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第03讲 三角形的内角与外角（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 三角形内角和定理的证明
典型例题二 与平行线有关的三角形内角和问题
典型例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题
典型例题四 三角形折叠中的角度问题
典型例题五 三角形内角和定理的应用
典型例题六 直角三角形的两个锐角互余
典型例题七 锐角互余的三角形是直角三角形
典型例题八 三角形的外角的定义及性质
知识点01 三角形的内角和
1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.
如图，在中，．
注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角.
2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，的直角顶点A在直线a上，点B、C在直线b上，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据平行线的性质得出的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】∵，，
，
，
．
故选：B．
2．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，中，，的平分线交于点，过点作于点，，则的度数为__________．（结果用含的式子表示）
【答案】．
【分析】本题考查角平分线性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用这些是解题的关键．
根据角平分线性质得角相等，在中，根据三角形内角和定理得度数，从而得度数，再在中，求得度数．
【详解】解：在中，，，
，
是的平分线，
，
在中，，，
．
故答案为：．
知识点02 直角三角形的性质及判定
1.性质：直角三角形的两个锐角互余.
表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
【即时训练】
1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）在中，若是直角，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用直角三角形两锐角互余即可计算出的度数．
【详解】解：∵在中，是直角，
∴，，
又∵，
∴．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则___________，是___________三角形．
【答案】
直角
【分析】本题考查直角三角形的判定．
由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可判断三角形的形状．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴是直角三角形．
故答案为：，直角．
知识点03 三角形的外角
1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
求证：∠ACD=∠A+∠B；
证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD.
②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；
如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B.
③三角形的外角和等于360°．
求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°；
证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2；
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°.
【即时训练】
1．（2026·河南许昌·一模）如图，，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质得到，根据是的外角，进行计算即可．
【详解】解：如图所示：
，
，
，
，
，
，
是的外角，
．
2．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的外角，若，则___________°．
【答案】
【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和解答即可．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵，，
∴；
故答案为：．
【典型例题一 三角形内角和定理的证明】
【例1】（25-26八年级上·广西防城港·阶段检测）“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（ ）
A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360°
C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
【答案】A
【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答．
【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角，
即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理．
故选：A．
【例2】（2025·广东佛山·一模）如下图所示，能利用图中作法：过点作的平行线，证明三角形内角和是的原理是（ ）

A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【答案】B
【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得两直线平行，内错角相等，进而即可求解．
【详解】解：∵
∴（两直线平行，内错角相等）
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【例3】（24-25八年级上·湖北十堰·期中）如图，，，，则________．
【答案】
【分析】根据三角形的内角和等于，得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出的度数．
【详解】解：∵，
又∵，，
∴，
解得：，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
【例4】（24-25八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．

【答案】三角形内角和定理
【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．
【详解】解：根据折叠的性质，，

∵，
∴，
∴定理为：三角形内角和定理．
故答案为：三角形内角和定理．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
1．（25-26八年级下·全国·单元复习）回忆研究三角形内角和的过程与方法，你有哪些心得体会？撰写一篇小短文，并在班级内分享．
【答案】探究三角形内角和的心得体会
研究三角形内角和的过程，让我对几何问题的研究方法有了很多新的体会；
我们探究三角形内角和时，先从身边特殊的三角形——常用的三角尺入手，测量后发现它们的内角和都是，由此我们提出了“任意三角形内角和都是”的猜想．这种从特殊例子出发猜想一般结论的方法，就是从特殊到一般的研究方法，能帮我们快速找到研究的方向．
得到猜想后，我们用剪拼的方法把三角形的三个内角剪下来，拼在一起得到了一个平角，平角的度数是，这就把陌生的三角形内角和问题，转化成了我们已经学过的平角的问题，这种转化的思想真的太实用了，把未知变已知，一下子就让问题变得清晰了．
最后，我们结合平行线的性质，完成了严谨的逻辑证明，让猜想变成了可靠的定理. 我也明白了，剪拼、测量这些实验方法能帮我们猜想验证，但只有严谨的推理证明，才能让结论成为公认的定理．
今后再研究新的几何问题，我也会运用这样的方法：从特殊猜结论，转化问题找思路，严谨推理证结论．
【详解】略．
2．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，直线经过点A，，，，
(1)________；________；________；
(2)通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？
【答案】(1)；；；
(2)理由见解析
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得到的度数，根据平角等于，列式求解得到的度数；
（2）根据题意，作边平行线，根据平行线的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：理由：过三角形一个顶点A作边平行线，
（已知），
，（两直线平行，内错角相等），
（平角定义），
（等量代换），
∴三角形内角和等于．
3．（25-26八年级上·河北保定·期末）（1）三角形内角和为是重要的几何定理，请根据所学证明此定理．
已知：
求证：
（2）在欧几里得几何中，三角形的内角和定理与另一个命题等价：“所有三角形三内角之和都相同．”用“所有三角形三内角之和都相同．”可推出三角形的内角和定理．
如图2，在边上取一点D，连接，设任意三角形内角和为x，若（即），通过推导和的内角和关系，证明．
请完善以下内容：
证明：中，设，①
则内角和为，②
内角和为：________________③
∵，④
⑤
并用代入，得（补充完整后面过程）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线，熟练利用平行线的性质及平角的定义是解决问题的关键．
（1）过点A作直线l，使，作出辅助线，根据平行线的性质及平角的定义即可解答；
（2）设三角形内角和为x， 由和内角和 等于，结合平角的定义即可解答．
【详解】证明：（1）如图，过点A作直线l，使．
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，，组成平角，
∴（平角定义）．
∴（等量代换）．
（2）证明：中，设，①
则内角和为，②
内角和为：③
∵，④
⑤
并用代入，得
解得．
【典型例题二 与平行线有关的三角形内角和问题】
【例1】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形内角和计算即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴．
【例2】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得，从而可得，再结合对顶角相等即可得出结果．
【详解】解：如图，标记，及点．
由题意得，
．
，，
．
【例3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线，则的度数是_______．
【答案】39°
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，求出是解题的关键.
【详解】解：，
.
在中,
,
,
,
=.
故答案为： ．
【例4】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在五边形中，，，分别平分和，则的度数为________．
【答案】/90度
【分析】根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义求出，最后由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，分别平分和，
∴，
∴，
∴．
1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键．
先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
2．（25-26八年级上·河南许昌·期中）在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论．
如图，已知，，是的内角，求证：
小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明．
请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程．
【答案】各方法证明见解析
【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线之间的角度数量关系是解题的关键．
对于①，作，可得，，结合平角度数为，可证出．
对于②，作，可得，，结合平角度数为，可证出．
对于③，作，可得，结合角度之和为的等量关系，可证出．
【详解】证明：
对于①，作，
可得，，，
∵平角度数为，所以
即．
对于②，作，
可得，，，
∵平角度数为，所以
即．
对于③：作，
则，
，
，
，
3．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图所示的格线彼此平行．小航在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为．
(1)如图1，点O在一条格线上，当时，_________；如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由；
(2)在图3中，小航作射线，使得．记与图中的格线形成的锐角为，与图中格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系．
【答案】(1)；，理由见解析
(2)或．
【分析】（1）根据“两直线平行，同位角相等”，即可得答案；过O点作平行于格线，同理可得；
（2）分两种情况讨论：射线在的内部射线在的外部．
【详解】（1）解：如图：
如图1：格线都互相平行，，
，
，
，
，
故答案为：；
，
证明：如图2：过O点作平行于格线，
格线都互相平行,
，
，
;
（2）或，
理由： 当射线在的内部，如图：
，
，
格线都互相平行，
,
，
，
；
当射线在的外部，如图：
，
，
格线都互相平行，
,
，
．
综上所述：或．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，对顶角相等等知识点，灵活运用这些知识是解决本题的关键．
【典型例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】
【例1】（2026·陕西西安·一模）如图，在中，是的角平分线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义可知的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴．
【例2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，则的值为（ ）
A．135 B．140 C．145 D．150
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据题意得到，结合题意得到，由此三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故选：C ．
【例3】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，，点O为和角平分线的交点，则_________．
【答案】
/76度
【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和计算即可．
【详解】解：由题意知，，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【例4】（24-25八年级上·湖北黄石·期中）如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为________度．
【答案】40
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．
根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理列出等式整理即可得解．
【详解】解：∵平分平分，
，
，
，
，
，
故答案为：40．
1．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，，，平分，，垂足为E，求的度数．
【答案】的度数为
【分析】由三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得 ，由垂线的定义可得，再求出的度数即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴ ，
∵于点E，
∴，
∴，
∴，
即的度数为．
2．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，和的平分线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解；
（2）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解： ，
，
和的平分线相交于点，
，，
，
．
（2），理由如下：
在中，，
和的平分线相交于点，
，，
，
．
3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容．
如图，在中，．，平分，平分，求的度数．
解：平分（已知），
，
同理可得___________．
（___________），
（等式的性质）___________．
(1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）．
(2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数；
(3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______．
【答案】(1)；三角形内角和定理；
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案；
（3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解．
【详解】（1）解：∵平分（已知），
∴．
同理可得．
∵（三角形内角和定理），
∴（等式的性质）
．
（2）由折叠的性质可得，，
，，，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
即，
；
（3）∵是角平分线，是角平分线
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【典型例题四 三角形折叠中的角度问题】
【例1】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
故选：C．
【例2】（24-25八年级上·甘肃陇南·阶段检测）如图，若将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平角的定义可得，由折叠的性质可知，，得到，再根据三角形内角和定理可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵三角形纸片沿折叠，点落在点处，
∴，，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和是是解题的关键．
【例3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，点D在上，连接，将沿对折得到，点E恰好在上，若，则______．
【答案】/55度
【分析】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，根据折痕是角平分线，求出的度数，进而求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵将沿对折得到，
∴，
∴；
故答案为：．
【例4】（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，把沿着折叠，使点A落在四边形的内部，并且，，则的度数是______．
【答案】/45度
【分析】本题考查了折叠的性质和三角形的内角和定理的应用，根据折叠得出，，求出和的度数，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：延长和交于O，
把沿DE折叠，点A落在四边形BCDE内部，
，，
，，
，，
，，
，
故答案是：．
1．（24-25八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，求的度数．

【答案】
【分析】根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，则，根据三角形内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
由折叠的性质得，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知在中，，D是上一点
(1)如图1，，求证：；
(2)将沿所在直线翻折，点A落在边所在直线上，记为点．
①如图2，若，求的度数；
②若，则 的度数为 　　（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①；②或
【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得出答案；
（2）①由，得，再结合（1），得，再由折叠的性质即可得到答案；②由，得，再结合（1），得的度数，再由折叠的性质即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
由题意得：，
∴；
②∵，
∴，
当时，在线段上，
；
当40时，在的延长线上，
，
∴当时，，
当时，．
故答案为：或．
【点睛】本题考查直角三角形的性质和折叠的性质，解题的关键是熟悉直角三角形的性质．
3．（24-25八年级上·广东中山·期中）（1）如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形的内部点的位置，试说明；
（2）如图②，若把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，此时与、之间的等量关系是　 　（无需说明理由）；
（3）如图③，若把四边形沿折叠，使点A、D落在四边形的内部点、的位置，请你探索此时、、与之间的数量关系，写出你发现的结论并说明理由．
【答案】（1）见解析（2）（3）
【分析】（1）根据翻折的性质表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出、，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（3）先根据翻折的性质表示出、，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】解：（1）如图，
∵翻折，
∴，
∵，
∴，
整理得，；
（2）如图，
∵翻折，
∴，
∵，
∴，
整理得，；
故答案为：；
（3）如图，
∵翻折，
∴，
∵，
∴，
整理得，．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，翻折的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和是，是解题的关键．
【典型例题五 三角形内角和定理的应用】
【例1】（2026·河南周口·一模）一副三角尺按如图方式放置， ， 则 的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，运用三角形内角和等于即可解出的度数．
【详解】解：由题可知，，，
∵，
∴，
∵
∴
∵
∴．
【例2】（2026·辽宁丹东·一模）如图，在中，，，点为边上一点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，，
，
，
，
，
故选：D．
【例3】（24-25八年级上·广西梧州·期末）在中，，则__________．
【答案】/100度
【详解】解：．
【例4】 （2026·河北秦皇岛·一模）将一副三角尺按下图的位置摆放，已知，，则_____．
【答案】75度/
【详解】解：由题意得，，
∴，
．
1．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，沿射线平移得到、、、在同一直线上，平分，求的度数．
【答案】
【分析】根据平移的性质得出，则，求出，根据平分，求出，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵平移得到，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
2．（24-25七年级下·四川自贡·期中）如图，，点C是的边上一点．动点A从点B出发在的边上，沿方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点A的射线．
(1)在动点A运动的过程中，___________（填“是”或“否”）存在某一时刻，使得平分？
(2)若存在平分，在此情形下，证明；
(3)当时，计算出的度数？
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的性质和角平分线的定义进行解答即可；
（2）根据角平分线的定义得到，结合平行线的性质得到；
（3）根据垂线的性质得到，利用三角形内角和为进行解答即可．
【详解】（1）解：，
，，
当时，，
此时，平分
因此，在动点A运动的过程中，是存在某一时刻，使得平分；
（2）证明：平分，
，
，
，，
；
（3）解：，
，
，
．
3．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与实践
已知直线，直线分别交、于点A、B．点C在直线上且在点B的左侧，点D在直线上且在点A的右侧，E是直线上的动点，且不与A、B重合．连接，设，．
(1)如图1，当点E在线段上，且，时，求的值．
(2)如图2，当点E在线段的延长线上，且时，请写出，之间的数量关系，并证明．
(3)如图3，分别作和的平分线相交于点G，则________．（用含，的代数式表示）
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理．
（1）利用三角形内角和定理求得，再利用平行线的性质即可求解；
（2）利用平行线的性质得到，再利用三角形内角和定理即可求解；
（3）利用角平分线的定义求得，，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：．证明如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
即；
（3）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴．
故答案为：．
【典型例题六 直角三角形的两个锐角互余】
【例1】（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，对顶角相等，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据直角三角形两锐角互余得出，再根据，进而求解即可．
【详解】解：设交于点O，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【例2】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的两锐角互余、同角的余角相等解答．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
【例3】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）在中，，，则的度数为________．
【答案】/72度
【分析】本题考查直角三角形两锐角互余．在直角三角形中，已知，则与互余，再根据角度比例关系求解．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【例4】（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，中，，．若，则的度数为___________．
【答案】/38度
【分析】本题考查平行线的性质，直角三角形的性质，关键是由平行线的性质推出．由直角三角形的性质求出，由平行线的性质推出．
【详解】解：，，
，
，
．
故答案为：．
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，垂直于，垂足是，且．求证：是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的判定，掌握平行线的性质和直角三角形的判定方法是解题的关键．
先由垂直得到与互余，结合得到与互余，再利用平行 的性质推出与互余，从而证明是直角三角形．
【详解】证明：，
，
．
，
．
，
，
，
是直角三角形．
2．（25-26七年级下·上海·期中）如图，已知，垂足为，，．证明：．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的判定和性质进行证明即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若是“准互余三角形”， ，，则________；
(2)已知 是直角三角形，．
①如图，若平分，则是否为“准互余三角形”？请说明理由；
②E是边上一点，是“准互余三角形”，且，则的度数为__________．
【答案】(1)
(2)①是，见解析；②或
【分析】本题考查了三角形内角和定理，余角等知识．
（1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是，，，只能是；
（2）①由题意可得，所以只要证明与满足，即可解答；
②由题意可得，所以分两种情况，，．
【详解】（1）解：∵是“准互余三角形”， ，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：①是“准互余三角形”，理由如下：
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是“准互余三角形”；
②∵，，
∴，
∵是“准互余三角形”，
∴或，
∴或，
当，时，，
当，时，，
∴的度数为：或．
故答案为：或．
【典型例题七 锐角互余的三角形是直角三角形】
【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的判定．
由已知可得，即可判断三角形的类型．
【详解】解：∵ 在中，，
∴，
∴是直角三角形．
故选：B．
【例2】（24-25七年级下·全国·单元复习）满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的识别，根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论．
【详解】解：A，，是直角三角形，不合题意；
B，时，最大的角，不是直角三角形，符合题意；
C，，则，是直角三角形，不合题意；
D，，则，是直角三角形，不合题意；
故选B．
【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是___________，这个三角形是___________三角形．
【答案】 直角
【分析】本题考查直角三角形的判定．
由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型．
【详解】解：∵一个三角形中，两个角的和为，
∴第三个角是，
∴这个三角形是直角三角形．
故答案为：，直角．
【例4】（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，平分，，，，则是____三角形．
【答案】直角
【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案．
【详解】解：，
∵平分，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
【答案】，，
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理证得即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵和交于点E，
∴，
∴，，均为直角三角形．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，涉及平行线的性质、角平分线的定义、邻补角、锐角互余的三角形是直角三角形等知识，熟练掌握锐角互余的三角形是直角三角形是解答的关键．
2．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？
（2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？
（3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？
【答案】（1），理由见解析；
（2）是直角三角形，理由见解析；
（3），理由见解析
【分析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
（）利用余角性质即可求解；
（）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解；
（）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：（1），理由如下：
∵在中，，，
∴，
∴；
（2）是直角三角形．
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（3）．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，点为边的中点，为线段上动点（点不与点E，C重合），连接平分，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若交于点．
①求证：平分；
②如图2，交于点，连接交于点，，请判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①见详解；②，理由见详解
【分析】（1）根据平角的定义和，求出，结合平分，即可求解．
（2）①根据，得出，结合，即可得，得证；②根据，，得出，结合，，，证出，即可证，得出，从而可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
（2）①证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分；
②解：，理由如下，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
【典型例题八 三角形的外角的定义及性质】
【例1】（2025·广东清远·一模）如图所示，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形的外角的性质解题即可．
【详解】解：∵，
∴．
【例2】（2026·西藏日喀则·三模）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平行线的性质、三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
【例3】（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数是_____．
【答案】
【分析】利用三角形角的和差以及三角形外角和定理求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
【例4】（2026·山东聊城·二模）如图，在一束平行光线中插入一张矩形纸板．如果光线与纸板左下方所成的是，则光线与纸板右上方所成的的度数是__________．
【答案】/20度
【分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：如图，
根据题意得：，，
∴，
∵，
∴．
1．（26-27八年级·全国·暑假作业）已知：如图所示，是的外角，，平分，平分，且、交于点E．
(1)求的度数．
(2)请猜想与之间的数量关系，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由如下：
∵平分平分，
∴，
由三角形的外角性质得，，
∴，
∴
【分析】（1）根据角平分线的定义得出角之间的关系，利用三角形的外角得出，然后利用等量代换可求解；
（2）根据角平分线的定义得出角之间的关系，利用三角形的外角得出，然后利用等量代换可得出结论．
【详解】（1）（1）解：∵平分平分，
∴，
由三角形的外角性质得，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由略．
2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，点是延长线上一点，点是边上一点，连接交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是直角三角形，理由见解析
【分析】（1）先求出，再根据三角形外角的性质计算即可；
（2）设，则，根据三角形外角的性质得到，，可知，根据得到，计算的和即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即是直角三角形．
3．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分的外角，请完成以下作图与填空：
(1)在方格纸中过点作边上的高，交于点；
(2)在中，，平分的外角，是边上的高交于点，求的度数．
解：∵是的外角，且（已知），
∴（①），
又∵平分（已知），
∴②（角平分线的定义），
∵是边上的高（已知），
∴③（垂直的定义），
又∵是的外角（已知），
∴④⑤
【答案】(1)见解析
(2)①三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；②39；③90；④；⑤
【分析】（1）按要求过点作边上的高，交的延长线于点F，交于点；
（2）求出，，利用三角形的外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图，边上的高，交于点；
（2）解：∵是的外角，且（已知），
∴（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
又∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
∵是边上的高（已知），
∴（垂直的定义），
又∵是的外角（已知），
∴．
1．（24-25八年级上·河南新乡·阶段检测）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别进行变形结合，进行逐一求解，即可判断．
【详解】解：A.，
，
，
，
解得：，，，
不是直角三角形，故符合题意；
B. ，
，
，
，
解得：，
是直角三角形，故不符合题意；
C.，
设，，，
，
，
解得：，
，
是直角三角形，故不符合题意；
D.，
，，
，
，
解得：，，，
是直角三角形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握定理是解题的关键．
2．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段检测）在中，，按图中虚线将剪去后，等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用补角的定义可知：，，由三角形内角和定理可知： ，代入即可求出．
【详解】解：假设虚线为DE，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C ．
【点睛】本题考查补角的定义，三角形内角和定理，理解补角的定义，找出是解题的关键．
3．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，是角平分线，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理可以求出，根据角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理求出的度数．
【详解】解：在中，，，
,
是的平分线，
，
在中，．
4．（2026·江苏扬州·模拟预测）图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
5．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处．
①如图1，当点落在边上时，；
②如图2，当点落在内部时，；
③如图3，当点落在上方时，；
④当时，或，以上结论正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键．
①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据
即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可；
【详解】解：①如图1，当点落在边上时，
根据折叠性质可得，
∴，故①正确；
②如图2，当点落在内部时，
根据折叠性质可得
∴
，故②正确；
③如图3，当点落在上方时，；
根据折叠性质可得
∴
，故③正确；
④当时，

∵，
∴，
∵，
∴，
根据折叠性质可得，
∴，
∴；
当时，

∵，
∴
∵，
∴，
根据折叠性质可得，，
∴，
∴，
∴；
综上或；故④错误；
故选：C．
6．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，是一个直角三角形，已知 ，那么 __________．
【答案】/60度
【分析】根据图可知，，用，即可求出．
【详解】解：，
．
7．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，中，为边上的高，平分，分别交、于点、．若，，则的度数______．
【答案】/125度
【分析】根据三角形的内角和定理，求出和的度数，再根据角的和差关系，角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可.
【详解】解：∵中，为边上的高，平分，，，
∴，，
∴，
∴，
∴.
8．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，，，．
（1）______；
（2）在直线上取一点，使得，则的度数是______．

【答案】 70° 40°或80°
【分析】（1）根据平行可得，即可求出；
（2）画出图形，先求出，再求出的度数即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，；
故答案为：；
（2）∵，，
∴
当在右边时，

∵，
∴，
∵，
∴，
当在左边时，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40°或80°．
【点睛】本题考查三角形内角和及平行线的性质，熟记平行线的性质并选择合适的角度关系是解题的关键．
9．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则______．
【答案】
【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设，再结合轴对称的性质与平行线的性质表示，，再结合三角形的内角和定理与平行线的性质可得答案．
【详解】解：设，
∵将沿翻折， 使得点B落在 处，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵沿翻折，使得点C 落在处．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
10．（25-26七年级下·北京·期中）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于，与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点，，在同一直线上，则的度数是_____．
【答案】/度
【分析】延长交于点，由对顶角相等可得，结合三角形的外角的性质可计算得．根据题意可得，则．
【详解】解：如图，延长交于点，
∵点，，在同一直线上，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∵横梁始终平行于，
又∵由调整得到，
∴，
∴．
11．（2026·江苏南通·三模）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．）
【答案】
已知：．
求证：．
证明：过点作的平行线，
，
，，
，
．
【分析】过点作的平行线，根据平行线的性质得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形三个内角的和等于．
【详解】略
12．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，点D在的内部．求证：
(1)；
(2)．
(3)如果点D在线段的另一侧，又会有怎样的结论？
【答案】(1)证明：延长交于点E，如图，
，
，
，
，
；
(2)证明：延长交于点E，如图，
，，
．
(3)
，证明如下：
连接，如图，
，，
，
．
【分析】（1）运用三角形外角的性质可得，，由此可证明．
（2）运用三角形外角的性质来进行推理即可．
（3）运用三角形内角和的性质来进行推理即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
13．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，定点，分别在定直线，上，动点不在，，上．
(1)当动点位于，之间时，如图②、图③，连接，，，，，之间满足怎样的数量关系？请说明理由；
(2)当点在不同的位置时，请画出当，，三个角的其中一个角的度数等于另外两个角的度数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外．
【答案】(1)或，理由见解析
(2)示意图有四种，见解析；图①和③关系式：，
图②和④关系式： ．
【分析】（1）①如题图②中，结论：．利用平行线的性质得到，利用三角形的内角和定理得到，再根据角度的和差关系解决问题即可．②如题图③中，结论：．利用平行线的性质，利用三角形的内角和定理得到，再根据角度的和差关系解决问题即可．
（2）有四种情形，分别画出图形写出结论即可．
【详解】（1）解：第一种情况：如题图②，．
理由：，
，
即．
，
．
第二种情况：如题图③，．
理由：，
．
，
，
即．
（2）解：如图，；
如图，；
如图，；
如图，．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
14．（24-25八年级上·全国·期末）已知中，．
(1)如图①，、的角平分线交于点，则 °．
(2)如图②，、的三等分线分别对应交于，则 °．
(3)如图③，、的等分线分别对应交于（内部有个点），求（用的代数式表示）．
(4)如图③，已知、的等分线分别对应交于，若，求的值．
【答案】(1)105
(2)80
(3)
(4)5
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，即可求出；
（2）先根据三角形内角和定理求得，再根据三等分线的定义求得，即可求出；
（3）先根据三角形内角和定理求得，再根据等分线的定义求得，即可求出；
（4）依据（3）的结论即可求出的值．
【详解】（1）解：∵点是与的角平分线的交点，，
∴，
∴
（2）解：∵点2是与的三等分线的交点，
∴，
∴；
（3）解：∵点是与的等分线的交点，
∴，
∴
（4）解：由（3）得：，
解得：．
15．（24-25七年级下·吉林长春·期末）教材呈现：如图是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容．
如图，已知分别用、、表示的三个内角，证明．
解：延长至点，以点为顶点，在的上侧作，则（同位角相等，两直线平行）
(1)请根据教材提示，结合图一，将证明过程补充完整．
(2)结论应用：
①如图二，在中，，平分，平分，求的度数；
②如图三，将的折叠，使点A落在外的处，折痕为．若，，，则、、满足的等量关系为______（用含、、的代数式表示）．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）利用平行线的性质得，即可解答；
（2）①利用角平分线的定义和三角形内角和定理可得；
②根据四边形内角和为，分别表示出各角得出等式即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，，
两直线平行，内错角相等，
，
即．
（2）解：①，分别平分和，
，，
，
，
，
；
②将的折叠，使点A落在外的处，
，
，
又，
在四边形中，
，
化简得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，翻折的性质等知识，熟练掌握翻折前后对应角相等，是解题的关键．
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第03讲 三角形的内角与外角（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 三角形内角和定理的证明
典型例题二 与平行线有关的三角形内角和问题
典型例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题
典型例题四 三角形折叠中的角度问题
典型例题五 三角形内角和定理的应用
典型例题六 直角三角形的两个锐角互余
典型例题七 锐角互余的三角形是直角三角形
典型例题八 三角形的外角的定义及性质
知识点01 三角形的内角和
1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.
如图，在中，．
注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角.
2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，的直角顶点A在直线a上，点B、C在直线b上，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图，中，，的平分线交于点，过点作于点，，则的度数为__________．（结果用含的式子表示）
知识点02 直角三角形的性质及判定
1.性质：直角三角形的两个锐角互余.
表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
【即时训练】
1．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）在中，若是直角，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则___________，是___________三角形．
知识点03 三角形的外角
1.定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
2.性质： ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
求证：∠ACD=∠A+∠B；
证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°；∴∠A+∠B=180°－∠ACB=∠ACD.
②三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；
如图：∵∠ACD=∠A+∠B；∴∠ACD>∠A；∠ACD>∠B.
③三角形的外角和等于360°．
求证：∠BAE+∠CBF+∠ACD=360°；
证明：∵∠BAE=∠2+∠3；∠CBF=∠1+∠3；∠ACD=∠1+∠2；
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）=2×180°=360°.
【即时训练】
1．（2026·河南许昌·一模）如图，，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的外角，若，则___________°．
【典型例题一 三角形内角和定理的证明】
【例1】（25-26八年级上·广西防城港·阶段检测）“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（ ）
A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360°
C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
【例2】（2025·广东佛山·一模）如下图所示，能利用图中作法：过点作的平行线，证明三角形内角和是的原理是（ ）

A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【例3】（24-25八年级上·湖北十堰·期中）如图，，，，则________．
【例4】（24-25八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．

1．（25-26八年级下·全国·单元复习）回忆研究三角形内角和的过程与方法，你有哪些心得体会？撰写一篇小短文，并在班级内分享．
2．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，直线经过点A，，，，
(1)________；________；________；
(2)通过求上述三个角的度数，请你说明三角形的内角和为什么是？
3．（25-26八年级上·河北保定·期末）（1）三角形内角和为是重要的几何定理，请根据所学证明此定理．
已知：
求证：
（2）在欧几里得几何中，三角形的内角和定理与另一个命题等价：“所有三角形三内角之和都相同．”用“所有三角形三内角之和都相同．”可推出三角形的内角和定理．
如图2，在边上取一点D，连接，设任意三角形内角和为x，若（即），通过推导和的内角和关系，证明．
请完善以下内容：
证明：中，设，①
则内角和为，②
内角和为：________________③
∵，④
⑤
并用代入，得（补充完整后面过程）
【典型例题二 与平行线有关的三角形内角和问题】
【例1】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，直线，则的度数是_______．
【例4】（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在五边形中，，，分别平分和，则的度数为________．
1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数．
2．（25-26八年级上·河南许昌·期中）在探索三角形内角和定理时，王老师启发同学们讨论．
如图，已知，，是的内角，求证：
小颖、小星、小红三位同学分别作出以下三种辅助线如图①②③，进而给予证明．
请从中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程．
3．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图所示的格线彼此平行．小航在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为．
(1)如图1，点O在一条格线上，当时，_________；如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由；
(2)在图3中，小航作射线，使得．记与图中的格线形成的锐角为，与图中格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系．
【典型例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】
【例1】（2026·陕西西安·一模）如图，在中，是的角平分线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，，则的值为（ ）
A．135 B．140 C．145 D．150
【例3】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，，点O为和角平分线的交点，则_________．
【例4】（24-25八年级上·湖北黄石·期中）如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为________度．
1．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，在中，，，平分，，垂足为E，求的度数．
2．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，和的平分线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系．
3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容．
如图，在中，．，平分，平分，求的度数．
解：平分（已知），
，
同理可得___________．
（___________），
（等式的性质）___________．
(1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）．
(2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数；
(3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______．
【典型例题四 三角形折叠中的角度问题】
【例1】（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级上·甘肃陇南·阶段检测）如图，若将三角形纸片沿折叠，点落在点处，已知，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【例3】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，中，，点D在上，连接，将沿对折得到，点E恰好在上，若，则______．
【例4】（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，把沿着折叠，使点A落在四边形的内部，并且，，则的度数是______．
1．（24-25八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，求的度数．

2．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知在中，，D是上一点
(1)如图1，，求证：；
(2)将沿所在直线翻折，点A落在边所在直线上，记为点．
①如图2，若，求的度数；
②若，则 的度数为 　　（用含α的代数式表示）．
3．（24-25八年级上·广东中山·期中）（1）如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形的内部点的位置，试说明；
（2）如图②，若把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，此时与、之间的等量关系是　 　（无需说明理由）；
（3）如图③，若把四边形沿折叠，使点A、D落在四边形的内部点、的位置，请你探索此时、、与之间的数量关系，写出你发现的结论并说明理由．
【典型例题五 三角形内角和定理的应用】
【例1】（2026·河南周口·一模）一副三角尺按如图方式放置， ， 则 的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【例2】（2026·辽宁丹东·一模）如图，在中，，，点为边上一点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25八年级上·广西梧州·期末）在中，，则__________．
【例4】 （2026·河北秦皇岛·一模）将一副三角尺按下图的位置摆放，已知，，则_____．
1．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，沿射线平移得到、、、在同一直线上，平分，求的度数．
2．（24-25七年级下·四川自贡·期中）如图，，点C是的边上一点．动点A从点B出发在的边上，沿方向运动，在动点A运动的过程中，始终有过点A的射线．
(1)在动点A运动的过程中，___________（填“是”或“否”）存在某一时刻，使得平分？
(2)若存在平分，在此情形下，证明；
(3)当时，计算出的度数？
3．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与实践
已知直线，直线分别交、于点A、B．点C在直线上且在点B的左侧，点D在直线上且在点A的右侧，E是直线上的动点，且不与A、B重合．连接，设，．
(1)如图1，当点E在线段上，且，时，求的值．
(2)如图2，当点E在线段的延长线上，且时，请写出，之间的数量关系，并证明．
(3)如图3，分别作和的平分线相交于点G，则________．（用含，的代数式表示）
【典型例题六 直角三角形的两个锐角互余】
【例1】（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）在中，，，则的度数为________．
【例4】（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，中，，．若，则的度数为___________．
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，垂直于，垂足是，且．求证：是直角三角形．
2．（25-26七年级下·上海·期中）如图，已知，垂足为，，．证明：．
3．（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若是“准互余三角形”， ，，则________；
(2)已知 是直角三角形，．
①如图，若平分，则是否为“准互余三角形”？请说明理由；
②E是边上一点，是“准互余三角形”，且，则的度数为__________．
【典型例题七 锐角互余的三角形是直角三角形】
【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【例2】（24-25七年级下·全国·单元复习）满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（2025八年级上·全国·专题练习）一个三角形中，如果两个角的和为，那么第三个角是___________，这个三角形是___________三角形．
【例4】（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，平分，，，，则是____三角形．
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
2．（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？
（2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？
（3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？
3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图1，点为边的中点，为线段上动点（点不与点E，C重合），连接平分，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若交于点．
①求证：平分；
②如图2，交于点，连接交于点，，请判断与的大小关系，并说明理由．
【典型例题八 三角形的外角的定义及性质】
【例1】（2025·广东清远·一模）如图所示，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2026·西藏日喀则·三模）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数是_____．
【例4】（2026·山东聊城·二模）如图，在一束平行光线中插入一张矩形纸板．如果光线与纸板左下方所成的是，则光线与纸板右上方所成的的度数是__________．
1．（26-27八年级·全国·暑假作业）已知：如图所示，是的外角，，平分，平分，且、交于点E．
(1)求的度数．
(2)请猜想与之间的数量关系，请说明理由．
2．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，在中，点是延长线上一点，点是边上一点，连接交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，判断的形状，并说明理由．
3．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分的外角，请完成以下作图与填空：
(1)在方格纸中过点作边上的高，交于点；
(2)在中，，平分的外角，是边上的高交于点，求的度数．
解：∵是的外角，且（已知），
∴（①），
又∵平分（已知），
∴②（角平分线的定义），
∵是边上的高（已知），
∴③（垂直的定义），
又∵是的外角（已知），
∴④⑤
1．（24-25八年级上·河南新乡·阶段检测）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段检测）在中，，按图中虚线将剪去后，等于（ ）．
A． B． C． D．
3．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，是角平分线，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4．（2026·江苏扬州·模拟预测）图1是一张打开的折叠椅，其侧面示意图如图2所示，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处．
①如图1，当点落在边上时，；
②如图2，当点落在内部时，；
③如图3，当点落在上方时，；
④当时，或，以上结论正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
6．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，是一个直角三角形，已知 ，那么 __________．
7．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，中，为边上的高，平分，分别交、于点、．若，，则的度数______．
8．（24-25七年级下·河北承德·期末）如图，，，．
（1）______；
（2）在直线上取一点，使得，则的度数是______．

9．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，点分别在三角形的边上，且，．将三角形沿翻折，使得点落在点处，沿翻折，使得点C落在点处．若，则______．
10．（25-26七年级下·北京·期中）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于，与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点，，在同一直线上，则的度数是_____．
11．（2026·江苏南通·三模）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．）
12．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知：如图，点D在的内部．求证：
(1)；
(2)．
(3)如果点D在线段的另一侧，又会有怎样的结论？
13．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，，定点，分别在定直线，上，动点不在，，上．
(1)当动点位于，之间时，如图②、图③，连接，，，，，之间满足怎样的数量关系？请说明理由；
(2)当点在不同的位置时，请画出当，，三个角的其中一个角的度数等于另外两个角的度数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外．
14．（24-25八年级上·全国·期末）已知中，．
(1)如图①，、的角平分线交于点，则 °．
(2)如图②，、的三等分线分别对应交于，则 °．
(3)如图③，、的等分线分别对应交于（内部有个点），求（用的代数式表示）．
(4)如图③，已知、的等分线分别对应交于，若，求的值．
15．（24-25七年级下·吉林长春·期末）教材呈现：如图是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容．
如图，已知分别用、、表示的三个内角，证明．
解：延长至点，以点为顶点，在的上侧作，则（同位角相等，两直线平行）
(1)请根据教材提示，结合图一，将证明过程补充完整．
(2)结论应用：
①如图二，在中，，平分，平分，求的度数；
②如图三，将的折叠，使点A落在外的处，折痕为．若，，，则、、满足的等量关系为______（用含、、的代数式表示）．
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