形内点的个数关系是解题的关键．
（1）根据三角形内有1个点时，三角形个数为3；四边形内有2个点时，三角形个数为6；
（2）根据四边形内有2个点时，三角形个数为6；四边形内有1个点时，三角形个数为4；得出三角形个数为5时，多边形是三角形，三角形内的点数大于1，验证即可；
（3）由（1）（2）中的规律可得n边形的规律．
【详解】解：（1）如图①，三角形内有1个点时，三角形个数为3，
即当，时，；
如图②，四边形内有2个点时，三角形个数为6，
即当，时，；
故答案为：3；6；
（2）当，时，；当，时，；
故当时，，
当，时，如图，；
综上，，；
（3）根据（1）（2）可知当，时，；
当，时，；
当，时，；
，
当，时，；
当，时，；
综上，．
【典型例题三 三角形分类判断】
【例1】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）若为的三边长，且，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】A
【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型.
【详解】解：∵，
∴或，
即或，
∴至少有两条边相等，
∴一定是等腰三角形.
【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（ ）
A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形
C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形
【答案】D
【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的定义，解题的关键是掌握相关概念．
根据等边三角形，等腰三角形的定义可逐项判定求解．
【详解】解：A、①，故①是不等边三角形，分类正确，不符合题意；
B、②，故②是等腰三角形，分类正确，不符合题意；
C、③，故③是等边三角形，分类正确，不符合题意；
D、②是等腰三角形，③是等边三角形，分类错误，符合题意；
故选：D．
【例3】（25-26八年级上·浙江舟山·期末）三角形可以按内角的大小如下分类：图中“？”处是_______．
【答案】直角三角形
【分析】本题考查的知识点是三角形的分类，解题关键是熟练掌握三角形的分类．
根据三角形的分类进行解答即可．
【详解】解：按三角形内角的大小把三角形分为三类：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，
则图中“？”处是：直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【例4】（24-25七年级下·四川成都·期中）等腰三角形的一个底角是，它的顶角是_______；按角分，它是_______三角形．
【答案】 /100度 钝角
【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形分类，三角形内角和．根据三角形内角和以及等腰三角形性质求出顶角，再判断三角形种类即可．
【详解】解：，
它的顶角是；按角来分，这是一个钝角三角形．
故答案为：；钝角．
1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形
B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形
C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形
D．以上说法都不对
【答案】D
【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可．
【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形；
当点C运动至时，，是直角三角形；
点C继续向右运动，由小变大，
当时，是锐角三角形；
当时，是直角三角形；
当时，是钝角三角形；
因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形，
故选D．
2．（2025·山东东营·模拟预测）一个三角形的三个内角的度数比是，其中最大的一个角是( )度，按角分，这是一个( )三角形，按边分，这是一个( )三角形．
【答案】 直角 等腰
【分析】本题主要考查了比的应用，三角形内角和定理，三角形的分类，理解题意，正确进行计算是解题的关键．
根据三角形的内角度数和是，三角形的最大的角的度数占内角和度数和的，再根据一个数乘分数的意义，求出最大角，进而判断即可．
【详解】解：，
最大的角为：，
其余两个角都是，
这是一个直角三角形，
按边分，这是一个等腰三角形，
故答案为：；直角；等腰
3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置．

(1)按边分类：
三边均不相等的______是不等边三角形；
两条边相等的______是等腰三角形；
三条边相等的______是等边三角形．
(2)按角分类：
都是锐角的______是锐角三角形；
有直角的______是直角三角形；
有钝角的______是钝角三角形．
【答案】(1)，，
(2)，，
【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形．
（1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案；
（2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案．
【详解】（1）解：按边分类，由图可知：
三边均不相等的是不等边三角形，
两条边相等的是等腰三角形，
三条边相等的是等边三角形，
故答案为：，，；
（2）解：按角分类，由图可知：
都是锐角的是锐角三角形，
有直角的是直角三角形，
有钝角的是钝角三角形，
故答案为：，，．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形．
(1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称；
(2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形．
【答案】(1)3个，见解析；各三角形的名称分别为
(2)是等腰三角形，是钝角三角形
【分析】本题考查本题考查了三角形的定义，网格结构的知识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据网格结构作出图形并回答问题；
（2）根据等腰三角形的定义和钝角三角形的定义分别作答．
【详解】（1）解：以为边的三角形能画3个，如图所示，
即为所求；
（2）解：是等腰三角形，是钝角三角形．
【典型例题四 等腰三角形的定义】
【例1】（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的定义，根据等腰三角形两腰相等，已知腰长5cm，底边6cm，周长即为两腰与底边之和，进行求解即可．
【详解】解：∵等腰三角形腰长为，底边为，
∴周长．
故选A．
【例2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．15
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段的和差计算与圆的半径性质，熟练掌握“同圆的半径相等”是解题的关键．先根据线段和差求出的长度，再利用已知条件得到、的长度，最后计算的周长．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵以点为圆心、为半径作弧交延长线于点，
∴，
∴的周长，
故选：．
【例3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）的三边为，且满足关系，则是___________三角形．
【答案】
等腰
【分析】题目主要考查乘法的性质，等腰三角形的定义，熟练掌握是解题关键．
根据乘积为零的性质，至少有一个因子为零，从而得到至少有两边相等，因此三角形为等腰三角形．
【详解】解：∵，
∴或或，即或或，
∴至少有两边相等，是等腰三角形，
故答案为：等腰．
【例4】（25-26七年级下·新疆阿克苏·期中）如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______．
【答案】/度
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再由平行的性质可得，由此求解即可．
【详解】解：∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴ ．
1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 在中，． 若某个三角形与能拼成一个等腰三角形 （无重叠），则拼成的等腰三角形有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．7种
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
分以为腰，为腰两种情况求解即可．
【详解】解：分以为腰，为腰两种情况；如图，
∴拼成的等腰三角形有5种，
故选：B．
2．（24-25八年级·江苏·暑假作业）如图，已知直线垂直于直线，点A在直线上，且，点B在直线上，在直线或直线上找一点C（与A、B不重合），使成为一个等腰三角形，这样的点C能找到 __个．

【答案】6
【分析】
分两种情况讨论，当是底边时，当是腰时，即可求解．
【详解】
解：

（1）当是底边时，作的垂直平分线，分别与，线段的延长线相交，共两个交点，都符合题意；
（2）当是腰时①以A圆心长为半径画圆交直线于两点，交线段延长线于一点（该点与前面的点重合），有两个交点符合题意；
②以B圆心长为半径画圆交直线于两点（有一个点与前面的点重合），交线段延长线于一点，有两个交点符合题意，
因此这样的点C能找到6个，使成为等腰三角形．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查等腰三角形，关键是分两种情况讨论，并注意有重合的点．
3．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段检测）若等腰三角形一腰上的中线分周长为和两部分，请你画出示意图，并结合图形，求这个等腰三角形的各边长
【答案】这个等腰三角形的底为9或5，这个等腰三角形的腰为6或8
【分析】由题意得，腰上的中线把等腰三角形分成9和12两部分，则要分一腰的一半与另一腰的和为9或12两种情况进行分析即可．
【详解】解：如图，①当时，
是边的中线，
，
，，
；
②当时，则，
；
，
答：这个等腰三角形的底为9或5，这个等腰三角形的腰为6或8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及二元一次方程组的应用；解题时主要利用了分情况讨论的思想及列二元一次方程组求解，也是正确解答本题的关键．
4．（24-25八年级上·广东东莞·期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．
(2)能围成有一边的长是的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)能围成有一边长的长是的等腰三角形．它的另外两条边长是和，或和
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用三角形三边关系进行验证．
（1）设底边长为，则腰长为，由条件列出方程，求解即可；
（2）分底边长为和腰长为两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：设底边长为，则腰长为，
．
解得．
∴它的三边分别为，，．(能构成三角形)
（2）解：能围成有一边长的长是的等腰三角形．理由如下：
①如果长的边为底边，设腰长为，则
．
解得．
∵，
∴此时能构成三角形；
②如果长的边为腰，则另两边长为和．
∵，符
∴此时能构成三角形，
综上所述，能围成有一边长的长是的等腰三角形．它的另外两条边长是和，或和．
1．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在中，边的对角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角形定义，熟记三角形对边对角定义是解决问题的关键．
根据三角形中边的对角定义，一条边的对角是与该边不相邻的角．
【详解】解：如图所示：
∴边的对角是，
故选：D．
2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）下面是用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的定义：平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所组成的封闭图形，即可进行解答．
【详解】
解：符合三角形概念的是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握：平面上不共线的三点及其每两点连接的线段所组成的封闭图形是三角形，这三点称为三角形的顶点；三条线段称为三角形的边．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）用A表示等边三角形，B表示等腰三角形，C表示三边都不相等的三角形．下列四个分类图中，能正确表示它们之间关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系.
三条边均不相等的三角形是不等边三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；根据概念就可找到它们之间的关系.
【详解】解：根据各类三角形的概念可知，B可以表示它们彼此之间的包含关系.
故选：B ．
4．（24-25八年级上·全国·课后作业）线段上有3个点，，，直线外有一点A，把A和B，，，，C连接起来，可以得到的三角形个数为（ ）
A．8个 B．10个 C．12个 D．20个
【答案】B
【分析】根据题意可得，点A和其他任意两个点连接，可得到三角形，点B，，，，C中的每一个点可与4个点组合，再除以2（去掉重复的）即可．
【详解】解：根据题意得：
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握不在同一直线上的三个点的连线围成的图形是三角形．
5．（25-26八年级上·重庆·期中）如图表示三角形的分类，关于P、Q区域有甲、乙两种说法：甲：P是等腰三角形；乙：Q是等边三角形，则对于这两种说法，正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均不对 D．甲、乙均对
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的分类，等腰三角形的定义．
根据等边三角形或等腰直角三角形是特殊的等腰三角形作答即可．
【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形），
∴P是等腰三角形；Q是等边三角形或等腰直角三角形，
∴只有甲说法正确，
故选：A．
6．（24-25八年级上·河南许昌·阶段检测）如图所示，在中，于点D．E为上一点，且，，若，，则__________．
【答案】1
【分析】本题考查了三角形，根据及即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：，
,
,
，
故答案为：1．
7．（24-25八年级上·全国·课后作业）（1）如图，点D在内，写出图中所有三角形：________________________；
（2）如图，线段是____________和____________的边；
（3）如图，的3个内角是____________，三条边是____________．

【答案】（1），，，；（2）；；（3），，；，，
【分析】根据三角形的定义，三角形的边与内角，进行作答即可
【详解】（1）解：由题意知，图中所有三角形为，，，，，
故答案为： ，，，；
（2）解：由题意知，线段是和的边，
故答案为：，；
（3）解：由题意知，的3个内角是，，；
三条边是，，，
故答案为：，，；，，．
【点睛】本题考查了三角形的定义，三角形的边、内角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
8．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如果依次用分别表示图3中（1）、（2）、（3）、（4）内三角形的个数，那么，________．

【答案】24
【分析】本题主要考查了图形类规律题，根据题意得到，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
．
故答案为：24
9．（24-25八年级上·湖南永州·阶段检测）如图，在长方形中，，点E，F在边上（不与点A，D重合），点G在边上（不与点B，C重合），若图中直角三角形有m个，钝角三角形有n个，则的值为( )

【答案】
【分析】有图可得，直角三角形有个，钝角三角形有个，将n和m的值代入计算即可．
【详解】解：由题意得：
直角三角形有个，钝角三角形有个，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．
10．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，将大小不等的两个等腰直角三角形用两种方法摆放，其中，，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】45
【分析】本题考查等腰三角形性质，根据两种摆法先求出，进而求出，利用阴影部分面积等于两三角形面积差求出答案即可．
【详解】解：在两个等腰直角三角形中，
，，
．
11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）若一个等腰三角形的周长是，腰长是，求另外两边的长．
【答案】另外两边的长是和
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质是解题的关键；
根据等腰三角形的两腰相等，结合已知条件求出另外两边的长．
【详解】解：∵等腰三角形的周长是，腰长是，
∴另一腰为，
∴第三边为，
答：另外两边的长是和．
12．（25-26七年级下·全国·课后作业）请举出现实生活中有关三角形的实例．
【答案】
三脚架、自行车车架、晾衣架等
【分析】本题考查了三角形的认识，根据由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形，据此举出在现实生活中的实例即可．
【详解】解：现实生活中三角形的实例包括：三脚架、自行车车架、晾衣架等．
13．（24-25八年级上·全国·课后作业）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形．
【答案】锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：
【分析】根据三角形的分类进行求解即可．
【详解】解：由题意得：锐角三角形有：，直角三角形有：，钝角三角形有：．
【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟知三角形的分类方法是解题的关键．
14．（25-26八年级上·河南商丘·期中）如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接．
(1)写出的三个内角；
(2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________．
(3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？
【答案】(1)的三个内角是：，，
(2)；
(3)6，是，的公共角
【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系．
（1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角．
（2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边．
（3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形．
【详解】（1）的三个内角是：，，；
（2）在中，的对边是；在中，的对边是．
故答案为：；；
（3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，．
故答案为：6；
是，的公共角；
15．（24-25八年级上·全国·课后作业）阅读材料：
文字描述 图形展示
如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰，的距离分别为，，可得结论．
证明；连接，，，， 又， ， ∵， ，
结论：等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离和等于一腰的高
【解决问题】
如图，在等腰中，，其一腰上的高为，且在延长线上，到腰，的距离分别为，．，，之间有什么样的结论？依据所画图形，证明你的结论．

【答案】，见解析
【分析】根据阅读材料的方法，利用等积法即可求解．
【详解】解：，理由如下：
，
又∵，
，
，
．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解答本题的关键在于利用等腰三角形两边相等的性质和三角形面积的关系，利用面积求解在几何解答题中经常用到，同学们在答题时一定要灵活运用．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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