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第04讲 二次根式及其性质（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 求二次根式的值
典型例题二 求二次根式中的参数
典型例题三 二次根式有意义的条件
典型例题四 利用二次根式的性质化简
典型例题五 复合二次根式的化简
典型例题六 最简二次根式的判断
典型例题七 化为最简二次根式
典型例题八 已知最简二次根式求参数
知识点01二次根式的定义
形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.
【即时训练】
1．（2026八年级上·上海·专题练习）下列是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·上海长宁·模拟预测）请写出一个系数为正整数的二次根式________．
知识点02 二次根式有无意义的条件
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【即时训练】
1．（2026·上海闵行·模拟预测）式子在实数范围内无意义，则的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．6
2．（2026·江苏徐州·二模）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
知识点03 二次根式的性质
（1），（双重非负性）．
（2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
应用：在实数范围内分解因式：（3）
（4）=·（a≥0，b≥0）
（5）=（a≥0，b>0）
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海宝山·期末）下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·安徽合肥·三模）计算：__________．
知识点04 二次根式的化简
（1）二次根式化简的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式．
（2）最简二次根式的条件：
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【即时训练】
1．（2026·山西临汾·二模）将二次根式化简，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级下·江西·阶段检测）将化为最简二次根式为___________．
【典型例题一 求二次根式的值】
【例1】（25-26八年级上·上海松江·期中）当时，二次根式的值为（ ）
A．4 B． C． D．
【例2】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）在式子中，二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）当时，二次根式_____．
【例4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________．
1．（24-25八年级上·上海长宁·期中）若求的值．
2．（24-25八年级说·上海虹口·期中）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．
(1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简；
(2)当时，求输出的结果．
3．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求．
(1)______的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______；
(3)当时，求的值．
【典型例题二 求二次根式中的参数】
【例1】（25-26八年级上·上海青浦·阶段检测）若为正整数，是整数，则m的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例2】（24-25八年级下·广东江门·期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
【例3】（24-25八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为_____．
【例4】（24-25八年级上·甘肃天水·阶段检测）计算：如果，那么___________；___________．
1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）若 是整数，求自然数 n 所有可能的值．
2．（24-25八年级下·江西新余·期中）已知有理数、满足等式．
(1)求的平方根；
(2)计算：．
3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．
(1)【回顾旧知，类比求解】
解方程：．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解．
(2)【学会转化，解决问题】
①运用上面的方法解方程：；
②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【典型例题三 二次根式有意义的条件】
【例1】（25-26八年级下·新疆喀什·期中）下列式子不是二次根式的是（ ）
A． B．（） C． D．
【例2】（25-26八年级下·河南周口·期中）若成立，则的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
【例3】（2026·上海宝山·二模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
【例4】（2026·江西上饶·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
1．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）若a，b为实数，，且，求的值．
2．（25-26八年级下·吉林松原·期中）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空．
(1)例：已知，求的值．
解：由得，_____，_____，_____；
(2)尝试应用
若为实数，且，化简：
(3)拓展创新
①已知，求的值．
②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简．
3．（25-26八年级下·山东临沂·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件，解得：，
，
原式．
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简；
【类比迁移】
(2)实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．
【典型例题四 利用二次根式的性质化简】
【例1】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）已知是整数，则正整数的最小值为( )
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的值为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级下·山东济宁·期中）当时，的值为______．
【例4】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若，，，则______．
1．（25-26八年级下·安徽安庆·阶段检测）【观察·发现】观察下表中的式子，并发现其中的规律：
第个 第个 第个 第个 第个 第个 …
…
【归纳·说理】根据上表式子所包含的规律，解决问题：
(1)估计第个式子的值在哪两个连续整数之间，试说明理由；
(2)写出第个式子，并化简．
2．（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）求代数式的值，其中．如表是小明和小颖的解答过程：
小明 小颖
解：原式． 解：原式．
(1)填空： 的解法是错误的；
(2)求代数式的值，其中．
3．（24-25八年级下·广东江门·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；；
(1)填空： ， ．
(2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ．
【拓展提升】
(3)化简：（请写出化简过程）．
【典型例题五 复合二次根式的化简】
【例1】（24-25八年级下·河北石家庄·阶段检测）下面的推导中开始出错的步骤是（ ）
因为，①
，②
所以.③
所以.④
A．① B．② C．③ D．④
【例2】（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25八年级上·上海松江·期中）把中根号外因式适当变形后移至根号内得______．
【例4】（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则
请你仿照小明的方法解决下列问题：
若则___________，___________．
1．（25-26八年级下·河北雄安·期中）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：．
解决问题：
(1)在横线上填上适当的数：
______．
(2)根据上述思路，试将予以化简．
2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，由于即，；
．
由上述例题的方法化简：．
3．（24-25八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
(1)文中的________．
(2)化简：________．
(3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
(4)化简：________．（直接写出答案）
【典型例题六 最简二次根式的判断】
【例1】（25-26八年级下·山东济宁·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段检测）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级下·广东惠州·期中）在二次根式、、、、中，最简二次根式有___________个．
【例4】（25-26八年级上·上海松江·课后作业）下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是________（填序号）．
1．（24-25八年级下·四川德阳·阶段检测）根式中，最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25八年级·上海松江·假期作业）在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有__个．
3．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简．
(1)；
(2)；
(3)．
【典型例题七 化为最简二次根式】
【例1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·上海松江·课后作业）是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（ ）
A．1 B． C． D．5
【例3】（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）将化为最简二次根式是________．
【例4】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则________．
1．（25-26八年级上·上海松江·期中）请观察式子：，．
仿照上面的方法解决下列问题：
(1)化简：①；②；③．
(2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果．
2．（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）观察以下等式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：_________________．
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并给出证明过程．
3．（24-25八年级上·福建泉州·阶段检测）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．它是数学的重要方法，可以解决多项式、方程的相关问题．
例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值．
，
∴当时，有最小值．
请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题：
(1)若，请求出a、b的值；
(2)若代数式的最小值为，试求出k的值．
【典型例题八 已知最简二次根式求参数】
【例1】（24-25八年级下·河南漯河·阶段检测）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（ ）
A．20 B．5 C．4 D．2
【例2】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例3】（24-25八年级上·河南南阳·期末）若是最简二次根式，则m的值可以是_____（写一个即可）．
【例4】（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）若和都是最简二次根式，则___________，___________．
1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）已知最简二次根式与能合并，求m的值．
2．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并．
(1)求的值．
(2)若，求的值．
3．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根．
(1)求的平方根：
(2)若，求的值．
1．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）下列式子中，是二次根式的有( )
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（25-26八年级下·河北邢台·期末）若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
4．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（ ）
A．136 B．131 C．100 D．94
5．（25-26八年级下·广东惠州·期中）一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：．请你利用上述方法化简复合二次根式：（）
A． B． C． D．
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知，均为实数，，则的值为________．
7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化各式为最简二次根式：①___________；②__________；
8．（2025八年级下·广东·专题练习）已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__．
9．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）嘉嘉用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：
输入 0 1 2 3 4 5 …
输出 0 2 …
若输入数字为10，输出数字记为a，则________．
10．（25-26八年级下·广东江门·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____．
11．（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）试化简：；
（2）已知a，b满足，，求．
12．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题：
(1)当为何值时，该二次根式有意义？
(2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值．
13．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程：
(1)_______的解法是错误的．
(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______________．
(3)当时，求的值．
14．（24-25八年级上·上海松江·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：
．
解决问题：
(1)在横线和括号内上填上适当的数：
；
(2)根据上述思路，试将予以化简．
15．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）【阅读材料】小宇在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小宇进行了以下探索：若设（其中、、、均为整数），则有，，这样小宇就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小宇的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
(1)若，当，、，均为整数时，则________，________．（均用含x，y的式子表示）
(2)若，且，，均为正整数，分别求出，，的值；
【拓展延伸】
(3)化简________．
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第04讲 二次根式及其性质（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 求二次根式的值
典型例题二 求二次根式中的参数
典型例题三 二次根式有意义的条件
典型例题四 利用二次根式的性质化简
典型例题五 复合二次根式的化简
典型例题六 最简二次根式的判断
典型例题七 化为最简二次根式
典型例题八 已知最简二次根式求参数
知识点01二次根式的定义
形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号；
判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数.
【即时训练】
1．（2026八年级上·上海·专题练习）下列是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义判断各选项的被开方数是否恒为非负数即可解答．
【详解】解：选项A中被开方数，即不是二次根式；
选项B中a的符号不确定，当时被开方数为负数，即不一定是二次根式；
选项C中，即，被开方数恒为非负数，符合二次根式定义，故 选项C是二次根式；
选项D中，当时，，被开方数为负数，故不一定是二次根式．
2．（2026·上海长宁·模拟预测）请写出一个系数为正整数的二次根式________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】一个系数为正整数的二次根式形如，其中系数k为正整数，被开方数a为非负数，据此即可得到答案．
【详解】解：根据题意得一个系数为正整数的二次根式为（答案不唯一）．
知识点02 二次根式有无意义的条件
（1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
（2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
【即时训练】
1．（2026·上海闵行·模拟预测）式子在实数范围内无意义，则的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．6
【答案】A
【分析】二次根式在实数范围内无意义时，被开方数为负数，据此求出x的取值范围，再结合选项判断即可．
【详解】∵式子在实数范围内无意义，
∴由题意得 ，
解得，
观察选项，只有，符合条件，
故选：A．
2．（2026·江苏徐州·二模）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
知识点03 二次根式的性质
（1），（双重非负性）．
（2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
应用：在实数范围内分解因式：（3）
（4）=·（a≥0，b≥0）
（5）=（a≥0，b>0）
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海宝山·期末）下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的定义和性质逐一判断选项即可．
【详解】选项A：∵，
∴选项A错误；
选项B：∵有意义，
∴，即，
∴，
∴选项B错误；
选项C：∵等式左边有意义，可得，
根据二次根式除法法则，，等式一定成立，
∴选项C正确.
选项D：∵，
当时，，
∴选项D错误．
2．（2026·安徽合肥·三模）计算：__________．
【答案】/
【详解】解：
．
知识点04 二次根式的化简
（1）二次根式化简的步骤：
①把被开方数分解因式；
②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；
③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式．
（2）最简二次根式的条件：
被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【即时训练】
1．（2026·山西临汾·二模）将二次根式化简，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：
即化简结果为．
2．（25-26八年级下·江西·阶段检测）将化为最简二次根式为___________．
【答案】
【详解】解：
．
【典型例题一 求二次根式的值】
【例1】（25-26八年级上·上海松江·期中）当时，二次根式的值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】将给定的值代入二次根式，根据二次根式的性质计算即可．
【详解】解：将代入二次根式可得．
【例2】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）在式子中，二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义判断即可，形如的代数式叫做二次根式．
【详解】解：是二次根式，符合题意，
是三次根式，不合题意，
是二次根式，符合题意，
不是二次根式，不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
【例3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）当时，二次根式_____．
【答案】
【分析】将已知的值代入二次根式，根据二次根式的性质化简计算即可得到结果．
【详解】解：把代入中，得，
故答案为：．
【例4】（25-26八年级上·上海·阶段检测）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________．
【答案】 0 1
【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键，
当最小时，的值最大，求出答案即可．
【详解】解：因为的值最大，
所以最小时，符合题意，
即当时，，此时的值最大，
所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1．
故答案为：0，1．
1．（24-25八年级上·上海长宁·期中）若求的值．
【答案】
【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案．
【详解】解：，
，
解得，
．
2．（24-25八年级说·上海虹口·期中）任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算．
(1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简；
(2)当时，求输出的结果．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了代数式求值，正确得出运算程序是解题的关键．
（1）直接利用运算程序进而得出关于m的代数式；
（2）把已知数据代入求出答案．
【详解】（1）解：由题意可得：
；
（2）解：当时，
，
∴输出的结果是．
3．（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求．
(1)______的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______；
(3)当时，求的值．
【答案】(1)小亮
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的性质分析即可；
（2）根据二次根式的性质分析即可；
（3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴
，
当时，
原式，
∴小亮的解法是错误的；
（2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：，
当时，；
（3）解：∵，
∴，
∴原式．
【典型例题二 求二次根式中的参数】
【例1】（25-26八年级上·上海青浦·阶段检测）若为正整数，是整数，则m的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据m是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果．
【详解】解：是正整数，是正整数，
是一个完全平方数，
，
是一个完全平方数，
的最小值为3．
【例2】（24-25八年级下·广东江门·期中）已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
【答案】B
【分析】是整数则一定是一个完全平方数，把3分解因数即可确定．
【详解】解：，而是整数，
的最小值是3．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．
【例3】（24-25八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为_____．
【答案】/0.5
【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
，，
解得：，，
；
故答案：．
【例4】（24-25八年级上·甘肃天水·阶段检测）计算：如果，那么___________；___________．
【答案】 5
【分析】根据二次根式的非负性解答即可，即．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
故答案为：5，．
【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性，熟知是解题的关键．
1．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）若 是整数，求自然数 n 所有可能的值．
【答案】2， 13， 22， 29， 34， 37， 38
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据二次根式的性质进行计算即可解答．
【详解】解：∵n是自然数， 是整数，
∴，，且是平方数，
∴，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴自然数 n 所有可能的值为2， 13， 22， 29， 34， 37， 38．
2．（24-25八年级下·江西新余·期中）已知有理数、满足等式．
(1)求的平方根；
(2)计算：．
【答案】(1)的平方根是；
(2)
【分析】（1）利用二次根式有意义的条件求得，继而求得，代入计算即可求解；
（2）代入，，利用裂项相消，即可求解．
【详解】（1）解：∵，且，，
∴，∴，
∴，
∴的平方根是；
（2）解：代入，，
原式
．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式的定义进行求解．
3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．
(1)【回顾旧知，类比求解】
解方程：．
解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解．
(2)【学会转化，解决问题】
①运用上面的方法解方程：；
②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1)，3，3
(2)①无解，②不能，理由见解析
【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程．
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解；
②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答．
【详解】（1）解：
去根号，两边同时平方得一元一次方程，
解这个方程，得．
经检验，是原方程的解．
（2）解：①
移项，得
去根号，两边同时平方得，
即
解得：，
检验：时，方程左边右边，
∴不是原方程的解，原方程无解；
②若代数式的值等于7，即，
移项，得，
两边同时平方，得，
化简，得，
两边同时平方，得，
∴该方程无解，
∴代数式的值不能等于7．
【典型例题三 二次根式有意义的条件】
【例1】（25-26八年级下·新疆喀什·期中）下列式子不是二次根式的是（ ）
A． B．（） C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义，逐一分析各选项中被开方数的取值范围，判断是否满足非负条件，从而选出不是二次根式的选项．
【详解】解：选项A：∵被开方数，
∴是二次根式，故A项不符合题意．
选项B：∵，满足被开方数非负的条件，
∴是二次根式，故B项不符合题意．
选项C：∵对任意实数，都有，
∴，
∴是二次根式，故C项不符合题意．
选项D：∵被开方数，不满足二次根式的定义，
∴不是二次根式，故D项符合题意．
【例2】（25-26八年级下·河南周口·期中）若成立，则的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，根据二次根式除法的性质列出不等式组，求解得到的取值范围，再结合选项即可得到答案．
【详解】解：因为等式成立，根据二次根式有意义的条件和分式分母不为0的要求，可得
解不等式，得，
解不等式，得，
因此的取值范围为，
对照选项，只有符合取值范围，故选B．
【例3】（2026·上海宝山·二模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可；
【详解】解：∵代数式有意义，
∴被开方数满足 ；
移项得 ；
系数化为得 ；
【例4】（2026·江西上饶·一模）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，据此建立不等式，求解即可．
【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得．
1．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）若a，b为实数，，且，求的值．
【答案】的值为
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．
根据二次根式有意义的条件，结合已知可得的值，从而可得的值，代入计算即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
．
∴的值为．
2．（25-26八年级下·吉林松原·期中）问题情景：请认真阅读下列这道例题的解法并填空．
(1)例：已知，求的值．
解：由得，_____，_____，_____；
(2)尝试应用
若为实数，且，化简：
(3)拓展创新
①已知，求的值．
②已知实数，在数轴上的对应点如图所示，化简．
【答案】(1)2022，2023，
(2)1
(3)①；②
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解；
（2）根据二次根式有意义的条件可求出x的值，从而得到y的值，即可求解；
（3）①根据二次根式有意义的条件可求出，从而得到，然后代入即可求解；
②由数轴得，得到，，然后化简求解即可．
【详解】（1）解：由得，，
∴，
∴；
（2）解：由，得，
∴，
∴；
（3）解：①由，得，
∴，
∴；
②由数轴得，
∴，
∴
．
3．（25-26八年级下·山东临沂·期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：．
解：隐含条件，解得：，
，
原式．
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简；
【类比迁移】
(2)实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可；
（2）先根据数轴得到，，据此化简二次根式和绝对值即可．
【详解】（1）解：∵有意义，
∴，即，
∴
；
（2）解：由题意得，，
∴，
∴
．
【典型例题四 利用二次根式的性质化简】
【例1】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）已知是整数，则正整数的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题根据二次根式的定义和性质求解，先确定被开方数是非负整数，为整数说明是完全平方数，结合正整数取最小值的要求，即可求出结果．
【详解】解：∵是二次根式
∴，即．
∵是正整数
∴．
∵是整数
∴是不大于的完全平方数．
要求的最小值，需要取最大的满足条件的完全平方数．
不大于的最大完全平方数为
∴
解得．
【例2】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质进行化简解答即可．
【详解】解：由数轴可得，
∴
∴．
【例3】（25-26八年级下·山东济宁·期中）当时，的值为______．
【答案】3
【分析】将代入根式中．先计算根号内的减法运算，再利用算术平方根的定义计算最终结果．
【详解】解：将代入二次根式，
得．
【例4】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若，，，则______．
【答案】2
【分析】先根据二次根式的性质求出的所有可能值和的值，再根据确定的具体取值，最后代入计算即可．
【详解】解：根据二次根式的性质可得：，解得；
，
，
∴，
代入得：．
1．（25-26八年级下·安徽安庆·阶段检测）【观察·发现】观察下表中的式子，并发现其中的规律：
第个 第个 第个 第个 第个 第个 …
…
【归纳·说理】根据上表式子所包含的规律，解决问题：
(1)估计第个式子的值在哪两个连续整数之间，试说明理由；
(2)写出第个式子，并化简．
【答案】(1)解：估计第个式子的值在连续整数与之间．理由如下：
由表格可知第个式子是，
∴第个式子是，其值为，且，
∴，
∴第个式子的值在连续整数与之间；
(2)第个式子为；化简得．
【分析】（1）先求出第个式子的值，进而进行估算即可；
（2）求出第个式子并化简即可．
【详解】（1）略；
（2）解：第个式子为，
．
2．（24-25八年级下·辽宁抚顺·阶段检测）求代数式的值，其中．如表是小明和小颖的解答过程：
小明 小颖
解：原式． 解：原式．
(1)填空： 的解法是错误的；
(2)求代数式的值，其中．
【答案】(1)小明
(2)2030
【分析】（1）根据二次根式的性质进行判断即可；
（2）根据二次根式的性质进行化简，再把字母的值代入计算即可．
【详解】（1）解：观察解法可知，小明的解法错误；
故答案为：小明；
（2）解：
，
当时，
原式
．
3．（24-25八年级下·广东江门·期中）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；；
(1)填空： ， ．
(2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ．
【拓展提升】
(3)化简：（请写出化简过程）．
【答案】(1)，；
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式，把式子正确转化为完全平方公式的形式．
（1）根据完全平方公式对式子进行配方，求解即可；
（2）根据题意，将式子配成完全平方式的形式，求解即可；
（3）分别对，进行化简，变成完全平方式的形式，然后根据二次根式的性质进行化简，求解即可．
【详解】（1）解：，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵两个正数
∴
∴；
（3）解：，
同理可得，
∴，
，
，
．
【典型例题五 复合二次根式的化简】
【例1】（24-25八年级下·河北石家庄·阶段检测）下面的推导中开始出错的步骤是（ ）
因为，①
，②
所以.③
所以.④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据算术平方根的非负性即可判断．
【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等，
∴第②步推导错误．
故选B．
【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键．
【例2】（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：∵有意义，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【例3】（24-25八年级上·上海松江·期中）把中根号外因式适当变形后移至根号内得______．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质可得，则，据此即可求解．
【详解】解：∵，有意义，
∴，则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【例4】（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子平方的形式，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：，则
请你仿照小明的方法解决下列问题：
若则___________，___________．
【答案】 2 2
【分析】本题考查了双重二次根式的化简，完全平方公式变形等知识．先把变形为，即可得到，问题得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：2,2
1．（25-26八年级下·河北雄安·期中）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：．
解决问题：
(1)在横线上填上适当的数：
______．
(2)根据上述思路，试将予以化简．
【答案】(1)；1；；；
(2)
【分析】（1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可；
（2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
2．（24-25八年级上·河南郑州·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：．
例如：化简．
解：首先把化为，这里，由于即，；
．
由上述例题的方法化简：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．先将原式变形，再由，，仿照阅读材料中的方法计算即可．
【详解】解：，这里，
由于，，
∴，
∴
．
3．（24-25八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
标题：双层二次根式的化简
内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．
例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______．
这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．
任务：
(1)文中的________．
(2)化简：________．
(3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值．
(4)化简：________．（直接写出答案）
【答案】(1)
(2)
(3)7或13
(4)当时，，当时，
【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简：
（1）根据题目所给信息即可得到答案；
（2）根据结合完全平方公式求解即可；
（3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可．
（4）根据进行化简求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，．
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：由题意得，
∴，，
∵x，y为正整数，
∴，或，，
∴或．
（4）解：
，
当，即时，则原式；
当，即时，则原式；
综上所述，当时，，当时，．
【典型例题六 最简二次根式的判断】
【例1】（25-26八年级下·山东济宁·期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：A选项和D选项的被开方数含有可以开的尽方的因数或因式，B选项被开方数含有分母，都不符合最简二次根式的定义，C选项符合最简二次根式的定义．
【例2】（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段检测）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式．结合最简二次根式的概念，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行解答即可．
【详解】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故本选项符合题意．
故选：D．
【例3】（25-26八年级下·广东惠州·期中）在二次根式、、、、中，最简二次根式有___________个．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式的概念，先将各二次根式化简，再判断符合条件的个数即可．
【详解】解：，故不是最简二次根式，
的被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数，是最简二次根式，
，故不是最简二次根式，
，故不是最简二次根式，
，故不是最简二次根式，
综上，最简二次根式只有个．
【例4】（25-26八年级上·上海松江·课后作业）下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是________（填序号）．
【答案】②⑤
【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式．
【详解】解：①的被开方数为分数，不是整数，不是最简二次根式；
②的被开方数为质数，且分母无根号，是最简二次根式；
③的被开方数含完全平方因式，不是最简二次根式；
④的被开方数含完全平方因数，不是最简二次根式；
⑤的被开方数为质数，是最简二次根式．
故答案为：②⑤．
1．（24-25八年级下·四川德阳·阶段检测）根式中，最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐个判断即可得．
【详解】解：，则不是最简二次根式；
，则不是最简二次根式；
是立方根，则不是最简二次根式；
都是最简二次根式，共有3个；
故选：C．
2．（24-25八年级·上海松江·假期作业）在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有__个．
【答案】2
【分析】将各二次根式能化简的依次化简后即可得到答案.
【详解】解： =，=，=，=，=，=，=，
∴，是最简二次根式，
故答案为：2.
【点睛】此题考查最简二次根式：①被开方数不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数或因式，以及化简二次根式.
3．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)不是最简二次根式，化简为
(2)不是最简二次根式，化简为
(3)不是最简二次根式，化简为
【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键．
（1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简；
（2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简；
（3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简．
【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4，
不是最简二次根式，则不是最简二次根式．
．
（2）被开方数中含有分母，
不是最简二次根式．
．
（3）被开方数中含有分母，
不是最简二次根式．
．
【典型例题七 化为最简二次根式】
【例1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对四个选项逐一判断即可得到答案．
【详解】解：，被开方数含能开得尽方的因数，
∴ A不是最简二次根式．
，被开方数含分母，
∴ B不是最简二次根式．
，被开方数含能开得尽方的因数，
∴ C不是最简二次根式．
满足最简二次根式的两个条件，
∴ D是最简二次根式．
【例2】（25-26八年级上·上海松江·课后作业）是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（ ）
A．1 B． C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查了同类二次根式的概念，掌握二次根式的化简及计算是解题的关键．
由同类二次根式的定义，需化简后被开方数相同，由此可得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：∵，且与是同类二次根式，
∴ 化简后被开方数也为，
又∵是最简二次根式，
∴，
解得：.
故选：A．
【例3】（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）将化为最简二次根式是________．
【答案】/
【分析】此题考查了化简二次根式．根据二次根式的化简方法，被开方数中的分子分母同时乘以3求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【例4】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则________．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键，化成最简二次根式后被开方式相同的二次根式是同类二次根式．先把化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义列方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故答案为：．
1．（25-26八年级上·上海松江·期中）请观察式子：，．
仿照上面的方法解决下列问题：
(1)化简：①；②；③．
(2)把中根号外的因式移到根号内，求化简后的结果．
【答案】(1)① ② ③
(2)
【分析】（1）仿照例子，将根号外的数平方后移入根号内，再结合二次根式的性质化简；
（2）先根据二次根式有意义的条件确定的范围，再将根号外的因式变形后移入根号内化简．
【详解】（1）解：①．
②．
③．
（2）解：把中根号外的因式移到根号内：
由有意义，得，即．
将变形为，再平方移入根号内：
原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简（根号外因式移入根号内），解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将根号外的因式平方后（注意符号）移入根号内化简．
2．（24-25八年级下·河南商丘·阶段检测）观察以下等式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：_________________．
(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并给出证明过程．
【答案】(1)第5个等式：
(2)第n个等式为：（n为正整数），证明见解析；
【分析】（1）由前面4个等式可得被开方数为1与一个分数的和，这个分数的分母是序号加1的平方，分子是一列从5开始的奇数，右边是分数，分母为序号加1，分子比分母大1，从而可得第5个等式；
（2）由（1）归纳出第n个等式，再证明即可．
【详解】（1）解：第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
（2）由（1）可得：第n个等式为：（n为正整数）
证明如下：
左边
右边．
【点睛】本题考查的是二次根式的规律探究，掌握探究方法并总结规律是解本题的关键．
3．（24-25八年级上·福建泉州·阶段检测）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．它是数学的重要方法，可以解决多项式、方程的相关问题．
例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值．
，
∴当时，有最小值．
请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题：
(1)若，请求出a、b的值；
(2)若代数式的最小值为，试求出k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式将一个代数式或代数式的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式是解题的关键．
（1）把等式左边利用配方法配方得到，由此即可求出a、b的值；
（2）利用配方法把配方得到，根据得到，则当时，有最小值，由此建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴当时，有最小值，
∵代数式的最小值为，
∴，
∴，
∴．
【典型例题八 已知最简二次根式求参数】
【例1】（24-25八年级下·河南漯河·阶段检测）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（ ）
A．20 B．5 C．4 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值．
【详解】解：∵
是整数，n是正整数，
∴n的最小值为5，
故选B
【例2】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键．
由题意知，，则，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
解得，，
故选：B．
【例3】（24-25八年级上·河南南阳·期末）若是最简二次根式，则m的值可以是_____（写一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，最简二次根式的定义，不等式的解法，根据二次根式有意义可得，再结合最简二次根式的定义可得答案.
【详解】解：∵有意义，
∴，
解得：，
∵是最简二次根式，
∴的值可以是或等；
故答案为：
【例4】（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）若和都是最简二次根式，则___________，___________．
【答案】 1 2
【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可.
【详解】根据题意得：
解得
故答案为：，．
1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）已知最简二次根式与能合并，求m的值．
【答案】
【分析】根据同类二次根式的定义，可知两个最简二次根式能合并，则它们的被开方数相同，据此列方程求解即可
【详解】解：∵最简二次根式与能合并，
∴，且，
解得：，
此时且，且为最简二次根式，
∴符合题意．
2．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并．
(1)求的值．
(2)若，求的值．
【答案】(1)1或
(2)2或
【分析】本题考查最简二次根式合并的性质与二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
（1）根据最简二次根式可合并的性质，得到两个二次根式的被开方数相等，列方程求解后验证被开方数非负得到的值；
（2）根据二次根式被开方数必须非负，求出y的值，再代入计算得到的值．
【详解】（1）解：根据题意得，最简二次根式与最简二次根式可以合并，
则，
整理得：，
解得：或，
当时，，，符合题意，
当时，，，符合题意，
因此，的值为1或；
（2）解：根据题意得：
解得：，
由（1）知：或，
当、时，，
当、时，
因此，的值为2或．
3．（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根．
(1)求的平方根：
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义．
（1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可；
（2）把变形为，然后把代入计算即可．
【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式，
∴，
∴．
∵是8的立方根，
∴，
∴，
∴的平方根；
（2）解：∵，，
∴，
∴
．
1．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）下列式子中，是二次根式的有( )
①，②，③，④，⑤，⑥，⑦
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐个判断即可得出结果．
【详解】解：①，，根指数为2，是二次根式．
②，，不是二次根式．
③，，，根指数为2，是二次根式．
④，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式．
⑤，，根指数为2，是二次根式．
⑥，，，不是二次根式．
⑦，配方得，，，根指数为2，是二次根式．
综上，符合条件的二次根式共4个．
2．（25-26八年级下·河北邢台·期末）若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据二次根式有意义的条件判断x的取值范围，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简即可得到结果．
【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0，
∴，
∴，
∴．
3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　）
A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1
【答案】D
【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式和能合并，
∴，
∴，
解得，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键．
4．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（ ）
A．136 B．131 C．100 D．94
【答案】B
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案．
【详解】解：∵a是正整数，的值是整数，
∴
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6，
∴所有可能的a之和为．
5．（25-26八年级下·广东惠州·期中）一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：、、都是复合二次根式．其中，有些特殊的复合二次根式可以进一步化简，如：．请你利用上述方法化简复合二次根式：（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将被开方数凑成完全平方式，再开方化简即可．
【详解】解：∵
，
∴
又∵，
∴．
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知，均为实数，，则的值为________．
【答案】8
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
，
，
故答案为：8
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
7．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化各式为最简二次根式：①___________；②__________；
【答案】
【分析】本题考查化简二次根式，根据化简即可．
【详解】解：①
②．
故答案为：，．
8．（2025八年级下·广东·专题练习）已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__．
【答案】．
【分析】把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可．
【详解】解：由得，
有意义，且，
方程没有实数根，即，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围．
9．（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）嘉嘉用计算机设计了一个程序，输入和输出的数据如下表：
输入 0 1 2 3 4 5 …
输出 0 2 …
若输入数字为10，输出数字记为a，则________．
【答案】
【分析】观察表格中输入与输出的对应数据，归纳总结得到一般性规律，得到输入为时输出的表达式，将代入计算化简即可.
【详解】解：由题意，当输入时，输出；
当输入时，输出；
当输入时，输出；
当输入时，输出；
当输入时，输出；
当输入时，输出；……
归纳可得，当输入数据为时，输出数据为，
故当输入数字为时，.
10．（25-26八年级下·广东江门·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____．
【答案】
【分析】将被开方数变形凑成完全平方公式的形式，再利用二次根式的性质化简即可.
【详解】解：
.
11．（25-26八年级上·上海·阶段检测）（1）试化简：；
（2）已知a，b满足，，求．
【答案】（1）1；（2）
【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）根据二次根式的概念分析出，即可根据二次根式的性质化简运算；
（2）根据二次根式的性质化简运算即可．
【详解】（1）解：∵
∴
∴；
（2）∵，
若，则，
该方程无解，故不成立，则，
∴，
∴，
∵，
∴或，
∴把代入或运算解得：或，
∴．
12．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知二次根式，回答下列问题：
(1)当为何值时，该二次根式有意义？
(2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值．
【答案】(1)
(2)当时，值为；当值为时，
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件解答即可．
（2）将代入即可求解，令时，求解即可
【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足，
解得：，
∴当时，该二次根式有意义．
（2）解：当时，则，
令时，则，
解得：．
13．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）当时，求的值，如图是小亮和小芳的解答过程：
(1)_______的解法是错误的．
(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______________．
(3)当时，求的值．
【答案】(1)小亮
(2)当时，
(3)2
【分析】（1）根据二次根式的性质分析即可；
（2）根据二次根式的性质分析即可；
（3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可．
【详解】（1）解：小亮的解法是错误的，理由如下：
∵，
∴，，
∴
，
当时，
原式，
∴小亮的解法是错误的．
（2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：当时，．
（3）解：，
．
原式．
14．（24-25八年级上·上海松江·单元测试）先阅读下列材料，再解决问题：
阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：
．
解决问题：
(1)在横线和括号内上填上适当的数：
；
(2)根据上述思路，试将予以化简．
【答案】(1)；；；
(2)
【分析】本题主要考查了复合二次根式化简：
（1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可；
（2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可．
【详解】（1）解：
；
故答案为：；；；；
（2）解：
．
15．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）【阅读材料】小宇在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小宇进行了以下探索：若设（其中、、、均为整数），则有，，这样小宇就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小宇的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
(1)若，当，、，均为整数时，则________，________．（均用含x，y的式子表示）
(2)若，且，，均为正整数，分别求出，，的值；
【拓展延伸】
(3)化简________．
【答案】(1)；；
(2)，，或，，；
(3)．
【分析】本题考查二次根式的混合运算和完全平方公式，根据题目特点，灵活运用二次根式的性质．
（1）利用完全平方公式展开可得到用、表示出、；
（2）根据完全平方公式和二次根式的计算，以及结合，，均为正整数，得，再分情况讨论，求得；
（3）根据二次根式和完全平方公式，可知，，再利用完全平方公式求解．
【详解】（1）解：，
，，
故答案为：；．
（2）解：，
，，
，
，，均为正整数，
，或，，
当，时，；
当，时，；
故，，或，，．
（3）
故答案为．
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