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第08讲 一元一次方程及其解法（1大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 判断是否是一元一次方程
典型例题二 判断是否是一元一次方程解
典型例题三 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
典型例题四 解一元一次方程（二）——去括号
典型例题五 解一元一次方程（三）——去分母
典型例题六 已知一元一次方程的解，求参数
典型例题七 一元一次方程解的关系
典型例题八 一元一次方程的同解问题
典型例题九 含绝对值计算的一元一次方程
典型例题十 一元一次方程中的新定义问题
知识点01解一元一次方程
步骤 具体做法 变形依据
去分母 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式性质2
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律
移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号） 等式性质1
合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则
系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解 等式性质2
温馨提示：
解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。
在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下：
去分母 分子是多项式的，去分母后要加括号； 不要漏乘不含分母的项
去括号 括号前的数要乘括号内的每一项； 括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号
移项 移项时不要漏项； 将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号
合并同类项 按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当
系数化为1 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数； 未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数
【即时训练】
1．（25-26六年级上·吉林长春·期中）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26六年级上·河南平顶山·期中）将2阶行列式定义为，若，则______．
【典型例题一 判断是否是一元一次方程】
【例1】（25-26六年级上·河南鹤壁·阶段检测）下列选项中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级上·四川雅安·期末）若方程是一元一次方程，则m 的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
【例3】（25-26七年级上·河北沧州·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的值为_____．
【例4】（2026六年级上·江苏·专题练习）观察下列给出的方程，，，，，找出它们的共同特征后，试给出这种方程的名称_____________，并作出定义__________________________．
1．（25-26六年级下·全国·课后作业）若是关于的一元一次方程，求的值；并求此方程的解．
2．（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）已知方程是关于的一元一次方程．
(1)求和的值；
(2)若满足关系式，求的值．
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程．
(1)x与3的差是5．
(2)代数式与的值相等．
(3)两个正方形的边长分别为，，它们的面积差为．
(4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x场，负了场，胜的场数大于负的场数．
【典型例题二 判断是否是一元一次方程解】
【例1】（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）是下列哪个方程的解（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　）
0 1 2
9 7 5 3 1
A． B． C． D．
【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）写出一个解为的一元一次方程：__________．
【例4】（25-26七年级上·福建莆田·期末）整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____．
0 1 2
0 2
1．（2025七年级上·全国·专题练习）是方程的解吗？
2．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程
(1)求的值，并写出这个一元一次方程；
(2)判断是否为方程的解．
3．（24-25七年级上·全国·单元测试）若方程是关于的一元一次方程．
(1)求的值；
(2)判断，，是不是方程的解．
【典型例题三 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项】
【例1】（25-26六年级上·河南洛阳·期中）若代数式比的值小1，则x的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【例2】（25-26六年级上·河南周口·期中）已知单项式与是同类项，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26六年级上·重庆·期中）方程“”的解为_____．
【例4】（25-26六年级上·全国·期末）有一个密码系统，其原理如框图所示：
当输出为10时，则输入的_____．
1．（25-26六年级上·全国·单元复习）解下列方程：
(1)；
(2)．
2．（25-26六年级下·山东烟台·期中）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：的解为，且，则该方程是和解方程．
请根据上面规定解答下列问题：
(1)判断是否是和解方程；
(2)若关于的一元一次方程是和解方程，求的值．
3．（25-26六年级上·河南南阳·期中）【教材呈现】如图是华师版六年级上册数学教材第页的部分内容，右边是小东同学类比课堂学习完成的一道课外作业题．
例5 解方程：． 分析 这个方程中的系数出现分数，通常可以将方程的两边都乘以同一个数（这里是都乘以6），去掉方程中的分母．像这样的变形通常称为“去分母”． 解 去分母，得 ， 即． 移项，得， 即 两边都乘以，得 ． 思考 回顾以上各例的解答过程，总结一下：解一元一次方程通常有哪些步骤？各步进行的是怎么样的变形？如何根据方程的特点灵活运用方程的变形规格？ 小东作业： 解方程：． 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得．
认真阅读教材内容，结合小东作业，完成下列问题：
(1)小东解方程的结果“”是不是原方程的解？请写出判断过程；
(2)解方程，并判断所求“结果”是不是原方程的解，简要说明理由；
(3)反思以上过程，你有什么疑问请写下来（一条即可）．
【典型例题四 解一元一次方程（二）——去括号】
【例1】（25-26六年级上·福建泉州·期中）下列方程中，解为的方程是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2026·湖南邵阳·二模）已知是关于的方程的解，则的值为（ ）
A． B．3 C．6 D．
【例3】（25-26七年级上·北京·阶段检测）解一元一次方程的解为_______．
【例4】（25-26六年级下·山东淄博·期中）老师在黑板上写有这样一个式子：，则“”所表示的数为________．
1．（25-26六年级下·山东淄博·阶段检测）解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
2．（2026·河北廊坊·二模）算式被遮住了一部分．
(1)若被遮住的数为1，求算式的运算结果；
(2)若算式的运算结果为，求被遮住的数．
3．（25-26六年级下·山东烟台·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”．
(1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”；
(2)若关于x的方程与方程互为“毓德方程”，求m的值．
【典型例题五 解一元一次方程（三）——去分母】
【例1】（25-26六年级上·福建漳州·期中）解方程，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（2026·安徽宣城·二模）若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【例3】（25-26六年级上·甘肃天水·期中）方程的解为________．
【例4】（25-26六年级上·重庆万州·期中）根据如图所示的程序计算方程中y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是，若输入x的值是，则输出y的值是______．
1．（25-26六年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x的方程与的解互为相反数，求m的值以及两个方程的解．
2．（25-26六年级上·四川眉山·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”．
例如：方程和为“互逆方程”．
(1)方程与 （填“是”或“不是”）“互逆方程”；
(2)若关于x的方程与为“互逆方程”，求c的值；
(3)若关于x的方程和为“互逆方程”，求m的值．
3．（2026·浙江杭州·一模）以下是小程同学解一元一次方程的解题过程，请认真阅读并完成任务：解方程：．
小程的解题过程：解：步骤①：去分母，得
步骤②：去括号，得
步骤③：移项，得
步骤④：合并同类项，得
步骤⑤：系数化为1，得
(1)小程的解题过程从第___________步开始出现错误，错误原因是___________；
(2)请写出该一元一次方程正确的解答过程．
【典型例题六 已知一元一次方程的解，求参数】
【例1】（25-26六年级上·河南驻马店·期中）若关于的方程的解为，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）小马虎在做作业，不小心将方程■中的一个常数污染了．怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是，请问这个被污染的常数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3】（25-26六年级上·福建漳州·期中）已知方程的解比关于x的方程的解小1，则a的值为____．
【例4】（25-26七年级上·全国·期末）在解方程时，小明去分母时出现错误，得到，因而求得方程的解为，方程正确的解应为___________．
1．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值．
2．（25-26七年级上·河北衡水·期末）规定：若两个一元一次方程所含未知数相同，并且其中一个方程的解是另一个方程解的倍，则这个方程叫作另一个方程的倍解方程．如一元一次方程的解是，的解是．是的倍，因此一元一次方程是的倍解方程．
(1)写出一个方程：的倍解方程： ；
(2)已知关于的一元一次方程是的倍解方程，求的值．
3．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）定义：若分别是关于的方程、方程的解，且（为非零常数），则称方程是方程的“阶伴生方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且，则称方程是方程的“1阶伴生方程”．
(1)下列方程中是的“2阶伴生方程”的是______（填写序号即可）；
①；②；③；
(2)若方程是关于的方程的“4阶伴生方程”，求的值；
(3)对任意满足的值，关于的方程都是方程的“阶伴生方程”，试判断的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【典型例题七 一元一次方程解的关系】
【例1】（25-26六年级上·上海静安·期末）以下方程中，与方程的解相同的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）多项式和（为实数，）的值由的取值决定．如表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（ ）
1 3 4
2 4
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级上·河北张家口·期末）若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，则的值为_________．
【例4】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为___________．
1．（25-26六年级下·山东威海·期中）阅读下面的内容，并完成相应任务．
成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”．
任务：
(1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”．
(2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值．
2．（25-26六年级上·河南鹤壁·期中）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______．
(2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值．
(3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解．
3．（25-26六年级上·河南周口·期中）【阅读理解】
在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的目的．例如：在解方程时，可把看作一个整体，令，原方程变为，解得，即，解得．
【尝试运用】
(1)请用材料中介绍的方法解方程：．
(2)已知关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为________．
(3)【拓展创新】已知关于x的一元一次方程的解为，直接写出关于y的一元一次方程的解．
【典型例题八 一元一次方程的同解问题】
【例1】（24-25七年级上·全国·期末）若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）若方程的解与关于x的一元一次方程的解相同，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．7
【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）若关于的方程的解与方程的解相同，则的值为 __．
【例4】（25-26七年级上·山东菏泽·阶段检测）若关于的一元一次方程的解与方程的解相同，则的值为___________
1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）欢欢在解关于x的方程时，对“”移项时没有变号，得出的解为．
(1)求a的值；
(2)若关于x的方程与的解相同，求t的值．
2．（25-26七年级上·贵州黔西南·期末）关于x一元一次方程①与②的解相同．
(1)当相同解为时，求a和b的值；
(2)小丽在解方程①时，误把“”看成“”，得到的解为，求原方程中a实际值，并求出原方程①的解；
(3)在（2）的条件下，，求x的值．
3．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）活动与探究
我们来玩一个关于一元一次方程的“系数交换”游戏：把方程（均不为0）的一次项系数与常数项交换位置，得到新的方程．下面我们围绕这个游戏来解决几个问题：
【系数探秘】
（1）已知方程的解是，请写出这个方程经过“系数交换”后得到的新方程的解___________；
【初步应用】
（2）已知方程经过“系数交换”后得到的新方程与方程的解相同，求的值；
【拓展应用】
（3）已知方程经过“系数交换”后得到的新方程的解也是方程的解，则关于的方程的解是___________．
【典型例题九 含绝对值计算的一元一次方程】
【例1】（2026·吉林长春·一模）方程的解是（　　）
A． B． C． D．或
【例2】（2025·河北·模拟预测）若，则“”表示的数可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【例3】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若，则的值为_________．
【例4】（25-26七年级上·北京·期中）若为整数，且满足，则的值为___________．
1．（25-26七年级上·吉林·期末）对于有理数，，，我们规定：．
例如：．
【知识运用】（1）①计算：________．
②若，求的值．
【综合运用】（2）若，求的值．
【知识迁移】（3）若，则的值为________．
【知识拓展】（4）当有且只有三个不相等的解时，直接写出的值．
2（25-26七年级上·吉林·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”．
(1)若关于x的方程与是“和一方程”，求m的值；
(2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求n的值．
3．（25-26七年级上·湖北十堰·阶段检测）数轴上A、B两点之间的距离表示为．借助数轴回答下列问题：
(1)数轴上表示1和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示和5的两点之间的距离是_______；
(2)当取最小值5时，a的值为__________．
(3)数轴上A、B两点表示的数分别为x和，如果，求x的值；
【典型例题十 含绝对值计算的一元一次方程】
【例1】（24-25七年级上·河南信阳·期末）（中考新趋势·新定义）定义运算“”，其规则为，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级上·云南·单元复习）新趋势·新定义 对于任意四个有理数a，b，c，d，定义新运算：．已知，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【例3】（25-26七年级上·全国·期中）定义一种新运算：，若，则的值为________．
【例4】（25-26六年级下·山东烟台·期中）定义新运算：，其中，，，为有理数，如：．如果，则的值为______________．
1．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）（新定义）对于有理数x，定义，：
(1)求的值；
(2)解方程．
2．（25-26六年级上·湖南衡阳·阶段检测）新定义类：我们定义一种方程运算“”，若关于的方程，表示方程与方程的解互为相反数．已知方程，方程，且这两个方程满足“”运算关系，求的值，并求解方程．
3．（24-25七年级上·全国·单元测试）中考新趋势·新定义 定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．
(1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______；
(2)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数d的值；
(3)已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为_______．（请直接写出答案）
1．（25-26六年级下·山东淄博·期中）下列各式；；；中，是一元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（25-26六年级上·四川乐山·阶段检测）下面是从小明同学作业本中摘抄的内容，其中正确的是（ ）
A．方程，移项得：
B．方程，去分母得
C．方程，去括号得
D．方程，系数化为得
3．（25-26七年级上·山东青岛·期末）当和为定值时，代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值：则关于的方程的解是（ ）
0 1
0 3 6
A． B． C． D．
4．（2026·山东济宁·二模）数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下：
甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．”
乙同学．“我发现，当正整数m取最大值时，；当正整数m取最小值时，．”
给出下列三个结论：①；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．（25-26七年级上·重庆綦江·期末）我们把不超过有理数y的最大整数称为y的整数部分，记作，又把称为y的小数部分，记作，则有．如：，下列说法中正确的有（ ）个．
①；
②；
③若，且，则或；
④方程的解为．
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2026·江苏苏州·二模）定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________．
7．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是_________．
8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值：
x 0 1 2 3
0 4 8
则关于x的方程的解是________ ．
9．（25-26六年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程的过程，回答问题：．
去括号，得，①
移项，得，②
合并同类项，得，③
系数化为1，得，④
上述过程中，第_________步计算出现错误，其错误原因是_________________，第②步的数学依据是_____________________________________．
10．（25-26七年级上·安徽淮南·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程互为“友谊方程”．例如方程和方程互为“友谊方程”．
（1）若关于的方程与方程互为“友谊方程”，则的值为______．
（2）若关于的方程与方程互为“友谊方程”，求关于的方程的解为______．
11．（24-25七年级上·全国·单元复习）若方程是关于x的一元一次方程．
(1)求k的值；
(2)判断，，是否是方程的解．
12．（25-26六年级上·吉林长春·期中）下面是明明解方程的过程：
解：去分母得：（第一步）
去括号得：（第二步）
移项得：（第三步）
合并同类项得：（第四步）
系数化为1得：（第五步）
根据解答过程完成下列任务．
任务一：上述解答过程共出现________处错误；首次出现错误在第________步，这一步错误的原因是________．
任务二：请你写出解方程的正确过程．
13．（25-26六年级上·河南周口·期中）下面是小军解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：． 解：________，得，…………第一步 去括号，得，…………第二步 移项，得，…………第三步 合并同类项，得，…………第四步 将未知数的系数化为1，得．…………第五步
任务：
(1)第一步中的横线上应填________．
(2)小军的解答过程从第一步开始出现错误，出现错误的原因是违背了________（填序号）．
①等式的基本性质1；
②等式的基本性质2．
(3)请你直接写出方程的解．
14．（25-26七年级上·江西宜春·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求方程的解；
(3)若“美好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值．
15．（24-25七年级上·四川广安·期末）在学习绝对值后，我们知道，表示a在数轴上的对应点与原点的距离．如：表示4在数轴上的对应点与原点的距离．表示4、2在数轴上对应两点之间的距离，而表示x，在数轴上对应两点之间的距离；一般的，点A、B之间的距离可表示为．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
(1)数轴上表示10和1的两点之间的距离是______；若数轴上表示x、2018的距离为1，即，则x的值为______．
(2)点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、4、，那么，点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示），满足的x的值为______．
(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，并说明理由，并写出此时x的取值范围；如果没有，说明理由．
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第08讲 一元一次方程及其解法（1大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 判断是否是一元一次方程
典型例题二 判断是否是一元一次方程解
典型例题三 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
典型例题四 解一元一次方程（二）——去括号
典型例题五 解一元一次方程（三）——去分母
典型例题六 已知一元一次方程的解，求参数
典型例题七 一元一次方程解的关系
典型例题八 一元一次方程的同解问题
典型例题九 含绝对值计算的一元一次方程
典型例题十 一元一次方程中的新定义问题
知识点01解一元一次方程
步骤 具体做法 变形依据
去分母 在方程的两边同乘各分母的最小公倍数 等式性质2
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律
移项 把含有未知数的项移到方程的一边，其它各项都移到方程的另一边（记住移项要变号） 等式性质1
合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则
系数化为1 在方程的两边都除以未知数的系数，得到方程的解 等式性质2
温馨提示：
解一元一次方程的五个步骤，有些可能用不到，有些可能重复使用，不一定按顺序进行，注意灵活运用。
在解方程的不用环节有各自不同的注意事项，分别如下：
去分母 分子是多项式的，去分母后要加括号； 不要漏乘不含分母的项
去括号 括号前的数要乘括号内的每一项； 括号前面是负数，去掉括号后，括号内各项都要变号
移项 移项时不要漏项； 将方程中的项从一边移到另一边要变号，而在方程同一边改变项的位置时不变号
合并同类项 按合并同类项法则进行，不要漏乘且系数的符号处理要得当
系数化为1 未知数的系数为整数或小数时，方程两边同除以该系数； 未知数的系数为分数时，方程两边同乘该系数的倒数
【即时训练】
1．（25-26六年级上·吉林长春·期中）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】按照移项、系数化为1即可得到方程的解．
【详解】解：，
移项得：，
两边同时除以得：
因此方程的解为．
2．（25-26六年级上·河南平顶山·期中）将2阶行列式定义为，若，则______．
【答案】3
【分析】根据题中给出的2阶行列式定义列出方程，再利用整式乘法法则化简方程，解一元一次方程即可得到结果．
【详解】解：根据2阶行列式的定义得：
，
，
化简得：．
【典型例题一 判断是否是一元一次方程】
【例1】（25-26六年级上·河南鹤壁·阶段检测）下列选项中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数是的整式方程叫做一元一次方程，据此对各选项逐一判断即可．
【详解】解：A．中，含有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意；
B．中，只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，是一元一次方程，故该选项符合题意；
C．中，不含未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意；
D．不是等式，不是方程，故该选项不符合题意．
【例2】（24-25七年级上·四川雅安·期末）若方程是一元一次方程，则m 的值为（ ）
A． B．2 C． D．0
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义，需要满足两个条件：未知数的最高次数为1，且一次项的系数不为0，据此列式求解即可.
【详解】解：∵原方程是一元一次方程，
∴且，
∴.
【例3】（25-26七年级上·河北沧州·期末）若是关于x的一元一次方程，则m的值为_____．
【答案】2
【分析】根据一元一次方程中未知数的最高次数为1，列出关于m的方程求解即可．
【详解】解：∵ 是关于x的一元一次方程，
∴未知数x的次数为1，即，
解得：．
【例4】（2026六年级上·江苏·专题练习）观察下列给出的方程，，，，，找出它们的共同特征后，试给出这种方程的名称_____________，并作出定义__________________________．
【答案】 一元三次方程 含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程
【分析】根据方程的特点：含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程可得此方程的名称为一元三次方程．
【详解】解：它们的共同特征是：含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程，这种方程的名称是一元三次方程，
定义：含有一个未知数且未知数的最高次数是三次的整式方程．
1．（25-26六年级下·全国·课后作业）若是关于的一元一次方程，求的值；并求此方程的解．
【答案】，
【分析】本题考查一元一次方程的定义，以及解一元一次方程．根据一元一次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程，列式即可求出的值；再解一元一次方程即可．
【详解】解：因为是关于的一元一次方程，
所以，且，
解得，且，
故，
把代入方程，得，
解得．
2．（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）已知方程是关于的一元一次方程．
(1)求和的值；
(2)若满足关系式，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，关键是解一元一次方程以及绝对值的意义．
（1）根据一元一次方程的定义求出m的值，把m的值代入一元一次方程，解一元一次方程即可求出x的值．
（2）由（1）得代入，即可求出n的值．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
所以这个一元一次方程为，
解得．
（2）解：由（1）可知，，
所以，
解得
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程．
(1)x与3的差是5．
(2)代数式与的值相等．
(3)两个正方形的边长分别为，，它们的面积差为．
(4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x场，负了场，胜的场数大于负的场数．
【答案】(1)，是一元一次方程
(2)，不是一元一次方程
(3)，不是一元一次方程
(4)，不是一元一次方程
【分析】本题考查了列方程，一元一次方程的定义．
（1）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可；
（2）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可；
（3）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可；
（4）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可．
【详解】（1）解：根据题意，x与3的差是5，可得．该式只含一个未知数x，且未知数的次数为1，是一元一次方程；
（2）解：根据题意，代数式与的值相等，可得．该式含有两个未知数x和y，不是一元一次方程；
（3）解：根据题意，两个正方形的面积差为，可得．该式含有两个未知数x和y，且次数为2，不是一元一次方程；
（4）解：根据题意，胜的场数大于负的场数，可得．该式不是等式，不是方程，因此不是一元一次方程．
【典型例题二 判断是否是一元一次方程解】
【例1】（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）是下列哪个方程的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到答案．
【详解】解：A、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意；
B、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边相等，故是方程的解，符合题意；
C、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意；
D、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意；
故选：B．
【例2】（24-25七年级上·江苏连云港·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　）
0 1 2
9 7 5 3 1
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为．
【详解】解：由表格可知：当时，，
∴的解为．
故选C．
【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）写出一个解为的一元一次方程：__________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，据此写出一个当时，方程左右两边能相等的一元一次方程即可．
【详解】解：由题意得，符合题意的方程可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【例4】（25-26七年级上·福建莆田·期末）整式的值随取值的不同而不同，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一元一次方程的解为_____．
0 1 2
0 2
【答案】
【分析】本题主要考查一元一次方程的解，将一元一次方程化为，根据图表即可得解．
【详解】解：∵，
，
由表可知：，
故答案为：．
1．（2025七年级上·全国·专题练习）是方程的解吗？
【答案】不是方程的解；是方程的解
【分析】本题主要考查方程解的定义，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
分别将代入方程，看是否符合方程解的定义即可解答．
【详解】解：当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值不相等，所以不是方程的解；
当时，方程的左边，右边，方程左、右两边的值相等，所以是方程的解．
2．（25-26七年级上·江苏常州·期中）若是关于的一元一次方程
(1)求的值，并写出这个一元一次方程；
(2)判断是否为方程的解．
【答案】(1)，方程是
(2)是
【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
（1）根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且），可得m的值；
（2）根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案．
【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程，
∴且，
解得：，
则这个一元一次方程为．
（2）解：把代入，
得，
故是方程的解．
3．（24-25七年级上·全国·单元测试）若方程是关于的一元一次方程．
(1)求的值；
(2)判断，，是不是方程的解．
【答案】(1)
(2)，不是方程的解；是方程的解
【分析】本题考查了一元一次方程的概念和解法，理解方程是一元一次方程，则二次项系数等于0，一次项系数不等于0是关键．
（1）根据一元一次方程的定义，x的二次项系数是0，且一次项系数不等于0，据此即可求得m的值；
（2）把m的值代入求得方程，然后把每个解代入方程中，如果使方程左右两边相等，这是方程的解，否则不是方程的解．
【详解】（1）解：由题意，得，，
又因为，
所以，
所以；
（2）解：因为，所以方程为，即．
把代入方程得，则不是方程的解；
把代入方程得，则是方程的解；
把代入方程得，则不是方程的解．
【典型例题三 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项】
【例1】（25-26六年级上·河南洛阳·期中）若代数式比的值小1，则x的值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【分析】根据题意列出一元一次方程，进行求解即可.
【详解】解：由题意，，
移项得，
合并同类项得；
即x的值为10.
【例2】（25-26六年级上·河南周口·期中）已知单项式与是同类项，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据同类项的定义求出a和b的值，再代入一元一次方程求解即可，用到同类项定义和一元一次方程的解法．
【详解】解：∵ 单项式与是同类项，
∴，
解得：，
∴关于x的方程，
解得：．
【例3】（25-26六年级上·重庆·期中）方程“”的解为_____．
【答案】
【详解】对方程移项，解得．
【例4】（25-26六年级上·全国·期末）有一个密码系统，其原理如框图所示：
当输出为10时，则输入的_____．
【答案】4
【分析】先根据流程图列出关于x的一元一次方程，然后解方程即可．
【详解】解：由题意可得：，解得：．
1．（25-26六年级上·全国·单元复习）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】利用绝对值的性质：若（），则，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：对于方程，
由绝对值的性质可得，
当时，解得，
当时，解得，
即原方程的解为或．
（2）解：对于方程，
两边同乘，得，
由绝对值的性质可得，
当时，解得，
当时，解得，
即原方程的解为或．
2．（25-26六年级下·山东烟台·期中）我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”．例如：的解为，且，则该方程是和解方程．
请根据上面规定解答下列问题：
(1)判断是否是和解方程；
(2)若关于的一元一次方程是和解方程，求的值．
【答案】(1)
不是和解方程；
(2)
．
【分析】（1）先求出方程的解，再根据“和解方程”的定义，验证解是否满足，即可做出判断；
（2）先将给定方程整理为的标准形式，再根据和解方程的定义列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值．
【详解】（1）解：∵，
∴，
此时，，，，
∵，
∴不是和解方程．
（2）解：整理方程得，
此时，，，
∵方程是和解方程，
∴方程的解满足，
又∵方程的解为，
∴，
解得．
3．（25-26六年级上·河南南阳·期中）【教材呈现】如图是华师版六年级上册数学教材第页的部分内容，右边是小东同学类比课堂学习完成的一道课外作业题．
例5 解方程：． 分析 这个方程中的系数出现分数，通常可以将方程的两边都乘以同一个数（这里是都乘以6），去掉方程中的分母．像这样的变形通常称为“去分母”． 解 去分母，得 ， 即． 移项，得， 即 两边都乘以，得 ． 思考 回顾以上各例的解答过程，总结一下：解一元一次方程通常有哪些步骤？各步进行的是怎么样的变形？如何根据方程的特点灵活运用方程的变形规格？ 小东作业： 解方程：． 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得．
认真阅读教材内容，结合小东作业，完成下列问题：
(1)小东解方程的结果“”是不是原方程的解？请写出判断过程；
(2)解方程，并判断所求“结果”是不是原方程的解，简要说明理由；
(3)反思以上过程，你有什么疑问请写下来（一条即可）．
【答案】(1)是，判断过程见解析
(2)不是原方程的解，理由见解析
(3)为什么求出来的情况不一定是原方程的解？（说法不唯一）
【分析】（1）由方程根的定义验证即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的解法步骤解方程，并由方程分母是否为零确定解的情况；
（3）按照材料中的解法步骤，对比反思，言之有理即可．
【详解】（1）解：是原方程的解，
理由如下：
把代入原方程中：
等式左边为，等式右边为，
等式两边相等，
是原方程的解；
（2）解：去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，
检验：当时，分母，
不是原方程的解，
理由如下：
把代入原方程时，方程两边分母为零，式子无意义，
不是原方程的解．
（3）解：为什么求出来的情况不一定是原方程的解？（说法不唯一）
【典型例题四 解一元一次方程（二）——去括号】
【例1】（25-26六年级上·福建泉州·期中）下列方程中，解为的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：选项A：，移项得，系数化为1得，不符合要求；
选项B：，移项得，系数化为1得，不符合要求；
选项C：，两边同乘3得，移项得，系数化为1得，符合要求；
选项D：，移项得，系数化为1得，不符合要求．
【例2】（2026·湖南邵阳·二模）已知是关于的方程的解，则的值为（ ）
A． B．3 C．6 D．
【答案】B
【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到结果．
【详解】解：∵是方程的解，
∴将代入原方程，得，
解得．
【例3】（25-26七年级上·北京·阶段检测）解一元一次方程的解为_______．
【答案】
【分析】按照解一元一次方程的步骤求解即可．
【详解】解：
去括号得．
移项得．
合并同类项得．
系数化为得．
【例4】（25-26六年级下·山东淄博·期中）老师在黑板上写有这样一个式子：，则“”所表示的数为________．
【答案】9
【分析】将看作未知数，按照解一元一次方程的步骤求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
1．（25-26六年级下·山东淄博·阶段检测）解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据去括号，移项、合并同类项的步骤解方程即可；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、将系数化为1的步骤解方程即可；
（3）根据去括号，去分母、去括号、移项、合并同类项、将系数化为1的步骤解方程即可；
（4）先将系数化为整数，再根据去分母、去括号、移项、合并同类项、将系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（2）解：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（3）解：
去括号，得：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（4）解：
将系数化为整数，得：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
2．（2026·河北廊坊·二模）算式被遮住了一部分．
(1)若被遮住的数为1，求算式的运算结果；
(2)若算式的运算结果为，求被遮住的数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）代入数字计算即可；
（2）设被遮住的数为x，根据题意列方程计算即可（也可通过逆运算原算式直接求解）．
【详解】（1）解：由题意，得原式；
（2）解：设被遮住的数为x，根据题意，
得，
解得，
故被遮住的数为9．
3．（25-26六年级下·山东烟台·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程为“毓德方程”．例如：方程和为“毓德方程”．
(1)请判断方程与方程是否互为“毓德方程”；
(2)若关于x的方程与方程互为“毓德方程”，求m的值．
【答案】(1)方程与方程互为“毓德方程”
(2)
【分析】（1）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，进行判断即可；
（2）求出两个方程的解，再根据“毓德方程”的定义，列出关于的方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：解方程，得
；
解方程，得
，
∵，
∴方程与方程是互为“毓德方程”；
（2）解：解方程得
，
解方程，得
，
∵关于的方程与方程互为“毓德方程”，
∴，
∴．
【典型例题五 解一元一次方程（三）——去分母】
【例1】（25-26六年级上·福建漳州·期中）解方程，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】找出分母的最小公倍数，将方程两边每一项都乘以最小公倍数去分母，注意分子为多项式时需要添加括号．
【详解】解：∵方程的分母为3和6，二者最小公倍数是6，
∴将方程左右两边每一项同时乘以6去分母，可得．
【例2】（2026·安徽宣城·二模）若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】将代入求解即可．
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴，
解得：．
【例3】（25-26六年级上·甘肃天水·期中）方程的解为________．
【答案】3
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
【例4】（25-26六年级上·重庆万州·期中）根据如图所示的程序计算方程中y的值，若输入x的值是8，则输出y的值是，若输入x的值是，则输出y的值是______．
【答案】18
【分析】将代入中求出，再将代入中即可求解．
【详解】解：当时，则，
解得，
当时，则
∴输出y的值是18．
1．（25-26六年级上·河南周口·阶段检测）已知关于x的方程与的解互为相反数，求m的值以及两个方程的解．
【答案】，第一个方程的解为，第二个方程的解为
【分析】先解出两个方程的解，再根据两个方程的解互为相反数，列出关于m的一元一次方程，即可得出m的值，进一步即可得出两个方程的解．
【详解】解：解方程，得，
解方程，得．
又两个方程的解互为相反数，
，
两边同时乘得，，
，
，
，
当时，第一个方程的解为，第二个方程的解为．
答：，第一个方程的解为，第二个方程的解为．
2．（25-26六年级上·四川眉山·期中）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”．
例如：方程和为“互逆方程”．
(1)方程与 （填“是”或“不是”）“互逆方程”；
(2)若关于x的方程与为“互逆方程”，求c的值；
(3)若关于x的方程和为“互逆方程”，求m的值．
【答案】(1)是
(2)
(3)
【分析】（1）分别求出方程的解，然后根据定义进行判断；
（2）求出方程的解，然后根据定义得出方程的解，即可求出参数；
（3）分别表示出两个方程的解，然后根据定义列出方程求解．
【详解】（1）解：方程与是“互逆方程”，理由如下：
解方程得，；
解方程得，；
∵和互为相反数，
∴方程与是“互逆方程”；
（2）解：，
解得：；
∵两个方程为“互逆方程”，
∴的解为，代入方程可得，
∴；
（3）解：，
解得；
，
解得；
∵两个方程为“互逆方程”，
∴，
解得．
3．（2026·浙江杭州·一模）以下是小程同学解一元一次方程的解题过程，请认真阅读并完成任务：解方程：．
小程的解题过程：解：步骤①：去分母，得
步骤②：去括号，得
步骤③：移项，得
步骤④：合并同类项，得
步骤⑤：系数化为1，得
(1)小程的解题过程从第___________步开始出现错误，错误原因是___________；
(2)请写出该一元一次方程正确的解答过程．
【答案】(1)①，方程右边未同时乘6
(2)解答过程见详解
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤，逐一检查，即可找出第①步错误及其原因；
（2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1，逐一求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，小程在解题过程中第①步开始出现问题，虽然方程左边同时乘上分母的最小公倍数6，但是方程右边未同时乘6，导致接下来的步骤出现错误．
（2）解：步骤①：去分母，得
步骤②：去括号，得
步骤③：移项，得
步骤④：合并同类项，得
步骤⑤：系数化为1，得．
【典型例题六 已知一元一次方程的解，求参数】
【例1】（25-26六年级上·河南驻马店·期中）若关于的方程的解为，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将新方程中的看作原方程中的，利用已知原方程的解，建立关于的一元一次方程求解即可．
【详解】解：∵关于的方程的解为，
∴关于的方程中，，
解得：
∴的解为．
【例2】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）小马虎在做作业，不小心将方程■中的一个常数污染了．怎么办？他翻开书后的答案，发现方程的解是，请问这个被污染的常数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解以及一元一次方程的解法，掌握方程的解的定义是解题的关键．
设被污染的常数为，将代入方程，得到关于的方程，从而可求得的值．
【详解】解：设被污染的常数为，
∵ 方程的解为，
∴ 代入方程得，，
解得，
故被污染的常数是2．
故选：B．
【例3】（25-26六年级上·福建漳州·期中）已知方程的解比关于x的方程的解小1，则a的值为____．
【答案】
【分析】先求出方程的解，进而得到方程的解，代入即可求出a的值．
【详解】解：解得，
∵方程的解比关于x的方程的解小1，
∴方程的解为，
∴，
解得：．
【例4】（25-26七年级上·全国·期末）在解方程时，小明去分母时出现错误，得到，因而求得方程的解为，方程正确的解应为___________．
【答案】
【分析】本题考查方程的解及解一元一次方程，熟记一元一次方程的解法步骤是解决问题的关键．
先将小明解的错解代入方程，求出参数，再解一元一次方程即可得到答案．
【详解】解：小明解得到，
将代入方程得，
即，
解得，
将代入原方程，
得，
去分母得，
即，
整理得，
移项得，
即，
，
故答案为：．
1．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键．
（1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可；
（2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可．
【详解】（1）解：解方程得，
解方程，得，
关于x的方程与方程是“美好方程”，
，
解得；
（2）解：由条件可知另一个方程的解为：，
又两个方程解的差为8，
得：
或，
或．
2．（25-26七年级上·河北衡水·期末）规定：若两个一元一次方程所含未知数相同，并且其中一个方程的解是另一个方程解的倍，则这个方程叫作另一个方程的倍解方程．如一元一次方程的解是，的解是．是的倍，因此一元一次方程是的倍解方程．
(1)写出一个方程：的倍解方程： ；
(2)已知关于的一元一次方程是的倍解方程，求的值．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解决本题的关键是根据倍解方程的定义找到数量之间的关系．
(1)解方程可得：一元一次方程的解是，根据倍解方程的定义可知的倍解方程的解应为，写出一个符合要求的解即可；
(2)分别求出两个方程的解，根据倍解方程的定义得到关于的方程，解方程求出的值即可．
【详解】（1）解：一元一次方程的解是，
根据倍解方程的定义，其倍解方程的解为，
一元一次方程的倍解方程是．
故答案为：(答案不唯一)；
（2）解：解一元一次方程，
可得：，
解一元一次方程，
可得：，
一元一次方程是的倍解方程，
，
解得：．
3．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）定义：若分别是关于的方程、方程的解，且（为非零常数），则称方程是方程的“阶伴生方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且，则称方程是方程的“1阶伴生方程”．
(1)下列方程中是的“2阶伴生方程”的是______（填写序号即可）；
①；②；③；
(2)若方程是关于的方程的“4阶伴生方程”，求的值；
(3)对任意满足的值，关于的方程都是方程的“阶伴生方程”，试判断的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】(1)①
(2)
(3)
是定值，
【分析】本题考查了一元一次方程的解与新定义问题，解题的关键是准确理解“n阶伴生方程”的定义，并据此建立方程求解．
（1）先求出方程的解，再根据“2阶伴生方程”的定义求出对应方程的解，逐一验证；
（2）分别求出两个方程的解，再根据“4阶伴生方程”的定义列方程求的值；
（3）分别求出两个方程的解，根据“n阶伴生方程”的定义得到关于、的等式，进而判断是否为定值．
【详解】（1）解：∵，
∴．
由“2阶伴生方程”定义，得，则．
①解
，
，符合；
②
，
，不符合；
③
，
，不符合．
故答案为：①．
（2）解：∵，
∴．
∵，，
∴．
由“4阶伴生方程”定义，得，
，
，
．
（3）解：
去分母：，
，
，
∴．
，
，
，
，
．
由题意，（为定值）
，
，
，
则．
由，得，代入，
，
，
，
故是定值，定值为48．
【典型例题七 一元一次方程解的关系】
【例1】（25-26六年级上·上海静安·期末）以下方程中，与方程的解相同的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是关键，先解出的解，然后对选项逐一求解，验证即可．
【详解】解：，
，
，
．
A．，
，
，
，
，故不符合题意；
B．，
，故不符合题意；
C．，
，
，
，
，故不符合题意；
D．
，
，
，
，故符合题意；
故选D．
【例2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）多项式和（为实数，）的值由的取值决定．如表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（ ）
1 3 4
2 4
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，弄清表格中的数据是解本题的关键根据表格确定出方程的解即可．
【详解】解：观察表格可知当时，，，
∴，
∴当时，
则关于x的方程的解是，
故选C．
【例3】（25-26七年级上·河北张家口·期末）若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，则的值为_________．
【答案】/
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义等知识点，正确求解一元一次方程成为解答本题的关键．先分别求得两方程的解，然后根据解的关系列出关于m的方程求解即可．
【详解】解：解方程
得；
解方程
得．
由题意，，即，
解得．
故答案为：．
【例4】（25-26七年级上·广东揭阳·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，设，将关于的方程转化为已知关于的方程形式，根据题意求出关于t的方程的解，进而可得y的值．
【详解】解：设，
则关于的一元一次方程可变形为关于t的一元一次方程，
∵关于的一元一次方程的解为，
∴关于t的一元一次方程的解为，
∴，
∴，
故答案为：．
1．（25-26六年级下·山东威海·期中）阅读下面的内容，并完成相应任务．
成双方程 新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为 “成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为 因为，所以这两个方程互为“成双方程”．
任务：
(1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”．
(2)若关于x的方程 和 互为“成双方程”，求m的值．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
【分析】求已知方程的解，再根据“成双方程”的定义求解即可．
【详解】（1）解：解方程，得，
根据“成双方程”的定义，两个方程的解之和为2，
∴另一个方程的解为，
那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）．
（2）解方程得，
∵两个方程互为“成双方程”，
∴方程的解为，
将代入方程得，
解得．
2．（25-26六年级上·河南鹤壁·期中）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______．
(2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值．
(3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解．
【答案】(1)12，或3
(2)
(3)
【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行解答，注意分类讨论；
（2）利用“友好方程”的定义求解的值即可；
（3）根据方程可以改写成，利用“友好方程”的定义求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，方程，
解得，
方程的解为，
由于方程与方程是“友好方程”，
则，
解得；
若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，另一个解为，
①，
解得，
②，
解得，
则或，
故答案为：12；或3；
（2）解：方程，解得，
方程解得，
由题意，得，
解得；
（3）解：方程解得，
由于方程和方程是“友好方程”，
则方程的解为，
将方程改写为，
则，即，
因此方程的解为．
3．（25-26六年级上·河南周口·期中）【阅读理解】
在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的目的．例如：在解方程时，可把看作一个整体，令，原方程变为，解得，即，解得．
【尝试运用】
(1)请用材料中介绍的方法解方程：．
(2)已知关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为________．
(3)【拓展创新】已知关于x的一元一次方程的解为，直接写出关于y的一元一次方程的解．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令，原方程变为，按照材料中介绍的方法求解即可；
（2）令，则原方程变为，根据题意求得，据此求解即可；
（3）将方程两边同除以2026可得，再根据题意可得，解得的值即可．
【详解】（1）解：令，原方程变为，
解得，即，
解得；
（2）解：令，则原方程变为，
∵关于x的方程的解为，
∴，
∴，
解得；
（3）解：已知关于的一元一次方程，
两边同除以2026变形得：，
关于的一元一次方程的解为，
，解得：，
关于的一元一次方程的解为．
【典型例题八 一元一次方程的同解问题】
【例1】（24-25七年级上·全国·期末）若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】考查方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．先解方程，得因为这个解也是方程的解，根据方程的解的定义，把代入方程中求出的值．
【详解】解：
得：
把代入方程得：，
解得：．
故选∶．
【例2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）若方程的解与关于x的一元一次方程的解相同，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．7
【答案】B
【分析】本题考查解一元一次方程，以及一元一次方程同解问题，先解方程得到 的值，再代入方程求解，即可解题．
【详解】解：
解得，
∵两方程解相同，
∴将代入得：，
移项得，
解得．
故选：B．
【例3】（2025七年级上·全国·专题练习）若关于的方程的解与方程的解相同，则的值为 __．
【答案】4
【分析】解方程得，把代入即可求解．
【详解】解：，解得，
∵方程的解与方程的解相同，
∴是方程的解，
把代入方程，
∴，解得．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，掌握移项、合并同类项、系数化为解一元一次方程是解题的关键．
【例4】（25-26七年级上·山东菏泽·阶段检测）若关于的一元一次方程的解与方程的解相同，则的值为___________
【答案】
【分析】本题考查一元一次方程的解求参数，掌握知识点是解题的关键．
先求出方程的解，再将解代入方程，求解的值即可．
【详解】解：解方程，得．
将代入方程，得，
即，
整理得，
解得．
故答案为：．
1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）欢欢在解关于x的方程时，对“”移项时没有变号，得出的解为．
(1)求a的值；
(2)若关于x的方程与的解相同，求t的值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
（1）按照欢欢的方法移项后，可得出，代入，可求出的值，
（2）可由（1）中原方程为，解之即可得，再代入求解即可．
【详解】（1）解：按照欢欢的方法移项得：，
将代入得：，
解得：，
（2）解：（1）中原方程为，
解得：．
因为关于x的方程与的解相同，
将代入得：
，
解得：．
2．（25-26七年级上·贵州黔西南·期末）关于x一元一次方程①与②的解相同．
(1)当相同解为时，求a和b的值；
(2)小丽在解方程①时，误把“”看成“”，得到的解为，求原方程中a实际值，并求出原方程①的解；
(3)在（2）的条件下，，求x的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．
（1）将代入两个方程，解方程即可得的值；
（2）先将代入方程求出的值，则可得原方程，再解一元一次方程即可得；
（3）先根据两个方程的解相同求出的值，再根据绝对值的性质代入化简即可得．
【详解】（1）解：∵关于一元一次方程的解为，
∴，
解得；
∵关于一元一次方程的解为，
∴，
解得．
（2）解：由题意得：关于一元一次方程的解为，
∴，
解得，
∴原方程①为，
解得．
（3）解：由（2）可知，，原方程①为，它的解为，
∵关于一元一次方程①与②的解相同，
∴关于一元一次方程的解为，
∴，
解得，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
3．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）活动与探究
我们来玩一个关于一元一次方程的“系数交换”游戏：把方程（均不为0）的一次项系数与常数项交换位置，得到新的方程．下面我们围绕这个游戏来解决几个问题：
【系数探秘】
（1）已知方程的解是，请写出这个方程经过“系数交换”后得到的新方程的解___________；
【初步应用】
（2）已知方程经过“系数交换”后得到的新方程与方程的解相同，求的值；
【拓展应用】
（3）已知方程经过“系数交换”后得到的新方程的解也是方程的解，则关于的方程的解是___________．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查了“系数交换”的新定义运算，一元一次方程的求解，解决本题的关键是理解“系数交换”的定义并整体代换求解．
（1）根据一元一次方程的运算求解即可；
（2）先求解方程的解，再将解代入到方程经过“系数交换”后得到的新方程中求解即可；
（3）先化简方程，再进行“系数交换”可求解x的值，将关于的方程转化为即可求解．
【详解】解：（1）由，可得；
故答案为：；
（2）由方程，可得，解得，
方程经过“系数交换”后得到的新方程为，
将代入中，可得，
解得；
（3）方程可化为，
“系数交换”后可得方程为，
解得，
∵关于的方程可转化为，
∴，解得．
故答案为：．
【典型例题九 含绝对值计算的一元一次方程】
【例1】（2026·吉林长春·一模）方程的解是（　　）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质，若 ，则或，将绝对值方程转化为一元一次方程求解即可；
【详解】解：∵
∴ 或
当时，移项得
当时，移项得
∴ 方程的解为或．
【例2】（2025·河北·模拟预测）若，则“”表示的数可能是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减运算；根据题意可得的绝对值为，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴“”表示的数可能是或
故选：B．
【例3】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）若，则的值为_________．
【答案】
【分析】本题考查了绝对值的方程；根据绝对值的定义，化简方程后求解．
【详解】解：由绝对值的性质，，且，所以原方程化为，
解得或．
故答案为：．
【例4】（25-26七年级上·北京·期中）若为整数，且满足，则的值为___________．
【答案】或
【分析】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键．根据绝对值的意义即可求解．
【详解】解：∵为整数，且满足，
∴或，
∴或，
∴的值为或．
故答案为：或．
1．（25-26七年级上·吉林·期末）对于有理数，，，我们规定：．
例如：．
【知识运用】（1）①计算：________．
②若，求的值．
【综合运用】（2）若，求的值．
【知识迁移】（3）若，则的值为________．
【知识拓展】（4）当有且只有三个不相等的解时，直接写出的值．
【答案】
（1）① 1；② 3或；（2）3或；（3）4或2；（4）1
【分析】本题主要考查了新定义运算、含有绝对值的方程、解一元一次方程等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）①根据新定义运算法则求解即可；②根据新定义运算法则列出关于的方程，求解即可；
（2）根据新定义运算法则列出关于的方程，求解即可；
（3）根据新定义运算法则列出关于的方程，求解即可；
（4）由题意得，得到或，根据方程有且只有三个不相等的解可知有一个绝对值方程为0，继而分类讨论求解即可．
【详解】解：（1）①∵，
，
故答案为：；
②∵，
∴，
∴，即，
∴的值为或；
（2）解：∵，
，
，
∴或，
∴或，
∴的值为或；
（3）解：∵，
，
，
或，
∴或，
故答案为：或；
（4）解：∵，
，
或，
或，
原方程存在三个不等解，
或，
，，
∴，
，
，
或，
或或（符合题意），
∴的值为1．
2（25-26七年级上·吉林·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”．
(1)若关于x的方程与是“和一方程”，求m的值；
(2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为n，求n的值．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键；
（1）由题意易得方程与方程的解分别为，，然后可得，进而问题可求解；
（2）设另一个方程的解为t，根据题意可得，据此求解即可．
【详解】（1）解：解方程得，
解方程得，
∵关于x的方程与是“和一方程”，
∴，
∴；
（2）解：设另一个方程的解为t，
由题意得，，
∴，
∴或，
解得或．
3．（25-26七年级上·湖北十堰·阶段检测）数轴上A、B两点之间的距离表示为．借助数轴回答下列问题：
(1)数轴上表示1和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示和5的两点之间的距离是_______；
(2)当取最小值5时，a的值为__________．
(3)数轴上A、B两点表示的数分别为x和，如果，求x的值；
【答案】(1)4，4，6
(2)或2
(3)或
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离，解绝对值方程，一元一次方程的应用，
（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可；
（2）根据题意得到当x在3和之间（可以取到端点）时，由最小值，然后由取最小值5求解即可；
（3）根据题意得到，然后去绝对值求解即可．
【详解】（1）解：数轴上表示1和5的两点之间的距离是，
数轴上表示和的两点之间的距离是，
数轴上表示和5的两点之间的距离是，
故答案为：4；4；6；
（2）解：∵可以表示为x到3的距离与x到的距离之和
∴由数轴可得，当x在3和之间（可以取到端点）时，有最小值
∴当取最小值5时，，
∴或；
（3）解：∵数轴上A、B两点表示的数分别为x和，如果，
∴，即
∴或
∴或．
【典型例题十 含绝对值计算的一元一次方程】
【例1】（24-25七年级上·河南信阳·期末）（中考新趋势·新定义）定义运算“”，其规则为，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次方程，方程利用题中的新定义化简，计算即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
解得：，
故选：D．
【例2】（24-25七年级上·云南·单元复习）新趋势·新定义 对于任意四个有理数a，b，c，d，定义新运算：．已知，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了定义新运算和解一元一次方程．理解新定义运算的含义是解题的关键．根据新运算的定义：，将变换成求解即可．
【详解】解：，，
，
化简得：，
移项、合并同类项，得，
解得：．
故选：C．
【例3】（25-26七年级上·全国·期中）定义一种新运算：，若，则的值为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，首先根据新运算的规则把新运算转化为一般形式的运算，得到一元一次方程，解方程求出的值即可．
【详解】解：，
，
又，
，
解得：．
故答案为：．
【例4】（25-26六年级下·山东烟台·期中）定义新运算：，其中，，，为有理数，如：．如果，则的值为______________．
【答案】
【分析】根据新运算：，得到，求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，即，
解得．
1．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）（新定义）对于有理数x，定义，：
(1)求的值；
(2)解方程．
【答案】(1)
(2)或2
【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，一元一次方程的解法及绝对值，能对x的取值范围进行准确的分类是解题的关键．
（1）根据题中定义的新运算列式求解即可；
（2）根据题中定义的新运算，建立关于x的方程，然后分情况求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得，，
∴；
（2）解：根据题意得，
∴当时，，
解得，符合题意；
当时，，无解；
当时，，
解得符合题意．
综上，或2．
2．（25-26六年级上·湖南衡阳·阶段检测）新定义类：我们定义一种方程运算“”，若关于的方程，表示方程与方程的解互为相反数．已知方程，方程，且这两个方程满足“”运算关系，求的值，并求解方程．
【答案】，
【分析】先解方程，再由新定义运算得到方程的解为，代入方程即可解得的值．
【详解】解：，解得，
方程与方程满足“”运算关系，
是方程的解，
则，
解得，
方程的解为．
3．（24-25七年级上·全国·单元测试）中考新趋势·新定义 定义：关于x的方程与方程（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．
(1)若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则_______；
(2)若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数d的值；
(3)已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为_______．（请直接写出答案）
【答案】(1)2
(2)d的值为或
(3)
【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握新定义，是解题的关键：
（1）根据“反对方程”的定义，进行求解即可；
（2）求出两个方程的解，根据解为整数，进行求解即可；
（3）根据互为“反对方程”的解互为倒数，根据换元法，得到，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程与方程互为“反对方程”，
∴；
故答案为：2；
（2）变形为，
由题意可知方程的“反对方程”为．
解，得．
解，得．
因为与的解都是整数，
所以与都是整数，且d为整数，
所以当或时，与都是整数，
故整数d的值为或；
（3）由题可知的解为．
由题意得，互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数，
所以的解为，
将变形为，
所以，
所以关于y的一元一次方程的解为．
1．（25-26六年级下·山东淄博·期中）下列各式；；；中，是一元一次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】解：由一元一次方程的定义可得，只有是一元一次方程．
2．（25-26六年级上·四川乐山·阶段检测）下面是从小明同学作业本中摘抄的内容，其中正确的是（ ）
A．方程，移项得：
B．方程，去分母得
C．方程，去括号得
D．方程，系数化为得
【答案】D
【详解】解：对于A，∵方程，移项时移项要变号，∴正确移项结果为，原变形错误，不符合题意；
对于B，∵方程，去分母时需要给等式两边同时乘分母的最小公倍数6，∴正确去分母结果为，原变形错误，不符合题意；
对于C，∵方程，去括号时需要给括号内每一项都乘括号外的系数，∴正确去括号结果为，原变形错误，不符合题意；
对于D，∵方程，系数化为1需要给等式两边同时除以9，∴得，原变形正确，符合题意．
3．（25-26七年级上·山东青岛·期末）当和为定值时，代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值：则关于的方程的解是（ ）
0 1
0 3 6
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程 转化为 ，然后从表格中找出当时对应的值即可．
【详解】解：∵ 方程 ，
两边乘以 2 得：，
移项得：，
从表格中，当 时，，
∴ 方程的解为 .
故选：D
4．（2026·山东济宁·二模）数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下：
甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．”
乙同学．“我发现，当正整数m取最大值时，；当正整数m取最小值时，．”
给出下列三个结论：①；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【详解】解：方程化简得： ，
由方程有唯一解可知：，即，
将唯一解：，代入化简后的方程，得：，
若，则，与矛盾；
，结论①正确；
根据乙同学的对话可知：
当正整数m取得最大值时：，代入，得：；
当正整数m取得最小值时：，代入，得：；
的最小值是3，不是1，
结论②错误；
，包含四个正整数：
结论③正确．
5．（25-26七年级上·重庆綦江·期末）我们把不超过有理数y的最大整数称为y的整数部分，记作，又把称为y的小数部分，记作，则有．如：，下列说法中正确的有（ ）个．
①；
②；
③若，且，则或；
④方程的解为．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】本题考查新定义下的整数部分和小数部分的概念，理解是有理数的最大整数和小数的概念是解题的关键．
根据定义逐个分析判断各说法的正确性即可．
【详解】解：① ∵ 不超过的最大整数是3，∴，该项正确；
② ∵ 不超过的最大整数是，∴，该项错误；
③ ∵且，
当时， ，∴；
当时， ，∴，该项错误；
④ 设，则，
方程化为，
∴，
即方程的解为所有形如为整数，解不唯一（如等），∴ 该项错误；
综上，只有①正确．
故选D．
6．（2026·江苏苏州·二模）定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“方程”，其中一个方程是另一个方程的“方程”．请写出方程的一个“方程”：__________．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】先求解已知方程，再根据“方程”的定义得到所求方程的解，即可构造出符合要求的方程．
【详解】解：解方程得，
互为“方程”的两个一元一次方程的解之和为，
方程的“方程”的解为，
满足条件的一个“方程”为（答案不唯一）．
7．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是_________．
【答案】
【分析】将第二个方程变形，使其与已知一元一次方程结构一致，利用已知方程的解求解即可．
【详解】解：对关于的一元一次方程变形，
移项得，
，
，
两边同乘得，
关于的一元一次方程的解是，
，
解得．
8．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值：
x 0 1 2 3
0 4 8
则关于x的方程的解是________ ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解知识点，掌握等式的性质成为解题的关键．将变形为，观察表格数据可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴，
由表可知，当时，，
∴关于x的方程的解是．
故答案为：．
9．（25-26六年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程的过程，回答问题：．
去括号，得，①
移项，得，②
合并同类项，得，③
系数化为1，得，④
上述过程中，第_________步计算出现错误，其错误原因是_________________，第②步的数学依据是_____________________________________．
【答案】 ① 第二个括号去括号时符号错误 等式两边加上同一个数，所得的等式仍是等式
【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．利用解一元一次方程的步骤检查即可．
【详解】解：上述过程中，第①步出现错误，其错误原因是第二个括号去括号时符号出错，第②步的数学依据是等式两边加上同一个数，所得的等式仍是等式，
故答案为：①；第二个括号去括号时符号错误；等式两边加上同一个数，所得的等式仍是等式．
10．（25-26七年级上·安徽淮南·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为4，我们就称这两个方程互为“友谊方程”．例如方程和方程互为“友谊方程”．
（1）若关于的方程与方程互为“友谊方程”，则的值为______．
（2）若关于的方程与方程互为“友谊方程”，求关于的方程的解为______．
【答案】 2028
【分析】此题考查一元一次方程的解法和一元一次方程的解的定义，正确解方程和理解“友谊方程”的定义是解题的关键．
（1）先解方程 得到 ，根据“友谊方程”定义，方程 的解应为 ，代入求解 ；
（2）先解方程 得到 ，根据“友谊方程”定义，方程 的解应为 ，然后通过变量替换 将方程 转化为与第二个原方程相同的形式，直接得解．
【详解】解：（1）解方程 ，
移项得 ，
合并得 ，
系数化为1得 ．
∵ 两方程互为“友谊方程”，
∴ 方程 的解为 ．
将 代入方程 ，
得 ，
即 ，
移项得 ，
系数化为1得 ．
故答案为：
（2）解方程 ，
移项得 ，
即 ，
系数化为1得 ．
∵ 两方程互为“友谊方程”，
∴ 方程 的解为 ．
对于方程 ，
设 ，则 ，
代入方程得 ，
即 ，
整理得 ，
移项得 ，
此方程与 形式相同，且解为 ，
∴ ，
解得 ．
故答案为：2028．
11．（24-25七年级上·全国·单元复习）若方程是关于x的一元一次方程．
(1)求k的值；
(2)判断，，是否是方程的解．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义以及方程的解，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且）．
（1）根据一元一次方程的定义解答即可．
（2）将，，分别代入即可判断．
【详解】（1）解：由题意可知且，
∴且，
∴；
（2）解：由（1）可知方程为．
把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解；
把代入方程，得左边右边，∴不是方程的解；
把代入方程，得左边右边，∴是方程的解．
12．（25-26六年级上·吉林长春·期中）下面是明明解方程的过程：
解：去分母得：（第一步）
去括号得：（第二步）
移项得：（第三步）
合并同类项得：（第四步）
系数化为1得：（第五步）
根据解答过程完成下列任务．
任务一：上述解答过程共出现________处错误；首次出现错误在第________步，这一步错误的原因是________．
任务二：请你写出解方程的正确过程．
【答案】
任务一：2，一，去分母时常数项漏乘；
任务二：见解析
【分析】根据一元一次方程的解法解题即可．
【详解】解：任务一：上述解答过程共出现2处错误，分别是第一步和第三步；首次出现错误在第一步，这一步错误的原因是去分母时常数项漏乘；
任务二：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
13．（25-26六年级上·河南周口·期中）下面是小军解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：． 解：________，得，…………第一步 去括号，得，…………第二步 移项，得，…………第三步 合并同类项，得，…………第四步 将未知数的系数化为1，得．…………第五步
任务：
(1)第一步中的横线上应填________．
(2)小军的解答过程从第一步开始出现错误，出现错误的原因是违背了________（填序号）．
①等式的基本性质1；
②等式的基本性质2．
(3)请你直接写出方程的解．
【答案】(1)去分母
(2)②
(3)
【详解】（1）解：第一步中的横线上应填去分母；
（2）解：小军的解答过程从第一步开始出现错误，常数项没有乘6，
出现错误的原因是违背了等式的基本性质2；
（3）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
将未知数的系数化为1，得．
14．（25-26七年级上·江西宜春·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求方程的解；
(3)若“美好方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，正确理解“美好方程”是解题的关键．
（1）先分别求解两个方程的解，再利用两个一元一次方程的解之和为1，即可求解m的值；
（2）首先根据求解x的值，再根据两个一元一次方程的解之和为1，即可求解的解；
（3）根据题意可得另一个方程的解为：．根据两个解的差为6，列出一元一次方程解方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵关于x的方程与方程是“美好方程”，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”，
∴关于x的一元一次方程的解为：．
（3）解：∵“美好方程”的两个解的和为1，其中一个解为n，
∴另一个方程的解为：．
∵两个解的差为6，∴或，
∴或．
15．（24-25七年级上·四川广安·期末）在学习绝对值后，我们知道，表示a在数轴上的对应点与原点的距离．如：表示4在数轴上的对应点与原点的距离．表示4、2在数轴上对应两点之间的距离，而表示x，在数轴上对应两点之间的距离；一般的，点A、B之间的距离可表示为．请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
(1)数轴上表示10和1的两点之间的距离是______；若数轴上表示x、2018的距离为1，即，则x的值为______．
(2)点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、4、，那么，点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为______（用含绝对值的式子表示），满足的x的值为______．
(3)由以上探索猜想，对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，并说明理由，并写出此时x的取值范围；如果没有，说明理由．
【答案】(1)9； 2019或2017
(2)；或5
(3)有，的最小值是2019，理由见解析；x的取值范围是
【分析】（1）根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可解答；
（2）根据两点间的距离公式，再根据绝对值意义，分情况讨论，即可解答；
（3）根据表示的意义进行求解即可．
【详解】（1）解：数轴上表示10和1的两点之间的距离是；
若数轴上表示x、2018的距离为1，即，
∴，
解得：或，
即x的值为2019或2017．
（2）解：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、4、，那么点A到点B的距离与点A到点C的距离之和可表示为，
当时，，
解得：；
当时，，
此方程无解；
当时，，
解得：，
综上，满足的x的值为或5；
（3）解：∵表示在数轴上对应x的点与数轴上对应1009和的点的距离之和，
∴当x表示的点在1009和表示的点之间时，最小，
即当时，有最小值，且最小值为．
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