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第07讲 因式分解的意义与方法（5大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 判断是否是因式分解
典型例题二 已知因式分解的结果求参数
典型例题三 公因式
典型例题四 提公因式法分解因式
典型例题五 平方差公式分解因式
典型例题六 完全平方公式分解因式
典型例题七 综合运用公式法分解因式
典型例题八 综合提公因式和公式法分解因式
典型例题九 十字相乘法
典型例题十 分组分解法
典型例题十一 因式分解在有理数简算中的应用
典型例题十二 因式分解的应用
知识点01 提公因式法
基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。
例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。
【即时训练】
1．（24-25八年级上·天津·期末）把提公因式后，则另一个因式为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级上·四川成都·期中）因式分解：_____．
知识02 分组分解法
基本概念：将多项式按照一定的规则分成几组，逐组进行因式分解，然后再综合起来。这种方法适用于多项式项数较多的情况。
【即时训练】
1．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）用分组分解的因式，分组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）分解因式：2x－ay＋ax－2y＝________．
知识03 十字相乘法
基本概念：十字相乘法常用于分解二次三项式，特别是那些不能直接用公式法解决的多项式;将常数项拆分成两个数的乘积，这两个数的和等于一次项系数，从而找到两个因式，使它们的乘积符合原多项式的形式
【即时训练】
1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（ ）
A．10 B．17 C．15 D．8
2．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，其中k、q均为整数，则______．
知识点04 因式分解的平方差公式
基本概念：由平方差公式反过来可得这个公式叫做因式分解的平方差公式.
语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）将多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26七年级上·云南昆明·期中）已知，，则计算的结果为_________．
知识点05 因式分解的完全平方公式
基本概念：由乘法公式中完全平方公式,反过来可得,.
【即时训练】
1．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）分解因式 的结果是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）分解因式________．
【典型例题一 判断是否是因式分解】
【例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列计算属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号）
①；②；③；④．
【例4】（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解的结果是把一个多项式化为几个__________的积的形式．
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？
(1)；
(2)．
2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由．
(1)；
(2)；
(3)．
3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【典型例题二 已知因式分解的结果求参数】
【例1】（25-26七年级上·江西九江·期中）已知，则a的值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【例2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）若多项式可分解为，则的值为（ ）
A． B．1 C．7 D．
【例3】（25-26七年级上·四川达州·期中）已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________．
【例4】（25-26七年级上·上海青浦·期中）如果因式分解的结果为，那么_________．
1．（25-26八年级上·广东广州·期末）在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值．
2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得
则
∴
解得：，
∴另一个因式为，m的值为．
问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值；
(2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解．
3．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题．
已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值．
解：设另一个因式是，则．
可得：．
所以
解得
所以另一个因式是，m的值是22．
请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值．
【典型例题三 公因式】
【例1】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）因式分解代数式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·山东泰安·期中）甲、乙两名同学在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（ ）
A．2 B． C． D．
【例3】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）在多项式中，各项的公因式是______．
【例4】（24-25八年级上·全国·期中）用提公因式法分解因式时，从多项式中提出的公因式为____．
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列多项式各项的公因式：
(1)；
(2)．
2．（24-25八年级上·河南南阳·期中）下面是某同学把多项式分解因式的具体步骤及每一步骤的依据：
（加法交换律）
（提取公因式）
（逆用积的乘方）
（平方差公式）
(1)事实上，该同学的解答是错误的，造成错误的原因是___________________；
(2)请把多项式进行正确分解因式．
3．（24-25七年级上·河北保定·期末）下面为李老师在黑板上布置的因式分解的作业题目：
①；
②；
③．
一位同学完成了题目③．
(1)题目①的公因式为__________．
(2)完成李老师布置的题目②．
(3)该同学完成的题目③是否正确？若正确，请说明II处应用的因式分解的方法；若不正确，请直接写出错误的位置（直接回答“I”或“II”）．
【典型例题四 提公因式法分解因式】
【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）多项式因式分解的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（25-26八年级上·河北衡水·期末）下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（ ）
甲同学：原式； 乙同学：原式．
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错
【例3】（2026·湖南长沙·二模）分解因式：______．
【例4】（2026·四川成都·二模）把多项式分解因式的结果是_______．
1．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）先分解因式，然后计算求值：，其中，．
2．（25-26七年级上·河北张家口·期中）一次课堂练习，琪琪同学做了如下3道因式分解的题目．
①； ②； ③．
(1)琪琪做错的或过程不完整的题目是_____（填序号）；
(2)把你选出的（1）中题目的正确答案写在下面．
3．（2026·安徽阜阳·三模）某数学兴趣小组研究发现“十位数之和为10，个位数相等的两个两位数相乘，所得的积具有一定的规律”，并写出了如下等式：
第1组：；
第2组：
第3组：；
……
(1)根据上述运算规律，请将等式补充完整：__________________；
(2)设一个两位数的十位数字为整数a（），个位数字为整数b（），请你用含a，b的等式表示上述规律，并进行证明．
【典型例题五 平方差公式分解因式】
【例1】（2026·黑龙江绥化·三模）把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）琪琪借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（ ）
用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④．
A．①题 B．②题 C．③题 D．④题
【例3】（2026·安徽安庆·二模）分解因式：________．
【例4】（2026·湖南株洲·一模）若在有理数范围内可以用平方差公式分解因式，则数a的值可以是________．（只写答案）
1．（25-26七年级上·山东济南·期中）因式分解
(1)
(2)
2．（2026·山东青岛·二模）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如：
，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和的“对称值”为．
根据上述材料，解决下列问题：
(1)多项式的“零值”为_____，“对称值”为_____；
(2)若关于的多项式的两个“零值”相等，则多项式的“对称值”为_____；
(3)若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的一个“零值”为，则它的另一个“零值”为_____．
3．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形
(1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个）
A． B．
C．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，求的值．
②计算：
【典型例题六 完全平方公式分解因式】
【例1】（25-26七年级上·广东深圳·期中）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·重庆合川·期末）把分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2026·陕西渭南·二模）分解因式：________．
【例4】（2026·广西梧州·二模）用图①中的正方形和长方形纸片可拼成图②所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解为________ ．
1．（2026·湖北·二模）数学课上，老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
习题1：因式分解：． 解： ………………第一步 ……………第二步 ……第三步 习题2：因式分解：． 解： ………………第一步 ……第二步 ………………………第三步
(1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的；
(2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．
2．（25-26七年级上·全国·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：
解：将“”看成整体，令，则
原式
再将“a”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题：
(1)因式分解：______．
(2)因式分解：．
3．（25-26七年级上·山东济南·期中）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法：
例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求因式分解：
①分组分解法：_________
②拆项法（写出计算过程）：
(2)应用：若，求a、b、c的值．
【典型例题七 综合运用公式法分解因式】
【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各式用公式法分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）将多项式分解因式的结果是（　　）
A． B．
C． D．
【例3】（25-26七年级上·上海·课后作业）把因式分解的结果是________．
【例4】（25-26七年级上·山西晋中·期末）我们学习了配方法，小王发现有的代数式可以用配方法分解因式，
例如：分解因式；
请你根据材料中小王的探究方法解决下列问题：分解因式______．
1．（24-25八年级上·贵州黔西南·期末）计算、分解因式：
(1)；
(2)．
2．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解如下：
甲： （分成两组） （直接提公因式） 乙： （分成两组） （直接运用公式）
请在他们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解：
(2)若，求式子的值．
3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解：
．
【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题：
(1)请在①、②处填空：
①_____②______
(2)将下列各式因式分解：
①_______；
②______；
③______．
【典型例题八 综合提公因式和公式法分解因式】
【例1】（24-25七年级下·安徽滁州·期末）把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2（25-26八年级上·北京·期中）下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】（2025·四川内江·模拟预测）分解因式：________．
【例4】（2026·黑龙江绥化·二模）因式分解：___________．
1．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）在实数范围内分解因式：
(1)；
(2)．
2．（25-26七年级下·浙江·阶段检测）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．因式分解；．
解：原式……第一步
…………第二步
………………第三步
………………………第四步
(1)以上变形过程中，第一步运用了因式分解的 ．
A．提公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)以上分解过程第 步开始出现错误，写出正确的分解过程．
3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子．
例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子．
(1)共因多项式和的同因子是__________；
(2)请写出多项式的一个共因多项式（除外），要求为二次三项式，并说明理由；
(3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．①选取甲卡片张，乙卡片张，丙卡片张，拼成如图2所示的图形，根据此图，写出一个多项式的因式分解；
②选取甲、乙，丙三种卡片，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），要求为正方形，请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解．
【典型例题九 十字相乘法】
【例1】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）将分解因式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级下·重庆·阶段检测）计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级上·山东济南·期末）分解因式：_____．
【例4】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________．
1．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解：
2．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中的另一个因式为，于是我们可以得到．这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，
(1)请你用试根法分解以下多项式：
① ②
(2)已知多项式是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解．
3．（25-26八年级上·山东济宁·期中）在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示．
仿照上述方法进行因式分解．
(1)；
(2)．
【典型例题十 分组分解法】
【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列式子中，属于的因式的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）用分组分解的因式，分组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【例3】（2025七年级上·广东·专题练习）分解因式：___________．
【例4】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）阅读下面的文字与例题．
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：
（1）
（2）
试用上述方法分解因式：=______．
1．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】教科书136页提供了一种因式分解的方法．
【问题解决】
(1)（___________）___________；
(2)如果，，是三条边的长，求证：．
2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法在代数式的化简、求值及方程函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将因式分解．
【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解．
3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．
例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式．
又如：因式分解．
我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式．
请根据上面的提示和范例解决下面问题：
(1)因式分解：______；
(2)已知，求的值；
(3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方．
【典型例题十一 因式分解在有理数简算中的应用】
【例1】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）利用因式分解计算等于（ ）
A．1 B． C．533 D．534
【例2】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）计算的结果是______．
【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________．
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）能被91整除吗？请说明理由．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：．
(1)上述分解因式的方法是_______；
(2)分解因式的结果是_______；
(3)利用（2）中结论计算：．
3．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下：
解：设，则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
问题：
(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；
②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；
(2)请你模仿以上方法尝试计算：
．
【典型例题十二 因式分解的应用】
【例1】（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知，则整式应该是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级下·辽宁辽阳·阶段检测）如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则_____．
【例4】（25-26七年级上·全国·期末）张明和李放剪出如图1所示的4个图，然后又拼成了如图2所示的大长方形，请你写出一个多项式的因式分解：___________．
1．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）如图，阴影部分的面积与一个长方形面积相等，阴影部分内、外都为正方形，边长如图．若该长方形的长为，则该长方形的宽为多少？
2．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题：
证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数．
小明给出了如下解答过程：
证明：设、、(为自然数)
①
②
且能被2整除，
能被2整除．
三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数．
观察小明的证明过程，然后解答下列问题：
(1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）；
(2)已知，且是奇数．求证：能被2整除．
3．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）数学课上王老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“鹿鸣美好式”．
小亮写出如下算式：；
发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”．
(1)验证：__________“鹿鸣美好式”（填“是”或“不是”）；
(2)证明：任意两个连续偶数和（为整数）的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”；
(3)如图，将10个同心圆从小到大套在一起，并由内向外相间画阴影．若最外面的圆的半径为，其余圆的半径由外向内依次为．请结合（2）中的结论，求图中所有阴影部分面积的和．（结果保留）
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）与的公因式是（ ）
A． B． C． D．不存在
2．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（ ）
A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1
4．（25-26八年级上·山东威海·期中）用“*”定义一种运算：．那么多项式因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26八年级上·河北衡水·期末）嘉琪是一个密码设计爱好者，一次他将一把钥匙藏好后设计了如图所示的纸条，由纸条可知钥匙（ ）
密码及对应的明文： 3在；书架上； 里面；花瓶的； 后面；衣柜的． 提示：因式分解的结果即钥匙所在位置．
A．在衣柜的花瓶里面 B．在衣柜的后面
C．在书架上花瓶的里面 D．在书架上花瓶的后面
6．（25-26七年级上·广东深圳·期中）已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________．
7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________．
8．（25-26八年级上·山东济宁·期中）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内用完全平方公式进行因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你写出整数的值有___________个．
9．（25-26七年级上·全国·课后作业）图中各块图形面积之和为，例如，当，时，各块图形面积之和为，则因式分解_____．
10．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）“天算星座”是一个开放开源的空天计算在轨试验平台，重点围绕空天计算、6G网络等多个前沿领域展开创新研究，其星地数据传输依赖高强度密码体系保障安全，因式分解是生成这类密码的基础依据之一．因式分解密码生成的原理是将多项式因式分解后，取对应字母的特定数值，将各因式的计算结果按顺序求解，即可得到密码．例如：多项式，将其因式分解为，若取，，则有，，将其按从小到大的顺序排列就形成密码071217．若“天算星座”另一数据节点密码的生成用到了多项式，将其因式分解后，当时，密码为7279，则______．
11．（25-26七年级上·四川成都·期中）因式分解：
(1)；
(2)
(3)；
(4)
12．（2026七年级上·全国·专题练习）运用简便方法计算：
(1)．
(2)．
(3)
13．（25-26八年级上·重庆·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．
利用上述阅读材料求解：
(1)若是多项式的一个因式，求的值；
(2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值；
(3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解．
14．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）【阅读理解】
对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式：
例如：分解因式．
解：原式
．
像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：．
15．（25-26七年级上·河南郑州·期中）请看下面的问题：把分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，这种将平方和转化为平方差的方法，被称为“姬曼技巧”
(1)受上述方法启发，尝试分解；
(2)类比问题（1）尝试分解；
(3)小明认为：“只要是的形式，都能用这种方法进行分解因式．”请你判断这个说法是否正确，并举例说明．如果正确，请写出一般结论；如果不正确、请给出反例并解释原因．
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第07讲 因式分解的意义与方法（5大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 判断是否是因式分解
典型例题二 已知因式分解的结果求参数
典型例题三 公因式
典型例题四 提公因式法分解因式
典型例题五 平方差公式分解因式
典型例题六 完全平方公式分解因式
典型例题七 综合运用公式法分解因式
典型例题八 综合提公因式和公式法分解因式
典型例题九 十字相乘法
典型例题十 分组分解法
典型例题十一 因式分解在有理数简算中的应用
典型例题十二 因式分解的应用
知识点01 提公因式法
基本概念：提公因式法是最常用的因式分解方法之一。它通过找出多项式各项中的公共因子，并将其提取出来，从而达到化简多项式的目的。
例：分解 ax + ay + azax+ay+az 可以提取公因式 aa，得到 a(x + y + z)a(x+y+z)。
【即时训练】
1．（24-25八年级上·天津·期末）把提公因式后，则另一个因式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了提公因式法因式分解．通过将转化为，然后提取公因式，即可得到另一个因式．
【详解】∵，
∴，
因此另一个因式为．
故选：A．
2．（25-26七年级上·四川成都·期中）因式分解：_____．
【答案】
【详解】解：
．
知识02 分组分解法
基本概念：将多项式按照一定的规则分成几组，逐组进行因式分解，然后再综合起来。这种方法适用于多项式项数较多的情况。
【即时训练】
1．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）用分组分解的因式，分组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．
【详解】解：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．
2．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）分解因式：2x－ay＋ax－2y＝________．
【答案】
【分析】首先分组，然后利用提取公因式法分解因式．
【详解】解：原式＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
知识03 十字相乘法
基本概念：十字相乘法常用于分解二次三项式，特别是那些不能直接用公式法解决的多项式;将常数项拆分成两个数的乘积，这两个数的和等于一次项系数，从而找到两个因式，使它们的乘积符合原多项式的形式
【即时训练】
1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（ ）
A．10 B．17 C．15 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了十字相乘法分解因式．把16分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和．
【详解】解：，
所以或或或或或．
∴整数k的值是或或，
观察四个选项，C选项符合题意．
故选：C．
2．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，其中k、q均为整数，则______．
【答案】或15
【分析】把等式右边展开，由对应相等得出，，再由k，q均为整数，求出k和q的值，即可求出答案．
本题考查因式分解—十字相乘法等，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴当时，则，
∴；
当时，则，
∴；
故答案为或15
知识点04 因式分解的平方差公式
基本概念：由平方差公式反过来可得这个公式叫做因式分解的平方差公式.
语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）将多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．
运用平方差公式进行因式分解求解即可．
【详解】解：运用平方差公式进行因式分解可得：
．
故选：D．
2．（25-26七年级上·云南昆明·期中）已知，，则计算的结果为_________．
【答案】6
【分析】利用平方差公式将所求代数式因式分解，再代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
知识点05 因式分解的完全平方公式
基本概念：由乘法公式中完全平方公式,反过来可得,.
【即时训练】
1．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）分解因式 的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了公式法的运用，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式计算． 将作为一个整体，应用完全平方公式进行因式分解．
【详解】解：
故选：A．
2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）分解因式________．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解．
将看做整体，直接根据完全平方公式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【典型例题一 判断是否是因式分解】
【例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列计算属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查因式分解的定义，根据定义：把一个多项式化为几个整式乘积的变形叫做因式分解，逐一判断选项即可．
【详解】∵因式分解要求将多项式变形为几个整式乘积的形式
A．是合并同类项运算，结果是单项式，不符合因式分解定义，不属于因式分解．
B．是整式乘法运算，将乘积变形为多项式，不符合因式分解定义，不属于因式分解．
C．将多项式变形为两个整式与的乘积，符合因式分解定义，属于因式分解．
D．是单项式除法运算，结果是单项式，不符合因式分解定义，不属于因式分解．
故选：C．
【例2】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断选项即可得到答案．
【详解】选项A、属于整式乘法，右边是多项式的差，不是整式积的形式，故A不符合题意；
选项B、结果为，不是几个整式积的形式，故B不符合题意；
选项C、将多项式化为两个整式与的积，符合因式分解的定义，故C符合题意；
选项D中，左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，故D不符合题意．
【例3】（25-26八年级上·北京西城·阶段检测）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号）
①；②；③；④．
【答案】③
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．
根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案．
【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解；
选项②右边不是积的形式，不是因式分解；
选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解；
选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解；
故答案为③．
【例4】（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解的结果是把一个多项式化为几个__________的积的形式．
【答案】整式
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，根据因式分解定义：“把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解”．
【详解】解：因式分解的结果是把一个多项式化为几个整式的积的形式．
故答案为：整式．
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列因式分解是否正确？为什么？
(1)；
(2)．
【答案】(1)
不正确，因为结果不是乘积的形式
(2)
正确，因为等式成立，且结果是整式乘积的形式
【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据因式分解的定义：因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积的形式．据此判断因式分解是否正确即可．
（1）根据因式分解的定义判断即可；
（2）根据因式分解的定义和展开右边的式子验证是否等于左边即可判断．
【详解】（1）解：因为因式分解要求结果必须是整式的乘积，而右边 是和的形式．
故该因式分解不正确，因为结果不是乘积的形式；
（2）解：因为等式的右边是整式的乘积，
且等式左边，
等式右边，
即等式左边右边，
故该因式分解正确．
2．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)不是因式分解，见解析
(2)是
(3)不是因式分解，见解析
【分析】（1）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可；
（2）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可；
（3）判断等式的右边是不是几个因式的乘积，求解即可．
【详解】（1）解：不是因式分解，理由：从左到右的变形不是化成整式积的形式，
故不是因式分解；
（2）解：从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解；
（3）解：不是因式分解，理由：等式右边不是整式的形式，
故不是因式分解．
3．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
【答案】（1）从左到右不是因式分解，是整式乘法；（2）是因式分解；（3）不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；（4）是因式分解．
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式叫做因式分解，也叫分解因式，逐一判断即可．
【详解】解：（1），从左到右不是因式分解，是整式乘法；
（2），是因式分解；
（3），不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式；
（4），是因式分解．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础概念题型，熟知因式分解的定义是关键．
【典型例题二 已知因式分解的结果求参数】
【例1】（25-26七年级上·江西九江·期中）已知，则a的值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴．
【例2】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）若多项式可分解为，则的值为（ ）
A． B．1 C．7 D．
【答案】B
【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值．
【详解】解：
∵ 多项式可分解为
∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得．
【例3】（25-26七年级上·四川达州·期中）已知关于x的二次三项式 有一个因式为，则n的值________．
【答案】6
【分析】先设另一个因式为，根据多项式乘法展开后与二次三项式对应系数相等，从而求解出n的值．
【详解】解：设二次三项式 的另一个因式为，
，
所以有，，，
解得，．
【例4】（25-26七年级上·上海青浦·期中）如果因式分解的结果为，那么_________．
【答案】2
【分析】将展开后与比较求出，，然后代入求解．
【详解】解：
∵因式分解的结果为，
∴
∴，
∴．
1．（25-26八年级上·广东广州·期末）在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值．
【答案】1
【分析】本题主要考查分解因式与整式乘法的关系，可以根据二者为互逆过程进行解答；
直接利用多项式乘法进而得出的值，即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
．
2．（24-25七年级上·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，得
则
∴
解得：，
∴另一个因式为，m的值为．
问题：
(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值；
(2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解．
【答案】(1)，5；
(2)．
【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可；
（2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可．
【详解】（1）解：设另一个因式为，得
则，
∴，
由①得：，
把代入②得：，
∴另一个因式是，a的值为5；
（2）解：设另一个因式为，得
，
则，
∴，
由①得：，
把代入②得：，
∴．
3．（25-26七年级上·上海·期中）阅读材料，并解决问题．
已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值．
解：设另一个因式是，则．
可得：．
所以
解得
所以另一个因式是，m的值是22．
请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和m的值．
【答案】另一个因式是，
【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握题中所给解题思路，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算是解题的关键．
按题目中所给解题思路，按步骤求解即可．
【详解】解：设另一个因式是，则，
可得，，
，解得，
另一个因式是，m的值是3．
【典型例题三 公因式】
【例1】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）因式分解代数式，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】公因式是多项式各项都含有的公共因式，确定规则为：相同字母取最低次幂，乘积即为所求公因式．
【详解】解：∵ 多项式为，各项均含有的公共字母为和，
又∵在两项中的次数分别为和，最低次数为；在两项中的次数分别为和，最低次数为，
∴公因式为．
【例2】（25-26八年级上·山东泰安·期中）甲、乙两名同学在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了提公因式法分解因式．
公因式是多项式中各项都含有的因式，需取系数的最大公因数和形同字母的最低次幂．
【详解】解：∵多项式中，各项系数为2和（绝对值最大公因数为2），字母部分为和（最低次幂为），
∴公因式为．
故选：D．
【例3】（25-26七年级上·江苏淮安·期中）在多项式中，各项的公因式是______．
【答案】
【分析】本题主要考查公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键，根据公因式的定义即可得到结果．
【详解】解：多项式 的每一项都含有因式，且的最低次数为，
各项的公因式是．
【例4】（24-25八年级上·全国·期中）用提公因式法分解因式时，从多项式中提出的公因式为____．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解提公因式法，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“”，则公因式的符号一般为负．正确找出公因式是解题的关键．
【详解】解：
从多项式中提出的公因式为，
故答案为：．
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列多项式各项的公因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】找多项式各项的公因式，需分别确定系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次幂，再将二者相乘即可．
【详解】（1）解：对于多项式，系数3、、6的最大公约数是3，各项都含有的相同字母为，且的最低次幂是1，
∴各项的公因式为．
（2）解：对于多项式，系数4、的最大公约数是2，各项都含有的相同字母为、，的最低次幂是1，的最低次幂是2，
∴各项的公因式为．
2．（24-25八年级上·河南南阳·期中）下面是某同学把多项式分解因式的具体步骤及每一步骤的依据：
（加法交换律）
（提取公因式）
（逆用积的乘方）
（平方差公式）
(1)事实上，该同学的解答是错误的，造成错误的原因是___________________；
(2)请把多项式进行正确分解因式．
【答案】(1)分解因式不彻底，没有把公因式提尽（意思对即可得分）
(2)
【分析】观察同学的解法，找出错误原因即可；
写出正确解法即可．
【详解】（1）分解因式不彻底
（2）

【点睛】此题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
3．（24-25七年级上·河北保定·期末）下面为李老师在黑板上布置的因式分解的作业题目：
①；
②；
③．
一位同学完成了题目③．
(1)题目①的公因式为__________．
(2)完成李老师布置的题目②．
(3)该同学完成的题目③是否正确？若正确，请说明II处应用的因式分解的方法；若不正确，请直接写出错误的位置（直接回答“I”或“II”）．
【答案】(1)
(2)
(3)不正确，错误的位置是II
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解此题的关键．
（1）根据公因式是各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积即可得解；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（3）根据解答过程分析即可得解．
【详解】（1）解：题目①的公因式为；
（2）解：；
（3）解：根据解答过程可得，该同学完成的题目③不正确，错误的位置是II，再利用完全平方公式分解时分解错误，正确应为．
【典型例题四 提公因式法分解因式】
【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）多项式因式分解的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将互为相反数的项变形为相同形式，再提取公因式得到结果．
【详解】
．
【例2】（25-26八年级上·河北衡水·期末）下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（ ）
甲同学：原式； 乙同学：原式．
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙均对 D．甲乙均错
【答案】C
【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解，进行判断即可．熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
【详解】解：甲同学：∵ 原式 ，
∴ 正确；
乙同学：原式 ，
∴ 正确．
故甲乙均对．
故选：C．
【例3】（2026·湖南长沙·二模）分解因式：______．
【答案】
【详解】解：．
【例4】（2026·四川成都·二模）把多项式分解因式的结果是_______．
【答案】
【分析】提取公因式即可．
【详解】解：．
1．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）先分解因式，然后计算求值：，其中，．
【答案】，
【详解】解：
当，时，原式
2．（25-26七年级上·河北张家口·期中）一次课堂练习，琪琪同学做了如下3道因式分解的题目．
①； ②； ③．
(1)琪琪做错的或过程不完整的题目是_____（填序号）；
(2)把你选出的（1）中题目的正确答案写在下面．
【答案】(1)②③
(2)；
【详解】（1）解：①；
②；
③，
故做错的或过程不完整的题目是②③．
（2）解：；
．
3．（2026·安徽阜阳·三模）某数学兴趣小组研究发现“十位数之和为10，个位数相等的两个两位数相乘，所得的积具有一定的规律”，并写出了如下等式：
第1组：；
第2组：
第3组：；
……
(1)根据上述运算规律，请将等式补充完整：__________________；
(2)设一个两位数的十位数字为整数a（），个位数字为整数b（），请你用含a，b的等式表示上述规律，并进行证明．
【答案】(1)，3264
(2)，证明见解析
【分析】（1）观察规律可知，这两个两位数相乘等于这两个两位数十位数字的乘积加上个位数字，然后再乘以100，最后再加上个位数字的平方，据此即可解得；
（2）先用a，b表示出这两个两位数，根据观察的规律即可用含a，b的等式表示上述规律，再化简等式左边，证明等式左边等于右边即可得证．
【详解】（1）解：根据前3组的规律可知；
（2）解：由题意，这两个两位数为，，
用含a，b的等式表示上述规律为．
证明：左边
右边，
故规律成立．
【典型例题五 平方差公式分解因式】
【例1】（2026·黑龙江绥化·三模）把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
．
【例2】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）琪琪借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（ ）
用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④．
A．①题 B．②题 C．③题 D．④题
【答案】B
【详解】解：①；
②，无法使用平方差公式进行因式分解；
③；
④，
该题是②无法使用平方差公式进行因式分解．
【例3】（2026·安徽安庆·二模）分解因式：________．
【答案】/
【详解】解：．
【例4】（2026·湖南株洲·一模）若在有理数范围内可以用平方差公式分解因式，则数a的值可以是________．（只写答案）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据平方差公式的结构特征，要使 在有理数范围内能用平方差公式分解因式，需为有理数的平方，任取一个满足条件的即可．
【详解】解：，符合要求．
1．（25-26七年级上·山东济南·期中）因式分解
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接运用完全平方公式分解即可；
（2）变形为平方差形式后，利用平方差公式分解，合并同类项后提取公因式即可得到结果．
【详解】（1）解：
（2）解：原式
2．（2026·山东青岛·二模）小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如：
，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和的“对称值”为．
根据上述材料，解决下列问题：
(1)多项式的“零值”为_____，“对称值”为_____；
(2)若关于的多项式的两个“零值”相等，则多项式的“对称值”为_____；
(3)若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的一个“零值”为，则它的另一个“零值”为_____．
【答案】(1)和，
(2)
(3)
【分析】（1）对多项式因式分解得出 ，结合定义即可求解；
（2）由题意令其“零值”为，则多项式可写成 ，可知，即可求解；
（3）由得，故“对称值”为3．设多项式的另一个“零值”为，根据已知它的“对称值”与 相同，得出方程，求得的值，即可求解．
【详解】（1）对多项式因式分解，得
令，得；
令，得
因此多项式的“零值”为和
根据“对称值”定义计算得： ，即“对称值”为．
（2）展开多项式 ，得
因为两个“零值”相等，设相等的“零值”为，则多项式可写成
对比系数得 ，
解得 ，
因此“对称值”为．
（3）对 因式分解，得 ，
因此它的两个“零值”为和
已知该多项式有一个“零值”为，因此
计算 的“对称值”得：
设多项式的另一个“零值”为，
已知它的“对称值”与 相同，即对称值为，且一个零值为，
因此可得
解得，即另一个“零值”为．
3．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形
(1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个）
A． B．
C．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，求的值．
②计算：
【答案】(1)B
(2)①；②
【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可；
（2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可；
②利用平方差公式将原式变形即可求解．
【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以.
（2）解：①∵，
∴，
又∵，
∴，
答：的值为3；
②
．
【典型例题六 完全平方公式分解因式】
【例1】（25-26七年级上·广东深圳·期中）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】能用完全平方公式分解的多项式需满足：共三项，两项平方项符号相同，第三项是两平方项底数乘积的2倍，符合的形式，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、中，x不是两底数积的2倍，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求；
B、中，常数项为负，两个平方项符号不同，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求；
C、只有两项，可用平方差公式分解，不能用完全平方公式因式分解，不符合要求；
D、，符合完全平方公式的形式，可以因式分解，符合要求．
【例2】（25-26八年级上·重庆合川·期末）把分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．将视为整体，应用完全平方公式分解．
【详解】解：设，则原式化为，
∵，
∴ 原式，
故选：B．
【例3】（2026·陕西渭南·二模）分解因式：________．
【答案】/
【详解】解：．
【例4】（2026·广西梧州·二模）用图①中的正方形和长方形纸片可拼成图②所示的正方形，此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解为________ ．
【答案】
【分析】观察图1和图2，根据面积公式列出关系式即可．
【详解】解：根据题意得：．
1．（2026·湖北·二模）数学课上，老师展示了两道习题及其错误的解答过程：
习题1：因式分解：． 解： ………………第一步 ……………第二步 ……第三步 习题2：因式分解：． 解： ………………第一步 ……第二步 ………………………第三步
(1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的；
(2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程．
【答案】(1)习题1从第二步开始出现错误，习题2从第一步开始出现错误
(2)见解析
【分析】（1）根据平方差公式判断习题1，再根据提出负号后括号内的每一项都要变号解答习题2；
（2）分别根据平方差公式和完全平方公式解答．
【详解】（1）习题1：第二步出现错误，应为，习题2：第一步提出负号出现错误，应为；
（2）选择习题1写出正确解答过程：
；
若选择习题2，正确解答过程如下：
．
2．（25-26七年级上·全国·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：
解：将“”看成整体，令，则
原式
再将“a”还原，得原式
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题：
(1)因式分解：______．
(2)因式分解：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照材料的解题方法，将看成整体，进行因式分解即可；
（2）仿照材料的解题方法，将看成整体，将式子整理后进行因式分解即可．
【详解】（1）解：将“”看成整体，令，则
原式
再将“a”还原，得原式．
（2）解：将“”看成整体，令，则
原式
再将“m”还原，得原式．
3．（25-26七年级上·山东济南·期中）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等．
①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法：
例如：．
②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：．
(1)仿照以上方法，按照要求因式分解：
①分组分解法：_________
②拆项法（写出计算过程）：
(2)应用：若，求a、b、c的值．
【答案】(1)①，；②
(2)
【分析】
（1）①先将原式变形为，前3项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可；
②将常数项变为，前三项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可；
（2）将原式变形为 ，分组分解为，再利用非负数的性质即可求出，，．
【详解】（1）解：①
；
②
；
（2）解：由得：
，
即，
∴ ，
∴．
【典型例题七 综合运用公式法分解因式】
【例1】（24-25八年级上·全国·课后作业）下列各式用公式法分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别利用平方差公式与完全平方公式分解因式进而得出答案．
【详解】A.不能用公式法分解因式，故错误；
B.，正确；
C. 不能用公式法分解因式，故错误；
D.不能用公式法分解因式，故错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式与完全平方公式是解题关键．
【例2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）将多项式分解因式的结果是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了公式法因式分解．
利用完全平方公式和平方差公式进行解答．
【详解】解：
．
故选：C．
【例3】（25-26七年级上·上海·课后作业）把因式分解的结果是________．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，将原式视为平方差形式，应用平方差公式分解，再对所得式子分别应用完全平方公式进行因式分解．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【例4】（25-26七年级上·山西晋中·期末）我们学习了配方法，小王发现有的代数式可以用配方法分解因式，
例如：分解因式；
请你根据材料中小王的探究方法解决下列问题：分解因式______．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，理解题意，掌握配方法因式分解是解题的关键．
通过配方法，添加和减去一次项系数一半的平方，再应用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：
=．
故答案为：．
1．（24-25八年级上·贵州黔西南·期末）计算、分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
（2）解：
2．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解如下：
甲： （分成两组） （直接提公因式） 乙： （分成两组） （直接运用公式）
请在他们的解法启发下解答下面各题：
(1)因式分解：
(2)若，求式子的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了因式分解-分组分解法，此方法因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．
（1）原式前两项与第四项结合，利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式两项两项结合后，提取公因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：原式
；
，
，
，
∴原式．
3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解：
．
【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题：
(1)请在①、②处填空：
①_____②______
(2)将下列各式因式分解：
①_______；
②______；
③______．
【答案】(1)，
(2)①；②；③
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
（1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解．
（2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解．
②仿照阅读材料，运用配方法将转化为，再利用平方差公式因式分解．
③仿照阅读材料，运用配方法将转化为与的差，再利用平方差公式因式分解．
【详解】（1）解：
故答案为：①，②；
（2）解：①
；
故答案为：．
②
故答案为：．
③
；
故答案为：．
【典型例题八 综合提公因式和公式法分解因式】
【例1】（24-25七年级下·安徽滁州·期末）把多项式分解因式，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先运用提公因式法，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：
【例2（25-26八年级上·北京·期中）下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
分别验证各选项的因式分解是否正确，即等式是否成立且分解是否彻底．
【详解】解：A、不能进行因式分解，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故 C错误；
D、，故D正确，
故选：D．
【例3】（2025·四川内江·模拟预测）分解因式：________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行二次分解．
【详解】解：．
【例4】（2026·黑龙江绥化·二模）因式分解：___________．
【答案】
【详解】解：
．
1．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）在实数范围内分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】先提取公因式，再利用公式继续分解，直到每个因式都不能再分解．
【详解】（1） ；
（2） ．
2．（25-26七年级下·浙江·阶段检测）下面是小颖对多项式因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．因式分解；．
解：原式……第一步
…………第二步
………………第三步
………………………第四步
(1)以上变形过程中，第一步运用了因式分解的 ．
A．提公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法
(2)以上分解过程第 步开始出现错误，写出正确的分解过程．
【答案】(1)B
(2)三，
原式
【分析】（1）根据整体思想结合平方差公式的形式解答即可；
（2）先根据平方差公式分解，再分别提出公因式确定错误的步骤，然后解答即可．
【详解】（1）解：将和都看成整体，符合平方差公式；
（2）略
3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子．
例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子．
(1)共因多项式和的同因子是__________；
(2)请写出多项式的一个共因多项式（除外），要求为二次三项式，并说明理由；
(3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．①选取甲卡片张，乙卡片张，丙卡片张，拼成如图2所示的图形，根据此图，写出一个多项式的因式分解；
②选取甲、乙，丙三种卡片，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），要求为正方形，请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)①；②图见解析，
【分析】（1）通过因式分解，找出两个多项式的共同因式；
（2）先分解原多项式，再构造一个含有相同因式的二次三项式；
（3）①根据拼图的面积表示多项式，写出因式分解；②画出图形再进行因式分解即可．
【详解】（1）解：，，
故共因多项式和的同因子是．
（2）解：，
，
则和的同因子是，
故是的共因多项式．
（3）①解：由图可知，图2的面积可表示为，
也可表示为，
故．
②解：如图为所求拼图，
拼图的面积可表示为，
也可表示为，
则，
与的同因子是，
故是的共因多项式．
【典型例题九 十字相乘法】
【例1】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）将分解因式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，即，熟练掌握十字相乘法方法是解答本题的关键．
利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：．
故选A．
【例2】（24-25七年级下·重庆·阶段检测）计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查因式分解与整式乘法，熟练掌握十字相乘法进行因式分解或多项式乘多项式是解决本题的关键．
根据十字相乘法进行因式分解或逐选项计算即可．
【详解】解：方法一：
由十字相乘法，得．
故选：A．
方法二：
A. ，故此选项符合题意；
B. ，故此选项不符合题意；
C. ，故此选项不符合题意；
D. ，故此选项不符合题意；
故选：A．
【例3】（25-26七年级上·山东济南·期末）分解因式：_____．
【答案】
【分析】此题考查了十字相乘法的分解因式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．根据十字相乘法分解因式即可得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【例4】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________．
【答案】()()
【分析】利用拼图前后面积相等，将多项式因式分解为长方形的长乘宽．
【详解】解：据图可知，左边图形的面积为，
右边图形的面积为，
故．
1．（25-26七年级上·上海·期末）因式分解：
【答案】
【分析】本题考查因式分解的综合运用，涉及十字相乘法分解因式．先将看作一个整体，把原式转化为关于该整体的二次三项式，用十字相乘法分解；再对分解后得到的因式中可继续分解的部分，再次用十字相乘法分解，直至所有因式在有理数范围内均不能再分解．
【详解】解：原式，
．
2．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中的另一个因式为，于是我们可以得到．这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，
(1)请你用试根法分解以下多项式：
① ②
(2)已知多项式是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解．
【答案】(1)①；②
(2)，；
【分析】此题考查了因式分解，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）①利用试根法求解即可；
②利用试根法求解即可；
（2）设另一个因式为，然后计算为，然后比较系数求解即可．
【详解】（1）解：①当时，，当时，
∴；
②当时，，
当时，，
当时，，
∴；
（2）解：∵多项式是多项式的一个因式
∴设另一个因式为
∴
∴
∴
解得．
．
3．（25-26八年级上·山东济宁·期中）在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示．
仿照上述方法进行因式分解．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解十字相乘法中 “常数项为两数之积，一次项系数为两数之和” 的核心关系，并能找出符合条件的因数对．
(1)用十字相乘法分解因式；
(2)用十字相乘法分解因式．
【详解】（1）解：，
多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是，
如图所示，
（2）解：，
多项式的二次项系数是，常数项是，一次项系数是，
如图所示，
．
【典型例题十 分组分解法】
【例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列式子中，属于的因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查多项式的因式分解及因式的概念，解题的关键是判断每个选项能否整除给定的多项式．
通过对多项式进行分组分解因式，再判断各选项是否为其因式．
【详解】
由此可知是的因式，而都不是它的因式．
故选：C．
【例2】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段检测）用分组分解的因式，分组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】把二、三、四项作为一组，第一项作为一组，然后根据完全平方公式和平方差公式分解即可．
【详解】解：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，正确分组是解答本题的关键．
【例3】（2025七年级上·广东·专题练习）分解因式：___________．
【答案】
【详解】解：
．
【例4】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）阅读下面的文字与例题．
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：
（1）
（2）
试用上述方法分解因式：=______．
【答案】
【分析】此题考查了因式分解，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式．首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解．
【详解】解：
，
故答案为：．
1．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】教科书136页提供了一种因式分解的方法．
【问题解决】
(1)（___________）___________；
(2)如果，，是三条边的长，求证：．
【答案】(1)；
(2)见解析
【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式计算．
（1）将式子分成两组，然后提取公因式进行因式分解即可；
（2）先将不等式左边进行因式分解，然后根据三角形的三边关系判断结果小于0．
【详解】（1）解：
；
故答案为：；；
（2）解：
由三角形三边关系得，，
，，
，，
，
．
2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法在代数式的化简、求值及方程函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将因式分解．
【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是正确运用分组分解法进行因式分解．
（1）根据题意，得，提取公因式解答即可；
（2）根据题意，得，后因式分解解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，得
；
（2）解：根据题意，得
．
3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）阅读材料：“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它是从问题的整体性质出发，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．
例如：已知，求代数式的值．我们把看作一个整体代入求值，原式．
又如：因式分解．
我们把看作一个整体，令，则原式，再把a还原成得，原式．
请根据上面的提示和范例解决下面问题：
(1)因式分解：______；
(2)已知，求的值；
(3)求证：四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】本题以整体换元法为背景考查了完全平方公式的应用，关键是要找到整体即可解答．
（1）将看作整体换元，利用完全平方公式即可求解；
（2）将看成整体换元，即可求解；
（3）将中第一项与第四项结合，第二项第三相结合展开，利用整体换元即可求解．
【详解】（1）解：（1）将看成整体，令，
则原式，
再将a还原，得到原式，
故答案为：；
（2）∵，
∴
∴
；
（3）证明：设这连续整数分别为n，，，，（n为整数），
则
将看成整体，令，
则原式
，
再将b还原，得到原式，
∵n为整数，
∴为整数，
故式子的值一定是某一个整数的平方．
∴四个连续整数的积与1的和是一个整数的平方
【典型例题十一 因式分解在有理数简算中的应用】
【例1】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）利用因式分解计算等于（ ）
A．1 B． C．533 D．534
【答案】C
【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用．
通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算．
【详解】解：
．
故选：C．
【例2】（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
【详解】原式
，
故选：C．
【例3】（24-25七年级下·山东聊城·阶段检测）计算的结果是______．
【答案】
【分析】先提公因式，再进行计算即可．
【详解】解：原式
故答案为：
【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________．
【答案】4
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，该表达式符合完全平方公式的形式，因此可转化为两数和的平方．
【详解】解： ，
，
，
，
，
故答案为 4.
1．（24-25七年级下·全国·课后作业）能被91整除吗？请说明理由．
【答案】能，见解析
【分析】本题考查因式分解在计算中的应用，先提公因式再计算判断，即可解题．
【详解】解：能．理由如下：
因为，
所以能被91整除．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：．
(1)上述分解因式的方法是_______；
(2)分解因式的结果是_______；
(3)利用（2）中结论计算：．
【答案】(1)提公因式法
(2)
(3)
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，找出整式的结构规律是关键，体现了由特殊到一般的数学思想．
（1）根据其式子特点直接分析求解，即可解题；
（2）按照（1）中的方法再分解几个，找了其中的规律，即可推测出结果；
（3）由（2）中得到的规律，变形求解，即可解题．
【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，
故答案为：提公因式法；
（2）解：
，
，
同理可得：
，
故答案为：；
（3）解：原式
．
3．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式进行因式分解的解题思路：将“”看成一个整体，令，则原式．再将“x”还原为“”即可．解题过程如下：
解：设，则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
问题：
(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；
②请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解；
(2)请你模仿以上方法尝试计算：
．
【答案】(1)①该同学没有完成因式分解；最后的结果为；②
(2)2024
【分析】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键．
（1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；
②利用换元法进行因式分解即可；
（2）设，，则原式，整体代入计算即可．
【详解】（1）①该同学没有完成因式分解；
设，则原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
．
∴最后的结果为．
②设，
原式
．
；
（2）设，，
则，
，
原式
．
【典型例题十二 因式分解的应用】
【例1】（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知，则整式应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】已知两个整式的乘积和其中一个因式，求另一个因式，可通过提取公因式分解因式得到结果.
【详解】解：∵
∴.
【例2】（25-26七年级下·辽宁辽阳·阶段检测）如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先列出大正方形的面积，再根据完全平方公式因式分解，即可得出大正方形的边长.
【详解】解：由题意得：
大正方形的面积为：，
∴大正方形的边长为：．
【例3】（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则_____．
【答案】8
【分析】利用平方差公式对所求代数式因式分解，再整体代入已知条件的值计算即可．
【详解】解：由平方差公式得，
把，代入得，
．
【例4】（25-26七年级上·全国·期末）张明和李放剪出如图1所示的4个图，然后又拼成了如图2所示的大长方形，请你写出一个多项式的因式分解：___________．
【答案】
【详解】解：图1四个图形的总面积为，
图2大长方形的面积为，
，
．
1．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）如图，阴影部分的面积与一个长方形面积相等，阴影部分内、外都为正方形，边长如图．若该长方形的长为，则该长方形的宽为多少？
【答案】
【分析】根据阴影部分的面积表示与平方差公式因式分解知识进行求解．
【详解】解：由题意得，该阴影部分的面积为：
，
∴该长方形的宽为．
2．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题：
证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数．
小明给出了如下解答过程：
证明：设、、(为自然数)
①
②
且能被2整除，
能被2整除．
三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数．
观察小明的证明过程，然后解答下列问题：
(1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）；
(2)已知，且是奇数．求证：能被2整除．
【答案】(1)因式分解
(2)见解析
【分析】（1）根据因式分解的定义解答；
（2）设（为自然数）再展开，然后提出公因式判断即可．
【详解】（1）解：因式分解；
（2）证明：设（为自然数）
∵
且能被整除
∴能被整除.
3．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）数学课上王老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“鹿鸣美好式”．
小亮写出如下算式：；
发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”．
(1)验证：__________“鹿鸣美好式”（填“是”或“不是”）；
(2)证明：任意两个连续偶数和（为整数）的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”；
(3)如图，将10个同心圆从小到大套在一起，并由内向外相间画阴影．若最外面的圆的半径为，其余圆的半径由外向内依次为．请结合（2）中的结论，求图中所有阴影部分面积的和．（结果保留）
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)
【分析】（1）直接根据“鹿鸣美好式”的定义，即可求解；
（2）设这两个连续偶数分别为和，再根据平方差公式，以及“鹿鸣美好式”的定义，即可求解；
（3）根据题意得，再根据“鹿鸣美好式”的定义，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴是“鹿鸣美好式”；
（2）证明：设任意两个连续偶数和（为整数），则
∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“鹿鸣美好式”；
（3）解：由题意得
．
1．（25-26七年级下·全国·课后作业）与的公因式是（ ）
A． B． C． D．不存在
【答案】A
【详解】解：
第一个多项式为
∴ 两个多项式都含有的公因式为.
2．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式的结构，对各选项逐一判断即可．
【详解】A、，可用平方差公式分解，不符合完全平方公式；
B、，符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解；
C、无法化为的形式，不能用完全平方公式分解；
D、的常数项为负，无法化为的形式，不能用完全平方公式分解；
故选：B．
3．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）马小虎同学做了一道因式分解的习题，做完之后，不小心让墨水把等式中的两个数字盖住了，此时该等式为 那么式子中的，处对应的两个数字分别是（ ）
A．64和8 B．24和3 C．16和2 D．8和1
【答案】C
【分析】通过展开等式右侧乘积，对比左右两边即可求出被盖住的数字．
【详解】设，，则，
，
，
解得，
所以式子中的，处对应的两个数字分别是16和2．
4．（25-26八年级上·山东威海·期中）用“*”定义一种运算：．那么多项式因式分解的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了新运算法则，再结合因式分解的方法即可得到结果．根据新运算定义，先计算 得到多项式，然后进行因式分解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
5．（25-26八年级上·河北衡水·期末）嘉琪是一个密码设计爱好者，一次他将一把钥匙藏好后设计了如图所示的纸条，由纸条可知钥匙（ ）
密码及对应的明文： 3在；书架上； 里面；花瓶的； 后面；衣柜的． 提示：因式分解的结果即钥匙所在位置．
A．在衣柜的花瓶里面 B．在衣柜的后面
C．在书架上花瓶的里面 D．在书架上花瓶的后面
【答案】D
【分析】本题考查因式分解的应用，先对给定多项式用提公因式法和平方差公式进行彻底因式分解，再将每个因式对应题目给出的明文，组合后得到钥匙位置．
【详解】解：
，
对应明文：
在；书架上；花瓶的；后面，
∴组合后钥匙位置为：在书架上花瓶的后面．
故选：D．
6．（25-26七年级上·广东深圳·期中）已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________．
【答案】
【分析】设另一个因式为，可得，根据整式的乘法运算法则即可求解．
【详解】解：设另一个因式为，可得，
则，
∴，解得，
∴另一个因式为，m的值为．
7．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________．
【答案】
【详解】解：原式，
，，，
∴．
8．（25-26八年级上·山东济宁·期中）数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是能在有理数的范围内用完全平方公式进行因式分解，则整数的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你写出整数的值有___________个．
【答案】2
【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征．
根据完全平方公式，多项式需满足常数项为平方数且中间项系数为平方根的2倍，由此确定整数的取值．
【详解】解：由完全平方公式，设，
比较系数得，解得，
于是，即，
解得，
因此整数的值有2个，
故答案为：2．
9．（25-26七年级上·全国·课后作业）图中各块图形面积之和为，例如，当，时，各块图形面积之和为，则因式分解_____．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，体现了数形结合的数学思想，根据面积相等得到等式是解题的关键．
经过观察发现：是这个大长方形的面积，观察图形得到这个大长方形的长和宽，得到大长方形的面积为长×宽，根据面积相等即可得出答案．
【详解】解：经过观察发现：是这个大长方形的面积，
而这个大长方形的长为，宽为，面积为，
∴，
故答案为：．
10．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）“天算星座”是一个开放开源的空天计算在轨试验平台，重点围绕空天计算、6G网络等多个前沿领域展开创新研究，其星地数据传输依赖高强度密码体系保障安全，因式分解是生成这类密码的基础依据之一．因式分解密码生成的原理是将多项式因式分解后，取对应字母的特定数值，将各因式的计算结果按顺序求解，即可得到密码．例如：多项式，将其因式分解为，若取，，则有，，将其按从小到大的顺序排列就形成密码071217．若“天算星座”另一数据节点密码的生成用到了多项式，将其因式分解后，当时，密码为7279，则______．
【答案】2
【分析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；根据密码生成原理，多项式因式分解后，取时，因式的值组成密码7279，即两个因式的值分别为72和79．通过因式的值反推因式分解的常数项，再根据多项式系数关系求出m和n，最后计算．
【详解】解：多项式因式分解为两个一次因式的乘积．设因式分解结果为，对其展开为，则对应系数关系为：，，
密码7279表示当时，因式的值分别为72和79．因此有：
，或，，
解得或．
代入系数关系：
若，则，，
所以，，
解得，
因此，
若，同理可得结果相同．
故答案为2．
11．（25-26七年级上·四川成都·期中）因式分解：
(1)；
(2)
(3)；
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
12．（2026七年级上·全国·专题练习）运用简便方法计算：
(1)．
(2)．
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了因式分解的简便运算，涉及提取公因式、平方差公式、完全平方公式，掌握观察式子结构，通过提取公因式或凑乘法公式简化计算是解题的关键．
（1）提取公因式，再用平方差公式因式分解简化计算．
（2）将转化为，凑完全平方公式因式分解．
（3）统一各项系数为，提取公因式后计算括号内的和．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
13．（25-26八年级上·重庆·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．
利用上述阅读材料求解：
(1)若是多项式的一个因式，求的值；
(2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值；
(3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解．
【答案】(1)
(2),
(3)
【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键．
（1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值；
（2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值；
（3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，把代入，
∴
∴；
（2）解：把和分别代入，
即
解得：
（3）解：∵能使多项式的值0，
∴是多项式的一个因式
又∵当时，，
当时，
∴是的因式
∴．
14．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）【阅读理解】
对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式：
例如：分解因式．
解：原式
．
像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：．
【答案】
【分析】本题考查了拆项法分解因式．
通过拆项法将原式中的项拆分成两部分，使一部分形成完全平方式，另一部分构成平方差公式中的平方项，从而应用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式
．
15．（25-26七年级上·河南郑州·期中）请看下面的问题：把分解因式．
分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？
19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得，这种将平方和转化为平方差的方法，被称为“姬曼技巧”
(1)受上述方法启发，尝试分解；
(2)类比问题（1）尝试分解；
(3)小明认为：“只要是的形式，都能用这种方法进行分解因式．”请你判断这个说法是否正确，并举例说明．如果正确，请写出一般结论；如果不正确、请给出反例并解释原因．
【答案】(1)
(2)
(3)正确；举例见解析；一般结论：形如（为正整数）的多项式均可用此法分解因式
【分析】本题考查了因式分解：
（1）根据新定义，用构造出平方项，再进行因式分解；
（2）根据新定义，把原式看成和的和，用构造平方项，完成因式分解；
（3）当完全平方数为时，代入并分解因式，再设完全平方数为，其中为正整数，将按照“姬曼技巧”进行变形，分解因式，后总结一般结论即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：正确；
举例：当完全平方数为时，
，
一般结论：设完全平方数为，其中为正整数，则，
，
因此，正确结论是：形如（为正整数）的多项式均可用此法分解因式．
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