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第01讲 平方根与算术平方根（2大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 求一个数的算术平方根
典型例题二 求一个数的平方根
典型例题三 求代数式的平方根
典型例题四 利用算术平方根的非负性解题
典型例题五 已知一个数的平方根，求这个数
典型例题六 与算术平方根有关的规律探索题
典型例题七 算术平方根的实际应用
典型例题八 平方根的新定义运算
典型例题九 平方根的实际综合应用
知识点01 平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列式子中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平方根与立方根的基本性质，根据定义计算各选项即可判断正误．
【详解】解：A、，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、，该选项不符合题意．
2．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）4的算术平方根是_______；4的平方根是_______．
【答案】 2
【分析】根据算术平方根与平方根的定义，分别计算得到结果．
【详解】，且，
的算术平方根是，
，
的平方根是．
知识点02 平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·上海金山·期中）如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就（ ）
A．向右移动一位 B．向右移动两位
C．向左移动一位 D．向左移动两位
【答案】A
【分析】本题考查算术平方根的性质，根据被开方数的小数点向右每移动两位，算术平方根的小数点向右平移1位，作答即可．
【详解】解：如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就向右移动一位；
故选：A．
2．（24-25七年级下·山东日照·阶段检测）若 则 _______________．
【答案】
【分析】当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位，据此解答即可．
【详解】解：∵，且，
∴．
【典型例题一 求一个数的算术平方根】
【例1】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算：（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【详解】解：∵ ，
∴ ．
【例2】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）计算的值，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵
∴．
【例3】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）的算术平方根是__________．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：，且算术平方根为非负数，
的算术平方根是．
【例4】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义运算：，则________．
【答案】3
【详解】解：∵，
∴．
1．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ， 是的整数部分，求 的平方根．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义求出a的值，再根据平方根的定义求出b的值，估算出的取值范围求出c的值，进而求出 的值，最后根据平方根的定义可得答案．
【详解】解：∵ 的算术平方根是3，
∴，
∴，
∵ 的平方根是，
∴，即，
∴；
∵，
∴，
∴的整数部分为3，即，
∴，
∴ 的平方根为．
2．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到．
(1)以下是小明探究的过程，请补充完整：
①由，可以确定是________位数；
②由1849的个位上的数是________，可以确定的个位上的数是________或________；
③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，可以确定的十位上的数是________；因，而，所以选择较小的个位数字，则_______．
(2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由．
【答案】(1)①两；②9，3，7；③4，43
(2)，理由如下：
①由，可以确定是两位数；
②由3136的个位上的数是6，可以确定的个位上的数是4或6，
③如果划去3136后面的两位36得到数31，而，，可以确定的十位上的数是5；因，而，所以选择较大的个位数字，则．
【分析】（1）根据所提供的方法进行计算即可；
（2）按照（1）中的步骤和方法进行计解答即可．
【详解】（1）解：①由，可以确定是两位数；
②由1849的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是3或7，
③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，可以确定的十位上的数是4；因，而，所以选择较小的个位数字，则．
（2）略
3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）【课本再现】
一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为．0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数．
【探究新知】
(1)若，则的取值范围是__________．
【知识应用】
(2)若，求的值．
【拓展应用】
(3)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据算术平方根的被开方数为非负数可得a的取值范围；
（2）根据绝对值与算术平方根的非负性列出二元一次方程组，求解后代入计算即可；
（3）先根据被开方数的非负性确定a的取值范围，再化简绝对值，整理等式即可得到结果．
【详解】（1）解：对于，根据算术平方根定义，被开方数必须为非负数，
因此的取值范围是；
（2）解：，，且，
，
解得 ，
；
（3）解：，
，即，
，
原方程可化为，
整理得，
两边平方得，
．
【典型例题二 求一个数的平方根】
【例1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）9的平方根是（ ）
A． B．3 C． D．81
【答案】A
【详解】解：，
的平方根是.
【例2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）的平方根是（ ）
A．25 B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出的值，再根据平方根的定义计算结果，注意区分所求的是哪个数的平方根．
【详解】解∶∵ ，
又∵ ，
∴ 的平方根为，
即的平方根是．
【例3】（25-26七年级下·广东广州·期中）9的平方根是________，的立方根是________．
【答案】 /
【详解】解：，
的平方根是；
，
的立方根是．
【例4】（25-26七年级下·四川广安·期中）如果，，那么的平方根是________．
【答案】
【分析】当一个非负数的被开方数扩大（或缩小） 倍、 倍……（即 倍）时，它的算术平方根会相应地扩大（或缩小） 倍、 倍……（即 倍）．
【详解】解：∵，
∴，
∴的平方根是．
1．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根．
【答案】
【分析】由平方根和算术平方根的定义可求出a、b的值，再求出的值即可得到答案．
【详解】解：∵的平方根是，
∴，
∴；
∵的算术平方根是6，
∴，即，
∴，
∴，
∴的平方根为．
2．（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知一个正数m的两个平方根分别是与．
(1)求a的值；
(2)求的平方根；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根的意义列方程计算即可；
（2）求出m的值，将a、m的值代入求出的值，再求其平方根即可．
【详解】（1）解：由已知可得，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴19的平方根为．
3．（25-26七年级下·广东广州·期中）根据下表回答下列问题：
x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9
100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81
(1)112.36的算术平方根是_____，118.81的平方根是____；
(2)若介于10.3与10.5之间，求满足条件的正整数a；
(3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到）
【答案】(1)；
(2)或或或
(3)
【分析】（1）根据表格即可解答；
（2）根据表格得到对应的的取值范围，即可解答；
（3）将代入题中的式子，对比表格即可解答．
【详解】（1）解：根据表格可得112.36的算术平方根是，118.81的平方根是；
（2）解：，
，
正整数a的值为或或或；
（3）解：将代入可得，
根据表格可得，
答：该物体到达地面大概需要．
【典型例题三 求代数式的平方根】
【例1】（2025八年级上·上海闵行·专题练习）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根．
【详解】解：由题意可知：该自然数为，
该自然数相邻的下一个自然数为，
的平方根为．
故选：D．
【例2】（24-25八年级下·河北张家口·期中）符号代表一个代数式能使分式运算（或0）成立，则代表的代数式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的性质化简，再根据平方根的定义直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，
故选D；
【点睛】本题考查分式方程的运算及平方根的定义，解题的关键是化简得到．
【例3】（25-26八年级上·河南周口·期中）若，则__________．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根的性质，利用平方和的非负性求解是解题的关键．
由方程 ，利用平方根的性质，得到两个关于 的方程，再根据平方和的非负性排除无效解．
【详解】解：由 ，
根据平方根的性质，得：
或 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ．
由于 是平方和，具有非负性，即 ，
因此 不成立，舍去；
故 ．
故答案为：．
【例4】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为__________________
【答案】
【分析】根据平方根的性质得到，解方程求出n的值，然后代入n+1，最后根据平方根的概念即可求出这个数．
【详解】解：∵某一个数的平方根分别是和，
∴，解得：，
∴这个数=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握平方根的性质．正数的两个平方根互为相反数．
1．（24-25八年级上·上海闵行·单元测试）已知．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（）根据算术平方根由意义的条件可得，，即可得到，进而可得；
（）把的值代入中求出的值，进而可求出它的平方根；
本题考查了算术平方根、平方根，掌握算术平方根、平方根的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴的平方根是．
2．（24-25七年级下·北京·期中）已知正实数a的两个平方根分别是x和．
(1)若，求y的值；
(2)若，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，解二元一次方程组，要熟练掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，是解答此题的关键．
（1）先根据平方根的定义，得，再化简即可；
（2）联立，再解二元一次方程组，求出解，再根据平方根的定义即可．
【详解】（1）实数a的两个平方根分别是x和，
，
即，
当时，；
（2）由（1）得
，
联立得，
解得：，
．
3．（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的平方根即可；
（2）把看成一个整体，先利用平方差公式求出的值，再求的算术平方根即可．
【详解】解：（1）
.
（2）
，
∴，
.
【点睛】本题考查了平方根的定义，平方差公式，利用整体思想求出和是解决本题的关键．
【典型例题四 利用算术平方根的非负性解题】
【例1】（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）关于代数式的值说法正确的是（ ）
A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小
【答案】B
【分析】根据算术平方根的非负性，分析代数式的取值变化，判断其最值对应的值即可．
【详解】解：∵算术平方根的值为非负数，
∴，
∵代数式中，被减数固定，越小，代数式的值越大，
∴当取最小值时，代数式取得最大值，令，
解得，又不存在最大值，因此代数式不存在最小值，
故时，代数式的值最大．
【例2】（25-26八年级上·四川内江·期末）若实数a，b满足，则的立方根为（ ）
A．2 B． C． D．8
【答案】A
【分析】本题考查了完全平方公式、算术平方根与偶次方的非负性、立方根，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式将已知等式化成，再根据算术平方根与偶次方的非负性可得，则，然后代入计算，求出立方根即可得．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的立方根为，
故选：A．
【例3】（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）已知，则的值是______．
【答案】13
【分析】根据算术平方根的意义确定的值，再代入求出，最后计算即可．
【详解】解：根据题意，得，
解第一个不等式得，
解第二个不等式得，
因此．
将代入 ，得：
因此．
【例4】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）若实数x，y满足，则____．
【答案】
【分析】根据非负数的性质可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
解得：，
∴．
1．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）若，求的平方根．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得，，
∴，
∵的平方根是，
∴的平方根是．
2．（25-26八年级上·上海闵行·单元复习）已知与互为相反数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为根据互为相反数的两个数的和等于列出方程，再根据非负数的性质解答．
【详解】解：与互为相反数，
，
，
解得：
．
3．（24-25七年级下·浙江台州·期中）小博和小雅在求多项式的最小值时，有如下的思考：
(1)根据小博的思路，请完成求多项式最小值的过程；
(2)模仿上述方法，求多项式的最值．
【答案】(1)当时，的最小值为2
(2)当时，的最大值为17
【分析】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
（1）多项式配方变形后，利用非负数的性质求出最小值，以及此时的值即可．
（2）多项式配方变形后，利用非负数的性质求出最大值，以及此时的值即可．
【详解】（1）解：，
，
当时，的最小值为2．
（2）解：，
，
当时，的最大值为17．
【典型例题五 已知一个数的平方根，求这个数】
【例1】（25-26八年级上·上海闵行·随堂练习）若m和n是10的两个平方根，则的值是（ ）
A．0 B．10 C．20 D．
【答案】D
【分析】先根据平方根的性质得出与的关系（和与积），再代入式子计算．本题主要考查了平方根的性质（一个正数的两个平方根互为相反数，以及平方根与原数的关系），熟练掌握“正数的两个平方根互为相反数，且它们的积为原数的相反数”是解题的关键．
【详解】解： 和是的两个平方根，
， ，（或反之 ），
∴．
．
故选：D．
【例2】（25-26八年级下·海南三亚·期中）若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．25
【答案】D
【分析】根据一个正数的两个平方根是和，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和，
∴，
解得：，
∴这个正数是．
【例3】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）一个正数m的两个不同的平方根分别是和，则a的值是__________．
【答案】
【分析】根据正数的两个不同平方根互为相反数，列一元一次方程求解即可．
【详解】解：根据正数的两个不同平方根互为相反数，得
解得．
【例4】（25-26七年级下·安徽亳州·期中）2026年某校举办校园科技文化节．设计了正方形的主题会徽．已知该会徽面积的一个平方根是2026，另一个平方根是，则m的值为______．
【答案】
【分析】根据平方根定义，得出，求出m的值即可．
【详解】解：∵该会徽面积的一个平方根是2026，另一个平方根是，
∴，
解得：．
1．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数x的两个不相等的平方根分别是和．
(1)求x的值．
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)15
【分析】根据平方根得出，求出，求出的值，根据立方根得出关于的方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：因为x的两个不相等的平方根分别是和，
所以，
解得，
所以．
（2）解：因为，
所以，
所以，
所以．
2．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）按要求解答下列各题：
(1)一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数．
(2)与都是的平方根，求的值．
【答案】(1)9
(2)9或1
【分析】（1）根据平方根的定义得到，然后解方程即可；
（2）根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
解得，
∴这个正数是；
（2）解：∵与都是的平方根，
∴当与不相等时，
解得，
∴；
当与相等时，
解得，
∴；
综上，的值为9或1．
3．（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题：
(1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数．
(2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根．
【答案】(1)
1
(2)
【分析】本题考查了平方根和立方根的性质：
（1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数列方程求解；
（2）根据立方根和算术平方根求出，代入代数式求解．
【详解】（1）解：
这个正数的其中一个平方根为，
这个正数为．
（2）解：根据题意得，
，
解得；
，
的算术平方根为，
即，
，
的平方根为．
【典型例题六 与算术平方根有关的规律探索题】
【例1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中），那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位，据此即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴．
【例2】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下：
… …
… 0.15 0.4743 1.5 4.743 …
根据以上规律，（ ）
A．47.43 B．15 C．474.3 D．150
【答案】A
【分析】先观察表格数据，总结被开方数与对应算术平方根的小数点移动规律，再根据规律计算所求结果.
【详解】解：由表格数据可得规律：被开方数的小数点向左或向右每移动2位，算术平方根的小数点向相同方向移动1位，
∵的小数点向右移动2位得到，且，
∴的结果是将的小数点向右移动1位，即.
【例3】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________．
【答案】 0.2646 300
【详解】解：（1）∵，则；
（2）已知 则 ．
【例4】（2026·河南平顶山·模拟预测）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______．
【答案】
【详解】解：∵，，，……
规律为
∴．
原式
．
1．（25-26七年级下·江西·阶段检测）根据下表回答下列问题：
x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9
x 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01
(1)_______，__________，__________
(2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）；
(3)若，则满足条件的整数n有__________个．
【答案】(1)14.6；144；0.142
(2)148；1.45
(3)286
【分析】观察表格中数据，找到对应的数据即可解决问题．
【详解】（1）解：观察表格中数据，发现：当时，，
∴；
当时，，
∴；
当时，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵22000与21904更接近，
∴与最接近的整数是148；
∵，且2.1与2.1025更接近，
且，
∴；
（3）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴整数n的个数为：．
2．（25-26七年级下·河北沧州·期中）某数学兴趣小组在学方根后，对和的性质展开了探究，请你参与并完成下列问题：
(1)探究的性质（a为非负数）
①计算下列各式的值：
______ ______ ______
______ ______ ______
②归纳总结：对于任意非负数等于多少？
(2)探究的性质（为任意实数）
①计算下列各式的值：
______ ______ ______
______ ______ ______
②归纳总结：对于任意实数等于多少？
【答案】(1)①，，，，，；②对于任意非负数
(2)①，，3，，，；②对于任意实数．
【分析】（1）①根据算术平方根的性质计算，②归纳①中的规律即可解答；
（2）①分别对几个特殊情况计算求值，②分析①中的规律，得到一般情况的结论即可解答．
【详解】（1）解：①，，，
， ， .
②对于任意非负数.
（2）解：①，， ，
，，.
②归纳总结：对于任意实数.
3．（25-26七年级下·山东德州·期中）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
，，；…
实践探究：
(1)按照此规律，计算： ； ；
(2)计算：；
迁移应用：
(3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解；
（2）利用题中所给规律可进行求解；
（3）找出规律，据此即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：由题意得：；
（3）解：∵；
；
；
……；
∴（为正整数），
∵，
∴，
解得：，
∴．
【典型例题七 算术平方根的实际应用】
【例1】（25-26七年级下·内蒙古·期末）若一个正方形的面积扩大为原来的倍，则它的边长要扩大为原来的（ ）倍
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过设原边长，计算面积扩大后的边长，即可得到边长扩大的倍数．
【详解】解：设原正方形的边长为，则原正方形的面积为，
∵面积扩大为原来的倍，
∴扩大后的面积为，
设扩大后边长为，则，
∵边长为正数，
∴，
∴，
即边长扩大为原来的倍．
【例2】（2026·河北唐山·二模）如图，由内到外依次为正方形，，，若的面积为，的面积为，则正方形的边长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由题中已知条件及图形，得到，直接开方得到正方形的边长的范围，再结合四个选项数据即可确定答案．
【详解】解：若的面积为，的面积为，由图可知，
正方形的边长要满足，
则由四个选项中的数据可知，满足题中条件的只有2．
【例3】（2026·安徽马鞍山·二模）欧拉发现的一个有关三角形的定理：在中，R和r分别是外接圆和内切圆的半径，O和I分别是外接圆和内切圆的圆心，则．若，，则______4．（填“”“”或“”）
【答案】
【详解】解：∵，，
∴
∵
∴
∴．
【例4】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形；通过动手操作，小张同学把长为，宽为的长方形如图2所示进行裁剪拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为________．
【答案】
【分析】先求出大正方形的面积，再求边长即可．
【详解】解：由题意可知，正方形的面积为，
因此边长为．
1．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）为宣传旅游资源，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为并为每一张卡片制作了一个特色封皮． A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮，请你通过计算，判断正方形卡片能否在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中．
【答案】正方形卡片能在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中
【分析】设长方形封皮的宽为，则长为，根据长方形封皮的面积为列出方程，求出，，然后求出正方形卡片的边长，进而比较求解即可．
【详解】解：∵长方形封皮的长与宽的比为，
设长方形封皮的宽为，则长为，
根据题意可列方程，即，，，
，
，，，
正方形卡片的面积为，
正方形卡片的边长为，
，
正方形卡片能在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中．
2．（25-26七年级下·河南新乡·期中）物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系：在地球上约为，在月球上约为．
(1)物体从地球上离地面的高空自由下落的时间是多少？
(2)比较物体在哪里自由下落得更快？
【答案】(1)
(2)物体在地球上自由下落得更快
【分析】（1）将代入，求出时间即可；
（2）设下降相同距离为，分别代入，，求出时间，最后比较大小即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，
，
解得（负值已舍去）．
（2）解：设下降的距离都为，（），
在中，，
，
解得（负值已舍去）．
在中，，
，
解得（负值已舍去）．
，
物体在地球上自由下落得更快．
3．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）解答下列问题：
(1)如图1，用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长；
(2)如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分是一个小正方形，求小正方形的边长；
(3)请在网格中（图3）画出长为的线段，并简单说明理由．
【答案】(1)大正方形的边长为
(2)小正方形的边长为
(3)见解析
【分析】（1）首先得到大正方形的面积为2，然后求出边长即可；
（2）首先得到中间正方形的面积为5，然后求出边长即可；
（3）仿（2）的构造方法得到正方形的面积为10，进而得到边长，，，的长为．
【详解】（1）解：∵用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形
∴大正方形的面积两个边长为1的小正方形的面积和
∴大正方形的边长为；
（2）解：根据题意得，中间正方形的面积为，
∴中间小正方形的边长为；
（3）解：如图，，，，的长为；
仿（2）的构造方法，原网格图形面积为16个平方单位，
∴正方形的面积
∴正方形的边长为，
∴，，，的长为．
【典型例题八 平方根的新定义运算】
【例1】（24-25七年级下·云南昭通·期末）对于实数、，定义运算“※”如下：，则的平方根为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算及求一个数的平方根，根据新定义列出算式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴的平方根为．
故选C．
【例2】（24-25七年级下·云南昭通·阶段检测）定义一种运算“”，其规则为，如，根据这个规则计算的值是（ ）
A． B． C．10 D．100
【答案】C
【分析】本题考查算术平方根的计算，解题的关键是掌握算术平方根的计算方法．根据题目定义的运算法则和算术平方根的运算方法进行计算．
【详解】解：，
，
故选：C．
【例3】（24-25八年级上·重庆·阶段检测）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数______（是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值______．
【答案】 是
【分析】①根据“和谐组合”的定义求解即可；
②根据题意分种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的倍，分别列方程求解即可；
本题考查了新定义问题，算术平方根，解题的关键是正确分析新定义的运算法则．
【详解】解：①∵，，，
∴三个数是“和谐组合”，
故答案为：是；
②分三种情况：①当时，
∴，
∴最大的算术平方根为，最小算术平方根，
∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍，
∴，
解得（不合，舍去）；
②当时，，
∴，
∴最大的算术平方根为，最小算术平方根，
∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍，
∴，
解得（不合，舍去）；
③当时，，
∴，
∴最大的算术平方根为，最小算术平方根，
∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍，
∴，
解得；
综上所述，的值为，
故答案为：．
【例4】（24-25七年级下·安徽池州·期中）定义：若点满足，则称点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”．
（1）若点是“理想点”，则x的值为_______．
（2）若点是“理想点”，且m为正整数，则的值为________．
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“理想点”的定义是解题的关键．
（1）根据“理想点”的定义，列出方程，解方程即可求解；
（2）根据“理想点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解．
【详解】（1）解：∵点是“理想点”，
∴，
∴，
解得；
故答案为：；
（2）∵点是“理想点”，
∴，整理可得，
∴或，
∵m为正整数，
∴，
∴．
故答案为：．
1．（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”．
(1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由．
(2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值．
(3)写出两组含有的“组合平方数”．
【答案】(1)，，这三个数是“组合平方数”，理由见解析
(2)m的值为
(3)，，；，，（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了新定义，解题关键是能够熟练理解新定义的含义．
（1）先分别求出这三个数两两乘积的算术平方根，然后根据已知条件中的新定义，进行判断即可；
（2）根据两个数乘积的算术平方根为，求出这两个数的乘积，列出关于m的方程，解之可得；
（3）根据“组合平方数”的定义，写出一组“组合平方数”．
【详解】（1）解：，，这三个数是“组合平方数”．理由如下．
∵，，，
∴，，这三个数是“组合平方数”．
（2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，
∴，，都是整数．
∴或．
∴或（不合题意，舍去）．
当时，这三个数，，是“组合平方数”．
综上所述，m的值为．
（3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一）
故答案为：，，或，，（答案不唯一）．
2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为，小数部分为；的整数部分为，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)若，其中是整数，且，则 ， ．
(2)若，其中是整数，且，求的值．
(3)若，其中是整数，且，求的值．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了求算术平方根的整数部分和小数部分，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由，则有，；
（）先估算，从而求出，，再把进行化简，然后代入求解即可；
（）先估算，从而求出，，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
，
当时，
原式；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
3．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）阅读材料：
新定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数学和谐数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“数学和谐数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．
(1)请你写出与本题中不同的一组“数学和谐数”是 ．
(2)3，12，48，这三个数是“数学和谐数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”；若不是，请说出理由．
(3)已知a，64，100，这三个数是“数学和谐数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值．
【答案】(1)2，8，50
(2)3，12，48这三个数是“数学和谐数”，其中最小算术平方根是6，最大算术平方根是24．
(3)25或256．
【分析】本题考查了算术平方根的应用、“数学和谐数”的定义等知识点，正确理解“数学和谐数”的意义是解题的关键．
（1）根据“数学和谐数”的定义写成一组“数学和谐数”即可；
（2）根据“数学和谐数”的定义和算术平方根的定义即可求解；
（3）根据“数学和谐数”的定义，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍建立方程，利用算术平方根的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵．
∴2，8，50这三个数是“数学和谐数”．
故答案为：2，8，50 ．
（2）解：∵．
∴3，12，48这三个数是“数学和谐数”，其中最小算术平方根是6，最大算术平方根是24．
（3）解：∵a，64，100，这三个数是“数学和谐数”，
∴a是正整数，，
∵，
∴分两种情况：
①当，即时，则最大算术平方根是80，最小算术平方根是，
∵“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，
∴，解得：，符合题设，且符合“数学和谐数”的定义；
②当，即时，则最大算术平方根是，最小算术平方根是80，
∵“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，
∴，解得：，符合题设，且符合“数学和谐数”的定义．
综上所述：a的值为25或256．
【典型例题九 平方根的实际综合应用】
【例1】（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（ ）
A．1 B．9 C．16 D．25
【答案】B
【分析】本题考查了平方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．根据和是同一个正数的两个平方根，可得，求出，从而求出其中的一个平方根为，可得这个正数为．
【详解】解：和是同一个正数的两个平方根，
，
解得：，
，
这个正数为．
故选：B．
【例2】（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平方根的实际应用，根据体积不变原理，正方体体积等于变形后的长方体体积．通过设立未知数，建立方程求解底面正方形的边长．
【详解】解：棱长为的正方体体积为，
设长方体实心铜块底面正方形的边长为，则底面积为，
由题知长方体实心铜块的高为，故体积为，
则，即，
∵，
∴，
∵正方形的边长为正数，
∴，
因此，底面正方形的边长为．
故选：B．
【例3】（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）若一个正数的两个平方根分别是和，则______．
【答案】
【分析】本题考查了平方根的性质．根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此进行求解即可．
【详解】解：由题意，正数的两个平方根互为相反数，故有，
即，
解得．
故答案为．
【例4】（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为，则这个长方形的周长为_________ ．
【答案】24
【分析】本题考查了求平方根的实际应用，设这个长方形的宽为，则长为，根据面积是列方程求出x的值，然后根据周长公式计算即可．根据题意列出方程是解答本题的关键．
【详解】解：设这个长方形的宽为，则长为，
由题意得：，即，
∵，
∴，即这个长方形的宽为，长为，
则这个长方形的周长．
故答案为：24．
1．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为．
(1)求长方形的长与宽；
(2)王芳想从这个长方形画纸中裁出半径为的圆形画纸，能实现吗？请你通过计算帮助王芳分析一下．
【答案】(1)长方形的长为，宽为
(2)解：不能实现
，
∴，
又∵半径为的圆形画纸其直径为，
∴长方形的宽小于圆的直径，
∴不能裁出半径为的圆形画纸，王芳的想法不可行．
【分析】（1）根据题意，设长方形画纸的长为厘米，则宽为厘米，列方程求出长方形的长和宽，
（2）计算所需圆形的直径，比较长方形的宽与圆形直径的大小以判断是否可行．
【详解】（1）解：∵长方形画纸的面积为，长与宽的比为，
∴设长方形画纸的长为厘米，则宽为厘米，
∴，
解得：或（舍去），
∴长方形的长为，宽为．
（2）略
2．（24-25七年级下·湖北随州·期中）“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作．
(1)求正方形卡纸的边长．
(2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为，裁出的长方形的面积能是吗？请通过计算说明．
(3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积．
【答案】(1)
(2)裁出的长方形的面积不能为；理由见解析
(3)
【分析】（1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可；
（2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论；
（3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可．
【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为．
根据题意，得，
解得或（舍去）．
答：正方形卡纸的边长为．
（2）解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下：
设裁出的长方形的长为，宽为．
根据题意，得，
解得或（舍去），
∵，
∴裁出的长方形的面积不能为；
（3）解：∵正方体的体积为，
∴该正方体的棱长为，
∴该正方体的表面积为．
3．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，用图1中的两个面积为的小正方形纸片拼成图2中的一个大正方形；
(1)求图2中拼成的大正方形纸片的边长；
(2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请你通过计算说明理由．
【答案】(1)10cm
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了平方根和算术平方根的应用，正确理解题意是关键；
（1）先得到图2的大正方形的面积为，再计算100的算术平方根即可；
（2）若能够剪出符合题意的长方形，不妨设长方形的宽为xcm，则长为cm，根据题意可得，求出x的值后再与正方形的边长进行比较即可得到答案．
【详解】（1）解：∵图2的大正方形是由两个面积为的小正方形纸片拼成，
∴图2的大正方形的面积为
∴图2中拼成的大正方形纸片的边长；
（2）解：不能剪出长、宽之比为且面积为的长方形，理由如下：
若能够剪出符合题意的长方形，不妨设长方形的宽为xcm，则长为cm，
则，
∴，
∴或（不合题意，舍去）
∴长方形的宽为6cm，长为12cm，
∵，
∴不能剪出长、宽之比为且面积为的长方形．
1．（2026·江苏南京·二模）估算介于（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
【答案】B
【分析】求出和的值，根据算术平方根的意义即可得到结果．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，即介于和之间．
2．（2026·河北石家庄·二模）若，则的值是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】A
【分析】几个非负数的和为0，则这些非负数都是0，据此求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，
．
3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）根据所学可知，则的整数部分是1，的小数部分是，若设的整数部分为，小数部分为，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．
先确定的整数部分m和小数部分n，然后计算的值．
【详解】解：∵ ，
∴，
∴．
故选：A．
4．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
【答案】A
【分析】根据正方形面积求出边长，进而求出的长，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：∵大正方形面积为，小正方形面积为，
∴大正方形边长，小正方形边长，
∴，，
∴
．
5．（2026·江苏扬州·一模）已知，，，…，设（为正整数），则值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案．
【详解】解：由题意，可得
，
，
，
……
，
∴
．
6．（25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）的平方根是_____，_____．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了平方根的定义、算术平方根的非负性等知识点，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．
根据平方根的定义、算术平方根的非负性求解即可．
【详解】解：的平方根是；
．
故答案为：，．
7．（2026·重庆·二模）若，为整数，且满足，，则________．
【答案】
【分析】先通过估算无理数的范围，确定整数的值，再根据求出整数，结合二次根式有意义的条件舍去不符合题意的，最后代入计算得到结果．
【详解】解：，
．
又为整数，且满足，
，
把代入得，
．
当时， ，不符合题意，舍去，
当时，，符合题意，
．
8．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________．
【答案】4
【分析】先确定的取值范围，找到介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式确定整数的值．
【详解】解：，
，即，
，且为整数，
．
9．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）（1）若关于x的方程的两个根分别是与，则________．
（2）若关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个根是和，则方程的根是________．
【答案】 1
【分析】（1）先将原方程变形，根据平方根的意义可知方程的两根互为相反数，利用两根之和为列方程求解即可；
（2）利用换元思想，将所求方程变形后，对比已知方程的根，得到关于的一次方程，进而求解．
【详解】解：（1）对方程两边同除以，得：
，
，
，
∴方程的两个根为，
所以两根互为相反数，因此两根之和为0，即：
，
整理得：，
解得：；
（2）已知关于的方程的两根为：，
将方程移项整理，得：
，
令，可得，
因此或，
即或，
解得，
解得，
方程的根为．
10．（25-26八年级上·浙江温州·期中）把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分为．则图中的阴影部分的周长___________．
【答案】20
【分析】此题考查了算术平方根的应用和长方形的周长公式，关键是认真观察图形，表示出阴影部分水平的边长之和．
根据题意阴影部分所有竖直的边长之和和所有水平的边长之和，然后进行整理即可得出答案．
【详解】解：如图，标注字母如下：
则，
∴，
∴，
∴．
则阴影部分所有竖直的边长之和，
所有水平的边长之和，
则阴影部分的周长，
故答案为：20．
11．（24-25七年级下·辽宁铁岭·阶段检测）已知正数的两个平方根是、，且，求的平方根
【答案】的平方根是．
【分析】由题意得到，代入，求得，，进一步求得，据此求解即可．
【详解】解：∵正数的两个平方根是、，
∴，
∴，
将代入，得，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵16的平方根是，
∴的平方根是．
12．（25-26七年级下·山东临沂·期中）已知一个正数p的两个平方根分别是和．
(1)求p和a的值；
(2)若，求的算术平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求解即可；
（2）根据“如果几个非负数的和为0，则这几个数都为0”求解即可．
【详解】解：（1）因为一个正数p的两个平方根分别是和，
所以，解得．
将代入，得．
所以；
（2）因为，且，
所以．
因为，，，且它们的和为0，
所以，，，
解得，，．
所以，
因此的算术平方根为．
13．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）探究以下问题：
(1)【特例探究】
_______，_______，______．
(2)【规律总结】
对于实数a，当时，_______，当时，______．
(3)【学以致用】
计算：．
【答案】(1)5，0，6
(2)a，
(3)
【分析】（1）根据算术平方根的性质即可求出各数的值；
（2）根据正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数，求解即可．
（3）运用（2）得出的规律进行运算即可．
【详解】（1）解：，，．
（2）解：根据算术平方根的非负性，，
当时，；
当时，．
（3）解：∵，，，，
∴
．
14．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）根据下表所提供的信息解答问题．
x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21
(1)10.89的平方根是________．
(2)物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根的意义结合表格求解即可；
（2）先求出时间，再根据算术平方根的意义结合表格求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知，，
的平方根是，
故答案为：；
（2）解：物体自由下落的高度（单位：与下落时间（单位：之间的关系是．
由题意知，，
∴，又，
由表格知，，
该物体到达地面需要．
15．（25-26七年级下·福建厦门·期中）小兴同学探索的近似值的过程如下：
面积为52的正方形的边长是，且，
则可以设成以下两种形式：
①，其中；
②，其中．
小兴用①的形式求的近似值的过程如下：
因为，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ，因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以．
【尝试探究】
(1)类比上述方法，用②的形式探究的近似值，并画出示意图．（结果保留2位小数）”；
【比较分析】
(2)请你判断：用哪种形式求的近似值的精确度更高，所得的结果更接近？并说明理由．
【答案】(1)示意图见解析，
(2)①得出近似值的精确度更高，理由见解析
【分析】（1）根据，其中忽略不计，可得答案；
（2）两种方法的近似值进行平方，与52比较即可判断．
【详解】（1）解：如图，
，
即，
因为比较小，将忽略不计，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，，
且，，
所以①得出近似值的精确度更高．
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第01讲 平方根与算术平方根（2大知识点+9大典例+变式训练+过关检测）
典型例题一 求一个数的算术平方根
典型例题二 求一个数的平方根
典型例题三 求代数式的平方根
典型例题四 利用算术平方根的非负性解题
典型例题五 已知一个数的平方根，求这个数
典型例题六 与算术平方根有关的规律探索题
典型例题七 算术平方根的实际应用
典型例题八 平方根的新定义运算
典型例题九 平方根的实际综合应用
知识点01 平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
【即时训练】
1．（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列式子中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）4的算术平方根是_______；4的平方根是_______．
知识点02 平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
【即时训练】
1．（24-25八年级上·上海金山·期中）如果被开方数的小数点向右每移动两位，那么它的算术平方根的小数点就（ ）
A．向右移动一位 B．向右移动两位
C．向左移动一位 D．向左移动两位
2．（24-25七年级下·山东日照·阶段检测）若 则 _______________．
【典型例题一 求一个数的算术平方根】
【例1】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）计算：（ ）
A．2 B． C．4 D．
【例2】（25-26八年级下·湖北武汉·期中）计算的值，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26七年级下·湖北武汉·期中）的算术平方根是__________．
【例4】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义运算：，则________．
1．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ， 是的整数部分，求 的平方根．
2．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到．
(1)以下是小明探究的过程，请补充完整：
①由，可以确定是________位数；
②由1849的个位上的数是________，可以确定的个位上的数是________或________；
③如果划去1849后面的两位49得到数18，而，，可以确定的十位上的数是________；因，而，所以选择较小的个位数字，则_______．
(2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由．
3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）【课本再现】
一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为．0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数．
【探究新知】
(1)若，则的取值范围是__________．
【知识应用】
(2)若，求的值．
【拓展应用】
(3)若，求的值．
【典型例题二 求一个数的平方根】
【例1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）9的平方根是（ ）
A． B．3 C． D．81
【例2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）的平方根是（ ）
A．25 B． C． D．
【例3】（25-26七年级下·广东广州·期中）9的平方根是________，的立方根是________．
【例4】（25-26七年级下·四川广安·期中）如果，，那么的平方根是________．
1．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根．
2．（25-26七年级下·内蒙古通辽·阶段检测）已知一个正数m的两个平方根分别是与．
(1)求a的值；
(2)求的平方根；
3．（25-26七年级下·广东广州·期中）根据下表回答下列问题：
x 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9
100 102.01 104.04 106.09 108.16 110.25 112.36 114.49 116.64 118.81
(1)112.36的算术平方根是_____，118.81的平方根是____；
(2)若介于10.3与10.5之间，求满足条件的正整数a；
(3)物体自由下落的时间t（单位：）与下落高度h（单位：）之间的关系是．现有一个物体从高空自由下落，则该物体到达地面大概需要多少时间？（结果精确到）
【典型例题三 求代数式的平方根】
【例1】（2025八年级上·上海闵行·专题练习）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25八年级下·河北张家口·期中）符号代表一个代数式能使分式运算（或0）成立，则代表的代数式为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·河南周口·期中）若，则__________．
【例4】（24-25八年级上·四川成都·期中）已知某一个数的平方根分别是和，则这个数为__________________
1．（24-25八年级上·上海闵行·单元测试）已知．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
2．（24-25七年级下·北京·期中）已知正实数a的两个平方根分别是x和．
(1)若，求y的值；
(2)若，求a的值．
3．（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【典型例题四 利用算术平方根的非负性解题】
【例1】（25-26七年级下·安徽淮南·阶段检测）关于代数式的值说法正确的是（ ）
A．时最小 B．时最大 C．时最大 D．时最小
【例2】（25-26八年级上·四川内江·期末）若实数a，b满足，则的立方根为（ ）
A．2 B． C． D．8
【例3】（25-26七年级下·湖北宜昌·期中）已知，则的值是______．
【例4】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）若实数x，y满足，则____．
1．（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）若，求的平方根．
2．（25-26八年级上·上海闵行·单元复习）已知与互为相反数，求的值．
3．（24-25七年级下·浙江台州·期中）小博和小雅在求多项式的最小值时，有如下的思考：
(1)根据小博的思路，请完成求多项式最小值的过程；
(2)模仿上述方法，求多项式的最值．
【典型例题五 已知一个数的平方根，求这个数】
【例1】（25-26八年级上·上海闵行·随堂练习）若m和n是10的两个平方根，则的值是（ ）
A．0 B．10 C．20 D．
【例2】（25-26八年级下·海南三亚·期中）若一个正数的两个平方根是和，则这个正数是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．25
【例3】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）一个正数m的两个不同的平方根分别是和，则a的值是__________．
【例4】（25-26七年级下·安徽亳州·期中）2026年某校举办校园科技文化节．设计了正方形的主题会徽．已知该会徽面积的一个平方根是2026，另一个平方根是，则m的值为______．
1．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数x的两个不相等的平方根分别是和．
(1)求x的值．
(2)若，求的值．
2．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）按要求解答下列各题：
(1)一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数．
(2)与都是的平方根，求的值．
3．（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题：
(1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数．
(2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根．
【典型例题六 与算术平方根有关的规律探索题】
【例1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中），那么（ ）
A． B． C． D．
【例2】（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）利用计算器计算出下表中各数的算术平方根如下：
… …
… 0.15 0.4743 1.5 4.743 …
根据以上规律，（ ）
A．47.43 B．15 C．474.3 D．150
【例3】（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________．
【例4】（2026·河南平顶山·模拟预测）观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______．
1．（25-26七年级下·江西·阶段检测）根据下表回答下列问题：
x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9
x 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01
(1)_______，__________，__________
(2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）；
(3)若，则满足条件的整数n有__________个．
2．（25-26七年级下·河北沧州·期中）某数学兴趣小组在学方根后，对和的性质展开了探究，请你参与并完成下列问题：
(1)探究的性质（a为非负数）
①计算下列各式的值：
______ ______ ______
______ ______ ______
②归纳总结：对于任意非负数等于多少？
(2)探究的性质（为任意实数）
①计算下列各式的值：
______ ______ ______
______ ______ ______
②归纳总结：对于任意实数等于多少？
3．（25-26七年级下·山东德州·期中）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
，，；…
实践探究：
(1)按照此规律，计算： ； ；
(2)计算：；
迁移应用：
(3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ．
【典型例题七 算术平方根的实际应用】
【例1】（25-26七年级下·内蒙古·期末）若一个正方形的面积扩大为原来的倍，则它的边长要扩大为原来的（ ）倍
A． B． C． D．
【例2】（2026·河北唐山·二模）如图，由内到外依次为正方形，，，若的面积为，的面积为，则正方形的边长可能是（ ）
A． B． C． D．
【例3】（2026·安徽马鞍山·二模）欧拉发现的一个有关三角形的定理：在中，R和r分别是外接圆和内切圆的半径，O和I分别是外接圆和内切圆的圆心，则．若，，则______4．（填“”“”或“”）
【例4】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形；通过动手操作，小张同学把长为，宽为的长方形如图2所示进行裁剪拼成一个正方形，则图中大正方形的边长为________．
1．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）为宣传旅游资源，某中学课外活动小组制作了精美的景点卡片，正方形卡片的面积为，长方形封皮的长与宽的比为，面积为并为每一张卡片制作了一个特色封皮． A小组成员制作正方形卡片，B小组成员制作长方形封皮，请你通过计算，判断正方形卡片能否在不折叠的情况下全部装进长方形封皮中．
2．（25-26七年级下·河南新乡·期中）物体自由下落的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系：在地球上约为，在月球上约为．
(1)物体从地球上离地面的高空自由下落的时间是多少？
(2)比较物体在哪里自由下落得更快？
3．（25-26七年级下·湖北恩施·期中）解答下列问题：
(1)如图1，用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长；
(2)如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分是一个小正方形，求小正方形的边长；
(3)请在网格中（图3）画出长为的线段，并简单说明理由．
【典型例题八 平方根的新定义运算】
【例1】（24-25七年级下·云南昭通·期末）对于实数、，定义运算“※”如下：，则的平方根为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【例2】（24-25七年级下·云南昭通·阶段检测）定义一种运算“”，其规则为，如，根据这个规则计算的值是（ ）
A． B． C．10 D．100
【例3】（24-25八年级上·重庆·阶段检测）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数______（是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值______．
【例4】（24-25七年级下·安徽池州·期中）定义：若点满足，则称点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”．
（1）若点是“理想点”，则x的值为_______．
（2）若点是“理想点”，且m为正整数，则的值为________．
1．（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”．
(1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由．
(2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值．
(3)写出两组含有的“组合平方数”．
2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）定义：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：的整数部分为，小数部分为；的整数部分为，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中是整数，且，那么，．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)若，其中是整数，且，则 ， ．
(2)若，其中是整数，且，求的值．
(3)若，其中是整数，且，求的值．
3．（24-25七年级下·湖南湘西·期中）阅读材料：
新定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“数学和谐数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“数学和谐数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．
(1)请你写出与本题中不同的一组“数学和谐数”是 ．
(2)3，12，48，这三个数是“数学和谐数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与“最大算术平方根”；若不是，请说出理由．
(3)已知a，64，100，这三个数是“数学和谐数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值．
【典型例题九 平方根的实际综合应用】
【例1】（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（ ）
A．1 B．9 C．16 D．25
【例2】（25-26八年级上·山西临汾·阶段检测）将一个棱长为的正方体实心铜块熔化，制成一个底面是正方形的长方体实心铜块．若长方体的高为，则底面正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【例3】（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）若一个正数的两个平方根分别是和，则______．
【例4】（24-25八年级上·浙江金华·期末）已知一个长方形的长是宽的3倍，面积为，则这个长方形的周长为_________ ．
1．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为．
(1)求长方形的长与宽；
(2)王芳想从这个长方形画纸中裁出半径为的圆形画纸，能实现吗？请你通过计算帮助王芳分析一下．
2．（24-25七年级下·湖北随州·期中）“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作．
(1)求正方形卡纸的边长．
(2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为，裁出的长方形的面积能是吗？请通过计算说明．
(3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积．
3．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，用图1中的两个面积为的小正方形纸片拼成图2中的一个大正方形；
(1)求图2中拼成的大正方形纸片的边长；
(2)如图3，若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？请你通过计算说明理由．
1．（2026·江苏南京·二模）估算介于（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
2．（2026·河北石家庄·二模）若，则的值是（ ）
A．6 B． C． D．
3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）根据所学可知，则的整数部分是1，的小数部分是，若设的整数部分为，小数部分为，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，大正方形面积为16，小正方形的面积为4，则阴影部分的面积是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．24
5．（2026·江苏扬州·一模）已知，，，…，设（为正整数），则值是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26八年级上·黑龙江绥化·阶段检测）的平方根是_____，_____．
7．（2026·重庆·二模）若，为整数，且满足，，则________．
8．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________．
9．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）（1）若关于x的方程的两个根分别是与，则________．
（2）若关于x的方程（a，b，m均为常数，且）的两个根是和，则方程的根是________．
10．（25-26八年级上·浙江温州·期中）把四个小正方形摆放在如图的一个大长方形内部，每个小正方形的一个顶点和长方形的一个顶点重合，它们之间即不重叠也无空隙，较小的三个小正方形的面积分为．则图中的阴影部分的周长___________．
11．（24-25七年级下·辽宁铁岭·阶段检测）已知正数的两个平方根是、，且，求的平方根
12．（25-26七年级下·山东临沂·期中）已知一个正数p的两个平方根分别是和．
(1)求p和a的值；
(2)若，求的算术平方根．
13．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）探究以下问题：
(1)【特例探究】
_______，_______，______．
(2)【规律总结】
对于实数a，当时，_______，当时，______．
(3)【学以致用】
计算：．
14．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）根据下表所提供的信息解答问题．
x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
9.61 10.24 10.89 11.56 12.25 12.96 13.69 14.44 15.21
(1)10.89的平方根是________．
(2)物体自由下落的高度h（单位：m）与下落时间t（单位：s）之间的关系是．现有一个物体从高的建筑物上自由下落，则该物体到达地面需要多长时间？（请结合表中数据精确到）
15．（25-26七年级下·福建厦门·期中）小兴同学探索的近似值的过程如下：
面积为52的正方形的边长是，且，
则可以设成以下两种形式：
①，其中；
②，其中．
小兴用①的形式求的近似值的过程如下：
因为，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： ，因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以．
【尝试探究】
(1)类比上述方法，用②的形式探究的近似值，并画出示意图．（结果保留2位小数）”；
【比较分析】
(2)请你判断：用哪种形式求的近似值的精确度更高，所得的结果更接近？并说明理由．
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