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26.1　二次函数的概念
1.学生能够理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法．
2.通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深学生对二次函数概念的理解，拓展学生的数学思维，增强学生学好数学的信心．
1.对二次函数概念的理解．（重点）
2.由实际问题确定二次函数解析式．（难点）
知识链接：在现实世界中，变量之间的关系多种多样，我们已经学过了用一次函数来表示变量之间的关系，试回顾相关知识．
　探究点：二次函数的概念
问题1：n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的总场次数m与球队数n有什么关系？
m=n（n－1）→m=n2－n
思考：这个关系式是函数关系式吗？
对于n的每一个确定的值，m都有一个唯一确定的值与其对应值，即m是n的函数．
问题2：某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？
分析：
关系式可表示为y=20x2＋40x＋20.y是x的函数．
讨论：上述两个问题中函数关系式有什么共同点？
①自变量的最高次项的次数：2.
②最高次项的系数：k，且k≠0.
③两个未知数，且等式两边是整式．
归纳总结：一般地，形如y=ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫作二次函数．其中a叫作二次项系数，x叫作自变量，b叫作一次项系数，c叫作常数项．
（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式．
（2）一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x．写出两年后产品的年销售量y（单位：万件）关于x的函数解析式．
解：（1）圆柱的表面积是其底面积与侧面积的和，所以S=2πr2＋2πr r，即S=4πr2.
（2）一年后产品的年销售量为8（1－x）万件，两年后的年销售量为8（1－x）（1－x）万件，所以y=8（1－x）2，即y=8x2－16x＋8.
1.（4分）下列函数是二次函数的是（C）
A．y=5x　　B．y=－2x＋1　　C．y=x2＋2　　D．y=－2
2.（4分）正方形的边长为3，如果边长增加x，面积增加y，那么y与x之间的函数解析式为（D）
A．y=3x　　B．y=（3＋x）2　　C．y=9＋6x　　D．y=x2＋6x
3.（4分）［高频易错］ 若关于x的函数y=（m＋1）x|m|＋1＋4x－5是二次函数，则m=　1　．
4.（8分）分别写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）d=n2－n；
解：二次项系数、一次项系数和常数项分别为，－，0.
（2）y=1－x2．
解：二次项系数、一次项系数和常数项分别为－1，0，1.
5.（10分）某省2024年开展农村供水工程维修养护1700处，受益人口达到180万人，预计该省2026年开展农村供水工程维修养护受益人数达到y万，设这两年该省农村供水工程维修养护受益人数的平均增长率为x，写出y与x之间的函数关系式（化成一般式）．
解：y=180（1＋x）2=180x2＋360x＋180.
6.（10分）某公园门票是每张80元，据统计每天进园人数为200人，经市场调查发现，若门票每降低1元出售，则每天进园人数就增加6人．试写出当x≤80时，该公园每天的门票收入y（元）关于门票价格x（元）的函数关系式．y是关于x的二次函数吗？
解：由题意知当门票价格为x元时，每张门票降价（80－x）元，那么每天进园人数就增加6（80－x）人，则每天进园人数为200＋6（80－x）=（680－6x）（人）．
∴y=x（680－6x）=－6x2＋680x．显然，y是关于x的二次函数．
　　
　　

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