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第09讲 一元一次方程的应用（2大知识点+13大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 配套问题
典型例题二 工程问题
典型例题三 销售盈亏问题
典型例题四 比赛积分问题
典型例题五 方案选择问题
典型例题六 数字问题
典型例题七 几何问题
典型例题八 动点问题
典型例题九 和差倍分问题
典型例题十 电费和水费问题
典型例题十一 行程问题
典型例题十二 比例分配问题
典型例题十三 古代问题
知识点01 用一元一次方程解决问题
1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤
审：弄清题意和题目中的数量关系。
设：用字母表示题目中的一个未知量。
找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。
列：根据这个相等关系列出方程。
解：解所列的方程，求出未知数的值。
验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。
答：写出答案。
2．设未知数的三种方法：
直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。
间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。
设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。
【即时训练】
1．（25-26七年级上·山西大同·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意是每车坐3人，2车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐，问人数和车数各多少？甲、乙两位同学分别给出自己的解法：
甲：设有x辆车，根据题意，列出的方程是
乙：设有y人，根据题意，列出的方程是
下列说法正确的是（ ）
A．甲对乙不对 B．甲不对乙对
C．甲乙都对 D．甲乙都不对
2．（24-25七年级上·全国·课前预习）列方程解应用题的步骤
①审：审清题意
②设：设出合理的____
③找：找出相等关系
④列：列出方程
⑤求：求出方程的解
⑥验：检验答案是否正确
⑦答：作答
知识点02 一元一次方程应用题的常见类型
类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项
和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等
行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点
追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点
调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量
工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1
销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售
数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数
阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的
方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。
【即时训练】
1．（24-25七年级上·广东清远·期末）在古希腊，著名哲学家、数学家毕达哥拉斯和他的学生在阿提卡平原上步行相遇．毕达哥拉斯从雅典出发，向东而行，到达马拉松需要9小时，而他的学生从马拉松出发，向西而行，到达雅典需要7小时．请问他们同时出发到相遇，需要多少个小时？根据题意，假设x小时后相遇，可列方程（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）春节过后，一款哪吒盲盒受到了群众的喜爱．为了吸引顾客，某商店决定将一批进价为200元/个的哪吒盲盒涨价后又打折销售，每个盲盒仍可获利38元，则商店打______折销售．
【典型例题一 配套问题】
【例1】（25-26七年级上·广东汕尾·期末）某车间有35名工人生产螺丝和螺母，每人每天可以生产1200个螺丝或1800个螺母．现有名工人生产螺丝，使得每天生产的螺丝和螺母数量恰好能按配套，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（24-25七年级上·云南昭通·期末）手工课老师组织学生制作圆柱形包装盒，一个包装盒需要一个侧面和两个底面．已知一张卡纸可以制作8个侧面或24个底面．手工老师提前准备好了40张卡纸，设用x张卡纸制作侧面，根据要求制成的侧面与底面需要刚好配套，则可列方程（）
A． B．
C． D．
【例3】（24-25七年级上·全国·期末）在加固某段河坝时，需要动用15台挖土、运土机械，每台机械每小时能挖土或运土，挖出的土要及时运走，若安排x台机械挖土，则可列方程________．
1．（24-25六年级下·山东东营·阶段检测）学校手工艺社团组织学生编织花朵，一朵花由1个花心和8个花瓣构成，已知手工艺社团共有人，据统计，每个学生一节课可以编织5个花心或个花瓣，问：安排多少人编织花心，才能使一节课编织出的花心和花瓣刚好配套？
2．（25-26六年级下·山东淄博·阶段检测）六年级一班共有学生人，其中男生人数比女生人数多人，劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身个或盒底个．
(1)六年级一班有男生和女生各多少人？
(2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
3．（25-26六年级下·山东烟台·期中）完成如下项目式学习表
情境导入 随着人工智能大模型技术的飞速发展，智能眼镜正成为个人AI助理的重要载体．某科技公司推出一款全新智能眼镜——“灵镜”，它内置轻量级大模型芯片，支持语音交互、实时翻译、物体识别等功能，可以通过镜片上的微显示屏呈现信息．这款眼镜的生产分为两部分：A智能镜框：包含芯片、电池、传感器、镜片等核心部件；B智能镜腿：内置天线、扬声器、麦克风等通信模块，每副“灵镜”智能眼镜由1个智能镜框和2个智能镜腿组装而成．
产能配置 该科技公司现有45名技术工人，每人每天可以生产100个智能镜框或160个智能镜腿．
任务解决
(1)任务1：应如何安排工人，才能使每天生产的智能镜框和智能镜腿恰好配套？
(2)任务2：某店家以每副800元的价格购进“灵镜”后提高后标价．在寒假期间，店家打七折销售，售出的每一副“灵镜”的利润率是多少？
(3)任务3：该店家购进了100副“灵镜”，寒假期间售出了90副，若想在销售完这100副“灵镜”后总获利，则剩余的“灵镜”应打几折出售？
【典型例题二 工程问题】
【例1】（24-25七年级上·宁夏吴忠·期末）一项工程甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，甲先单独做天，然后两人合作天完成这项工程，则可列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（2026·河北石家庄·二模）现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）某中学的学生自己动手整修操场，七年级的学生说：“如果让我们单独工作，小时能完成”；八年级的学生说：“如果让我们单独工作，小时能完成．”现两个年级学生一起工作1小时，剩下的部分再让七年级单独完成需x小时，则所列方程为_______．
1．（25-26六年级下·上海静安·期中）王师傅小时加工个零件，照这样的速度，王师傅分钟可以加工多少个零件？
2．（25-26六年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程（不必求解）：
(1)某班原分成两个小组进行课外体育活动，第一组26人，第二组22人．现根据学校活动器材的数量，要将第一组的人数调整为第二组的一半，应从第一组调多少人到第二组去？
(2)加工某种零件，师傅平均每小时做5个，徒弟平均每小时做4个，加工一盒零件，师傅比徒弟少用．问：一盒零件有多少个？
3．（25-26七年级上·重庆·期末）列一元一次方程解决问题：
春联，俗称“门对”、“春贴”、“对联”、“对子”，雅称“楹联”，是中华民族传统民俗文化的重要组成部分，临近农历马年，某春联加工厂接到一项定制任务，要求12天完成．若由甲生产线单独生产，刚好按期完成：若由乙生产线单独生产，则将延期6天完成．
(1)实际生产过程中，先安排甲生产线单独生产几天，再安排甲、乙生产线同时生产，最终提前2天完成任务，请问先安排甲生产线单独生产了几天？
(2)已知甲生产线原来每天的生产成本为2万元，乙生产线原来每天的生产成本为万元，后来加工厂对生产工艺进行了升级改造，甲生产线每天的生产成本降低了，乙生产线每天的生产成本降低了万元．升级后，按（1）中的实际生产安排，甲、乙生产线的总成本为万元，请求出的值．
【典型例题三 销售盈亏问题】
【例1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某商品提价后，欲恢复原价应降低（ ）．
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级上·湖北宜昌·阶段检测）根据下面栗栗和小齐的对话，判断小齐买平板电脑的预算是（ ）
栗栗：小齐，你之前提到的平板电脑买了没？ 小齐：还没，它的售价比我的预算多1000元呢！ 栗栗：这台平板电脑现在正在打6折呢！ 小齐：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少500元！
A．2750元 B．3000元 C．4000元 D．4500元
【例3】（2026·陕西铜川·二模）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，已知某件商品的进价是元，若按该商品的标价打八折销售，仍可获利元，则这件商品的标价是_____元．
1．（25-26七年级上·云南昭通·期末）学校为“2025年校园艺术节”印制宣传册，某复印店的收费标准如下：
①印制册数不超过100 册时，每册2元；
②印制册数超过100册的部分每册按原价打八折；
学校在复印店印制宣传册花费360元，请问学校印了几本宣传册？
2．（25-26六年级上·重庆·期中）列方程解应用题：
某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28元，利润率为40%；花肥进价每包2元，一包花肥的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720元，其中花肥的进货数量是金桔盆栽的2倍．
(1)花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？
(2)第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m元，进货数量增加了8盆，售价不变；花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4元，求m的值．
3．（25-26七年级上·河南开封·期末）某天，水果经营户小莉花380元从水果批发市场批发了香蕉和哈密瓜共50千克，香蕉和哈密瓜当天的批发价和零售价如下表所示：
香蕉 哈密瓜
批发价（元／千克） 5 10
零售价（元／千克） 8 14
(1)小莉批发的香蕉和哈密瓜各有多少千克？
(2)当天香蕉和哈密瓜的总质量卖出一半，剩下按零售价打八折出售，最终当天小莉卖完这两种水果共赚118元，求打折后卖出的香蕉和哈密瓜各有多少千克？（不考虑其他支出）
【典型例题四 比赛积分问题】
【例1】（25-26六年级上·河南安阳·期中）一次数学测试有25题，答对一题得4分，答错一题倒扣1分，明明答了全部试卷，得60分，他答对（　　）题．
A．20 B．19 C．18 D．17
【例2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．一个队打了8场比赛，只输了1场，共得17分，那么这个足球队胜了（ ）
A．3场 B．4场 C．5场 D．6场
【例3】（25-26七年级上·广东韶关·期末）某区举办了校园足球赛，比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了场比赛，其中负2场，共得分，那么该足球队共胜了_______场．
1．（24-25六年级上·云南昭通·阶段检测）某中学举办的中学生禁毒知识竞赛中共有20道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣2分，小红得了65分．求小红答对了多少道题？
2．（25-26七年级上·山东德州·期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5个参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
(1)参赛者得分，他答对了几道题？（请用方程作答）
(2)参赛者说他得分，你认为可能吗？为什么？
3．（2025七年级上·全国·专题练习）列方程解应用题
某次篮球联赛积分榜如下表：
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
(1)根据积分榜，你知道胜一场、负一场各积多少分吗？为什么？
(2)是否存在某队，它的胜场总积分比它的负场总积分的3倍还多3分若存在，求出它的胜、负场次，并指出它是哪个队若不存在，请说明理由．
【典型例题五 方案选择问题】
【例1】（2025七年级上·广东深圳·专题练习）某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【例2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）甲单位到药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位在同一药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位购买总价只相当于甲单位购买总价的，一箱消毒水多少元？设一箱消毒水为元，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（25-26七年级上·全国·期末）根据图中提供的信息，可知一把暖瓶的价格是_________．
1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）学校开展社会实践活动，计划组织七年级学生开展一次“远足行”活动，去时步行，返回时坐车．小明在统计全体人数时发现：“若租用35座的客车要若干辆，且有3人没有座位坐；若租用40座的客车，则可以少租1辆，且有一辆空2个座位．”求租用35座的客车多少辆，学生共有多少人？
2．（2026·广西南宁·一模）2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准：
购买新车类型 补贴标准 最高补贴
新能源乘用车 新车售价的12% 20000元
2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元
(1)按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由；
①售价16万元的新能源乘用车 ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车
(2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？
3．（25-26六年级上·河南南阳·期中）南阳市作为中国月季之乡，月季产业是市区特色名片．某花卉公司收购了23吨南阳月季鲜花，用于加工特色花卉产品，该公司每天可粗加工4吨月季，或精加工1.5吨月季，同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须在7天内全部处理完毕．
该公司三种处理方式的获利情况如下表：
处理方式 每吨获利（元）
直接销售鲜月季花 500
粗加工制成月季干花 2500
精加工制成高端月季花茶 4000
公司设计了三种方案：
（1）全部进行粗加工；
（2）尽可能多地进行精加工，剩余月季直接销售；
（3）一部分精加工、一部分粗加工，恰好用7天完成全部处理．
请你通过计算，帮助该公司做决策，判断哪种方案获利最多．
【典型例题六 数字问题】
【例1】（25-26六年级上·河南鹤壁·阶段检测）用一元一次方程的知识，可以把无限循环小数化为分数，如：把化为分数，设，两边同乘，得，，即，移项，合并同类项，得，解得：，即，把化为分数为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，幻方是我国古代数学的杰出成果，三阶幻方（又称“洛书”）的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，如图是一个三阶幻方，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25七年级上·全国·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．如图就是一个三阶幻方，正方形的每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，在这个三阶幻方中，m的值为____．
2
5 7
m 6
1．（25-26六年级上·上海普陀·期中）已知一个数减去的差与3的积为，求这个数．
2．（25-26六年级上·河北廊坊·阶段检测）老师在黑板上写出算式：□◇要求在“□”与“◇”内填入整数．
(1)嘉嘉在“□”内填入，请帮他计算“◇”内填入的数字；
(2)淇淇说：“‘□’和‘◇’内可以填入两个相同的整数．”淇淇的说法对吗？请说明理由．
3．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）定义：一个正整数（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，，则称5923为“2倍数”；1940：，则称1940为“倍数”；2548：．因为不是整数，所以2548不是“m倍数”．
(1)直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值；
(2)若一个三位数x为“倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由；
(3)若一个四位数x既为“2倍数”又是“倍数”，直接写出这样的四位数x的最大值和最小值；
【典型例题七 几何问题】
【例1】（25-26七年级上·全国·期末）如果将铁丝做成的一个长、宽的长方形变成一个正方形，那么该正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级上·全国·期末）用一个棱长为的立方体容器（已装满水）向一个长、宽、高分别是、和的长方体铁盒内倒水，当铁盒内装满水时，立方体容器中水的高度下降了（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）实施乡村振兴战略是新时代“三农”工作总抓手，安徽作为农业大省，正在奋力推动乡村振兴走在全国前列．某村制定农户养殖奖励方案，每平方米每月补助金为10元．如图，王大爷计划利用长35米的竹篱笆，围成一个长边靠墙的长方形养鸡场，墙的长度为14米，围成的养鸡场的长比宽多2米，王大爷每月能领取养殖补助金为__________．
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知圆柱形容器A：内半径为4cm，高为16cm；圆柱形容器B：内半径为8cm，高为10cm．A容器中盛满水，B容器中没有水．将A容器中的水倒入B容器中，求此时B容器内水的高度．
2．（2026·北京昌平·一模）油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨长度与长伞骨长度之比为，短伞骨与长伞骨连接点恰为长伞骨的三等分点，伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多．求这个油纸伞的伞柄长．
3．（2026·山西临汾·二模）网球是一项奥林匹克运动，适用于社会各阶层和各个年龄段．网球场分为单打区和双打区，其平面示意图如图所示，全部区域为双打区，阴影区域为单打区，按照国际尺寸标准：单打区的长、宽分别为78英尺、27英尺，底线到发球线的距离与发球线到球网的距离的比为，单打边线到双打边线的距离是底线到发球线的距离的，求双打区的宽．
【典型例题八 动点问题】
【例1】（25-26七年级上·河南焦作·期末）在数轴上，点向右移动1个单位长度得到点，点向右移动2个单位长度得到点，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数，且这三个数的和与其中一个数相等，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【例2】（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图所示，甲、乙两动点分别从边长为12个单位长度的正方形的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向以每秒1个单位长度环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第1次相遇的时间为（ ）
A．4秒 B．5秒 C．4.8秒 D．5.8秒
【例3】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，长方形中，，，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿向终点匀速运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点匀速运动．若点，点同时出发，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两点运动的时间为秒，当时，则的值为______．

1．（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）已知，动点A在数轴上以不变的速度向右运动，同时，动点B在数轴上以不变的速度向左运动，运动规律如下表：
运动时间（s） 0 1 4 9 ……
点A表示的数 2 ____ ____ ……
点B表示的数 ____ ___ ……
(1)补全表格中的数据；
(2)当运动时间为时，求之间的距离．
2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，点A、B都在数轴上，O为原点，点A在原点O的右侧，点B在原点O的左侧，且O，A两点间的距离为2个单位长度，A，B两点间的距离为6个单位长度．
(1)分别求出点A和点 B对应的数；
(2)点M以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿数轴向右运动，运动时间为t秒，当点M与点A之间的距离为4个单位长度时，求t的值；
(3)对折数轴，使数轴上点A与点B重合，求同时与 对应的点重合的点对应的数．
3．（24-25七年级上·广西南宁·期中）【知识背景】在数学中，可以用一条直线上的点表示数，我们把这条直线叫做数轴；数轴要满足以下要求：
（1）在直线上任取一点表示0，这个点叫做原点；
（2）通常情况下，从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；
（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示为1，2，3…；
例如点表示的数为4，是从原点向右移动4个单位长度得到的；点表示的数为7，是由表示的数为9的点向左移动2个单位长度得到的．
【知识应用】若点表示的数是10，向右移动8个单位长度得到的数是_________；同时，点也可以看成是12向_________（“左”或“右”）移动_________个单位得到的．
【拓展提升】如图，从原点出发，以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点表示的数是8，在出发的同时，以每秒2个单位的速度向右匀速运动．
①几秒后和重合？
②出发秒后与相距4个单位长度，请直接写出此时的值．
【典型例题九 和差倍分问题】
【例1】（25-26六年级下·山东淄博·阶段检测）某班1组的同学参加植树活动，如果每人种12棵，则剩下8棵树苗未种，如果每人种14棵，则缺8棵树苗，这个小组的人数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【例2】（2026·广西南宁·三模）钢琴素有“乐器之王”的美称．如图，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，其中白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．设黑色琴键为个，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（25-26六年级下·山东烟台·期中）小明的爸爸今年40岁，爸爸比小明年龄的2倍还大12岁，小明今年的岁数是___________．
1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）爸爸比儿子大岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的倍，求父子二人今年各是多少岁？（用一元一次方程解答）
2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）学校组织植树活动，已知在甲地植树的有18人，在乙地植树的有7人，在丙地植树的有5人，现调40人去支援，
(1)若前往支援的地点只有甲地和乙地，要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，那么应调往甲、乙两地各多少人？
(2)若甲、乙、丙三地都需要支援，其中调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，那么应调往甲、乙、丙地各多少人？
3．（25-26七年级上·山东德州·期末）为推进全民健身，某机构推出了“全民捐步公益行”活动：参与者可根据一天中走路的步数，给公益事业捐款．
(1)观察如图小亮和小明的对话，请计算每捐步，相当于捐款多少元；
(2)某天，小亮和小明二人共同捐款6元，已知小亮的步数比小明的2倍少步，求小亮当天走了多少步？
【典型例题十 电费和水费问题】
【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过的，每吨2元；超过的部分，每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水量为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级上·重庆·期中）为提倡人们节约用水，自来水公司分段收费标准如下：每户每月用水5吨以下（包含5吨）缴水费12.5元；超过5吨的部分，每吨3.2元．小强家4月份的应缴水费34.9元，则4月份的用水量为_____________吨．
1．（24-25七年级上·山东济宁·阶段检测）某地居民生活用电基本价格为元/度．规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的每度电价比基本用电量的每度电价增加收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，求a的值？
2．（25-26七年级上·全国·寒假作业）一种蔬菜在某市场上的批发价格如：
购买数量 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上
价格 5元/千克 4元/千克 3元/千克
已知小明两次购买了此种蔬菜共70千克（第二次购买数量多于第一次）．
(1)若第一次购买15千克，第二次购买55千克，则两次总费用为 元；
(2)若两次购买蔬菜的总费用为236元，求第一次、第二次分别购买此种蔬菜多少千克？
3．（25-26六年级上·全国·课后作业）某城市为了鼓励市民节约用水，对水费采用分段收费．若居民每月应交水费（单位：元）与用水量（单位：）之间的关系如下图所示，根据图中信息回答下列问题：
(1)该市自来水收费，当每户使用不足时，每吨收费__________元；当超过时，超出部分每吨收费__________元．
(2)若某户居民月用水，那么应交水费__________元．
(3)若某月交水费17元，则该户居民月用水多少吨？
【典型例题十一 行程问题】
【例1】（25-26六年级上·河南周口·期中）某同学跑步训练，先匀速慢跑，再加速冲刺，冲刺路程为200米，若设时间为x分钟，路程关系式满足方程，该方程解的实际意义是（ ）
A．匀速慢跑的速度大小 B．匀速慢跑的训练时间 C．总路程 D．剩余距离
【例2】（25-26七年级上·河北张家口·期末）嘉嘉和琪琪两人在400米的环形跑道上练习长跑，嘉嘉每分钟跑200米，琪琪每分钟跑300米，两人起跑时站在跑道同一位置，若嘉嘉起跑后1分钟琪琪开始反向跑，那么琪琪起跑后（ ）分钟后两人首次相遇
A．0.4 B．0.8 C．1.2 D．1.4
【例3】（25-26七年级上·天津和平·阶段检测）两村相距30千米，甲、乙两人从两村出发，相向而行，甲每小时行4千米，乙每小时行3千米，甲先出发1小时后，乙才出发，当他们相距6千米时，乙行驶了____小时．
1．（25-26七年级上·河南信阳·期末）周末，小明骑自行车从家出发去郊外的湿地公园游玩，平均速度为．1小时后，爸爸发现小明忘带了野餐垫，于是爸爸开车从家出发沿同一路线追赶，爸爸开车的平均速度为．求爸爸多久后能追上小明？
2．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）A、B两地相距600千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶80千米，一列快车从B地开出，每小时行驶120千米，两车同时开出．
(1)若相向而行，出发后多少小时相遇？
(2)若相背而行，多少小时后，两车相距800千米
3．（2026·北京·二模）列方程解决实际问题：某条城际铁路线从西往东依次有A，B，C三个车站，每天上午均有两个车次的列车从A站驶往C站，其中次列车从A站始发，经停B站后到达C站，次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行时刻的相关信息如表所示．已知次列车的行驶速度为千米/时，求次列车的行驶速度．
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
途经B站，不停车
【典型例题十二 比例分配问题】
【例1】（24-25七年级上·天津北辰·期中）把一根木料锯成段要分钟，以同样的速度锯成段要分钟，正确的列式为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）一种石灰与水混合后的石灰浆，石灰与水的质量比是．现在向石灰浆中加入120千克水，要使石灰与水的质量比不变，还应加入（ ）千克石灰．
A．150 B．90 C．80
【例3】（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是______．
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）某农户为消灭棉田中的害虫，需配制一种药水．已知这种药水中药液与水的质量比为．配制这种药水，需要多少千克的这种药液？
2．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问：
(1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？
(2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？
3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题：
冰箱类型 A B C
购进的台数（台） 8 6
每台冰箱的销售价（元） 2000 3000
(1)商场购进A型号冰箱__________台；
(2)每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜．
①每台C型号冰箱的销售价是__________元；
②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数）
【典型例题十三 古代问题】
【例1】（2026·重庆大足·一模）苏轼贬谪黄州期间，常与友人煮茶论道．后人据此推演得一趣题：雪堂之内，苏轼汲水煎茶．若将壶中茶汤分注于盏，每盏盛5分，则壶中余3分；若每盏盛6分，则壶中尚缺4分方满．设雪堂内共有茶盏x只，下列方程中能正确反映壶中茶汤总量的是（　　）
A． B． C． D．
【例2】（25-26六年级下·山东东营·阶段检测）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：鸡笼里有鸡也有兔，从上面看有35个头，从下面看有94只脚，请问笼中有多少只鸡？多少只兔？这是出自我国《孙子算经》中著名的“雉（鸡）兔同笼”问题，设有x只鸡，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（2026·陕西榆林·一模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；劣田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、劣田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今买良、劣田共1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田有x亩，则可列方程为________．
1．（25-26七年级上·福建福州·阶段检测）我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7个人，那么就有5个人没有房住；如果每一间客房住9个人，那么就会多出来一间房，求这批住店的客人共多少人？
2．（25-26七年级·全国·寒假作业）隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？（选自《算法统宗》）
题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两．有多少个人？有多少两银子？
(1)假设人数为，请先填写下表，然后完成解答；
有关量 每人分7两 每人分9两
人数
分银子总量
银子总量
(2)请你换一种方法解决这个问题．
3．（2025七年级上·全国·专题练习）“曹冲称象”的故事取材于《三国志》，故事中称象方案是这样的：先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入块等重的条形石，并在船上留个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入块同样的条形石，船上只留个士兵，水位在标记位置不变．每块条形石的重量都是斤，设每个士兵的体重是斤．
(1)可列出等量关系：“块条形石的重量”“个士兵的体重”“______块条形石的重量”“______个士兵的体重”；
(2)求；
(3)象的重量是______斤．
1．（25-26六年级上·北京·阶段检测）现用140张白铁皮制作一批盒子，每张白铁皮可做18个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．设用张白铁皮制盒身，可以使盒身和盒底正好配套，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·山东临沂·二模）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2026·江苏盐城·一模）小明参加了一场1500米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了7.5分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25六年级上·天津红桥·期末）某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论：
①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多；
②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少；
③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，一个长方形被分割成9个大小不同的正方形，若图中最小正方形的边长为1，则图中阴影部分（即正方形B）的周长为（ ）
A．32 B．52 C．56 D．60
6．（2026·河北·一模）刺绣是中国民间传统手工艺之一，某刺绣工作室接到一个刺绣订单，林师傅单独完成这个订单需要天，比李师傅单独完成这个订单需要的天数少，如果两人合作___________天能完成这个订单．
7．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）为全面提升学生的安全防范意识与应急处置能力，筑牢校园安全防线，靖江市某中学组织安全意识知识竞赛，试题共20题，评分规则是答对一题得10分，不答或答错一题扣5分，聪聪得了125分，他答对了______题．
8．（25-26六年级上·河南南阳·期中）我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图所示给出了“九宫图”的部分，请推算的值是______．
9．（2026·河北沧州·二模）如图，一根长度为4个单位长度的木棒在数轴上水平滑动．木棒左端对应数轴上的点为，右端对应数轴上的点为．数轴上点对应的数为1，点，均在点的左侧．若点到点的距离是点到点距离的3倍，则点对应的数为__________．
10．（25-26七年级上·天津·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下：
阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/）
第一阶梯 不超过 3
第二阶梯 超过，但不超过 4
第三阶梯 超过的部分 7
（1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元；
（2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______；
11．（2026·安徽芜湖·一模）某果农通过直播平台销售自家种植的水蜜桃．已知5月份的售价为10元/千克，6月份的售价下降了10%，销售量比5月份增加了50%，求6月份销售额相对5月份销售额的增长率．（注：销售额＝售价×销售量）
12．（2026·贵州安顺·二模）刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择：
方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元．
方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元．
已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米．
请解答以下问题：
(1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费．
(2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？
13．（2026·宁夏中卫·一模）毛毡包因为实用美观，结实耐用，制作简单，广受欢迎．如图1，是一款形如长方体的毛毡包，其长、宽、高之比为，包带长为，宽为，(包带缝合处忽略不计)，该款毛毡包在制作时，需要为缝合走线的边预留宽距，包口四个边无需走线缝合，走线宽度不包含在包体的长宽高内．现有一块长比宽多的长方形毛毡料，因保存不当，部分受到污损，为了避免浪费，将未污损部分进行裁剪，恰好能制作一个上述尺寸的毛毡包，裁剪方式如图2(虚线为缝合时的走线位置)，求该毛毡包的长、宽、高分别是多少？
14．（25-26六年级上·河北张家口·期末）如图，已知A，B，C三地在同一直线上，，，甲、乙两人同时从A地出发，同向而行，分别前往B地和C地．

(1)若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达目的地．
①设甲的速度为，完成下表；
路程 速度 时间
甲 6 _______
乙 10 _______ _______
②求甲、乙的速度；
(2)若甲、乙的速度比是，其他条件不变，结果谁先到达目的地？请说明理由．
15．（25-26六年级上·山东烟台·期末）已知点M、N在数轴上，点M对应的数是最大的负整数，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点：
(1)求出点N所对应的数；
(2)若点P在M点左边，且点P到M、N的距离之和是6个单位长度，求点P所对应的数是多少？
(3)如果P、Q分别从点M、N同时出发，均沿数轴向右运动，点P每秒走2个单位长度，点Q每秒走3个单位长度，t秒后点P、Q之间的距离是70个单位长度，求t的值．
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第09讲 一元一次方程的应用（2大知识点+13大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 配套问题
典型例题二 工程问题
典型例题三 销售盈亏问题
典型例题四 比赛积分问题
典型例题五 方案选择问题
典型例题六 数字问题
典型例题七 几何问题
典型例题八 动点问题
典型例题九 和差倍分问题
典型例题十 电费和水费问题
典型例题十一 行程问题
典型例题十二 比例分配问题
典型例题十三 古代问题
知识点01 用一元一次方程解决问题
1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤
审：弄清题意和题目中的数量关系。
设：用字母表示题目中的一个未知量。
找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。
列：根据这个相等关系列出方程。
解：解所列的方程，求出未知数的值。
验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。
答：写出答案。
2．设未知数的三种方法：
直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。
间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。
设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。
【即时训练】
1．（25-26七年级上·山西大同·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意是每车坐3人，2车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐，问人数和车数各多少？甲、乙两位同学分别给出自己的解法：
甲：设有x辆车，根据题意，列出的方程是
乙：设有y人，根据题意，列出的方程是
下列说法正确的是（ ）
A．甲对乙不对 B．甲不对乙对
C．甲乙都对 D．甲乙都不对
【答案】A
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，设车辆，根据乘车人数不变，即可得出关于的一元一次方程，设有y人，车的数量不变即可得出关于的一元一次方程
此题得解．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：∵设车数为x，则人数为或，∴，故甲对．
∵设人数为，则车数为或，∴，故乙列方程错误．
综上所述：甲对乙不对．
故选：A．
2．（24-25七年级上·全国·课前预习）列方程解应用题的步骤
①审：审清题意
②设：设出合理的____
③找：找出相等关系
④列：列出方程
⑤求：求出方程的解
⑥验：检验答案是否正确
⑦答：作答
【答案】未知数
【解析】略
知识点02 一元一次方程应用题的常见类型
类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项
和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等
行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点
追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点
调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量
工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1
销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售
数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数
阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的
方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。
【即时训练】
1．（24-25七年级上·广东清远·期末）在古希腊，著名哲学家、数学家毕达哥拉斯和他的学生在阿提卡平原上步行相遇．毕达哥拉斯从雅典出发，向东而行，到达马拉松需要9小时，而他的学生从马拉松出发，向西而行，到达雅典需要7小时．请问他们同时出发到相遇，需要多少个小时？根据题意，假设x小时后相遇，可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设路程为，根据题意毕达哥拉斯的速度为，他的学生的速度为，设x小时后相遇，根据路程和为，列出方程，即可求解．
【详解】解：设x小时后相遇，根据题意可得，即
故选：C．
2．（2025·陕西咸阳·模拟预测）春节过后，一款哪吒盲盒受到了群众的喜爱．为了吸引顾客，某商店决定将一批进价为200元/个的哪吒盲盒涨价后又打折销售，每个盲盒仍可获利38元，则商店打______折销售．
【答案】八五
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设商店打折，根据题意，列式，进行计算，即可解答．
【详解】解：设商店打折，
依题意，
解得
即商店打八五折销售．
故答案为：八五
【典型例题一 配套问题】
【例1】（25-26七年级上·广东汕尾·期末）某车间有35名工人生产螺丝和螺母，每人每天可以生产1200个螺丝或1800个螺母．现有名工人生产螺丝，使得每天生产的螺丝和螺母数量恰好能按配套，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了列一元一次方程，找出等量关系，是解题的关键．根据配套比例，螺母数量应为螺丝数量的2倍. 生产螺丝的工人数为x人，则生产螺母的工人数为人，总螺丝数量为个，总螺母数量为个，据此列方程即可．
【详解】解：螺丝总数为，螺母总数为，且螺母数应为螺丝数的2倍，
∴，
即．
故选：C．
【例2】（24-25七年级上·云南昭通·期末）手工课老师组织学生制作圆柱形包装盒，一个包装盒需要一个侧面和两个底面．已知一张卡纸可以制作8个侧面或24个底面．手工老师提前准备好了40张卡纸，设用x张卡纸制作侧面，根据要求制成的侧面与底面需要刚好配套，则可列方程（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程．根据题意可知等量关系为：侧面的数量的2倍底面的数量，据此可列出一元一次方程．
【详解】解：设用x张卡纸制作侧面，则有张彩纸作底面，
由题意可得：
故选：B．
【例3】（24-25七年级上·全国·期末）在加固某段河坝时，需要动用15台挖土、运土机械，每台机械每小时能挖土或运土，挖出的土要及时运走，若安排x台机械挖土，则可列方程________．
【答案】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据已知表示出土方量是解题关键．
根据安排台机械挖土，则有台机械运土，台机械挖土的总数为，则台机械运土总数为，进而得出方程．
【详解】解：设安排台机械挖土，则有台机械运土，台机械挖土的总量为，则台机械运土总量为，
根据挖出的土要及时运走，得：．
故答案为：．
1．（24-25六年级下·山东东营·阶段检测）学校手工艺社团组织学生编织花朵，一朵花由1个花心和8个花瓣构成，已知手工艺社团共有人，据统计，每个学生一节课可以编织5个花心或个花瓣，问：安排多少人编织花心，才能使一节课编织出的花心和花瓣刚好配套？
【答案】安排人编织花心，才能使一节课编织出的花心和花瓣刚好配套
【分析】
本题考查了配套问题(一元一次方程的应用)，解题关键是找准等量关系．
先设安排x人编织花心，再根据“每个学生一节课可以编织5个花心或个花瓣”列出方程求解．
【详解】
解：设安排x人编织花心，则安排（30﹣x）人编织花瓣，
根据题意得：，
解得：．
答：安排人编织花心，才能使一节课编织出的花心和花瓣刚好配套．
2．（25-26六年级下·山东淄博·阶段检测）六年级一班共有学生人，其中男生人数比女生人数多人，劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身个或盒底个．
(1)六年级一班有男生和女生各多少人？
(2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
【答案】(1)
男生人，女生人
(2)
名
【分析】（1）设出女生人数，则可表示出男生人数，根据“全班总人数为人”列出一元一次方程，求解即可得到男女生人数；
（2）设出去支援女生的男生人数，则可表示出做盒身和做盒底的人数，根据配套要求“盒底总数量是盒身总数量的倍”列出一元一次方程，求解即可得到去支援的男生人数．
【详解】（1）解：设六年级一班有女生人，则男生有人，
根据题意得，
解得，
．
答：六年级一班有男生人，女生人；
（2）解：设有名男生去支援女生，才能使盒身和盒底刚好配套，此时做盒身的总人数为人，做盒底的总人数为人，
根据题意得，
化简得，
整理得，
解得．
答：有名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
3．（25-26六年级下·山东烟台·期中）完成如下项目式学习表
情境导入 随着人工智能大模型技术的飞速发展，智能眼镜正成为个人AI助理的重要载体．某科技公司推出一款全新智能眼镜——“灵镜”，它内置轻量级大模型芯片，支持语音交互、实时翻译、物体识别等功能，可以通过镜片上的微显示屏呈现信息．这款眼镜的生产分为两部分：A智能镜框：包含芯片、电池、传感器、镜片等核心部件；B智能镜腿：内置天线、扬声器、麦克风等通信模块，每副“灵镜”智能眼镜由1个智能镜框和2个智能镜腿组装而成．
产能配置 该科技公司现有45名技术工人，每人每天可以生产100个智能镜框或160个智能镜腿．
任务解决
(1)任务1：应如何安排工人，才能使每天生产的智能镜框和智能镜腿恰好配套？
(2)任务2：某店家以每副800元的价格购进“灵镜”后提高后标价．在寒假期间，店家打七折销售，售出的每一副“灵镜”的利润率是多少？
(3)任务3：该店家购进了100副“灵镜”，寒假期间售出了90副，若想在销售完这100副“灵镜”后总获利，则剩余的“灵镜”应打几折出售？
【答案】(1)安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套
(2)售出的每一副镜架的利润率是
(3)剩余的“灵镜”应打九折出售
【分析】（1）设安排名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据智能眼镜由1个智能镜框和2个智能镜腿组装而成，列出方程，解方程即可；
（2）根据利润率计算公式，进行计算即可；
（3）设剩余的镜架应打折出售，根据销售完这100副“灵镜”后总获利，列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设安排名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据题意得：
解得：，
（名），
答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套；
（2）解：根据题意得：
，
答：售出的每一副镜架的利润率是5%；
（3）解：设剩余的“灵镜”应打折出售，根据题意得：
，
解得：，
答：剩余的“灵镜”应打九折出售．
【典型例题二 工程问题】
【例1】（24-25七年级上·宁夏吴忠·期末）一项工程甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，甲先单独做天，然后两人合作天完成这项工程，则可列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：把整个工程的工作总量看作单位1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，
由题意得，．
【例2】（2026·河北石家庄·二模）现有一个水池，若单独打开甲进水管，1个小时可以注满水池；若单独打开乙进水管，个小时可以注满水池．若甲、乙两管同时打开，几个小时可以注满水池？设若甲、乙两管同时打开，个小时可以注满水池，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用工作效率=工作总量工作时间，将水池总量看作单位“1”，求出甲、乙的进水效率，再根据合作效率列方程求解．
【详解】解：将注满水池的总工作量看作单位1，
甲进水管1小时注满水池，因此甲的进水效率为1；
乙进水管b小时注满水池，因此乙的进水效率为；
甲、乙两管同时打开，小时注满水池，根据“工作效率工作时间=工作总量”，可得方程：
，
对式子化简求解：
，
．
【例3】（25-26七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）某中学的学生自己动手整修操场，七年级的学生说：“如果让我们单独工作，小时能完成”；八年级的学生说：“如果让我们单独工作，小时能完成．”现两个年级学生一起工作1小时，剩下的部分再让七年级单独完成需x小时，则所列方程为_______．
【答案】
【分析】本题主要考查了列一元一次方程，找到等量关系“七年级和八年级一起工作1小时完成的工作量加上七年级单独工作x小时完成的工作量等于总工作量”是解题的关键．
根据总工作量为1，七年级和八年级一起工作1小时完成的工作量加上七年级单独工作x小时完成的工作量等于总工作量，列出方程即可．
【详解】设总工作量为1，七年级的工作效率为，八年级的工作效率为，两个年级一起工作1小时完成的工作量为，七年级单独工作x小时完成的工作量为，
根据等量关系得：．
故答案为．
1．（25-26六年级下·上海静安·期中）王师傅小时加工个零件，照这样的速度，王师傅分钟可以加工多少个零件？
【答案】600
【分析】本题考查了一元一次方程，先统一单位，再根据题意列方程求解．
【详解】解：分钟小时小时，
设王师傅分钟可以加工个零件，
，
解得：．
答：王师傅分钟可以加工600个零件．
2．（25-26六年级上·全国·课后作业）根据题意列出方程（不必求解）：
(1)某班原分成两个小组进行课外体育活动，第一组26人，第二组22人．现根据学校活动器材的数量，要将第一组的人数调整为第二组的一半，应从第一组调多少人到第二组去？
(2)加工某种零件，师傅平均每小时做5个，徒弟平均每小时做4个，加工一盒零件，师傅比徒弟少用．问：一盒零件有多少个？
【答案】(1)设应从第一组调人到第二组去，所列方程为
(2)设一盒零件有个，所列方程为
【分析】（1）设所求未知量为未知数，再根据调整后第一组人数是第二组的一半，列出一元一次方程即可；
（2）设所求未知量为未知数，再根据师傅加工总时间比徒弟少，列出一元一次方程即可；
【详解】（1）解：设应从第一组调x人到第二组去，调动后第一组人数为，第二组人数为，根据题意第一组人数为第二组的一半得
．
（2）设一盒零件有个，徒弟加工完一盒零件的时间为，师傅加工完一盒零件的时间为，根据师傅比徒弟少用，得
．
3．（25-26七年级上·重庆·期末）列一元一次方程解决问题：
春联，俗称“门对”、“春贴”、“对联”、“对子”，雅称“楹联”，是中华民族传统民俗文化的重要组成部分，临近农历马年，某春联加工厂接到一项定制任务，要求12天完成．若由甲生产线单独生产，刚好按期完成：若由乙生产线单独生产，则将延期6天完成．
(1)实际生产过程中，先安排甲生产线单独生产几天，再安排甲、乙生产线同时生产，最终提前2天完成任务，请问先安排甲生产线单独生产了几天？
(2)已知甲生产线原来每天的生产成本为2万元，乙生产线原来每天的生产成本为万元，后来加工厂对生产工艺进行了升级改造，甲生产线每天的生产成本降低了，乙生产线每天的生产成本降低了万元．升级后，按（1）中的实际生产安排，甲、乙生产线的总成本为万元，请求出的值．
【答案】(1)7天
(2)20
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．
（1）先求出甲和乙的工作效率，设先安排甲单独生产了天，则甲生产了天，乙生产了天，根据效率乘以生产天数等于总量列方程求解即可；
（2）由（1）知甲生产了10天，乙生产了天，根据甲的生产天数×成本+乙的生产天数×成本=总成本列方程求解即可．
【详解】（1）解：设总工作量为“1”，
根据题意，甲每天可完成总工作量的，乙每天可完成总工作量的
设先安排甲单独生产了天，
则甲生产了天，乙生产了天，
∴
解得
答：先安排甲单独生产了7天；
（2）解：由（1）知甲生产了10天，乙生产了天，
∵甲生产线每天的生产成本降低了，乙生产线每天的生产成本降低了万元，
∴
解得
答：的值为20．
【典型例题三 销售盈亏问题】
【例1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某商品提价后，欲恢复原价应降低（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设原价为1，提价后的价格为，设应降低的百分比为 ，由恢复原价列方程求解．
【详解】解：设应降低的百分比为 ，
提价后的价格为 ，
由恢复原价，得 ，
，
．
故选：A．
【例2】（25-26七年级上·湖北宜昌·阶段检测）根据下面栗栗和小齐的对话，判断小齐买平板电脑的预算是（ ）
栗栗：小齐，你之前提到的平板电脑买了没？ 小齐：还没，它的售价比我的预算多1000元呢！ 栗栗：这台平板电脑现在正在打6折呢！ 小齐：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少500元！
A．2750元 B．3000元 C．4000元 D．4500元
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设小齐买平板电脑的预算是x元，则电脑售价为元，根据对话建立方程求解．
【详解】解：设小齐买平板电脑的预算是x元，则电脑售价为元，
根据题意得，
∴
∴小齐买平板电脑的预算是2750元．
故选：A．
【例3】（2026·陕西铜川·二模）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，已知某件商品的进价是元，若按该商品的标价打八折销售，仍可获利元，则这件商品的标价是_____元．
【答案】
【分析】设商品标价为元，根据题意列出方程，并求解即可．
【详解】解：设商品标价为元，
根据题意，可列方程：，
解得．
1．（25-26七年级上·云南昭通·期末）学校为“2025年校园艺术节”印制宣传册，某复印店的收费标准如下：
①印制册数不超过100 册时，每册2元；
②印制册数超过100册的部分每册按原价打八折；
学校在复印店印制宣传册花费360元，请问学校印了几本宣传册？
【答案】学校印了200本宣传册
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设印制册数为，根据花费360元可知，列方程求解即可．
【详解】解：设印制册数为，根据花费360元可知，
由题意可得，
解得，
答：学校印了200本宣传册．
2．（25-26六年级上·重庆·期中）列方程解应用题：
某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28元，利润率为40%；花肥进价每包2元，一包花肥的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720元，其中花肥的进货数量是金桔盆栽的2倍．
(1)花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？
(2)第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m元，进货数量增加了8盆，售价不变；花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4元，求m的值．
【答案】(1)30
(2)3
【分析】（1）先根据金桔盆栽的售价和利润率求出金桔的进价，再设金桔进货数量为未知数，根据总进货花费列方程求解；
（2）先求出花肥售价和第一次总利润，再根据题意表示出第二次的总利润，根据第二次总利润比第一次多76.4元列方程求解，验证条件后得到m的值．
【详解】（1）解：设金桔盆栽的进价为x元，
由题意得，
解得，
设花店第一次进货购进金桔盆栽y盆，则购进花肥包，
由题意得，
解得．
答：花店第一次进货购进了金桔盆栽30盆．
（2）解：由（1）得第一次购进花肥数量为（包），花肥售价为（元），
第一次总利润为（元），
第二次金桔盆栽进货数量为（盆），进价为元，第二次花肥进货数量为包，进价为2元，每卖一盆金桔赠送一包花肥，因此免费赠送38包，单独售卖的花肥数量为（包），
由题意得：，
整理得 ，
解得，
此时第二次花肥进货数量为，符合题意．
答：m的值为3．
3．（25-26七年级上·河南开封·期末）某天，水果经营户小莉花380元从水果批发市场批发了香蕉和哈密瓜共50千克，香蕉和哈密瓜当天的批发价和零售价如下表所示：
香蕉 哈密瓜
批发价（元／千克） 5 10
零售价（元／千克） 8 14
(1)小莉批发的香蕉和哈密瓜各有多少千克？
(2)当天香蕉和哈密瓜的总质量卖出一半，剩下按零售价打八折出售，最终当天小莉卖完这两种水果共赚118元，求打折后卖出的香蕉和哈密瓜各有多少千克？（不考虑其他支出）
【答案】(1)小莉批发的香蕉有24千克，批发的哈密瓜有26千克
(2)打折后卖出香蕉10千克，卖出哈密瓜15千克
【分析】（1）设小莉批发的香蕉有千克，则批发的哈密瓜有千克，根据题意列出一元一次方程，据此求解即可；
（2）设打折后卖出香蕉千克，则卖出哈密瓜千克，根据题意列出一元一次方程，据此求解即可．
【详解】（1）解：设小莉批发的香蕉有千克，则批发的哈密瓜有千克，
根据题意．得，
解得，
．
答：小莉批发的香蕉有24千克，批发的哈密瓜有26千克；
（2）解：（千克），
设打折后卖出香蕉千克，则卖出哈密瓜千克，
根据题意，得，
解得，
．
答：打折后卖出香蕉10千克，卖出哈密瓜15千克．
【典型例题四 比赛积分问题】
【例1】（25-26六年级上·河南安阳·期中）一次数学测试有25题，答对一题得4分，答错一题倒扣1分，明明答了全部试卷，得60分，他答对（　　）题．
A．20 B．19 C．18 D．17
【答案】D
【分析】设答对题数为未知数，根据得分规则列方程求解即可．
【详解】解：设明明答对题，则答错题，
根据题意得，
解得，
即答对17题．
【例2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）足球比赛的记分规则为：胜一场得3分，负一场得0分，平一场得1分．一个队打了8场比赛，只输了1场，共得17分，那么这个足球队胜了（ ）
A．3场 B．4场 C．5场 D．6场
【答案】C
【分析】解题关键是找准总得分的等量关系，即胜场得分平场得分负场得分总得分，设未知数后列方程求解即可．
【详解】解：设这个足球队胜了场，
∵该队共打8场比赛，只输了1场，
∴平的场数为，
根据总得分列方程得：
整理得 ，
解得 ，
因此这个足球队胜了5场．
【例3】（25-26七年级上·广东韶关·期末）某区举办了校园足球赛，比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得分．某校园足球队进行了场比赛，其中负2场，共得分，那么该足球队共胜了_______场．
【答案】5
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用(积分问题)，关键是根据比赛场次和积分规则，设未知数并列出方程求解．
【详解】解：设该足球队共胜了场，
∵总比赛场，负2场，
∴平的场次为场．
根据积分规则，总得分=胜场得分+平场得分+负场得分，
可得方程：，
解得：；
故答案为：5．
1．（24-25六年级上·云南昭通·阶段检测）某中学举办的中学生禁毒知识竞赛中共有20道题，每一道题答对得5分，答错或不答都扣2分，小红得了65分．求小红答对了多少道题？
【答案】小红答对了15道题
【分析】本题主要考查解一元一次方程，从题目中列出一元一次方程是解题的关键．
设小强答对了x道题，根据条件列出关于x的方程，解出即可．
【详解】解：设小红答对了道题．
依题意，列方程得，
解得．
答：小红答对了15道题．
2．（25-26七年级上·山东德州·期末）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5个参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
(1)参赛者得分，他答对了几道题？（请用方程作答）
(2)参赛者说他得分，你认为可能吗？为什么？
【答案】(1)
(2)不可能，理由见解析
【分析】本题考查了列一元一次方程的应用．
（1）设参赛者F答对了道题，答错了道题，根据答对的得分答错的扣分分建立方程求出其解即可；
（2）假设他得分可能，设答对了道题，答错了道题，根据答对题目的总分减去答错题目的总扣分分建立方程求出其解即可．
【详解】（1）根据表格，参赛者答对题得分，故每题答对得5分；
参赛者B答对题答错题得分，，，故答错一题扣1分
设参赛者F答对了道题，答错了道题，由题意，得，
，
解得：．
答：参赛者F得分，他答对了道题；
（2）假设他得分可能，设答对了道题，答错了道题，由题意，得，
，
解得：，
为整数，
参赛者说他得分，是不可能的．
3．（2025七年级上·全国·专题练习）列方程解应用题
某次篮球联赛积分榜如下表：
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
(1)根据积分榜，你知道胜一场、负一场各积多少分吗？为什么？
(2)是否存在某队，它的胜场总积分比它的负场总积分的3倍还多3分若存在，求出它的胜、负场次，并指出它是哪个队若不存在，请说明理由．
【答案】(1)胜一场积2分，负一场积1分；理由见解析
(2)胜9场，是蓝天队和光明队
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
（1）根据钢铁队即可得出负一场积1分，然后设胜一场积x分，根据其中一个球队列出方程即可求解；
（2）设该队胜y场，则负场，根据题意列出方程，求出该队的胜、负场次数即可求解．
【详解】（1）解：由钢铁队知，负一场得1分，
设胜一场得x分，
由前进队可列方程：，
解得：，
答：胜一场积2分，负一场积1分．
（2）解：设胜y场，
则，
解之得：，
∴存在，胜9场，则负场，
查表可知，该队是蓝天队和光明队．
【典型例题五 方案选择问题】
【例1】（2025七年级上·广东深圳·专题练习）某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设租用的49座客车有辆，根据所有49座客车刚好坐满可得师生总人数为人，根据54座客车比49座客车少租两辆且空余17个座位可得师生总人数为人，据此列出方程即可．
【详解】解：由题意得，，
故选：D．
【例2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）甲单位到药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位在同一药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位购买总价只相当于甲单位购买总价的，一箱消毒水多少元？设一箱消毒水为元，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知：甲单位花的钱数的乙单位花的总钱数，然后列出方程即可．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
【例3】（25-26七年级上·全国·期末）根据图中提供的信息，可知一把暖瓶的价格是_________．
【答案】35
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设一把暖瓶的价格为x元，则水杯的价格为元，根据买2把暖瓶3个水杯共需94元列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设一把暖瓶的价格为x元，则水杯的价格为元，由题意可得：
，
解得：
故答案为：35．
1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）学校开展社会实践活动，计划组织七年级学生开展一次“远足行”活动，去时步行，返回时坐车．小明在统计全体人数时发现：“若租用35座的客车要若干辆，且有3人没有座位坐；若租用40座的客车，则可以少租1辆，且有一辆空2个座位．”求租用35座的客车多少辆，学生共有多少人？
【答案】租用35座的客车9辆，学生共有318人
【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意得到等量关系是解题的关键．
设租用35座的客车x辆，根据无论租用35座的客车要若干辆，且有3人没有座位座；租用40座的客车，则可以少租1辆，且有一辆空2个座位，学生数不变列出方程，解方程即可．
【详解】解：设租用35座的客车辆，根据题意得：
．
解得，
人．
答：租用35座的客车9辆，学生共有318人．
2．（2026·广西南宁·一模）2026年1月1日起，某市持续实施新一轮消费补贴政策，涵盖汽车、家电、数码等领域．王叔叔家有一辆符合条件的旧车报废，根据政策，其购买新车可享受以下以旧换新补贴标准：
购买新车类型 补贴标准 最高补贴
新能源乘用车 新车售价的12% 20000元
2.0L及以下排量燃油乘用车 新车售价的10% 15000元
(1)按照以旧换新补贴标准，购买以下______车价格更低（填序号），并说明理由；
①售价16万元的新能源乘用车 ②售价16万元的2.0L排量燃油乘用车
(2)王叔叔计划在新能源乘用车A和2.0L排量燃油乘用车B之间选择一辆购买，计算后发现，购买其中任意一辆车可享受的补贴均未达到最高补贴，且补贴后的实际花费相等，若A车的售价比B车高3千元，请你求出A车和B车的售价各是多少万元？
【答案】(1)①；理由见解析
(2)A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元
【分析】（1）根据购买新车可享受的以旧换新补贴标准分别计算，比较后即可得到答案；
（2）设A车的销售价格为x万元，则B车的销售价格为万元，根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：①；
理由如下：
∵（万元），1.92万元2万元，
（万元），1.6万元1.5万元，
∴售价16万元的新能源乘用车补贴后实际花费为（万元）,
售价16万元的2.0L排量燃油乘用车补贴后实际花费为（万元），
∵14.08万元14.5万元，
∴购买①车价格更低；
（2）设A车的售价为x万元，则B车的售价为万元．
根据题意可列方程为，
解得，
∴（万元），
答：A车的售价是13.5万元，B车的售价是13.2万元．
3．（25-26六年级上·河南南阳·期中）南阳市作为中国月季之乡，月季产业是市区特色名片．某花卉公司收购了23吨南阳月季鲜花，用于加工特色花卉产品，该公司每天可粗加工4吨月季，或精加工1.5吨月季，同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须在7天内全部处理完毕．
该公司三种处理方式的获利情况如下表：
处理方式 每吨获利（元）
直接销售鲜月季花 500
粗加工制成月季干花 2500
精加工制成高端月季花茶 4000
公司设计了三种方案：
（1）全部进行粗加工；
（2）尽可能多地进行精加工，剩余月季直接销售；
（3）一部分精加工、一部分粗加工，恰好用7天完成全部处理．
请你通过计算，帮助该公司做决策，判断哪种方案获利最多．
【答案】方案3获利最多，可采用方案3
【分析】（1）因为已知每天粗加工量和总原料量，所以先验证7天能否完成粗加工，再根据每吨粗加工获利计算总获利．
（2）因为要尽可能多精加工，所以先计算7天精加工的总量，剩余原料直接销售，再分别计算两部分获利并求和．
（3）因为要恰好用7天完成粗加工和精加工，所以设粗加工天数为，精加工天数为，根据总原料量列方程求解天数，再计算对应加工量的总获利．最后将三种方案的获利金额进行对比．
【详解】方案1：全部粗加工，
所需时间为 天，
∵ ，
∴该方案可行，
获利：（元）．
方案2：尽可能精加工，
7天精加工：吨，剩余：吨，
获利：（元）．
方案3：设精加工x天，粗加工天，
，解得，
，
精加工：吨，粗加工：吨，
获利：（元），
．
∴方案3获利最多，可采用方案3．
【典型例题六 数字问题】
【例1】（25-26六年级上·河南鹤壁·阶段检测）用一元一次方程的知识，可以把无限循环小数化为分数，如：把化为分数，设，两边同乘，得，，即，移项，合并同类项，得，解得：，即，把化为分数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】仿照题目给出的方法，拆分整数部分与循环小数部分，设未知数列方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴．
【例2】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）如图，幻方是我国古代数学的杰出成果，三阶幻方（又称“洛书”）的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，如图是一个三阶幻方，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题的关键．根据题意列方程解答即可．利用幻方每行、每列、每条对角线之和相等的性质，通过第二列已知数值求和得到公共和，再代入第一行和求解．
【详解】解：∵ 第二列之和为，且幻方中每列、每行、每条对角线之和相等，
∴第一行之和为，
∴．
故选：C．
【例3】（24-25七年级上·全国·期中）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．如图就是一个三阶幻方，正方形的每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，在这个三阶幻方中，m的值为____．
2
5 7
m 6
【答案】8
【详解】解：根据题意得，，
解得．
1．（25-26六年级上·上海普陀·期中）已知一个数减去的差与3的积为，求这个数．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
设这个数为x，然后根据题意列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设这个数为x，由题意可得：
．
所以这个数是．
2．（25-26六年级上·河北廊坊·阶段检测）老师在黑板上写出算式：□◇要求在“□”与“◇”内填入整数．
(1)嘉嘉在“□”内填入，请帮他计算“◇”内填入的数字；
(2)淇淇说：“‘□’和‘◇’内可以填入两个相同的整数．”淇淇的说法对吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不对，理由见解析
【分析】（1）设“◇”中填入的数是，将算式转化为一元一次方程，进行求解即可；
（2）设“”和“◇”中填入的数字均是 y，将算式转化为一元一次方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：设“◇”中填入的数是，
由题意，得：，
解得：；
∴“◇”中填入的数是；
（2）淇淇的说法不正确，理由如下：
设“”和“◇”中填入的数字均是 y，
由题意，得：，
解得：，
即：“‘□’和‘◇’内不可以填入两个相同的整数，
∴淇淇的说法不正确．
3．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）定义：一个正整数（其中a，b，c，d均为小于10的非负整数）．若，m为整数，我们称x为“m倍数”．例如，，则称5923为“2倍数”；1940：，则称1940为“倍数”；2548：．因为不是整数，所以2548不是“m倍数”．
(1)直接判断3274和2961是否为“m倍数”，若是，直接写出m的值；
(2)若一个三位数x为“倍数”，且个位数字为7，判断这个三位数是否能被7整除，并说明理由；
(3)若一个四位数x既为“2倍数”又是“倍数”，直接写出这样的四位数x的最大值和最小值；
【答案】(1)3274不是“m倍数”，2961是“m倍数”，m为
(2)能，理由见解析
(3)最大值：9999；最小值：1010
【分析】（1）根据列方程求解，再判断是不是整数即可；
（2）由题意得，再根据“倍数”列方程求解即可；
（3）设，由四位数x既为“2倍数”又是“倍数”得到，，整理得到，，据此求最大值和最小值．
【详解】（1）解：∵，解得，不是整数，
∴不是“倍数”；
∵，解得，
∴是“倍数“，为
（2）解：为三位数，个位为，
∵一个三位数x为“倍数”，
∴
整理得：
这个三位数为：．
是整数．
这三位数能被整除．
（3）解：设，
∵四位数x既为“2倍数”又是“倍数”
∴，，
∴，
∴，，
∴四位数x最大值：9999；最小值：1010．
【典型例题七 几何问题】
【例1】（25-26七年级上·全国·期末）如果将铁丝做成的一个长、宽的长方形变成一个正方形，那么该正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正方形的边长为，根据铁丝长度不变，即长方形周长等于正方形周长，列方程求出，最后求面积．
【详解】解：正方形的边长为，
根据题意得
解得，
该正方形的面积为，
故选：C．
【例2】（25-26七年级上·全国·期末）用一个棱长为的立方体容器（已装满水）向一个长、宽、高分别是、和的长方体铁盒内倒水，当铁盒内装满水时，立方体容器中水的高度下降了（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程应用（几何问题），利用体积相等建立方程是解题的关键．
设立方体容器中水的高度下降了，利用从立方体容器中倒出的水的体积，恰好等于长方体铁盒的容积列方程解答即可．
【详解】解：设立方体容器中水的高度下降了，
根据题意得，
解得．
故选：B．
【例3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）实施乡村振兴战略是新时代“三农”工作总抓手，安徽作为农业大省，正在奋力推动乡村振兴走在全国前列．某村制定农户养殖奖励方案，每平方米每月补助金为10元．如图，王大爷计划利用长35米的竹篱笆，围成一个长边靠墙的长方形养鸡场，墙的长度为14米，围成的养鸡场的长比宽多2米，王大爷每月能领取养殖补助金为__________．
【答案】元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设垂直于墙的一边长为x米，则另一条边长为米，根据竹篱笆的总长为35米，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，则另一条边长为米，根据题意得：
，
解得：，
（米），
∵，
∴此时长方形符合题意，
（元），
答：王大爷每月能领取养殖补助金为1430元．
故答案为：1430元．
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知圆柱形容器A：内半径为4cm，高为16cm；圆柱形容器B：内半径为8cm，高为10cm．A容器中盛满水，B容器中没有水．将A容器中的水倒入B容器中，求此时B容器内水的高度．
【答案】此时B容器内水的高度是4cm
【分析】根据圆柱体积公式，利用水的体积不变建立方程即可求出容器内水的高度．
【详解】解：设此时B容器内水的高度是xcm．
根据题意，得，
解得．
故此时B容器内水的高度是4cm．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，掌握圆柱体积公式并列方程是解题的关键．
2．（2026·北京昌平·一模）油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨长度与长伞骨长度之比为，短伞骨与长伞骨连接点恰为长伞骨的三等分点，伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多．求这个油纸伞的伞柄长．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先理解题意，结合短伞骨长度与长伞骨长度之比为，设短伞骨长度为，则长伞骨长度为，又因为伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：设短伞骨长度为，
则长伞骨长度为，
依题意，得，
解得，
∴．
答：这个油纸伞的伞柄长．
3．（2026·山西临汾·二模）网球是一项奥林匹克运动，适用于社会各阶层和各个年龄段．网球场分为单打区和双打区，其平面示意图如图所示，全部区域为双打区，阴影区域为单打区，按照国际尺寸标准：单打区的长、宽分别为78英尺、27英尺，底线到发球线的距离与发球线到球网的距离的比为，单打边线到双打边线的距离是底线到发球线的距离的，求双打区的宽．
【答案】双打区的宽为36英尺
【分析】设底线到发球线的距离为，发球线到球网的距离为，根据题意列出，求出单打边线到双打边线的距离为英尺，再由双打区的宽等于单打区的宽加上两侧单打边线到双打边线的距离求出答案即可．
【详解】解：设底线到发球线的距离为，发球线到球网的距离为，
由题意可得：，
解得，
故底线到发球线的距离为英尺，
单打边线到双打边线的距离是底线到发球线的距离的，即英尺，
双打区的宽等于单打区的宽加上两侧单打边线到双打边线的距离：英尺，
答：双打区的宽为36英尺．
【典型例题八 动点问题】
【例1】（25-26七年级上·河南焦作·期末）在数轴上，点向右移动1个单位长度得到点，点向右移动2个单位长度得到点，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数，且这三个数的和与其中一个数相等，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查的是有理数的乘法、一元一次方程、数轴，根据数轴、结合题意设的值为，分情况列出方程，解方程即可．
【详解】解：设的值为，则的值为，的值为，
当时，，
，，，
，不合题意；
当时，，
，，，
，不合题意；
当时，，
，，，
，符合题意，
故选：B．
【例2】（25-26七年级上·广西崇左·期末）如图所示，甲、乙两动点分别从边长为12个单位长度的正方形的顶点A，C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向以每秒1个单位长度环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第1次相遇的时间为（ ）
A．4秒 B．5秒 C．4.8秒 D．5.8秒
【答案】C
【分析】本题主要考查一次方程的应用，甲的速度为每秒1个单位长度，则乙的速度为每秒4个单位长度，正方形的边长为12，第一次需要t秒相遇，根据题意列方程得出t的值即可．
【详解】解：设第一次需要t秒相遇，
根据题意得，
解得，
∴它们第1次相遇的时间为秒，
故选：C．
【例3】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，长方形中，，，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿向终点匀速运动，动点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点匀速运动．若点，点同时出发，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两点运动的时间为秒，当时，则的值为______．

【答案】或3
【分析】本题考查了列代数式求解和解一元一次方程的相关知识，掌握以上知识是解题的关键；
本题需要分两种情况讨论点在上和点在上，然后分别列出和的代数式，根据，然后即可求解；
【详解】解：通过审题，存在两种情况：①点在上；②点在上；
①当点在上时，
∵，
∴，
∵，，
∴，
解得：；
当点在上时，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
解得：；
综上所述：或3；
故答案为：或3．
1．（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）已知，动点A在数轴上以不变的速度向右运动，同时，动点B在数轴上以不变的速度向左运动，运动规律如下表：
运动时间（s） 0 1 4 9 ……
点A表示的数 2 ____ ____ ……
点B表示的数 ____ ___ ……
(1)补全表格中的数据；
(2)当运动时间为时，求之间的距离．
【答案】(1)；；；
(2)
【分析】本题考查了数轴，运用数形结合和方程思想是解题的关键．
（1）根据路程，速度和时间的关系求解即可；
（2）根据两点之间的距离公式求解即可．
【详解】（1）由表格可知，点初始时在数字处，
点A的移动速度为，
秒时的数字为，
秒时的数字为，
点B的移动速度为，
点向左移动，秒时数字为，
秒时数字为，
秒时的数字为，
（2）点A的移动速度为，点B的移动速度为，
当运动时间为时，点A表示的数为，点B表示的数为，
所以之间的距离为．
2．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）如图，点A、B都在数轴上，O为原点，点A在原点O的右侧，点B在原点O的左侧，且O，A两点间的距离为2个单位长度，A，B两点间的距离为6个单位长度．
(1)分别求出点A和点 B对应的数；
(2)点M以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿数轴向右运动，运动时间为t秒，当点M与点A之间的距离为4个单位长度时，求t的值；
(3)对折数轴，使数轴上点A与点B重合，求同时与 对应的点重合的点对应的数．
【答案】(1)点对应的数为2，点表示的数为
(2)的值为1或5
(3)同时与对应的点重合的点对应的数
【分析】题目主要考查数轴上的点的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．
（1）根据题意直接求解即可；
（2）分两种情况：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别求解即可；
（3）设线段的中点为，点所对应的数为，得出，设点所表示的数为，与表示的点重合，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可知：，
∴点对应的数为2，
，
∴点表示的数为；
（2）当点在点左侧时，，
解得；
当点在点右侧时，，
解得．
综上所述，当点与点之间的距离为4个单位长度时，的值为1或5；
（3）设线段的中点为，点所对应的数为，
∵对折数轴，使数轴上的点与点重合，
∴，
∴，
解得：，
设点所表示的数为，与表示的点重合，
∴点是线段的中点，
∴，
∴，
解得：．
答：同时与对应的点重合的点对应的数．
3．（24-25七年级上·广西南宁·期中）【知识背景】在数学中，可以用一条直线上的点表示数，我们把这条直线叫做数轴；数轴要满足以下要求：
（1）在直线上任取一点表示0，这个点叫做原点；
（2）通常情况下，从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；
（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示为1，2，3…；
例如点表示的数为4，是从原点向右移动4个单位长度得到的；点表示的数为7，是由表示的数为9的点向左移动2个单位长度得到的．
【知识应用】若点表示的数是10，向右移动8个单位长度得到的数是_________；同时，点也可以看成是12向_________（“左”或“右”）移动_________个单位得到的．
【拓展提升】如图，从原点出发，以每秒4个单位的速度向右匀速运动，点表示的数是8，在出发的同时，以每秒2个单位的速度向右匀速运动．
①几秒后和重合？
②出发秒后与相距4个单位长度，请直接写出此时的值．
【答案】18，左，2；①4，②6或2
【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，实际问题与一元一次方程 ；
根据数轴上点的移动规律：向右移动，数值增大；向左移动，数值减小，来求解即可．
①分别表示出E，F的位置，列式，计算求解即可；
②根据题意列出距离方程：，分两种情况解方程即可．
【详解】解：∵点F表示的数是10，向右移动8个单位长度，
∴；
点F可看作由12移动得到，
12到10的距离为：；
因数值减小，方向为向左，移动2个单位．
故答案为：18，左，2；
【拓展提升】①E的位置：从原点出发，速度4单位/秒，时间为t秒，位置为．
F的位置：从数8出发，速度2单位/秒，位置为；
重合条件：，
解得：秒；
答：4秒后和重合．
②距离方程：，
化简得
分情况解方程：
，
；
，
；
答：t的值为6或2．
【典型例题九 和差倍分问题】
【例1】（25-26六年级下·山东淄博·阶段检测）某班1组的同学参加植树活动，如果每人种12棵，则剩下8棵树苗未种，如果每人种14棵，则缺8棵树苗，这个小组的人数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】利用树苗总数量不变的等量关系，设小组人数为未知数，列一元一次方程求解即可．
【详解】设这个小组的人数为，
∵树苗的总棵数固定不变，
∴根据题意列方程得.
解得.
∴这个小组的人数为8．
【例2】（2026·广西南宁·三模）钢琴素有“乐器之王”的美称．如图，键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，其中白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数．设黑色琴键为个，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设黑色琴键为个，根据白色琴键比黑色琴键多16个，表示出白色琴键个数，再根据总数为88列方程即可．
【详解】解：∵设黑色琴键为个，且白色琴键比黑色琴键多16个，
∴白色琴键有个，
∵键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，
∴．
【例3】（25-26六年级下·山东烟台·期中）小明的爸爸今年40岁，爸爸比小明年龄的2倍还大12岁，小明今年的岁数是___________．
【答案】14
【分析】设小明今年的岁数是x，根据爸爸比小明年龄的2倍还大12岁列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案．
【详解】解：设小明今年的岁数是x，
则，
答：小明今年的岁数是14岁．
1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）爸爸比儿子大岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的倍，求父子二人今年各是多少岁？（用一元一次方程解答）
【答案】爸爸今年岁，儿子今年岁
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．
设今年儿子的年龄为岁，则爸爸的年龄是岁，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设今年儿子的年龄为岁，则爸爸的年龄是岁，
根据题意，得，
解得，
所以（岁），
答：爸爸今年岁，儿子今年岁
2．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）学校组织植树活动，已知在甲地植树的有18人，在乙地植树的有7人，在丙地植树的有5人，现调40人去支援，
(1)若前往支援的地点只有甲地和乙地，要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，那么应调往甲、乙两地各多少人？
(2)若甲、乙、丙三地都需要支援，其中调往丙地的人数比调往乙地人数的2倍少1人，要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，那么应调往甲、乙、丙地各多少人？
【答案】(1)
调往甲地34人，调往乙地6人
(2)
调往甲地17人，调往乙地8人，调往丙地15人
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．正确理解题意是解题的关键．
（1）设应该调往甲地人，则调往乙地人，根据要使在甲地植树的人数是乙地植树人数的4倍，列方程求解即可；
（2）设应该调往乙地人，则调往丙地人，调往甲地人，根据要使在甲地植树的人数恰好等于在乙地和丙地植树人数之和，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设应该调往甲地人，则调往乙地人，
根据题意，得，
解得，
则（人）
答：调往甲地34人，调往乙地6人；
（2）解：设应该调往乙地人，则调往丙地人，调往甲地人，
根据题意，得，
解得，
则（人），（人）
答：调往甲地17人，调往乙地8人，调往丙地15人．
3．（25-26七年级上·山东德州·期末）为推进全民健身，某机构推出了“全民捐步公益行”活动：参与者可根据一天中走路的步数，给公益事业捐款．
(1)观察如图小亮和小明的对话，请计算每捐步，相当于捐款多少元；
(2)某天，小亮和小明二人共同捐款6元，已知小亮的步数比小明的2倍少步，求小亮当天走了多少步？
【答案】(1)元
(2)步
【分析】本题考查了有理数的四则混合运算的应用、一元一次方程的实际应用，关键是通过步数与捐款的数量关系建立等式，解决实际问题．
（1）根据两人的对话列算式求解即可．
（2）先根据第一问的结果确定每步捐款元，再设小明当天走了步，用含的式子表示小亮的步数；最后根据“两人共同捐款6元”的等量关系，列出一元一次方程，解方程求出后，再计算小亮的步数．
【详解】（1）解：根据题意，（元），
答：每捐步相当于捐款元．
（2）解：设小明当天走了步，则小亮走了步．
根据题意，得，
化简得，解得．
因此小亮的步数为步．
答：小亮当天走了步．
【典型例题十 电费和水费问题】
【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过的，每吨2元；超过的部分，每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
利用应缴水费超出10吨的部分，即可得出关于的一元一次方程，此题得以解决．
【详解】解：由题意，得：
解得：．
故选：D ．
【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设他家这个月共用天然气，先计算出用天然气的费用是150元，可知他家这个月用天然气超过，超过的部分所需费用为元，根据题意列出方程，解方程求出x的值即可．
【详解】解：设他家这个月共用天然气，
（元），且，
他家这个月用天然气超过，
根据题意得：，
解得，
答：他家这个月共用天然气，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解决本题的关键是正确地用代数式表示用天然气超过部分所需的费用．
【例3】（25-26七年级上·重庆·期中）为提倡人们节约用水，自来水公司分段收费标准如下：每户每月用水5吨以下（包含5吨）缴水费12.5元；超过5吨的部分，每吨3.2元．小强家4月份的应缴水费34.9元，则4月份的用水量为_____________吨．
【答案】12
【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系正确列式是关键，根据题意得到小强家4月份的用水量超过5吨，设小强家4月份的用水量为吨，由此列式求解即可．
【详解】解：∵，
∴小强家4月份的用水量超过5吨，
∴设小强家4月份的用水量为吨，
∴，
解得，，
∴小强家4月份的用水量为吨，
故答案为：12 ．
1．（24-25七年级上·山东济宁·阶段检测）某地居民生活用电基本价格为元/度．规定每月基本用电量为a度，超过部分电量的每度电价比基本用电量的每度电价增加收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，求a的值？
【答案】
【分析】本题考查考查一元一次方程的实际应用，根据5月份用电100度，共交电费56元，列出方程进行求解即可．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
解得：．
2．（25-26七年级上·全国·寒假作业）一种蔬菜在某市场上的批发价格如：
购买数量 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上
价格 5元/千克 4元/千克 3元/千克
已知小明两次购买了此种蔬菜共70千克（第二次购买数量多于第一次）．
(1)若第一次购买15千克，第二次购买55千克，则两次总费用为 元；
(2)若两次购买蔬菜的总费用为236元，求第一次、第二次分别购买此种蔬菜多少千克？
【答案】(1)240
(2)第一次购买13千克，第二次购买57千克或第一次购买26千克，第二次购买44千克
【分析】本题考查一元一次方程的应用，找出等量关系，进行分类讨论是解题的关键；
（1）根据总费用等于两次费用之和计算即可；
（2）设第一次购买x千克，则第二次购买千克，根据图表中购买数量与价格的关系分类讨论即可．
【详解】（1）解：总费用为：（元）；
（2）解：设第一次购买x千克，则第二次购买千克，
①若第一次购买不超过20千克，第二次购买40千克以上，
由题意得：，
解得，
∴第二次购买（千克），
②若第一次购买20千克以上但不超过40千克，第二次购买也为20千克以上但不超过40千克，
由题意得：，
方程无解；
③若第一次20千克以上但不超过40千克，第二次购买40千克以上，
由题意得：，
解得，
∴第二次购买（千克），
答：第一次购买13千克，第二次购买57千克或第一次购买26千克，第二次购买44千克．
3．（25-26六年级上·全国·课后作业）某城市为了鼓励市民节约用水，对水费采用分段收费．若居民每月应交水费（单位：元）与用水量（单位：）之间的关系如下图所示，根据图中信息回答下列问题：
(1)该市自来水收费，当每户使用不足时，每吨收费__________元；当超过时，超出部分每吨收费__________元．
(2)若某户居民月用水，那么应交水费__________元．
(3)若某月交水费17元，则该户居民月用水多少吨？
【答案】(1)2；3.5
(2)7
(3)该户居民月用水
【分析】本题考查了分段函数的实际应用，熟练掌握分段函数的相关知识是解题的关键．
(1)根据图象即可得到不足时每吨水的价钱以及超过5吨时每吨的价钱;
(2)根据第一问得到的信息直接计算即可；
(3)先根据图象求得分段函数解析式然后令即可．
【详解】（1）解：由图可得:不足5吨时;(元/吨)
超过5吨时: (元/吨)
（2）解：∵
∴(元)
（3）（3）由图可得
，
把代入，
解得．
故该户居民月用水．
【典型例题十一 行程问题】
【例1】（25-26六年级上·河南周口·期中）某同学跑步训练，先匀速慢跑，再加速冲刺，冲刺路程为200米，若设时间为x分钟，路程关系式满足方程，该方程解的实际意义是（ ）
A．匀速慢跑的速度大小 B．匀速慢跑的训练时间 C．总路程 D．剩余距离
【答案】B
【分析】题目已定义x为时间，解一元一次方程得到x的值，结合变量定义即可判断解的实际意义．
【详解】解：原方程为，
解得：．
∵题目中明确x代表时间（单位：分钟），
∴该方程的解的实际意义是对应匀速慢跑的训练时间．
【例2】（25-26七年级上·河北张家口·期末）嘉嘉和琪琪两人在400米的环形跑道上练习长跑，嘉嘉每分钟跑200米，琪琪每分钟跑300米，两人起跑时站在跑道同一位置，若嘉嘉起跑后1分钟琪琪开始反向跑，那么琪琪起跑后（ ）分钟后两人首次相遇
A．0.4 B．0.8 C．1.2 D．1.4
【答案】A
【分析】此题重点考查一元一次方程的应用．嘉嘉先跑1分钟，琪琪后反向跑，设琪琪起跑后t分钟相遇，根据反向跑相遇条件，两人路程和等于跑道长400米，列方程求解．
【详解】解：设琪琪起跑后t分钟两人首次相遇，则嘉嘉跑的时间为分钟，
依题意得，
解得，，
∴琪琪起跑后分钟两人首次相遇．
故选：A．
【例3】（25-26七年级上·天津和平·阶段检测）两村相距30千米，甲、乙两人从两村出发，相向而行，甲每小时行4千米，乙每小时行3千米，甲先出发1小时后，乙才出发，当他们相距6千米时，乙行驶了____小时．
【答案】或
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用中的行程问题，关键是分“相遇前相距6千米”和“相遇后相距6千米”两种情况，利用路程=速度×时间的关系列方程求解．
【详解】解：设乙行驶了小时，则甲行驶的时间为小时．
甲的路程为千米，乙的路程为千米．
两人相向而行，相距6千米分两种情况：
①相遇前相距6千米：此时两人路程和为千米，
故，解得；
②相遇后相距6千米：此时两人路程和为千米，
故，解得．
故答案为：或．
1．（25-26七年级上·河南信阳·期末）周末，小明骑自行车从家出发去郊外的湿地公园游玩，平均速度为．1小时后，爸爸发现小明忘带了野餐垫，于是爸爸开车从家出发沿同一路线追赶，爸爸开车的平均速度为．求爸爸多久后能追上小明？
【答案】爸爸后能追上小明
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
设爸爸开车后能追上小明，根据题意列出方程，求出的值即可解答．
【详解】解：设爸爸开车后能追上小明，
根据题意，得，
解得，
答：爸爸后能追上小明．
2．（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）A、B两地相距600千米，一列慢车从A地开出，每小时行驶80千米，一列快车从B地开出，每小时行驶120千米，两车同时开出．
(1)若相向而行，出发后多少小时相遇？
(2)若相背而行，多少小时后，两车相距800千米
【答案】(1)若相向而行，出发后3小时相遇．
(2)若相背而行，1小时后，两车相距800千米．
【分析】（1）设出发后x小时相遇，根据题意易得，然后进行求解即可；
（2）设y小时后两车相距800千米，根据题意易得，然后进行求解即可．
【详解】（1）解：设出发后x小时相遇，根据题意得：
．
解得：；
答：若相向而行，出发后3小时相遇．
（2）解：设y小时后两车相距800千米，根据题意得：
．
解得：
答：若相背而行，1小时后，两车相距800千米．
3．（2026·北京·二模）列方程解决实际问题：某条城际铁路线从西往东依次有A，B，C三个车站，每天上午均有两个车次的列车从A站驶往C站，其中次列车从A站始发，经停B站后到达C站，次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行时刻的相关信息如表所示．已知次列车的行驶速度为千米/时，求次列车的行驶速度．
车次 A站 B站 C站
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
途经B站，不停车
【答案】千米/时
【分析】设次列车的行驶速度为x千米/时，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：根据题意得：次列车的行驶时间为（小时），
次列车的行驶时间为（小时），
设次列车的行驶速度为x千米/时，根据题意得：
，
解得：，
答：次列车的行驶速度为288千米/时．
【典型例题十二 比例分配问题】
【例1】（24-25七年级上·天津北辰·期中）把一根木料锯成段要分钟，以同样的速度锯成段要分钟，正确的列式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程，锯成段需要锯次，锯木料的时间与锯的次数成正比可得比例关系．
【详解】∵锯成段需锯：（次），用时分钟，
∵锯成段需锯（次），用时分钟，
由于每次锯木料的时间是固定的，根据锯木料的时间与锯的次数成正比，可得比例关系：
，
故选：B．
【例2】（25-26七年级上·河北邯郸·期中）一种石灰与水混合后的石灰浆，石灰与水的质量比是．现在向石灰浆中加入120千克水，要使石灰与水的质量比不变，还应加入（ ）千克石灰．
A．150 B．90 C．80
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用：比的应用，解题的关键是：根据题意，设应加入x千克石灰，根据石灰与水的质量比是，列出比例，解方程即可．
【详解】解：根据比例关系，设原有石灰和水的质量分别为和千克，加入120千克水后，总水量变为千克，设需加入x千克石灰，使石灰与水的质量比不变，根据题意得：
，
解这个方程得：，
要使石灰与水的质量比不变，还应加入90千克石灰，
故选：B．
【例3】（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是______．
【答案】②③
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，考查列方程解应用题的能力，寻找相等关系是关键．根据总的人数不变及总的客车数量，分别列方程，然后逐一判断即可．
【详解】解：根据人数相等列方程为：；
根据车数相等列方程为：，
即正确的是②③，
故答案为：②③．
1．（25-26七年级上·全国·课后作业）某农户为消灭棉田中的害虫，需配制一种药水．已知这种药水中药液与水的质量比为．配制这种药水，需要多少千克的这种药液？
【答案】10千克
【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．根据药液与水的质量比为，可得出药液在药水中的比例，进而计算所需药液质量．
【详解】解：药液与水的质量比为，则药液与药水的质量比为，
设需要药液质量为千克，则药水质量为千克，
由题意，，
解得．
答：需要10千克的这种药液．
2．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）为增强学生的社会实践活动能力，某校组织七年级全体师生进行研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有40人没有座位；若租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆290元，70座客车租金为每辆450元，问：
(1)原计划租用多少辆45座客车？该校七年级师生共多少人？
(2)若租用同一种客车，要使每名师生都有座位，应该怎样租车才合算？
【答案】(1)原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人
(2)租用7辆70座客车合算
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，列式计算．
（1）设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人，根据“租用同样数量的70座客车，则多出3辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出原计划租用45座客车的数量；
（2）利用总租金=每辆车的租金×租用数量，可分别求出租用45座及70座客车所需总租金，比较后即可得出租用7辆70座客车合算．
【详解】（1）解：设原计划租用x辆45座客车，则这批学生的人数是人，
依题意得：，
解得：，
∴．
答：原计划租用10辆45座客车，该校七年级师生共490人；
（2）解：租用45座客车所需费用为（元），
租用70座客车所需费用为（元）．
∵，
∴租用7辆70座客车合算．
3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题：
冰箱类型 A B C
购进的台数（台） 8 6
每台冰箱的销售价（元） 2000 3000
(1)商场购进A型号冰箱__________台；
(2)每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜．
①每台C型号冰箱的销售价是__________元；
②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数）
【答案】(1)6
(2)①2500；②1900元，；
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，百分数应用题，比的应用，读懂题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
（1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解；
（2）①设C型冰箱销售价为元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可；②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用C的售价减去成本再除以成本得到盈利率得出答案．
【详解】（1）解：A型号冰箱购买了（台）；
故答案为：6．
（2）解：①设C型冰箱销售价为元，
根据题意得，
解得，
故答案为：2500；
②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，
根据题意得，，
解得，
（元），
每台C型号冰箱的盈利率为：，
答：每台C型号冰箱的成本价是1900元，每台C型号冰箱的盈利率是．
【典型例题十三 古代问题】
【例1】（2026·重庆大足·一模）苏轼贬谪黄州期间，常与友人煮茶论道．后人据此推演得一趣题：雪堂之内，苏轼汲水煎茶．若将壶中茶汤分注于盏，每盏盛5分，则壶中余3分；若每盏盛6分，则壶中尚缺4分方满．设雪堂内共有茶盏x只，下列方程中能正确反映壶中茶汤总量的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据茶汤总量不变列方程即可．
【详解】解：由题意，设茶盏有x只，
∵每盏盛5分，则壶中余3分，
∴茶汤总量，
∵每盏盛6分，则壶中尚缺4分方满，
∴茶汤总量，
∵茶汤总量不变，
∴．
【例2】（25-26六年级下·山东东营·阶段检测）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：鸡笼里有鸡也有兔，从上面看有35个头，从下面看有94只脚，请问笼中有多少只鸡？多少只兔？这是出自我国《孙子算经》中著名的“雉（鸡）兔同笼”问题，设有x只鸡，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】找准等量关系，正确表示兔子数量和总脚数即可．
【详解】解：∵设有只鸡，总头数为，每只动物只有个头，
∴兔子的数量为只，
∵每只鸡有只脚，每只兔有只脚，总脚数为，总脚数等于鸡的脚数加兔的脚数，
∴列方程得．
【例3】（2026·陕西榆林·一模）中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；劣田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、劣田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今买良、劣田共1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？设良田有x亩，则可列方程为________．
【答案】
【分析】设良田有亩，劣田有亩，根据“今并买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱”，即可列出关于的一元一次方程．
【详解】解：设良田有亩，劣田有亩，
根据题意得：．
1．（25-26七年级上·福建福州·阶段检测）我国古代数学著作《算法统宗》中有一首诗的大意为：有一批客人去住店，如果每一间客房住7个人，那么就有5个人没有房住；如果每一间客房住9个人，那么就会多出来一间房，求这批住店的客人共多少人？
【答案】
这批住店的客人共人．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设间房有x间，根据每一间客房住7个人，那么就有5个人没有房住；每一间客房住9个人，就会多出来一间房，列方程求解即可．
【详解】解：设间房有x间，根据题意得，
解得，
则（人）．
答：这批住店的客人共人．
2．（25-26七年级·全国·寒假作业）隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？（选自《算法统宗》）
题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两．有多少个人？有多少两银子？
(1)假设人数为，请先填写下表，然后完成解答；
有关量 每人分7两 每人分9两
人数
分银子总量
银子总量
(2)请你换一种方法解决这个问题．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，先结合每人分9两，得出每人分银子总量，银子总量为，再列出方程，进行计算，即可作答．
（2）理解题意，设有两银子，再列出方程，进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，
有关量 每人分7两 每人分9两
人数
分银子总量
银子总量
∴，
∴，
解得，
，
∴有个人，有两银子；
（2）解：设有两银子，
根据题意得，
∴，
∴，
∴，
则，
∴有个人，有两银子．
3．（2025七年级上·全国·专题练习）“曹冲称象”的故事取材于《三国志》，故事中称象方案是这样的：先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入块等重的条形石，并在船上留个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入块同样的条形石，船上只留个士兵，水位在标记位置不变．每块条形石的重量都是斤，设每个士兵的体重是斤．
(1)可列出等量关系：“块条形石的重量”“个士兵的体重”“______块条形石的重量”“______个士兵的体重”；
(2)求；
(3)象的重量是______斤．
【答案】(1)，
(2)的值是
(3)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据船上条形石块的重量和士兵的个数找到相等关系．
(1)根据船上留个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入块同样的条形石，船上只留个士兵，水位在标记位置不变，可知相等关系是块条形石的重量个士兵的体重块条形石的重量个士兵的体重；
(2)根据(1)中的相等关系列方程求解即可；
(3)根据条形石块的重量和士兵的重量求出大象的重量．
【详解】（1）解：船上留个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入块同样的条形石，船上只留个士兵，水位在标记位置不变，
块条形石的重量个士兵的体重块条形石的重量个士兵的体重,
故答案为：，；
（2）解：设每个士兵的体重是斤，
根据题意可得：，
解得：；
（3）解：由(2)可知一个士兵的体重是斤，
大象的体重是(斤)，
答：大象的重量是斤，
故答案为：6020．
1．（25-26六年级上·北京·阶段检测）现用140张白铁皮制作一批盒子，每张白铁皮可做18个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．设用张白铁皮制盒身，可以使盒身和盒底正好配套，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据配套关系找等量关系即可列方程.总铁皮共140张，张制盒身，剩余张制盒底，根据一个盒身配两个盒底的要求，得到盒身与盒底的数量比为，即可列出方程．
【详解】解：设用张白铁皮制盒身，
∵总铁皮共140张，
∴制盒底的铁皮数量为张，可得盒身总数量为，盒底总数量为 ，
又∵一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，即盒身数量与盒底数量的比为，
∴可列方程．
2．（2026·山东临沂·二模）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用“总利润=每套利润×购买套数”表示出两种方案的总利润即可列方程。
【详解】解：设每套课桌椅的成本为元，
原订购60套，每套售价100元，每套利润为元，
原方案总利润为元；
实际购买72套，每套减价3元，实际每套售价为元，每套利润为元，
实际方案总利润为元，
两种方案利润相同，
列方程得．
3．（2026·江苏盐城·一模）小明参加了一场1500米的跑步比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以3米/秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了7.5分钟，设小明以4米/秒的速度跑了x米，则列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据两段跑步的总时间等于总用时建立方程.
【详解】解：∵设小明以米/秒的速度跑了米，总路程为米，
∴剩下的路程为米，
∴以米/秒跑米的时间为秒，以米/秒跑剩下路程的时间为秒，
∵总用时为分钟，需统一单位为秒，即总时间为秒，
∴根据总时间的等量关系可列方程.
4．（24-25六年级上·天津红桥·期末）某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论：
①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多；
②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少；
③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．
通过建立方程比较两种付费方式在不同条件下的总费用或次数，逐一验证各结论的正确性即可．
【详解】解：结论①：设方式一的游泳次数为，则总费用为，解得．方式二的次数为．因，结论①错误．
结论②：游泳25次时，方式一总费用为元，方式二为元．因，结论②错误．
结论③：设游泳次数为，由，解得．此时两种方式费用相等，结论③正确．
综上，正确结论仅1个，
故选：B．
5．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，一个长方形被分割成9个大小不同的正方形，若图中最小正方形的边长为1，则图中阴影部分（即正方形B）的周长为（ ）
A．32 B．52 C．56 D．60
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设正方形D的边长为x，则正方形的边长为，正方形B的边长为，正方形G的边长为，正方形F的边长为，正方形H的边长为，正方形E的边长为，正方形的边长为，根据长方形对边相等列出方程，解方程即可．
【详解】解：如图，设正方形D的边长为x，则正方形的边长为，正方形B的边长为，正方形G的边长为，正方形F的边长为，正方形H的边长为，正方形E的边长为，正方形的边长为，
∵长方形的对边相等，
∴，
解得：，
∴正方形B的边长为，
∴正方形B的周长为．
故选：D．
6．（2026·河北·一模）刺绣是中国民间传统手工艺之一，某刺绣工作室接到一个刺绣订单，林师傅单独完成这个订单需要天，比李师傅单独完成这个订单需要的天数少，如果两人合作___________天能完成这个订单．
【答案】
【分析】先将李师傅单独完成订单的天数看作单位，根据林师傅的工作时间求出李师傅单独完成需要的天数，再将工作总量看作单位，列出方程，即可求解．
【详解】李师傅单独完成订单需要：（天）
设两人合作天能完成这个订单，则
，
解得．
即如果两人合作天能完成这个订单．
7．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）为全面提升学生的安全防范意识与应急处置能力，筑牢校园安全防线，靖江市某中学组织安全意识知识竞赛，试题共20题，评分规则是答对一题得10分，不答或答错一题扣5分，聪聪得了125分，他答对了______题．
【答案】15
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设聪聪答对了题，则不答或答错的题数为题，再根据聪聪得了125分建立方程求解即可．
【详解】解：设聪聪答对了题，则不答或答错的题数为题，
根据题意，得．
解得，
∴他答对了15题，
故答案为：15．
8．（25-26六年级上·河南南阳·期中）我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图所示给出了“九宫图”的部分，请推算的值是______．
【答案】2026
【分析】设第一行左边的数为a，右边的数据为b，第二行中间的数为c，再由，求解a的值，再利用 求解x即可．
【详解】解：如表，
a 2032 b
c 1
3
设第一行左边的数为a，右边的数据为b，第二行中间的数为c，
则，
解得，
∵，
解得．
9．（2026·河北沧州·二模）如图，一根长度为4个单位长度的木棒在数轴上水平滑动．木棒左端对应数轴上的点为，右端对应数轴上的点为．数轴上点对应的数为1，点，均在点的左侧．若点到点的距离是点到点距离的3倍，则点对应的数为__________．
【答案】
【分析】设点对应的数为，则点对应的数为，由点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设点对应的数为，则点对应的数为，
根据题意得：，
解得．
10．（25-26七年级上·天津·期末）某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下：
阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/）
第一阶梯 不超过 3
第二阶梯 超过，但不超过 4
第三阶梯 超过的部分 7
（1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元；
（2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______；
【答案】 65 30
【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，一元一次方程，能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程是解题的关键．
（1）根据表格列式计算水费即可；
（2）设用水量为立方米，通过比较水费判断用水量超过25立方米，再列方程求解即可．
【详解】解：（1）根据题意得：（元），
应缴纳水费65元．
故答案为：65；
（2）当用水量为25立方米时，水费为元；
∵，
∴小红家3月份用水量超过25立方米，
设小红家3月份用水量为立方米，则水费为，即，
解得，即用水量为30立方米．
故答案为：．
11．（2026·安徽芜湖·一模）某果农通过直播平台销售自家种植的水蜜桃．已知5月份的售价为10元/千克，6月份的售价下降了10%，销售量比5月份增加了50%，求6月份销售额相对5月份销售额的增长率．（注：销售额＝售价×销售量）
【答案】6月份销售额相对5月份销售额的增长率为
【分析】设5月份销售量为千克，6月份销售额相对5月份销售额的增长率为．5月份的售价为10元/千克，6月份的售价下降了10%，销售量比5月份增加了50%，据此列出方程并解方程即可．
【详解】解：设5月份销售量为千克，6月份销售额相对5月份销售额的增长率为．
由题意得：．
解得，
答：6月份销售额相对5月份销售额的增长率为35%．
12．（2026·贵州安顺·二模）刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择：
方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元．
方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元．
已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米．
请解答以下问题：
(1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费．
(2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？
【答案】(1)
使用方案一单次电费为元，使用方案二单次电费为元.
(2)
累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多.
【分析】（1）根据每千瓦时所需电费计算出所需费用；
（2）设该汽车的累计行驶里程为千米时，根据两种充电方案的总费用相同列方程求解．
【详解】（1）解：使用方案一，单次电费为元，
使用方案二，单次电费为元；
（2）解：设该汽车的累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多，
根据题意可得：，
解得：，
答：累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多.
13．（2026·宁夏中卫·一模）毛毡包因为实用美观，结实耐用，制作简单，广受欢迎．如图1，是一款形如长方体的毛毡包，其长、宽、高之比为，包带长为，宽为，(包带缝合处忽略不计)，该款毛毡包在制作时，需要为缝合走线的边预留宽距，包口四个边无需走线缝合，走线宽度不包含在包体的长宽高内．现有一块长比宽多的长方形毛毡料，因保存不当，部分受到污损，为了避免浪费，将未污损部分进行裁剪，恰好能制作一个上述尺寸的毛毡包，裁剪方式如图2(虚线为缝合时的走线位置)，求该毛毡包的长、宽、高分别是多少？
【答案】该毛毡包的长、宽、高分别是，，
【分析】设这款毛毡包的长、宽、高分别是，，，根据题意，得到长方形毛毡料的长为，宽为，列一元一次方程并求解，即可解答．
【详解】解∶设这款毛毡包的长、宽、高分别是，，，
根据题意，有长方形毛毡料的长为，宽为，
列方程，得，
解得．
，，．
答∶该毛毡包的长、宽、高分别是，，．
14．（25-26六年级上·河北张家口·期末）如图，已知A，B，C三地在同一直线上，，，甲、乙两人同时从A地出发，同向而行，分别前往B地和C地．

(1)若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达目的地．
①设甲的速度为，完成下表；
路程 速度 时间
甲 6 _______
乙 10 _______ _______
②求甲、乙的速度；
(2)若甲、乙的速度比是，其他条件不变，结果谁先到达目的地？请说明理由．
【答案】(1)①见解析；②甲的速度为，乙的速度为
(2)乙先到达，理由见解析
【分析】考查分式方程解决行程问题，解分式方程注意检验．
（1）①由填空；
②甲的时间乙的时间小时列方程求解，注意检验；
（2）判断甲的速度乙的速度的正负，进而判断甲乙谁先到达目的地．
【详解】（1）解：①
路程 速度 时间
甲 6
乙 10
②根据题意列方程，得，
解得，
经检验是原方程的解，
，，
答：甲的速度为，乙的速度为；
（2）解：乙先到达，
理由：设甲的速度为，乙的速度为，
，，
，
，
，
甲用的时间比乙长，即乙先到达目的地．
15．（25-26六年级上·山东烟台·期末）已知点M、N在数轴上，点M对应的数是最大的负整数，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点：
(1)求出点N所对应的数；
(2)若点P在M点左边，且点P到M、N的距离之和是6个单位长度，求点P所对应的数是多少？
(3)如果P、Q分别从点M、N同时出发，均沿数轴向右运动，点P每秒走2个单位长度，点Q每秒走3个单位长度，t秒后点P、Q之间的距离是70个单位长度，求t的值．
【答案】(1)点N对应的数是3
(2)点P所对应的数是
(3)
【分析】本题主要考查了有理数和数轴，两点之间的距离，动点问题，解一元一次方程，解题的关键是掌握数形结合的思想．
（1）根据最大的负整数确定点对应的数，然后根据两点之间的距离确定点N对应的数；
（2）设P表示的数是x，求出两点之间的距离，列出方程求解即可；
（3）表示出点所表示的数，然后根据两点之间的距离列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点M对应的数是最大的负整数，
∴点M对应的数是，
∵点N在M的右边，且距M点4个单位长度，
∴点N对应的数是；
（2）解：设P表示的数是x，
∴，，
∵点P到M、N的距离之和是6个单位长度，
∴，
∴，
点P所对应的数是：；
（3）解：∵点P每秒走2个单位长度，点Q每秒走3个单位长度，
∴点P表示的数为：；点Q表示的数为：；
∵Q在P的右侧，点P、Q之间的距离是70个单位长度，
∴，
解得：．
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