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第03讲 实数（5大知识点+14大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 无理数
典型例题二 无理数的大小估算
典型例题三 无理数整数部分的有关计算
典型例题四 求一个数的近似数
典型例题五 实数概念理解
典型例题六 实数的性质
典型例题七 实数与数轴
典型例题八 实数的大小比较
典型例题九 程序设计与实数运算
典型例题十 实数运算的实际应用
典型例题十一 用科学记数法表示
典型例题十二 实数的混合运算
典型例题十三 新定义下的实数运算
典型例题十四 与实数运算相关的规律题
知识点01 无理数
1.无理数：无线不循环小数叫做无理数.
无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.
2.常见的无理数三种形式
（1）开方开不尽的数的方根，如等；
（2）及化简后含的数，如，等；
（3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）.
3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式.
4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数.
【即时训练】
1．（2026·上海长宁·模拟预测）下列各数是负无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．
2．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）已知一个无理数m满足，则这个无理数m可以是_______．（写出一个即可）
知识点02 实数及分类
1.有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类
（1）按定义分类：
（2）按性质分类：
PS：0既不是正实数，也不是负实数.
【即时训练】
1．（2026·广东广州·一模）下列四个选项中，有理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·吉林白城·阶段检测）在实数，，，0.3，0，，21，1.01001…，，，π中，分数有______个．
知识点03 实数与数轴上点的关系
1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应.
2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点.
正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧.
【即时训练】
1．（2026·河南开封·一模）下列各数在数轴上表示的点中，距离原点最远的是（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若点C关于点B的对称点为A，则数轴上点A表示的数是____________________．
知识点04 比较实数的大小
有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用.
1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小.
3.比较两个实数大小的常用方法：
（1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小；
（2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；
（3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较；
（4）作差比较法：当时，；当时，；当时，.
（5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则
（6）倒数比较法：a、b为正数，若，则；
（7）平方比较法：a、b为正数，若，则.
【即时训练】
1．（2026·河南洛阳·模拟预测）下列四个数中，比小的数是（ ）
A． B．0 C． D．
2．（25-26七年级下·福建厦门·期中）计算下列各题：
（1）___________
（2）的立方根为___________
知识点05 实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【即时训练】
1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）计算 的结果是（　）
A．0 B． C． D．8
2．（2026·浙江温州·一模）______．
【典型例题一 无理数】
【例1】（2026·广西贺州·模拟预测）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2026·河南三门峡·二模）在，，，这四个数中，无理数是（ ）
A． B．π C． D．
【例3】（25-26七年级下·河南安阳·期中）实数，，4，，，中，其中无理数有_________个
【例4】（2026八年级上·山东青岛·专题练习）在（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有___________个．
1．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m、n为有理数．x为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题：
(1)如果，其中m、n为有理数，则_____________，_____________；
(2)若x、y均为有理数，且，求的值．
2．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．
(1)若输入有意义的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由；
(2)若输出的值是，求的负整数值．
3．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）上海市金山初级中学某数学兴趣小组，在十九章19.2（2）无理数一课的学习后，对利用“反证法”证明是无理数产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究：证明是无理数．
(1)下面是他们的探究过程，请完成填空．
先假设是_____，则可设（，且、是_____的整数）．
则有，即_____．
整理得：，所以是_____．
所以设，则，即_____m3．
所以也是_____．
这与假设中的是 的整数矛盾，所以不是 ，是无理数．
(2)说明是无理数的理由．
【典型例题二 无理数的大小估算】
【例1】（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）如果，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级下·江苏南通·期中）无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某长方形的长为，宽为2，则这个长方形面积的值在（　　）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【例3】（25-26七年级下·云南楚雄·期中）已知正整数满足，则的值是_______.
【例4】（2026·广西南宁·一模）若n为正整数，且满足，则________．
1．（2026·浙江温州·二模）【阅读理解】
同学们，我们来学方差公式：近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．
因为，所以．
则有以下两种估算方式：
方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ．
【比较分析】
(1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由．
【迁移应用】
(2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）．
2．（25-26七年级下·福建厦门·阶段检测）问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为；
(1)探究过程：因为，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为值很小，所以更小，略去，解得（保留到0.001），即________；
(2)理解应用：黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到0.001）
3．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）小李同学探索的近似值的过程如下：
面积为83的正方形的边长是，且，
设，其中；
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：
，
又，．
当时，假设忽略不计，得，解得，即．
(1)填空：的整数部分的值为______；
(2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【典型例题三 无理数整数部分的有关计算】
【例1】（25-26七年级下·重庆·期中）已知，则整数的值（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例2】（24-25七年级下·广东汕尾·期末）已知，为两个连续的整数，且，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例3】（24-25七年级下·山东日照·期中）的整数部分是______，小数部分是______．
【例4】（2026·安徽滁州·二模）某文创产品上印有迎客松图案，其图案高度对应的无理数为，它的整数部分是__________．
1．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）已知无理数的整数部分和小数部分可以通过夹逼法确定，解答下列问题：
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值；
(3)已知，其中p是整数，且，求的相反数．
2．（25-26七年级下·福建莆田·阶段检测）任意一个无理数介于两个整数之间，如，所以的整数部分为1．
(1)无理数的整数部分是________；
(2)实数x，y，m满足关系式，求m的算术平方根的整数部分．
3．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）阅读下列材料：，，的整数部分为1，小数部分为，请你根据材料所提供的信息，解决下列问题：
(1)的小数部分是，的整数部分是，求的值；
(2)已知，其中是一个整数，，求的值．
【典型例题四 求一个数的近似数】
【例1】（24-25八年级上·云南红河·期末）已知圆周率，将π精确到百分位的结果是（ ）
A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142
【例2】（25-26八年级上·福建福州·期中）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．4（精确到个位） B．（精确到十分位）
C．（精确到） D．（精确到）
【例3】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）自然常数精确到0.01的近似数是______．
【例4】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）2025年8月16日，第9轮“苏超”联赛在宜兴举行，本场比赛观众人数为24212人，用科学记数法将24212人精确到千位所得的近似数为_____．
1．（24-25八年级上·上海虹口·课堂例题）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数，并将结果写在后面的横线上．
（）（精确到）；____ ；
（）（精确到十分位）；____ ；
（）（精确到）；____ ；
（）（精确到个位）；____ ；
（）（精确到）；____ ；
（）（精确到千分位）．____ ．
2．（2025八年级上·浙江·专题练习）把一个四位整数先四舍五入到十位，再把所得的数字四舍五入到百位，然后再把所得的数字四舍五入到千位，这时的数字是4×103，你能说出这个数的最大值和最小值吗？它们的差是多少？
3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）回忆课本中探究有多大的方法，完成下列各题：
(1)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到个位）；
(2)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到十分位）；
(3)若，其中为正整数，，若均为有理数，且，求的值．
【典型例题五 实数概念理解】
【例1】（24-25八年级上·广东河源·期中）实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【例2】（24-25七年级下·湖南·期中）有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【例3】（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）_____和_____统称为实数．
【例4】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）在数0、π、﹣0.1010010001，，中，无理数有_____个．
1．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段检测）一组实数按如下规律排列：，___，_____．
(1)两条横线上的实数分别____；
(2)第11、12个实数分别是_____．
2．（24-25八年级上·福建宁德·期末）已知代数式（，且为整数）．
(1)当时，是 （有理数/无理数）；
(2)当时，通过画图在数轴上找出表示的点；
(3)当时，可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？
3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）数轴上有A，B两点分别表示实数a和b，且满足．
(1)______；______；
(2)点P以每秒1个单位长度的速度从点A向右匀速运动，多长时间它与点B相距2个单位长度？
【典型例题六 实数的性质】
【例1】（25-26八年级上·河北唐山·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2025·江苏宿迁·模拟预测）若实数的倒数是，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【例3】（24-25八年级下·广东汕头·期末）___________．
【例4】（2025·四川绵阳·二模）若，那么x的最小整数值是__________．
1．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）求下列各数的相反数、倒数和绝对值．
(1)；
(2)；
(3)．
2．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）阅读回答问题：设m，n是有理数，且满足，求的值．
解：由题意，移项得．
由结合律和分配律得．
都是有理数，
也是有理数．
是无理数，
问题：设x，y都是有理数，且满足，求的平方根．
3．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）阅读下列材料并解决有关问题．
我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式.
如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：
；
；
．
从而化简代数式可分以下种情况：
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
综上讨论，.
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)分别求出和的零点值；
(2)化简．
【典型例题七 实数与数轴】
【例1】（25-26八年级下·吉林·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：的值是（ ）
A．1 B． C．-3 D．
【例2】（25-26七年级下·江西上饶·期中）如图，的顶点A在数轴上，且表示的数为1，以点A为圆心，长为半径向右画弧，交数轴于点D，，则数轴上点D所表示的数为（ ）
A． B．2.1 C． D．
【例3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）已知点在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点表示的实数为__________
【例4】（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）如图，把半径为的圆放到数轴上，圆上一点与原点重合，将圆沿着数轴滚动一周，此时点与点重合，则点表示的数为________．
1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接．
，，，
2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示1和3两点之间的距离是______；
数轴上表示2和的两点之间的距离是______；
(2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为______；
(3)若表示一个有理数，且，则______．
3．（24-25七年级下·广西南宁·阶段检测）阅读材料，完成任务．
材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数．
材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点．
任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
【典型例题八 实数的大小比较】
【例1】（2026·湖北恩施·二模）下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【例2】（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）在，，，这组数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【例3】（2026·安徽六安·二模）比较大小：_________．
【例4】（25-26八年级上·陕西铜川·期末）已知一个无理数m满足，则这个无理数m可以是_______．（写出一个即可）
1．（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小：
(1)和3．
(2)与．
2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）（1）过A，B两点画一条数轴，使A，B两点所表示的数互为相反数．
（2）在你所画的数轴上表示下列各数：，2，，，并用“<”连接起来．
______<______<______<______．
3．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）观察下列等式，并回答问题：
第1个；
第2个；
第3个；
第4个；
……
(1)化简：_____；这是第_____个等式．
(2)第个等式是_____．（用含的式子表示）
(3)比较与1的大小．
【典型例题九 程序设计与实数运算】
【例1】（25-26八年级上·山东烟台·期中）根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ）
A．1 B． C． D．2
【例2】（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）一个数值转换器的原理如图．当输入的为时，输出的是（ ）
　
A． B． C． D．
【例3】（24-25八年级下·广东惠州·阶段检测）如图，输入的值为，则输出的数值_______．
【例4】（24-25八年级下·山东潍坊·阶段检测）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是__________．
1．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器．
(1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______；
(2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值；
(3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？
2．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．

(1)当输入的x值为时，求输出的y值；
(2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
(3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值．
3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）有一个数值转换器原理如图．
(1)当时，y是多少？
(2)输入的x能是任何实数吗？为什么？
(3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由；
(4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．
【典型例题十 实数运算的实际应用】
【例1】（24-25七年级下·北京顺义·期中）一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　）
A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克
【例2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．2 D．
【例3】（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）已知a，b均为有理数，且满足等式5﹣a＝2b+﹣a，则ab=____．
【例4】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”）
1．（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，．
(1)求长方形的周长；
(2)图中两块阴影部分的面积之和为_________．
2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是．
(1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______．
(2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n．
①求的立方根．
②求的值．
3．（24-25八年级上·四川成都·期末）为庆祝元旦，某校甲、乙两个校区准备举行联合文艺汇演，甲、乙两校区共112位学生参与演出，其中甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，现准备统一购买服装（一人购买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1套至55套 56套至110套 110套及以上
每套服装的价格 70元 60元 50元
如果两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元．
(1)若甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省多少钱？
(2)甲、乙两校区各有多少学生参加本次演出？
(3)若甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，丙学校购买的服装比甲校区少12套，那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元．
【典型例题十一 用科学记数法表示】
【例1】（2026·海南海口·模拟预测）一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例2】（2026·湖北武汉·二模）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星的高度约为万，将数据万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）若数a用科学记数法表示为，则a的原数为________．
【例4】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）2025年，北京大学团队研制出全球领先的二维环栅晶体管，其关键绝缘层厚度仅为米，用科学记数法表示为______．
1．（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）把下列用科学记数法表示的数的原数填在横线上．
(1)___________．
(2)___________．
(3)___________
(4)___________．
2．（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）在我国，平均每平方千米的陆地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧的煤所产生的能量．我国约960万的陆地，一年从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克的煤所产生的能量（结果用科学记数法表示）？
3．（24-25八年级上·山东德州·阶段检测）我们常用“水滴石穿”来说明一个人只要持之以恒地做某件事，就一定能成功．经测算，当水滴不断地滴在一块石头上时，经过10年，石头上可形成一个深为1厘米的小洞，那么平均每个月小洞的深度增加多少米 （结果保留三个有效数字，并用科学记数法表示）
【典型例题十二 实数的混合运算】
【例1】（2026·北京丰台·二模）实数a，b在数轴上对应的点A，B位于原点的两侧，且到原点的距离相等，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）计算结果为（）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级下·河北唐山·期中）计算的结果是________．
【例4】（25-26八年级上·上海虹口·寒假作业）若是实数，且，，那么的值是____．
1．（25-26七年级下·广西北海·期中）如图，数轴上表示的对应点分别为点，为的中点．设点表示的数为，求的值．
2．（25-26七年级下·山东临沂·期中）已知是的整数部分，是它的小数部分．
(1) ，
(2)求的值．
3．（25-26七年级下·云南昆明·期中）仔细阅读表格中的内容，并应用相关知识解答下列问题．
知识准备 ①无限不循环小数叫作无理数． ②是无理数．
提出问题 如何表示的小数部分？
解决问题 ∵，∴的小数部分表示为．
(1)求的小数部分；
(2)已知a为整数，，，求的平方根．
【典型例题十三 新定义下的实数运算】
【例1】（25-26八年级上·天津·阶段检测）设a ，b是实数，定义* 的一种运算如下：，则下列结论错误的是（ ）
A．，则 B．
C． D．
【例2】（25-26七年级下·广西北海·期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，如，则的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例3】（2026·河南周口·一模）规定运算：则3 5=____．
【例4】（24-25七年级下·山东德州·期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有．例如，那么_____．
1．（25-26八年级下·北京·期中）已知，都是正整数，现定义新运算：．
(1)计算：= ， ；
(2)若 ，则的值为 ．
2．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）我们规定，若任意实数满足，则称与是关于的对称数．例如：，则5与3是关于4的对称数．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)若数与是关于的对称数，求数的值；
(2)若，判断与是否是关于7的对称数，并说明理由．
3．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，．
(1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作；
探究性质：的四次方根________；
的四次方根________；
________（填“存在”或“不存在”）
(2)巩固应用：
比较________（填、或）
计算：；
解方程：．
【典型例题十四 与实数运算相关的规律题】
【例1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（ ）
A． B． C． D．2024
【例2】（24-25七年级下·北京·期中）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②：将荧幕显示的数变成它的倒数；③：将荧幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．
若开始输入的数据为10，那么第2020步之后，显示的结果是（ ）
A．0.01 B．0.1 C． D．100
【例3】（25-26七年级下·广西贵港·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，……，则第216个数是______．
【例4】（24-25八年级下·山东德州·期中）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
…
请你利用发现的规律，计算：
______．
1．（24-25九年级·江苏南京·自主招生）计算：．
2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示）
(2)请用（1）中你发现的规律计算：．
3．（24-25八年级上·四川成都·期末）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1．
(1)求图1中第8行第5个数是__________；
(2)求图1中前100行所有的数字之和；
(3)“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值．
1．（2026·江苏徐州·一模）下列整数，与最接近的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2026·河北保定·二模）某快递中心每小时能分拣件包裹，为提升效率，在优化流程后每小时分拣量为原来的倍．若将优化后每小时的分拣量用科学记数法表示为，则a的值是（ ）
A．8 B．4.375 C．3.5 D．35
3．（25-26七年级下·山东临沂·期中）《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（a为“勾”，b为“股”，c为“弦”）．若“勾”为，“股”为2，则“弦”在如图所示的数轴上可表示在（ ）
A．A点 B．B点 C．D点 D．C点
4．（25-26七年级下·重庆璧山·期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（ ）
①当输出值为时，输入值为3或9；
②当输入值为16时，输出值为；
③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值；
④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出．
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④
5．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）将1，，，按下列规律排列，若规定表示第m排从左至右第n个数，例如，表示．那么，表示和的数的积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，且，是两个连续的整数，则的值为__________．
7．（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为_________
8．（2026·山东潍坊·一模）我国科研团队在光钟研制方面取得里程碑式进展，成功将锶原子光晶格钟的稳定度和不确定度指标全面突破量级，相当于约300亿年的误差不超过1秒，那么每年的误差不超过__________秒．（结果用科学记数法表示，保留两位有效数字）
9．（2026·陕西西安·模拟预测）规定新运算“☆”：对于任意实数，都有，例如：，则____________
10．（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）如图，正方形方格的每一方格的边长为1个单位，依次连接各边的中点，，，得正方形，以顶点为圆心，长为半径画圆交数轴的负半轴于点，则数轴上点对应的无理数是_____．
11．（25-26八年级上·上海虹口·期中）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）．
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{ …}；
(4)负实数集合：{ …}．
12．（25-26八年级上·上海·期中）用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留）
13．（24-25七年级下·山东济宁·期中）阅读下列材料：
小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小
请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题
(1)
由此可归纳出结论： _________．
(2)根据上面的结论计算：
类似的：
__________；
(3)类比应用：__________；
(4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小．
14．（2026·浙江温州·二模）【阅读理解】
同学们，我们来学方差公式：近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．
因为，所以．
则有以下两种估算方式：
方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ．
【比较分析】
(1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由．
【迁移应用】
(2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）．
15．（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料：
材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长．
材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的．
将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________．
请根据材料回答下列问题：
(1)A5纸的面积是__________平方米．
(2)A4纸的长宽__________．
(3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，）
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第03讲 实数（5大知识点+14大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 无理数
典型例题二 无理数的大小估算
典型例题三 无理数整数部分的有关计算
典型例题四 求一个数的近似数
典型例题五 实数概念理解
典型例题六 实数的性质
典型例题七 实数与数轴
典型例题八 实数的大小比较
典型例题九 程序设计与实数运算
典型例题十 实数运算的实际应用
典型例题十一 用科学记数法表示
典型例题十二 实数的混合运算
典型例题十三 新定义下的实数运算
典型例题十四 与实数运算相关的规律题
知识点01 无理数
1.无理数：无线不循环小数叫做无理数.
无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.
2.常见的无理数三种形式
（1）开方开不尽的数的方根，如等；
（2）及化简后含的数，如，等；
（3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）.
3.任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式.
4.任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数.
【即时训练】
1．（2026·上海长宁·模拟预测）下列各数是负无理数的是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【详解】解：∵，，，既不是正数也不是负数，
∴负数有和，
∵是整数，整数属于有理数；是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，
∴是负无理数．
2．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）已知一个无理数m满足，则这个无理数m可以是_______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了无理数的定义，实数的大小比较．
由于无理数满足，即，因此可以是大于的任意一个无理数，如．
【详解】解：∵为无理数，且，即，
∴这个无理数可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
知识点02 实数及分类
1.有理数和无理数统称为实数.
2.实数的分类
（1）按定义分类：
（2）按性质分类：
PS：0既不是正实数，也不是负实数.
【即时训练】
1．（2026·广东广州·一模）下列四个选项中，有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有理数与无理数的定义判断各选项即可得到结果．
【详解】解：选项A∶ 是负整数，属于有理数，故本选项符合题意；
选项B∶ 是无限不循环小数，属于无理数，故本选项不符合题意；
选项C∶ 开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，故本选项不符合题意；
选项D∶ 开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，故本选项不符合题意．
2．（24-25八年级上·吉林白城·阶段检测）在实数，，，0.3，0，，21，1.01001…，，，π中，分数有______个．
【答案】5
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．根据实数的分类解答即可．
【详解】解：0，21，，是整数；
1.01001…，π是无理数；
分数有，，，0.3，，共5个．
故答案为：5．
知识点03 实数与数轴上点的关系
1.实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应.
2.画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点.
正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧.
【即时训练】
1．（2026·河南开封·一模）下列各数在数轴上表示的点中，距离原点最远的是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】只需计算各数的绝对值，比较大小即可得到结果．
【详解】解：，
，
．
2．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图，点B，C在数轴上表示的数分别是4，，若点C关于点B的对称点为A，则数轴上点A表示的数是____________________．
【答案】/
【分析】本题考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，以及对称性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
根据数轴上两点之间的距离和对称性质，得到，进而求出数轴上点A表示的数即可．
【详解】解：点B，C在数轴上表示的数分别是4，，
，
点C关于点B的对称点为A，
，
数轴上点A表示的数是；
故答案为：．
知识点04 比较实数的大小
有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用.
1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小.
3.比较两个实数大小的常用方法：
（1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小；
（2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；
（3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较；
（4）作差比较法：当时，；当时，；当时，.
（5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则
（6）倒数比较法：a、b为正数，若，则；
（7）平方比较法：a、b为正数，若，则.
【即时训练】
1．（2026·河南洛阳·模拟预测）下列四个数中，比小的数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，
∴比小的数是．
2．（25-26七年级下·福建厦门·期中）计算下列各题：
（1）___________
（2）的立方根为___________
【答案】 /
【详解】解：（1）∵，
∴；
（2）∵，
∴的立方根为
知识点05 实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
【即时训练】
1．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期中）计算 的结果是（　）
A．0 B． C． D．8
【答案】B
【分析】此题考查的是实数的混合运算，掌握乘方的定义、立方根的定义和算术平方根的定义是解决此题的关键．
依次计算各部分的算术平方根、立方根及乘法，再合并结果．
【详解】
故选：B．
2．（2026·浙江温州·一模）______．
【答案】
【详解】解：．
【典型例题一 无理数】
【例1】（2026·广西贺州·模拟预测）下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据无理数是无限不循环小数，对各选项逐一判断即可．
【详解】解：A、是整数，属于有理数，不符合要求；
B、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求；
C、是整数，属于有理数，不符合要求；
D、是分数，属于有理数，不符合要求．
【例2】（2026·河南三门峡·二模）在，，，这四个数中，无理数是（ ）
A． B．π C． D．
【答案】C
【详解】解：在，，，这四个数中，，都是有理数，是无理数，是分数，即是有理数．
【例3】（25-26七年级下·河南安阳·期中）实数，，4，，，中，其中无理数有_________个
【答案】2
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，有限小数或无限循环小数是有理数，正确理解无理数的概念是解题的关键．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【详解】解：是有理数，是无理数，
∴无理数有2个．
故答案为：2．
【例4】（2026八年级上·山东青岛·专题练习）在（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有___________个．
【答案】2
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案．
【详解】解：在（每两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有（每两个1之间0的个数逐次增加1），共2个，
故答案为：2．
1．（25-26七年级下·重庆巴南·期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中m、n为有理数．x为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题：
(1)如果，其中m、n为有理数，则_____________，_____________；
(2)若x、y均为有理数，且，求的值．
【答案】(1)，2
(2)的值为5或－3
【分析】（1）根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可；
（2）先整理，再按题干提供的方法求解．
【详解】（1）解：∵，其中为有理数，
∴，；
∴，．
（2）解：∵，
∴
∵x、y为有理数，
∴，，
∴，，
∴当，时，；
当，时，；
综上所述，的值为5或．
2．（24-25八年级上·江西抚州·期中）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．
(1)若输入有意义的值后，始终输不出值，请写出所有满足要求的的值，并说明你的理由；
(2)若输出的值是，求的负整数值．
【答案】(1)1或2或3，理由见解析
(2)或．
【分析】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键．
（1）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；
（2）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案．
【详解】（1）解：1或2或3，理由如下：
∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，
∴当或0时，
解得或2或3，
∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数；
（2）解：若1次运算就是，
∴，
∴，
∴解得或，
∵x为负整数，
则输入的数为；
若2次运算输出的数是，
∴，
∴，
∴解得或，
∵，
∴不符合题意，
综上所述，或．
3．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）上海市金山初级中学某数学兴趣小组，在十九章19.2（2）无理数一课的学习后，对利用“反证法”证明是无理数产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究：证明是无理数．
(1)下面是他们的探究过程，请完成填空．
先假设是_____，则可设（，且、是_____的整数）．
则有，即_____．
整理得：，所以是_____．
所以设，则，即_____m3．
所以也是_____．
这与假设中的是 的整数矛盾，所以不是 ，是无理数．
(2)说明是无理数的理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了反证法，掌握反证法的步骤是关键．
（1）根据题干信息与逻辑格式完善过程即可．
（2）根据有理数都可以写出分数的形式，那么存在两个互质的正整数p，q，使得，等式两边平方得到，由是的倍数，可得q是的倍数，可设（k是正整数），则，即可证明p也是的倍数，这与p，q是互质的正整数的假设矛盾，由此即可证明结论．
【详解】（1）解：先假设是有理数，则可设（，且、是互质的整数）．
则有，即．
整理得：，所以是偶数．
所以设，则，即．
所以也是偶数．
这与假设中的是互质的整数矛盾，所以不是有理数，是无理数．
（2）证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商，
设（p，q是互质的正整数）．
∴．
，
∴．
是的倍数，
也是的倍数．
设（k是正整数），
，
，
是的倍数．
∴p是的倍数．
∴p和q均为的倍数．
这与p，q是互质的正整数的假设矛盾．
这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立，
所以不是有理数．
【典型例题二 无理数的大小估算】
【例1】（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）如果，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查估算无理数的大小，利用被开方数越大，对应的算术平方根越大的性质，先确定的取值范围，再推导的取值范围．
【详解】解：，
，
即，
不等式三边同时减1得.
，
即．
【例2】（25-26七年级下·江苏南通·期中）无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某长方形的长为，宽为2，则这个长方形面积的值在（　　）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【答案】C
【分析】先根据长方形面积公式求出面积，再估算面积的取值范围即可.
【详解】解：长方形面积，
∵，
∴
即这个长方形面积的值在与之间.
【例3】（25-26七年级下·云南楚雄·期中）已知正整数满足，则的值是_______.
【答案】5
【分析】找到与相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再结合已知不等式求出正整数的值．
【详解】解：因为，
所以，
即，
因为 ，且为正整数，
所以．
【例4】（2026·广西南宁·一模）若n为正整数，且满足，则________．
【答案】2
【分析】根据，即，又结合n为正整数，且满足，得出，即可作答．
【详解】解：∵，
即，
又∵，为正整数，
∴，
1．（2026·浙江温州·二模）【阅读理解】
同学们，我们来学方差公式：近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．
因为，所以．
则有以下两种估算方式：
方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ．
【比较分析】
(1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由．
【迁移应用】
(2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）．
【答案】(1)
方式一得出的近似值精确度更高
(2)
选择方式一：，选择方式二：
【分析】（1）比较与6、7的距离，再判断估算方法的误差大小，由此即可求解；
（2）先确定的取值范围，再根据材料提示方法计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴更接近6，
∴在方式一中用6代替所产生的误差更小，
∴方式一得出的近似值精确度更高；
（2）解：∵，
∴，
方式一：∵，
∴，即，
∴；
方式二：∵，
∴，即，
∴；
∴选择方式一：，选择方式二：．
2．（25-26七年级下·福建厦门·阶段检测）问题情境：有多大？如图1，教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，则大正方形的边长为；
(1)探究过程：因为，所以．设，将边长为的正方形分成如图2所示的四部分．由面积公式，可得，因为值很小，所以更小，略去，解得（保留到0.001），即________；
(2)理解应用：黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面的探究“有多大？”的过程，请你写出探究“有多大？”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到0.001）
【答案】(1)1.414
(2)见解析，黄金分割数的近似值为0.618
【分析】（1）由可得；
（2）由题意画出图形，由（1）的方法可得出答案；
【详解】（1）解：，
（2）解：，，
，
设，画出示意图，
由面积公式，可得．
值很小，更小，
解得（保留到），
∴，
∴．
3．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）小李同学探索的近似值的过程如下：
面积为83的正方形的边长是，且，
设，其中；
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：
，
又，．
当时，假设忽略不计，得，解得，即．
(1)填空：的整数部分的值为______；
(2)类比上述方法，探究的近似值．（结果精确到0.01）（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握此知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）估算出即可得解；
（2）设，其中，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图，由图形可得，结合，得出，当时，假设忽略不计，得，由此计算即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，即，
∴的整数部分的值为；
（2）解：设，其中，
通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：
，
由图形可得：，
∵，
∴，
当时，假设忽略不计，得，
解得：，
∴．
【典型例题三 无理数整数部分的有关计算】
【例1】（25-26七年级下·重庆·期中）已知，则整数的值（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】先找到与相邻的两个完全平方数，即可确定的范围，进而得到整数的值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
又∵ ，且为整数，
∴ ．
【例2】（24-25七年级下·广东汕尾·期末）已知，为两个连续的整数，且，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．根据，可得a，b的值，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴
又∵、为两个连续整数，
∴，，
，
故选：D．
【例3】（24-25七年级下·山东日照·期中）的整数部分是______，小数部分是______．
【答案】 10 /
【分析】本题考查了估算无理数的大小．根据平方运算估算出的值，即可解答．
【详解】解：，
，则，
的整数部分为：10，
小数部分为，
故答案为：，．
【例4】（2026·安徽滁州·二模）某文创产品上印有迎客松图案，其图案高度对应的无理数为，它的整数部分是__________．
【答案】6
【分析】找到与相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质确定的取值范围，即可得到它的整数部分．
【详解】解：，
，
即，
因此的整数部分是．
1．（25-26七年级下·安徽亳州·期中）已知无理数的整数部分和小数部分可以通过夹逼法确定，解答下列问题：
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值；
(3)已知，其中p是整数，且，求的相反数．
【答案】(1)4，
(2)
(3)
【分析】（1）估算无理数的大小，即可确定其整数部分和小数部分；
（2）估算无理数、的大小，确定m、n的值，再代入计算即可；
（3）估算无理数的大小，根据题意确定p、q的值，代入计算后再求其相反数即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4，；
（2）解：∵，
∴的小数部分，
又∵，
∴的整数部分，
∴；
（3）解：∵，
∴，
又∵，且，p是整数，
∴，，
∴．
∴的相反数为．
2．（25-26七年级下·福建莆田·阶段检测）任意一个无理数介于两个整数之间，如，所以的整数部分为1．
(1)无理数的整数部分是________；
(2)实数x，y，m满足关系式，求m的算术平方根的整数部分．
【答案】(1)2
(2)44
【分析】（1）首先估算得到，然后求解即可；
（2）首先由算术平方根的非负性得到，得到，然后利用平方的非负性得到，，得，然后代入求出，进而求解即可．
【详解】（1）解：，
，
的整数部分是2，
（2）解：，，
，
，
，
，，
，
∴得，则，
解得，
∵
∴
的算术平方根的整数部分是44．
3．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）阅读下列材料：，，的整数部分为1，小数部分为，请你根据材料所提供的信息，解决下列问题：
(1)的小数部分是，的整数部分是，求的值；
(2)已知，其中是一个整数，，求的值．
【答案】(1)10
(2)15
【分析】（1）根据无理数的估算方法求解即可；
（2）求出，代入求解即可；
【详解】（1），
，
的小数部分，
，
，
的整数部分，
；
（2），
∴，
，
，，
．
【典型例题四 求一个数的近似数】
【例1】（24-25八年级上·云南红河·期末）已知圆周率，将π精确到百分位的结果是（ ）
A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142
【答案】B
【分析】精确到百分位即保留小数点后两位，只需观察千分位数字进行四舍五入即可得到结果．
【详解】将π精确到百分位的结果是3.14．
【例2】（25-26八年级上·福建福州·期中）用四舍五入法按要求对分别取近似值，其中错误的是（ ）
A．4（精确到个位） B．（精确到十分位）
C．（精确到） D．（精确到）
【答案】D
【分析】本题考查了求近似值，掌握四舍五入法求近似值是解题的关键．根据指定精确到哪一位，将下一位四舍五入求近似值即可．
【详解】解：A．精确到个位：，故A不符合题意；
B．精确到十分位：，故B不符合题意；
C．精确到：，故C不符合题意；
D．精确到：，故D符合题意；
故选：D．
【例3】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）自然常数精确到0.01的近似数是______．
【答案】2.72
【分析】此题考查了近似数，根据四舍五入进行解答即可．
【详解】解：，精确到0.01即保留两位小数，第三位小数是8，由于，向百分位进一，百分位由1变为2，故结果为2.72,
故答案为：2.72．
【例4】（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）2025年8月16日，第9轮“苏超”联赛在宜兴举行，本场比赛观众人数为24212人，用科学记数法将24212人精确到千位所得的近似数为_____．
【答案】
【分析】本题考查近似数和科学记数法．将24212精确到千位，需看百位数字，百位数字为2，，故千位不变，后面各位变为0，得到24000，再用科学记数法表示为．
【详解】解：24212精确到千位，百位数字是2，，故舍去，千位4不变，得到24000．
．
故答案为：．
1．（24-25八年级上·上海虹口·课堂例题）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数，并将结果写在后面的横线上．
（）（精确到）；____ ；
（）（精确到十分位）；____ ；
（）（精确到）；____ ；
（）（精确到个位）；____ ；
（）（精确到）；____ ；
（）（精确到千分位）．____ ．
【答案】
【分析】根据近似数的精确度进行求解即可．
【详解】解：（）（精确到）；
（）（精确到十分位） ；
（）（精确到）；
（）（精确到个位）；
（）（精确到）；
（）（精确到千分位）；
故答案为：；；；；；．
【点睛】此题考查了近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，熟练掌握近似数与精确度的概念是解题的关键．
2．（2025八年级上·浙江·专题练习）把一个四位整数先四舍五入到十位，再把所得的数字四舍五入到百位，然后再把所得的数字四舍五入到千位，这时的数字是4×103，你能说出这个数的最大值和最小值吗？它们的差是多少？
【答案】最大值是4444，最小值是3445，差是999．
【分析】把一个数四舍五入到十位，要将这个数的个位数字四舍五入．
【详解】解：因为一个四位整数先四舍五入到十位，再把所得数四舍五入到百位，然后又把所得的数四舍五入到千位，这时的数为4×103，
所以这个数最大时千位上的数字为4，最小时千位上的数字为3，
当千位上的数字为3时，
3.445×103四舍五入到十位后的结果为3.45×103，
3.45×103四舍五入到百位后的结果为3.5×103，
3.5×103四舍五入到千位后的结果为4×103，
所以4×103可能是由3445取近似值得到的；
类似的，当千位上的数字为4时，
4×103可能是由4444取近似值得到的，
所以这个数的最大值是4444，最小值是3445，
差：4444﹣3445＝999．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
3．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）回忆课本中探究有多大的方法，完成下列各题：
(1)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到个位）；
(2)直接写出的近似值（用四舍五入法精确到十分位）；
(3)若，其中为正整数，，若均为有理数，且，求的值．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
（1）估算无理数的大小即可；
（2）估算无理数的大小即可；
（3）估算无理数的大小即可．
【详解】（1）解：，即，
的整数部分为1，
又，而，
，
；
（2），即，
的整数部分为3，
又，，
，即的十分位上数字是6，
；
；
（3）
的整数部分是2，
又，，
（精确到十分位）；
的整数部分为，小数部分为，
，其中m为正整数，，
，
，
，
．
【典型例题五 实数概念理解】
【例1】（24-25八年级上·广东河源·期中）实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，无理数的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项．
【详解】解：实数，，，，，，（每两个3之间依次多一个1）中，
是无理数的有：，，，（每两个3之间依次多一个1），
∴无理数的个数是4个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式，熟记无理数的定义是解题的关键．
【例2】（24-25七年级下·湖南·期中）有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】根据无理数、分数的概念判断．
【详解】解：无限不循环小数是无理数，
错误．
是有理数，
错误．
是有理数，
错误．
也是无理数，不含根号，
错误．
是一个无理数，不是分数，
错误．
故选：．
【点睛】本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键．
【例3】（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）_____和_____统称为实数．
【答案】 有理数 无理数
【分析】根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数，进行作答即可．
【详解】解：根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数，
故答案为：有理数，无理数．
【点睛】本题考查实数的定义．熟练掌握有理数和无理数，统称为实数是解题的关键．
【例4】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）在数0、π、﹣0.1010010001，，中，无理数有_____个．
【答案】1
【分析】根据无理数的概念求解即可．
【详解】解：在所列实数中，无理数的是π，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查无理数，解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数．
1．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段检测）一组实数按如下规律排列：，___，_____．
(1)两条横线上的实数分别____；
(2)第11、12个实数分别是_____．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，据此即可求解；
（2）按照（1）中的方法即可求解．
【详解】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，
∴横线上的实数，的系数为5+8=13，8+13=21，
所以横线上的实数分别为，
（2）由（1）可知第8个数为，
∴第9个数为，
第10个数为，
第11个数为，
第12个数为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了实数的规律问题，观察数字中的系数，找到规律是解题的关键．
2．（24-25八年级上·福建宁德·期末）已知代数式（，且为整数）．
(1)当时，是 （有理数/无理数）；
(2)当时，通过画图在数轴上找出表示的点；
(3)当时，可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？
【答案】(1)有理数
(2)数轴见解析
(3)不是偶数，不是奇数，理由见解析
【分析】（）把代入计算得出结果即可判断求解；
（）把代入计算得出结果，再利用勾股定理把所得数在数轴上表示出来即可；
（）利用反证法证明即可；
本题考查了无理数的定义，在数轴上表示无理数，反证法，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，，是有理数，
故答案为：有理数；
（2）解：当时，，
数轴表示如下：
（3）解：当时，不是偶数，理由如下：
若是偶数，则是偶数，
即是偶数①，
∵是偶数，是奇数，
∴是奇数②，
∴①和②矛盾，
∴不是偶数；
当时，不是奇数，理由如下：
假设是奇数，不妨设(的整数)，
∴，
整理得，，
∵为偶数，为奇数，
∴为奇数，
∵为偶数，
∴不成立，
∴不是奇数．
3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）数轴上有A，B两点分别表示实数a和b，且满足．
(1)______；______；
(2)点P以每秒1个单位长度的速度从点A向右匀速运动，多长时间它与点B相距2个单位长度？
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离等知识，解题的关键是：
（1）根据绝对值和偶次方的非负性求解即可；
（2）设经过t秒，根据列出关于t的方程，然后解方程即可；
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：设经过t秒，则点P表示的数为，
根据题意，得，
解得或，
∴经过或秒，点P与点B相距2个单位长度
【典型例题六 实数的性质】
【例1】（25-26八年级上·河北唐山·期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得答案．
【详解】解：，
故选：B．
【例2】（2025·江苏宿迁·模拟预测）若实数的倒数是，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了倒数．根据倒数的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
【例3】（24-25八年级下·广东汕头·期末）___________．
【答案】/
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，．根据绝对值意义进行求解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【例4】（2025·四川绵阳·二模）若，那么x的最小整数值是__________．
【答案】
【分析】根据绝对值，无理数的估算解答即可．
本题考查了绝对值的化简，无理数的估算，熟练掌握估算是解题的关键．
【详解】解：得，
又∵，
∴
∴，
∴，
故x的最小整数值是，
故答案为：．
1．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）求下列各数的相反数、倒数和绝对值．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)，，
(2)，，
(3)，，
【分析】（1）（2）直接利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案；
（3）利用立方根的定义化简，再利用相反数、倒数、绝对值的性质分别得出答案．
本题考查了实数的相反数、倒数的定义和绝对值的非负性，解题关键在于掌握各性质和定义．
【详解】（1）的相反数是，倒数是，绝对值是；
（2）的相反数是，倒数是，绝对值是；
（3）的相反数是，倒数是，绝对值是．
2．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）阅读回答问题：设m，n是有理数，且满足，求的值．
解：由题意，移项得．
由结合律和分配律得．
都是有理数，
也是有理数．
是无理数，
问题：设x，y都是有理数，且满足，求的平方根．
【答案】
【分析】根据实数的性质移项可得，再进一步求解即可．
【详解】解：由题意，移项得，
，都是有理数，
也是有理数，
是无理数，
，
，
，
的平方根是．
3．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）阅读下列材料并解决有关问题．
我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式.
如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：
；
；
．
从而化简代数式可分以下种情况：
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
综上讨论，.
通过以上阅读，请你解决以下问题：
(1)分别求出和的零点值；
(2)化简．
【答案】(1)和的零点值分别为、；
(2)．
【分析】（）令和，求出的值即可求解；
（）根据零点值分、和三种情况解答即可求解；
本题考查了绝对值的性质，解绝对值方程，理解零点值的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：令和，
解得，，
和的零点值分别为、；
（2）解：在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和，
当时，；
当时，；
当时，；
综上，．
【典型例题七 实数与数轴】
【例1】（25-26八年级下·吉林·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：的值是（ ）
A．1 B． C．-3 D．
【答案】A
【分析】根据数轴可推出，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减运算法则求解即可．
【详解】解：由数轴可知，，
∴，
∴
．
【例2】（25-26七年级下·江西上饶·期中）如图，的顶点A在数轴上，且表示的数为1，以点A为圆心，长为半径向右画弧，交数轴于点D，，则数轴上点D所表示的数为（ ）
A． B．2.1 C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意得，数轴上点D所表示的数为．
【例3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）已知点在数轴上，且与原点相距个单位长度，则点表示的实数为__________
【答案】
【分析】本题考查数轴上点到原点的距离，绝对值，掌握知识点是解题的关键．
根据数轴上与原点距离相等的点有两个，它们互为相反数，即可解答．
【详解】解：设点M表示的实数为a，则点M到原点的距离为，根据题意，
，
解得．
∴点M表示的实数为．
故答案为：．
【例4】（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）如图，把半径为的圆放到数轴上，圆上一点与原点重合，将圆沿着数轴滚动一周，此时点与点重合，则点表示的数为________．
【答案】
【分析】本题考查了数轴和圆的周长，关键理解沿着数轴正方向数值增大，根据圆在数轴上沿着数轴正方向滚动一周，因此，到达的值为．
【详解】解：根据题意可知，点所对数值为，
到的距离是直径为的圆周长，
对应的数值为．
故答案为：．
1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）将下列各数近似地表示在数轴上，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”号连接．
，，，
【答案】图见解析，
【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，先化简各数，确定无理数的范围，进而在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
在数轴上表示各数如图：
由数轴可知：．
2．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．
利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示1和3两点之间的距离是______；
数轴上表示2和的两点之间的距离是______；
(2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为______；
(3)若表示一个有理数，且，则______．
【答案】(1)，．
(2)．
(3)6．
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的性质，解题关键是利用这一距离公式，结合绝对值的意义和数形结合思想进行求解．
（1）根据数轴上两点间距离公式，分别代入对应数值计算即可．
（2）直接运用数轴上两点间距离公式，将代入即可．
（3）根据的取值范围，判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后再计算．
【详解】（1）数轴上表示1和3两点之间的距离是，
数轴上表示2和的两点之间的距离是，
故答案为：，
（2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为，
故答案为：
（3），
，，
，，
．
3．（24-25七年级下·广西南宁·阶段检测）阅读材料，完成任务．
材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数．
材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点．
任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
【答案】（1） （2）， （3），数轴表示见解析
【分析】本题考查了图形的变换、无理数、实数与数轴、绝对值化简、熟练掌握无理数的数轴上表示是关键．
（1）根据正方形的面积，求出表示的数即可；
（2）根据点在数轴上的位置，直接写出点和点表示的数即可；
（3）根据的值代入所求代数式化简后，在数轴上表示出来即可．
【详解】解：（1）材料一中，，
∴，（负值舍去）
故答案为：；
（2）根据点在数轴上的位置及范例计算方法可得：点表示的数是，表示的数是 ，
故答案为：，；
（3）由（1）可知，
∴，，
，
在数轴上表示为点，如图所示：
【典型例题八 实数的大小比较】
【例1】（2026·湖北恩施·二模）下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【详解】解：∵ 实数大小比较中，负数小于0，0小于正数，
∴ 先排除负数和，
∵ ，，
∴，可得，
∴ 四个数中最大的数是．
【例2】（25-26七年级下·广西柳州·阶段检测）在，，，这组数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】D
【详解】解：∵正数大于0，0大于负数，
∴最小的数是．
【例3】（2026·安徽六安·二模）比较大小：_________．
【答案】
【分析】利用乘方运算去掉根号，转化为整数比较，根据正数的乘方越大，原数越大即可判断．
【详解】解：，
将两数同时取次方，得，
．
【例4】（25-26八年级上·陕西铜川·期末）已知一个无理数m满足，则这个无理数m可以是_______．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了无理数的定义，实数的大小比较．
由于无理数满足，即，因此可以是大于的任意一个无理数，如．
【详解】解：∵为无理数，且，即，
∴这个无理数可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
1．（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）比较下列各组数中两个数的大小：
(1)和3．
(2)与．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握平方法比较正数大小和负数比较大小的规则是解题的关键．
（1） 两个正数比较大小，可通过平方法，平方值大的原数更大．分别计算两数的平方，比较平方结果即可；
（2） 两个负数比较大小，先比较它们的绝对值，用平方法比较绝对值的大小，再根据负数比较规则判断原数大小．
【详解】（1）解：，，，
．
（2）解：，，，
，
．
2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）（1）过A，B两点画一条数轴，使A，B两点所表示的数互为相反数．
（2）在你所画的数轴上表示下列各数：，2，，，并用“<”连接起来．
______<______<______<______．
【答案】（1）见解析；（2）数轴表示见解析，，，2，
【分析】本题考查了数轴，利用数轴比较有理数的大小，以及立方根的意义，熟练掌握利用数轴比较有理数的大小是解题的关键．
（1）根据A，B两点间的距离为8个格子的长度，根据A，B两点所表示的数互为相反数，画出数轴即可；
（2）先化简，再将各数标在数轴上，根据数轴的性质，越往左越小，越往右越大，进行大小比较即可．
【详解】解：（1）、B两点之间有8个格子，故在A、B之间确定原点O，则A，B两点所表示的数互为相反数．
，
（2），
，
故答案为：，，2，
3．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）观察下列等式，并回答问题：
第1个；
第2个；
第3个；
第4个；
……
(1)化简：_____；这是第_____个等式．
(2)第个等式是_____．（用含的式子表示）
(3)比较与1的大小．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
（1）根据已知等式的规律可以得到，可以根据规律得到结果．
（2）由前4个等式可以猜想第n个等式为．
（3）利用作差法比较大小．
【详解】（1）解：根据前4个式子可得：，
这是第个等式．
（2）解：由前4个等式可得第n个等式为．
（3）解：∵，
∴．
【典型例题九 程序设计与实数运算】
【例1】（25-26八年级上·山东烟台·期中）根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】先计算的结果，若结果小于2，则输出结果，若结果大于或等于2，则把结果作为x的值重新输入到进行计算，据此逐步求解即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
，
，
∵，
∴，
∴输出的结果为．
【例2】（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）一个数值转换器的原理如图．当输入的为时，输出的是（ ）
　
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数值转换器的原理，输入后先取算术平方根，若结果为有理数则继续取算术平方根，若结果为无理数则输出，据此逐步计算即可求解．
【详解】解：当时，是有理数，
∴需重新输入进行计算，
是无理数，
∴输出．
【例3】（24-25八年级下·广东惠州·阶段检测）如图，输入的值为，则输出的数值_______．
【答案】2
【分析】本题考查了实数混合运算，理解运算程序是解题的关键．
根据运算程序把代入，进行计算即可得解．
【详解】解：∵
∴．
故答案为：2．
【例4】（24-25八年级下·山东潍坊·阶段检测）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的y值是__________．
【答案】
【分析】本题考查实数的分类及运算．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案．
【详解】解：由所示的程序可得：25的算术平方根是5，5是有理数，
再取5的平方根，是无理数，输出为y，
∴开始输入的x值为25，则最后输出的y值是．
故答案为：．
1．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图为一个数值转换器．
(1)若输入的值为，则输出的值为______；若输入的值为，则输出的值为______；
(2)若输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为，求输入的的值；
(3)某同学输入的非负数值后，却始终不输出值，请你分析，他输入的值是？
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）由数值转换器得到的式子，将值代入计算即可；
（2）逆向运用数值转换器计算即可；
（3）由题意得出取算术平方根始终为有理数，再由的算术平方根是其本身即可得到答案．
【详解】（1）解：由图中的数值转换器得到式子，
当时，；当时，，再将代入得；
（2）解：当时，，则；
（3）解：由于始终不输出，说明取算术平方根始终为有理数，根据的算术平方根是其本身，
∴当或1时，始终输不出值．
2．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器，其工作原理如图所示．

(1)当输入的x值为时，求输出的y值；
(2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
(3)若输出的y值是，直接写出x的负整数值．
【答案】(1)
(2)1或2或3，理由见解析
(3)或．
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可；
（2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；
（3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案．
【详解】（1）解：当时，，
4的算术平方根为，
而2是有理数，2的算术平方根为，
故答案为：；
（2）解：1或2或3，理由如下：
∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，
∴当或0时，
解得或2或3，
∴当或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数；
（3）解：若1次运算就是，
∴
∴
∴解得或，
∴x为负整数，
则输入的数为；
若2次运算输出的数是，
∴
∴
∴解得或
∵
∴不符合题意，或
综上所述，或．
【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键．
3．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）有一个数值转换器原理如图．
(1)当时，y是多少？
(2)输入的x能是任何实数吗？为什么？
(3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由；
(4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个．
【答案】(1)
(2)输入的x不能是任何实数，理由见解析
(3)或时始终在进行循环计算而输不出y的值
(4)若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：、．
【分析】本题主要考查了算术平方根、代数式求值、无理数等知识点，掌握无理数的定义成为解题的关键．
（1）把代入程序中计算即可确定出y的值；
（2）根据算术平方根的有意义的条件即可解答；
（3）根据程序确定出x的值即可；
（4）举反例即可解答；
【详解】（1）解：当时，，
，4不是无理数不能输出
，2不是无理数不能输出
是无理数，输出．
所以输出y是．
（2）解：输入的x不能是任何实数，理由如下：
当x是正数时，x与的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x不能是任何实数．
（3）解：存在x的值输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值；
∵0和1的算术平方根是0和1
∴当或，即或时始终在进行循环计算而输不出y的值．
（4）解：若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：，，3再次输出为；，，，3再次输出为；所以输入x值不唯一．
【典型例题十 实数运算的实际应用】
【例1】（24-25七年级下·北京顺义·期中）一罐饮料净重克，罐上注有“蛋白质含量”，其中蛋白质的含量为（　　）
A．克 B．大于克 C．不小于克 D．不大于克
【答案】C
【分析】根据实数的乘法解决此题．
【详解】由题意得，该饮料中蛋白质的含量最少为克．
该饮料中蛋白质的含量不少于克．
故选：C．
【点睛】本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的乘法是解决本题的关键．
【例2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．
【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2，
∴两个正方形的边长分别是，2，
∴阴影部分的面积
故选A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长.
【例3】（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）已知a，b均为有理数，且满足等式5﹣a＝2b+﹣a，则ab=____．
【答案】
【分析】已知等式整理后，根据a与b为有理数求出a与b的值，即可求出a+b的值.
【详解】解：已知等式整理得:5﹣a＝（2b﹣a）+，
可得，
解得: ，
故，
故答案为：
【点评】此题考查了实数的运算，以及无理数与有理数，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
【例4】（24-25七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案．
【详解】解：千米/时，
∴
故答案为：>．
1．（24-25七年级下·江西赣州·期末）如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，．
(1)求长方形的周长；
(2)图中两块阴影部分的面积之和为_________．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意．
（1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可；
（2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积；
解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则．
【详解】（1）解：∵两个正方形的面积分别为，，
∴小正方形的边长为，
大正方形的边长为，
∴长方形的周长为；
（2）∵
，
∴两块阴影部分的面积和为．
故答案为：．
2．（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是．
(1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______．
(2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n．
①求的立方根．
②求的值．
【答案】(1)
(2)①；②5
【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键．
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由题意得，①把代入进行进行求解即可；
②把代入进行求解即可．
【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为；
故答案为：；
（2）解：由题意得：，
①，
∵，
∴的立方根为；
②．
3．（24-25八年级上·四川成都·期末）为庆祝元旦，某校甲、乙两个校区准备举行联合文艺汇演，甲、乙两校区共112位学生参与演出，其中甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，现准备统一购买服装（一人购买一套）参加演出，下面是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1套至55套 56套至110套 110套及以上
每套服装的价格 70元 60元 50元
如果两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元．
(1)若甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省多少钱？
(2)甲、乙两校区各有多少学生参加本次演出？
(3)若甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，丙学校购买的服装比甲校区少12套，那么服装厂卖给丙学校服装时共获利多少元．
【答案】(1)1640元
(2)甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人
(3)元
【分析】本题考查实数计算，一元一次方程实际应用，
（1）根据题意列出合起来购买服装的算式，再减去分开购买即为本题答案；
（2）根据题意设甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人，可知甲校参演人数大于人小于人，乙校区参演人数小于人，再列出一元一次方程即可；
（3）根据题意先求出服装厂一件成本，再求出丙校区购买套数，继而求出本题答案．
【详解】（1）解：根据题意：（元），
∵两个校区分别单独购买服装，一共应付7240元，
∴（元），
答：甲、乙两校区联合起来购买服装，比两校区分别单独购买服装共可以节省1640元；
（2）解：设甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人，
∵甲校区参演人数多于乙校区参演人数，且甲校区参演人数不足110人，
∴，解得：，
乙校区参演人数为：（人），
答：甲校参演人数为人，乙校区参演人数为人；
（3）解：∵甲校区参演人数为60人，
又∵甲校区单独购买时，服装厂每套服装获利50%，
∴设服装厂每套服装成本元，
，即：，
∵丙学校购买的服装比甲校区少12套，
∴丙校区购买了：（套），
∴（元），
答：服装厂卖给丙学校服装时共获利1440元．
【典型例题十一 用科学记数法表示】
【例1】（2026·海南海口·模拟预测）一个整数510…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】本题考查科学记数法的概念，将科学记数法还原为原数，再数出原数中0的个数即可解题．
【详解】解：，
数原数可得，原数中0的个数为7．
故选：D．
【例2】（2026·湖北武汉·二模）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星的高度约为万，将数据万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：．
【例3】（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）若数a用科学记数法表示为，则a的原数为________．
【答案】703000
【分析】本题考查了将科学记数法表示的数转换为原数．
将科学记数法表示的数转换为原数，需将系数乘以10的幂次，即根据指数正负移动小数点位置．
【详解】解：指数5为正数，因此将系数的小数点向右移动5位，得到703000．
故答案为：703000．
【例4（25-26七年级下·江苏徐州·期中）2025年，北京大学团队研制出全球领先的二维环栅晶体管，其关键绝缘层厚度仅为米，用科学记数法表示为______．
【答案】
【详解】解：．
1．（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）把下列用科学记数法表示的数的原数填在横线上．
(1)___________．
(2)___________．
(3)___________
(4)___________．
【答案】(1)3618
(2)-21000
(3)
(4)-800000
【分析】本题考查了的是科学记数法的表示方法，解答的关键是理解掌握科学记数法的表示方法.
科学记数法的标准形式为（n为整数）；数据中的，指数n等于3，所以需要把3.618的数小数点向右移动3位，就得到原数，同理解答其他小题.
【详解】解：（1）
（2）
（3）
（4）
故答案为： （1）3618；（2）-21000；（3）-712.3；（4）-800000．
2．（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）在我国，平均每平方千米的陆地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧的煤所产生的能量．我国约960万的陆地，一年从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克的煤所产生的能量（结果用科学记数法表示）？
【答案】
【分析】先将960万平方千米转化为科学记数法形式，再根据题意列式计算，最终结果用科学记数法表示即可．
【详解】解：先将我国陆地面积转化为科学记数法形式960万
根据题意列式计算总能量对应的煤的质量
答：一年从太阳得到的能量相当于燃烧的煤所产生的能量．
3．（24-25八年级上·山东德州·阶段检测）我们常用“水滴石穿”来说明一个人只要持之以恒地做某件事，就一定能成功．经测算，当水滴不断地滴在一块石头上时，经过10年，石头上可形成一个深为1厘米的小洞，那么平均每个月小洞的深度增加多少米 （结果保留三个有效数字，并用科学记数法表示）
【答案】米
【分析】本题考查了科学记数法的应用，科学记数法的表示形式为，其中，为整数．
首先分别求出10年共有个月，1厘米米，然后根据除法计算法则进行求解，然后根据科学记数法的法则进行计算．
【详解】解：∵10年个月，1厘米米，
∴平均每个月小洞的深度增加
（米）．
答：平均每个月小洞的深度增加米 ．
【典型例题十二 实数的混合运算】
【例1】（2026·北京丰台·二模）实数a，b在数轴上对应的点A，B位于原点的两侧，且到原点的距离相等，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵实数，对应的点，在原点两侧，且到原点距离相等
∴与互为相反数，即，且，
选项A，互为相反数的两个数绝对值相等，故一定成立；
选项B， ，故一定成立；
选项C，题目未说明，的正负，若，则，此时 ，故不一定成立；
选项D，，异号，异号两数相乘为负，故一定成立．
【例2】（24-25八年级下·甘肃天水·期中）计算结果为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查绝对值，实数的加减，掌握知识点是解题的关键．
原式为多个绝对值之和，每个绝对值均为两个连续平方根之差．由于平方根函数单调递增，每个绝对值可化简为后一个平方根减前一个平方根，形成望远镜求和，中间项相互抵消，最终结果为最后一个平方根减去第一个平方根．
【详解】解：
=，
．
故选：B．
【例3】（25-26七年级下·河北唐山·期中）计算的结果是________．
【答案】
【详解】解：
．
【例4】（25-26八年级上·上海虹口·寒假作业）若是实数，且，，那么的值是____．
【答案】
【分析】本题主要考查代数式代入消元法、配方法的代数变形技巧、非负数的性质(若干非负数的和为0则各非负数均为)，同时综合考查了含二次根式的实数运算，是代数变形与非负数性质结合的典型题型．由条件 和，将代入第二式得．考虑关于的二次部分，其判别式为，故，且等号成立时．由此确定和的值，进而计算．
【详解】解：∵ 代入，得，
即，
∵，
∴，
∵是实数，
∴，，
∴，，
∵两个非负数之和为，则两者必同时为，
∴且，
解得，
∴代入，得，
∴，
故答案为：．
1．（25-26七年级下·广西北海·期中）如图，数轴上表示的对应点分别为点，为的中点．设点表示的数为，求的值．
【答案】
【分析】根据为的中点得，即，可得，然后用整体代入法求解即可．
【详解】解：，
∵为的中点，
∴，即，
∴，
∴．
2．（25-26七年级下·山东临沂·期中）已知是的整数部分，是它的小数部分．
(1) ，
(2)求的值．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）先用估值法找到整数部分，再根据无理数的小数部分 = 原数 - 整数部分即可求出小数部分；
（2）把求出的的值代入代数式计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴整数部分，小数部分；
（2）解：把，代入，得
．
3．（25-26七年级下·云南昆明·期中）仔细阅读表格中的内容，并应用相关知识解答下列问题．
知识准备 ①无限不循环小数叫作无理数． ②是无理数．
提出问题 如何表示的小数部分？
解决问题 ∵，∴的小数部分表示为．
(1)求的小数部分；
(2)已知a为整数，，，求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用无理数的估算求解；
（2）首先利用无理数的估算求出a，b的值，然后代入求平方根．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的小数部分为；
（2）解：∵，
∴．
∴．
∵，a为整数，，
∴，，
∴，121的平方根是，
∴的平方根是．
【典型例题十三 新定义下的实数运算】
【例1】（25-26八年级上·天津·阶段检测）设a ，b是实数，定义* 的一种运算如下：，则下列结论错误的是（ ）
A．，则 B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义可得，据此可判断A；根据新定义可得，据此可判断B；当时，，，据此可判断C；根据新定义可得，据此可判断D．
【详解】解：A、∵，
∴当，，
∴，
∴，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∴，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴当时，，
，
∴此时等式不成立，原说法错误，符合题意；
D、∵，
∴，
∴，原说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【例2】（25-26七年级下·广西北海·期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，如，则的结果是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：根据题中的新定义得：
．
【例3】（2026·河南周口·一模）规定运算：则3 5=____．
【答案】13
【分析】根据定义，先判断3和5的大小，然后根据定义进行相应的计算即可．
【详解】解：∵，
∴3 5．
【例4】（24-25七年级下·山东德州·期中）用“”表示一种新运算：对于任意正实数，都有．例如，那么_____．
【答案】/
【分析】先求，再求即可．
【详解】解：，
∴．
1．（25-26八年级下·北京·期中）已知，都是正整数，现定义新运算：．
(1)计算：= ， ；
(2)若 ，则的值为 ．
【答案】(1)；
(2)64或4
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）分两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：，则；
，则
，则；
（2）解：当时，
解得，
经检验，符合题意；
当时，
解得，
经检验，符合题意
综上：的值为64或4．
2．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）我们规定，若任意实数满足，则称与是关于的对称数．例如：，则5与3是关于4的对称数．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)若数与是关于的对称数，求数的值；
(2)若，判断与是否是关于7的对称数，并说明理由．
【答案】(1)
(2)是关于7的对称数
【分析】（1）根据“对称数”的定义代入计算即可．
（2）根据实数的运算得出x，y的值，然后再根据“对称数”的定义代入计算并判断即可．
【详解】（1）解：∵数与是关于的对称数，
∴，
．
∴．
（2）解：是关于7的对称数，理由如下：
，
∵；，
∴，
∴与是关于7的对称数．
3．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）小明同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，．
(1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作；
探究性质：的四次方根________；
的四次方根________；
________（填“存在”或“不存在”）
(2)巩固应用：
比较________（填、或）
计算：；
解方程：．
【答案】(1)；；不存在；
(2)；；或．
【分析】（）根据四次方根即可求解；
根据四次方根即可求解；
根据四次方根即可求解；
（）利用无理数的估算方法即可较大小；
根据四次方根和立方根定义即可求解；
根据四次方根即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴的四次方根是，
故答案为：；
∵，
∴的四次方根是，
故答案为：；
不存在，
故答案为：不存在；
（2）解：由，
∴，即，
由，
∴，即，
∴，
故答案为：；
；
，
∴或．
【典型例题十四 与实数运算相关的规律题】
【例1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（ ）
A． B． C． D．2024
【答案】C
【分析】本题考查算术平方根、立方根以及数字的变化类．根据这列数据的排列规律即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，；，，；，，；，
每三个相邻的数为一组，
由于，
2024处在第674组后的第2个数，因此可得，
第2024个数应是．
故选：C．
【例2】（24-25七年级下·北京·期中）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②：将荧幕显示的数变成它的倒数；③：将荧幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．
若开始输入的数据为10，那么第2020步之后，显示的结果是（ ）
A．0.01 B．0.1 C． D．100
【答案】A
【分析】本题主要结合计算器的使用考查规律，根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论．找到规律是解题的关键．
【详解】解：根据题意得各步显示的数如下：
第一步：，第二步：，第三步：；
第四步： ，第五步：，第六步：；
第七步：，第八步：，第九步：；
……
所以显示的数是六步一个循环，
∵，
∴按了第2020下后荧幕显示的数与第四步相同，所以显示的数是0.01．
故选：A．
【例3】（25-26七年级下·广西贵港·期中）已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，……，则第216个数是______．
【答案】6
【分析】观察可知，数列中各项的被开方数是从开始的连续自然数，每个数为一组，每组第一个数为负平方根，第二个数为正平方根，第三个数为正立方根，据此求解即可．
【详解】解：由分析可知，每组内按顺序形式为：第一个位置是，第二个位置是，第三个位置是，
∵，
第216个数是第72组的第3个数，形式为，
计算得．
【例4】（24-25八年级下·山东德州·期中）先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③；
…
请你利用发现的规律，计算：
______．
【答案】/
【分析】①；②；③，得到，列式计算即可．
本题考查了二次根式中规律探索，实数的计算，熟练掌握规律探索是解题的关键．
【详解】解：①；
②；
③，
故，
故
，
故答案为：．
1．（24-25九年级·江苏南京·自主招生）计算：．
【答案】
【分析】本题是规律探索问题，考查了分式的化简，实数的运算，找到规律是解题的关键；由题意得各项规律，并化简得，由此即可计算出结果．
【详解】解：因为，
所以原式
．
2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……按照以上规律，解决下列问题．
(1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示）
(2)请用（1）中你发现的规律计算：．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）观察3个等式得出第5个等式和第个等式；
（2）根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：第5个等式：，
第个等式：；
（2）解：
．
3．（24-25八年级上·四川成都·期末）“杨辉三角”是中国古代数学重要的成就之一，最早出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，如图1．
(1)求图1中第8行第5个数是__________；
(2)求图1中前100行所有的数字之和；
(3)“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第n层的圆球数记，求的值．
【答案】(1)35
(2)
(3)
【分析】本题主要考查数字规律计算和有理数混合运算，
（1）根据规律知第8行第5个数为第7行第4个数字和第5个数字之和；
（2）根据规律的第n行数字之和，前100行所有的数字之和为，记，，则；
（3）由题意可得，则，使用裂项即可求得答．
【详解】（1）解：根据规律知第8行第5个数为；
故答案为：35；
（2）由题知，第1行数字之和1，
第2行数字之和，
第3行数字之和，
第4行数字之和，
第100行中所有数字之和为，
所有数字之和，
记，，
；
前100行的数字之和为．
（3）由题意可得：，，……
，
，
．
1．（2026·江苏徐州·一模）下列整数，与最接近的是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】先将变形为；根据，得，确定其在4和5之间；
计算中间值，得，说明更接近5，即与 最接近的整数是5．
【详解】解：，，
，
∵，
，
选项中的整数，与最接近的是5．
2．（2026·河北保定·二模）某快递中心每小时能分拣件包裹，为提升效率，在优化流程后每小时分拣量为原来的倍．若将优化后每小时的分拣量用科学记数法表示为，则a的值是（ ）
A．8 B．4.375 C．3.5 D．35
【答案】C
【分析】先计算的倍，再确定a的值即可．
【详解】解：．
故．
3．（25-26七年级下·山东临沂·期中）《九章算术》中勾股术曰：“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，即（a为“勾”，b为“股”，c为“弦”）．若“勾”为，“股”为2，则“弦”在如图所示的数轴上可表示在（ ）
A．A点 B．B点 C．D点 D．C点
【答案】B
【分析】先根据题意求出“弦”，再确定这个数的范围，并在数轴上表示出来可得答案．
【详解】解：设“弦”为x，根据题意，得
．
∵，
∴，
所以在数轴上表示在点B．
4．（25-26七年级下·重庆璧山·期中）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法其中正确的是（ ）
①当输出值为时，输入值为3或9；
②当输入值为16时，输出值为；
③存在这样的正整数，输入之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值；
④对于任意的正无理数，都存在正整数，使得输入后能够输出．
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④
【答案】B
【分析】根据程序运算图逐项判断即可求解．
【详解】解：①∵输出值为时，
∴输入值为或或等，故①错误；
②当时，∵是有理数，
∴重新输入，
∵是有理数，
∴重新输入，
∵是无理数，
∴输出值为，故②正确；
③当时，的算术平方根为，该生成器能够一直运行，但始终不能输出值，故③正确；
④当为正无理数时，不存在正整数，使得，故④错误；
综上，说法正确的是②③．
5．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）将1，，，按下列规律排列，若规定表示第m排从左至右第n个数，例如，表示．那么，表示和的数的积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由图可知，第排有个数，以、、、四个数字为一组进行循环，前排共有个数字，进而确定与的数字，求积即可．
【详解】解：由图可知：第一排： 1 个数，第二排 2 个数，第三排 3 个数，第四排 4 个数，第排有个数，从第一排到第排共有：个数，且每四个数一个循环，表示第排第5个数，
∵前4排共有个数，
∴为第个数，
，
∴表示的数是；
∵表示第10排第8个数即第53个数，
，
∴表示的数为，
∴表示和的数的积是；
6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，且，是两个连续的整数，则的值为__________．
【答案】
【分析】利用夹逼法估算无理数的范围，得到连续整数，的值，再代入计算幂的值即可．
【详解】解：，
，
即，
又，且，是两个连续的整数，
，，
将，代入得：．
7．（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为_________
【答案】
【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可．
【详解】解：当输入是16时，取算术平方根是4，4是有理数；
再把4输入，4的算术平方根是2，2是有理数；
再把2输入，2的算术平方根是，是无理数，
所以输出y的值是．
8．（2026·山东潍坊·一模）我国科研团队在光钟研制方面取得里程碑式进展，成功将锶原子光晶格钟的稳定度和不确定度指标全面突破量级，相当于约300亿年的误差不超过1秒，那么每年的误差不超过__________秒．（结果用科学记数法表示，保留两位有效数字）
【答案】
【分析】先将300亿用科学记数法表示，再根据题意计算每年的误差，最后按要求保留有效数字，用科学记数法表示结果．
【详解】解：由题意得：
300亿，
每年误差不超过：
．
9．（2026·陕西西安·模拟预测）规定新运算“☆”：对于任意实数，都有，例如：，则____________
【答案】/
【分析】根据新运算法则进行即可．
【详解】解：∵，
∴．
10．（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）如图，正方形方格的每一方格的边长为1个单位，依次连接各边的中点，，，得正方形，以顶点为圆心，长为半径画圆交数轴的负半轴于点，则数轴上点对应的无理数是_____．
【答案】
【分析】根据网格的特点求得对应的数为1，求得正方形的面积为2，进而求得的长度，根据题意，可得点对应的无理数．
【详解】解：依题意，每一方格的边长为1个单位．
∴C对应的数是1，
∵正方形的面积等于4个小正方形的面积的一半，
∴正方形的面积为2，
，
以顶点为圆心，长为半径画圆交数轴于点，
，
∴P点对应的无理数是．
11．（25-26八年级上·上海虹口·期中）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）．
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{ …}；
(4)负实数集合：{ …}．
【答案】(1)
(2)，，…（小数部分由相继的正整数组成），
(3)
(4)（小数部分由相继的正整数组成），，，
【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
（1）（2）（3）（4）根据有理数、无理数、正实数、负实数的定义分类即可．
【详解】（1）解：有理数集合：；
（2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}；
（3）解：正实数集合：；
（4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}．
12．（25-26八年级上·上海·期中）用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留）
【答案】选用圆形方案围成的场地面积较大，最大面积是．
【分析】本题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，若围成正方形场地，则边长为，面积为；若围成圆形场地，则圆的半径为，面积为，然后比较大小即可解决问题．
【详解】解：当围成正方形场地时：面积，
当围成圆形场地时：面积，
∵，
∴围成圆的面积较大，最大面积是．
13．（24-25七年级下·山东济宁·期中）阅读下列材料：
小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小
请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题
(1)
由此可归纳出结论： _________．
(2)根据上面的结论计算：
类似的：
__________；
(3)类比应用：__________；
(4)请你根据以上总结的结论，比较与的大小．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了实数的运算，与实数有关的规律探索，实数比较大小等等：
（1）根据题意可得规律；
（2）根据结合题意求解即可；
（3）先求出，再由进行求解即可；
（4）仿照（3）求出，，再利用作差法求解即可．
【详解】（1）解：
以此类推可得， ，
故答案为：．
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
故答案为：；
（4）解：∵，
，
∴，
，
∵，
∴．
14．（2026·浙江温州·二模）【阅读理解】
同学们，我们来学方差公式：近似计算算术平方根的方法．
例如求的近似值．
因为，所以．
则有以下两种估算方式：
方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ．
【比较分析】
(1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由．
【迁移应用】
(2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）．
【答案】(1)
方式一得出的近似值精确度更高
(2)
选择方式一：，选择方式二：
【分析】（1）比较与6、7的距离，再判断估算方法的误差大小，由此即可求解；
（2）先确定的取值范围，再根据材料提示方法计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴更接近6，
∴在方式一中用6代替所产生的误差更小，
∴方式一得出的近似值精确度更高；
（2）解：∵，
∴，
方式一：∵，
∴，即，
∴；
方式二：∵，
∴，即，
∴；
∴选择方式一：，选择方式二：．
15．（25-26七年级下·山西大同·期中）阅读下列材料：
材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1的小正方形的对角线长．
材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中A0纸的面积为1平方米，将A0纸沿长边对折、剪开，便成A1纸；将A1纸沿长边对折、剪开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、剪开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、剪开，便成A4纸，如图2，我们日常使用的A4纸就是这样由A0纸多次对折裁开得到的．
将A4纸按如图3所示的方式折叠，则A4纸的长宽__________．
请根据材料回答下列问题：
(1)A5纸的面积是__________平方米．
(2)A4纸的长宽__________．
(3)按照图2的系列纸生成过程，经过探究发现，系列纸有一个固定的特点：每一张纸的长与宽之比都相等．请你估算面积为1平方米的A0纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，）
【答案】(1)
(2)
(3)A0纸的长为，宽为
【分析】（1）根据系列纸的面积规律即可求出答案；
（2）根据折叠的性质和材料中得到的正方形的性质即可求出答案；
（3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知， A0纸的面积为1平方米，
A1纸的面积为平方米，
A2纸的面积为平方米，
A3纸的面积为平方米，
A4纸的面积为平方米，
A5纸的面积是平方米．
（2）解：如图，
由折叠的性质可知，由材料一可知，在图3折叠得到正方形中，
，即A4纸的长宽之比为；
（3）解：设纸的宽为，则长为，
依题意得，
，
∵，
∴，
∵（负值不合题意，舍去），
∴，
∴，
答：纸的长为，宽为．
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