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第04讲 全等三角形的性质与判定 （3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 图形的全等
典型例题二 全等三角形的概念
典型例题三 全等三角形的性质
典型例题四 用SAS证明三角形全等（SAS）
典型例题五 全等的性质和SAS综合（SAS）
典型例题六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
典型例题七 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
典型例题八 用SSS证明三角形全等（SSS）
典型例题九 全等的性质和SSS综合（SSS）
典型例题十 用HL证全等（HL）
典型例题十一 全等的性质和HL综合（HL）
知识点01 全等图形
定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。
【即时训练】
1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·山东青岛·单元测试）如图是某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有_____组．

知识点02全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
要点诠释：
1.对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。
2.找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，则的对应角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八年级·全国·模拟预测）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形．
下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有__________．
知识点03 全等三角形的性质
1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
2.数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．
3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等．
【即时训练】
1．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，若则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，，垂足分别为点C、E．若，，，则________．
【典型例题一 图形的全等】
【例1】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）与图所示的图形全等的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）年月日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）能够___________的两个图形称为全等图形，能够重合的两个三角形叫做___________．全等三角形的___________边相等，___________角相等．
【例4】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）下列图形中是全等图形的是__________．（填序号）
1．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形．
(1)用实线把图（）分割成六个全等图形；
(2)用实线把图（）分割成四个全等图形．
2．（2025八年级上·江苏·专题练习）找出下列各组图中的全等图形．
3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是两个全等的五边形，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出两图中其他的对应顶点、对应边和对应角，并说出图中a、b、c、d、e、各字母所表示的值．
【典型例题二 全等三角形的概念】
【例1】（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）下列四个图形中，是全等形的是（ ）

A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③
【例3】（24-25八年级上·新疆和田·阶段检测）和全等，记作______．
【例4】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到交于G，已知，则阴影部分的面积为 _______．

1．（24-25八年级上·重庆·期中）罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（ ）
A．25 B．38 C．70 D．135
2．（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数．
（1）若，，则伴生数为______；
（2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______．
3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
(1)如图1，在网格内找一点，使得，作出（与不重合）．
(2)如图2，作边上的中线，并求出的面积．
【典型例题三 全等三角形的性质】
【例1】（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例2】 （25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，若，点B、E、C、F在同一直线上，，则的长是（ ）．
A．2 B．2.5 C．5 D．4.5
【例3】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，，，，，则的度数是_____．
【例4】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，已知，点，，，在同一条直线上，交于点．若四边形的面积为，则四边形（即阴影部分）的面积为___________
1．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（ ）厘米/秒时，与全等．
A．1或 B．1 C．1或3 D．3
2．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，中，，，，点从出发．以的速度沿向运动，设运动时间为秒，当从开始运动的同时，从出发以的速度，沿向运动，当与全等时，的值为_____．
3．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）．
(1)用含t的代数式表示的长度：______；
(2)若与全等（其中与为对应角），求a的值．
【典型例题四 用SAS证明三角形全等（SAS）】
【例1】（2026·贵州遵义·二模）下列三角形中，一定是全等三角形的是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，，，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，就可以知道A、B之间的距离．那么判定的理由是______．
【例4】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）小明制作了一个跷跷板模型，如图是其几何示意图，支点是跷跷板的中点（，，三点位于同一水平线上），已知点到水平地面的距离是，当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了，此时点到达点，则点到地面的距离为______．
1．（2026·吉林白山·二模）如图，，，．求证：．
2．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，点在线段上，，请只添加一个合适的条件，使．
(1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ．
(2)请从（1）中选择一种加以证明．
3．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，，是边上一点（点不与，重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
【典型例题五 全等的性质和SAS综合（SAS）】
【例1】（25-26八年级上·天津·期末）如图，图中有三个正方形，则全等三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【例2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，要测量池塘两端点，间的距离，在平地上取一点，连接，，并延长到，两点，使，；连接，测量的长即可得知，间的距离．这种方法的依据是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度．
【例4】（25-26八年级上·广东东莞·期末）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；②沿河岸直走有一棵树，继续前行到达处；③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；④测得的长为，那么河的宽度是________．
1．（2026·广东广州·二模）如图，是线段的中点，，．求证：．
2．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，网格中每个小格都是边长为1的正方形，点、、、都在网格的格点上．
(1)过点画直线的垂线，垂足为点；
(2)比较大小：____________，理由是：______________；
(3)线段，则点到直线的距离为_______________．
3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）在中，，点为射线上一点，连接，过点作线段的垂线，在直线上，分别在点的两侧截取与线段相等的线段和，连接，．
(1)当点在线段上时（点不与点，重合），如图线段，所在直线的位置关系为 ，线段，的数量关系为 ．
(2)当点在线段的延长线上时，如图，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【典型例题六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】
【例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，，垂足分别为D，E，．下列选项中，可以直接作为判定的依据是（　　）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，要使，还需添加的一个条件是_______________．（写出一个即可）
【例4】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，小明不小心将书上的一个三角形用墨迹污染了一部分，但他很快就根据所学知识画出了一个和书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据为_________．
1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，点E为的中点，，．求证：．
2．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉爸爸制作的风筝，风筝的一角（）缺失，为修补该风筝，嘉嘉测得，，．
(1)淇淇说：“测得的长就是的长．”请你判断淇淇的说法是否正确，并说明理由；
(2)若用纸面积为30，求的用纸面积．
3．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案：
主题 测量斜坡上一点的竖直高度
测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内)
根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度．
【典型例题七 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）】
【例1】（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在中，，，垂足为，，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【例2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，然后在处立了标杆，使，测得的长是20米，的长是30米，则，两点间的距离为（ ）
A．10米 B．15米 C．20米 D．30米
【例3】（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm．
【例4】（25-26八年级下·福建龙岩·阶段检测）如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，点A、点C到平面镜B点的距离相等．图中点A，B，C，D在同一条直线上．则灯泡到地面的高度是________．
1．（2026·陕西商洛·一模）如图，在中，，，分别是边，，上的点，，，．求证：．
2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，某校项目式学习小组开展项目活动，测量福田区园博园福塔底座的直径．下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：
测量示意图 测量说明 测量结果
方案① 如图1，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E，A，D在一条直线上，测出的长
方案② 如图2，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D，E两点之间的距离
请你选择上述两种方案中的一种，计算福塔底座的直径．
3．（25-26七年级下·广东深圳·期中）为了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点处，利用工具测得河东岸的一棵树底部点恰好在点的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 如图，从点向正南方向走到点，此时恰好测得． 如图，观测者从点向正北走到点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于 如图，从点向正南方向走到点，是的中点，继续从点沿垂直于的方向走，直到点在一条直线上．
测量方案示意图
(1)由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段___________的长度；
(2)第二小组设计的测量方案，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽长？并说明理由；
(3)聪明的小明发现：有两个角相等的三角形是等腰三角形，如图1，在中，，他过点作交于点，易证，进而得出．有了这个发现他又想出一种测量方法：如图，他从点沿着南偏东的方向走到点，此时恰好测得，同时测得米，请你帮他们求出河宽为___________米．

(4)第三小组在实际测量中，从点走到点处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点，满足点在一条直线上且点在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．（提示：可结合（3）中小明的发现证明）
【典型例题八 用SSS证明三角形全等（SSS）】
【例1】（24-25八年级上·河北沧州·期末）图是手工艺人制作的风筝，他根据，，利用两个三角形全等不用度量就可以知道，他判定两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，点是，的中点，要用“”证明，则只需添加一个适当的条件是________．
【例3】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，勤劳的小蜜蜂A、B、C、D、E、F分别位于蜂房（由若干个正六边形拼成向阳面的一侧劳作，若任何不共线三点位置都可以组成一个三角形，则与全等的三角形是________．
【例4】（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________．
1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰三角形中，，是它的一条中线，与全等吗？为什么？
2．（2025·山东聊城·二模）如图，已知，点，在线段上，且．
(1)请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：（填写序号）_____（只需选一个条件，多选不得分），请说明理由；
(2)利用（1）的结论，求证：．
3．（24-25八年级上·广东惠州·期中）综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
【操作发现】对折（），使点落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，如图①．发现四边形满足：，．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)【初步应用】如图①，在中，若，，则__________．
(2)【性质探究】借助学习几何图形的经验，通过类比、猜想、证明等方法，小红对筝形的性质进行了探究，如图②，已知，．求证：；
(3)【拓展探究】设与相交于点，试猜想筝形的对角线与之间有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想．
【典型例题九 全等的性质和SSS综合（SSS）】
【例1】（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）如图，有一个简易平分角的仪器，其中，将点放在角的顶点处，和沿着角的两边张开，沿对角线画线，就是的平分线．这个平分角的仪器的制作原理是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，工人师傅要检查人字梁的和是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．于是，他首先分别在和上取；接着在上取．如果工人师傅想得到正确的结果，那么他还需要测量（ ）
A．的长度 B．的长度 C．和的长度 D．和的长度
【例3】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，，，．若，则________．

【例4】（24-25八年级上·海南海口·期末）如图，已知相交于点E．由这些条件可得出若干个结论，请写出三个正确的结论．
结论1：___________；
结论2：___________；
结论3：___________．
1．（24-25八年级上·全国·单元复习）如图，在中，，D为的中点，则下列结论中：①；②；③平分；④，其中正确的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在和中，点在边上，与交于点，．若，则______．
3．（25-26八年级上·河北保定·期中）风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放．简称“四艺”．从如图1所示的风筝中可以抽象出几何图形（图2），其中，．
(1)猜想和的数量关系：______．
(2)证明你的猜想．
【典型例题十 用HL证全等（HL）】
【例1】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，为线段上两点，，，，则添加一个条件：不能用“”判定的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级上·河北唐山·期末）综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．小张同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（ ）．
A．SAS B．AAS C．SSS D．直角三角形全等的判定定理
【例3】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，若要用“”证明，则需要添加的一个条件是__________．
【例4】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是___．（填或或）
1．（2026·福建龙岩·二模）如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：．
2．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等．
(1)与全等吗？请说明理由．
(2)若，，，求线段的长度．
3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点、、、在同一直线上，，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接、，过点作，过点作，垂足分别为点、．在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中的四对全等三角形．
【典型例题十一 全等的性质和HL综合（HL）】
【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级上·天津静海·阶段检测）如图，直线，相交于点O，于点E，于点F．若，且，则的度数为（ ）
A．65° B．60° C．45° D．30°
【例3】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在，，是上一点，且，于点，若，则的值为___________．
【例4】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等．若，则的度数是______．

1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在和中，，与相交于点，且，，连接，．求证：．
2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，平分，于点E，点F在上且满足．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求四边形的面积．
3．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，在中，，是过点A的直线，于D，于点E．
(1)若B、C在的同侧（如图1所示）且，与垂直吗？为什么？
(2)若B、C在的两侧（如图2所示），其他条件不变，与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
1．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个长方形是全等图形 B．形状相同的两个三角形全等
C．两个全等图形面积一定相等 D．所有的等边三角形都是全等三角形
2．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，P、Q两点分别在边和过点A且垂直于的射线上运动，且．若以A、P、Q为顶点的三角形与全等，则的长为（ )
A．3 B．8 C．3或8 D．以上都不正确
3．（25-26七年级下·上海·期末）如图，且，且，按图中所标数据，则阴影部分面积（ ）
A．46 B．48 C．50 D．52
4．（2026·辽宁大连·二模）如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26八年级上·山东德州·期中）已知，如图1，．画一个．使得．在已有的条件下，图2、图3分别是甲、乙两同学的画图过程．下列说法错误的是（ ）
A．甲同学作图判定的依据是
B．甲同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．乙同学作图判定的依据是
D．乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
6．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在3×3的正方形网格中，则_________°．
7．（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边．
8．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________．
9．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点E的对应点为，与边相交于D点，恰好是的角平分线，则_______，若，则的长为_______．
10．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）：_______．

11．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，与相等吗？为什么？
12．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在 与 中，，，．试说明：．
13．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）近年来，随着“双减”政策的深入推进，项目化学习已经成为实践育人的重要方式．为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动．
项目背景 依数学之托，解生活之谜
项目主题 测量河（河的两岸平行）的宽度
项目工具 测角仪、皮尺
项目实施 ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树，使垂直于河岸（如图）； ②在点所在河岸同侧平地上取点、．使，，三点在同一直线上，且，测得，；③在的延长线上取一点，使； ④测得的长度为．
求这条河的宽度．
14．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且．
(1)①尺规作图：在上方作，使得．
（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
②尺规作图中，判定的依据是__________________．
（填：）．
(2)在（1）的条件下，连接与全等吗？请说明理由．
15．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯水平方向的跨度为3米，且左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．
(1)这两个滑梯的倾斜角与的大小关系如何？请说明理由．
(2)求右边滑梯的高度．
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第04讲 全等三角形的性质与判定 （3大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 图形的全等
典型例题二 全等三角形的概念
典型例题三 全等三角形的性质
典型例题四 用SAS证明三角形全等（SAS）
典型例题五 全等的性质和SAS综合（SAS）
典型例题六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
典型例题七 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
典型例题八 用SSS证明三角形全等（SSS）
典型例题九 全等的性质和SSS综合（SSS）
典型例题十 用HL证全等（HL）
典型例题十一 全等的性质和HL综合（HL）
知识点01 全等图形
定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。
【即时训练】
1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列图形是全等图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形的全等：能够重合的两个图形是全等图形；根据此概念判断是否可以重合即可判断．
【详解】解：选项A、C、D中的两个图形不能重合，它们都不是全等图形，而选项B中的两个图形可以重合，是全等图形；
故选：B．
2．（24-25八年级上·山东青岛·单元测试）如图是某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有_____组．

【答案】3/三
【分析】本题考查了全等图形的知识．根据全等的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可．
【详解】解：根据全等的定义可知，
全等图形有： 和 ， 和 ， 和 ，
∴图中有3组全等的图形．
故答案为：3．
知识点02全等三角形
定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
要点诠释：
1.对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。
2.找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，，则的对应角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴的对应角是，
故选：B．
2．（2025八年级·全国·模拟预测）全等三角形也叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形．假如和是全等三角形，且点A与点对应，点B与点对应，点C与点对应．如下图，当沿周界及环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形．
下列各组合同三角形中，属于镜面合同三角形的有__________．
【答案】①③/③①
【分析】本题主要考查了全等三角形．根据真正合同三角形和镜面合同三角形的定义进行解答，即可求解．
【详解】解：根据题意得：①③运动方向相反，
∴属于镜面合同三角形的有①③．
故答案为：①③．
知识点03 全等三角形的性质
1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
2.数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．
3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等．
【即时训练】
1．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，若则的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，
根据全等三角形的对应边相等得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C．
2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，，，垂足分别为点C、E．若，，，则________．
【答案】3
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得到，，然后进行线段的和与差即可．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴．
故答案为：3．
【典型例题一 图形的全等】
【例1】（25-26八年级上·河北邢台·阶段检测）与图所示的图形全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此可得答案．
【详解】解：由全等图形的定义可知，四个选项中只有A选项中的图形与所给图形全等，
故选：A．
【例2】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）年月日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义：大小一样，形状相同的两个图形称为全等图形，求解即可．
【详解】解：A、B、C中形状相同，但大小不同，不符合题意；
D中大小一样，形状相同，符合题意；
故选：D．
【例3】（24-25八年级上·全国·课后作业）能够___________的两个图形称为全等图形，能够重合的两个三角形叫做___________．全等三角形的___________边相等，___________角相等．
【答案】 完全重合 全等三角形 对应 对应
【分析】根据全等图形的定义和全等三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：能够完全重合的两个图形称为全等图形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角相等．
故答案为：完全重合；全等三角形；对应；对应．
【点睛】本题主要考查了全等图形的定义，全等三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
【例4】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）下列图形中是全等图形的是__________．（填序号）
【答案】⑤和⑦
【分析】根据能够互相重合的两个图形叫做全等图形解答．
【详解】解：由全等形的定义可知：⑤和⑦是全等图形，
故答案为：⑤和⑦．
【点睛】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识别各图形的形状是解题的关键．
1．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形．
(1)用实线把图（）分割成六个全等图形；
(2)用实线把图（）分割成四个全等图形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键．
（）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形即可；
（）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可．
【详解】（1）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形，
；
（2）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形，
．
2．（2025八年级上·江苏·专题练习）找出下列各组图中的全等图形．
【答案】（）③和④是全等形；（）①和④是全等形
【分析】本题考查了全等形的概念和性质，利用能够完全重合的两个图形称为全等图形，全等图形的大小和形状都相同，据此即可判断求解，掌握全等形的概念和性质是解题的关键．
【详解】解：（）由图形可得，③和④是全等形；
（）由图形可得，①和④是全等形．
3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是两个全等的五边形，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出两图中其他的对应顶点、对应边和对应角，并说出图中a、b、c、d、e、各字母所表示的值．
【答案】点A与点G、点C与点I、点E与点F分别是对应顶点， 边和边、边和边、边和边、边和边、边和边分别为对应边，和、和、和、和、和分别为对应角，
【分析】根据全等图形的性质解答即可．
【详解】解：∵五边形和五边形为两个全等的五边形，点B与点H、点D与点J，
∴点B与点H、点D与点J、点A与点G、点C与点I、点E与点F分别是对应顶点， 边和边、边和边、边和边、边和边、边和边分别为对应边，和、和、和、和、和分别为对应角，
∵，，
∴．
【典型例题二 全等三角形的概念】
【例1】（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：与三角形全等的是．
【例2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）下列四个图形中，是全等形的是（ ）

A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③
【答案】B
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案．
【详解】解：A．不是全等形，故此选项不合题意；
B．是全等形，故此选项符合题意；
C．不是全等形，故此选项不合题意；
D．不是全等形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形．
【例3】（24-25八年级上·新疆和田·阶段检测）和全等，记作______．
【答案】
【分析】根据全等符号：，进行作答即可．
【详解】解：和全等，记作，
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是对全等三角形概念的认识，解答的关键是知道全等符号的写法：，本题属于基础题型，要求学生能够熟练掌握各数学符号．
【例4】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到交于G，已知，则阴影部分的面积为 _______．

【答案】42
【分析】由平移得，于是阴影部分面积等于梯形的面积，求得梯形的面积=，于是阴影部分的面积．
【详解】解：∵沿着点A到点C的方向平移到的位置，
∴，
∴阴影部分面积等于梯形的面积，
由平移的性质得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴梯形的面积=，
∴阴影部分的面积．
故答案为：42．
【点睛】本题考查平移的性质，全等的性质；由平移得到三角形全等、线段相等是解题的关键．
1．（24-25八年级上·重庆·期中）罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（ ）
A．25 B．38 C．70 D．135
【答案】B
【分析】仔细观察图形，发现第个图形有个三角形，根据规律求解即可．
【详解】解：观察发现：
第一个图形有个全等三角形；
第二个图形有个全等三角形；
第三个图形有个全等三角形；
第四个图形有个全等三角形；
第个图形有个全等三角形；
当时，（个．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等的定义，图形类规律题，正确找到规律是解题的关键．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，按照什么规律变化的．
2．（25-26八年级上·北京海淀·期中）已知三角形的两边长为m和n，一个内角为30°，满足上述三个条件但不全等的三角形个数称为伴生数．
（1）若，，则伴生数为______；
（2）若，n为正整数，且伴生数为4，则n的最大整数值是______．
【答案】 4 13
【分析】本题主要考查了新定义的理解，全等三角形的定义，
对于（1），根据新定义解答即可；
对于（2），先确定符合条件的n的值，再确定最大整数即可.
【详解】解：如图所示，中两边长为2和3，有一角为，所以伴生数为4；
当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4；
当时，比如：中两边长为6和7，有一角为，所以伴生数为4；
当时，伴生数不是4，所以n的最大整数是13.
故答案为：4；13.
3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点，，均在格点上，请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
(1)如图1，在网格内找一点，使得，作出（与不重合）．
(2)如图2，作边上的中线，并求出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，7
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理找到符合要求的点P即可；
（2）与中间格线的交点即为中点D，再利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求．（点P在点A右侧一个单位格点处）；
（2）解：如图所示，线段即为所求．
的面积．
【典型例题三 全等三角形的性质】
【例1】（25-26八年级上·广东云浮·期末）已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应角相等．
根据全等三角形对应角相等即可求解．
【详解】解：∵图中的两个三角形全等，
∴边的夹角相等，
∴，
故选：A．
【例2】 （25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，若，点B、E、C、F在同一直线上，，则的长是（ ）．
A．2 B．2.5 C．5 D．4.5
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点．根据全等三角形的性质可得，然后根据计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【例3】（25-26八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，，，，，则的度数是_____．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应角相等；由全等三角形性质推出，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数．
【详解】解：，，，
故答案为：．
【例4】（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，已知，点，，，在同一条直线上，交于点．若四边形的面积为，则四边形（即阴影部分）的面积为___________
【答案】9
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，即全等三角形的面积相等，以及图形面积的转化．解题的关键在于理解全等三角形面积相等这一性质，并能发现四边形与四边形的面积都可以通过全等三角形面积与面积的差来表示，从而建立起它们之间的等量关系．因为三角形全等，所以这两个三角形的面积相等．观察图形可知，的面积减去的面积就是四边形的面积，的面积减去的面积就是四边形（阴影部分）的面积，由此可通过面积的等量关系求出阴影部分面积．
【详解】∵
∴
∴
即
故答案为：9．
1．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知：如图，在四边形中，，厘米，厘米，厘米，点从点出发，以1厘米/秒的速度沿向点运动，同时点从点出发，沿向点运动，连接，则点的运动速度为（ ）厘米/秒时，与全等．
A．1或 B．1 C．1或3 D．3
【答案】A
【分析】设点运动秒时，与全等，则，，分两种情况：①当，时，②当，时，分别求出和，即可求解．
【详解】解：设点运动秒时，则，
，
，
，，
，
．
与全等，
分两种情况讨论：
①当，时，，
，
，
点的运动速度为（厘米秒）；
②当，时，，
，，
，
，
点的运动速度为厘米秒；
综上所述：点的运动速度为或厘米秒时，与全等．
2．（25-26八年级上·湖北黄石·期中）如图，中，，，，点从出发．以的速度沿向运动，设运动时间为秒，当从开始运动的同时，从出发以的速度，沿向运动，当与全等时，的值为_____．
【答案】或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意可得，，则，分两种情况：①当时，，；当时，，，分别列方程求解即可．
【详解】解：由题意可得，，
，
当时，，，
，，
解得，；
当时，，，
，，
解得，；
综上所述，当或时，与全等，
故答案为：或．
3．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）．
(1)用含t的代数式表示的长度：______；
(2)若与全等（其中与为对应角），求a的值．
【答案】(1)
(2)或2
【分析】（1）根据题意，可知，线段的和差关系表示出即可；
（2）分和两种情况进行讨论求解即可.
【详解】（1）解：由题意，，
∴．
（2）解：∵，点D为的中点，
∴．
由题意可知，，．
当与全等时，分以下两种情况：
当时，，，
∴，．
解得，．
当时，，，
∴，．
解得，．
综上所述，a的值为或2．
【典型例题四 用SAS证明三角形全等（SAS）】
【例1】（2026·贵州遵义·二模）下列三角形中，一定是全等三角形的是（ ）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】B
【详解】解：A、①和②只有一组角对应相等，无法证明全等，不符合题意；
B、①和③两边对应相等，且两边的夹角对应相等，
∴可以根据证明全等，符合题意；
C、③和④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意；
D、①④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意．
【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用等式的性质可得，然后添加利用证明，即可解答．
【详解】解：添加后能用“”判定，
理由：，
，
，
在和中，，
．
故选：A．
【例3】（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，为了测量池塘两端A、B的距离，小红在地面上选择了点O、C、D，，，且点A、O、C和点B、O、D分别都在一条直线上，就可以知道A、B之间的距离．那么判定的理由是______．
【答案】
【分析】本题考查了三角形全等的应用，根据题目给出的条件，要观察图中有哪些相等的边和角，然后判断所选方法．已知两边及其夹角相等，利用可证两个三角形全等．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴判定的理由是．
故答案为：．
【例4】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）小明制作了一个跷跷板模型，如图是其几何示意图，支点是跷跷板的中点（，，三点位于同一水平线上），已知点到水平地面的距离是，当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了，此时点到达点，则点到地面的距离为______．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．解题的关键是根据判定三角形全等，根据全等三角形的性质得到对应高相等．
连接、，通过证明，得到对应高相等，继而得到点到地面的距离．
【详解】解：如图，连接、，
由题意得：，，
在和中，
，
∴，
∵当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向下降了，
∴中，边上的高为，
∴中，边上的高为，
即：当点到达点的位置时，跷跷板在竖直方向上升了，
∵，
∴当点到达点，则点到地面的距离为：．
故答案为：．
1．（2026·吉林白山·二模）如图，，，．求证：．
【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
．
【分析】由，得到，结合已知条件，即可得证．
【详解】略
2．（25-26八年级上·浙江温州·阶段检测）如图，点在线段上，，请只添加一个合适的条件，使．
(1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ．
(2)请从（1）中选择一种加以证明．
【答案】(1)
(2)选择及证明过程见解析
【分析】本题考查添加条件使两个三角形全等，并证明，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键．
（1）由题中条件可知，按照“”，“”，使所缺的条件添加即可得到答案；
（2）由（1）中不同的判定定理及添加的条件，利用两个三角形全等的判定定理证明即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
，，
，
根据“”，使，需添加的条件是；
根据“”，使，需添加的条件是；
故答案为：；
（2）解：选择“”，添加，
证明过程如下：
，
，即，
在和中，
；
选择“”，添加，
证明过程如下：
，，
，即，
在和中，
．
3．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，，是边上一点（点不与，重合），连接，过点作，且，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（）由余角性质可得，进而根据判定定理“”即可求证；
（）由直角三角形两锐角互余得，又由全等三角形的性质得，即得到，进而即可求证；
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
又∵，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【典型例题五 全等的性质和SAS综合（SAS）】
【例1】（25-26八年级上·天津·期末）如图，图中有三个正方形，则全等三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定及正方形的性质，根据正方形的性质利用即可求解，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【详解】解：如图所示，
∵四边形为正方形，
，，
在和中，
，
；
∵四边形为正方形，
，
，
，
在和中，
，
；
同理可得：，
综上可知全等的三角形有3对．
故选：A．
【例2】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，要测量池塘两端点，间的距离，在平地上取一点，连接，，并延长到，两点，使，；连接，测量的长即可得知，间的距离．这种方法的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据证明，得出，即可得出答案．
【详解】解：在与中，
，
∴，
∴，
即测量的长即可得知，间的距离．
【例3】（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在的方格中，点、、、、均在格点上，那么____________度．
【答案】90
【分析】取格点F，连接，，得到，得到，进而求解即可．
【详解】解：取格点F，连接，，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【例4】（25-26八年级上·广东东莞·期末）某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；②沿河岸直走有一棵树，继续前行到达处；③从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；④测得的长为，那么河的宽度是________．
【答案】12
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，证明即可解答．
【详解】解：由题意可知，，，
∴，
∴，
故答案为12．
1．（2026·广东广州·二模）如图，是线段的中点，，．求证：．
【答案】证明：∵是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【分析】证明，可知．
【详解】略
2．（25-26七年级下·山东青岛·期中）如图，网格中每个小格都是边长为1的正方形，点、、、都在网格的格点上．
(1)过点画直线的垂线，垂足为点；
(2)比较大小：____________，理由是：______________；
(3)线段，则点到直线的距离为_______________．
【答案】(1)见解析
(2)，垂线段最短
(3)
【分析】（1）结合全等三角形的判定和性质作图即可；
（2）根据垂线段最短作答即可；
（3）根据等面积法计算即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即是直线的垂线；
（2）解：，理由是：垂线段最短；
（3）解：设点到直线的距离为h，
∵，
∴，
解得：．
3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段检测）在中，，点为射线上一点，连接，过点作线段的垂线，在直线上，分别在点的两侧截取与线段相等的线段和，连接，．
(1)当点在线段上时（点不与点，重合），如图线段，所在直线的位置关系为 ，线段，的数量关系为 ．
(2)当点在线段的延长线上时，如图，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】(1)
(2)仍然成立，理由见解析
【分析】（1）可证，从而可证，即可求解；
（2）可证，从而可证，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴ ，
∴ ，
即：，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
∴；
故答案为： ；
（2）解：：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵，
∴ ，
∴ ，
即：，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，
∴．
【典型例题六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】
【例1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，太阳光线与是平行的，在同一时刻将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，在太阳光照射下的影子一样长吗？这里判断影子长相等利用全等三角形的性质，其中判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形判定条件分析即可．
【详解】解：由题可得：，，
，
，
．
【例2】（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，，垂足分别为D，E，．下列选项中，可以直接作为判定的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由判定，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴可以直接作为判定的依据是．
【例3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，要使，还需添加的一个条件是_______________．（写出一个即可）
【答案】（或、等）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：（或、等）．
【例4】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，小明不小心将书上的一个三角形用墨迹污染了一部分，但他很快就根据所学知识画出了一个和书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据为_________．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据题意可得三角形的两角和它们的夹边是完整的，由此可利用定理作出完全一样的三角形，从而得解．
【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，故可以利用定理作出完全一样的三角形，
故答案为：．
1．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，点E为的中点，，．求证：．
【答案】【详解】证明∶∵点E为的中点，
，
在和中，
，
．
【分析】由中点定义可得，再由已知的两个角相等，根据即可判定．
【详解】略
2．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉爸爸制作的风筝，风筝的一角（）缺失，为修补该风筝，嘉嘉测得，，．
(1)淇淇说：“测得的长就是的长．”请你判断淇淇的说法是否正确，并说明理由；
(2)若用纸面积为30，求的用纸面积．
【答案】(1)正确，理由见解析
(2)30
【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，线段和差问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质；
（1）由得，利用证明，得；
（2）先利用证明，得，由（1）知，进而得，利用证明，根据用纸面积为30，求的用纸面积．
【详解】（1）解：正确；
理由：，，，
，
在与中，
，
，
，即测得的长就是的长；
（2）（2）由（1）可知，
，，
在与中，
，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
．
3．（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，亮亮来到公园游玩，发现一段斜坡，已知是水平地面，他想测量斜坡上一点的竖直高度，设计了如下方案：
主题 测量斜坡上一点的竖直高度
测量方案及示意图 ①用皮尺测得斜坡米；②站在点处立上一根竹竿，使；③在竹竿顶的点处垂下一根5米长的绳子，绳子的另一端落在斜坡的点处；④用皮尺测得米．(点，，，，在同一平面内)
根据以上信息，求斜坡上一点的竖直高度．
【答案】斜坡上一点的竖直高度为2米
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，关键是利用竖直线段的平行关系找到相等的角，结合已知直角和边相等的条件证明三角形全等．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴(米)．
答：斜坡上一点的竖直高度为2米．
【典型例题七 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）】
【例1】（25-26八年级上·广东东莞·阶段检测）如图，在中，，，垂足为，，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．证明，求得，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【例2】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，然后在处立了标杆，使，测得的长是20米，的长是30米，则，两点间的距离为（ ）
A．10米 B．15米 C．20米 D．30米
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据已知得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
米，
∴A，B两点间的距离为米，
故选：C．
【例3】（25-26八年级上·广东·阶段检测）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm．
【答案】2
【分析】求出，证明，利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴．
【例4】（25-26八年级下·福建龙岩·阶段检测）如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，点A、点C到平面镜B点的距离相等．图中点A，B，C，D在同一条直线上．则灯泡到地面的高度是________．
【答案】
【分析】证明，则可得到．
【详解】解：由光的反射定律可得，
由题意得，，
∴，
∴．
1．（2026·陕西商洛·一模）如图，在中，，，分别是边，，上的点，，，．求证：．
【答案】
证明：，，
，，，
，
在和中，
，
．
【分析】根据全等三角形的判定和平行线的性质证明即可
【详解】略
2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，某校项目式学习小组开展项目活动，测量福田区园博园福塔底座的直径．下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案：
测量示意图 测量说明 测量结果
方案① 如图1，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E，A，D在一条直线上，测出的长
方案② 如图2，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D，E两点之间的距离
请你选择上述两种方案中的一种，计算福塔底座的直径．
【答案】福塔底座的直径为
【分析】选择方案：根据平行线的性质，得，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论；选择方案：直接利用证明，再利用全等三角形的性质可得结论．
【详解】解：选择方案①：
∵，
∴．
在和中，，
∴．
∵，
∴．
∴福塔底座的直径为；
选择方案②．
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴福塔底座的直径为．
3．（25-26七年级下·广东深圳·期中）为了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），三个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点处，利用工具测得河东岸的一棵树底部点恰好在点的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 如图，从点向正南方向走到点，此时恰好测得． 如图，观测者从点向正北走到点，使用测量角度的仪器测得，交延长线于 如图，从点向正南方向走到点，是的中点，继续从点沿垂直于的方向走，直到点在一条直线上．
测量方案示意图
(1)由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段___________的长度；
(2)第二小组设计的测量方案，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽长？并说明理由；
(3)聪明的小明发现：有两个角相等的三角形是等腰三角形，如图1，在中，，他过点作交于点，易证，进而得出．有了这个发现他又想出一种测量方法：如图，他从点沿着南偏东的方向走到点，此时恰好测得，同时测得米，请你帮他们求出河宽为___________米．

(4)第三小组在实际测量中，从点走到点处时发现前方有大石头挡路（如图4），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点，满足点在一条直线上且点在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长，你认为他们的方案是否可行．如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．（提示：可结合（3）中小明的发现证明）
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)35
(4)可行，见解析
【分析】（）可得是等腰直角三角形，即可求解；
（2）证明，所以，从而求解；
（3）由三角形内角和定理求解得到，即可得到；
（4）延长交的延长线于点，证明，所以，，设，则，通过三角形内角和定理得出，所以，从而得，所以，从而求解
【详解】（1）解：由题意，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形
∴，
∴河宽的长度就是线段的长度；
（2）解：测出线段的长度，理由如下：
由题意，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴线段的长度就是河宽的长度．
（3）解：由题意得，，
∵，
∴，
∴
∴（米）；
（4）解：第三小组的方案可行，证明如下：
延长交的延长线于点，
∵是的中点，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，则，
又∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故第三小组的方案可行．
【典型例题八 用SSS证明三角形全等（SSS）】
【例1】（24-25八年级上·河北沧州·期末）图是手工艺人制作的风筝，他根据，，利用两个三角形全等不用度量就可以知道，他判定两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据判定即可．
【详解】解：∵在和中,
，
∴，
∴，
∴判定两个三角形全等的依据是．
故选：A．
【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，点是，的中点，要用“”证明，则只需添加一个适当的条件是________．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握“”证明两个三角形全等是解决问题的关键；根据证明的方法选择添加的条件．
先根据线段中点的定义得到，，则用“”证明需要添加．
【详解】解：点是，的中点，
，，
当添加时，．
故答案为：．
【例3】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，勤劳的小蜜蜂A、B、C、D、E、F分别位于蜂房（由若干个正六边形拼成向阳面的一侧劳作，若任何不共线三点位置都可以组成一个三角形，则与全等的三角形是________．
【答案】，
【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
根据全等三角形的判定定理结合图形进行判断即可．
【详解】解：根据图象可知和及全等，
理由是：∵根据图形可知，
在和中，
∴，
根据图形可知，
在和中，
∴，
故答案为：，．
【例4】（25-26七年级下·河南郑州·阶段检测）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点作射线由该做法得到的依据是__________．
【答案】/边边边
【分析】由作图过程可得，，再加上公共边，可利用定理判定．
【详解】解：在和中
，
∴．
1．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰三角形中，，是它的一条中线，与全等吗？为什么？
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定， 先根据中线结合等腰三角形的性质得到，进而根据三角形全等的判定（）即可求解．
【详解】解：，
理由∶∵为中线，
∴，
∵，，
∴
2．（2025·山东聊城·二模）如图，已知，点，在线段上，且．
(1)请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：（填写序号）_____（只需选一个条件，多选不得分），请说明理由；
(2)利用（1）的结论，求证：．
【答案】(1)
解：可选取①或②；
证明：当选取①时，
在与中，
，
；
当选取②时，
在与中，
，
；
(2)
证明：当选取①时，
∵，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
当选取②时，
∵，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
．
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定．
（1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，
（2）根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可．
【详解】（1）略
（2）略
3．（24-25八年级上·广东惠州·期中）综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
【操作发现】对折（），使点落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，如图①．发现四边形满足：，．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)【初步应用】如图①，在中，若，，则__________．
(2)【性质探究】借助学习几何图形的经验，通过类比、猜想、证明等方法，小红对筝形的性质进行了探究，如图②，已知，．求证：；
(3)【拓展探究】设与相交于点，试猜想筝形的对角线与之间有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)垂直平分线段．
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定．
（1）证明，根据内角和定理、外角性质和全等三角形的性质即可求解；
（2）根据即可证明；
（3）由推出，利用证明，得到，，即可得到垂直平分线段．
【详解】（1）解：在中，若，，
，
在和中，
，
∴，
，
，
故答案为：；
（2）证明：在和中，
，
∴；
（3）解：垂直平分线段．
证明：由（2）得，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，，
∴垂直平分线段．
【典型例题九 全等的性质和SSS综合（SSS）】
【例1】（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）如图，有一个简易平分角的仪器，其中，将点放在角的顶点处，和沿着角的两边张开，沿对角线画线，就是的平分线．这个平分角的仪器的制作原理是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键；由题意易证，则有，进而问题可求解．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，即是的平分线；
故选：D．
【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，工人师傅要检查人字梁的和是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．于是，他首先分别在和上取；接着在上取．如果工人师傅想得到正确的结果，那么他还需要测量（ ）
A．的长度 B．的长度 C．和的长度 D．和的长度
【答案】C
【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意正确得出对应边相等是解题关键．
利用全等三角形的判定方法得出，进而得出答案．
【详解】解：要证明和是否相等，得证明与是否全等，
当时，
在和中，
，
，
故可以测量和的长度来判断与是否全等，
故选：C．
【例3】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，，，．若，则________．

【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，由题意可证，可得，再根据三角形内角和即可得．
【详解】证明：如图，设交于点，

在和中，
，
，
，
，,，
．
故答案为：．
【例4】（24-25八年级上·海南海口·期末）如图，已知相交于点E．由这些条件可得出若干个结论，请写出三个正确的结论．
结论1：___________；
结论2：___________；
结论3：___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明即可得到结论．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；；．
1．（24-25八年级上·全国·单元复习）如图，在中，，D为的中点，则下列结论中：①；②；③平分；④，其中正确的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由D为中点可得，利用即可证明，根据全等三角形的性质逐一判断即可.
【详解】解：∵D为的中点，
∴，
又∵为公共边
∴，故①正确，
∴，
∵，
∴，即，故②③④正确.
综上所述：正确的结论有①②③④共4个，
故选D.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力．其中灵活运用所给的已知条件，从而对各个选项进行逐一验证进而确定答案是解题的关键.
2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在和中，点在边上，与交于点，．若，则______．
【答案】
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．
先根据定理得出，故，可得出结论．
【详解】解：在和中，
，
，
，
故答案为：
3．（25-26八年级上·河北保定·期中）风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放．简称“四艺”．从如图1所示的风筝中可以抽象出几何图形（图2），其中，．
(1)猜想和的数量关系：______．
(2)证明你的猜想．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】此题考查全等三角形的应用，关键是利用证明和全等来解答．
（1）猜想和相等；
（2）利用证明和全等即可得出结论．
【详解】（1）解：．
（2）证明：在和中，
．
．
【典型例题十 用HL证全等（HL）】
【例1】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，为线段上两点，，，，则添加一个条件：不能用“”判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，根据判定定理即可．
【详解】解：∵，，
∴和是直角三角形，
又∵，
．当，可以用“”判定，故该选项不符合题意；
．当，不可以用“”判定，故该选项符合题意；
．当，∴，即，可以用“”判定，故该选项不符合题意；
．当，可以用“”判定，故该选项不符合题意；
故选：B．
【例2】（24-25八年级上·河北唐山·期末）综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．小张同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（ ）．
A．SAS B．AAS C．SSS D．直角三角形全等的判定定理
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握利用证明两个直角三角形全等，是解题的关键．由作图可知，，利用证明两个直角三角形全等，即可．
【详解】解：由作图可知：，
在和中，
∵，
∴（）；
故选D．
【例3】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，若要用“”证明，则需要添加的一个条件是__________．
【答案】（或者）
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据直角三角形全等的判定定理“”：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：，
故若要用“”证明，则需要添加的一个条件是（或者），
故答案为：（或者）．
【例4】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是___．（填或或）
【答案】
【分析】利用判定方法“”证明 和 全等，进而得出答案；
【详解】解：∵，
∴，
在和 中，
，
∴，
∴，
∴ 是 的平分线；
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，熟练掌握三角形全等的判定方法并读懂题目信息是解题的关键
1．（2026·福建龙岩·二模）如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：．
【答案】证明见详解
【分析】先求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得．
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
，
．
2．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等．
(1)与全等吗？请说明理由．
(2)若，，，求线段的长度．
【答案】(1)全等，理由见详解
(2)
【分析】（1）由两个直角三角形全等的判定定理判定即可；
（2）由全等的性质得到长，数形结合表示出求解即可．
【详解】（1）解：全等，理由如下：
由题意可知，，，，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）知，
，
，，
线段．
3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点、、、在同一直线上，，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接、，过点作，过点作，垂足分别为点、．在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中的四对全等三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)；；；
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定，灵活证明三角形全等是解题的关键．
（1）由可得到，再利用判定出得到，即可解答；
（2）灵活运用全等三角形的判定方法证全等即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：全等三角形有；；；，理由如下：
∵，，
∴是边上的高，是边上的高，
由（1）可得，
∴，，，，
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，即，
∴，即，
在和中，
，
∴．
【典型例题十一 全等的性质和HL综合（HL）】
【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴均为直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B
【例2】（24-25八年级上·天津静海·阶段检测）如图，直线，相交于点O，于点E，于点F．若，且，则的度数为（ ）
A．65° B．60° C．45° D．30°
【答案】A
【分析】先求出，再证明，即有，问题得解．
【详解】∵，
∴，
∵于点E，于点F，
∴，是直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
【例3】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，在，，是上一点，且，于点，若，则的值为___________．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．连接，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求解．
【详解】解：连接，如图：
∵，于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【例4】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等．若，则的度数是______．

【答案】/57度
【分析】根据，，证明，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
1．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在和中，，与相交于点，且，，连接，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】先利用定理证明与全等，得到对应角，再通过角的和差关系，用这两个角同时减去公共角，即可推导出．
【详解】证明：∵，
∴和均为直角三角形．
在和中，
∴，
∴，
∴，
即．
2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，平分，于点E，点F在上且满足．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)54
【分析】（1）利用证明；
（2）得到，再利用证明可证明；
（3）由全等三角形的性质得到，，则可证明，据此计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，用（）证明三角形全等（或者），全等的性质和综合（）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
3．（24-25八年级下·山东枣庄·期中）如图，在中，，是过点A的直线，于D，于点E．
(1)若B、C在的同侧（如图1所示）且，与垂直吗？为什么？
(2)若B、C在的两侧（如图2所示），其他条件不变，与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
【答案】(1)垂直，理由见解析
(2)垂直，理由见解析
【分析】（1）根据题意证明，根据全等三角形对应角相等，即可求证；
（2）根据题意证明，根据全等三角形对应角相等，即可求证．
【详解】（1）解：垂直，理由如下：
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：垂直，理由如下：
，，
，
在和中，
，
，
，即，
．
1．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个长方形是全等图形 B．形状相同的两个三角形全等
C．两个全等图形面积一定相等 D．所有的等边三角形都是全等三角形
【答案】C
【分析】性质、大小完全相同的两个图形是全等形，根据定义解答．
【详解】A、两个长方形的长或宽不一定相等，故不是全等图形；
B、由于大小不一定相同，故形状相同的两个三角形不一定全等；
C、两个全等图形面积一定相等，故正确；
D、所有的等边三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形；
故选：C．
【点睛】此题考查全等图形的概念及性质，熟记概念是解题的关键．
2．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，P、Q两点分别在边和过点A且垂直于的射线上运动，且．若以A、P、Q为顶点的三角形与全等，则的长为（ )
A．3 B．8 C．3或8 D．以上都不正确
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质即可得解，熟练掌握全等三角形的性质结合分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：，，以，，三点为顶点的三角形与全等，
或，
，，
或8．
故选：C．
3．（25-26七年级下·上海·期末）如图，且，且，按图中所标数据，则阴影部分面积（ ）
A．46 B．48 C．50 D．52
【答案】C
【分析】先证明，由此可以证明≌ ，所以，；同理证得≌，，，从而可求得，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．
【详解】解：且，，，
，
，，
，
，，，
，
，，
同理可证，
，，
，
．
4．（2026·辽宁大连·二模）如图，在中，，是上一点．，，垂足分别为，，，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，，可求得，从而有对应角相等，即可求的度数．
【详解】解：，，且知，，
，
在和中，
，
，
，
．
5．（25-26八年级上·山东德州·期中）已知，如图1，．画一个．使得．在已有的条件下，图2、图3分别是甲、乙两同学的画图过程．下列说法错误的是（ ）
A．甲同学作图判定的依据是
B．甲同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C．乙同学作图判定的依据是
D．乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
【答案】D
【分析】本题考查的是全等三角形的判定，根据作图痕迹判定相等的线段再结合全等三角形的判定方法可得结论，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．
【详解】解：甲同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时用圆规截取的长度是线段的长，甲同学作图判定的依据是，则选项A，B正确不符合题意；
乙同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长，第二步作图时用圆规截取的长度是线段的长，乙同学作图判定的依据是，则选项C正确，不符合题意，D不正确，符合题意；
故选：D．
6．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在3×3的正方形网格中，则_________°．
【答案】180
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．
通过观察正方形网格，找出全等的直角三角形，利用全等三角形的性质得到角的互余关系，进而计算出四个角的和．
【详解】解：∵在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
同理得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：180．
7．（24-25七年级下·全国·暑假作业）如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可．
【详解】解：由图可知，与是对顶角，
∵与全等，
∴与是对应角，
又与是对应边，
∴与是对应边，
故答案为：，．
8．（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形，那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是__________．
【答案】7
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形．
分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量．
【详解】解：如图所示，以为公共边，与全等的格点三角形有3个，
以为公共边，与全等的格点三角形有1个，
以为公共边，与全等的格点三角形有3个，
共个．
故答案为：7．
9．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点E的对应点为，与边相交于D点，恰好是的角平分线，则_______，若，则的长为_______．
【答案】 2
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、折叠的性质，由题意可得，由角平分线的定义可得，由折叠的性质可得，，再由三角形内角和定理计算即可得出的度数，延长和延长线相交于点，证明，得出，从而可得，再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵将沿翻折，点E的对应点为，
∴，，
∴，
∴；
如图，延长和延长线相交于点，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：，．
10．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）：_______．

【答案】
【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线．
过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明，
可得，即平分，因此这种画法的依据是．
【详解】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．

∵尺的宽度相等，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
∴平分，
画法的依据是：．
故答案为：．
11．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，与相等吗？为什么？
【答案】相等；理由：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】根据全等三角形的对应边相等进行求解即可．
【详解】略
12．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在 与 中，，，．试说明：．
【答案】证明：，
，即，
在和 和 中，
，
，
．
【分析】由得，证明，可得．
【详解】略
13．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）近年来，随着“双减”政策的深入推进，项目化学习已经成为实践育人的重要方式．为了激发学生的学习兴趣，某学校开展了“依数学之托，解生活之谜”的数学项目化实践活动．
项目背景 依数学之托，解生活之谜
项目主题 测量河（河的两岸平行）的宽度
项目工具 测角仪、皮尺
项目实施 ①在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树，使垂直于河岸（如图）； ②在点所在河岸同侧平地上取点、．使，，三点在同一直线上，且，测得，；③在的延长线上取一点，使； ④测得的长度为．
求这条河的宽度．
【答案】
【分析】先利用三角形内角和定理可得，再利用证明，然后利用全等三角形的性质可得，再利用等式的基本性质进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
14．（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且．
(1)①尺规作图：在上方作，使得．
（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
②尺规作图中，判定的依据是__________________．
（填：）．
(2)在（1）的条件下，连接与全等吗？请说明理由．
【答案】(1)①见解析；②
(2)全等，理由见解析
【分析】（1）①分别以E为圆心，为半径，以C为圆心，为半径画弧，两弧交于点F即可；
②根据作图可知判定的依据是；
（2）根据全等三角形的性质得到，，根据平行线的性质得到，即可证明．
【详解】（1）解：①如图，即为所求；
②由作图可知，，，
∵，
∴；
（2）解：全等，理由如下：
如图，
，
在和中
15．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯水平方向的跨度为3米，且左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．
(1)这两个滑梯的倾斜角与的大小关系如何？请说明理由．
(2)求右边滑梯的高度．
【答案】(1)与互余，理由见解析
(2)3米
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）已知和中，，，利用可判断两三角形全等，则，又可知，则可知与的大小关系
（2）由全等三角形对应边相等可知，则题目可求．
【详解】（1）解：与互余；
理由：在和中，
，
∴，
，
又，
，
即两滑梯的倾斜角与互余；
（2）解：∵，
∴米，
答：右边滑梯的高度为3米．
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