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第06讲 整式的除法（2大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 用科学记数法表示数的除法
典型例题二 同底数幂的除法运算
典型例题三 同底数幂除法的逆用
典型例题四 零指数幂
典型例题五 幂的混合运算
典型例题六 计算单项式除以单项式
典型例题七 多项式除以单项式
典型例题八 整式四则混合运算
典型例题九 幂的新定义计算
知识点01 单项式除以单项式
定义和计算法则：单项式除以单项式时，需要将系数相除，同底数的幂相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例：(8a^3b^2)÷(2a^2b) 的计算过程如下：首先，系数8除以2得4；其次，a的三次方除以二次方得a的一次方，b的二次方除以一次方得b的一次方；最后，由于没有额外字母，结果为 4ab。
【即时训练】
1．（2026·陕西西安·二模）计算（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：
．
2（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）计算：__________．
【答案】
【分析】已知两个因式的乘积与其中一个因式，根据除法的意义，计算得到另一个因式即可.
【详解】解：设所求单项式为，根据题意得：，
即，
∴．
知识点02 多项式除以单项式
定义和计算法则：多项式除以单项式的运算可以视为多项式的每一项分别除以单项式。具体方法是先将被除式的每一项单独除以除式，然后将所得的结果累加。
【即时训练】
1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）某班购买运动会奖品，总花费为元，已知每份奖品的价格是元，则购买的奖品的份数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题根据“份数总花费单价”，用多项式除以单项式的运算法则计算即可得到结果．
【详解】解：∵总花费为元，每份奖品的价格是元，
∴购买的奖品的份数为：
．
故选：D．
2．（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_____．
【答案】
【分析】将多项式的每一项分别除以单项式，再合并结果即可．
【详解】解：．
【典型例题一 用科学记数法表示数的除法】
【例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可．
【详解】解：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【例2】（2025·河南焦作·二模）纳米是非常小的长度单位，，把的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，的空间可以放（ ）个的物体（物体之间的空隙忽略不计）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，求出1立方米立方纳米，即可求解．
【详解】解：1纳米米，
1立方米立方纳米，
的空间可以放个的物体，
故选：D．
【点睛】本题考查了单位之间的转化，解题的关键是：要掌握纳米与米之间的转化．
【例3】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段检测）_____．
【答案】
【分析】根据单项式的除法法则计算即可求解．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式的除法，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
【例4】（24-25七年级下·山西运城·阶段检测）查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为，光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球大约需要______s．
【答案】或500
【分析】本题考查单项式除以单项式的应用，利用时间等于路程除以速度，以及单项式除以单项式的法则进行计算即可.
【详解】解：；
故答案为：500
1．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算并用科学记数法表示结果：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的乘除运算，用科学记数法表示数的乘法和学记数法表示数的除法．
（1）首先根据整式的乘法定义化简，然后根据同底数幂的乘法计算出结果，最后用科学记数法表示即可．
（2）首先根据整式的除法定义化简，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后用科学记数法表示即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
2．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍
【答案】后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍
【分析】先求出，细菌分裂的次数，再根据一个细菌在分裂次后，数量变为个，用细菌的数量乘以，即可得到总数，同理求出2h后细菌的个数，两数相除即可得出结果．
【详解】解：次，
∴后，盘子里有细菌：（个）；
（次），
∴后，盘子里有个细菌；
，
答：后，盘子里有个细菌，2h后细菌的个数是1h后的倍．
【点睛】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．
(1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的人民币摞起来，大约有多高？
(2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的人民币，点钞机大约要点多少天？
【答案】(1)厘米
(2)天
【分析】（1）先算出10亿元人民币的张数，然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可；
（2）用10亿元人民币的张数除以速度，再根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算．
【详解】（1）10亿，
∴10亿元的总张数为张，
（厘米）；
答：大约高厘米；
（2），
，
（天）．
答：点钞机大约要点25天
【点睛】本题考查了同底数幂的除法与乘法运算、科学记数法，根据题意列出算式是解题的关键，需要注意先求出10亿元人民币的总张数．
【典型例题二 同底数幂的除法运算】
【例1】（25-26七年级上·河北衡水·期中）计算的结果为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．
【答案】C
【详解】解：．
【例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解： ．
【例3】（2026·贵州铜仁·一模）______．
【答案】
【分析】运用同底数幂的除法法则即可计算出结果．
【详解】解：根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，
则．
【例4】（2026·天津和平·三模）计算的结果为________．
【答案】
【详解】解：原式．
1．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）计算：
(1)；
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据积的乘方和同底数幂的除法法则计算，再合并同类项即可；
（2）根据单项式乘以多项式法则计算；
（3）先根据平方差计算，再根据完全平方公式解答；
（4）先整理得，再根据平方差解答．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
2．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）按要求解答下列各小题：
(1)已知，，求的值；
(2)如果，求的值；
(3)已知，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则得到，再将已知条件代入求值即可；
（2）先化成同底数幂，然后根据幂的乘方法则化简，再让指数相同，据此列方程求解即可；
（3）先化成同底数幂，然后根据幂的乘方和同底数幂的乘除法法则化简，再让指数相同，据此列方程求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1)填空：______；
(2)已知，，求的值；（用含a，b的式子表示）
(3)已知，求x的值．
【答案】(1)1
(2)
(3)
【分析】本题考查了幂的运算及其逆用（同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方），掌握幂的运算性质是解题的关键．
（1）逆用积的乘方法则计算即可；
（2）逆用同底数幂的除法、幂的乘方法则计算即可；
（3）同底数幂的乘法、幂的乘方法则计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：由，，
∴．
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
解得．
【典型例题三 同底数幂除法的逆用】
【例1】（24-25七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知，则x的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】此题考查同底数幂乘除法的逆用，将等式左边各数的底数化为2，利用同底数幂乘除法法则逆用得到，列得，求出x的值即可．
【详解】解：∵
，
∴，
解得，
故选：D．
【例2】（25-26七年级下·浙江台州·期中）已知，则的结果是（ ）
A．38 B．39 C．40 D．42
【答案】B
【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方运算法则进行解题即可．
【详解】解：∵，
∴
．
故选：B．
【例3】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若．则____________．
【答案】3
【分析】逆用同底数幂的除法法则计算即可．
【详解】解：．
【例4】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，，则______；______．
【答案】 8 1
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，直接利用同底数幂的乘除法运算法则以及幂的乘方运算法则化简得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，．
故答案为：8；1．
1．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如
(1)填空：当，时， ；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题干中的新定义法则求解；
（2）首先根据新定义法则得到，，然后求出，，然后将原式变形后代入求解即可．
【详解】（1）解：当，时，；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)______；若，则______；
(2)已知，，，若，求y的值；
(3)若，，令．
①求的值；
②求t的值．
【答案】(1)4；64；
(2)60；
(3)①；②．
【分析】（1）根据规定即可求得答案；
（2）根据规定易得，，，再结合已知条件利用同底数幂乘法法则计算后即可求得答案；
（3）①根据规定易得，，然后将原式利用幂的乘方法则变形后即可求得答案；
②结合①中所求可得，，然后将两式相乘并利用同底数幂乘法法则可求得的值，进而求得与的关系，将其代入原式计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：①∵，，
∴，，
∴；
②∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（24-25八年级上·全国·单元复习）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以．
(1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值；
(2)下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小豫的方法解答下面的问题：
小豫的作业 计算：； 解：．
①小豫的求解方法逆用了幂的一条运算性质，请你用符号(字母)语言直接写出这条性质：___________．
②计算：．
【答案】(1)4
(2)①，②
【分析】本题考查了积的乘方运算，同底数幂的除法运算，熟练掌握积的乘方运算，同底数幂的除法运算法则是解题的关键．
（1）逆向运用幂的乘方运算法则，同底数幂的除法运算法则，即可得出答案；
（2）①逆向运算积的乘方运算法则填空即可；
②逆向运用积的乘方公式和同底数幂公式计算即可．
【详解】（1）解： ，
．
，
，
；
（2）①小豫的求解方法逆用了积的乘方运算性质，即，
故答案为：；
②
．
【典型例题四 零指数幂】
【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）计算的结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．8
【答案】C
【详解】解：任何非零数的0次幂都等于1，即．
【例2】（25-26七年级下·陕西西安·期中）若式子有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据零指数幂的定义，底数不为0即可求解；
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得：．
【例3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）已知，则的取值范围是_____．
【答案】
【详解】解：根据可知：，
∴．
【例4】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如果等式，则等式成立的x的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据零指数幂的定义，零指数幂成立的条件是底数不为0，据此求解的取值范围即可．
【详解】解：根据零指数幂的定义：任何不等于0的数的零次幂都等于1，可得成立的条件为，
解得．
1．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)0
(2)
【详解】（1）解：，
，
（2）解：，
，
2．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段检测）阅读解答
(1)填空（答案填在括号里）：
；；……
(2)探索（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立；
(3)计算：．
【答案】(1)0；1；2
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）根据（1）中式子的规律写出第个等式，再逆用同底数幂的乘法说明即可；
（3）利用（2）中的规律简便计算即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：由（1）中式子的规律，第个等式为；
说明：左边
右边；
（3）解：
．
3．（25-26七年级下·广东深圳·期中）阅读理解：
我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么；例如；记作．
(1)根据以上规定求出：________；________；
(2)小明发现也成立．并证明如下：
设：，，，，，
，．
根据以上证明，请计算：；
(3)猜想，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题为新定义运算题，依据规定等价于，
（1）根据定义直接找到满足等式的指数即可得到结果；
（2）仿照题干给出的证明思路，设两个运算的结果，利用同底数幂乘法法则推导得到结果；
（3）设出两个运算的值，利用同底数幂除法法则推导验证猜想，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
（2）解：设，
∴，
∴
∴
∴
（3）解：猜想，
理由如下：设，
∴，
∴
∴
∴．
【典型例题五 幂的混合运算】
【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可．
【详解】解：．
故选A．
【点睛】本题考查幂的混合运算．掌握运算法则是解题关键．
【例2】（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则分别计算两部分，再合并同类项即可得到结果．
【详解】解：
．
【例3】（24-25七年级下·江西抚州·阶段检测）已知，则_______．
【答案】
【分析】此题考查了幂的运算，根据幂的运算法则得到和得到，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：
【例4】（24-25七年级下·山东青岛·阶段检测）（1）___________ ；
（2）__________ ；
（3）_________ ．
【答案】
【分析】（1）先算同底数幂的乘法，同底数幂的除法，再合并同类项即可；
（2）利用积的乘方的法则进行运算较简便；
（3）根据完全平方公式进行分析即可．
【详解】解：（1）
，
故答案为：；
，
故答案为：；
（3），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
1．（25-26七年级下·湖南湘潭·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
2．（25-26八年级上·北京·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】该题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则．
（1）根据积的乘方、单项式除法、幂的乘方运算法则计算即可．
（2）根据多项式乘法法则计算即可．
（3）根据平方差公式计算即可．
（4）根据多项式除法法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
3．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方．
（1）先算乘方，然后再算乘法；
（2）先算乘方和乘法，再算加法；
（3）先算乘法和乘方，再算加减法；
（4）先算积的乘方，再算加法．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
【典型例题六 计算单项式除以单项式】
【例1】（2026·陕西咸阳·二模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用积的乘方运算法则计算乘方部分，再利用单项式除以单项式法则计算即可得出答案．
【详解】解：
．
【例2】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查单项式除以单项式的运算，解题的关键是掌握单项式除以单项式的运算法则．
需运用单项式除以单项式的法则：系数相除，同底数幂分别相除，再将结果相乘．
【详解】解：∵ 单项式除以单项式，系数与系数相除，同底数幂分别相除，
∴
故选：A．
【例3】（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）计算：______．
【答案】
【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算即可．
【详解】解：．
【例4】（25-26七年级下·浙江温州·期中）小瑞同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小瑞同学记录的内容（如图所示），可得到缺失的单项式应该为____．
【答案】
【详解】解：缺失的单项式应该为．
1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）计算：．
【答案】
【详解】解：
2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）解答题：
(1)计算：
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算、绝对值化简、负整指数幂的除法，关键是熟练应用运算法则进行运算；
（1）根据运算法则先算乘方、绝对值化简，最后算加减即可；
（2）根据单项式除单项式的运算法则求解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
3．（25-26八年级上·全国·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式乘以单项式和单项式除以单项式，最后合并同类项即可得到答案；
（2）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可；
（3）先根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可；
（4）把原式变形为，再利用乘法公式求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题主要考查了乘法公式，多项式乘以多项式，多项式除以单项式，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，积的乘方和幂的乘方等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【典型例题七 多项式除以单项式】
【例1】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）小刚在做作业时，发现题目被墨迹遮住了一部分，，阴影部分即为墨迹，那么被墨迹遮住的内容是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据求解即可．
【详解】解：根据题意，
．
【例2】（25-26七年级下·安徽安庆·期中）学校科技小组对整式运算进行探究活动，甲乙两人各写一个整式，若把甲写的整式当作除式，乙写的整式当作被除式，规定商是，若乙写的整式是，则甲写的整式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据被除式、除式、商之间的关系列出代数式，再利用多项式除以单项式的运算法则计算即可解答．
【详解】解：
，
故甲写的整式是．
【例3】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若长方形广场的长是，面积是，则该广场的宽是______．
【答案】
【分析】根据长方形面积公式，利用多项式除以单项式的运算法则计算即可得到结果．
【详解】解：∵长方形广场的长是，面积是，
∴该广场的宽是
．
【例4】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）已知长方形面积为，它的一边长为，则这个长方形另外一边长为_______．
【答案】
【详解】解：∵ 长方形的面积为，一边长为，
∴ 它的另一边长为：．
1．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）观察下列各式：
在时，
；
；
；
．
(1)根据上面各式的规律可得______；（n为正整数,）
(2)利用（1）中的结论，求的值；
(3)若，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据已知等式归纳得到规律即可；
（2）将所求式子结合规律变形，计算得到结果；
（3）利用规律得到，再结合已知条件排除不符合的解，得到x的值．
【详解】（1）解：根据已知各式的规律，可得（n为正整数）．
（2）解：由（1）可知，．
∴．
（3）解：，
由规律可得，
，
解得或．
把代入原方程左边，
得左边，
不符合题意，舍去．
把代入原方程左边，
得左边，
符合题意．
．
2．（25-26七年级下·江西萍乡·期中）如图，长方形甲的面积为，它的长为，正方形乙的周长与长方形甲的周长相等．
(1)求长方形甲的宽；
(2)试探究长方形甲的面积与正方形乙的面积之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用长方形面积公式求解即可；
（2）先求出长方形甲的周长，再利用正方形的周长公式求出正方形的边长，进而求出正方形的面积，从而探讨和之间的数量关系．
【详解】（1）解：长方形甲的面积为，它的长为，
长方形甲的宽为；
（2）解：长方形甲的周长为，长方形甲和正方形乙的周长相等，
正方形乙的边长为，
，
，
，
．
3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中、是两个关于，的二项式．请仔细观察图中的例题及解答过程，完成下列问题：
(1)多项式为________，多项式为________，例题的计算结果为________；
(2)计算：；
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根据题意可知多项式，多项式，然后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可得到多项式A和B；根据合并同类项的运算法则计算即可得到计算结果；
（2）根据（1）中所求结果代入，利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，；
；
计算结果：
原式
；
（2）解：原式
．
【典型例题八 整式四则混合运算】
【例1】25-26八年级上·全国·单元复习）已知m为非零实数，按如下程序进行计算，则输出的结果（ ）
A．随m的变化而变化 B．不变，总是2
C．不变，总是 D．不变，总是4
【答案】B
【分析】按照程序逐步对式子进行运算，再判断结果是否随变化．
【详解】解：根据程序，先计算，再除以，最后减．
首先计算，根据整式混合运算法则，
先算括号里的，，所以括号里为：．
然后除以，即：．
再减，得到．
所以无论（为非零实数）取何值，结果都是，不随的变化而变化．
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握整式混合运算的顺序和法则，准确计算出结果．
【例2】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图是2025年某月日历的一部分，阴影部分只框住了四个数，则的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了整式混合运算的应用．由题意得到，代入各项的左边分别计算，逐项进行判断即可．
【详解】解：根据题意可知，，
∴
，
故A选项错误，
，
故B选项正确；
，
故C选项错误，
，
故D选项错误，
故选：B
【例3】 （25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）若多项式减去单项式，再除以，所得的商是，则多项式为______．
【答案】
【分析】本题主要考查多项式的运算，掌握相关运算法则、正确列式是解题的关键．
根据题意可得，利用除法运算中被除数、除数和商的关系求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
，
，
．
故答案为：．
【例4】（24-25六年级下·山东威海·期末）如图，某市有一块宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一个底座为正方形且边长为米的雕像．若绿化部分的面积为平方米，则长方形的长为___________米．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算的应用．用小正方形的面积加上阴影部分的面积，再除以长方形的宽，即可求解．
【详解】解：
，
即长方形的长为米．
故答案为：
1．（25-26七年级下·河南周口·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的混合运算，解题思路为利用幂的运算法则、整式乘法法则分别计算各项，再合并同类项得到最终结果．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
2．（2026·浙江温州·二模）在学习整式除法后，小明想到可以类比整数除法的竖式计算，进行某类多项式
除法的化简：
即．
(1)请你完成下面的竖式计算．
即
(2)已知多项式，能被多项式整除，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解；
（2）根据多项式除以多项式运算法则用竖式表示即可求解；
【详解】（1）解：
（2）
∵多项式能被整除，余数为0，
∴，
解得．
3．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务．
先化简，再求值：，其中，．
解：原式，第一步
，第二步
，第三步
当，时，原式．第四步
(1)第一步运算用到了乘法公式（用字母表达）_____（写出1种即可）；
(2)以上步骤第________步出现了错误；
(3)请写出正确的解答过程．
【答案】(1)或
(2)一
(3)见解析
【分析】本题主要考查整式的乘法与除法：
（1）根据平方差公式或完全平方公式的定义即可写出答案；
（2）括号前面是 “”号时，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项的符号都改变；
（3）根据整式乘法和除法的运算法则计算即可．
【详解】（1）或
（2）第一步出现了错误，应为：
原式
故答案为：一
（3）原式
当，时，
原式
【典型例题九 幂的新定义计算】
【例1】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）定义新运算符号“”：，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】解：∵
∴
．
【例2】（24-25七年级下·辽宁朝阳·阶段检测）现定义一种运算“△”，对于任意有理数a、b，都有，例如：．由此可知等于（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的混合运算，根据新定义并结合整式的混合运算法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：∵现定义一种运算“△”，对于任意有理数a、b，都有，
∴，
故选：C．
【例3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，则的运算结果是____________．
【答案】
【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握新定义法则的运算顺序是关键．
根据新运算的定义，将 和 代入公式 进行计算即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
故答案为：
【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）我们定义新运算“@”如下：．根据这个新定义计算________．
【答案】
【分析】本题考查了单项式乘以单项式、积的乘方、单项式除以单项式，正确理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义可得，再计算单项式乘以单项式、积的乘方，然后计算单项式除以单项式即可得．
【详解】解：由题意得：
，
故答案为：．
1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)当x为何值时，的值与的值相等．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算，新定义运算的含义；
（1）直接利用新定义运算的法则进行计算即可；
（2）直接利用新定义运算的法则进行计算即可；
（3）由新定义运算的含义可得，进一步求解即可.
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：由题意，得，
∴，
∴，
∴，
解得：.
2．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）定义一种新运算，观察下列各式并完成问题：
1 2＝1×2＋2＝4，
4 （﹣2）＝4×（－2）﹣2＝－10，
3 4＝3×4＋4＝16，
6 （﹣1）＝6×（－1）﹣1＝－7
（1）想一想：a b＝　 　；
（2）若a≠b，那么a b　 　b a（填“＝”或“≠”）；
（3）求（a﹣b） （a＋2b）的值，其中a＝－1，b＝2
【答案】（1）ab+b；（2）≠；（3）-6．
【分析】（1）找出规律即可．
（2）分别计算a b，b a即可．
（3）先求（a-b） （a+2b），再求值．
【详解】解：（1）根据题意得：a b=ab+b．
故答案为：ab+b；
（2）∵a b=ab+b，b a=ab+a，a≠b．
a b≠b a．
故答案为：≠．
（3）（a-b） （a+2b）=（a-b）(a+2b)+a+2b
=．
当a=-1，b=2时，原式=1-2-8-1+4=-6．
【点睛】本题考查找规律解决数学问题，仔细观察，找出规律是求解本题的关键．
3．（24-25七年级下·北京房山·期中）定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题：
(1)若，则m＝______；若，则n＝______；
(2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值；
(3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂幂的乘法和除法等知识，熟练掌握幂的运算法则是关键．
（1）根据新定义可得到答案；
（2）根据新定义得到，进一步得到，即可得到答案；
（3）根据题意得到则，即可得到,整理即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可得，若，∵，
则；
若，∵，则；
（2）由题意可得，，
∵，
∴
∴
（3）∵，，m，n为正整数，
∴
∴，
∴，
∴，
∴,
∴
∴
1．（2026·四川南充·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则和同底数幂的乘除法法则、幂的乘方运算法则逐个判断选项即可得到结果．
【详解】解：A、∵与不是同类项，不能合并，∴A错误；
B、，∴B错误；
C、，∴C正确；
D、，∴D错误．
2．（25-26七年级下·广东河源·期中）小明的作业本上不小心洒上了墨水：□，则被墨水遮盖的部分应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据除法各部分的关系，被除数等于商乘除数，利用单项式乘多项式的运算法则计算即可得到结果．
【详解】解：设被墨水遮盖的多项式为，
∵，
∴
．
3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）规定一种新运算：．嘉嘉：．琪琪：若的结果与x的取值无关，则m的值为2．关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．两人都对 D．两人都错
【答案】A
【分析】根据新定义的运算分别计算嘉嘉和琪琪的运算，进而判断对错即可．
【详解】解：∵，
∴
，则嘉嘉的说法正确．
∵的结果与x的取值无关，
∴，
∴，则琪琪的说法错误．
4．（24-25七年级上·重庆大渡口·阶段检测）有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两种颜色．第一堆里的黑子和第二堆的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的．把这三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子的（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了用代数式表示数，解题的关键是善于找到黑白棋子数的等量关系．
【详解】解：设第一堆里的黑子数为a，白子数为b，又设黑子总数为x，则第三堆里的黑子数为．由于第一堆里的黑子和第二堆的白子一样多，且每堆棋子数一样多，
∴第一、第二堆里的黑子数总和为，即，
∴第三堆里的白子数为：．
所有白子总数为：
∴白子占全部棋子的：
故选：A．
5．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段检测）在长方形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①,②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，图①中阴影部分的面积表示为，图②中阴影部分的面积表示为，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列代数式和整式的混合运算，解题的关键是：能灵活运用整式的运算法则进行计算．
设，则，根据图形得出，再根据整式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：设，则，
故选：A．
6．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）若，则______．
【答案】或或
【分析】根据零指数幂，指数函数的性质进行分类讨论即可．
【详解】解：当底数为时，无论指数为任何值，等式均成立，故；
当时，，等式成立；
当且时，，等式成立．
7．（25-26八年级上·四川眉山·期中）①若，则___；②若，，则___；③____．
【答案】 2
【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、求代数式的值，熟练掌握运算法则，整体代入计算即可得解．
①将4和8表示为2的幂，利用同底数幂的乘法法则，比较指数求解；
②利用指数运算法则，将所求表达式转化为已知量的幂的商；
③将小数转化为分数，利用指数运算法则和积的乘方进行简化．
【详解】解：①由，，得，，
所以，
由，得，
解得，
故答案为：2；
②，代入，，得，
故答案为：；
③
，
故答案为：．
8．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则代表的整式是___________．
【答案】
【详解】
解：根据题意得代表的整式是
．
9．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，则三个球的体积之和占整个盒子容积的________（）
【答案】
【分析】设球的半径为r，分别求出三个球的体积和盒子的体积，即可求解．
【详解】解：设球的半径为r，
则三个球的体积和为，
盒子的体积为，
故三个球的体积之和占整个盒子容积的．
10．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）著名数学家华罗庚先生用诗词表达了“数形结合”的思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图，点B，E，C 在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且那么阴影部分的面积为__________．
【答案】5
【分析】本题考查了正方形与三角形的面积计算、代数化简与整体代入思想，解题的关键是通过面积拆分建立表达式，再利用代数化简和整体代入求出阴影面积．
解题思路：先将阴影面积拆分为正方形与三角形的面积组合，列出代数表达式，再通过化简得到，最后代入已知条件求出结果．
【详解】解：由题意得
∵正方形与正方形的边长分别为a，b，
∵
∴．
故答案为：5．
11．（25-26七年级下·陕西渭南·阶段检测）已知，求的值．
【答案】16
【分析】可求出的值，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
12．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
4
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算乘方、零指数幂，负整数次幂，再计算加减即可；
（2）运用多项式与单项式的除法法则计算即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
13．（2025八年级上·河北石家庄·专题练习）观察下列等式：
①；
②；
③
(1)请你按照三个算式的规律写出第④个算式；
(2)把这个规律用含字母的式子表示出来，并说明其正确性．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题是规律型题，考查了整式乘法的混合运算及运用．关键是由特殊到一般，得出一般规律，运用整式的运算进行检验．
（1）根据①②③的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式；
（2）将（1）中发现的规律，由特殊到一般得出结论；利用整式的混合运算方法加以证明．
【详解】（1）解：第④个算式为：
（2）解∶
理由如下：
，
所以
14．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系．
(1)根据定义，填空：______．
(2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题：
①______．（为正数）
②若．求、的值。
【答案】(1)1
(2)①2；②；
【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可．
（2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可．
②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可．
【详解】（1）解：由新定义可得，，
∴；
（2）解：① ；
②∵，
∴；
由题意得，
．
【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握．
15．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式．请仔细观察例题及解答过程，完成下列问题：
(1)多项式为 ，多项式为 ，例题的计算结果为 ；
(2)先化简，再求值：，其中，．
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】（1）由题意得，，，即可得到多项式、多项式，再化简即可解答；
（2）根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项，最后将和的值代入计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
两边同时除以得，
同理得，
两边同除以得，
则例题的计算结果为；
（2）解：
，
，
，
，
将，代入得，
原式．
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第06讲 整式的除法（2大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 用科学记数法表示数的除法
典型例题二 同底数幂的除法运算
典型例题三 同底数幂除法的逆用
典型例题四 零指数幂
典型例题五 幂的混合运算
典型例题六 计算单项式除以单项式
典型例题七 多项式除以单项式
典型例题八 整式四则混合运算
典型例题九 幂的新定义计算
知识点01 单项式除以单项式
定义和计算法则：单项式除以单项式时，需要将系数相除，同底数的幂相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例：(8a^3b^2)÷(2a^2b) 的计算过程如下：首先，系数8除以2得4；其次，a的三次方除以二次方得a的一次方，b的二次方除以一次方得b的一次方；最后，由于没有额外字母，结果为 4ab。
【即时训练】
1．（2026·陕西西安·二模）计算（ ）
A． B． C． D．
2（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）计算：__________．
知识点02 多项式除以单项式
定义和计算法则：多项式除以单项式的运算可以视为多项式的每一项分别除以单项式。具体方法是先将被除式的每一项单独除以除式，然后将所得的结果累加。
【即时训练】
1．（25-26八年级上·福建漳州·期末）某班购买运动会奖品，总花费为元，已知每份奖品的价格是元，则购买的奖品的份数是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_____．
【典型例题一 用科学记数法表示数的除法】
【例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2025·河南焦作·二模）纳米是非常小的长度单位，，把的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上，的空间可以放（ ）个的物体（物体之间的空隙忽略不计）．
A． B． C． D．
【例3】（24-25八年级上·河北廊坊·阶段检测）_____．
【例4】（24-25七年级下·山西运城·阶段检测）查阅资料可知，太阳和地球之间的距离约为，光在真空中的速度约为，太阳光照射到地球大约需要______s．
1．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算并用科学记数法表示结果：
(1)；
(2)．
2．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂次后，数量变为个，有一种细菌分裂速度很快，它每分裂一次，如果现在盘子里有个这样的细菌，那么后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．
(1)经测量，100张面值为100元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为100元的人民币摞起来，大约有多高？
(2)一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的人民币，点钞机大约要点多少天？
【典型例题二 同底数幂的除法运算】
【例1】（25-26七年级上·河北衡水·期中）计算的结果为（ ）
A．2 B．6 C．8 D．
【例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2026·贵州铜仁·一模）______．
【例4】（2026·天津和平·三模）计算的结果为________．
1．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）计算：
(1)；
(2)
(3)
(4)
2．（25-26七年级下·江苏徐州·阶段检测）按要求解答下列各小题：
(1)已知，，求的值；
(2)如果，求的值；
(3)已知，求的值．
3．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1)填空：______；
(2)已知，，求的值；（用含a，b的式子表示）
(3)已知，求x的值．
【典型例题三 同底数幂除法的逆用】
【例1】（24-25七年级下·山东菏泽·阶段检测）已知，则x的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【例2】（25-26七年级下·浙江台州·期中）已知，则的结果是（ ）
A．38 B．39 C．40 D．42
【例3】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若．则____________．
【例4】（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，，则______；______．
1．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如
(1)填空：当，时， ；
(2)若，，求的值．
2．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．
(1)______；若，则______；
(2)已知，，，若，求y的值；
(3)若，，令．
①求的值；
②求t的值．
3．（24-25八年级上·全国·单元复习）在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值．”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以．
(1)若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值；
(2)下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小豫的方法解答下面的问题：
小豫的作业 计算：； 解：．
①小豫的求解方法逆用了幂的一条运算性质，请你用符号(字母)语言直接写出这条性质：___________．
②计算：．
【典型例题四 零指数幂】
【例1】（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）计算的结果是（ ）
A． B．0 C．1 D．8
【例2】（25-26七年级下·陕西西安·期中）若式子有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）已知，则的取值范围是_____．
【例4】（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如果等式，则等式成立的x的取值范围是________．
1．（25-26七年级下·江苏扬州·阶段检测）计算：
(1)；
(2)
2．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段检测）阅读解答
(1)填空（答案填在括号里）：
；；……
(2)探索（1）中式子的规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立；
(3)计算：．
3．（25-26七年级下·广东深圳·期中）阅读理解：
我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么；例如；记作．
(1)根据以上规定求出：________；________；
(2)小明发现也成立．并证明如下：
设：，，，，，
，．
根据以上证明，请计算：；
(3)猜想，并说明理由．
【典型例题五 幂的混合运算】
【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25七年级下·江西抚州·阶段检测）已知，则_______．
【例4】（24-25七年级下·山东青岛·阶段检测）（1）___________ ；
（2）__________ ；
（3）_________ ．
1．（25-26七年级下·湖南湘潭·期中）计算：
(1)；
(2)．
2．（25-26八年级上·北京·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3．（2025八年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【典型例题六 计算单项式除以单项式】
【例1】（2026·陕西咸阳·二模）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）计算：______．
【例4】（25-26七年级下·浙江温州·期中）小瑞同学的周末作业被调皮的弟弟给撕掉了一个角，作业上的问题变成了一个不全的题目．根据小瑞同学记录的内容（如图所示），可得到缺失的单项式应该为____．
1．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）计算：．
2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）解答题：
(1)计算：
(2)化简：．
3．（25-26八年级上·全国·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【典型例题七 多项式除以单项式】
【例1】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）小刚在做作业时，发现题目被墨迹遮住了一部分，，阴影部分即为墨迹，那么被墨迹遮住的内容是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级下·安徽安庆·期中）学校科技小组对整式运算进行探究活动，甲乙两人各写一个整式，若把甲写的整式当作除式，乙写的整式当作被除式，规定商是，若乙写的整式是，则甲写的整式是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）若长方形广场的长是，面积是，则该广场的宽是______．
【例4】（25-26七年级上·上海奉贤·期末）已知长方形面积为，它的一边长为，则这个长方形另外一边长为_______．
1．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）观察下列各式：
在时，
；
；
；
．
(1)根据上面各式的规律可得______；（n为正整数,）
(2)利用（1）中的结论，求的值；
(3)若，求x的值．
2．（25-26七年级下·江西萍乡·期中）如图，长方形甲的面积为，它的长为，正方形乙的周长与长方形甲的周长相等．
(1)求长方形甲的宽；
(2)试探究长方形甲的面积与正方形乙的面积之间的数量关系．
3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中、是两个关于，的二项式．请仔细观察图中的例题及解答过程，完成下列问题：
(1)多项式为________，多项式为________，例题的计算结果为________；
(2)计算：；
【典型例题八 整式四则混合运算】
【例1】25-26八年级上·全国·单元复习）已知m为非零实数，按如下程序进行计算，则输出的结果（ ）
A．随m的变化而变化 B．不变，总是2
C．不变，总是 D．不变，总是4
【例2】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图是2025年某月日历的一部分，阴影部分只框住了四个数，则的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【例3】 （25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）若多项式减去单项式，再除以，所得的商是，则多项式为______．
【例4】（24-25六年级下·山东威海·期末）如图，某市有一块宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一个底座为正方形且边长为米的雕像．若绿化部分的面积为平方米，则长方形的长为___________米．
1．（25-26七年级下·河南周口·期中）计算：
(1)；
(2)．
2．（2026·浙江温州·二模）在学习整式除法后，小明想到可以类比整数除法的竖式计算，进行某类多项式
除法的化简：
即．
(1)请你完成下面的竖式计算．
即
(2)已知多项式，能被多项式整除，求的值．
3．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务．
先化简，再求值：，其中，．
解：原式，第一步
，第二步
，第三步
当，时，原式．第四步
(1)第一步运算用到了乘法公式（用字母表达）_____（写出1种即可）；
(2)以上步骤第________步出现了错误；
(3)请写出正确的解答过程．
【典型例题九 幂的新定义计算】
【例1】（25-26七年级下·陕西渭南·期中）定义新运算符号“”：，则（ ）
A． B． C． D．1
【例2】（24-25七年级下·辽宁朝阳·阶段检测）现定义一种运算“△”，对于任意有理数a、b，都有，例如：．由此可知等于（ ）
A．9 B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：，则的运算结果是____________．
【例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）我们定义新运算“@”如下：．根据这个新定义计算________．
1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)当x为何值时，的值与的值相等．
2．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）定义一种新运算，观察下列各式并完成问题：
1 2＝1×2＋2＝4，
4 （﹣2）＝4×（－2）﹣2＝－10，
3 4＝3×4＋4＝16，
6 （﹣1）＝6×（－1）﹣1＝－7
（1）想一想：a b＝　 　；
（2）若a≠b，那么a b　 　b a（填“＝”或“≠”）；
（3）求（a﹣b） （a＋2b）的值，其中a＝－1，b＝2
3．（24-25七年级下·北京房山·期中）定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题：
(1)若，则m＝______；若，则n＝______；
(2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值；
(3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值．
1．（2026·四川南充·一模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级下·广东河源·期中）小明的作业本上不小心洒上了墨水：□，则被墨水遮盖的部分应是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）规定一种新运算：．嘉嘉：．琪琪：若的结果与x的取值无关，则m的值为2．关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．两人都对 D．两人都错
4．（24-25七年级上·重庆大渡口·阶段检测）有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑白两种颜色．第一堆里的黑子和第二堆的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的．把这三堆棋子集中在一起，白子占全部棋子的（ ）．
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段检测）在长方形内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图①，②两种方式放置(图①,②中两张正方形纸片均有部分重叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若，图①中阴影部分的面积表示为，图②中阴影部分的面积表示为，以下用含a，b的代数式表示的值正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）若，则______．
7．（25-26八年级上·四川眉山·期中）①若，则___；②若，，则___；③____．
8．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若，则代表的整式是___________．
9．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形盒子里，则三个球的体积之和占整个盒子容积的________（）
10．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）著名数学家华罗庚先生用诗词表达了“数形结合”的思想：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．如图，点B，E，C 在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为a，b，且那么阴影部分的面积为__________．
11．（25-26七年级下·陕西渭南·阶段检测）已知，求的值．
12．（25-26八年级上·云南昆明·阶段检测）计算
(1)
(2)
13．（2025八年级上·河北石家庄·专题练习）观察下列等式：
①；
②；
③
(1)请你按照三个算式的规律写出第④个算式；
(2)把这个规律用含字母的式子表示出来，并说明其正确性．
14．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系．
(1)根据定义，填空：______．
(2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题：
①______．（为正数）
②若．求、的值。
15．（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式．请仔细观察例题及解答过程，完成下列问题：
(1)多项式为 ，多项式为 ，例题的计算结果为 ；
(2)先化简，再求值：，其中，．
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