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第05讲 二次根式的运算（4大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 同类二次根式
典型例题二 二次根式的乘法
典型例题三 二次根式的除法
典型例题四 二次根式的乘除混合运算
典型例题五 分母有理化
典型例题六 二次根式的加减运算
典型例题七 二次根式的混合运算
典型例题八 比较二次根式的大小
典型例题九 已知字母的值，化简求值
典型例题十 已知条件式，化简求值
典型例题十一 二次根式的应用
知识点01 二次根式的加减
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
【即时训练】
1．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）下列算式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A，根据二次根式的性质，∵ ，∴A错误；
对于B，二次根式加减运算中，只有同类二次根式可以合并，B选项中与不是同类二次根式，不能合并，∴B错误；
对于C，∵ ，∴C正确；
对于D，与不是同类二次根式，不能合并，∴D错误
2．（24-25八年级上·上海松江·阶段检测）计算的结果是_______．
【答案】
【分析】先化简二次根式，再根据二次根式的减法运算法则求解即可．
【详解】解：．
知识02 二次根式的乘法
二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开方数的积的算术平方根.
推广：
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）计算：（ ）
A．24 B．18 C．14 D．12
【答案】B
【详解】解：．
2．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）计算＝______（结果化为最简）．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法法则，准确计算是解题的关键．
根据根式的乘法法则即可得解．
【详解】（其中），
．
故答案为2。
知识点03 二次根式的除法
二次根式的除法：=（a≥0，b>0）
文字语言：二次根式与二次根式相除，等于各个被开方数的商的算术平方根.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海崇明·阶段检测）计算的结果为（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】D
【详解】解：．
2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）化简：__________．
【答案】/
【分析】本题考查二次根式的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
利用二次根式的除法法则计算后再进行化简即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
知识点04 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了合并同类二次根式和二次根式的乘除法，解题的关键是熟练掌握合并同类二次根式的方法和二次根式的乘除法运算法则．
根据合并同类二次根式的方法和二次根式的乘除法运算法则逐个判断即可．
【详解】解：A、，不能合并，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、，选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期中）定义新运算“*”，若，则的值为_______．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴.
【典型例题一 同类二次根式】
【例1】（25-26八年级上·上海静安·期中）下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【分析】能与合并的二次根式是化简后被开方数为的同类二次根式，只需将各选项化简后，判断被开方数是否相同即可．
【详解】解：A选项：，化简后不含，不能与合并；
B选项：是整数，不含，不能与合并；
C选项：，化简后被开方数为，不是，不能与合并；
D选项：，化简后被开方数为，与是同类二次根式，能与合并．
【例2】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化简各选项为最简二次根式，根据其被开方数是否与的被开方数相同即可解答．
【详解】解：A、，被开方数为2，能与合并，不符合题意；
B、，被开方数为2，能与合并，不符合题意；
C、，被开方数为3，不能与合并，符合题意；
D、，被开方数为2，能与合并，不符合题意．
【例3】（25-26八年级上·上海松江·阶段检测）已知最简二次根式与可以合并，则x的值是_____．
【答案】
4
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
由最简二次根式与可以合并可知二次根式与是同类二次根式，然后根据被开方数相同列式求解即可．
【详解】∵最简二次根式与可以合并，
∴二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得．
故答案为：4．
【例4】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为____．
【答案】
【分析】本题考查同类二次根式的概念，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键．
两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同，列出等式求出的值，再代入所求根式计算即可．
【详解】解：因为最简二次根式 与 可以合并，
所以。
解得，
故答案为：．
1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）已知最简二次根式和最简二次根式可以合并，求的值．
【答案】4
【分析】根据题意，两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，则它们的根指数都为2，且被开方数相等，据此列出关于的方程组求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴与是同类二次根式，
∴，，
解得，，
∴．
2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）已知二次根式，
(1)如果该二次根式，求a的值；
(2)已知为最简二次根式，且与能够合并．
①求a的值；
②求．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）两边同时平方得关于的方程，求解即可；
（2）①根据同类二次根式的意义可求出的值，
②根据①的结论确定二次根式，根据二次根式的乘法运算，进一步得出答案．
【详解】（1）∵，
∴，
∴
（2）①∵
又∵为最简二次根式，且与能够合并，，
∴
②
【点睛】本题考查了最简二次根式，二次根式的乘法运算，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．
3．（25-26八年级上·上海普陀·期末）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求．
(1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数；
(2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数．
【答案】(1)，属于“族”的数
(2)；为“族”的数．
【分析】本题考查了二次根式的定义，分母有理化，熟练掌握二次根式的定义及分母有理化是关键．
（1）根据二次根式的定义判断即可；
（2）根据分母有理化的方法求解即可．
【详解】（1）解：，属于“族”的数；
（2）解：，
，为有理数，，
为“族”的数．
【典型例题二 二次根式的乘法】
【例1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）化简的结果是（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】B
【分析】利用平方的符号法则和二次根式的性质即可解答．
【详解】解：∵ 由平方的性质可知，且当时，，
∴．
【例2】（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的运算性质，按照二次根式运算法则分别计算各选项，即可判断对错．
【详解】解：A、，，，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、故，故该选项不符合题意；
【例3】（2026·山西运城·二模）计算：______．
【答案】
【详解】解：
．
【例4】 （25-26八年级上·江苏南通·期末）已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是关键．
根据长方形的面积等于长乘以宽，代入数值计算，并化简二次根式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
1．（2026·上海闵行·模拟预测）计算：．
【答案】9
【详解】解：原式
．
2．（25-26八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的加减混合运算法则解答即可;
（2）根据分配律，平方差公式，二次根式的加减乘除混合运算法则解答即可;
【详解】（1）解：
;
（2）解：
;
3．（2026·河北张家口·二模）淇淇和老师玩计算游戏，规定给出实数数对时，根据公式来计算．例如：给出实数数对时，计算结果为．
(1)老师给出实数数对，淇淇计算如下：
……第一步
……第二步
．……第三步
淇淇上述计算过程中，第__________步开始出错，正确结果为__________．
(2)若实数数对为，请根据公式计算出对应的结果．
【答案】(1)二；20
(2)
【分析】（1）根据混合运算求解即可．
（2）根据混合运算求解即可．
【详解】（1）解：给出实数数对，计算如下：
．
（2）解：实数数对为，计算如下：
．
【典型例题三 二次根式的除法】
【例1】（2026·河南平顶山·二模）若，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．25
【答案】C
【分析】两边同时除以即可得到的值．
【详解】解：∵，
∴．
【例2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列二次根式的化简，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质和化简规则判断各选项正误，选出化简错误的选项.
【详解】解：A. ，故原化简错误，符合题意；
B.=3，故原化简正确，不符合题意；
C.，故原化简正确，不符合题意；
D.，故原化简正确，不符合题意.
【例3】（24-25八年级下·天津宝坻·阶段检测）长方形的面积为18，一边长为，则其邻边长为________．
【答案】/
【分析】此题主要考查了二次根式的除法，关键是掌握二次根式的除法法则．
根据二次根式的除法法则进行计算．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
【例4】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）一个矩形的面积为，长为，则这个矩形的宽为_______．
【答案】；
【分析】本题主要考查了二次根式除法的应用，掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
直接根据题意列式，然后再运用二次根式的除法运算法则计算即可．
【详解】解：由题意可得：．
故答案为．
1．（25-26八年级下·新疆和田·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据二次根式除法运算及逐题计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
2．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论．
【答案】，见解析
【分析】此题考查了二次根式运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
先计算得到，再根据即可得到结论．
【详解】解：，证明如下：
，
∵，
∴，
∴．
3．（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位）
(1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间．
(2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？
【答案】(1)
(2)0.27m．
【分析】（1）已知摆长，直接代入周期公式 计算即可；
（2）已知周期，通过公式变形求解摆长．
【详解】（1）解：已知，，，代入公式：
．
（2）解：已知，对公式变形得：
代入、、：
．
【点睛】本题考查了二次根式的实际应用，解题关键是熟练代入公式计算，并根据已知量对公式进行合理变形，同时注意近似值的计算精度．
【典型例题四 二次根式的乘除混合运算】
【例1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据二次根式乘除运算法则计算即可．
【详解】原式，
故选：B．
【例2】（24-25八年级上·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．把，分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可．
【详解】解：∵，，
∴，故甲正确，
，故乙正确；
，故丙正确；
故选：D．
【例3】（2025·江苏南京·一模）计算的结果是____．
【答案】4
【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算乘除法，再化简即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
【例4】（24-25八年级下·上海宝山·期末）计算：①×＝___，②＝___，③＝___．
【答案】 5
【分析】①利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；②利用二次根式的乘法法则运算，最后化成最简二次根式即可；③利用算术平方根的意义化简即可．
【详解】解：①；
②；
③．
故答案为：；5；．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，算术平方根的意义．二次根式的乘除法的结果一定要化成最简二次根式，这是解题的关键．
1．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）计算：
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式乘除法，根据二次根式乘除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
2．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的乘除混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再根据二次根式乘除法计算法则求解即可；
（2）先利用完全平方公式去括号，再化简二次根式并计算二次根式减法取括号，接着计算二次根式除法，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)8
【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减混合运算计算即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算计算即可；
（3）先化简二次根式，再运用平方差公式进行简便计算；
（4）先化简二次根式，再进行除法运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
【典型例题五 分母有理化】
【例1】（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）将分母有理化的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： 对进行分母有理化，需给分子分母同乘，
．
【例2】（24-25八年级下·山东德州·期中）小明是这样化简的：，则他没有用到的数学知识是（ ）
A． B．分数的基本性质
C． D．
【答案】C
【分析】本题需要分析小明化简的每一步过程，判断所用到的数学知识，进而找出没有用到的数学知识．本题主要考查二次根式的性质与运算法则、分数的基本性质．解题的关键在于对二次根式化简过程中每一步所依据的数学知识进行准确判断，熟悉相关性质和法则在化简中的应用．
【详解】解：第一步：
这一步运用了，这里， ，将分式形式转化为根式形式．
第二步：
这一步运用了分数的基本性质，即分数的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为的数，分数的大小不变．这里分子分母同时乘以．
第三步：
这是对乘法运算结果的整理．
第四步：
再次运用了 ．
第五步：
这一步运用了 ，因为，所以 ．
在整个化简过程中，没有用到 ，
故选： C．
【例3】（25-26八年级上·上海·期中）写出的有理化因式是______．
【答案】
【分析】本题考查了分母有理化，掌握有理化因式的定义是解题的关键．利用平方差公式解答即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴分母 的有理化因式为，
即 的有理化因式为，
故答案为：．
【例4】（24-25八年级下·北京·期中）化简（），得______．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．把分母有理化，即可获得答案．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
1．（25-26八年级下·吉林·阶段检测）若两个含有二次根式的代数式满足，其中是有理数，则称与是互为“相关代数式”．
(1)若与是互为“3相关代数式”，则______；
(2)若（是有理数），，且与是互为“相关代数式”，求和的值．
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）由题意知，计算求解即可；
（2）由题意知，计算求解即可．
【详解】（1）解：与是互为“3相关代数式”，
，
；
（2）解：（是有理数），，且与是互为“相关代数式”，
，
整理得，，
是有理数，
，解得，
，
答：，．
2．（2026·河北石家庄·二模）计算：“”，其中“□”部分印刷不清楚．
(1)若“□”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第____步开始出错的，正确的结果应该是__________；
……第一步 ……第二步 ………………第三步 ……………………第四步
(2)若原式的计算结果为，求“□”代表的数．
【答案】(1)二，
(2)
【分析】（1）嘉淇第二步未先算乘除、后算加减，运算错误；根据二次根式的运算法则计算即可；
（2）根据“原式的计算结果为”列方程求出“□”代表的数即可．
【详解】（1）解：嘉淇第二步未先算乘除、后算加减，运算错误；
；
（2）解：若原式的计算结果为，
则，
，
，
，
∴．
3．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）材料阅读题：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化．
例如：；．
观察上面解题过程，并回答下列问题：
(1)________；
(2)若a是的小数部分，化简；
(3)利用上面的解法，请化简：．
【答案】(1)
(2)
(3)22
【分析】（1）根据分母有理化化简即可解答；
（2）估算出的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入并化简即可；
（3）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∴，
∴的整数部分为2，
∴，
∴；
（3）解：
【典型例题六 二次根式的加减运算】
【例1】（25-26八年级下·山西吕梁·阶段检测）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到结果．
【详解】解：
．
【例2】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）下列各等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：选项A，，等式成立；
选项B，2与不是同类二次根式，不能合并，，等式不成立；
选项C，与不是同类二次根式，不能合并，，等式不成立；
选项D，，等式不成立．
【例3】（25-26八年级下·北京朝阳·阶段检测）若，，化简____________________．
【答案】
【分析】利用二次根式的性质，结合，的条件去掉绝对值，化简后合并同类二次根式即可得到结果．
【详解】解：∵，，
∴．
【例4】（2026·河北石家庄·一模）若，则表示实数的点会落在如图所示的数轴上的_____段．
【答案】②
【分析】根据已知等式可得，再估算出，找到数轴的对应段即可．
【详解】解：，
，
，
表示实数的点会落在如图所示的数轴上的②段，
1．（2026·浙江台州·二模）计算．
【答案】
【详解】解：原式
．
2．（25-26八年级下·北京·期中）计算：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化为最简二次根式，再合并即可；
（2）先化为最简二次根式，再合并即可；
（3）利用分配律进行简便运算即可；
（4）先计算二次根式的乘法运算，除法运算，再合并即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
3．（25-26八年级下·河北保定·期中）嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球．游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加．
(1)若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果．
(2)如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为x，淇淇说x的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)淇淇的说法正确，理由见解析
【分析】（1）根据二次根式的运算法则计算即可；
（2）求出x的值，将化为最简二次根式，进而判断即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：淇淇的说法正确，理由如下：
，
∴，
∵，
∴x的值能与合并，
∴淇淇的说法正确．
【典型例题七 二次根式的混合运算】
【例1】（2026·重庆江津·三模）估计的值应在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【答案】C
【分析】先利用二次根式的除法运算法则化简原式，再估算无理数的范围，即可得到结果．
【详解】解：
，
∵ ，
∴，
∴ ，
∴ 原式的值在和之间．
【例2】（25-26八年级下·山东德州·期中）学习完二次根式后，王老师为甲、乙、丙三名同学各发了一张测试卡片，卡片上分别写有一个算式，其中计算结果为无理数的是（ ）
甲： 乙： 丙：
A．甲 B．乙 C．丙 D．都不是
【答案】C
【详解】解：甲：，是整数，不是无理数；
乙：，是整数，不是无理数；
丙：，结果是无理数．
【例3】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，，则式子的值为_________．
【答案】
【分析】先将所求代数式利用完全平方公式变形为 ，再分别计算与的值，代入变形后的式子计算即可得到结果．
【详解】解：
已知，，
∴ ，
∴．
【例4】（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”，规定，如：，则________．
【答案】
【分析】本题考查新定义运算与二次根式的化简，理解新定义的运算规则是解题的关键．
根据新定义规则代入数值计算即可．
【详解】解：由题意得．
1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）计算下列各题：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
2．（25-26八年级下·天津和平·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
3．（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）．
(1)利用上面的方法计算；
(2)计算．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）参照例题分母有理化方法，分子分母同乘，利用平方差公式化简分母后求值．
（2）先对每一项分别分母有理化，再通过裂项相消合并同类二次根式，化简算式．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【典型例题八 比较二次根式的大小】
【例1】（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）比较大小：与，正确的是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【分析】两个数都是正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，正数的平方越大，原数越大．
【详解】解： ， ，，，
∵，
∴．
【例2】（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图所示，将一面积为的正方形木板截出一面积为的正方形木板，剩余的木板截取两边分别为与的长方形木板，则长方形木板最多截取的数量是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用算术平方根的性质结合二次根式的化简求出长方形木板的长和宽，再求出剩余的木料的长与宽，即可得到截出长方形木板数量.
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，即，而，
∴从长方形木板中可以截出块两边分别为与的长方形木板，
同理：,，
∵，即，而，
∴从长方形木板中可以截出块两边分别为与的长方形木板，
∴一共可以截出块两边分别为与的长方形木板.
【例3】（2025八年级上·上海闵行·专题练习）比较大小__________．
【答案】<
【分析】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键．两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案．
【详解】解：左边求倒数为，
右边求倒数为，
，
．
故答案为：<
【例4】（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算，再进一步比较大小即可.
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：
1．（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知，
若，则；若，则；若，则
若，则；若，则；若，则．
若，则；若，则；若，则
(1)试比较：与大小关系
(2)试比较：与大小关系
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出的结果即可得到答案；
（2）可求出，，根据即可得到结论．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：，
，
又
，
∴．
2．（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）现有面积都是的长方形、正方形和圆各一个，其中长方形的长是宽的2倍．试比较它们周长的大小．通过比较，你有什么发现？（取3.14，可借助计算器进行计算）
【答案】圆的周长最小，正方形的周长次之，长方形的周长最大；发现：在面积相等的情况下，圆的周长最小，长方形的周长最大（当长宽比为时）
【分析】本题考查二次根式的化简及大小比较，掌握二次根式的性质是解答的关键．先求出各个周长，然后再比较大小即可．
【详解】解：设长方形的宽为，则长为，
根据题意，得，解得，
∴长方形的周长为；
设正方形的边长为，则，解得，
∴正方形的周长为；
设圆的半径为，则，解得，
∴圆的周长为，
∵，
∴圆的周长最小，正方形的周长次之，长方形的周长最大；
发现：在面积相等的情况下，圆的周长最小，长方形的周长最大．
3．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如：比较和的大小，我们可以把和分别平方，因为，所以，所以．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
(2)猜想之间的大小，并说明你的猜想．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】（1）利用 “平方法” 比较二次根式的大小即可；
（2）利用 “平方法” 进行比较即可．
【详解】（1）解：根据平方法，分别计算与的平方，
∵，且
∴当两个正数的平方大时，数本身也大，
故答案为：．
（2）解：
∵
∴
∵
∴，
又∵，
∴
【点睛】本题考查二次根式比较大小，二次根式的性质和运算，完全平方公式，掌握平方法比较大小，是解题的关键，
【典型例题九 已知字母的值，化简求值】
【例1】（2026·河北张家口·二模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用因式分解和分式运算法则化简原式，再代入x的值计算即可．
【详解】解：原式，
把代入得：．
【例2】（24-25八年级上·海南海口·期末）当时，代数式的值是（ ）
A． B．1 C． D．5
【答案】A
【分析】直接将代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式的结构是关键．
【例3】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知：，代数式的值为________
【答案】/
【分析】把所求式子变形为，进一步变形为，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴
．
【例4】（2026·山东临沂·二模）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积．若，，，则的值为________________．
【答案】
【分析】将已知三边长代入公式，根据运算法则计算即可．
【详解】解：将，，代入得：
．
1．（25-26八年级下·内蒙古兴安·期中）先化简，再求值：
，其中，．
【答案】
【分析】先由二次根式定义确定，然后由二次根式性质变形，再合并同类二次根式化简，最后将，代入计算即可．
【详解】解：在中，由二次根式定义可知，
，
当，时，原式．
2．（25-26八年级下·河南焦作·期中）按要求作答：
(1)计算：
(2)已知，，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）本题考查二次根式的混合运算；根据二次根式的混合运算法则求解即可；
（2）本题考查了因式分解、平方差公式以及二次根式的运算，正确求解是关键．
【详解】（1）
（2），
，
，
．
3．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）请阅读下列材料：
已知，求代数式的值．
学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：
由得，则，即，．把作为整体，得．
请运用上述方法解决下列问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
【答案】(1)8
(2)2029
【分析】（1）根据题目中的例子，先将转化，求出的值，然后即可求得所求式子的值；
（2）根据得，仿照题目中的例子，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值代入计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，即，
；
（2）解：，
，
，
，即，
．
【典型例题十 已知条件式，化简求值】
【例1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】先通过已知条件求出的值，再计算，最后根据二次根式的性质开方得到结果.
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
【例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（ ）
A． B． C．2023 D．
【答案】B
【分析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可．
【详解】解：三个实数，，满足，且，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，数字的变化规律，分式的加减法，解答的关键是理解清楚所给的条件．
【例3】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知，，则的值为______．
【答案】
3
【详解】解：根据题意，，
∴，整理得，，
∴，化简得，
∴．
【例4】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知，那么的值等于_____．
【答案】
【分析】通过完全平方公式求出，把待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴ ，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示．
1．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数x，y满足．
(1)探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论；
(2)计算：求代数式的值．
【答案】(1)；证明见解析
(2)
【分析】本题是二次根式的化简和求值．本题利用巧解将已知式变成两式，相加后得出结论．
（1）将式子变形后，再分母有理化得①式：，同理得②式：，将两式相加可得结论；
（2）将代入原式或①式得：，代入所求式子即可．
【详解】（1）解：．
∴．
∴①
同理得：②
得：，
∴；
（2）解：把代入①，得，
∴．
则
．
2．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程：
阅读材料，解答下列问题．
材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
，
这种方法称为“构造对偶式”．
问题：已知．
(1)求的值；
(2)求x的值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键：
（1）根据题干给定的方法，进行求解即可；
（2）将两式相加后，利用平方法解方程即可．
【详解】（1）解：
，
，
，
的值为2；
（2）由（1）得：，，
，
，
，
，
经检验，是原方程的解．
3．（24-25八年级下·北京西城·期中）已知，是两个连续的正偶数，，，．
(1)当时，__________；
(2)当为任意正偶数时，的值是定值吗？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由．
【答案】(1)2；
(2)定值，2．
【分析】（1）根据，得，然后代入求得，再代入计算即可；
（2）设(x为任意正整数)，则，代入计算得，再代入计算得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，是两个连续的正偶数，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
（2）解：设(x为任意正整数)，则，
∴，
∴
．
∴当为任意正偶数时，的值是定值，这个定值为2．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握根据二次根式的性质化简二次根式是解题的关键．
【典型例题十一 二次根式的应用】
【例1】（25-26八年级下·广西钦州·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据求出、的值，进而计算即可．
【详解】解：当时，（秒）；
当时，（秒）；
∴．
【例2】（25-26八年级下·云南昆明·期中）社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（正方形）和健身区（正方形）的面积分别为、，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用算术平方根求出正方形，正方形的边长，再利用线段的和差求解即可．
【详解】解：∵正方形的面积为，正方形的面积为
∴正方形，正方形的边长分别为，，
∴．
【例3】（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）半径为的圆变成面积相等的长方形，长为，宽为，圆的半径为___________．
【答案】
【分析】根据长方形和圆的面积公式列出方程，结合二次根式的运算法则求出方程的解，即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，
整理得，
解得．
【例4】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，有一块长方形花园，园丁采用如图的方式在花园里划出两块面积分别为和的正方形花圃，则原长方形花园的面积为________．
【答案】/平方米
【分析】根据正方形的面积公式分别求出两个正方形的边长，结合图形确定原长方形的长和宽，最后利用长方形的面积公式计算即可．
【详解】解：由题意可知，两个花圃均为正方形，
大正方形花圃的面积为，
大正方形的边长为，
小正方形花圃的面积为，
小正方形的边长为，
由图可知，原长方形花园的宽等于大正方形的边长，长等于大正方形的边长与小正方形的边长之和，
原长方形花园的长为，宽为，
原长方形花园的面积为．
1．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料．
(1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______；
(2)求剩余木料（阴影部分）的面积．
【答案】(1)4，
(2)
【分析】（1）根据正方形的面积公式求解即可；
（2）根据（1）所求正方形的边长，得出两个阴影部分的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵两个小正方形的面积为和，
∴两个小正方形的边长为，；
（2）解：．
2．（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）现有两块同样大小的长方形纸片，丽丽采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B．
(1)求图①中阴影部分的周长；
(2)小明想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由．
【答案】(1)
(2)不能裁出，见解析
【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方，即可计算正方形纸片A、B的边长，再得出阴影部分的长，宽，即可作答；
（2）先求出原长方形纸片的长为，然后计算，则，据此即可作答．
【详解】（1）解：依题意，正方形纸片A的边长为；正方形纸片B的边长为，
则阴影部分的宽为，长为，
∴图①中阴影部分的周长为：；
（2）解：不能裁出，理由如下：
∵面积为的正方形纸片的边长为，原长方形纸片的长为
则，
∴不能在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片．
3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设，（其中均为正整数）
则有．
．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，，得_____，_____；
(2)若，且均为正整数，求的值．
【答案】(1)，；
(2)46或14.
【分析】本题考查了二次根式的应用．
（1）根据示例作答即可；
（2）根据示例得到，，根据题意得到或，计算即可．
【详解】（1）解：若，
则有，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：，
，
，
，
均为正整数，
或，
①当时，；
②当时，；
综上所述，的值为46或14．
1．（25-26八年级下·江西赣州·阶段检测）若最简二次根式与能够合并，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据能合并的最简二次根式是同类二次根式，且同类二次根式被开方数相同，求出m的值，再代入式子化简计算即可．
【详解】解：∵最简二次根式与能够合并，且，
∴根据同类二次根式的定义，得，
解得，
将代入所求式子，得：．
2．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大．
【详解】解： ，，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
3．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（ ）
1
3 2
6
A． B． C．6 D．
【答案】C
【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算．
【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整，
∴所有方向的共同乘积为 ，
设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b，
∵第一行乘积等于共同乘积，
∴，
解得：，
∵第三行乘积等于共同乘积，
∴，
解得：，
∴两个空格中的实数之积为．
4．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【观察】，．
【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式．
【运用】对于正整数，定义，例如：．求的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得出，由此计算即可得出结果，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得，
∴
．
5．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段检测）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的应用，利用面积公式先算出两个正方形的边长，再利用“阴影面积=大长方形的面积-两个正方形的面积”得结论．利用二次根式的性质计算出两个正方形的边长是解决本题的关键．
【详解】解：∵图中两个正方形的面积分别为和，
∴图中两个正方形的边长分别为：和，
∴图中最大长方形的长为，宽为，
∴图中阴影部分面积为：．
故选：C．
6．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查了最简二次根式，由，且与是同类二次根式，则分时，时，时，时，进行讨论，然后求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，
∴时，；
时，；
时，；
时，（舍去）；
∴符合条件的正整数的值为，，，
∴的最小值为，
故答案为：．
7．（2025·广西防城港·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______．

【答案】0
【分析】根据数a、b在数轴上的位置确定，，的符号，再根据二次根式的性质进行化简，再合并同类项．
【详解】解：由数轴可知，，，
∴，，，
∴原式＝
故答案为：0
【点睛】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键.
8．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出的结果是______．

【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的乘法运算，无理数的估算．先把代入代数式得代数式的值为，再判断与11的大小，直到计算结果大于11再输出结果，从而可得答案．
【详解】解：当时，，
由，所以不能输出，
当时，，
由，
∴输出的结果是，
故答案为：．
9．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为______．
1 b
3 a 2
6 c
【答案】18
【分析】根据每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等和图中的数据，可以得到方，然后求解即可．
【详解】解：∵每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字或字母的积均相等，
∴，
解得，，
故答案为：18．
【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的等式．
10．（24-25八年级上·湖南湘潭·自主招生）在学习二次根式的过程中，有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系
例如：由，可得与互为倒数，即，
类似的，
；；…
根据这一规律，计算：_____．
【答案】
【分析】首先根据规律把算式中的各项进行分母有理化，再去括号、合并同类二次根式．
【详解】解：
．
11．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）已知是最简二次根式，且与可以合并，求与的乘积．
【答案】1
【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得，解方程求出的值，然后根据二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】解：由题意得，
解得，
．
12．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）（）填空：______；______；
（）当时，______（用“”填空）；
（）当时，求证：．
【答案】（）；
（）
（）证明见解析
【分析】（）根据二次根式的性质解答即可求解；
（）根据二次根式的性质解答即可；
（）根据二次根式的性质证明即可；
本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】（）解：；，
故答案为：；；
（）解：当时，，
∴，
故答案为：；
（）证明：∵，
∴，
∴．
13．（25-26八年级下·广东东莞·期中）阅读下列材料，然后解答下列问题．在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）；
（二）
以上这种化简的方法叫分母有理化．
(1)化简_______；______．
(2)化简_______．（）
(3)化简：．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）按照题干方法化简即可；
（2）按照题干方法化简即可；
（3）先分母有理化，再进行二次根式的加减运算．
【详解】（1）解：；；
（2）解：；
（3）解：
．
14．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）下面是博学小组的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务．
在实数的运算中，灵活运用多种方法，会给运算带来方便．比如：运用公式法，整体代入法等． 例：计算，可以用公式来进行运算．即： ． 例：已知，求代数式的值． 解：由得：，所以，所以，所以，整体代入得：．
任务：
(1)已知，求代数式 的值；
(2)计算：
【答案】(1)
(2)
【分析】（）仿照题例解答即可求解；
（）仿照题例解答即可求解；
本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简及化简求值，看懂题意是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴原式；
（2）解：
．
15．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）有一块长方形木板，小牛采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形．
(1)求长方形木板的面积；
(2)小牛想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明小牛的想法是否可行．
【答案】(1)
(2)解：∵要裁的长方形面积为，宽为，
∴它的长为 ，
∵原长方形的长为、宽为，
∴，
即要裁出的长方形的长大于原长方形的任意一边，
∴小牛的想法不可行．
【分析】（1）因为正方形是面积为的正方形，所以先根据正方形面积公式求其边长。因为正方形边长等于，也等于，所以代入和的长度，可分别求出长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算其面积．
（2）先根据裁出长方形的面积和宽，用长方形面积公式求出其长，再将裁出长方形的长和宽分别与长方形的长和宽比较大小，判断是否可行．
【详解】（1）解：∵正方形面积为，
∴正方形边长为．
∵，：
∴，
．
∴长方形的面积为 ．
（2）略
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第05讲 二次根式的运算（4大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 同类二次根式
典型例题二 二次根式的乘法
典型例题三 二次根式的除法
典型例题四 二次根式的乘除混合运算
典型例题五 分母有理化
典型例题六 二次根式的加减运算
典型例题七 二次根式的混合运算
典型例题八 比较二次根式的大小
典型例题九 已知字母的值，化简求值
典型例题十 已知条件式，化简求值
典型例题十一 二次根式的应用
知识点01 二次根式的加减
二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。
【即时训练】
1．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）下列算式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·上海松江·阶段检测）计算的结果是_______．
知识02 二次根式的乘法
二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0）
文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开方数的积的算术平方根.
推广：
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）计算：（ ）
A．24 B．18 C．14 D．12
2．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）计算＝______（结果化为最简）．
知识点03 二次根式的除法
二次根式的除法：=（a≥0，b>0）
文字语言：二次根式与二次根式相除，等于各个被开方数的商的算术平方根.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海崇明·阶段检测）计算的结果为（ ）
A． B． C．4 D．2
2．（24-25八年级上·上海闵行·期末）化简：__________．
知识点04 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级下·黑龙江鸡西·期中）定义新运算“*”，若，则的值为_______．
【典型例题一 同类二次根式】
【例1】（25-26八年级上·上海静安·期中）下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B．4 C． D．
【例2】（24-25八年级上·上海杨浦·期中）下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·上海松江·阶段检测）已知最简二次根式与可以合并，则x的值是_____．
【例4】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）已知最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为____．
1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）已知最简二次根式和最简二次根式可以合并，求的值．
2．（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）已知二次根式，
(1)如果该二次根式，求a的值；
(2)已知为最简二次根式，且与能够合并．
①求a的值；
②求．
3．（25-26八年级上·上海普陀·期末）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求．
(1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数；
(2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数．
【典型例题二 二次根式的乘法】
【例1】（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）化简的结果是（ ）
A． B．3 C． D．6
【例2】（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2026·山西运城·二模）计算：______．
【例4】 （25-26八年级上·江苏南通·期末）已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为__________．
1．（2026·上海闵行·模拟预测）计算：．
2．（25-26八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）计算：
(1)
(2)
3．（2026·河北张家口·二模）淇淇和老师玩计算游戏，规定给出实数数对时，根据公式来计算．例如：给出实数数对时，计算结果为．
(1)老师给出实数数对，淇淇计算如下：
……第一步
……第二步
．……第三步
淇淇上述计算过程中，第__________步开始出错，正确结果为__________．
(2)若实数数对为，请根据公式计算出对应的结果．
【典型例题三 二次根式的除法】
【例1】（2026·河南平顶山·二模）若，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．25
【例2】（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列二次根式的化简，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（24-25八年级下·天津宝坻·阶段检测）长方形的面积为18，一边长为，则其邻边长为________．
【例4】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）一个矩形的面积为，长为，则这个矩形的宽为_______．
1．（25-26八年级下·新疆和田·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论．
3．（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）如下图，座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，以字母（单位：s）表示周期，（单位：）表示摆长，则计算公式为，其中．（，取3，结果保留小数点后两位）
(1)若一台座钟的摆长为，求摆针摆动一个来回所需的时间．
(2)为使摆针摆动一个来回所需的时间恰好为1s，座钟的摆长应设计为多少米？
【典型例题四 二次根式的乘除混合运算】
【例1】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级上·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（ ）
A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对
【例3】（2025·江苏南京·一模）计算的结果是____．
【例4】（24-25八年级下·上海宝山·期末）计算：①×＝___，②＝___，③＝___．
1．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）计算：
2．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）计算：
(1)
(2)
3．（25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【典型例题五 分母有理化】
【例1】（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）将分母有理化的结果为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级下·山东德州·期中）小明是这样化简的：，则他没有用到的数学知识是（ ）
A． B．分数的基本性质
C． D．
【例3】（25-26八年级上·上海·期中）写出的有理化因式是______．
【例4】（24-25八年级下·北京·期中）化简（），得______．
1．（25-26八年级下·吉林·阶段检测）若两个含有二次根式的代数式满足，其中是有理数，则称与是互为“相关代数式”．
(1)若与是互为“3相关代数式”，则______；
(2)若（是有理数），，且与是互为“相关代数式”，求和的值．
2．（2026·河北石家庄·二模）计算：“”，其中“□”部分印刷不清楚．
(1)若“□”代表的数是，下图是嘉淇的运算过程，他是从第____步开始出错的，正确的结果应该是__________；
……第一步 ……第二步 ………………第三步 ……………………第四步
(2)若原式的计算结果为，求“□”代表的数．
3．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）材料阅读题：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化．
例如：；．
观察上面解题过程，并回答下列问题：
(1)________；
(2)若a是的小数部分，化简；
(3)利用上面的解法，请化简：．
【典型例题六 二次根式的加减运算】
【例1】（25-26八年级下·山西吕梁·阶段检测）计算：（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）下列各等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级下·北京朝阳·阶段检测）若，，化简____________________．
【例4】（2026·河北石家庄·一模）若，则表示实数的点会落在如图所示的数轴上的_____段．
1．（2026·浙江台州·二模）计算．
2．（25-26八年级下·北京·期中）计算：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)．
3．（25-26八年级下·河北保定·期中）嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球．游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加．
(1)若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果．
(2)如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为x，淇淇说x的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由．
【典型例题七 二次根式的混合运算】
【例1】（2026·重庆江津·三模）估计的值应在（ ）
A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间
【例2】（25-26八年级下·山东德州·期中）学习完二次根式后，王老师为甲、乙、丙三名同学各发了一张测试卡片，卡片上分别写有一个算式，其中计算结果为无理数的是（ ）
甲： 乙： 丙：
A．甲 B．乙 C．丙 D．都不是
【例3】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，，则式子的值为_________．
【例4】（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”，规定，如：，则________．
1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）计算下列各题：
(1)
(2)．
2．（25-26八年级下·天津和平·期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
3．（25-26八年级下·西藏日喀则·期中）．
(1)利用上面的方法计算；
(2)计算．
【典型例题八 比较二次根式的大小】
【例1】（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）比较大小：与，正确的是（ ）
A． B． C． D．不确定
【例2】（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图所示，将一面积为的正方形木板截出一面积为的正方形木板，剩余的木板截取两边分别为与的长方形木板，则长方形木板最多截取的数量是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例3】（2025八年级上·上海闵行·专题练习）比较大小__________．
【例4】（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）已知，比较大小：_____1（填“”“ ”或“”）．
1．（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知，
若，则；若，则；若，则
若，则；若，则；若，则．
若，则；若，则；若，则
(1)试比较：与大小关系
(2)试比较：与大小关系
2．（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）现有面积都是的长方形、正方形和圆各一个，其中长方形的长是宽的2倍．试比较它们周长的大小．通过比较，你有什么发现？（取3.14，可借助计算器进行计算）
3．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如：比较和的大小，我们可以把和分别平方，因为，所以，所以．
请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较大小：______（填“＞”“＜”或“＝”）．
(2)猜想之间的大小，并说明你的猜想．
【典型例题九 已知字母的值，化简求值】
【例1】（2026·河北张家口·二模）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级上·海南海口·期末）当时，代数式的值是（ ）
A． B．1 C． D．5
【例3】（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）已知：，代数式的值为________
【例4】（2026·山东临沂·二模）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积．若，，，则的值为________________．
1．（25-26八年级下·内蒙古兴安·期中）先化简，再求值：
，其中，．
2．（25-26八年级下·河南焦作·期中）按要求作答：
(1)计算：
(2)已知，，求代数式的值．
3．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）请阅读下列材料：
已知，求代数式的值．
学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：
由得，则，即，．把作为整体，得．
请运用上述方法解决下列问题：
(1)已知，求代数式的值；
(2)已知，求代数式的值．
【典型例题十 已知条件式，化简求值】
【例1】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【例2】（2025·湖北武汉·模拟预测）若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（ ）
A． B． C．2023 D．
【例3】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知，，则的值为______．
【例4】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知，那么的值等于_____．
1．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知实数x，y满足．
(1)探究：x与y之间存在怎样的数量关系？并证明你的结论；
(2)计算：求代数式的值．
2．（24-25八年级下·山东泰安·期末）解方程：
阅读材料，解答下列问题．
材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
，
这种方法称为“构造对偶式”．
问题：已知．
(1)求的值；
(2)求x的值．
3．（24-25八年级下·北京西城·期中）已知，是两个连续的正偶数，，，．
(1)当时，__________；
(2)当为任意正偶数时，的值是定值吗？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由．
【典型例题十一 二次根式的应用】
【例1】（25-26八年级下·广西钦州·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级下·云南昆明·期中）社区为了打造“便民休闲角”，计划将一块闲置空地改造成如图所示的集阅读区、健身区和绿植区的小型休闲广场．已知阅读区（正方形）和健身区（正方形）的面积分别为、，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级下·新疆阿克苏·期中）半径为的圆变成面积相等的长方形，长为，宽为，圆的半径为___________．
【例4】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，有一块长方形花园，园丁采用如图的方式在花园里划出两块面积分别为和的正方形花圃，则原长方形花园的面积为________．
1．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料．
(1)裁去的两块正方形木料的边长分别为______和______；
(2)求剩余木料（阴影部分）的面积．
2．（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）现有两块同样大小的长方形纸片，丽丽采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B．
(1)求图①中阴影部分的周长；
(2)小明想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由．
3．（25-26八年级上·福建泉州·期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设，（其中均为正整数）
则有．
．
这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，，得_____，_____；
(2)若，且均为正整数，求的值．
1．（25-26八年级下·江西赣州·阶段检测）若最简二次根式与能够合并，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（ ）
1
3 2
6
A． B． C．6 D．
4．（25-26八年级下·河南许昌·期中）【观察】，．
【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式．
【运用】对于正整数，定义，例如：．求的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级下·甘肃武威·阶段检测）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
6．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______．
7．（2025·广西防城港·一模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：______．

8．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出的结果是______．

9．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则图中、、三个实数的积为______．
1 b
3 a 2
6 c
10．（24-25八年级上·湖南湘潭·自主招生）在学习二次根式的过程中，有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系
例如：由，可得与互为倒数，即，
类似的，
；；…
根据这一规律，计算：_____．
11．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）已知是最简二次根式，且与可以合并，求与的乘积．
12．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）（）填空：______；______；
（）当时，______（用“”填空）；
（）当时，求证：．
13．（25-26八年级下·广东东莞·期中）阅读下列材料，然后解答下列问题．在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）；
（二）
以上这种化简的方法叫分母有理化．
(1)化简_______；______．
(2)化简_______．（）
(3)化简：．
14．（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）下面是博学小组的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务．
在实数的运算中，灵活运用多种方法，会给运算带来方便．比如：运用公式法，整体代入法等． 例：计算，可以用公式来进行运算．即： ． 例：已知，求代数式的值． 解：由得：，所以，所以，所以，整体代入得：．
任务：
(1)已知，求代数式 的值；
(2)计算：
15．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）有一块长方形木板，小牛采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形．
(1)求长方形木板的面积；
(2)小牛想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明小牛的想法是否可行．
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