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第04讲 整式的乘法（6大知识点+14大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 用科学记数法表示数的乘法
典型例题二 同底数幂相乘
典型例题三 幂的乘方运算
典型例题四 积的乘方运算
典型例题五 幂的乘方的逆用
典型例题六 积的乘方的逆用
典型例题七 单项式乘单项式计算
典型例题八 计算多项式乘多项式
典型例题九 整式乘法混合运算
典型例题十 计算单项式乘多项式及求值
典型例题十一 多项式乘多项式——化简求值
典型例题十二 已知多项式乘积不含某项求字母的值
典型例题十三 多项式乘法中的规律性问题
典型例题十四 多项式乘多项式与图形面积
知识点01 幂的定义
如果一个数a的n次方等于b，那么我们就说a是b的n次方根。例如，2的3次方等于8，我们就说2是8的3次方根。
【即时训练】
1．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）计算的结果为________．
知识点02 幂的运算法则
包括同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方；(ab)的n次方等于a的n次方乘以b的n次方等。
【即时训练】
1．（2026·山西太原·二模）已知，均为正整数，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知 ，，则的值是_______ ．
知识点03 幂的运算顺序
在进行幂的运算时，需要遵循一定的运算顺序。一般来说，先进行括号内的运算，再进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。
【即时训练】
1．（2026·安徽安庆·二模）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·天津滨海新区·二模）计算的结果为__________．
知识点04 单项式与单项式的乘法
法则概述：单项式乘以单项式，需要将它们的系数相乘，相同字母的指数分别相乘，只在一个单项式中出现的字母则直接作为积的一个因式。
计算步骤：交换并相乘各单项式的系数，确定符号后再计算绝对值；相同字母进行同底数幂的乘法，底数不变指数相加；只在单个单项式中存在的字母连同其指数一起作为结果的一部分。
运算顺序和合并同类项：在混合运算时应注意运算顺序，有同类项时必须进行合并，以得到最简结果。
【即时训练】
1．（2026·河南焦作·二模）若a，b为实数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级下·四川达州·期中）计算：___________．
知识点05 单项式与多项式的乘法
分配律的应用：单项式与多项式相乘实际上是一个分配律的应用过程，即将单项式乘以多项式的每一项，然后将所有结果累加。
计算细节：需要注意符号问题，包括多项式中的每一项及其前面的符号；同时注意单项式的符号。混合运算中要注意先乘除后加减的顺序，并在最后合并同类项以得到最简形式。
【即时训练】
1．（2026·陕西西安·二模）计算的结果是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2026·天津红桥·三模）计算的结果为________．
知识点06 多项式与多项式的乘法
乘法过程：两个多项式相乘涉及一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，然后将所有结果加在一起。
结果化简：多项式乘以多项式的结果仍为多项式，且在未合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积。最后结果需化简到最简形式，合并同类项。
【即时训练】
1．（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图，则长方形花园的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级下·福建宁德·期中）若，则______________．
【典型例题一 用科学记数法表示数的乘法】
【例1】2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【例2】（2025·山东日照·模拟预测）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【例3】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）一种计算机每秒可做次运算，它工作了，共可做______次运算．（用科学记数法表示）
【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）世界上最大的金字塔是埃及的胡夫金字塔，这座金字塔共用了约块大理石，每块大理石重约．胡夫金字塔所用大理石的总质量约为_______（用科学记数法表示）．
1．（2025·河北·模拟预测）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的（ ）倍．（用科学记数法表示）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）已知电磁波的速度是，从太阳系外距地球最近的一颗恒星发出的电磁波，要4年的时间才能到达地球，一年以计算，则这颗恒星与地球的距离是_______________m．
3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）对于任意实数a、b、c、d，我们将式子称为二阶行列式，并且规定．
(1)计算的值；
(2)若，求的值．
【典型例题二 同底数幂相乘】
【例1】（2026·陕西咸阳·一模）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级下·四川·期中）下列各式中，计算结果等于的是（　）
A． B． C． D．
【例3】（24-25七年级下·广西桂林·期中）若，则______．
【例4】（24-25七年级下·山西·阶段检测）已知：，则的值为___________．
1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）“整体思想”在数学运算中有着重要的作用：请解决以下问题：
(1)以下是小明计算的过程．
解：原式①
．②
小明的计算过程是从第______步开始出现错误（填序号），请写出正确的过程．
(2)若，求的值．
3．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）小明在预习课本时看到幂的运算章节图里有这样一句话：“乘方的意义、乘法运算律是研究幂的运算性质的基础”，我们知道同底数幂的乘法运算性质为：．（、是正整数）．
(1)请结合课本的这句话写出这一运算性质的推导过程；
(2)解决问题：已知，，求的值．
【典型例题三 幂的乘方运算】
【例1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）化简，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2026·河南焦作·一模）若，则m的值是（ ）
A． B．0 C． D．1
【例3】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：__________．
【例4】（25-26七年级下·全国·课后作业）填空：
（）；
（）；
（）；
（）．
括号内依次填入______、______、______、______．
1．（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）计算、求值
(1)已知，求的值．（用含m，n的代数式表示）
(2)已知，求的值．
2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题：
(1)若，求x的值．
(2)若，求x的值．
3．（2026七年级下·江苏·专题练习）计算下列各式，并用幂的形式表示结果：
(1) ， ； ， ； ， ； ， ．
(2)观察第（1）题的计算结果，你有什么发现？把你的发现用适当的数学符号表示出来．
【典型例题四 积的乘方运算】
【例1】（24-25七年级下·河南焦作·期中）的结果是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级上·河南濮阳·期末）计算：（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）计算：_______
【例4】（25-26七年级上·重庆合川·阶段检测）计算：①_________．②已知，，则________．
1．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）阅读下列各式：，，
(1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____；
(2)应用规律：
①填空：_____，_____；
②计算：
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算下面两组算式：
(1)①与；②与；
(2)根据以上计算结果猜想：等于什么？（直接写出结果）
(3)猜想与验证：当n为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由．
(4)利用上述结论，求的值．
【典型例题五 幂的乘方的逆用】
【例1】（25-26七年级上·四川泸州·期末）已知：，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2】（24-25七年级上·湖南衡阳·自主招生）满足不等式的最大整数等于（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级上·北京朝阳·期中）_____．
【例4】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知，，，则 a 、b 、c 之间的大小关系为 _____．（用“”连接）
1．（2026七年级下·全国·专题练习）已知n为正整数，且，求的值．
2．（25-26七年级下·甘肃张掖·期中）某同学在比较的大小时，发现44，33都是11的倍数，于是他将这两个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这两个数的大小．
解：因为，
所以
即
请根据上述解题思路完成下题：若，试比较a，b的大小．
3．（2026七年级下·江苏·专题练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．试选择合适的方法解决以下问题：
(1)比较与的大小；
(2)比较、、的大小．
【典型例题六 积的乘方的逆用】
【例1】（25-26七年级上·四川成都·期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．3
【例2】（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级上·四川南充·期中）计算：_____．
【例4】（25-26七年级上·全国·随堂练习）计算：，横线内应依次填入：________、________、________、________．
1．（25-26七年级上·福建泉州·期中）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题：
作业 计算：． 解：原式．
(1)计算：；
(2)若，请求出的值．
2．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）观察与思考：
①；②．
(1)算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________．
(2)计算
3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）阅读材料，根据材料回答：
例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216．
例如2： =8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125
=（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）= =1．
(1)仿照上面材料的计算方法计算：．
(2)由上面的计算可总结出一个规律：=___________（用字母表示）；
(3)用（2）的规律计算：．
【典型例题七 单项式乘单项式计算】
【例1】（2026·陕西榆林·一模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级上·四川遂宁·阶段检测）已知单项式与的积为，则，的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【例3】（25-26七年级上·山东烟台·期末）计算：______．
【例4】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）定义一种新运算：．例如：，则的结果是______．
1．（2025七年级上·广东江门·专题练习）计算：
2．（2025七年级上·上海·专题练习）已知：，求的值．
3．（24-25七年级上·全国·寒假作业）表示，表示，求．
【典型例题八 计算多项式乘多项式】
【例1】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）若，则m、n的值分别为（ ）
A．5；6 B．5； C．1；6 D．1；
【例2】（24-25七年级下·陕西铜川·阶段检测）下列式子中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】（24-25七年级上·福建福州·期中）若，则的值为__________．
【例4】（24-25七年级上·四川眉山·期末）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为__________．
1．（25-26七年级上·河北张家口·阶段检测）甲做一道整式乘法的计算题，由于甲抄错了第1个多项式中a的符号，得到的结果为，请你计算出a、b的值各是多少，并写出正确的算式及结果．
2．（24-25七年级上·全国·单元测试）小明和小刚共同解一道题，由于粗心，小明抄错了第一个多项式中前面的符号，得到的结果为；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是．
(1)求a，b的值；
(2)计算出正确的结果．
3．（25-26七年级上·北京·期中）请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务．
多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得，这就是多项式除以多项式． 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算． 例如，可仿照用竖式计算（如图）． 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算．
(1)任务一：补全材料中的两个空①：__________，②：__________．
(2)任务二：仿照例子的做法计算：
①__________；
②__________．
(3)任务三：若的商为整式，求的值和商式（请列出竖式并回答）．
【典型例题九 整式乘法混合运算】
【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）化简a（b﹣c）﹣b（c﹣a）+c（a﹣b）的结果是（ ）
A．2ab+2bc+2ac B．2ab﹣2bc C．2ab D．﹣2bc
【例3】（24-25七年级上·上海长宁·期中）若，，，则___________．
【例4】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是_____，最大值是_____．
1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）计算：．
2．（2025·河北秦皇岛·一模）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为，，，然后在黑板上写了一个等式：（，为常数）．
(1)求，的值；
(2)当为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）．
3．（24-25七年级下·湖南常德·期中）知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式 的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则．
理解应用：
(1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值；
(2)已知，，且的值与的取值无关，求的值．
【典型例题十 计算单项式乘多项式及求值】
【例1】（24-25七年级上·重庆·阶段检测）要使的展开式中不含的项，则的值是（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【例2】（24-25七年级下·山东淄博·阶段检测）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（ ）
A．17 B． C． D．-17
【例3】（24-25七年级上·陕西延安·阶段检测）若，则的值为______．
【例4】（2025七年级下·江苏·专题练习）已知中不含x的二次项，则__．
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)
2．（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）数学课上，王老师给学生出了一道题：当时，求的值．小明说：“不用给出的值就可以计算出结果．”小军说：“没有的值不能计算出结果．”你认为他们谁的说法正确，请说明理由．
3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列是一道例题的部分解答过程，其中A、B是两个关于x、y的二项式．
例题：化简：，
解：原式，
____________．（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
(1)多项式A为____________，多项式B为____________；例题的化简结果为____________；
(2)先化简，再求值：，其中，．
【典型例题十一 多项式乘多项式——化简求值】
【例1】（24-25六年级下·山东烟台·期中）若，则的值为（ ）
A． B．9 C． D．不确定
【例2】（2025七年级下·江苏·专题练习）阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：
四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果是（　　）
A． B．
C． D．
【例3】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）已知，则的值等于________．
【例4】（24-25七年级上·宁夏石嘴山·期末）数学家发明了一个魔术盒，当任意有理数对进入其中时，会得到一个新的有理数，现将数对放入其中的得到数再将数对放入其中，最后得到的数是_____________．（结果要化简）
1．（2026七年级下·江苏·专题练习）先化简，再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中，．
2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）在计算时，嘉嘉把n错看成了8，得到的结果是：；琪琪错把看成了，得到结果：．
(1)求出m，n的值；
(2)求的值．
3．（24-25七年级上·山西长治·阶段检测）观察下列算式特征，并完成相应任务．
；
；
；
．
(1)任务一：发现与表达
请用含字母的算式表示以上算式的一般特征： ___________．
(2)任务二：问题与解决
如果，其中均为整数，则的取值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(3)任务三：拓展与猜想
若，则______，______．
【典型例题十二 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
【例1】（25-26七年级下·河南平顶山·期中）若运算结果中不含项，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级上·吉林·期中）若的展开式中不含项，则______．
【例4】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）已知关于的整式与的积不含二次项和三次项，则______．
1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系；
（2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值．
2．（24-25七年级上·山东德州·阶段检测）（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系．
（2）已知多项式ax﹣b与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，试求的值．
3．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）已知代数式，．
(1)与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值；
(2)先化简，再将（1）中的结果代入求值．
【典型例题十三 多项式乘法中的规律性问题】
【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）根据，，，的规律，可以得出的结果可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级下·河南郑州·阶段检测）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就之一，它直观的呈现了展开式中各项的系数，如图所示．如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1；
，它有三项，系数分别为1，2，1；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
根据上述材料，的展开式中含项的系数为（ ）．
A． B．20 C． D．
【例3】（24-25七年级上·广西南宁·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中从左起第四项的系数为_____．
【例4】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律：
展开式系数和为
展开式系数和为
展开式系数和为
展开式系数和为
根据上述规律，展开式的系数和是_________．
1．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）观察下列各式：
；
；
；
…
(1)你能否由此归纳出一般性规律：______；
(2)根据以上规律解决：
①；
②，则______．
2．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）根据规律求解：
(1)计算下列各式：
______；
______；
______；
…
观察上面等式，把下面表示等式规律的内容填写完整；
______．
根据上面规律解决下列问题：
(2)证明这个等式．
(3)计算：；
(4)直接写出：的计算结果．
3．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如图所示．
(1)观察图中的规律，填空：“★”表示的数是________，________；
(2)计算：．
(3)此规律还可以解决实际问题：今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过天是星期几？直接写出答案．
【典型例题十四 多项式乘多项式与图形面积】
【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，与的差为4，小长方形的周长为16，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．26 B．28 C．30 D．32
【例2】（24-25七年级上·重庆·期中）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，则梯形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）将一块长为，宽为的长方形地砖的长，宽各裁去2cm，则剩余部分的面积为______cm2
【例4】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）数学学习中我们经常会采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如通过图1我们可以得到代数恒等式．事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，例如图2表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体，通过重新割补拼成一个新长方体，请你根据图2中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______．
1．（25-26七年级下·全国·阶段检测）如图，嘉嘉用2张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为的正方形，按要求回答下面的问题．
(1)求长方形硬纸片的长和宽；
(2)嘉嘉想用该正方形硬纸片制作一个体积为的正方体无盖笔筒，该硬纸片是否够用？若够用，请求出剩余的硬纸片的面积；若不够用，请求出缺少的硬纸片的面积．
2．（25-26七年级上·江西宜春·阶段检测）某社区利用一块长方形空地修建了一个停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺水泥花砖，剩余部分均是宽度为米的道路．
(1)求铺水泥花砖部分的面积．（用含的代数式表示，结果需要化简）
(2)已知水泥花砖的铺设成本为每平方米元，当时，求铺设水泥花砖的费用．
3．（25-26七年级上·福建福州·阶段检测）阅读理解：如图1，现有三种类型的卡片：
1号卡片：边长为a的正方形卡片；
2号卡片：边长为b的正方形卡片；
3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中．
若选取1号卡片1张、2号卡片1张、3号卡片2张，拼成一个正方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系可说明图中所表示的数学等式为：；
知识应用：（1）填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系可说明图中所表示的数学等式为 ；
（2）填空：小明想拼出一个面积为的长方形，需选取1号卡片 张，2号卡片 张，3号卡片 张；
（3）现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原卡片不重叠无缝隙），画出你的拼法设计；
拓展迁移：
（4）将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，盒子底部的长方形的长比宽多5．
情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，卡片间有重叠，记图中阴影部分面积为；
情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，卡片间有重叠，记图中阴影部分面积为．如果，求2号卡片的边长．
1．（25-26七年级下·四川成都·期中）若的展开式中不含项，则常数的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
2．（2026·江苏南通·二模）若，是正整数，且满足，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·安徽淮南·三模）已知，则这四个数从小到大排列顺序是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为（ ）
A． B． C． D．6
5．（2026·湖南株洲·模拟预测）2025年中国国际服务贸易交易会展示了新型模块化建筑材料，其中正方形模块A类（边长为）、B类（边长为）和长方形模块C类（长宽）可组合成不同规格的墙体．如图，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）若计算的结果中不含项，则的值为__________．
7．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若，则________．
8．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）观察下列式子：
；；．利用上面式子存在的规律，计算：_____．
9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现：
；．
总结规律，解答下列问题．
（1）_______．
（2）_______．
10．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的、、三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，需要、、板材共___________块．
11．（2026·河北邯郸·二模）计算：
(1)；
(2)．
12．（25-26七年级下·吉林长春·期中）回答下列问题
(1)已知，，求：
①的值；
②的值．
(2)已知，求m的值．
13．（25-26七年级下·山东济南·期中）在计算时，小泉同学看错了的值，计算结果为；小张同学看错了的值，计算结果为．
(1)求，的值；
(2)计算的正确结果．
14．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如．
(1)请仔细观察，填出的展开式中所缺的系数．
(2)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期______．
15．（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园．
(1)请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）．
(2)扩建后的花园面积比扩建前的花园面积多了多少？并求出当时增加的面积．
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第04讲 整式的乘法（6大知识点+14大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 用科学记数法表示数的乘法
典型例题二 同底数幂相乘
典型例题三 幂的乘方运算
典型例题四 积的乘方运算
典型例题五 幂的乘方的逆用
典型例题六 积的乘方的逆用
典型例题七 单项式乘单项式计算
典型例题八 计算多项式乘多项式
典型例题九 整式乘法混合运算
典型例题十 计算单项式乘多项式及求值
典型例题十一 多项式乘多项式——化简求值
典型例题十二 已知多项式乘积不含某项求字母的值
典型例题十三 多项式乘法中的规律性问题
典型例题十四 多项式乘多项式与图形面积
知识点01 幂的定义
如果一个数a的n次方等于b，那么我们就说a是b的n次方根。例如，2的3次方等于8，我们就说2是8的3次方根。
【即时训练】
1．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误．
2．（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）计算的结果为________．
【答案】
【详解】解：．
知识点02 幂的运算法则
包括同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等。例如，a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方；a的m次方除以a的n次方等于a的m-n次方；(a的m次方)的n次方等于a的m*n次方；(ab)的n次方等于a的n次方乘以b的n次方等。
【即时训练】
1．（2026·山西太原·二模）已知，均为正整数，计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查乘方的意义以及幂的乘方运算法则，先根据乘方定义化简括号内的部分，再利用幂的乘方法则计算即可得到结果．
【详解】解：．
2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知 ，，则的值是_______ ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴
∴
∴
∴
∴．
知识点03 幂的运算顺序
在进行幂的运算时，需要遵循一定的运算顺序。一般来说，先进行括号内的运算，再进行乘方运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算。
【即时训练】
1．（2026·安徽安庆·二模）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据积的乘方法则，幂的乘方法则，
．
2．（2026·天津滨海新区·二模）计算的结果为__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的运算，先根据积的乘方运算法则化简，再合并同类项即可得到结果．
【详解】解：，
故答案为．
知识点04 单项式与单项式的乘法
法则概述：单项式乘以单项式，需要将它们的系数相乘，相同字母的指数分别相乘，只在一个单项式中出现的字母则直接作为积的一个因式。
计算步骤：交换并相乘各单项式的系数，确定符号后再计算绝对值；相同字母进行同底数幂的乘法，底数不变指数相加；只在单个单项式中存在的字母连同其指数一起作为结果的一部分。
运算顺序和合并同类项：在混合运算时应注意运算顺序，有同类项时必须进行合并，以得到最简结果。
【即时训练】
1．（2026·河南焦作·二模）若a，b为实数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算的值，即可得到a与b的关系．
【详解】解：∵，
∴．
2．（25-26七年级下·四川达州·期中）计算：___________．
【答案】
【详解】解：.
知识点05 单项式与多项式的乘法
分配律的应用：单项式与多项式相乘实际上是一个分配律的应用过程，即将单项式乘以多项式的每一项，然后将所有结果累加。
计算细节：需要注意符号问题，包括多项式中的每一项及其前面的符号；同时注意单项式的符号。混合运算中要注意先乘除后加减的顺序，并在最后合并同类项以得到最简形式。
【即时训练】
1．（2026·陕西西安·二模）计算的结果是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】．
2．（2026·天津红桥·三模）计算的结果为________．
【答案】
【详解】解：．
知识点06 多项式与多项式的乘法
乘法过程：两个多项式相乘涉及一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，然后将所有结果加在一起。
结果化简：多项式乘以多项式的结果仍为多项式，且在未合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积。最后结果需化简到最简形式，合并同类项。
【即时训练】
1．（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图，则长方形花园的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：长方形花园的面积为
2．（25-26七年级下·福建宁德·期中）若，则______________．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴．
【典型例题一 用科学记数法表示数的乘法】
【例1】2025·北京海淀·一模）为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【分析】本题主要查了同底数幂相乘．用乘以，即可求解．
【详解】解：元，
即今年的义务教育财政预算支出约为元．
故选：C
【例2】（2025·山东日照·模拟预测）数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任意一个小于的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的所有可能取值的个数为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出的所有可能的取值．
【详解】解：如果实施5次运算结果为1，
则变换中的第6项一定是1，
则变换中的第5项一定是2，
则变换中的第4项一定是4，
则变换中的第3项可能是1，也可能是8．
则变换中的第3项可能是1，计算结束，1不符合条件，第三项只能是8.
则变换中第2项是16．
则的所有可能取值为32或5，一共2个，
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法，有理数的混合运算，进行逆向验证是解决本题的关键．
【例3】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）一种计算机每秒可做次运算，它工作了，共可做______次运算．（用科学记数法表示）
【答案】
【分析】根据题意列出代数式，同底数幂的乘法的计算法则进行计算即可．
【详解】解：计算机工作秒运算的次数为：
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了科学记数法，同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）世界上最大的金字塔是埃及的胡夫金字塔，这座金字塔共用了约块大理石，每块大理石重约．胡夫金字塔所用大理石的总质量约为_______（用科学记数法表示）．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法及科学记数法．根据总重量大理石块数每块大理石的重量列出代数式，再计算求值即可．
【详解】解：．
故答案为：
1．（2025·河北·模拟预测）科学家研发了一种新的蓝光唱片，一张蓝光唱片的容量约为，一张普通唱片的容量约为，则蓝光唱片的容量是普通唱片的（ ）倍．（用科学记数法表示）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可．
【详解】解：
．
故选：C．
2．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）已知电磁波的速度是，从太阳系外距地球最近的一颗恒星发出的电磁波，要4年的时间才能到达地球，一年以计算，则这颗恒星与地球的距离是_______________m．
【答案】
【分析】根据题意列出算式，再根据单项式的乘法运算法则计算即可解答．
【详解】解：由题意可得，这颗恒星与地球的距离是
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题列算式的能力，科学记数法相乘可以运用单项式相乘的法则进行计算．
3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）对于任意实数a、b、c、d，我们将式子称为二阶行列式，并且规定．
(1)计算的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题中给的二阶行列式计算方法，整式的混合即可求解；
（2）根据题中给的二阶行列式计算方法，整式的混合运算，整体代入求值即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
∵，
∴，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查定义新运算，整式混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
【典型例题二 同底数幂相乘】
【例1】（2026·陕西咸阳·一模）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：．
【例2】（25-26七年级下·四川·期中）下列各式中，计算结果等于的是（　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A．，符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．，不符合题意．
【例3】（24-25七年级下·广西桂林·期中）若，则______．
【答案】
【分析】本题根据同底数幂的乘法法则得到关于的一元一次方程，解方程即可得到的值.
【详解】解：，
∴，
∴.
【例4】（24-25七年级下·山西·阶段检测）已知：，则的值为___________．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法．
根据得到，根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式.
2．（2026七年级下·江苏苏州·专题练习）“整体思想”在数学运算中有着重要的作用：请解决以下问题：
(1)以下是小明计算的过程．
解：原式①
．②
小明的计算过程是从第______步开始出现错误（填序号），请写出正确的过程．
(2)若，求的值．
【答案】(1)①，正确过程见解析
(2)
【分析】（1）化为同底数后进行运算，即可求解；
（2）由同底数幂的乘法及幂的乘方公式得，即可求解.
【详解】（1）解：小明的计算过程是从第①步开始出现错误，
；
（2）解：
解得
3．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）小明在预习课本时看到幂的运算章节图里有这样一句话：“乘方的意义、乘法运算律是研究幂的运算性质的基础”，我们知道同底数幂的乘法运算性质为：．（、是正整数）．
(1)请结合课本的这句话写出这一运算性质的推导过程；
(2)解决问题：已知，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)16
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法运算法则的推导．
（1）根据乘方的意义解答即可；
（2）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，，∴．
【典型例题三 幂的乘方运算】
【例1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）化简，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方运算法则，运用对应法则计算即可得到结果．
【详解】解：
【例2】（2026·河南焦作·一模）若，则m的值是（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【分析】利用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则化简等式左边，将右边化为同底数幂，再根据同底数幂相等则指数相等求解m即可．
【详解】解：∵
∴
∴
∴，
解得．
【例3】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算：__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方运算法则，掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
【例4】（25-26七年级下·全国·课后作业）填空：
（）；
（）；
（）；
（）．
括号内依次填入______、______、______、______．
【答案】
【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：（）；
（）；
（）；
（）；
故答案为：，，，．
1．（25-26七年级下·湖南邵阳·阶段检测）计算、求值
(1)已知，求的值．（用含m，n的代数式表示）
(2)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据可得答案；
（2）先求出的值，再根据列式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，即，
∴．
2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段检测）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题：
(1)若，求x的值．
(2)若，求x的值．
【答案】(1)24
(2)4
【分析】（1）根据幂的乘方计算法则得到，则，据此根据题意求解即可；
（2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把等式变形为，进而得到，据此根据题意求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（2026七年级下·江苏·专题练习）计算下列各式，并用幂的形式表示结果：
(1) ， ； ， ； ， ； ， ．
(2)观察第（1）题的计算结果，你有什么发现？把你的发现用适当的数学符号表示出来．
【答案】(1)，；，；，；，
(2)
【分析】本题考查幂的乘方，掌握幂的乘方法则是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法和乘方的意义进行计算，为发现规律作铺垫；
（2）观察（1）的计算结果，归纳总结出幂的乘方法则．
【详解】（1）解：，；
，；
，；
，，
故答案为：，；，；，；，；
（2）解：符号表示：．
【典型例题四 积的乘方运算】
【例1】（24-25七年级下·河南焦作·期中）的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算的运算法则计算即可得到结果．
【详解】解：．
【例2】（25-26七年级上·河南濮阳·期末）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算和幂的乘方，原式表示n个相乘的积再取立方，应用指数运算法则计算即可．
【详解】解：．
故选：A．
【例3】（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）计算：_______
【答案】
【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算，根据积的乘方法则和幂的乘方法则逐步计算即可．
【详解】解：．
【例4】（25-26七年级上·重庆合川·阶段检测）计算：①_________．②已知，，则________．
【答案】
【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方运算，熟知相关运算法则是解题的关键．
①运用积的乘方法则计算；
②运用幂的乘方法则求出，再根据计算求解即可．
【详解】解：①，
故答案为：；
②∵，
∴，即，
∴，
故答案为：54．
1．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算，灵活应用法则和计算的细心程度是解答本题的关键．
运用同底数幂的乘法运算法则，即可解答．
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
2．（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）阅读下列各式：，，
(1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____；
(2)应用规律：
①填空：_____，_____；
②计算：
【答案】(1)，
(2)①1，1②
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）运用积的乘方法则计算求解即可；
（2）①利用积的乘方的逆运算求解即可；
②把原式变形为，进而求解．
【详解】（1）解：根据题意得，，，
故答案为：，；
（2）解：①，
，
故答案为：1，1；
②
．
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算下面两组算式：
(1)①与；②与；
(2)根据以上计算结果猜想：等于什么？（直接写出结果）
(3)猜想与验证：当n为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由．
(4)利用上述结论，求的值．
【答案】(1)①225，225②36,36
(2)
(3)，理由见解析
(4)
【分析】本题考查有理数的乘方、有理数的乘法，掌握乘方的意义是解题的关键．
（1）①②根据乘方的意义直接计算即可；
（2）根据（1）中的计算结果猜想即可；
（3）根据以上的规律猜想，并利用乘方的意义证明即可；
（4）利用以上得到的结论计算即可．
【详解】（1）解：计算下面两组算式：①；．
②；
（2）解：根据（1）计算结果猜想：；
（3）解：当n为正整数时，．
理由：当n为正整数时，．
即：当n为正整数时，．
（4）解：．
【典型例题五 幂的乘方的逆用】
【例1】（25-26七年级上·四川泸州·期末）已知：，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查幂的乘方的逆用，掌握其运算法则是关键．
利用幂的运算法则，将已知条件代入求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【例2】（24-25七年级上·湖南衡阳·自主招生）满足不等式的最大整数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了幂的乘方逆运算．将不等式左右两边由幂的乘方运算法则变形为指数相同的两个幂，通过计算可求出的最大值．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，，
∴满足不等式的最大整数等于．
故选：D．
【例3】（25-26七年级上·北京朝阳·期中）_____．
【答案】
【分析】本题考查幂的乘方法则的应用，根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，即可求解．
【详解】根据幂的乘方法则，．
故答案为 ．
【例4】（25-26七年级上·山东德州·期中）已知，，，则 a 、b 、c 之间的大小关系为 _____．（用“”连接）
【答案】
【分析】本题主要考查了幂的乘方逆用，熟练掌握幂的乘方运算法则，是解题的关键．通过幂的乘方的逆运算，将指数化为相同，然后比较底数的大小即可．
【详解】解：∵，
，
，
且，
∴．
故答案为：．
1．（2026七年级下·全国·专题练习）已知n为正整数，且，求的值．
【答案】120
【分析】本题考查幂的乘方的逆应用，根据直接求解即可得到答案；
【详解】解：
．
2．（25-26七年级下·甘肃张掖·期中）某同学在比较的大小时，发现44，33都是11的倍数，于是他将这两个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较底数的方法比较了这两个数的大小．
解：因为，
所以
即
请根据上述解题思路完成下题：若，试比较a，b的大小．
【答案】
【分析】根据题干给出的解题思路，将两个数转化为指数相同的幂，通过比较底数的大小即可得到结果．
【详解】解： 已知 ， ，观察指数可知，．
所以 ，．
因为 ，
所以 ，
即 .
3．（2026七年级下·江苏·专题练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．试选择合适的方法解决以下问题：
(1)比较与的大小；
(2)比较、、的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则以及同底数或同指数幂的大小比较方法．
（1）根据幂的乘方，可化成指数相同的幂的形式，根据指数相同，底数越大，幂越大，可得答案；
（2）根据幂的乘方的运算法则，将各幂化为同底数幂的形式进行比较．
【详解】（1）解：，，
∵，
∴，
∴．
（2）解：，，，
∵，
∴，
∴．
【典型例题六 积的乘方的逆用】
【例1】（25-26七年级上·四川成都·期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查积的乘方的逆运算，掌握该知识点是解题的关键．
先将化为，再根据积的乘方的逆运算进行计算即可；
【详解】解：
．
故选D．
【例2】（25-26七年级上·上海杨浦·期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查同底数幂乘法及积的乘方的逆运算，将原式进行正确的变形是解题的关键．
利用同底数幂乘法及积的乘方得逆运算法则将原式变形后进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 原式 ，
故选：C．
【例3】（25-26七年级上·四川南充·期中）计算：_____．
【答案】8
【分析】本题考查积的乘方的逆用；将原式变形，再逆用积的乘方运算．
【详解】原式
．
故答案为：8．
【例4】（25-26七年级上·全国·随堂练习）计算：，横线内应依次填入：________、________、________、________．
【答案】 3 7 1
【分析】本题考查的是积的乘方的逆用，根据积的乘方运算方法计算即可．
【详解】解：，
故答案为：3，，7，1．
1．（25-26七年级上·福建泉州·期中）下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题：
作业 计算：． 解：原式．
(1)计算：；
(2)若，请求出的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据积的乘方运算的逆用即可求解；
（2）根据根据同底数幂的乘法、幂的乘方进行计算即可．
本题主要考查了幂运算，掌握相关运算方法是解题的关键．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：∵ ，，
∴ ，，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
2．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）观察与思考：
①；②．
(1)算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________．
(2)计算
【答案】(1)同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘
(2)
【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等．
（1）根据题干算式，直接写出其运用的幂的运算法则即可；
（2）将算式中的幂化为同指数幂，再逆用积的乘方法则进行计算即可
【详解】（1）解：算式①的运算依据是同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
算式②的运算依据是幂的乘方，底数不变，指数相乘；
故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；
（2）解：．
3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）阅读材料，根据材料回答：
例如1：=（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3=[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]= ==﹣216．
例如2： =8×8×8×8×8×8×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125×0．125
=（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）×（8×0．125）= =1．
(1)仿照上面材料的计算方法计算：．
(2)由上面的计算可总结出一个规律：=___________（用字母表示）；
(3)用（2）的规律计算：．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）模仿材料，把原式整理成，即可得出答案．
（2）根据第一问的计算可知指数相同的幂相乘时，可先将底数相乘，指数不变．
（3）根据第二问的结论计算即可．
【详解】（1）解：
=1；
（2）解：原式=，
故答案为：；
（3）解：
．
【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算，运算过程中符号是易错点，可先定符号再计算．
【典型例题七 单项式乘单项式计算】
【例1】（2026·陕西榆林·一模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：．
【例2】（25-26七年级上·四川遂宁·阶段检测）已知单项式与的积为，则，的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查单项式乘单项式，根据单项式乘单项式的运算法则求得，进而根据对应系数、相同字母的指数相等求解即可．
【详解】解：∵，又，
∴，
∴，，
故选：A．
【例3】（25-26七年级上·山东烟台·期末）计算：______．
【答案】6
【分析】本题考查单项式乘以单项式，单项式乘以单项式的运算法则为：系数相乘，同底数幂相乘，指数相加，熟练掌握运算法则是解题关键．根据单项式乘以单项式运算法则计算即可．
【详解】解：．
故答案为：
【例4】（25-26七年级上·云南玉溪·期中）定义一种新运算：．例如：，则的结果是______．
【答案】
【分析】根据新运算的定义，将和代入公式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴；
故答案为：
1．（2025七年级上·广东江门·专题练习）计算：
【答案】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，设，，则，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：设，，
则，
原式
．
2．（2025七年级上·上海·专题练习）已知：，求的值．
【答案】5
【分析】已知等式左边利用单项式乘以单项式法则计算，根据单项式相等的条件即可求出m与n的值，进而求出m+n的值．
【详解】原式=，由此可得，
可解得，
所以，．
【点睛】此题考查了单项式乘以单项式法则，以及同底数幂的乘法法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（24-25七年级上·全国·寒假作业）表示，表示，求．
【答案】
【分析】本题考查了整式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
【典型例题八 计算多项式乘多项式】
【例1】（25-26七年级下·陕西宝鸡·期中）若，则m、n的值分别为（ ）
A．5；6 B．5； C．1；6 D．1；
【答案】D
【分析】将等式左边展开，根据多项式相等时对应项系数相等，即可求出m，n的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
【例2】（24-25七年级下·陕西铜川·阶段检测）下列式子中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据每个选项中的等式左右两边的形式进行判断求解即可．
【详解】解：A． ，原式错误，不符合题意；
B． ，原式错误，不符合题意；
C． ，原式错误，不符合题意；
D． ，原式正确，符合题意；
故选：D．
【例3】（24-25七年级上·福建福州·期中）若，则的值为__________．
【答案】3
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键，先根据多项式乘多项式的运算法则计算，由题意得出，即可得出的值．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
【例4】（24-25七年级上·四川眉山·期末）小明在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小亮告诉他结果中的一次项系数为，则被染黑的常数为__________．
【答案】5
【分析】本题考查多项式乘以多项式，设，根据多项式乘以多项式的运算法则将原式展开，使得一次项系数等于列方程求解即可．
【详解】解：设，
则原式，
∵结果中的一次项系数为，
∴，解得，
故答案为：5．
1．（25-26七年级上·河北张家口·阶段检测）甲做一道整式乘法的计算题，由于甲抄错了第1个多项式中a的符号，得到的结果为，请你计算出a、b的值各是多少，并写出正确的算式及结果．
【答案】，，
【分析】根据题意将错就错，分别列出两个等式，整理后利用多项式相等的条件求出a与b的值，进而确定出正确的算式及结果即可．
【详解】解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴正确的算式为，
∴．
2．（24-25七年级上·全国·单元测试）小明和小刚共同解一道题，由于粗心，小明抄错了第一个多项式中前面的符号，得到的结果为；小刚漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是．
(1)求a，b的值；
(2)计算出正确的结果．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据题意并结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解；
（2）根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：， ，
∴，，
解得，；
（2）解：由（1）可得：．
3．（25-26七年级上·北京·期中）请仔细阅读以下学习任务卡，并完成相应的任务．
多项式除以多项式 我们学习过多项式乘多项式，根据法则，可知，那么再根据除法是乘法的逆运算，可得，这就是多项式除以多项式． 两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算． 例如，可仿照用竖式计算（如图）． 因此，多项式除以多项式可借助竖式进行计算．
(1)任务一：补全材料中的两个空①：__________，②：__________．
(2)任务二：仿照例子的做法计算：
①__________；
②__________．
(3)任务三：若的商为整式，求的值和商式（请列出竖式并回答）．
【答案】(1)；
(2)①；②
(3)，商式为，竖式见解析
【分析】本题考查了多项式除以多项式、多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据多项式乘多项式法则得，则，即可作答．
（2）①模仿题干的竖式计算过程作答即可；②模仿题干的竖式计算过程作答即可；
（3）模仿题干的竖式计算过程作答即可；
【详解】（1）解：；
，
故答案为：；；
（2）解：①如图所示：
；
故答案为：；
②如图所示：
，
故答案为：；
（3）如图所示：
∵的商为整式，且结合上图的竖式过程，
∴，即，
∴此时．
【典型例题九 整式乘法混合运算】
【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．根据整式的运算性质，逐项计算并判断即可．
【详解】解：A、，该选项正确，符合题意；
B、，该选项错误，不符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，该选项错误，不符合题意；
故选A．
【例2】（24-25七年级上·全国·课后作业）化简a（b﹣c）﹣b（c﹣a）+c（a﹣b）的结果是（ ）
A．2ab+2bc+2ac B．2ab﹣2bc C．2ab D．﹣2bc
【答案】B
【分析】原式先利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
【详解】解：a（b﹣c）﹣b（c﹣a）+c（a﹣b）
＝ab﹣ac﹣bc+ab+ac﹣bc
＝2ab﹣2bc．
故选：B．
【点睛】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【例3】（24-25七年级上·上海长宁·期中）若，，，则___________．
【答案】
【分析】先将和表达出来，最后代入求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴
，
，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值和整式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键．
【例4】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是_____，最大值是_____．
【答案】 10 53
【分析】由已知abc＝ab+50可化为ab(c﹣1)＝50，由于a、b、c都是正整数，a只能取5的倍数且最大值只能取50，即可得出 b、c的值，计算即可得出答案．
【详解】解：因为abc＝ab+50，
所以abc﹣ab＝50，
即ab(c﹣1)＝50，
因为a、b、c都是正整数，
所以当a＝50时，b＝1，c＝2，a+b+c＝53，
当a＝25时，b＝1，c＝3，a+b+c＝29，
当a＝10时，b＝1，c＝6，a+b+c＝17，
当a＝5时，b＝2，c＝3，a+b+c＝10，
当a＝5时，b＝1，c＝11，a+b+c＝17，
所以则a+b+c的最小值是 10，最大值是53．
故答案为：10，53．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则．
1．（24-25七年级上·上海虹口·阶段检测）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了整式的乘法运算，根据多项式乘以多项式以及平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：
2．（2025·河北秦皇岛·一模）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为，，，然后在黑板上写了一个等式：（，为常数）．
(1)求，的值；
(2)当为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人（活动小组的人数大于1）．
【答案】(1)，
(2)这个活动小组有5个人
【分析】本题考查了等式的性质、整式的混合运算，熟练掌握等式的性质及整式的混合运算法则是解题的关键．
（1）先求出，再根据即可求解；
（2）根据题意求出，再结合的结果都能被这个活动小组的人数整除即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
∵
∴
∴，解得：
（2）解：由（1）得：
∴，
∴
∵的结果都能被这个活动小组的人数整除，
∴这个活动小组有5个人
3．（24-25七年级下·湖南常德·期中）知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式 的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则．
理解应用：
(1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值；
(2)已知，，且的值与的取值无关，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案；
（2）先把进行化简，然后计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案．
【详解】（1）解：
，
其值与的取值无关，
，
解得：，
即：当时，多项式的值与的取值无关；
（2）解：，，



；
的值与无关，
，即．
【点睛】本题考查了整式的加减乘混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【典型例题十 计算单项式乘多项式及求值】
【例1】（24-25七年级上·重庆·阶段检测）要使的展开式中不含的项，则的值是（ ）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可．
【详解】解：
，
∵的展开式中不含的项，
∴，
∴，
故选：C．
【例2】（24-25七年级下·山东淄博·阶段检测）已知，当x为任意数时该等式都成立，则的值为（ ）
A．17 B． C． D．-17
【答案】B
【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算．先把原式变形为，根据当x为任意数时该等式都成立，可得，然后代入，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∵，当x为任意数时该等式都成立，
∴，
∴
故选：B
【例3】（24-25七年级上·陕西延安·阶段检测）若，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查单项式乘多项式，利用单项式乘以多项式去括号后即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
【例4】（2025七年级下·江苏·专题练习）已知中不含x的二次项，则__．
【答案】
【分析】首先利用单项式乘以多项式去括号，进而得出的系数为0，进而求出答案．
【详解】解：∵中不含x的二次项，
∴中，，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了单项式乘以多项式；
（1）先进行幂的运算，再进行单项式乘以多项式运算，即可求解；
（2）先进行幂的运算和单项式乘以多项式，去括号，合并同类项，即可求解；
掌握项式乘以多项式的法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
2．（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）数学课上，王老师给学生出了一道题：当时，求的值．小明说：“不用给出的值就可以计算出结果．”小军说：“没有的值不能计算出结果．”你认为他们谁的说法正确，请说明理由．
【答案】小明说得对，理由见解析
【分析】本题考查了单项式乘多项式化简求值，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．先合并同类项，再根据结果判断即可．
【详解】解：小明说得对，理由如下：
．
因为化简结果中不含有，，
所以结果跟，的值无关，
故小明说得对．
3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）下列是一道例题的部分解答过程，其中A、B是两个关于x、y的二项式．
例题：化简：，
解：原式，
____________．（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号）
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
(1)多项式A为____________，多项式B为____________；例题的化简结果为____________；
(2)先化简，再求值：，其中，．
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】本题考查了整式的乘法，熟练运用计算法则和乘法公式是解题的关键．
（1）根据题意得到：，，即可得到多项式A，多项式B，再最后化简，即可解答．
（2）把多项式A，多项式B代入先运算单项式乘以多项式，然后合并化简，最后代入数值即可解答．
【详解】（1）解：根据题意，得：，
两边同除以y得：；
同理，得：，
两边同除以得：，
例题的化简结果为：．
故答案为：，，；
（2）解：
当，时，原式．
【典型例题十一 多项式乘多项式——化简求值】
【例1】（24-25六年级下·山东烟台·期中）若，则的值为（ ）
A． B．9 C． D．不确定
【答案】C
【分析】本题主要考查代数式求值，把变形为，再把变形为，然后整体代入计算即可
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故选：C
【例2】（2025七年级下·江苏·专题练习）阅读下列两个多项式相乘的运算过程，解决下面的问题：
四个学生一起做乘法，其中a是正数，那么最后得出的结果是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值．根据题意可得：，再根据，从而可得，进而可得：，然后求出：，从而可得，即可解答．
【详解】解：由题意得：，
，
，
由题意得：，
解得：，
，
，
故选：A．
【例3】（24-25七年级下·广东揭阳·期中）已知，则的值等于________．
【答案】
【分析】先将变形为，再根据多项式乘以多项式法则将进行运算并代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了整式运算及代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题关键．
【例4】（24-25七年级上·宁夏石嘴山·期末）数学家发明了一个魔术盒，当任意有理数对进入其中时，会得到一个新的有理数，现将数对放入其中的得到数再将数对放入其中，最后得到的数是_____________．（结果要化简）
【答案】
【分析】根据题意，找到魔术盒的运算法则，据此解题．
【详解】根据题意，将数对放入魔术盒，得到
将数对放入其中，得到
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式乘以多项式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
1．（2026七年级下·江苏·专题练习）先化简，再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中，．
【答案】(1)，；
(2)；1
【详解】（1）解：
，
当， 时，
原式；
（2）解：
，
当，时，
原式．
2．（24-25七年级上·河北邢台·期中）在计算时，嘉嘉把n错看成了8，得到的结果是：；琪琪错把看成了，得到结果：．
(1)求出m，n的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据题意可以得到，，然后整理化简，即可求得m、n的值；
（2）先将所求式子化简，然后将m、n的值代入计算即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，，
∴，，
∴，，
解得，；
（2）解：
，
当，时，原式．
3．（24-25七年级上·山西长治·阶段检测）观察下列算式特征，并完成相应任务．
；
；
；
．
(1)任务一：发现与表达
请用含字母的算式表示以上算式的一般特征： ___________．
(2)任务二：问题与解决
如果，其中均为整数，则的取值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(3)任务三：拓展与猜想
若，则______，______．
【答案】(1)
(2)D
(3)；
【分析】（1）根据前面4个运算式的提示，再归纳可得结论；
（2）由，从而可得答案；
（3）先通过计算可得：，从而可得结论．
【详解】（1）解：∵；
；
；
；
归纳可得：
∴；
（2）∵，
∴，
∴或或或，
故选D
（3）∵，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式的规律探究以及灵活应用，熟记多项式乘以多项式的运算法则是解本题的关键．
【典型例题十二 已知多项式乘积不含某项求字母的值】
【例1】（25-26七年级下·河南平顶山·期中）若运算结果中不含项，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：
，
∵运算结果中不含项，
∴，
解得．
【例2】（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多项式的乘法．将多项式展开后，找到的一次项系数，令其等于零，即可得到与的关系．
【详解】解：展开多项式：，
∵展开后不含的一次项，
∴项的系数，
解得：，
故选：B．
【例3】（25-26七年级上·吉林·期中）若的展开式中不含项，则______．
【答案】0
【分析】此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
将原式展开并合并同类项，根据不含项的条件，令项的系数为零，求解的值．
【详解】解：．
∵展开式不含项，
∴
解得：
故答案为：0．
【例4】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）已知关于的整式与的积不含二次项和三次项，则______．
【答案】3
【分析】本题主要考查多项式乘多项式，多项式的项、次数的定义以及代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则正确进行计算．先运用多项式乘多项式的运算法则进行运算并整理，再令二次项和三次项的系数分别为0即可求解．
【详解】解：
，
∵关于x的多项式与的积不含二次项和三次项，
∴，，
解得，，
∴．
故答案为：3．
1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系；
（2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】本题考查整式的混合运算和无关型问题，与哪一项无关即是该项的系数为0，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键．
（1）根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则对原式进行计算，再合并同类项，可得结果为，即可解答；
（2）根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得的一次项系数为，常数项为，列式求解得到和的值，即可求得的值．
【详解】解：（1）
，
∴代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系；
（2）
，
∵多项式与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为，
∴，，
解得：，
∴．
2．（24-25七年级上·山东德州·阶段检测）（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系．
（2）已知多项式ax﹣b与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，试求的值．
【答案】（1）见解析；（2）1
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则对原式进行计算，再合并同类项，可得结果为，即可解答；
（2）根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得x的一次项系数为0，常数项为﹣4，列式求解得到a和b的值，即可求得的值 .
【详解】解：（1）（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）
．
故代数式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）的值与s的取值有关系，与t的取值无关系；
（2）∵，
又∵展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查整式的混合运算和无关型问题，与哪一项无关即是该项的系数为0，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键．
3．（25-26七年级下·山东潍坊·期中）已知代数式，．
(1)与的积中不含的二次项，且常数项为，求、的值；
(2)先化简，再将（1）中的结果代入求值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值；
（2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案．
【详解】（1）解：，，
，
∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，
，
解得：；
（2）解：
，
把代入，则．
【典型例题十三 多项式乘法中的规律性问题】
【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）根据，，，的规律，可以得出的结果可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了运用规律探究求值，找出规律，即可求解；找出规律是解题的关键．
【详解】解：
；
故选：C．
【例2】（24-25七年级下·河南郑州·阶段检测）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就之一，它直观的呈现了展开式中各项的系数，如图所示．如果将（为非负整数）的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
，它只有一项，系数为1；
，它有两项，系数分别为1，1；
，它有三项，系数分别为1，2，1；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1；
根据上述材料，的展开式中含项的系数为（ ）．
A． B．20 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘多项式，找到规律是解题的关键；由图知，的展开式中各项的系数分别为1，5，10，10，5，1，由此即可求解．
【详解】解：由题意知，的展开式中各项的系数分别为1，5，10，10，5，1，
则含的项为，
∴的展开式中含项的系数为．
故选：D．
【例3】（24-25七年级上·广西南宁·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中从左起第四项的系数为_____．
【答案】20
【分析】本题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．
观察“杨辉三角”可得的展开式中第一项和最后一项的系数都是1，中间的项的系数是“杨辉三角”中上一层肩上的两个系数的和，据此即可解答．
【详解】解：由“杨辉三角”可得，的展开式中从左起第四项的系数为．
故答案为：20．
【例4】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律：
展开式系数和为
展开式系数和为
展开式系数和为
展开式系数和为
根据上述规律，展开式的系数和是_________．
【答案】
【分析】本题考查了多项式的乘法规律探究，由“杨辉三角”得到： (n为非负整数)展开式的项系数和为．
【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
……
当时，展开式的项系数和为，
故答案为：．
1．（25-26七年级下·山东青岛·阶段检测）观察下列各式：
；
；
；
…
(1)你能否由此归纳出一般性规律：______；
(2)根据以上规律解决：
①；
②，则______．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】（1）根据题干中给出的等式，即可得出规律；
（2）①将原式化为，利用规律求解即可；②根据规律得到，进而得到，再进行计算即可.
【详解】（1）解：由题意可知：；
（2）解：①原式
；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，；
当时，.
2．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）根据规律求解：
(1)计算下列各式：
______；
______；
______；
…
观察上面等式，把下面表示等式规律的内容填写完整；
______．
根据上面规律解决下列问题：
(2)证明这个等式．
(3)计算：；
(4)直接写出：的计算结果．
【答案】(1)；；；
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】此题考查了乘法公式的应用，会用规律进行逆向思维的应用是解决此题的关键．
（1）根据乘法公式进行计算即可；
（2）根据乘法公式进行证明即可；
（3）令，由上述规律可得：，即可得到答案；
（4）分别求出和，两式相减即可得到答案．
【详解】（1）解：；
；
；
；
故答案为：；；；；
（2）证明：设，
则，
展开，，，
两式相加得：，
即；
（3）解：令，
由上述规律可得：，
故
（4）解：令，
，
，
而，
，
．
3．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》一书中，给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，具体如图所示．
(1)观察图中的规律，填空：“★”表示的数是________，________；
(2)计算：．
(3)此规律还可以解决实际问题：今天是星期一，再过7天还是星期一，那么再过天是星期几？直接写出答案．
【答案】(1)6，
(2)1
(3)星期三
【分析】本题考查数字类规律探究．根据题干给定的图形和等式，得到，是解题的关键．
（1）根据前4个算式的特征写出的展开式即可；
（2）令，利用求解即可；
（3）由可得出再过天是星期三．
【详解】（1）解：由图可知：每一行的第一个数字和最后一个数字均为1，从第三行开始，第二个数为前一行第一个数字和第二个数字之和，第三个数字是前一行的第二个数字和第三个数字之和，依次类推……
∴，
∴“★”表示的数是6，
故答案为：6， ；
（2）令，
∵，
∴；
（3）∵，
，
，
，
∴，
∵
是7的倍数，
∵，
∴再过天是星期三．
【典型例题十四 多项式乘多项式与图形面积】
【例1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，与的差为4，小长方形的周长为16，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．26 B．28 C．30 D．32
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，整式乘法与图形面积，找出等量关系列出方程跟组是解答本题的关键．设小长方形的长为x、宽为y，根据与的差为4，小长方形的周长为16，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【详解】解：设小长方形的长为x、宽为y，
由题意得：，
解得：，
∴，
故选：D．
【例2】（24-25七年级上·重庆·期中）如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，则梯形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，根据梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，将余下部分拼成一个梯形，
∴
，
∴则梯形的面积为，
故选：D
【例3】（24-25七年级下·陕西榆林·期中）将一块长为，宽为的长方形地砖的长，宽各裁去2cm，则剩余部分的面积为______cm2
【答案】
【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，根据题意，得到剩余部分的面积为，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：剩余部分的面积为，
故答案为：．
【例4】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）数学学习中我们经常会采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如通过图1我们可以得到代数恒等式．事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，例如图2表示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体，通过重新割补拼成一个新长方体，请你根据图2中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：______．
【答案】
【分析】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积，然后根据它们的体积相等列出等式是解题的关键．
【详解】∵原几何体的体积：，新几何体的体积：，∴根据体积相等，有：．
故答案为：．
1．（25-26七年级下·全国·阶段检测）如图，嘉嘉用2张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为的正方形，按要求回答下面的问题．
(1)求长方形硬纸片的长和宽；
(2)嘉嘉想用该正方形硬纸片制作一个体积为的正方体无盖笔筒，该硬纸片是否够用？若够用，请求出剩余的硬纸片的面积；若不够用，请求出缺少的硬纸片的面积．
【答案】(1)长为20cm 宽为10cm
(2)够用
【分析】本题考查了正方形面积的计算，长方形的拼接关系，正方体的体积与表面积计算，掌握正方形面积与边长的关系，正方体体积与棱长的关系，无盖几何体的表面积计算方法是解题的关键．
（1）由正方形面积求出边长，根据两个长方形的拼接方式得到长与宽的倍数关系，列方程求解；
（2）由正方体体积求出棱长，计算无盖笔筒所需的纸片面积，与原正方形面积比较判断是否够用，再计算剩余面积．
【详解】（1）解：设长方形硬纸片的长为，宽为．
由题意，得，且．
，
，，
长方形硬纸片的长为，宽为．
（2）解：该硬纸片够用．
由题意可知，正方体无盖笔筒的棱长为，
共需要5张边长为8cm的小正方形硬纸片，其总面积为．
，
该硬纸片够用，
剩余的硬纸片的面积为．
2．（25-26七年级上·江西宜春·阶段检测）某社区利用一块长方形空地修建了一个停车场，其布局如图所示．已知米，米，阴影部分设计为停车位，要铺水泥花砖，剩余部分均是宽度为米的道路．
(1)求铺水泥花砖部分的面积．（用含的代数式表示，结果需要化简）
(2)已知水泥花砖的铺设成本为每平方米元，当时，求铺设水泥花砖的费用．
【答案】(1)平方米
(2)
【分析】本题考查了平移的性质，多项式乘以多项式与图形的面积，代数式求值．
（1）用平移法，计算阴影部分的面积为长为米，宽为的长方形的面积；
（2）将代入（1）中代数式，再乘以，即可求解．
【详解】（1）解：铺水泥花砖部分的面积为平方米
（2）解：当时，铺设水泥花砖的费用为元
3．（25-26七年级上·福建福州·阶段检测）阅读理解：如图1，现有三种类型的卡片：
1号卡片：边长为a的正方形卡片；
2号卡片：边长为b的正方形卡片；
3号卡片：相邻两边分别为a、b的长方形卡片，其中．
若选取1号卡片1张、2号卡片1张、3号卡片2张，拼成一个正方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系可说明图中所表示的数学等式为：；
知识应用：（1）填空：如图2，选取1号卡片2张、2号卡片2张、3号卡片5张，拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．运用面积之间的关系可说明图中所表示的数学等式为 ；
（2）填空：小明想拼出一个面积为的长方形，需选取1号卡片 张，2号卡片 张，3号卡片 张；
（3）现有1号、2号、3号卡片各9张，请你设计：从这27张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形（按原卡片不重叠无缝隙），画出你的拼法设计；
拓展迁移：
（4）将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，盒子底部的长方形的长比宽多5．
情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图3放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，卡片间有重叠，记图中阴影部分面积为；
情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图4放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，卡片间有重叠，记图中阴影部分面积为．如果，求2号卡片的边长．
【答案】（1）；（2）4；3；8；（3）见解析；（4）2号卡片的边长为4
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．
（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可；
（2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案；
（3）根据完全平方式的特点以及各个卡片的面积进行解答即可；
（4）设长方形的长为x，则宽为，分别求出与，再求得，从而得解．
【详解】解：（1）拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为，
∴．
（2）1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为，
所以需要1号卡片4张，2号卡片3张，3号卡片8张，
故答案为：4，3，8；
（3）∵拼成的图形是正方形（按原卡片进行无空隙、无重叠拼接）
∴边长一定是完全平方式，
∵1号、2号、3号卡片各9张的总面积为：，
∴拼成的正方形的面积较大的是或或（面积更小的舍去），
此时正方形的边长分别为：，
∵，
∴最大正方形的边长为，
画图如下：
（4）设长方形的长为x，则宽为．
由题意：，
，
∴，
∴，
∴，即2号卡片的边长为4．
1．（25-26七年级下·四川成都·期中）若的展开式中不含项，则常数的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】展开式中不含某一项，即合并同类项后该项的系数为0，先展开原式合并同类项，再令项的系数为0即可求解．
【详解】解：
，
∵展开式中不含项，
∴项的系数为，
即，
解得．
2．（2026·江苏南通·二模）若，是正整数，且满足，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简等式左右两边，再根据同底数幂相等则指数相等推导和的关系式.
【详解】解：∵ 左边 ，
又∵ 右边 ，
∵ ，
∴ .
3．（2026·安徽淮南·三模）已知，则这四个数从小到大排列顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用幂的乘方性质，将四个数转化为指数相同的幂，先判断各数的正负，再分别在正数和负数范围内比较大小，即可得到排序结果．
【详解】解：，
，
，
，
，
比较负数部分：，
，即，
比较正数部分：，
，即，
综上可得 ．
4．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若规定符号的意义是：，则当时，的值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】D
【分析】根据题意可得，再根据定义可推出，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
5．（2026·湖南株洲·模拟预测）2025年中国国际服务贸易交易会展示了新型模块化建筑材料，其中正方形模块A类（边长为）、B类（边长为）和长方形模块C类（长宽）可组合成不同规格的墙体．如图，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要C类卡片张数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】根据题意，大长方形的面积等于长与宽的乘积，同时也等于所有小模块面积之和．通过多项式乘法展开长与宽的积，其中项的系数即为C类卡片的张数．
【详解】解：大长方形的长为，宽为，
大长方形的面积为：
，
A类卡片面积为，B类卡片面积为，C类卡片面积为，
需要A类卡片6张，B类卡片3张，C类卡片11张．
6．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）若计算的结果中不含项，则的值为__________．
【答案】
【分析】本题考查多项式乘多项式法则与合并同类项，理解结果中不含项即项的系数为0是解题的关键，先根据多项式乘多项式法则展开式子，合并同类项后，令项的系数为0，列出关于的方程，求解即可得到的值．
【详解】解： ，
计算结果中不含项，
，
解得．
7．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若，则________．
【答案】
【分析】根据多项式乘多项式法则计算，即得出，，解出m和n的值，即可求解．
【详解】解：根据多项式乘多项式法则展开左侧：，
∵，
∴，
∴，，
解得：，，
∴．
8．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）观察下列式子：
；；．利用上面式子存在的规律，计算：_____．
【答案】/
【分析】根据给定的等式归纳得到一般规律，然后根据求解即可．
【详解】解：根据给定等式的规律，可得，
∵，
∴．
9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现：
；．
总结规律，解答下列问题．
（1）_______．
（2）_______．
【答案】 1
【分析】（1）直接利用从题干示例中总结出的规律计算即可，
（2）将原式拆分变形，再运用规律计算．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
10．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的、、三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，需要、、板材共___________块．
【答案】
【分析】分别计算出A、B、C板材的面积，再计算出长方形墙壁的面积，根据多项式的乘积判断需要的板材数量，求和即可．
【详解】解：由图可知，A板材的面积为，B板材的面积为，C板材的面积为，
∵，
∴需要块A板材，块B板材， 块C板材，一共块．
11．（2026·河北邯郸·二模）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
12．（25-26七年级下·吉林长春·期中）回答下列问题
(1)已知，，求：
①的值；
②的值．
(2)已知，求m的值．
【答案】(1)①17；②72
(2)
【分析】（1）①逆用幂的乘方计算即可；
②先逆用同底数幂的乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可；
（2）根据幂的乘方及同底数幂的乘法得到，根据幂的乘方得到，根据列方程求解即可．
【详解】（1）解：①；
②；
（2）解：，
∵
∴，
解得．
13．（25-26七年级下·山东济南·期中）在计算时，小泉同学看错了的值，计算结果为；小张同学看错了的值，计算结果为．
(1)求，的值；
(2)计算的正确结果．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键．
（1）化简，对比结果，分别求出，的值；
（2）将（1），的值代入代数式求解即可．
【详解】（1）解：，
∵小泉看错了的值，计算结果为，
∴，，
∵小张看错了的值，计算结果为，
∴．
（2）解：∵，，
∴
．
14．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如．
(1)请仔细观察，填出的展开式中所缺的系数．
(2)此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过天是星期______．
【答案】(1)6；4
(2)四
【分析】（1）由图可知，每一行的第一个数字和最后一个数字均为1，从第三行开始，第二个数为前一行第一个数字和第二个数字之和，第三个数字是前一行的第二个数字和第三个数字之和，依次类推，以此规律进行求解即可；
（2）根据题意可得，则可得到，进而得到，则可证明一定是7的倍数，即再过天还是星期三，故再过天是星期四．
【详解】（1）解：由图可知，从左边起，每一行的第一个数字和最后一个数字均为1，从第三行开始，第二个数为前一行第一个数字和第二个数字之和，第三个数字是前一行的第二个数字和第三个数字之和，依次类推……，
∴，
（2）∵，
，
，
∴，
∴
，
∴，
∵一定是7的倍数，
∴一定是7的倍数，
∴再过天还是星期三，
∴再过天是星期四．
15．（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园．
(1)请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）．
(2)扩建后的花园面积比扩建前的花园面积多了多少？并求出当时增加的面积．
【答案】(1)平方米；
(2)平方米；平方米．
【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用．
（1）扩建后的长方形的花园面积等于一个长为米，宽为米的长方形面积，据此列式求解即可；
（2）用扩建后的面积减去原面积，进而将代入计算即可．
【详解】（1）解：
平方米，
∴扩建后的长方形的花园面积为平方米；
（2）解：
平方米；
当时，原式（平方米）．
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