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第02讲 有理数的加法与减法（4大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 有理数加法运算
典型例题二 有理数的减法运算
典型例题三 有理数加法运算律
典型例题四 有理数的加减混合运算
典型例题五 有理数加减中的简便运算
典型例题六 有理数加法在生活中的应用
典型例题七 有理数加减混合运算的应用
知识点01 有理数的加法
1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。
2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．
注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则.
【即时训练】
1．（2026·浙江丽水·二模）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：．
2．（2026·安徽阜阳·二模）计算：___________．
【答案】
【详解】．
知识点02 运算律
1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。
2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。
注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。
2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。
【即时训练】
1．（25-26七年级上·河北沧州·期中）嘉琪在计算时，如要使计算简便，则■中可以填下列中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查有理数的加法运算律，熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键；要使计算简便，应选择分母与已知分数相同的选项，从而利用结合律先计算同分母分数之和，然后问题可求解．
【详解】解：∵原式为，
若，则先计算，
再计算，过程简便；
其他选项分母均不同，无法直接简化计算；
∴■中应填；
故选D．
2．（25-26七年级上·全国·课后作业）当时，（1）______；（2）_____．
【答案】 0 14
【分析】本题主要考查有理数的加减运算，根据加减运算法则直接计算即可．
【详解】解：；
；
故答案为：0；14．
知识点03 有理数的减法
1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。
2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【即时训练】
1．（2026·吉林长春·模拟预测）计算的结果是（ ）
A．1 B．3 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据有理数减法法则计算即可得到结果．
【详解】解：
2．（2026·江苏宿迁·一模）计算的结果等于______．
【答案】
【详解】解：．
知识点04 有理数的加减混合运算
1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；
2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；
3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。
注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。
【即时训练】
1．（24-25七年级上·吉林白城·阶段检测）计算的结果是（ ）
A．10 B． C．9 D．
【答案】A
【分析】本题考查有理数的加减运算．根据有理数的加减运算法则计算即可．
【详解】解：
故选：A
2．（25-26七年级上·山东济南·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如：，．
若，则称有理数，为“隔一数对”．
例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”．
已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，则___________．
【答案】
【分析】此题考查了有理数的加减运算，
根据题意原式可化为，中间项相互抵消，只剩首项和末项，进而求解即可．
【详解】解：由题意，对于连续非零整数，有．
∴
．
故答案为：．
【典型例题一 有理数加法运算】
【例1】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）计算：（ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算．
根据有理数加法运算法则进行计算即可；
【详解】解：
．
故选：C．
【例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）我国是最早运用负数运算的国家，在古代数学名著《九章算术》中就记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1展示了计算“”的过程，按照此方法，图2展示的计算是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了有理数的加法，解题的关键是：理解图1表示的计算．由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图2即可列式．
【详解】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数，
所以图2表示的过程应是在计算，
故选：D．
【例3】（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：______．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，将带分数和小数转换为分数形式，然后根据有理数的加法运算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【例4】（25-26七年级上·安徽宿州·期末）如图所示的立方体的六个面分别标着连续的整数，则这六个数的和为________．
【答案】27或33或39
【分析】本题主要考查有理数的加法，由已知可知这六个数中一定含有4、5、6、7，所以可得出这六个数字的所有情况，可求得答案．
【详解】解：∵已知三个面上的数字为4、5、7，且六个面分别标着连续的整数，
∴这六个数中一定含有4、5、6、7，
∴这六个数字可能为2、3、4、5、6、7；或3、4、5、6、7、8；或4、5、6、7、8、9；
当这六个数为2、3、4、5、6、7时，其和为；
当这六个数为3、4、5、6、7、8时，其和为；
当这六个数为4、5、6、7、8、9时，其和为；
故答案为：27或33或39．
1．（25-26六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）计算
(1)；
(2)．
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式.
2．（2026·河北邯郸·二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程．
习题：计算． 解： ，………① …………② …………③
(1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果．
(2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”）
【答案】(1)开始出错的步骤是②，原习题正确过程见解析，结果为
(2)+
【分析】（1）根据运算过程判断即可；根据有理数的运算法则进行计算即可；
（2）把看作是两个负数的和，可得答案．
【详解】（1）解：在上面的计算过程中，开始出错的步骤是②；
；
（2）解：，
故方框内应填上“+”．
3．（25-26七年级上·河北沧州·期中）我们可以利用数、形来表示数量关系．
(1)对于“”，下列黑白方块组成的图形中，可以最直观得到结论的图形是___________（填正确的序号）．
(2)对于“”，请在下面的表格中参考（1）中的图形，使用黑白方块画出可直观得到此结论的图形．
(3)计算：___________．
请利用上面的思想和方法，使用黑白两色的正方形方块画出一个能求（3）式的值的图形．
【答案】(1)②
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】本题考查了图形类规律探索，有理数的加法，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）斜着看图②中方格数即可得解；
（2）根据式子画出符合题意的图形即可；
（3）先计算出结果，再表示成容易计算的正方形即可．
【详解】（1）解：斜着看图②中方格数，可得方格数的总和为，
故对于“”，可以最直观得到结论的图形②；
故答案为：②；
（2）解：对于“”，画出图形如图所示：
（3）解：
，
画出图形如图所示：
故答案为：．
【典型例题二 有理数的减法运算】
【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的减法，根据有理数的减法法则直接计算即可求解，掌握有理数的减法法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
【例2】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）计算的结果是（ ）
A．－8 B．8 C．－2 D．2
【答案】D
【分析】本题考查有理数的减法运算．
根据有理数的减法法则计算即可．
【详解】解：．
故选：D．
【例3】（25-26六年级上·安徽芜湖·期中）计算：______．
【答案】
【分析】本题根据有理数减法法则，将原式转化为有理数加法运算，计算得到结果即可．
【详解】解：．
【例4】（24-25七年级上·重庆永川·阶段检测）化简______；计算______．
【答案】 3 3
【分析】本题主要考查化简多重符号及有理数的减法运算，熟练掌握化简多重符号及有理数的减法运算是解题的关键；因此此题可根据化简多重符号及有理数的减法运算进行求解即可．
【详解】解：，；
故答案为：；．
1．（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段检测）计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，有理数的加法运算律，有理数的减法运算，有理数的加减混合运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．
（1）根据有理数的加法运算法则，以及加法运算律计算求解，即可解题；
（2）根据有理数的加法运算法则，以及加法运算律计算求解，即可解题；
（3）根据有理数的减法运算法则，先算括号内，再算括号外，即可解题；
（4）根据有理数的加减混合运算法则，以及加法运算律计算求解，即可解题；
（5）根据有理数的加减混合运算法则，以及加法运算律计算求解，即可解题；
（6）根据有理数的加减混合运算法则，以及加法运算律计算求解，即可解题．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式
；
（6）解：原式
．
2．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下面的等式，并解决问题：
，；，；
，；
…
(1)化简；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的加减运算，绝对值的意义，类比题中示例进行去绝对值是解题的关键．
（1）先类比题中示例去掉绝对值再进行减法运算；
（2）先类比题中示例去掉绝对值再进行加减运算．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
3．（25-26七年级上·江西九江·阶段检测）【引入】
（1）若点A，B表示的数分别为，4，则A，B两点间的距离为________；若点A，B表示的数分别为2，，则A，B两点间的距离为________．
【归纳】
（2）若点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离为________．
【应用】
（3）数轴上一点表示有理数m，若，求有理数m的值．
（4）数轴上一点表示有理数n，则是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，请说明理由．
【答案】（1），；（2）；（3）或；（4）有，最小值为
【分析】本题考查了绝对值的几何意义以及数轴上两点之间的距离；
（1）计算、即可求解；
（2）若点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离为：；
（3）的几何意义为：数轴上数表示的点到表示的点的距离为，据此即可求解；
（4）的几何意义为：数轴上数表示的点到表示的点和表示的点的距离之和；据此即可求解．
【详解】解：（1）若点A，B表示的数分别为，4，则A，B两点间的距离为：；
若点A，B表示的数分别为2，，则A，B两点间的距离为：；
（2）若点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离为：；
（3）的几何意义为：数轴上数表示的点到表示的点的距离为，
∴或；
（4）的几何意义为：数轴上数表示的点到表示的点和表示的点的距离之和；
当数表示的点在表示的点和表示的点之间时（包括端点），有最小值，且最小值为：．
【典型例题三 有理数加法运算律】
【例1】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查加法交换律的应用，即加数的顺序改变，和不变．
根据交换加数的位置时连同加数的符号一起交换分析即可．
【详解】解：选项A中，正确；
选项B、C、D中均改变了加数的符号，故不正确．
故选A．
【例2】（25-26七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（ ）
A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算．
小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律．
【详解】原式为，小慧将其变为，
∵交换了加数4的位置，
∴使用了加法交换律；
∵将和结合，
∴使用了加法结合律，
综上，运用了加法交换律与结合律．
故选：C．
【例3】（25-26七年级上·广东江门·期中）计算：_______．
【答案】1008
【分析】本题考查有理数加法的简便运算，从左边第一个数开始，相邻的两个数为一组，每组的值为，共有组还剩余2015，由此可解，正确分组是解题的关键．
【详解】解：
．
故答案为：1008．
【例4】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据加法运算律填空：
(1)________；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【分析】本题考查加法交换律和加法结合律的应用．
（1）利用加法交换律求解；
（2）利用加法结合律求解；
（3）利用加法交换律和结合律求解．
【详解】（1）解：根据加法交换律，两个数相加，交换加数的位置，和不变，
因此，，
故答案为；
（2）根据加法结合律，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，
为了计算简便，将负数结合：，
故答案为，；
（3）观察发现，与相加得，与相加得，
因此，
故答案为,．
1．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则．
（1）先通分，然后按照有理数的加法法则：和取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）先通分，然后按照有理数的加法法则：和取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值；
（3）先通分，然后按照有理数的加法法则：异号两数相加，和取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（4）同号两数先相加，再进行运算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式
2．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）阅读下面文字：
对于，可以按如下方法计算：
原式
．
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，请你计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的加法，正确理解拆项法，把带分数拆成整数与分数两个部分是解题的关键．
根据拆项法的定义，先把带分数拆成整数与分数两个部分，然后分别进行计算即可．
【详解】解　原式
3．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）下面是小强同学计算的过程，请阅读并完成相应任务．
解：
，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
(1)第一步的依据是 （填运算律），第二步的依据是 （填运算律）
(2)第 步开始出现错误．
(3)写出正确的解答过程．
【答案】(1)加法交换律，加法的结合律；
(2)三；
(3)详见解析
【分析】（）根据材料提示的计算方法，可得第一步运用是的加法交换律，第二步是加法的结合律；
（）根据有理数的减法运算可得第三步出错了；
（）根据有理数的加减运算即可求解；
本题主要考查了有理数的加减运算法则，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：根据材料提示的运算方法可得，第一步运用是的加法交换律，第二步是加法的结合律，
故答案为：加法交换律，加法的结合律；
（2）解：第二步中，，第三步中为，
∴第三步开始出错，
故答案为：三；
（3）解：
，
，
，
．
【典型例题四 有理数的加减混合运算】
【例1】（24-25七年级·广西南宁·阶段检测）式子的正确读法是（ ）
A．减4减2减1加2 B．减2减1加2
C．加2 D．4，2，1，2的和
【答案】B
【分析】本题考查有理数式子的读法，掌握相关的概念是解决本题的关键．
式子表示负4、负2、负1与正2的和，也可以读作负4减2减1加2，其中负号是数字的一部分．
【详解】解：∵式子中的第一个“”号表示负数，而非减法操作符，
∴读法应明确数字的负值．
A、“减4减2减1加2”错误地将负号读作减法操作，该选项错误，不符合题意；
B、“减2减1加2”正确表示负4及后续加减操作，该选项正确，符合题意；
C、“，，加2”未完整表达操作关系，该选项错误，不符合题意；
D、“4，2，1，2的和”完全忽略负号，该选项错误，不符合题意．
故选B．
【例2】（25-26七年级上·山东聊城·期中）把写成省略加号和括号的形式后的式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查有理数的加减混合运算，通过去括号和省略加号将式子简化即可．
【详解】解：∵ 减去一个数等于加上它的相反数，且正号可以省略，
∴ ，
，
，
，
∴ 原式 ，
故选：A ．
【例3】（25-26七年级上·山东滨州·期末）若方框表示运算，则方框 =_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据方框表示的运算把算式转化为一般的有理数加减混合运算，再根据运算法则进行计算．
【详解】解：由题意可得：原式．
故答案为：.
【例4】（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______．
【答案】
【分析】本题考查新定义运算与有理数的减法运算，需先根据给定定义分别求出和的值，再利用有理数减法法则计算最终结果．
【详解】解：∵，
；
∵，
∴；
∴，
故答案为：．
1．（25-26七年级上·全国·期末）计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据有理数的加减法则计算即可得解；
（2）根据有理数的加减法则计算即可得解；
（3）根据有理数的加减法则计算即可得解；
（4）根据有理数的加减法则计算即可得解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
2．（25-26七年级上·四川广元·期中）小红在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数a，加*键，再输入数b，就可以得到运算：．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查新定义下的计算，有理数的加减，绝对值，理解新定义下的计算是解题的关键．
（1）根据新定义进行计算即可；
（2）根据新定义进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．（25-26六年级上·山东泰安·期中）某校数学兴趣小组学完“有理数加减”后就某一道试题展开了讨论，请仔细阅读并完成任务．
小明：我看到了一道试题：“计算”，对于此算式，我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小亮：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ＝A＋B ＝C
任务：
(1)小亮的解题过程中，处依次代表的数据是______、______、______；
(2)按小亮的方法计算．
【答案】(1)，，
(2)4046
【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，理解题中拆项法是解答的关键．
（1）根据所给求解过程，利用有理数的加减混合运算求解即可；
（2）仿照题中拆项法求解过程求解即可．
【详解】（1）解：原式
．
故答案为：，，．
（2）解：
．
【典型例题五 有理数加减中的简便运算】
【例1】（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的加法．观察每个分母为两个连续整数的乘积，利用裂项法将每个分数拆分为两个分数的差，然后求和时中间项相互抵消，从而简化计算.
【详解】解：∵，，，，，
∴原式.
故选：C．
【例2】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段检测）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示：
甲：
乙：
下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
【答案】B
【分析】本题考查了有理数加减混合运算中加法交换律、结合律的应用及去括号法则的掌握，解题的关键是逐一检查甲、乙计算过程中符号处理和运算结果的正确性，判断其是否正确运用运算律．
先分析甲的计算：原式中，根据去括号法则，，但甲错误将其处理为，导致后续计算结果错误；再分析乙的计算：原式中，，乙未化简且错误计算的结果（正确结果为，乙算为），故甲、乙均错误．
【详解】解：A、判断“甲、乙都正确”：
先看甲的计算：，由去括号法则，，甲错误将其写为，正确过程应为，甲错误；
再看乙的计算：原式，乙错误；此选项不符合题意；
故选：B．
【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：________．
【答案】50
【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式两项两项合并正好得50个1，最后计算结果即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：50．
【例4】（25-26六年级上·云南昭通·期中）“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____．
【答案】
【分析】直接根据图（2）作答即可．
【详解】解：由图（2）可知．
1．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算（新教材）．
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数加减中的简便运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）同分母的先相加；
（2）小数化为分数，同分母的先相加；
（3）先化去绝对值，再加同分母的先相加．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
．
2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题：
(1)．
解：原式．
上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______．
(2)类比上述计算方法，请计算：．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确理解题意、掌握解答的方法是关键；
（1）根据有理数的加法作答即可；
（2）按照题干中的拆项法结合有理数的加减混合运算法则求解即可．
【详解】（1）解：可将拆为，拆为；
故答案为：，；
（2）解：
．
3．（25-26七年级上·全国·阶段检测）（1）小马虎在计算时，误将“＋”看成了“”结果得47，求的值．
（2）阅读并解决问题．
计算：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
①计算过程中，第一步把原式化成 的形式，体现了数学的 思想．为了计算简便，第二步应用的加法运算律 ．
②根据以上的解题技巧计算下列式子．
【答案】（1）；（2）①省略加号和括号，转化，交换律和结合律；②
【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算．
（1）根据题意先求出的值，再计算即可；
（2）①根据有理数的加减混合运算步骤及运算定律可得答案；
②仿照题意利用加法的交换律和结合律简便计算即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
；
（2）①计算过程中，第一步把原式化成省略加号和括号的形式，体现了数学的转化思想，为了计算简便，第二步应用了加法的交换律和结合律．
故答案为：省略加号和括号，转化，交换律和结合律；
②
．
【典型例题六 有理数加法在生活中的应用】
【例1】（2026·浙江嘉兴·二模）嘉兴某天早上气温，中午气温上升，计算中午的气温算式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵ 早上气温为，中午气温上升，
∴ 中午气温的正确算式为．
【例2】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“变化后的温度等于初始温度加上上升的温度”，据此列式求出上升后的温度，再结合各选项即可解答．
【详解】解：，即选项C符合题意．
【例3】（2026·四川成都·二模）某潜水员先潜入水下56米，然后上升21米，再下潜16米，这时潜水员处在________的位置．
【答案】水下51米
【分析】本题考查用正负数表示相反意义的量及有理数加减运算．
解题关键是把水面记为0，用负数表示水下深度、正数表示上升，通过有理数加减计算最终位置．先规定水面为0，下潜为负、上升为正，依次列出各阶段位置变化，再通过有理数加减运算，算出潜水员最终的水下深度．
【详解】解：我们可以把水面看作0米，下潜记为负数，上升记为正数来计算∶
先潜入水下56米∶ 位置为米，上升21米∶ 位置变为米
再下潜16米∶ 位置变为米
所以，这时潜水员处在水下51米位置．
【例4】（2026·北京海淀·一模）某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入n万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与n的对应关系如表：
投入（万元）渠道 1 2 3 4 5 6
甲 50 75 - - - -
乙 35 59 80 95 105 110
丙 25 45 60 70 78 84
丁 20 43 64 80 92 100
（1）如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向_____渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）；
（2）如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为_____千人．
【答案】 甲 180
【分析】（1）分别求出向各渠道投入2万元后新增用户量进行比较；
（2）将方案列出来找到最大值即可．
【详解】解：（1）分别求出向各渠道投入2万元后新增用户量：
若向丁渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）；
若向丙渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）；
若向乙渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）；
若向甲渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）；
，
如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向甲渠道投入2万元；
（2）方案如下：
甲 乙 丙 丁 总新增用户量
0 0 0 6
0 0 1 5
0 0 2 4
0 0 4 2
0 0 3 3
0 0 6 0
0 0 5 1
0 1 0 5
0 1 1 4
0 1 2 3
0 1 3 2
0 1 4 1
0 1 5 0
0 2 0 4
0 2 1 3
0 2 2 2
0 2 3 1
0 2 4 0
0 3 0 3
0 3 1 2
0 3 2 1
0 3 3 0
0 4 0 2
0 4 1 1
0 4 2 0
0 5 0 1
0 5 1 0
0 6 0 0
1 0 0 5
1 0 1 4
1 0 2 3
1 0 3 2
1 0 4 1
1 0 5 0
1 1 0 4
1 1 1 3
1 1 2 2
1 1 4 0
1 1 3 1
1 2 0 3
1 2 1 2
1 2 2 1
1 2 3 0
1 3 0 2
1 3 1 1
1 3 2 0
1 4 0 1
1 4 1 0
1 5 0 0
2 0 0 4
2 0 1 3
2 0 2 2
2 0 3 1
2 0 4 0
2 1 0 3
2 1 1 2
2 1 2 1
2 1 3 0
2 2 0 2
2 2 1 1
2 2 2 0
2 3 0 1
2 4 0 0
2 3 1 0
∴如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为180千人．
1．（25-26七年级上·青海海南·期末）小花猫从某点O出发在一条直线上来回跑动，假定向右跑的路程记为正数，向左跑的路程记为负数．跑动的各段路程（单位：米）依次是：，，，，，，．
(1)小花猫最后停在出发点哪一边？与出发点O相距多少米？
(2)小花猫一共跑了多少米？
【答案】(1)小花猫最后在出发点的左边，与出发点O相距3米
(2)小花猫一共跑了37米
【分析】本题考查了正负数的实际问题及有理数的加法运算，
（1）把跑动的各段路相加，根据结果为正还是负，即可得出小花猫最后离原点的位置；
（2）把跑动的各段路的绝对值相加，即可得到小花猫爬行的总路程．
【详解】（1）解：
（米），
答：小花猫最后在出发点的左边，与出发点O相距3米．
（2）解：
（米），
答：小花猫一共跑了37米．
2．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）某冷库一周内每天生鲜进、出库吨数如下表所示.（“＋”表示进库，“－”表示出库）
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
＋18 －26 ＋30 －12 －27 ＋36 －20
(1)这一周内，与前一天相比，周______生鲜变化量最大，最大变化量为______吨；
(2)通过计算说明，这一周冷库里的生鲜增加了还是减少了，变化了多少吨？
(3)如果进、出库的装卸费都是每吨20元，那么这一周共需付多少装卸费？
【答案】(1)六 ，36
(2)这一周冷库里的生鲜减少了，变化了1吨
(3)这一周共需付3380元装卸费
【分析】（1）根据表格，可知星期六变化最大；
（2）把进、出库数据相加即可；
（3）计算总进、出库数，最后乘上装卸费即可．
本题考查了正负数的实际应用，熟悉相反意义的量是解题的关键．
【详解】（1）周一为，周二为，周三为，周四为，周五为，周六为，周日为的变化量，绝对值分别为，
所以周六生鲜变化大，最大变化量为36吨
故答案为：六; 36．
（2）（吨）．
答：这一周冷库里的生鲜减少了，变化了1吨．
（3）（元）．
答：这一周共需付3380元装卸费．
3．（25-26七年级上·重庆开州·阶段检测）开州香肠全国闻名，小宇将开州的“举子香肠”在网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划销售量记为正，不足计划销售量记为负，下表是小宇12月第一周香肠的销售情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
香肠销售超过或不足计划情况（单位：千克）
(1)小宇这一周销售香肠最多的一天比最少的一天多销售______千克；
(2)小宇这一周实际销售香肠的总量是多少千克？
(3)若小宇按60元/千克进行香肠销售，平均运费为5元/千克，每天需支出其它费用100元，则小宇这一周销售香肠除去运费与其他费用后一共收入多少元？
【答案】(1)22
(2)小宇这一周实际销售香肠的总量是716千克
(3)小宇这一周销售香肠除去运费与其他费用后一共收入38680元
【分析】本题考查了有理数加减法的应用，正确理解题意并列式计算是解题的关键．
（1）根据题意找出最大的正数和最小的负数，并列减法算式计算即可；
（2）将一周计划销售的总质量与每天实际销售的增减质量相加即可；
（3）根据这一周销售香肠除去运费与其他费用列式计算即可．
【详解】（1）解：（千克）．
故答案为：22．
（2）解：
（千克），
答：小宇这一周实际销售香肠的总量是716千克．
（3）解：（元），
答：小宇这一周销售香肠除去运费与其他费用后一共收入38680元．
【典型例题七 有理数加减混合运算的应用】
【例1】（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）在如图所示的九宫格中分别填入1~9不重复的9个自然数，若区域①中两个数之和为9，区域②中五个数之和为31，则阴影格子中的数可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】本题考查有理数的加减法的应用，先求得九宫格数字总和为45，再求得区域①和区域②以外的2个格子中的数字之和为5，再根据“九宫格中为从1到9不重复的9个自然数”即可求解．
【详解】解：因为九宫格数字总和为，
所以区域①和区域②以外的2个格子中的数字之和为，
∵，
∴阴影格子中数字可能是4，
故选：D．
【例2】（2025·福建福州·三模）计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7
十进制 0 1 2 3 4 S 6 7
十六进制 8 9 A B C D E F
十进制 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（ ）
A．195 B．2B C．6E D．C3
【答案】D
【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，十进制数与十六进制数的转换，根据十进制求出的乘积，再把结果转化成十六进制，即可求解．理解十进制和十六进制之间的换算是解题的关键．
【详解】解：由表格得
对应的十进制的数是，对应的十进制的数是，
，
由十进制表示得：，
在十六进制中为，
，
故选：D．
【例3】（25-26七年级上·全国·课后作业）某一太阳能热水器水箱的水温早晨7点是，以后每小时上升，则下午2点水箱内的温度是_______．
【答案】
【分析】此题结合实际问题考查有理数的混合运算，理清题意，找准数量关系是解答此题的关键．下午2点即为14点，每小时上升，则计算从早晨7点到14点，水温上升了几个，再加上即可求解；
【详解】解：，
故答案为：．
【例4】（24-25六年级上·上海·自主招生）将“”，“”，“”，“4”，“5”，“6”，“7”，“”，“”这9个数填入下面表格中左上角 的子表格中，使得每行与每列的四个数之和均为0．
20
7 4
【答案】见详解．
【分析】本题结合九方格考查了有理数的加法，九方格题目趣味性较强，本题的关键是找准表格每行与每列数之和．观察表格可知，第一行三个数之和为，第二行三个数之和为3，第三行三个数之和为16，同理第一列三个数之和为10，第二列三个数之和为，第三列三个数之和为，然后调整各数位置以满足每行与每列的四个数之和均为0即可．
【详解】如图所示：
20
6
7 4 5
7 4
验证每行与每列的四个数之和均为0，满足题目要求．
1．（24-25七年级上·贵州安顺·期末）某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：．
(1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？
(2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？
【答案】(1)最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米；
(2)共用了8分钟．
【详解】（1）解：
，
（米），
∴最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米；
（2）解：
（米），
（分钟），
∴共用了8分钟．
2．（24-25六年级上·山东青岛·期中）由于疫情原因，山东省青岛市某地计划每天卖斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤）
星期 一 二 三 四 五 六 日
计划量的差额
(1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售　　斤；
(2)此前的上个周日小明卖了斤冬枣，现在用正数表示比前一天多的销售量，负数表示比前一天少的销售量．完成下面的销量变化表：
星期 一 二 三 四 五 六 日
实际销售量比前一天的变化量
(3)求本周实际销售总量与计划总量相比，具体增加或减少了多少斤？
【答案】(1)
(2)见解析
(3)增加了斤
【分析】（1）先确定销售量最多、最少的一天对应的差额，用最大差额减去最小差额即可求解；
（2）先计算出本周每天的实际销售量，再用当日实际销售量减去前一天的实际销售量，即可得到对应日期的销量变化量；
（3）将本周每天与计划量的差额求和，根据结果的正负判断是增加还是减少，结果的绝对值即为变化的总量．
【详解】（1）解：（1）（斤）；
（2）解：星期一实际销售（斤），相对前一天的变化量为：；
星期二实际销售（斤），相对前一天的变化量为：；
星期三实际销售（斤），相对前一天的变化量为：；
星期四实际销售（斤），相对前一天的变化量为：；
星期五实际销售（斤），相对前一天的变化量为：；
星期六实际销售（斤），相对前一天的变化量为：；
星期日实际销售（斤），相对前一天的变化量为：；
故列表如下：
星期 一 二 三 四 五 六 日
实际销售量比前一天的变化量
（3）解：（斤），
答：本周实际销售总量与计划总量相比，具体增加了斤．
3．（25-26七年级上·河南南阳·期中）【知识引导】求正方向向右的数轴上两个点之间的距离，具体方法是：右边点表示的数减去左边点表示的数，这个差就表示这两个点之间的距离．例如：若点M表示的数为2，点N表示的数为，则点M、N之间的距离为．
【实际应用】如图，在数轴上，从左到右的点A、O、B表示的数分别是、0、6．
(1)点A到原点O的距离是 ，A、B两点之间的距离是 ；
(2)有一动点P从点A出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点P的运动情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位），求第4次运动后点P表示的数？此时点P与点A的距离是多少？
第1次 第2次 第3次 第4次
(3)若数轴上存在点C，与点O、B都不重合，当C、O、B这三个点中，其中一个点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“和谐三点”．请直接写出符合“和谐三点”的点C表示的数．
【答案】(1)3，9
(2)点P表示的数是，点P与点A之间的距离是7
(3)点C表示的数为3或或12
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，利用数轴上的点表示有理数，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）根据数轴上两点间的距离公式计算即可得解；
（2）先求出在第4次运动后点P表示的数，再根据两点间的距离公式计算即可得解；
（3）分三种情况，结合两点间的距离公式计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：点A到原点O的距离是，A、B两点之间的距离是；
（2）解：第1次运动后点P表示的数是：，
第2次运动后点P表示的数是：，
第3次运动后点P表示的数是：，
第4次运动后点P表示的数是：，
所以在第4次运动后点P表示的数是，
此时点P与点A的距离为：．
（3）解：当点到点和点的距离相等时，此时点为点和点的中点，点表示的数为；
当点到点和点的距离相等时，此时点为点和点的中点，点表示的数为；
当点到点和点的距离相等时，此时点为点和点的中点，点表示的数为；
综上所述，点C表示的数为3或或12．
1．（25-26七年级上·广西崇左·期末）若，且，则等于（ ）
A．5或 B．或1 C．5或1 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值和有理数的加法运算，先根据绝对值的性质求出a，b的值，再根据，得出所有符合条件的a，b的值，再列出算式进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴当时，可取或，均满足；当时，可取或，均不满足，
∴或，
∴或，
故选：C．
2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）把写成省略括号和加号的形式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把加减法统一成加法，再省略括号和加号即可．
【详解】解：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则，必须统一成加法后，才能省略括号和加号．
3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，若数轴上A，B两点对应的有理数分别为a，b，则的值可能是（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【答案】C
【分析】由图可知，，且，则 2【详解】由图可知，，且，则 2故选：C
【点睛】本题考查了有理数的加法法则、利用数轴比较有理数的大小，正确理解题意是关键．
4．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）如图，如果每个圆圈中的数都等于与它相邻的两个数的和，那么阴影圆圈中的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据题意先运算出左边的数字，再运算阴影部分即可．
【详解】解：左边的数字为：，
阴影部分的数字为：，
故选：B．
5．（24-25七年级上·山西临汾·期中）相传很久之前，夏禹治水来到洛水，洛水中浮出神龟，背驮“洛书”，大禹因此治水成功．洛书就是我们今天所说的幻方，如图是一个四阶幻方，不管是把横着的4个数相加，还是把竖着的4个数相加，或者把斜着的4个数相加，其和都相等，则这个幻方中的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，设幻方第二行第二列的数为b，根据幻方的性质，主对角线上四个数的和与第二行四个数的和相等，得出，求出结果即可．
【详解】解：设幻方第二行第二列的数为b，根据题意得：
，
∴，
∴．
故选：B．
6．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）大于小于2.5的所有整数之和是___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法法则及运算律是解题的关键．
先找出大于小于2.5的所有整数，再求它们的和即可．
【详解】大于小于2.5的整数有、、、、1、2．
．
大于小于2.5的所有整数之和是．
故答案为：．
7．（24-25七年级上·河南南阳·期中）把写成省略加号的和的形式是_________．
【答案】
【分析】先把原式统一为加法运算，再省略括号与括号前面的加号，从而可得答案.
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查的是把加减运算统一为加法运算，再写成省略“”的和的形式，掌握“减去一个数，等于加上这个数的相反数”是解题的关键．
8．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）如果有理数，满足，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了有理数运算中的规律问题，根据绝对值和平方的非负性可得，，通过“裂项相消法”即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴
，
故答案为：．
9．（2025七年级上·北京·专题练习）利用公式计算：
（1）______________________；（直接写答案）
（2）______________________．（直接写答案）
【答案】
【分析】本题考查有理数的混合运算，变形套用公式是解题的关键：
（1）利用公式拆项进行计算即可；
（2）拆项，套用公式进行计算即可．
【详解】解：（1）原式1；
故答案为：．
（2）原式
；
故答案为：．
10．（24-25六年级上·北京东城·期中）2024年4月1日，北京二中喜迎300年华诞，小元和小聪两名同学合作制作四个主题为“春”“夏”“秋”“冬”的书签，为校庆献礼，每个书签都先由小元进行绘画，然后再由小聪题字，两位同学完成每个书签各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示：
春 夏 秋 冬
小元 9 5 6 8
小聪 7 7 9 3
（1）如果按照春→夏→秋→冬的顺序制作，两位同学合作完成这四个书签的总时长最少为______分钟；
（2）若想用最短的时间完成这四个书签的制作，制作的顺序应该是______．
【答案】
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算的应用，熟悉理解题意是解题的关键．
（1）根据题目所给的制作顺序运算时间即可；
（2）让小元给书签制作的时间最短，先制作时间短的书签，且在小聪上色时能够制作好下一个书签，排出顺序即可．
【详解】解：（1）小元先制作春用9分钟，然后小聪再给春上色7分钟，这7分钟小元可以给夏制作，（分），还剩下的时间给秋制作2分钟，秋这时还需要（分），小聪开始给上色又花了7分钟，这7分钟小元给秋制作，还留有（分），这3分钟小元给冬制作，在小聪完成夏的上色时小元给口制作还需要（分），此时小聪给秋上色9分钟，小元就能把冬制作完了，最后小聪再给冬上色；
综上所述，总时长为（分）；
故答案为：；
（2）要用最短的时间完成这四个书签的制作，开始的时候要让小元给书签制作的时间最短，先制作时间短的书签，且在小聪上色时能够制作好下一个书签，所以制作的顺序应该是：；
故答案为：．
11．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】此题考查有理数的加减混合运算．
（1）利用有理数加减法法则计算；
（2）通过分组求和简化计算；
（3）运用加法结合律计算；
（4）使用加法交换律和结合律，将带分数转化为假分数或整数部分计算，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
12．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
(5)4
(6)
【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法的运算律，熟练掌握上述法则与运算律是解题的关键．
（1）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算；
（2）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算；
（3）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算；
（4）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算；
（5）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算；
（6）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式
；
（6）解：原式
．
13．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算：．李华的做法如下：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
李华发现自己的答案和同学们的不一样
(1)请指出他从第_______步开始出现错误；
(2)写出正确的解题过程．
【答案】(1)四
(2)解题过程见解析
【分析】（1）根据计算过程逐步判断即可；
（2）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可．
本题考查了有理数的加减，熟练掌握有理数的加减的运算法则及运算顺序是解此题的关键．
【详解】（1）解：根据计算，判断第四步出现了错误，
故答案为：四．
（2）解：原式
．
14．（24-25六年级上·广东江门·期中）下表是我国长江某段在汛期一周的水位变化情况（单位：m）．
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位记录
注：长江此段的警戒水位为米，“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低．
(1)长江该河段本周水位最高的一天是______，最低的一天是_______；这两天实际水位相差______米．
(2)若规定水位比前一天上升用“+”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”，
请完成下面的本周水位变化表：（单位：m）
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位记录
(3)与上周日相比，本周日该河段水位是上升了，还是下降了？变化了多少？
【答案】(1)星期五，星期三，
(2)，，，，，
(3)与上周日比，本周日该河段水位下降了米
【分析】（1）根据正数和负数的含义即可得出答案；
（2）分别进行有理数的加减即可得出答案；
（3）先进行有理数的混合运算，然后得出最终结果，比较后即可得出答案．
【详解】（1）解：根据表格内容可知，水位最高的是星期五，水位最低的是星期三，
这两天的实际水位相差，
故答案为：星期五，星期三，；
（2）根据题目表格数据可知，
星期一的水位为：，
星期二的水位为：，
星期三的水位为：，
星期四的水位为：，
星期五的水位为：，
星期六的水位为：，
星期日的水位为：，
∵规定水位比前一天上升用“+”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”，
∴星期二的水位为，
星期三的水位为，
星期四的水位为，
星期五的水位为，
星期六的水位为，
星期日的水位为，
故补全表格如下：
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位记录
（3），
因为，
所以与上周日比，本周日河位下降了米．
【点睛】此题考查了正数和负数的知识，比较简单，解答本题的关键是理解正数和负数所表示的实际意义结合有理数加减运算进行解答．
15．（25-26七年级上·河南南阳·期中）【问题情境】
中秋佳节，阖家团圆．中秋将至，妈妈带着乐乐为准备佳节，购买了一盒8枚月饼．
【提出问题】
回家后，妈妈要求乐乐用称重不超过100克的电子秤，结合所学知识判断这盒月饼的总质量是否合格．
【分析问题】
乐乐仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，包装说明上标记的总质量合格标准为克，确定了以下解决方案．
【解决问题】
把8枚月饼的质量称重后统计列表如下：（单位：克）
第枚 1 2 3 4 5 6 7 8
质量 69.2 70.3 70.8 69.3 69.6 70 69.3 70.8
为了简化运算，乐乐选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出下表（数据不完整），
第枚 1 2 3 4 5 6 7 8
质量
请你解答：
(1)乐乐选取的这个标准质量是________克；
(2)表格中________，________，________；
(3)乐乐对妈妈说这盒月饼总质量是合格的，请你通过计算说明理由．
【答案】(1)；
(2)，，；
(3)这盒月饼总质量是合格的，理由见解析．
【分析】（1）根据题意可知，标准质量为克；
（2）由标准质量为克，进行运算即可；
（3）计算这盒月饼记录之和，再进行判断是否在至之间即可；
此题考查了正数和负数以及有理数的运算，正确列出算式并掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：对比表格可知：
标准质量为克，
故答案为：；
（2）解：，，，
故答案为：，，；
（3）解：∵，
则：，
∴这盒月饼总质量是合格的．
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第02讲 有理数的加法与减法（4大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 有理数加法运算
典型例题二 有理数的减法运算
典型例题三 有理数加法运算律
典型例题四 有理数的加减混合运算
典型例题五 有理数加减中的简便运算
典型例题六 有理数加法在生活中的应用
典型例题七 有理数加减混合运算的应用
知识点01 有理数的加法
1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。
2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．
注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则.
【即时训练】
1．（2026·浙江丽水·二模）计算：（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·安徽阜阳·二模）计算：___________．
知识点02 运算律
1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。
2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。
注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。
2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。
【即时训练】
1．（25-26七年级上·河北沧州·期中）嘉琪在计算时，如要使计算简便，则■中可以填下列中的（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级上·全国·课后作业）当时，（1）______；（2）_____．
知识点03 有理数的减法
1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。
（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。
2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。
注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【即时训练】
1．（2026·吉林长春·模拟预测）计算的结果是（ ）
A．1 B．3 C．3 D．2
2．（2026·江苏宿迁·一模）计算的结果等于______．
知识点04 有理数的加减混合运算
1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法；
2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算；
3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。
注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。
【即时训练】
1．（24-25七年级上·吉林白城·阶段检测）计算的结果是（ ）
A．10 B． C．9 D．
2．（25-26七年级上·山东济南·期末）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如：，．
若，则称有理数，为“隔一数对”．
例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”．
已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，则___________．
【典型例题一 有理数加法运算】
【例1】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）计算：（ ）
A． B． C．2 D．8
【例2】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）我国是最早运用负数运算的国家，在古代数学名著《九章算术》中就记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1展示了计算“”的过程，按照此方法，图2展示的计算是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：______．
【例4】（25-26七年级上·安徽宿州·期末）如图所示的立方体的六个面分别标着连续的整数，则这六个数的和为________．
1．（25-26六年级上·黑龙江大庆·阶段检测）计算
(1)；
(2)．
(3)
(4)
2．（2026·河北邯郸·二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程．
习题：计算． 解： ，………① …………② …………③
(1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果．
(2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”）
3．（25-26七年级上·河北沧州·期中）我们可以利用数、形来表示数量关系．
(1)对于“”，下列黑白方块组成的图形中，可以最直观得到结论的图形是___________（填正确的序号）．
(2)对于“”，请在下面的表格中参考（1）中的图形，使用黑白方块画出可直观得到此结论的图形．
(3)计算：___________．
请利用上面的思想和方法，使用黑白两色的正方形方块画出一个能求（3）式的值的图形．
【典型例题二 有理数的减法运算】
【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）计算的结果是（ ）
A．－8 B．8 C．－2 D．2
【例3】（25-26六年级上·安徽芜湖·期中）计算：______．
【例4】（24-25七年级上·重庆永川·阶段检测）化简______；计算______．
1．（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段检测）计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
2．（25-26七年级上·全国·课后作业）观察下面的等式，并解决问题：
，；，；
，；
…
(1)化简；
(2)求的值．
3．（25-26七年级上·江西九江·阶段检测）【引入】
（1）若点A，B表示的数分别为，4，则A，B两点间的距离为________；若点A，B表示的数分别为2，，则A，B两点间的距离为________．
【归纳】
（2）若点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离为________．
【应用】
（3）数轴上一点表示有理数m，若，求有理数m的值．
（4）数轴上一点表示有理数n，则是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，请说明理由．
【典型例题三 有理数加法运算律】
【例1】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【例2】（25-26七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（ ）
A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律
【例3】（25-26七年级上·广东江门·期中）计算：_______．
【例4】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据加法运算律填空：
(1)________；
(2)；
(3)．
1．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）阅读下面文字：
对于，可以按如下方法计算：
原式
．
上面这种方法叫拆项法．
仿照上面的方法，请你计算：．
3．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）下面是小强同学计算的过程，请阅读并完成相应任务．
解：
，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
(1)第一步的依据是 （填运算律），第二步的依据是 （填运算律）
(2)第 步开始出现错误．
(3)写出正确的解答过程．
【典型例题四 有理数的加减混合运算】
【例1】（24-25七年级·广西南宁·阶段检测）式子的正确读法是（ ）
A．减4减2减1加2 B．减2减1加2
C．加2 D．4，2，1，2的和
【例2】（25-26七年级上·山东聊城·期中）把写成省略加号和括号的形式后的式子是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级上·山东滨州·期末）若方框表示运算，则方框 =_____．
【例4】（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______．
1．（25-26七年级上·全国·期末）计算下列各题：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（25-26七年级上·四川广元·期中）小红在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数a，加*键，再输入数b，就可以得到运算：．
(1)求的值；
(2)求的值．
3．（25-26六年级上·山东泰安·期中）某校数学兴趣小组学完“有理数加减”后就某一道试题展开了讨论，请
仔细阅读并完成任务．
小明：我看到了一道试题：“计算”，对于此算式，我的方法是直接按照运算顺序从左往右依次计算． 小亮：你的方法很常规，我课外学习时，发现了一种拆项法： 原式 ＝A＋B ＝C
任务：
(1)小亮的解题过程中，处依次代表的数据是______、______、______；
(2)按小亮的方法计算．
【典型例题五 有理数加减中的简便运算】
【例1】（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）计算：的值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段检测）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示：
甲：
乙：
下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：________．
【例4】（25-26六年级上·云南昭通·期中）“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____．
1．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算（新教材）．
(1)
(2)
(3)
2．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题：
(1)．
解：原式．
上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______．
(2)类比上述计算方法，请计算：．
3．（25-26七年级上·全国·阶段检测）（1）小马虎在计算时，误将“＋”看成了“”结果得47，求的值．
（2）阅读并解决问题．
计算：
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
①计算过程中，第一步把原式化成 的形式，体现了数学的 思想．为了计算简便，第二步应用的加法运算律 ．
②根据以上的解题技巧计算下列式子．
【典型例题六 有理数加法在生活中的应用】
【例1】（2026·浙江嘉兴·二模）嘉兴某天早上气温，中午气温上升，计算中午的气温算式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2026·四川成都·二模）某潜水员先潜入水下56米，然后上升21米，再下潜16米，这时潜水员处在________的位置．
【例4】（2026·北京海淀·一模）某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入n万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与n的对应关系如表：
投入（万元）渠道 1 2 3 4 5 6
甲 50 75 - - - -
乙 35 59 80 95 105 110
丙 25 45 60 70 78 84
丁 20 43 64 80 92 100
（1）如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向_____渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）；
（2）如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为_____千人．
1．（25-26七年级上·青海海南·期末）小花猫从某点O出发在一条直线上来回跑动，假定向右跑的路程记为正数，向左跑的路程记为负数．跑动的各段路程（单位：米）依次是：，，，，，，．
(1)小花猫最后停在出发点哪一边？与出发点O相距多少米？
(2)小花猫一共跑了多少米？
2．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）某冷库一周内每天生鲜进、出库吨数如下表所示.（“＋”表示进库，“－”表示出库）
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
＋18 －26 ＋30 －12 －27 ＋36 －20
(1)这一周内，与前一天相比，周______生鲜变化量最大，最大变化量为______吨；
(2)通过计算说明，这一周冷库里的生鲜增加了还是减少了，变化了多少吨？
(3)如果进、出库的装卸费都是每吨20元，那么这一周共需付多少装卸费？
3．（25-26七年级上·重庆开州·阶段检测）开州香肠全国闻名，小宇将开州的“举子香肠”在网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划销售量记为正，不足计划销售量记为负，下表是小宇12月第一周香肠的销售情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
香肠销售超过或不足计划情况（单位：千克）
(1)小宇这一周销售香肠最多的一天比最少的一天多销售______千克；
(2)小宇这一周实际销售香肠的总量是多少千克？
(3)若小宇按60元/千克进行香肠销售，平均运费为5元/千克，每天需支出其它费用100元，则小宇这一周销售香肠除去运费与其他费用后一共收入多少元？
【典型例题七 有理数加减混合运算的应用】
【例1】（25-26七年级上·陕西汉中·阶段检测）在如图所示的九宫格中分别填入1~9不重复的9个自然数，若区域①中两个数之和为9，区域②中五个数之和为31，则阴影格子中的数可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【例2】（2025·福建福州·三模）计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7
十进制 0 1 2 3 4 S 6 7
十六进制 8 9 A B C D E F
十进制 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（ ）
A．195 B．2B C．6E D．C3
【例3】（25-26七年级上·全国·课后作业）某一太阳能热水器水箱的水温早晨7点是，以后每小时上升，则下午2点水箱内的温度是_______．
【例4】（24-25六年级上·上海·自主招生）将“”，“”，“”，“4”，“5”，“6”，“7”，“”，“”这9个数填入下面表格中左上角 的子表格中，使得每行与每列的四个数之和均为0．
20
7 4
1．（24-25七年级上·贵州安顺·期末）某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：．
(1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？
(2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？
2．（24-25六年级上·山东青岛·期中）由于疫情原因，山东省青岛市某地计划每天卖斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤）
星期 一 二 三 四 五 六 日
计划量的差额
(1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售　　斤；
(2)此前的上个周日小明卖了斤冬枣，现在用正数表示比前一天多的销售量，负数表示比前一天少的销售量．完成下面的销量变化表：
星期 一 二 三 四 五 六 日
实际销售量比前一天的变化量
(3)求本周实际销售总量与计划总量相比，具体增加或减少了多少斤？
3．（25-26七年级上·河南南阳·期中）【知识引导】求正方向向右的数轴上两个点之间的距离，具体方法是：右边点表示的数减去左边点表示的数，这个差就表示这两个点之间的距离．例如：若点M表示的数为2，点N表示的数为，则点M、N之间的距离为．
【实际应用】如图，在数轴上，从左到右的点A、O、B表示的数分别是、0、6．
(1)点A到原点O的距离是 ，A、B两点之间的距离是 ；
(2)有一动点P从点A出发，沿数轴运动，下表是小俊记录的点P的运动情况（沿数轴向右运动记为正，向左运动记为负，例如“”表示向左运动2个单位），求第4次运动后点P表示的数？此时点P与点A的距离是多少？
第1次 第2次 第3次 第4次
(3)若数轴上存在点C，与点O、B都不重合，当C、O、B这三个点中，其中一个点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“和谐三点”．请直接写出符合“和谐三点”的点C表示的数．
1．（25-26七年级上·广西崇左·期末）若，且，则等于（ ）
A．5或 B．或1 C．5或1 D．或
2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）把写成省略括号和加号的形式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，若数轴上A，B两点对应的有理数分别为a，b，则的值可能是（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
4．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）如图，如果每个圆圈中的数都等于与它相邻的两个数的和，那么阴影圆圈中的数为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级上·山西临汾·期中）相传很久之前，夏禹治水来到洛水，洛水中浮出神龟，背驮“洛书”，大禹因此治水成功．洛书就是我们今天所说的幻方，如图是一个四阶幻方，不管是把横着的4个数相加，还是把竖着的4个数相加，或者把斜着的4个数相加，其和都相等，则这个幻方中的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）大于小于2.5的所有整数之和是___________．
7．（24-25七年级上·河南南阳·期中）把写成省略加号的和的形式是_________．
8．（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）如果有理数，满足，则的值为______．
9．（2025七年级上·北京·专题练习）利用公式计算：
（1）______________________；（直接写答案）
（2）______________________．（直接写答案）
10．（24-25六年级上·北京东城·期中）2024年4月1日，北京二中喜迎300年华诞，小元和小聪两名同学合作制作四个主题为“春”“夏”“秋”“冬”的书签，为校庆献礼，每个书签都先由小元进行绘画，然后再由小聪题字，两位同学完成每个书签各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示：
春 夏 秋 冬
小元 9 5 6 8
小聪 7 7 9 3
（1）如果按照春→夏→秋→冬的顺序制作，两位同学合作完成这四个书签的总时长最少为______分钟；
（2）若想用最短的时间完成这四个书签的制作，制作的顺序应该是______．
11．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
12．（2025七年级上·全国·专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
13．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）计算：．李华的做法如下：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
李华发现自己的答案和同学们的不一样
(1)请指出他从第_______步开始出现错误；
(2)写出正确的解题过程．
14．（24-25六年级上·广东江门·期中）下表是我国长江某段在汛期一周的水位变化情况（单位：m）．
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位记录
注：长江此段的警戒水位为米，“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低．
(1)长江该河段本周水位最高的一天是______，最低的一天是_______；这两天实际水位相差______米．
(2)若规定水位比前一天上升用“+”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”，
请完成下面的本周水位变化表：（单位：m）
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位记录
(3)与上周日相比，本周日该河段水位是上升了，还是下降了？变化了多少？
15．（25-26七年级上·河南南阳·期中）【问题情境】
中秋佳节，阖家团圆．中秋将至，妈妈带着乐乐为准备佳节，购买了一盒8枚月饼．
【提出问题】
回家后，妈妈要求乐乐用称重不超过100克的电子秤，结合所学知识判断这盒月饼的总质量是否合格．
【分析问题】
乐乐仔细地看了标签和包装盒上的有关说明，包装说明上标记的总质量合格标准为克，确定了以下解决方案．
【解决问题】
把8枚月饼的质量称重后统计列表如下：（单位：克）
第枚 1 2 3 4 5 6 7 8
质量 69.2 70.3 70.8 69.3 69.6 70 69.3 70.8
为了简化运算，乐乐选取了一个恰当的标准质量，依据这个标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出下表（数据不完整），
第枚 1 2 3 4 5 6 7 8
质量
请你解答：
(1)乐乐选取的这个标准质量是________克；
(2)表格中________，________，________；
(3)乐乐对妈妈说这盒月饼总质量是合格的，请你通过计算说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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