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第05讲 乘法公式（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 根据平方差公式进行运算
典型例题二 根据完全平方公式进行运算
典型例题三 通过对完全平方公式变形求值
典型例题四 求完全平方式中的字母系数
典型例题五 整式的混合运算
典型例题六 平方差公式与几何图形
典型例题七 完全平方公式在几何图形中的应用
知识点01 两数和乘以这两数的差(a + b)(a - b) = a - b
公式结构：这个公式的结构特征非常鲜明，它由两个因子组成，第一个因子是两数之和(a + b)，第二个因子是这两数之差(a - b)。这种结构使得公式在数学计算中非常方便。
几何意义：这个公式可以通过几何图形的面积推导出来，比如，可以视为一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积。通过几何解释，学生不仅能加深对公式的理解，还能感受数形结合的思想。
【即时训练】
1．（24-25八年级上·河南南阳·期中）下列式子不能用“两数和乘以这两数差的公式”计算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级上·全国·课前预习）对于形如（a＋b）的多项式和形如（a－b）的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即乘法的完全平方差公式：（a＋b）（a－b） ＝_______________
两个数的___与这两个数的___的积，等于这两数的平方差．
知识点02两数和（差）的平方 (a ± b) = a ± 2ab + b
公式展开：这个公式用于计算两数和或差的平方。具体展开形式为 (a + b) = a + 2ab + b ，而 (a - b) = a - 2ab + b 。
记忆方法：由于仅中间项的符号有区别，可以通过记忆“和平方中位+，差平方中位-”来快速应用。
【即时训练】
1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如果是两数和或差的平方，那么的值是（ ）
A．9 B． C．9或 D．18或
2．（24-25七年级上·全国·课前预习），
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）他们的积的2倍数，这两个公式叫做（乘法的）____________．
【典型例题一 根据平方差公式进行运算】
【例1】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）用简便方法计算，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）对于任意实数，定义一种新运算“”，规定，若为实数，则的化简结果为______．
【例4】（25-26七年级下·山东青岛·期中）设，，则M与N的大小关系是M___________N（填“>”、“<”或“=”）
1．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）用乘法公式简便运算：
(1)
(2)
2．（2026·河北保定·二模）理解与尝试
在计算时有两种算法，
方法1：请你直接计算；
方法2：用字母代替数，转化成整式计算来完成．
例如：设，原式
(1)请你完成以上计算；
应用：
(2)计算
3．（25-26七年级下·安徽六安·期中）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明其正确性．
【典型例题二 根据完全平方公式进行运算】
【例1】（25-26七年级上·福建宁德·期中）若，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．6
【例2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知，则的值为（ ）
A．24 B．23 C．22 D．20
【例3】（2026·广东梅州·一模）已知，则___________．
【例4】（25-26八年级上·山东临沂·期末）数学活动
我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
．
，
．
……
请你写出一般的规律__________．
1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知整式，，为任意有理数．
(1)试说明的值为非负数；
(2)当为整数时，试说明的值一定是偶数．
2．（25-26七年级下·山西太原·期中）下面是小芳同学进行整式运算的过程，请仔细阅读，并完成相应任务．
化简：．
解：原式第①步
第②步
第③步
第④步
任务：
(1)小芳同学的运算从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________．
(2)请写出该整式运算的正确过程和结果．
3．（25-26七年级下·江西抚州·期中）阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法．配方法在数学领域有着广泛的应用．
例如：求代数式的最小值．
解：原式，当时，有最小值是．
【类比应用】
(1)①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_______；
②直接写出代数式的最小值为_______；
(2)已知，求的值．
【典型例题三 通过对完全平方公式变形求值】
【例1】（25-26七年级下·浙江绍兴·阶段检测）已知，，则的值是（ ）
A．33 B．41 C．57 D．65
【例2】（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）若，，则________．
【例4】（25-26七年级下·重庆·期中）若，则______．
1．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）在整式乘法学习过程中：我们学过完全平方公式：和，请利用该公式变形解答下列问题：
(1)已知，，求的值．
(2)已知，求的值．
2．（25-26七年级下·浙江绍兴·阶段检测）我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下：
解：，
，∴当时，的值最小，最小值是，
∴，∴当时，的值最小，最小值是，
∴的最小值是．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当_______时，代数式的最小值是_______；
(2)知识运用：若，当_______时，y有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；
(3)知识拓展：若，求的最小值．
3．（2026·安徽滁州·二模）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里的代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．
(1)【方法初探】
求的值（其中n是正整数）．
如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形的小圆圈的个数恰为所求式子的值．现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形，此时，组成平行四边形的小圆圈的个数为_________，可得_________；
(2)【深入探索】
我们知道了的值，那么的结果等于多少呢？
如图2，是正方形的一边，，，…，，，则，分别以，，…，，为边作正方形，将正方形的面积记为，六边形的面积记为…六边形的面积记为，六边形的面积记为．
结合图形，可以得到_________，
同理有_________，_________，…，，，
_________；
(3)【解决问题】
根据以上发现，求的值．
【典型例题四 求完全平方式中的字母系数】
【例1】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）已知是一个完全平方式，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·山东德州·期末）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法：①当时，；②无论取任何实数，不等式恒成立：③若，则：④若是含有字母的代数式，且为完全平方式，则或．其中正确的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例3】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若是完全平方式，则m的值是_______．
【例4】（25-26七年级下·广东深圳·期中）若代数式是一个完全平方式，则实数______．
1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)已知，则_____；
(2)如果是一个完全平方式，求的值；
(3)若满足，求的值．
2．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）【问题提出】当某一个多项式的平方用多项式表示时，实数a，b，c是否存在一定的数量关系？
【问题探究】
，此时，，，发现：
，此时，，时，发现：；
，此时，，时，发现：______；
【问题解决】
当时，猜想a，b，c之间的数量关系，并说明理由；
【拓展运用】
若某个多项式的平方等于多项式加上一个含字母y的单项式，直接写出所有满足条件的单项式．
3．（24-25七年级下·山东济南·期中）【例题讲解】
例当k取何值时，是一个完全平方式？
解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到．
【方法巩固】
请根据例题中的方法解决下列问题：
（1）若是一个完全平方式，求m的值；
（2）若是完全平方式，则m的值为_______若（n为常数）是完全平方式，则n的值为_______；
（3）已知：，则b的值为_______；
【实践活动】
（4）如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片；
①若，则甲纸片与乙纸片的面积差为_______；
②小颖要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片_______张．
【典型例题五 整式的混合运算】
【例1】（25-26六年级下·全国·课后作业）对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，在一个长为、宽为的长方形内部剪掉一个长为b、宽为的小长方形，则余下的部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·江西上饶·期末）定义，例如．则的结果为___________
【例4】（2025八年级上·全国·专题练习）从前，有一个狡猾的地主把一块边长为的正方形土地租给马大伯耕种．过了一年，他对马大伯说：“我把租给你的这块地的一边减少，另一边增加，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马大伯一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马大伯吃亏了，他亏了______．
1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知：整式，，t为任意有理数．
(1)的值可能为负数吗？请说明理由；
(2)请通过计算说明：当t是整数时，的值一定能被12整除．
2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务．
先化简，再求值：，其中，．
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
任务：
(1)运算从第______步开始出错，出现错误的原因是______；
(2)请把正确的化简步骤写一遍，并求值．
3．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）[类比学习]我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如下①②③④．
，所以①，
，所以②，
，所以③，
，所以④．
【理解应用】
(1)请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：；
(2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式．
【典型例题六 平方差公式与几何图形】
【例1】（25-26七年级下·陕西渭南·阶段检测）设正方形的面积为，长方形的面积为，若长方形的长比正方形的边长多，宽比正方形的边长少，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【例2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为________．
【例4】（25-26八年级上·北京·期中）根据图1到图2的变化过程，可以得到一个整式乘法的恒等式，这个恒等式是______ ．
1．（25-26七年级下·江苏南京·期中）我们知道：周长相等的情况下，正方形的面积大于长方形（当两邻边不相等时）的面积．周长相等的情况下，正方形的面积为什么大于长方形（当两邻边不相等时）的面积，如何说理呢？小红和小明进行了以下的研究．
(1)假设正方形的边长为x，当一边的长度减少y（）时，要想保证长方形的周长不变，则相邻的一边要随之增加________．
(2)小红和小明在（1）的基础上，想从以下两种不同的角度进行说理，请帮助他们完成．
①小红想从“数”的角度，利用“当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有”进行说理，请帮助小红完成说理过程．
②小明想从“形”的角度进行说理，请帮助小明画出图形，并对图形进行适当的标注和必要的文字说明．
2．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形．
(1)通过计算左、右两图的阴影部分的面积，可以验证的等式是______（填字母）．
A．
B．
C．
(2)利用上述乘法公式计算：
①已知，，求的值；
②
3．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片．
【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：．
(1)请你帮小明完成拼图设计；
(2)应用上述公式解决如下问题：
①已知，，求的值；
②若，则______．
【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(3)上述操作能验证的公式是______；
(4)计算：
【典型例题七 完全平方公式在几何图形中的应用】
【例1】（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图有两张正方形纸片A和B，图（1）将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3，图（2）将正方形A和B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为10，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图（3），（图（2），图（3）中正方形A和B纸片均无重叠部分），则图（3）阴影部分面积（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【例3】（24-25六年级下·山东泰安·阶段检测）如图，有正方形卡片类9张，类4张和类5张，如果要拼一个边长为的大正方形，则还需要类卡片______张．
【例4】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，正方形与正方形相互重合，重叠部分是一个长方形，延长、分别与正方形交于点、，若阴影部分、均为正方形，且面积之和为60，，，则重叠部分的面积为_______________．
1．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）现有长度不同的两种木棒各4根（如图1所示，木棒长度分别为，其中，数学小组的同学们用这8根木棒（不折断且木棒全部用完）摆成长方形或正方形，选取如图2所示的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法进行研究，记四种图形的面积分别为（和表示各自图形的面积和）．
(1)请用含的式子直接表示和；
(2)判断，，，中哪个最大，并说明理由．
2．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）图形是一种重要的数学语言，它能直观形象地表达一些代数中的数量关系，如完全平方公式的推导就利用了这种方法．
在一次数学活动课上，同学们准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为a的正方形，乙种纸片是边长为b的正方形，丙种纸片是长为b、宽为a的长方形．他们用一张甲种纸片、一张乙种纸片、两张丙种纸片拼成了如图2所示的一个大正方形．
(1)观察图2，用两种不同的方式表示阴影部分的面积，可得到的一个等式是______；
(2)利用（1）中的等式解决下列问题：
①已知图1中甲、乙、丙的面积分别为，，，若，，求的值；
②若，求的值．
3．（25-26七年级下·山东济南·期中）数形结合是一种非常重要的数学思想，我们可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式．
(1)【探索】如图1是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形、长和宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式____________，利用上述公式解决问题：
(2)【应用】①若，，则，______；
②若，，求的值；
(3)【迁移】如图2，在长方形中，，，点、是、上的点，且．分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
1．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）幻方是古老的数字问题，在我国古代的《大戴礼记》《洛书》等书籍中均有所记载，在如图所示特殊的“十字幻方”中，横纵两个大长方形内五个数字之和都等于20，则的值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
3．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，我们约定：左边相邻两数的和等于右边箭头指向的数．则下列判断正确的是（ ）
结论①：若的值为8，则的值为2；
结论②：的值为定值；
结论③：若，则的值为4．
A．①错误②正确 B．②正确③错误 C．②③都正确 D．①③都错误
4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26七年级下·山西太原·期中）著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．比如在学习“整式的乘法”时，由图1可得等式．图2是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形．将其中2块小长方形置于一个边长为的正方形框内，摆放如图3所示，用两种不同的方法表示空白部分的面积可得到的等式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）已知，则___________．
7．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则与的大小关系是___________．
8．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义运算：，例如：，则的运算结果是______．
9．（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，就是完全平方式．多项式添加一个单项式后，可变为完全平方式，则添加的单项式可以是______．
10．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）有两个正方形A，B，边长分别为a，b，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后得图乙，则图乙中阴影部分的面积为________，（用a，b有关的代数式表示）；若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为21和6，则正方形A，B的面积之和为__________．
11．（2026·安徽六安·二模）化简：．
12．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ； ； ；
（2）观察以上三个多项式的系数，有，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系：
①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系： ；
②解决问题：若多项式是一个完全平方式，求m的值．
13．（24-25七年级下·贵州·期中）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：原式………第一步
………第二步
．………第三步
(1)小丽的化简过程从第_____步开始出现错误；
(2)请对原整式进行化简，并求当，时原整式的值．
14．（25-26七年级上·辽宁阜新·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
，
当时，的值最小，最小值是，
，
当时，的值最小，最小值是，
的最小值是．
请你根据上述方法，解答下列各题．
(1)知识再现：当______时，代数式的最小值是______；
(2)知识运用：若，当为何值时，有最值，并求出最值．
(3)知识拓展：若，求的最小值．
15．（25-26七年级下·湖南张家界·期中）几何图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决几何图形问题．
(1)【观察】图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出，，之间的等量关系：______．
(2)【应用】若，，求的值．
(3)【拓展】如图3，四边形、四边形和四边形都是正方形，四边形和四边形都是长方形，若，，长方形的面积是150，设，．
①填空：______，______；
②求图3中阴影部分的面积．
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第05讲 乘法公式（2大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 根据平方差公式进行运算
典型例题二 根据完全平方公式进行运算
典型例题三 通过对完全平方公式变形求值
典型例题四 求完全平方式中的字母系数
典型例题五 整式的混合运算
典型例题六 平方差公式与几何图形
典型例题七 完全平方公式在几何图形中的应用
知识点01 两数和乘以这两数的差(a + b)(a - b) = a - b
公式结构：这个公式的结构特征非常鲜明，它由两个因子组成，第一个因子是两数之和(a + b)，第二个因子是这两数之差(a - b)。这种结构使得公式在数学计算中非常方便。
几何意义：这个公式可以通过几何图形的面积推导出来，比如，可以视为一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积。通过几何解释，学生不仅能加深对公式的理解，还能感受数形结合的思想。
【即时训练】
1．（24-25八年级上·河南南阳·期中）下列式子不能用“两数和乘以这两数差的公式”计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平方差公式的特征，分析判断即可得到答案．
【详解】解：A、可以用“两数和乘以这两数差的公式”计算，不符合题意；
B、，可以用“两数和乘以这两数差的公式”计算，不符合题意；
C、，可以用“两数和乘以这两数差的公式”计算，不符合题意；
D、中，不存在相同的两数，不可以用“两数和乘以这两数差的公式”计算，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查平方差公式，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题关键．
2．（24-25七年级上·全国·课前预习）对于形如（a＋b）的多项式和形如（a－b）的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即乘法的完全平方差公式：（a＋b）（a－b） ＝_______________
两个数的___与这两个数的___的积，等于这两数的平方差．
【答案】 a2－ b2 和 差
【解析】略
知识点02两数和（差）的平方 (a ± b) = a ± 2ab + b
公式展开：这个公式用于计算两数和或差的平方。具体展开形式为 (a + b) = a + 2ab + b ，而 (a - b) = a - 2ab + b 。
记忆方法：由于仅中间项的符号有区别，可以通过记忆“和平方中位+，差平方中位-”来快速应用。
【即时训练】
1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如果是两数和或差的平方，那么的值是（ ）
A．9 B． C．9或 D．18或
【答案】D
【分析】本题考查完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题关键，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】解：∵，
∴．
故选：D．
2．（24-25七年级上·全国·课前预习），
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）他们的积的2倍数，这两个公式叫做（乘法的）____________．
【答案】完全平方公式
【解析】略
【典型例题一 根据平方差公式进行运算】
【例1】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）用简便方法计算，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】，则可利用平方差公式进行简便运算，据此可得答案．
【详解】解：．
【例2】（25-26七年级下·福建宁德·期中）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由平方差公式，能用平方差公式计算的条件是：两个二项式相乘，存在相同项和互为相反数的项，据此对各选项逐一判断即可．
【详解】解：A、中两项均为相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意；
B、中，存在相同项，互为相反数的项和，符合平方差公式的形式，能用平方差公式计算，符合题意；
C、，两项均为相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意；
D、，两项均为相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意．
【例3】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）对于任意实数，定义一种新运算“”，规定，若为实数，则的化简结果为______．
【答案】
【分析】根据新定义以及平方差公式进行计算即可．
【详解】解：．
【例4】（25-26七年级下·山东青岛·期中）设，，则M与N的大小关系是M___________N（填“>”、“<”或“=”）
【答案】=
【分析】根据平方差公式和完全平方公式将与化简，再进行比较即可．
【详解】解：∵
，
，
∴．
1．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）用乘法公式简便运算：
(1)
(2)
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）对式子进行变形，，然后运用平方差公式进行求解即可；
（2）直接运用平方差公式进行求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
【点睛】掌握平方差公式，并对式子变形为平方差公式的形式是解题的关键．
2．（2026·河北保定·二模）理解与尝试
在计算时有两种算法，
方法1：请你直接计算；
方法2：用字母代替数，转化成整式计算来完成．
例如：设，原式
(1)请你完成以上计算；
应用：
(2)计算
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）第一种直接按照有理数运算法则计算，第二种换元后利用整式乘法与平方差公式化简计算，两种方法均可得到结果；
（2）观察算式中数字的关系，用换元法将数字替换为字母，提取公因式后结合完全平方公式化简，再代入数值计算即可简化运算，得到最终结果．
【详解】（1）解：方法1：；
方法2：设，
原式
；
（2）解：设，，可得，
∴
．
3．（25-26七年级下·安徽六安·期中）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
…
根据以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明其正确性．
【答案】(1)
(2)，理由见详解
【分析】（1）根据题意直接进行求解即可；
（2）由（1）可发现：第n个等式为，然后根据平方差公式进行求解即可．
【详解】（1）解：∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
第6个等式：，
∴第6个等式为；
（2）解：由（1）可发现：第n个等式为，证明如下：
，
∴等式成立．
【典型例题二 根据完全平方公式进行运算】
【例1】（25-26七年级上·福建宁德·期中）若，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】D
【分析】将等式右侧的完全平方展开，对比等式左右同类项的系数，即可求出的值
【详解】解：∵，，
∴．
【例2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知，则的值为（ ）
A．24 B．23 C．22 D．20
【答案】A
【分析】设，则，，结合完全平方公式展开化简，即可计算得到结果．
【详解】解：设，则，，
∵
∴
∴
∴，
∴．
【例3】（2026·广东梅州·一模）已知，则___________．
【答案】2
【分析】先把运用完全平方公式展开，再结合，得出，算出，最后代入计算，即可作答．
【详解】解：依题意，
∵
∴
解得
∴．
【例4】（25-26八年级上·山东临沂·期末）数学活动
我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
．
，
．
……
请你写出一般的规律__________．
【答案】
【分析】本题考查数字变化规律的探究以及完全平方公式，关键是通过观察已知等式，提取共性特征，再用字母表示数推导一般规律．观察给出的等式可知，左边均为个位数字是5的两位数的平方，右边的结果可拆分为“”的形式．设该两位数的十位数字为(为正整数)，将这个两位数表示为，通过整式的乘方运算展开验证，即可得到通用的规律表达式．
【详解】解：设个位为5的两位数的十位数字为(为正整数)，则该两位数可表示为，
∵，
∴一般规律为．
故答案为：．
1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知整式，，为任意有理数．
(1)试说明的值为非负数；
(2)当为整数时，试说明的值一定是偶数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）将、代入化简，再结合偶次方的非负性即可解答；
（2）将、代入化简，即可判断其为偶数；
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即的值为非负数．
（2）解：∵，，
∴，
∵m是整数 ，
∴是整数，
∴是2的倍数，即一定为偶数 ，
∴当为整数时，的值一定是偶数．
2．（25-26七年级下·山西太原·期中）下面是小芳同学进行整式运算的过程，请仔细阅读，并完成相应任务．
化简：．
解：原式第①步
第②步
第③步
第④步
任务：
(1)小芳同学的运算从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________．
(2)请写出该整式运算的正确过程和结果．
【答案】(1)
①，运用完全平方公式计算时，遗漏了中间项
(2)
解：
．
【分析】（1）根据完全平方公式即可解答；
（2）根据整式的混合运算法则结合完全平方公式和平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：小芳同学的运算从第①步开始出现错误，这一步错误的原因是运用完全平方公式计算时，遗漏了中间项；
（2）略
3．（25-26七年级下·江西抚州·期中）阅读理解：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，这种解题方法叫做配方法．配方法在数学领域有着广泛的应用．
例如：求代数式的最小值．
解：原式，当时，有最小值是．
【类比应用】
(1)①在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：_______；
②直接写出代数式的最小值为_______；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)
①
②
(2)
【分析】（1）①利用完全平方公式求解；
②将代数式变形为完全平方加有理数的形式即可；
（2）利用拆项法将方程变形为：，得到的值，进而求解即可.
【详解】（1）解：①，
故答案为：；
②，
当时，代数式有最小值为；
（2）解：原方程可化为：，
，
∴，
即：，
∴.
【典型例题三 通过对完全平方公式变形求值】
【例1】（25-26七年级下·浙江绍兴·阶段检测）已知，，则的值是（ ）
A．33 B．41 C．57 D．65
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴．
【例2】（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值．解题的关键在于对完全平方公式的熟练掌握与灵活运用．由题意知，，，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
则，，，
．
故选：D．
【例3】（25-26七年级下·广东深圳·期中）若，，则________．
【答案】44
【分析】将所求变形为用和表示的形式，再代入已知条件计算即可
【详解】解：．
【例4】（25-26七年级下·重庆·期中）若，则______．
【答案】14
【分析】观察所求式子为两个多项式的平方和，已知两个多项式的乘积，可先求出两个多项式的和，再利用完全平方公式的变形进行计算即可．
【详解】解：设，，则，
∴，
∴
，
∴．
1．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）在整式乘法学习过程中：我们学过完全平方公式：和，请利用该公式变形解答下列问题：
(1)已知，，求的值．
(2)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用即可解答；
（2）先求出，再利用完全平方公式变形即可求解．
【详解】（1）解：，，
；
（2）解：∵，，
设，
则，，
∴，
∴．
2．（25-26七年级下·浙江绍兴·阶段检测）我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下：
解：，
，∴当时，的值最小，最小值是，
∴，∴当时，的值最小，最小值是，
∴的最小值是．
请你根据上述方法，解答下列各题
(1)知识再现：当_______时，代数式的最小值是_______；
(2)知识运用：若，当_______时，y有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；
(3)知识拓展：若，求的最小值．
【答案】(1)2；11
(2)；大；
(3)的最小值为．
【分析】（1）根据完全平方公式将原式整理后即可确定最小值；
（2）将等式右边根据题中材料变形后即可确定当取何值时能取到最大值；
（3）首先得到有关的关系式，根据完全平方公式将原式整理后确定最小值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，有最小值；
（2）解：∵，
∴当时有最大值；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时，的最小值为．
3．（2026·安徽滁州·二模）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，初中数学里的代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．
(1)【方法初探】
求的值（其中n是正整数）．
如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的，而组成整个三角形的小圆圈的个数恰为所求式子的值．现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形，此时，组成平行四边形的小圆圈的个数为_________，可得_________；
(2)【深入探索】
我们知道了的值，那么的结果等于多少呢？
如图2，是正方形的一边，，，…，，，则，分别以，，…，，为边作正方形，将正方形的面积记为，六边形的面积记为…六边形的面积记为，六边形的面积记为．
结合图形，可以得到_________，
同理有_________，_________，…，，，
_________；
(3)【解决问题】
根据以上发现，求的值．
【答案】(1)；
(2)；；；
(3)5050
【分析】（1）将三角形倒放组成平行四边形，平行四边形的底为，高为，总点数为，原三角形点数为一半；
（2）利用正方形面积分割，表示最外层六边形面积，通过边长关系推导，同理递推得立方和公式；
（3）利用小问2的结论，立方和除以等差数和，化简求值．
【详解】（1）解：如图1，将左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形，
该平行四边形的底边有个点（每层个），共有层，
组成平行四边形的小圆圈的个数为，
原三角形（即所求）的个数为平行四边形的一半：
，
（2）解：由题意，，
正方形的面积为，
观察图形，，，
同理，，，，，，
（3）解：由小问1和小问2的结论：
，
，
．
【典型例题四 求完全平方式中的字母系数】
【例1】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）已知是一个完全平方式，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴或，
∴的值为．
【例2】（25-26八年级上·山东德州·期末）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法：①当时，；②无论取任何实数，不等式恒成立：③若，则：④若是含有字母的代数式，且为完全平方式，则或．其中正确的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了利用代数式的变形及完全平方公式的应用，通过代入具体的a的值，应用完全平方公式，不等式等知识验证结论是否正确．①将代入求出的值故①正确；②利用平方的非负性，即；可得，故②正确，③若，等式两边同时除以，再两边同时平方，即可得，故③错误，④根据完全平方公式可知，若为完全平方式，则，或，或，或，得到的值故④错误．
【详解】解：①当时，故①正确；
②，
，
恒成立，故②正确；
③若，则，
可得，
，
，即，但是两个非负数之和不可能是，故③错误；
④∵若为完全平方式，
则，或，或，或，
∴或或或，故④错误；
故正确的有①②，共2个．
故选：B．
【例3】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若是完全平方式，则m的值是_______．
【答案】
【分析】根据完全平方式的结构特征，已知首项平方与末项平方，中间项为首尾两项乘积的倍，据此列等式求解即可得到的值．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
即．
【例4】（25-26七年级下·广东深圳·期中）若代数式是一个完全平方式，则实数______．
【答案】7或
【详解】解：代数式是一个完全平方式，
，
∴，
∴，
当时，解得，
当时，解得，
综上，实数或．
1．（24-25七年级下·河南郑州·期中）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称整式是完全平方式．例如：，所以就是完全平方式．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)已知，则_____；
(2)如果是一个完全平方式，求的值；
(3)若满足，求的值．
【答案】(1)2
(2)7或
(3)80
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的变形以及整体思想是解题关键．
（1）由得，即可代值求解；
（2）由题意得或，即可求解；
（3）由，据此即可求解.
【详解】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴；
（2）解：∵是一个完全平方式，
即是一个完全平方式，
∴或．
解得或．
所以的值为7或．
（3）解：∵，
而，
，
∴．
∴．
2．（24-25七年级下·河南平顶山·期中）【问题提出】当某一个多项式的平方用多项式表示时，实数a，b，c是否存在一定的数量关系？
【问题探究】
，此时，，，发现：
，此时，，时，发现：；
，此时，，时，发现：______；
【问题解决】
当时，猜想a，b，c之间的数量关系，并说明理由；
【拓展运用】
若某个多项式的平方等于多项式加上一个含字母y的单项式，直接写出所有满足条件的单项式．
【答案】问题探究：；问题解决：猜想，见解析；拓展运用：单项式为或
【分析】本题主要考查了完全平方公式，完全平方式，熟知完全平方公式和完全平方式是解题的关键．
（1）根据题意即可得到；
（2）根据完全平方公式可得，则，，，据此可得结论；
（3）分和为两平方项和为一次项，为平方项，两种情况根据完全平方式的特点求解即可．
【详解】解：问题探究：由题意得：；
问题解决：猜想，理由如下：
∵，
∴，
，，，
；
拓展运用：当和为两平方项时，则一次项为；
当为一次项，为平方项时，则另一个平方项为；
综上所述，符合题意的单项式为或．
3．（24-25七年级下·山东济南·期中）【例题讲解】
例当k取何值时，是一个完全平方式？
解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到．
【方法巩固】
请根据例题中的方法解决下列问题：
（1）若是一个完全平方式，求m的值；
（2）若是完全平方式，则m的值为_______若（n为常数）是完全平方式，则n的值为_______；
（3）已知：，则b的值为_______；
【实践活动】
（4）如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片；
①若，则甲纸片与乙纸片的面积差为_______；
②小颖要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片_______张．
【答案】（1） （2）8或，9 （3） （4）①2000；②6．
【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键．
（1）把写成，解答即可；
（2）根据是完全平方式，得到，解答即可；根据（n为常数）是完全平方式，得到解答即可；
（3）根据，得到，解答即可；
（4）①根据解答即可；②设还需丙纸片x张，根据题意，得解答即可．
【详解】（1）解：∵是一个完全平方式，
故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到．
（2）解：由是完全平方式，
故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到
解得或，
故答案为：8或．
由（n为常数）是完全平方式，
故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到
故答案为：9；
（3）解：由，
得，
故
解得，
故答案为：；
（4）①解：由甲乙都是正方形，
故面积差为，
当时，
，
故答案为：2000；
②解：设还需丙纸片x张，根据题意，得，
故，
又x不能为负数，
故，
故答案为：6．
【典型例题五 整式的混合运算】
【例1】（25-26六年级下·全国·课后作业）对于任意有理数，，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的混合运算；根据新定义的运算规则代入，再利用完全平方公式展开化简即可．
【详解】解：∵☆，
∴☆，
∵，
∴，
故选：C．
【例2】（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，在一个长为、宽为的长方形内部剪掉一个长为b、宽为的小长方形，则余下的部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据大长方形面积减去小长方形面积可得阴影部分面积解答即可．
【详解】解：根据题意得：图中阴影部分的面积
．
【例3】（25-26八年级上·江西上饶·期末）定义，例如．则的结果为___________
【答案】
【分析】本题考查自定义运算，代数式运算，准确理解并代入新运算公式是解题关键．
根据新定义运算规则，将和代入公式进行计算即可．
【详解】解：根据定义， ，
则，
则．
故答案为：．
【例4】（2025八年级上·全国·专题练习）从前，有一个狡猾的地主把一块边长为的正方形土地租给马大伯耕种．过了一年，他对马大伯说：“我把租给你的这块地的一边减少，另一边增加，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马大伯一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马大伯吃亏了，他亏了______．
【答案】25
【分析】本题考查了平方差公式在生活实际中的运用，解题的关键就是读懂题意列出算式，然后熟练的运用平方差公式进行计算．由题意可知道原来正方形土地的面积是平方米，而现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是平方米，然后用减去算出答案即可．
【详解】解：∵原来正方形土地的面积是平方米，
现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是平方米，
∴平方米，
∴马大伯租用的土地面积亏了25平方米，
故答案为：25．
1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知：整式，，t为任意有理数．
(1)的值可能为负数吗？请说明理由；
(2)请通过计算说明：当t是整数时，的值一定能被12整除．
【答案】(1)不可能为负数
(2)见解析
【分析】（1）计算出的值，结合平方的非负性进行判断即可；
（2）计算得，结合题干可知，能被12整除，因此结论成立．
【详解】（1）解： ，
∵，
∴，
∴的值不可能为负数；
（2）解： ，
∵是整数，
∴能被12整除，
∴的值一定能被12整除．
2．（25-26七年级下·广东深圳·期中）下面是小明的运算步骤，请你认真阅读并完成相应的任务．
先化简，再求值：，其中，．
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
任务：
(1)运算从第______步开始出错，出现错误的原因是______；
(2)请把正确的化简步骤写一遍，并求值．
【答案】(1)一，完全平方公式用错
(2)见解析，，
【分析】（1）根据完全平方公式判断即可；
（2）根据完全平方公式多项式除以单项式运算法则计算即可．
【详解】（1）解：运算从第一步开始出错，出现错误的原因是完全平方公式用错；
（2）解：
，
当，时，
原式．
3．（25-26七年级下·内蒙古乌兰察布·期中）[类比学习]我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．如下①②③④．
，所以①，
，所以②，
，所以③，
，所以④．
【理解应用】
(1)请你仿照上面的竖式运算方法进行计算：；
(2)若两个多项式的积为，其中一个多项式为，请用竖式的运算方法求出另一个多项式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题中乘法运算的竖式运算方法求解即可；
（2）由题中除法运算的竖式运算方法求解即可．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，
．
【典型例题六 平方差公式与几何图形】
【例1】（25-26七年级下·陕西渭南·阶段检测）设正方形的面积为，长方形的面积为，若长方形的长比正方形的边长多，宽比正方形的边长少，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】设正方形的边长为，分别表示出正方形的面积和长方形的面积，通过作差比较二者大小．
【详解】`解：设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为，
∴，，
∴，
∴．
【例2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，将图①中的正方形沿对角线剪开变换到图②的位置，你能根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通过分析两个图形中阴影部分的面积，利用“面积相等”建立等式，从而推导出公式．
【详解】解：图①中，图②中，
∴．
【例3】（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为________．
【答案】
【分析】本题考查代数式计算与面积问题，根据题干信息得出，之间的关系是解题的关键．
设正方形，正方形的边长分别为，根据面积之差为51，可得，结合，可得，即可求解．
【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为，
∵两正方形面积之差为51，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：3
【例4】（25-26八年级上·北京·期中）根据图1到图2的变化过程，可以得到一个整式乘法的恒等式，这个恒等式是______ ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式与几何图形，根据观察图1和图2，分别表示出它们各自的面积，结合整个过程面积不变，得，即可作答．
【详解】解：依题意，图1的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
∵整个过程面积不变，
∴，
故答案为：
1．（25-26七年级下·江苏南京·期中）我们知道：周长相等的情况下，正方形的面积大于长方形（当两邻边不相等时）的面积．周长相等的情况下，正方形的面积为什么大于长方形（当两邻边不相等时）的面积，如何说理呢？小红和小明进行了以下的研究．
(1)假设正方形的边长为x，当一边的长度减少y（）时，要想保证长方形的周长不变，则相邻的一边要随之增加________．
(2)小红和小明在（1）的基础上，想从以下两种不同的角度进行说理，请帮助他们完成．
①小红想从“数”的角度，利用“当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有”进行说理，请帮助小红完成说理过程．
②小明想从“形”的角度进行说理，请帮助小明画出图形，并对图形进行适当的标注和必要的文字说明．
【答案】(1)y
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）先用，的代数式表示长方形较短的边长，根据长方形的周长等于原正方形的周长，即可求出另一条边长，再确定它增加的量；
（2）①把正方形的面积减去长方形的面积，比较差与0的大小关系即可比较出它们的大小关系；②画出正方形和变化后的长方形，通过割补法即可比较它们的大小关系．
【详解】（1）要保证长方形的周长与原正方形的周长相等，相邻两边之和必须等于，
相邻的一边长为：，
相邻的一边要增加．
（2）①正方形的面积为，长方形的面积为，
，
周长相等的情况下，正方形的面积大于长方形（当两邻边不相等时）的面积．
②
如图，正方形和长方形的周长都为，
从长方形中割出长方形，补在长方形处，
可看出正方形的面积比长方形的的面积大，
周长相等的情况下，正方形的面积大于长方形（当两邻边不相等时）的面积．
2．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形．
(1)通过计算左、右两图的阴影部分的面积，可以验证的等式是______（填字母）．
A．
B．
C．
(2)利用上述乘法公式计算：
①已知，，求的值；
②
【答案】(1)B
(2)①3；②
【分析】（1）分别表示出两幅图中阴影部分的面积即可得到答案；
（2）①根据题意可得，据此可得答案；
②把所求式子中的每一项利用平方差公式展开，再计算求解即可．
【详解】（1）解：左边那幅图中阴影部分的面积为，
右边那幅图中阴影部分的面积为，
∵左、右两图的阴影部分的面积相等，
∴；
（2）解：①∵，
∴
∵，
∴；
②
．
3．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）小明和小红学习了用图形面积研究整式乘法的方法后，分别进行了如下数学实践：材料准备：如图1所示的若干个、的小正方形以及的小长方形硬纸片．
【实践1】小明选取部分硬纸片拼成一个图形，证明公式：．
(1)请你帮小明完成拼图设计；
(2)应用上述公式解决如下问题：
①已知，，求的值；
②若，则______．
【实践2】小红将的小正方形中裁剪掉一个边长为a的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(3)上述操作能验证的公式是______；
(4)计算：
【答案】(1)见解析
(2)①2；②3
(3)；
(4)．
【分析】（1）根据大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和证明完全平方公式；
（2）①利用完全平方公式变形计算即可求解；
②设，，求得，，再利用完全平方公式变形计算即可求解；
（3）分别表示出两个图形中阴影部分的面积，即可列出等式；
（4）利用（3）得出的等式化简各个括号内的式子，再计算有理数的加减法与乘法即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，
大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．
从而验证了完全平方公式：；
（2）①∵，，，
∴，
∴；
②设，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴；
故答案为：3；
（3）解：由图2中剩余部分的面积为；图2中长方形的面积为：，
；
（4）解：
．
【典型例题七 完全平方公式在几何图形中的应用】
【例1】（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据图形先求出拼接后大正方形的边长和小正方形的边长，再由阴影部分的面积关系建立等式即可；
【详解】解：由图可知，拼接后大正方形的边长为，小正方形的边长为，
阴影部分的面积，
阴影部分的面积是4个小长方形的面积和，
阴影部分的面积，
．
【例2】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图有两张正方形纸片A和B，图（1）将B放置在A内部，测得阴影部分面积为3，图（2）将正方形A和B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为10，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图（3），（图（2），图（3）中正方形A和B纸片均无重叠部分），则图（3）阴影部分面积（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】B
【分析】此题考查完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式在几何图形中的应用，正确理解图形的构成，正确掌握完全平方公式是解题的关键．由图1可知，阴影部分面积，图2可知，阴影部分面积，进而得到，由图3可知，阴影部分面积，进而即可求解．
【详解】解：设A卡片的边长为a，B卡片的边长为b，则A卡片的面积为，B卡片的面积为，
图1中阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，，
图2阴影部分的面积可以表示为，由题意可知，，
图3阴影部分的面积可以表示为
，
故选：B．
【例3】（24-25六年级下·山东泰安·阶段检测）如图，有正方形卡片类9张，类4张和类5张，如果要拼一个边长为的大正方形，则还需要类卡片______张．
【答案】
【分析】此题考查了完全平方公式的应用，关键是熟练掌握图形的面积与公式的关系．
利用完全平方公式，结合图形，即可得到答案．
【详解】解：边长为的正方形面积为，
图形面积为，图形面积为，图形面积为，
有正方形卡片类9张，类4张和类5张，如果要拼一个大正方形，则还需要类卡片张，
故答案为：．
【例4】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，正方形与正方形相互重合，重叠部分是一个长方形，延长、分别与正方形交于点、，若阴影部分、均为正方形，且面积之和为60，，，则重叠部分的面积为_______________．
【答案】28
【分析】本题考查了利用完全平方公式解几何问题，利用完全平方公式代入计算是解题的关键．
设，，根据已知条件得，根据完全平方公式得，将代入整理得的值，根据长方形的面积求解即可．
【详解】解：设，，
四边形和四边形为正方形，
，，
四边形为正方形，
，
，，
，
，，，，
，
，
，
正方形和正方形的面积之和为60，
，
将代入中，得：，
∴，
重叠部分长方形的面积，
故答案为：28．
1．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）现有长度不同的两种木棒各4根（如图1所示，木棒长度分别为，其中，数学小组的同学们用这8根木棒（不折断且木棒全部用完）摆成长方形或正方形，选取如图2所示的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法进行研究，记四种图形的面积分别为（和表示各自图形的面积和）．
(1)请用含的式子直接表示和；
(2)判断，，，中哪个最大，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】（1）直接根据长方形的面积公式计算即可；
（2）求出，，，的面积，进而判断即可.
【详解】（1）解：；
（2）解：最大，理由如下：
．
又，
，
，
即最大．
2．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）图形是一种重要的数学语言，它能直观形象地表达一些代数中的数量关系，如完全平方公式的推导就利用了这种方法．
在一次数学活动课上，同学们准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为a的正方形，乙种纸片是边长为b的正方形，丙种纸片是长为b、宽为a的长方形．他们用一张甲种纸片、一张乙种纸片、两张丙种纸片拼成了如图2所示的一个大正方形．
(1)观察图2，用两种不同的方式表示阴影部分的面积，可得到的一个等式是______；
(2)利用（1）中的等式解决下列问题：
①已知图1中甲、乙、丙的面积分别为，，，若，，求的值；
②若，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②4056
【分析】（1）图中阴影部分面积大正方形的面积减去两个长方形的面积，阴影部分的面积两个正方形的面积和，即可得到等式；
（2）①根据，得出，，再根据（1）中的公式，得出，最后求出结果即可；
②令，根据题意得出，，再根据完全平方公式变形求值即可．
【详解】（1）解：图2中阴影部分的面积，图2中阴影部分的面积，
∴等式为；
（2）解：①∵，，
∴，，
由（1）知，，
∴；
②∵，
∴，
令，
∴，，
∴
．
3．（25-26七年级下·山东济南·期中）数形结合是一种非常重要的数学思想，我们可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式．
(1)【探索】如图1是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形、长和宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式____________，利用上述公式解决问题：
(2)【应用】①若，，则，______；
②若，，求的值；
(3)【迁移】如图2，在长方形中，，，点、是、上的点，且．分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
【答案】(1)
(2)①28；②81
(3)384
【分析】（1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案；
（2）①根据整体代入计算即可；
②根据计算即可．
（3）由，，，得出正方形的边长为，
根据题意得出，设，，
则，，然后根据完全平方公式求出即可．
【详解】（1）解：如图1从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为，
∴有；
（2）解：①∵，
；
②∵，，
∴，
∴．
（3）解：∵，，，
∴正方形的边长为，
又∵长方形的面积为160，
∴，
设，，
则，，
∵，
∴，
∴．
即两个正方形的面积和为384．
1．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平方差公式的应用，将视作整体是解题的关键．
通过设，将原式按平方差公式进行化简，然后解方程求解即可．
【详解】解：∵，
设，
∴，
，
，
得，
即，
故选D．
2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）幻方是古老的数字问题，在我国古代的《大戴礼记》《洛书》等书籍中均有所记载，在如图所示特殊的“十字幻方”中，横纵两个大长方形内五个数字之和都等于20，则的值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
【答案】B
【分析】根据题意列出等式，化简得到，再利用完全平方公式可得，即可求解．
【详解】解：根据题意，得，
∴，
∴．
3．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，我们约定：左边相邻两数的和等于右边箭头指向的数．则下列判断正确的是（ ）
结论①：若的值为8，则的值为2；
结论②：的值为定值；
结论③：若，则的值为4．
A．①错误②正确 B．②正确③错误 C．②③都正确 D．①③都错误
【答案】B
【分析】根据所给约定进行计算，据此对所给结论依次进行判断即可．
【详解】解：由题知，，
前面两个等式相加得，，
∴，
则．
故②正确；
由得，，
则，
解得，，
故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，或，．
当，时，
，
解得，，
当，时，
，
解得，，
故③错误；
显然只有B选项符合题意．
4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了整式混合运算的应用，先求出，，由即可求解；能求出面积是解题的关键．
【详解】解：由图得
，
，
，
，
，
；
故选：A．
5．（25-26七年级下·山西太原·期中）著名数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”利用“数形结合”的数学思想，对一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．比如在学习“整式的乘法”时，由图1可得等式．图2是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形．将其中2块小长方形置于一个边长为的正方形框内，摆放如图3所示，用两种不同的方法表示空白部分的面积可得到的等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据正方形和长方形的面积公式来求解．
【详解】解：空白正方形的边长为，
方法一：空白部分的面积为：；
方法二：空白部分的面积为：，
可得到的等式为：．
6．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）已知，则___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，根据计算 的值，再开平方求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
∴，
故答案为：．
7．（25-26七年级下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则与的大小关系是___________．
【答案】/
【分析】将变形为平方差公式的形式，计算的值，根据结果的符号即可比较与的大小．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
8．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）定义运算：，例如：，则的运算结果是______．
【答案】
【分析】本题考查整式的混合运算，根据定义运算规则，将和代入公式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：．
9．（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称整式A是完全平方式．例如：，，所以，就是完全平方式．多项式添加一个单项式后，可变为完全平方式，则添加的单项式可以是______．
【答案】，，，或
【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的定义，多项式添加一个单项式后需满足的形式．通过比较系数和项数，得出可能添加的单项式．
【详解】解：∵，
∴多项式添加可构成完全平方式；
∵，
∴多项式添加可构成完全平方式；
∵，
∴多项式添加可构成完全平方式；
∵，
∴多项式添加可构成完全平方式；
综上，多项式添加，，，或可构成完全平方式，
故答案为：，，，或．
10．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）有两个正方形A，B，边长分别为a，b，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后得图乙，则图乙中阴影部分的面积为________，（用a，b有关的代数式表示）；若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为21和6，则正方形A，B的面积之和为__________．
【答案】 29
【分析】本题考查了乘法公式的应用，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
对于第一空，先求出阴影部分的长与宽，再求面积即可；
对于第二空，先根据题意列方程，，再根据等式性质求得，进而求出a，b的值，即可求出所求面积．
【详解】解：由题意，阴影部分的长为b，宽为，所以图乙中阴影部分的面积为．
故答案为：．
图甲和图乙中阴影部分的面积分别为21和6，
，，
得，
得，
即，
，
，
由②得，，
，
，
，
正方形A，B的面积之和为．
故答案为：29．
11．（2026·安徽六安·二模）化简：．
【答案】
【详解】解：
12．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： ； ； ；
（2）观察以上三个多项式的系数，有，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系：
①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系： ；
②解决问题：若多项式是一个完全平方式，求m的值．
【答案】（1），，；（2）①；②
【分析】此题考查了完全平方式，列代数式．
（1）利用完全平方公式分解即可；
（2）①观察各式的特征，得到，，之间的关系即可；
②根据①得出的三者之间的关系列出方程，求出方程的解即可得到的值．
【详解】解：（1）；
；
；
故答案为：，，；
（2）①若多项式是完全平方式，则实数系数，，一定存在某种关系为；
故答案为：；
②∵多项式是一个完全平方式，
∴，
解得：．
13．（24-25七年级下·贵州·期中）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：原式………第一步
………第二步
．………第三步
(1)小丽的化简过程从第_____步开始出现错误；
(2)请对原整式进行化简，并求当，时原整式的值．
【答案】(1)一
(2)，
【分析】（1）根据整式的混合运算法则判断即可；
（2）首先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后再去括号合并同类项，化简后得出最简结果，再代入、的值计算即可．
【详解】（1）解：
，
∴小丽的化简过程从第一步开始出现错误．
（2）解：
；
当，时，原式．
14．（25-26七年级上·辽宁阜新·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：
，
当时，的值最小，最小值是，
，
当时，的值最小，最小值是，
的最小值是．
请你根据上述方法，解答下列各题．
(1)知识再现：当______时，代数式的最小值是______；
(2)知识运用：若，当为何值时，有最值，并求出最值．
(3)知识拓展：若，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)当时，有最大值，最大值是
(3)的最小值是
【分析】（1）仿照例题先变形代数式为一个完全平方式加一个数的形式，再根据非负数的性质求解即可；
（2）仿照例题先变形代数式为一个完全平方式加一个数的形式，再根据非负数的性质求解即可；
（3）先将已知式子变形得到，然后得到，再变形式子为一个完全平方式加一个数的形式，然后根据非负数的性质求解即可．
【详解】（1）解：，
，
当时，的值最小，最小值是，
，
当时，的最小值是；
（2）解：，
，
当时，的值最小，最小值是，
当时，的值最大，最大值是，
，
当时，有最大值，最大值是；
（3）解：，
，
，
，
当时，的值最小，最小值是，
，
当时，的最小值是．
15．（25-26七年级下·湖南张家界·期中）几何图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决几何图形问题．
(1)【观察】图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你写出，，之间的等量关系：______．
(2)【应用】若，，求的值．
(3)【拓展】如图3，四边形、四边形和四边形都是正方形，四边形和四边形都是长方形，若，，长方形的面积是150，设，．
①填空：______，______；
②求图3中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)①150；5；②625
【分析】（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积恰好是长方形的面积求解即可；
（2）直接应用公式，求解即可；若，，求的值．
（3）①根据面积计算即可；
②根据公式变形求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得．
（2）解：∵，，，
∴，
∴．
（3）解：①∵长方形的面积是150，，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，即，
∴．
故答案为150；5．
②∵四边形与四边形都是正方形，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
∴图3中阴影部分的面积为625．
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