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第06讲 一元二次方程的概念与解法（6大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 化成一元二次方程的一般式
典型例题二 由一元二次方程的定义求参数
典型例题三 判断是否是一元二次方程的解
典型例题四 由一元二次方程的解求参数
典型例题五 因式分解法解一元二次方程
典型例题六 解一元二次方程——直接开平方法
典型例题七 解一元二次方程——配方法
典型例题八 配方法的应用
典型例题九 公式法解一元二次方程
典型例题十 换元法解一元二次方程
典型例题十一 一元二次方程的新定义计算
知识点01 一元二次方程的概念
只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）
如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程，据此对各选项逐一判断即可．
【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程．
∵选项A中未规定，当时，方程不是二次方程， ∴A不符合要求；
∵选项C中含有和两个未知数， ∴C不符合要求；
∵选项D中分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，
∴D不符合要求；
选项B满足一元二次方程的所有条件．
2．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元二次方程共有 _______个．
【答案】3
【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足三个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，方程为整式方程．
【详解】解：①满足概念，是一元二次方程；
②满足概念，是一元二次方程；
③含有分式，不满足概念，不是一元二次方程；
④满足概念，是一元二次方程；
⑤含有两个变量，不满足概念，不是一元二次方程；
⑥，化简后为，不含二次项，不满足概念，不是一元二次方程；
∴一元二次方程有3个．
知识点02 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）一元二次方程化为一般形式后，、、的值分别是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，移项后比较系数是解题关键．将方程化为一般形式后，比较系数即可得出答案．
【详解】解： ，
移项得，
，， ．
故选：C．
2．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）在一元二次方程中，当二次项系数为1时，一次项系数是___________
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，
先将一元二次方程化为一般形式，再根据一次项系数定义解答即可.
【详解】解：一元二次方程的一般形式为，
可知二次项系数为1，一次项系数为.
故答案为：.
知识点03 一元二次方程的解法：直接开平方法
直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海松江·期中）关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题关键．利用直接开平方法解方程可得，由此即可得．
【详解】解：方程，
，
，
∵是该方程的两个根，
∴，
故选：C．
2．（24-25八年级上·上海青浦·期中）一元二次方程的解是____________．
【答案】，
【分析】本题考查的是解一元二次方程．用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：，
或，
，
故答案为：，．
知识点04 一元二次方程的解法：配方法
配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：
（1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
（2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式；
（5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海闵行·期末）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，关键是掌握配方法的核心步骤：对于形如的一元二次方程，需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再合并右边的常数项．
【详解】解：原方程为，
在方程两边同时加上一次项系数一半的平方为，得，
左边根据完全平方公式可化为，右边计算得，
即；
故选：D．
2．（25-26八年级上·上海奉贤·阶段检测）已知方程，用配方法化为．则___________．
【答案】3
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，
根据完全平方公式加上一次项系数一半的平方配方，再根据对应系数相等可得答案.
【详解】解：方程，
配方，得，
即，
则，
解得.
故答案为：3.
知识点05 公式法
公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．
一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0)
推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为：
2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解．
【即时训练】
1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意列出方程求解即可
【详解】解：依题意得：，
整理得：，
解得：（舍去）
故选：B
2．（24-25八年级上·上海·期中）因式分解：__．
【答案】
【分析】令原式，求出的值，即可确定出因式分解结果．
【详解】解：时，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解一元二次方程，解题的关键是用公式法求出方程的解．
知识点06 因式分解法
将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。
即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。
1、因式分解的主要方法：
①提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。
②乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式：
③十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件：
①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程：
∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴
2、解一元二次方程的方法选择：
①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。
③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。
注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海普陀·期末）一元二次方程的根是（ ）
A．1 B．1或0 C．或0 D．0
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
【详解】解：，
，
，
解得：．
故选：B
2．（25-26八年级上·上海·期中）方程的解是_____．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是关键．
通过移项将方程化为标准形式，然后因式分解，利用零乘积性质求解．
【详解】解：化为一般式得，，
∴因式分解得，，
∴，
故答案为：．
【典型例题一 化成一元二次方程的一般式】
【例1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）一元二次方程的常数项是（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的有关定义，解题的关键是掌握相关定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，一般形式为，其中，，分别为二次项，一次项和常数项．先将一元二次方程化为一般式，即可求解．
【详解】解：由可得，
则常数项为，D选项符合题意．
【例2】（25-26八年级上·上海长宁·期末）把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（ ）
A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，，
【答案】B
【分析】将原方程整理为的形式，即可确定，，的值.
【详解】解：原方程为，
展开左边得，
移项整理为一般式得，
，，．
【例3】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____．
【答案】
3
【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数．
【详解】解：，
∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为．
【例4】（25-26八年级上·上海·期末）将一元二次方程化为的形式，则___________．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．
直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【详解】解：∵
∴，
∴， ， ，
∴．
故答案为：
1．（25-26八年级上·上海松江·期中）将二次函数 化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】，二次项系数是，一次项系数是，常数项是9
【分析】此题考查了二次函数的一般形式，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．把化为一般形式，即可得到答案．
【详解】解：，
即，
则二次项系数是，一次项系数是，常数项是9．
2．（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
(1)；
(2)关于x的方程．
【答案】(1)，二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0
(2)，二次项系数是，一次项系数是，常数项是
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键．
（1）先去分母，再移项、合并同类项为，从而可得答案；
（2）先移项，再合并同类项可得，从而可得答案．
【详解】（1）
解：去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是0；
（2）
移项、合并同类项得：，
二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
3．（25-26八年级上·上海静安·课后作业）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题：
(1)计算：_________．
(2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由．
(3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程．
【答案】(1)3
(2)是，
(3)，0；过程见解析
【分析】（1）根据直接代入求值即可；
（2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可；
（3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可
【详解】（1）解：
故答案为：；
（2）解：由题意，得．
整理，得，
是一元二次方程，化成一般形式为．
（3）解：由题意，得．
整理，得．
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
综上所述，，0是方程的根．
【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【典型例题二 由一元二次方程的定义求参数】
【例1】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）关于的方程是一元二次方程，则（ ）
A．2或 B．2 C． D．0
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
根据一元二次方程的定义直接解答即可．
【详解】解：∵ 方程是一元二次方程，
∴ ．
当时，方程为，符合定义．
故选：B．
【例2】（2026·上海·一模）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．m为任意实数
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此列不等式求解即可．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴二次项系数，
解得．
【例3】 （25-26八年级上·上海徐汇·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出关于m的方程，求解即可得到m的值．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴x的最高次数为2，且二次项系数不为0，
可得：，
∴
即．
【例4】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）关于x的方程是一元二次方程的条件是________．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为零．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴二次项系数，解得．
故答案为：．
1．（25-26八年级上·上海嘉定·课后作业）若方程是关于的一元二次方程，求的值．
【答案】的值为2或3或4
【分析】本题考查了一元二次方程的定义的应用，能理解一元二次方程的定义是解此题的关键．
分三种情况讨论，求出的值即可．
【详解】解：分以下三种情况讨论：
①当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意；
②当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意；
③当时，即，此时方程的二次项系数为，符合题意．
综上所述，的值为或或．
2．（25-26八年级上·北京·阶段检测）已知是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】11
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义、完全平方公式、平方差公式．解题思想与方法：利用方程的根的定义，将根代入方程得到关于m的等式，再通过代数式的化简，整体代入求值，体现了整体思想．解题关键：根据方程的根的定义求出的值，然后对代数式进行正确化简，以便整体代入．易错点：在化简代数式时，完全平方公式和平方差公式的运用容易出错，尤其是符号问题；另外，整体代入时容易忘记将作为一个整体进行代入计算．
首先因为m是方程的根，所以把代入方程，就能得到，进而得出．接下来，需要对代数式进行化简，利用完全平方公式展开得到，利用平方差公式计算得到，然后合并同类项，将化简后的式子整理成含有的形式，即．最后，把之前求出的整体代入这个式子，计算出结果．
【详解】解：将代入方程中，可得：
，
．
又
将代入中，可得：
．
综上，代数式的值为11．
3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程．
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程，
∴且，
即且，
∴；
（2）解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
解得
【典型例题三 判断是否是一元二次方程的解】
【例1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）在下列方程中，是方程的根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A．当时，，不是方程的根；
B．当时，，不是方程的根；
C．当时，，是方程的根；
D．当时，，不是方程的根．
【例2】 （25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵一元二次方程为 ，
把代入方程左边，得，
又∵已知，
∴当时，方程左右两边相等，
∴是该一元二次方程的一个根．
【例3】 （24-25八年级上·浙江宁波·期末）若，则一元二次方程的一个根为 _____．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，对比已知条件即可得到方程的一个根．
【详解】解：将代入，
得，
，
当时，成立，
根据一元二次方程的解的定义，可知该一元二次方程一定有一个根为2．
【例4】（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______．
x 0 1 2 3 …
6 2 0 0 2 6
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的解，通过观察表格数据，当取特定值时，表达式 的值等于6，这些x值即为方程 的根，再计算两根之和，即可作答．
【详解】解：由表格可知，当时，；
当时，，
∵，
∴
故一元二次方程的两根为，
则，
故答案为：1
1．（24-25八年级上·北京丰台·期末）已知m是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程即可得到答案．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
2．（25-26八年级上·上海嘉定·期末）已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由．
【答案】没有公共根，见解析
【分析】本题考查了方程组的解，解题的关键是掌握两个方程的公共根即为两个方程组成的方程组的根；
设关于x的方程 与 有公共根，公共根为 ，推出或，结合题目条件得出，将其代入①，即可得出结论．
【详解】解：没有公共根，理由如下：
不妨设关于x的方程 与 有公共根，
设公共根为 ，
则有
得，
∴或，
，，
，，则
假设 ，
则，即，与矛盾，
，
，
∴，
，
将 代入①得 ，
∵ ，所以 均为正数，其和 必大于0，
∴ ，不成立，产生矛盾不符合题意，
关于 的两个方程没有公共根．
3．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）请阅读下面材料：对于一个一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．具体解题过程如下：设所求方程的根为，则，有，把代入已知方程，有即，整理得．这种方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式且二次项系数是正整数）
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．则所求方程为________；
(2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．则所求方程为________；
(3)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握“换根法”是解题的关键．
（）仿照阅读材料方法解答即可；
（）仿照阅读材料方法解答即可；
（）仿照阅读材料方法解答即可；
【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，
∴，
把代入已知方程，得，即，
整理得，，
故答案为：；
（2）解：设所求方程的根为，则，
∴，
把代入已知方程，得，即，
整理得，，
故答案为：；
（3）解：设所求方程的根为，则，
∴，
把代入已知方程，得，
整理得，，
∴所求方程为．
【典型例题四 由一元二次方程的解求参数】
【例1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）若是一元二次方程的一个解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，解题的关键是将方程的解代入方程求解未知数．
根据一元二次方程解的定义，把代入给定的一元二次方程，得到关于m的一元一次方程，进而求解m的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得，
故选：B．
【例2】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
解得．
【例3】（2026·安徽安庆·一模）若一元二次方程的一个解为，则的值为______．
【答案】
【分析】将代入原方程求解，再根据一元二次方程定义排除不符合条件的值即可得到结果．
【详解】解：把代入一元二次方程，
得，解得．
又∵是关于的一元二次方程，
∴，即，
∴符合条件．
【例4】（2026·青海西宁·一模）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的其中一个根为___________．
【答案】2026
【分析】将方程整理为，再利用已知方程的根求出所求方程的根即可．
【详解】解：由方程得到：，
由于方程的其中一根为，
则，
解得，
因此，关于x的方程的其中一个根为2026．
1．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知a是一元二次方程的一个根：
(1)求的值
(2)求的值．
【答案】(1)2
(2)2025
【分析】（1）根据a是一元二次方程的一个根，得到，整体代入法求值即可；
（2）利用降幂和整体代入法进行计算即可.
【详解】（1）解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴
.
2．（24-25八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由；
(2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根；
(3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值．
【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键．
（1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可；
（2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可；
（3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可．
【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下：
，
，
，
，，，
，
一元二次方程是“有爱方程”．
（2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”，
，
，
，
为“有爱方程”的根．
（3）是关于的“有爱方程”，
，
，
是该“有爱方程”的一个根，
，
，
或．
3．（25-26八年级上·广东潮州·期中）阅读理解题．
定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似．
读完这段文字，请你解答以下问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了复数的基本概念与运算，一元二次方程根与系数的关系，理解复数的概念是解题的关键．
（1）根据复数定义，即及幂的运算求解即可；
（2）先化简，再根据复数相等的条件列方程组，最后根据一元二次方程根与系数的关系构造一元二次方程．
【详解】（1）解：，
，，，
,，
；
故答案为：；
（2），
，即，
，
，
是一元二次方程的两根．
【典型例题五 因式分解法解一元二次方程】
【例1】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】C
【详解】解：，
则或，
解得：，．
【例2】（25-26八年级下·浙江台州·期中）已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
【答案】C
【详解】解：解，
得，
时，原式，
时，原式，
．
【例3】（2026·山东·模拟预测）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________．
【答案】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ．
【详解】解：已知方程为 得 或 ，
解得，，
方程的一个根是，
，
因此方程的另一个根为2．
【例4】（2026·河南周口·一模）新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________．
【答案】，
【分析】本题属于新定义运算题目，考查一元二次方程的解法，根据新定义的运算规则将原方程整理为标准一元二次方程，再利用因式分解法求解即可．
【详解】解： ，且 ，
，
整理得 ，
因式分解得 ，
即 或 ，
解得 ，．
1．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）解：
移项得
提取公因式得
则或
解得，；
（2）解：
则或
解得，．
2（25-26八年级下·安徽安庆·期中）用合适的方法解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用配方法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【详解】（1）解：，
移项得；
配方，得，即；
开平方，得，
∴或，
∴，．
（2）解：，
，
，
，
则或，
解得，．
3．（2026·湖北孝感·一模）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，因为，所以一元二次方程为“差1方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程_____“差1方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于的一元二次方程是“差1方程”，求的值．
【答案】(1)不是
(2)的值为或
【分析】（1）解该一元二次方程，得出，，再根据“差1方程”的定义判断即可；
（2）用表示出方程的两个根，根据“差1方程”的定义两方程求出的值即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，，
∴，
∴一元二次方程不是“差1方程”．
（2）解：∵，
∴，，
∵关于的一元二次方程是“差1方程”，
∴
解得：，，
综上所述：的值为或．
【典型例题六 解一元二次方程——直接开平方法】
【例1】（25-26八年级上·江西南昌·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，熟记偶次方的非负性是解题的关键．
方程左边为平方项，始终非负，因此右边也必须非负，方程才有实数根．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得 ．
故选：D．
【例2】（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正数的平方根互为相反数的性质，即可推出另一个一元一次方程．
【详解】解：原方程为，对等式两边开平方可得，或，
故另一个方程为．
【例3】（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________．
【答案】
【分析】根据常数项为0列出方程求出k的值，根据一元二次方程的定义可知二次项系数不为，求解即可得到的值．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0，
∴，
解得或，
∵二次项系数不为0，
∴，
∴，
∴．
【例4】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为_____________．
【答案】
【分析】根据题目中给出的运算规则，将转化为常规的一元二次方程，再求解方程．
【详解】解：根据定义的运算规则，将转化为方程：
，
解得．
1．（24-25七年级下·吉林四平·期中）求满足条件的x值：．
【答案】或
【分析】本题主要考查利用开平方法解一元二次方程，根据求平方根的方法解方程即可．
【详解】解：
，
或，
或．
2．（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）定义：如果一个数的平方等于，记为①，这个数叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（为实数），叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它与整式的加法、减法、乘法运算类似．
例如：解方程，解得．同样我们也可以化简．
读完这段文字，请你解答以下问题：
(1)填空：__________，__________，__________．
(2)在复数范围内解方程：．
(3)在复数范围内解方程：．
【答案】(1)，1，0
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）直接根据计算即可；
（2）把右边的写成求解即可；
（3）利用配方法，结合求解．
【详解】（1）解：，，，，……
，即连续四项之和为0，
又该多项式共有项，且，
，
故答案为：，1，0；
（2）解：，
，
，
；
（3），
，
，
，
，
解得．
3．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程．
解：原方程可变形，得，
，
，
直接开平方，得，．我们称这种解法为“平均数法”．
(1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程：
解：原方程可变形，得，
，
，
直接开平方，得，．
上述解题过程中，a，b所表示的数分别是_______，_______；
(2)请用“平均数法”解方程：．
【答案】(1)5，3
(2)
，．
【分析】本题考查解一元二次方程、平方差公式，熟悉一元二次方程的解法，理解“平均数法”解一元二次方程的方法是解答的关键．
（1）根据“平均数法”的定义求解即可得出a、b的值；
（2）根据“平均数法”的定义求解即可．
【详解】（1）解：原方程可变形，得，
，
，
直接开平方，得，，
故，
故答案为：5，3．
（2）解：原方程可变形，得，
，
，
直接开平方，得，．
【典型例题七 解一元二次方程——配方法】
【例1】（25-26八年级下·广东江门·期中）用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用完全平方公式对等式左边进行配方，即可得结论．
【详解】解：，
∴，
∴．
【例2】（24-25八年级下·浙江台州·期中）把一元二次方程配方转化成的形式，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式，对比选项即可得到结果．
【详解】解：∵原方程为 ，
移项得 ，
配方得，
整理得 ，
∴．
【例3】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）（1）____________；
（2）____________．
【答案】 25 5
【详解】解：（1），
（2）．
【例4】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）用配方法解方程，首先移项得，然后配方，化简得，再通过降次转化为两个一元一次方程求解，那么这里的值为______．
【答案】4
【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键
根据配方法，一次项系数的一半即为b的值，据此即可解答．
【详解】解：，
移项得，
配方时，加上一次项系数8的一半的平方，即 ，得：
，即 ．
因此，b的值为4．
故答案为4．
1．（2026·浙江丽水·二模）解一元二次方程时，小龙同学的错误解法如图．
解： 所以或 所以，
(1)你认为是方程的解吗？请判断并说明理由．
(2)选择正确的方法解方程：．
【答案】(1)不是方程的解，理由见解析
(2)，
【分析】（1）把代入方程验证即可；
（2）整理后用直接开平方法求解即可．
【详解】（1）解：当时，左边，右边，
左边右边，
不是方程的解；
（2）解：，
，
，
，
，．
2．（24-25八年级上·广西贺州·期中）小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：
①，
②，
③，
④，
⑤，
⑥．
小明的解答从第_____步开始出错，请写出正确的解答过程．
【答案】⑤；见解析．
【分析】根据配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：小明从第⑤步开始出现了错误；正确的解答过程如下：
由，
移项，得：，即：，
配方，得：，即：，
开方，得：，
解得：．
3．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）在用配方法解方程时，小明的解法如图：
第一步：移项，得． 第二步：配方，得，即． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以，．
请回答：
(1)小明的解答过程从第________步开始出现错误；
(2)请给出这道题的正确解答过程．
【答案】(1)二
(2)见解析
【分析】（1）观察解题过程可得结论；
（2）运用配方法的过程解答即可．
【详解】（1）解：小明的解答过程从第二步开始出现错误；
（2）解：，
，
，
，
，
∴，
【典型例题八 配方法的应用】
【例1】（2026·江苏宿迁·二模）已知为实数，，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，对作差结果配方后，利用平方数的非负性判断差的符号，即可得到与的大小关系．
【详解】解：∵，，
∴，
去括号整理得：，
即：，
∵为实数，任意实数的平方非负，可得，
∴，即，
∴．
【例2】（25-26八年级上·山西大同·期末）下面是小云用配方法解方程：的过程的一部分，横线上应填写（　　）
第一步：把常数项移到方程的右边，得：
第二步：两边都加___________
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，观察题目所给方程，结合完全平方式的特征可知，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可．
配方法解一元二次方程时，需在方程两边加上一次项系数一半的平方，以形成完全平方式.
【详解】解：∵一次项系数为6，其一半为3，平方为，
∴两边加，
得，
即.
故横线上应填写，
故选：B.
【例3】（2025八年级上·黑龙江·专题练习）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若定义：，则代数式的最小值为______．
【答案】/0.75
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，配方法的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
根据新定义、完全平方公式将原式变形为，即可求解．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴，
∴代数式的最小值为．
故答案为：．
【例4】（25-26八年级上·湖南娄底·期中）对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ．
【答案】
【分析】此题考查了配方法的应用，通过配方法将二次代数式转化为完全平方式与常数项的和，利用完全平方式的非负性求最小值．
【详解】解：∵
∵
∴
∴代数式的最小值是．
故答案为：．
1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）请证明无论、为任何值时，的值都是正数．
【答案】见解析
【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，非负数的应用，将式子写成完全平方式，再判断式子的取值范围即可，解题的关键是将多项式分组，写成非负数的和的形式．
【详解】证明：
，
∵，，
∴，即，
∴的值是正数，
2．（25-26八年级上·上海嘉定·课后作业）阅读材料：
把一个多项式进行配方可以解决求代数式的最大（小）值问题．例如：．，，代数式有最小值，最小值是2．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求代数式的最小值．
(2)图①是一组邻边长分别为7，的长方形，面积为；图②是边长为的正方形，面积为，且．请比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)1
(2)，见解析
【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解此题的关键．
（1）配方得出，结合，即可得解；
（2）由题意表示出，，计算出即可得解．
【详解】（1）解：．
，，
∴代数式的最小值为1．
（2）．理由如下：
由题意，得，，
，
．
3．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）小明在学习有关整式的知识时，将x的不同取值分别代入，发现了一个有趣的现象：当x的不同取值关于“”对称时，的值相等．
x 0 1 2 3
9 4 1 0 1 4 9
请结合小明的探索方法解决下列问题：
(1)当x的不同取值关于_________对称时，代数式的值相等；
(2)当x的不同取值关于_________对称时，代数式的值相等；
(3)若关于x的多项式的值关于“”对称，求b的值；
(4)整式关于_________对称．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键．
（1）根据新定义即可得出答案；
（2）对多项式进行配方，根据新定义判断即可；
（3）对多项式进行配方，根据新定义得出，求解即可；
（4）将原式进行变形，最后得到，再判断即可．
【详解】（1）解：对于代数式，当取任意一对互为相反数的数时，的值都相等，
∴关于对称，
故答案为：；
（2）解：，
∴当取任意一对互为相反数的数时，的值都相等，即的值相等，
∴关于对称，
故答案为：；
（3）解：，
∴当取任意一对互为相反数的数时，的值都相等，即的值相等，
∴多项式关于对称，
∵关于x的多项式的值关于“”对称，
∴，
∴；
（4）解：
，
∴当取任意一对互为相反数的数时，的值都相等，即的值相等，
∴多项式关于对称，
故答案为：．
【典型例题九 公式法解一元二次方程】
【例1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）一元二次方程的实数根是（ ）
A．
B．
C．，
D．
【答案】D
【分析】先将原一元二次方程整理为一般形式，再利用一元二次方程求根公式求解即可．
【详解】解：，
，
判别式 ，
∴代入求根公式得
∴，即选项D符合题意．
【例2】（25-26八年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴该一元二次方程为，
故选：B．
【例3】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程，其求根公式为_____；
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程求根公式的推导，解题的关键是掌握配方法推导求根公式的步骤．
按照配方法的步骤，移项，系数化为1，同时加上一次项系数一半的平方，求解即可．
【详解】解：对于一元二次方程 （其中 ），
移项得，，
系数化为1得，，
两边加上 得，，
则，
开平方得，，
移项得，，
故答案为： ．
【例4】（24-25八年级上·上海嘉定·随堂练习）有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的x的值为________；若输入，则输出的x的值为________．
【答案】 或 无解
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意分别列出一元二次方程，求解即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解此题的关键．
【详解】解：若输入，则，
∴，
解得或，即此时输出的x的值为或；
若输入，则，
此时，故此时输出的x的值为无解，
故答案为：或；无解．
1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）解方程：
(1)(用配方法解)；
(2)(用公式法解)；
(3)(用因式分解法)．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
【详解】（1）解：移项，得，
配方，得，
∴，
∴
解得，．
（2）∵，，
∴，
，
．
（3）原方程可变形为
，或
∴，．
2．（2026·江苏泰州·一模）【材料阅读】
数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：用“转化”的数学思想，可以解一些新的方程．
如：一元三次方程，通过因式分解转化为，解方程和，可得方程的根．
再如：方程，两边同时平方转化为，解得：，．因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解．
【学以致用】
(1)求方程的根；
(2)求方程的根．
【答案】(1)或或
(2)
【分析】根据转化的新思路，（1）将方程转化为一元二次方程即可求解；（2）将方程两边平方后转化为一元二次方程求解，并检验增根．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∴或，
即或，
即或或，
解得或或．
（2）解：∵，
∴．
∴．
∴，
经检验：是原方程的解，是增根，
∴．
3．（24-25八年级上·上海静安·期末）小海同学解一元二次方程的过程如下：
解：，，
或
所以，原方程的根是，．
(1)小海的求解过程从 步开始出现错误．
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根．
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握解法是解题的关键．
（）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断；
（）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可．
【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解，
∴小海的求解过程从第步开始出现错误，
故答案为：；
（2）解：，
，
，，，
，
，
∴，．
【典型例题十 换元法解一元二次方程】
【例1】（2026八年级下·浙江绍兴·专题练习）已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．无法求解
【答案】B
【分析】利用换元法，将新方程中的看作整体，对应原方程的，根据原方程的解得到整体的取值，再解一元一次方程即可得到新方程的解．
【详解】解：令，则方程可变形为，
关于的方程的解为，
，
即或，
解得或，
方程的解是．
【例2】（24-25八年级下·安徽滁州·阶段检测）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即若三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若三角形的面积，，则a的值为（ ）
A．2或3 B．3或 C．5或4 D．4或
【答案】D
【分析】本题考查解一元二次方程，根据公式，列出关于的方程，利用换元法解一元二次方程即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
设，则，
整理，得，解得．
当时，，∴（负值舍去）；
当时，，∴（负值舍去）．
故选D．
【例3】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知方程的解是，则方程的解是___________．
【答案】，
【分析】利用整体换元的思想，将看作整体，对应已知方程中的值，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果．
【详解】解：∵方程的解是，，
∴方程的解为或，
解得：，．
【例4】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）关于x的代数式满足下表中的对应关系（其中a、p、q均为常数，），则方程的解是________．
x … 0 1 3 5 …
… 0 0 16 40 …
【答案】
【分析】根据表格得到方程 的解，利用换元法将所求方程中的看作整体，令，将所求方程变形为，求出t的值即可得到答案．
【详解】解：由表格中的数据可知，当或时，代数式的值为0，
∴方程的解为或，
在中，令，则方程可变形为方程，
∴方程的解为或，
∴或，
解得．
1．（25-26八年级下·安徽淮北·阶段检测）阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，．
根据上述材料，解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程，即可求解；
（2）设，则原方程可化为，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设，则原方程可化为，
解得，．
当时，，解得；
当时，，解得．
原方程的解为，．
（2）解：设，则原方程可化为，
解得．
，
即或，
解得，．
2．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）某数学小组在解方程时，将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得，；当时，，解得，．故原方程的解为，，，．
(1)上述解方程的方法所体现的数学思想是________．
A．类比思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．分类讨论思想
(2)请你运用该小组的方法解方程：．
【答案】(1)B
(2)，
【分析】本题考查了数学思想的识别以及换元法解方程．
（1）通过将视为一个整体，设，将原方程转化为关于t的方程，再求解t，最后求解x，这种将复杂问题转化为简单问题的方法体现了转化思想；
（2）运用换元法，设，将原方程转化为关于t的方程，求解t后再求解a．
【详解】（1）解：题目中将视为一个整体，
设，将原方程转化为关于t的方程，
再求解t，最后求解x，这种将复杂问题转化为简单问题的方法体现了转化思想．
故选：B．
（2）解：设，则原方程可化为，
∴，
解得，，
①当时，，即，
此时，方程无实数解，
②当时，，即，
∴，
解得，，
故原方程的解为，．
3．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①．
解方程①可得，．
当时，，即，∴；
当时，，即，∴．
∴原方程的解为，，，．
【解决问题】
(1)方程的解为______；
(2)已知，求的值；
(3)请仿照材料中的方法，解方程：．
【答案】(1)，
(2)
(3)，，，
【分析】（1）设，则原方程可化为，再根据一元二次方程的解法即可求解；
（2）设，则原方程可化为，根据一元二次方程的解法即可求解；
（3）设，则原方程可化为，仿照题中所给的方法以及根据一元二次方程的解法即可求解．
【详解】（1）解：设，则原方程可化为，即，
解得，（舍去），
当时，
∴，
解得，；
（2）解：设，则原方程可化为，
整理，得，
解得，，
又∵，
；
（3）解：设，则原方程可化为，
解得，，
当时，，解得，，
当时，，解得，，
∴原方程的解为，，，．
【典型例题十一 一元二次方程的新定义计算】
【例1】（25-26八年级上·上海嘉定·课后作业）在实数范围内定义运算“”为，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，本题是新定义型，正确理解并熟练运用新定义的规则是解题的关键．
根据定义的新运算规则，先计算括号内，再代入方程，转化，再利用开平方法解方程即可．
【详解】解：根据定义，
原方程变为 ，即 ．
化简得
进一步得
解得 ，即 ，．
∴方程的解为 ，，
故答案选： C．
【例2】 （25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）定义新运算：．例如：．则关于x的方程的解为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握新定义的运算是解决问题的关键．根据新运算的定义列出方程进行求解即可．
【详解】解：根据定义的新运算，得，
，
解得：，，
故选：A．
【例3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算：，若，则x的值为_________．
【答案】
【分析】本题考查解一元二次方程；根据新定义以及已知条件，可得，利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：根据题意得，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
【例4】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）定义一种新运算：，例如：．若，则的值为_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了新定义运算及一元二次方程的解法，根据新定义可得，解方程即可．
【详解】解：，
解得，
故答案为．
1．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）新定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程的倒方程是_______．
(2)若是一元二次方程的倒方程的一个根，求该倒方程的另一个根．
【答案】(1)
(2)，．
【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念以及解一元二次方程．
（1）根据新定义的含义可得答案；
（2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入求得的值，再利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：；
故答案为：；
（2）解：由题知，方程的倒方程为，
将代入得，，
解得；
当时，，
因式分解得，
解得，．
2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”．
(1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）；
(2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”；
(3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值．
【答案】(1)是
(2)，
(3)代数式的最小值为
【分析】（1）根据“和谐方程”定义进行判断即可；
（2）根据“和谐方程”定义得出，求出b的值，再解方程即可；
（3）根据“和谐方程”定义得出，把代入得出根据非负数的性质，得出答案即可．
【详解】（1）解：∵方程中，，，
∴，
∴方程是“和谐方程”；
（2）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”，
∴，
解得：，
解方程，
解得；
（3）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”，
∴，
∴，
∴
，
，
，
即代数式的最小值为．
3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）【阅读理解】
定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．
(1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有_______；（只填写序号即可）
①；②；③
(2)关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值；
(3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值．
【答案】(1)②③
(2)的值是3或
(3)或．
【分析】本题考查了解一元二次方程、新定义“同伴方程”．熟练掌握以上知识点是关键．
（1）分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可；
（2）先求出一元二次方程的解，根据一元二次方程与为“同伴方程”，分情况求解即可；
（3）一元二次方程同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可．
【详解】（1）解：①解方程，
可得：；
②解方程，
可得：，；
③解方程，
可得：，；
其中方程②和方程③有且只有一个相同的实数根，
方程②③是“同伴方程”；
故答案为：②③；
（2）解：解方程，
可得：，，
当相同的根是时，
把代入可得，
解得：；
此时方程为，
可得，，符合题意；
当相同的根是时，
把代入可得，
解得：，
此时方程为，可得：，，符合题意；
的值是3或；
（3）解：由条件可知方程的解是，，
方程可整理为
方程的解为，，
方程与方程是“同伴方程”，
或，
或．
1．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】解：∵，
又把代入方程中得：，
∴这个方程必有一个根是．
故选：D．
2．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．
【答案】C
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解．
根据凤凰方程的定义得，根据方程且有一个解为得，通过加减消元即可求解．
【详解】解：∵方程是凤凰方程，23-
∴．
∵是方程的解，
∴，即．
将两式相加：，得 ，
∴，即．
将两式相减：，得 ，
∴．
故且，
故选C．
3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示．
上述求解过程中，开始出现错误的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【分析】需逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤．
【详解】解：班长：，
甲：两边同除以3，得，正确，
乙：配方，两边加1，得，即，但乙写成了，错误，
∴开始出现错误的是对应选项为B．
4．（2026·安徽宣城·二模）如图，这是小卫同学解一元二次方程的过程，判断他在解答过程中出现错误的步骤是（ ）
小卫同学解答过程： 解：， 第一步 ， 第二步 ， 第三步 或， 第四步 解得或． 第五步
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
【答案】C
【详解】解：正确步骤如下：
，
，
，
或，
解得或．
∴第三步的提取公因式出错．
5．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
【答案】D
【分析】根据“伙伴方程”的定义可得可以变形，展开成一般式后根据系数相等列方程解得，，最后根据求解即可．
【详解】解：∵与是伙伴方程，
∴可以变形，
即，
∴，，
解得，，
∴，
∴代数式能取的最大值是．
6．（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）若a，b满足，且，则______．
【答案】2
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，将已知方程进行因式分解，并利用已知条件代入求解．
【详解】解：由，且，
代入得，
∴．
故答案为：2．
7．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义，得到未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程即可求解．
【详解】解：方程是关于的一元二次方程；
解得，即；
由得．
．
8．（2026·贵州遵义·二模）定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______．
【答案】4或
【分析】理解新运算规则，根据规则列出关于的一元二次方程，再解方程即可得到结果．
【详解】解：∵ ，
∴
又，
∴，
∴
开平方得，
解得或。
所以，x的值是4或．
9．（24-25八年级上·北京·阶段检测）阅读下面的问题：解方程．
解：（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）
（2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）
综上所述，原方程的根是，，
参照上述解题方法，则的解为______．
【答案】；
【分析】本题考查绝对值以及解一元二次方程，掌握分类讨论的思想是解答本题的关键．
分情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）当时，原方程化为，解得：， （不合题意，舍去）；
（2）当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去），，
综上所述，原方程的根是，，
故答案为：；．
10．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数a，b满足，则的最小值______ ．
【答案】1
【分析】由已知等式变形表示出，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出最小值即可．
【详解】解：，
，
，即，
，
，
当，即时，的最小值为
故答案为：
【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11．（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段检测）方程，m为何值时，方程是一元二次方程．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程未知数的最高次数为2且二次项系数不为零是解题的关键．
根据一元二次方程的定义列关于m的方程求解即可．
【详解】解：根据一元二次方程的定义可得：
，解得：．
所以当时，该方程是一元二次方程．
12．（2026·广东河源·二模）在解方程时，小明的解法如下：
第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：．
小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程．
【答案】小明的解法中第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以时，没有考虑的情况，
正确的解答过程：
第一步：，
第二步：，
第三步：，即，
第四步：或，
第五步：，．
【分析】由方程两边都除以，没有考虑的情况，这会导致漏解，从而得到错误的步骤及原因，然后把方程移项化为，再利用因式分解的方法解方程即可．
【详解】略
13．（25-26八年级上·广东深圳·期末）（1）解方程：；
（2）小明用配方法解关于x的方程，过程如下：
解：……第①步
……第②步
……第③步
……第④步
，或……第⑤步
∴，……第⑥步
小明第②步的理论依据是______．
小明的结果是否正确______（填“是”或“否”）
请你用不同于小明的方法解这个方程：．
【答案】（1），；（2）等式的基本性质1，是；见详解；
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的四种常规解法是解题的关键．
（1）根据直接开平方法解方程即可．
（2）根据等式的性质，配方法解方程回答即可，利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1）
，
，，
（2）小明第②步两边同时加上9，理论依据是等式的基本性质1．
小明运用的是配方法，过程正确，结果正确，
故答案是：等式的基本性质1；是；
不同于小明的方法：
或
，
14．（2026·河北保定·三模）某班数学兴趣小组的同学在计算探究中发现：，，，，于是他们猜想：当两个正数的和一定时，这两个数的积在它们相等时取得最大值．事实上，这个猜想是正确的．
(1)用代数式表述这一猜想：若，，且（k为定值），则当________时，________最大；
(2)以下是对猜想的证明，请继续完成．
因为，所以．
因为，，所以．
因为，所以．
配方，得……
【答案】(1)，
(2)配方，得 ：
，
∵
∴
∴
当且仅当，
即时，等号成立
此时
∴当时，取得最大值．
【分析】（1）根据题干给出的猜想，直接得出结论：两个正数和为定值时，两数相等时乘积取得最大值．
（2）利用配方法变形二次式，结合平方数的非负性，即可验证猜想
【详解】（1）略
（2）略
15．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）阅读与思考：
下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解．
【例如】解一元二次方程，
设（m为常数），
将原方程化为，①
方程①整理，得，②
令，解得．
当时，，
方程②化为，解得，
___________，___________．
任务：
(1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________．
(2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程．
【答案】(1)，；
(2)，
【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
（1）根据材料中的方法求出解即可；
（2）设（m为常数），将原方程化为，方程整理，得，令解得，当时，，方程化为，解得，，即可求出答案．
【详解】（1）解：解一元二次方程，
设（m为常数），
将原方程化为，①
方程①整理，得，②
令，解得．
当时，，
方程②化为，解得，
，
故答案为：，；
（2）设（m为常数），
将原方程化为①
方程①整理，得
②
令解得，
当时，，
方程②化为
解得 ，，
，．
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第06讲 一元二次方程的概念与解法（6大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 化成一元二次方程的一般式
典型例题二 由一元二次方程的定义求参数
典型例题三 判断是否是一元二次方程的解
典型例题四 由一元二次方程的解求参数
典型例题五 因式分解法解一元二次方程
典型例题六 解一元二次方程——直接开平方法
典型例题七 解一元二次方程——配方法
典型例题八 配方法的应用
典型例题九 公式法解一元二次方程
典型例题十 换元法解一元二次方程
典型例题十一 一元二次方程的新定义计算
知识点01 一元二次方程的概念
只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可）
如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海虹口·阶段检测）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·上海松江·课后作业）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元二次方程共有 _______个．
知识点02 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海金山·阶段检测）一元二次方程化为一般形式后，、、的值分别是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（25-26八年级上·上海嘉定·阶段检测）在一元二次方程中，当二次项系数为1时，一次项系数是___________
知识点03 一元二次方程的解法：直接开平方法
直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海松江·期中）关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
2．（24-25八年级上·上海青浦·期中）一元二次方程的解是____________．
知识点04 一元二次方程的解法：配方法
配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．
用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是：
（1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
（2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
（3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式；
（5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解．
注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海闵行·期末）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·上海奉贤·阶段检测）已知方程，用配方法化为．则___________．
知识点05 公式法
公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．
一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0)
推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为：
2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解．
【即时训练】
1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（ ）
A． B． C． D．或
2．（24-25八年级上·上海·期中）因式分解：__．
知识点06 因式分解法
将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。
即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。
1、因式分解的主要方法：
①提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。
②乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式：
③十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件：
①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程：
∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴
2、解一元二次方程的方法选择：
①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。
③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。
注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海普陀·期末）一元二次方程的根是（ ）
A．1 B．1或0 C．或0 D．0
2．（25-26八年级上·上海·期中）方程的解是_____．
【典型例题一 化成一元二次方程的一般式】
【例1】（25-26八年级上·上海宝山·期中）一元二次方程的常数项是（ ）
A．3 B． C．5 D．
【例2】（25-26八年级上·上海长宁·期末）把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（ ）
A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，，
【例3】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____．
【例4】（25-26八年级上·上海·期末）将一元二次方程化为的形式，则___________．
1．（25-26八年级上·上海松江·期中）将二次函数 化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
2．（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
(1)；
(2)关于x的方程．
3．（25-26八年级上·上海静安·课后作业）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题：
(1)计算：_________．
(2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由．
(3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程．
【典型例题二 由一元二次方程的定义求参数】
【例1】（25-26八年级上·湖南郴州·期中）关于的方程是一元二次方程，则（ ）
A．2或 B．2 C． D．0
【例2】（2026·上海·一模）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．m为任意实数
【例3】 （25-26八年级上·上海徐汇·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____．
【例4】（25-26八年级上·河北邯郸·期中）关于x的方程是一元二次方程的条件是________．
（25-26八年级上·上海嘉定·课后作业）若方程是关于的一元二次方程，求的值．
（25-26八年级上·北京·阶段检测）已知是方程的一个根，求代数式的值．
3．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程．
(1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？
【典型例题三 判断是否是一元二次方程的解】
【例1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）在下列方程中，是方程的根的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】 （25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（ ）
A． B． C． D．
【例3】 （24-25八年级上·浙江宁波·期末）若，则一元二次方程的一个根为 _____．
【例4】（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，根据下表可知一元二次方程的两根之和为______．
x 0 1 2 3 …
6 2 0 0 2 6
1．（24-25八年级上·北京丰台·期末）已知m是方程的一个根，求代数式的值．
2．（25-26八年级上·上海嘉定·期末）已知 ，，试判断关于 的方程 与 有没有公共根，请说明理由．
3．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）请阅读下面材料：对于一个一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．具体解题过程如下：设所求方程的根为，则，有，把代入已知方程，有即，整理得．这种方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式且二次项系数是正整数）
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．则所求方程为________；
(2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．则所求方程为________；
(3)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大．
【典型例题四 由一元二次方程的解求参数】
【例1】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）若是一元二次方程的一个解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级下·辽宁大连·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2026·安徽安庆·一模）若一元二次方程的一个解为，则的值为______．
【例4】（2026·青海西宁·一模）若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的其中一个根为___________．
1．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知a是一元二次方程的一个根：
(1)求的值
(2)求的值．
2．（24-25八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”．
(1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由；
(2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根；
(3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值．
3．（25-26八年级上·广东潮州·期中）阅读理解题．
定义：如果一个数i的平方等于，记为，那么这个数i叫做虚数单位.我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似．
读完这段文字，请你解答以下问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)已知，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程．
【典型例题五 因式分解法解一元二次方程】
【例1】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
【例2】（25-26八年级下·浙江台州·期中）已知是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
【例3】（2026·山东·模拟预测）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________．
【例4】（2026·河南周口·一模）新定义定义新运算：，例如： ，则方程 的解为_________．
1．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）解方程：
(1)；
(2)．
2（25-26八年级下·安徽安庆·期中）用合适的方法解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
3．（2026·湖北孝感·一模）定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，因为，所以一元二次方程为“差1方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程_____“差1方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于的一元二次方程是“差1方程”，求的值．
【典型例题六 解一元二次方程——直接开平方法】
【例1】（25-26八年级上·江西南昌·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2026·江苏南通·一模）解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）已知关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为__________．
【例4】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为_____________．
1．（24-25七年级下·吉林四平·期中）求满足条件的x值：．
2．（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）定义：如果一个数的平方等于，记为①，这个数叫做虚数单位，那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（为实数），叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它与整式的加法、减法、乘法运算类似．
例如：解方程，解得．同样我们也可以化简．
读完这段文字，请你解答以下问题：
(1)填空：__________，__________，__________．
(2)在复数范围内解方程：．
(3)在复数范围内解方程：．
3．（25-26八年级上·甘肃陇南·期末）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程．
解：原方程可变形，得，
，
，
直接开平方，得，．我们称这种解法为“平均数法”．
(1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程：
解：原方程可变形，得，
，
，
直接开平方，得，．
上述解题过程中，a，b所表示的数分别是_______，_______；
(2)请用“平均数法”解方程：．
【典型例题七 解一元二次方程——配方法】
【例1】（25-26八年级下·广东江门·期中）用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级下·浙江台州·期中）把一元二次方程配方转化成的形式，正确的结果是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·上海嘉定·期中）（1）____________；
（2）____________．
【例4】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）用配方法解方程，首先移项得，然后配方，化简得，再通过降次转化为两个一元一次方程求解，那么这里的值为______．
1．（2026·浙江丽水·二模）解一元二次方程时，小龙同学的错误解法如图．
解： 所以或 所以，
(1)你认为是方程的解吗？请判断并说明理由．
(2)选择正确的方法解方程：．
2．（24-25八年级上·广西贺州·期中）小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：
①，
②，
③，
④，
⑤，
⑥．
小明的解答从第_____步开始出错，请写出正确的解答过程．
3．（25-26八年级下·安徽亳州·阶段检测）在用配方法解方程时，小明的解法如图：
第一步：移项，得． 第二步：配方，得，即． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以，．
请回答：
(1)小明的解答过程从第________步开始出现错误；
(2)请给出这道题的正确解答过程．
【典型例题八 配方法的应用】
【例1】（2026·江苏宿迁·二模）已知为实数，，，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26八年级上·山西大同·期末）下面是小云用配方法解方程：的过程的一部分，横线上应填写（　　）
第一步：把常数项移到方程的右边，得：
第二步：两边都加___________
A． B． C． D．
【例3】（2025八年级上·黑龙江·专题练习）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若定义：，则代数式的最小值为______．
【例4】（25-26八年级上·湖南娄底·期中）对于多项式，由于，所以有最小值3，则代数式的最小值是__________ ．
1．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）请证明无论、为任何值时，的值都是正数．
2．（25-26八年级上·上海嘉定·课后作业）阅读材料：
把一个多项式进行配方可以解决求代数式的最大（小）值问题．例如：．，，代数式有最小值，最小值是2．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求代数式的最小值．
(2)图①是一组邻边长分别为7，的长方形，面积为；图②是边长为的正方形，面积为，且．请比较与的大小，并说明理由．
3．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）小明在学习有关整式的知识时，将x的不同取值分别代入，发现了一个有趣的现象：当x的不同取值关于“”对称时，的值相等．
x 0 1 2 3
9 4 1 0 1 4 9
请结合小明的探索方法解决下列问题：
(1)当x的不同取值关于_________对称时，代数式的值相等；
(2)当x的不同取值关于_________对称时，代数式的值相等；
(3)若关于x的多项式的值关于“”对称，求b的值；
(4)整式关于_________对称．
【典型例题九 公式法解一元二次方程】
【例1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）一元二次方程的实数根是（ ）
A．
B．
C．，
D．
【例2】（25-26八年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例3】（25-26八年级上·上海杨浦·期中）一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程，其求根公式为_____；
【例4】（24-25八年级上·上海嘉定·随堂练习）有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的x的值为________；若输入，则输出的x的值为________．
1．（24-25八年级下·山东烟台·期中）解方程：
(1)(用配方法解)；
(2)(用公式法解)；
(3)(用因式分解法)．
2．（2026·江苏泰州·一模）【材料阅读】
数学兴趣小组在进行方程专题研究的时候发现：用“转化”的数学思想，可以解一些新的方程．
如：一元三次方程，通过因式分解转化为，解方程和，可得方程的根．
再如：方程，两边同时平方转化为，解得：，．因为，且，所以不是原方程的根，是原方程的解．
【学以致用】
(1)求方程的根；
(2)求方程的根．
3．（24-25八年级上·上海静安·期末）小海同学解一元二次方程的过程如下：
解：，，
或
所以，原方程的根是，．
(1)小海的求解过程从 步开始出现错误．
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根．
【典型例题十 换元法解一元二次方程】
【例1】（2026八年级下·浙江绍兴·专题练习）已知关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（ ）
A． B．
C． D．无法求解
【例2】（24-25八年级下·安徽滁州·阶段检测）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即若三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若三角形的面积，，则a的值为（ ）
A．2或3 B．3或 C．5或4 D．4或
【例3】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知方程的解是，则方程的解是___________．
【例4】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）关于x的代数式满足下表中的对应关系（其中a、p、q均为常数，），则方程的解是________．
x … 0 1 3 5 …
… 0 0 16 40 …
1．（25-26八年级下·安徽淮北·阶段检测）阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，．
根据上述材料，解下列方程：
(1)；
(2)．
2．（25-26八年级上·安徽阜阳·阶段检测）某数学小组在解方程时，将视为一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得，；当时，，解得，．故原方程的解为，，，．
(1)上述解方程的方法所体现的数学思想是________．
A．类比思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．分类讨论思想
(2)请你运用该小组的方法解方程：．
3．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为①．
解方程①可得，．
当时，，即，∴；
当时，，即，∴．
∴原方程的解为，，，．
【解决问题】
(1)方程的解为______；
(2)已知，求的值；
(3)请仿照材料中的方法，解方程：．
【典型例题十一 一元二次方程的新定义计算】
【例1】（25-26八年级上·上海嘉定·课后作业）在实数范围内定义运算“”为，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【例2】 （25-26八年级上·山西晋城·阶段检测）定义新运算：．例如：．则关于x的方程的解为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【例3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义新运算：，若，则x的值为_________．
【例4】（25-26八年级上·陕西榆林·阶段检测）定义一种新运算：，例如：．若，则的值为_____．
1．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）新定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程的倒方程是_______．
(2)若是一元二次方程的倒方程的一个根，求该倒方程的另一个根．
2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”．
(1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）；
(2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”；
(3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值．
3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）【阅读理解】
定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．
(1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有_______；（只填写序号即可）
①；②；③
(2)关于的一元二次方程与为“同伴方程”，求的值；
(3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与互为“同伴方程”，求的值．
1．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．
3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示．
上述求解过程中，开始出现错误的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2026·安徽宣城·二模）如图，这是小卫同学解一元二次方程的过程，判断他在解答过程中出现错误的步骤是（ ）
小卫同学解答过程： 解：， 第一步 ， 第二步 ， 第三步 或， 第四步 解得或． 第五步
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
5．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
6．（24-25八年级上·上海嘉定·课后作业）若a，b满足，且，则______．
7．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________．
8．（2026·贵州遵义·二模）定义一种新运算，规定：，例如，若，则x的值是_______．
9．（24-25八年级上·北京·阶段检测）阅读下面的问题：解方程．
解：（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）
（2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）
综上所述，原方程的根是，，
参照上述解题方法，则的解为______．
10．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．已知实数a，b满足，则的最小值______ ．
11．（25-26八年级上·湖南邵阳·阶段检测）方程，m为何值时，方程是一元二次方程．
12．（2026·广东河源·二模）在解方程时，小明的解法如下：
第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：．
小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程．
13．（25-26八年级上·广东深圳·期末）（1）解方程：；
（2）小明用配方法解关于x的方程，过程如下：
解：……第①步
……第②步
……第③步
……第④步
，或……第⑤步
∴，……第⑥步
小明第②步的理论依据是______．
小明的结果是否正确______（填“是”或“否”）
请你用不同于小明的方法解这个方程：．
14．（2026·河北保定·三模）某班数学兴趣小组的同学在计算探究中发现：，，，，于是他们猜想：当两个正数的和一定时，这两个数的积在它们相等时取得最大值．事实上，这个猜想是正确的．
(1)用代数式表述这一猜想：若，，且（k为定值），则当________时，________最大；
(2)以下是对猜想的证明，请继续完成．
因为，所以．
因为，，所以．
因为，所以．
配方，得……
15．（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）阅读与思考：
下面是八（1）班学习小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务．研究一元二次方程的新解法讨论一种关于一元二次方程的新解法一一消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式，将其开平方，从而进一步求得方程的解．
【例如】解一元二次方程，
设（m为常数），
将原方程化为，①
方程①整理，得，②
令，解得．
当时，，
方程②化为，解得，
___________，___________．
任务：
(1)直接写出材料中“ ”部分方程的解___________，___________．
(2)按照材料中“例如”的方法，解一元二次方程．
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