资源简介

26.2　二次函数的图象和性质
26.2.1　二次函数y=ax2的图象和性质
1.通过画图，了解二次函数y=ax2（a≠0）的图象是一条拋物线，理解其顶点为何是原点，对称轴为何是y轴，开口方向为何向上（或向下），掌握其顶点、对称轴、开口方向、最值和增减性与解析式的内在关系，能运用相关性质解决有关问题．
2.通过对函数图象的观察，掌握二次函数解析式y=ax2（a≠0）与函数图象的联系，并运用“数形结合”的方法解决抛物线有关问题．
1.画出二次函数y=x2的图象，根据函数的图象分析其性质．（重点）
2.用描点法准确画出二次函数的图象．（难点）
知识链接：我们知道，正比例函数y=ax（a≠0）的图象是一条直线，试回顾相关知识，并思考：y=ax2的图象和性质是怎样的呢？
　探究点：二次函数y=x2的图象和性质
操作与思考：画出y=x2的图象，并观察图象的特征．
探究1：从函数解析式研究图象和性质．
（1）自变量x的取值范围是什么？全体实数．
（2）函数值y的取值范围是什么？y≥0.
（3）当x取一对相反数时，函数值相等吗？相等．如x=±2时，y=4.
探究2：用“描点法”作图
1.列表：在y=x2中，自变量x可以取任意实数，列表表示几组对应值：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2.描点：根据表中x，y的对应值在平面直角坐标系中描点（x，y）．
3.连线：如图，用平滑的曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象．（能用直线连接吗？）
思考：二次函数y=x2的图象有什么特征？（可以从以下几个方面考虑）
（1）你能描述图象的形状吗？
抛物线．
（2）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
图象是轴对称图形，这条抛物线关于y轴对称，y轴就是它的对称轴．
（3）当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？
观察图象发现：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大．
（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是多少？你是如何知道的？
当x=0时，y的值最小，最小值是0.
对称轴与抛物线的交点叫作物线的顶点，它是抛物线的最低点，坐标为（0，0）．
在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=2x2的图象．
解：列表如下：（表格见教材P34）
描点、连线，如图所示：
思考：（1）函数y=x2，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？
共同点：开口向上，对称轴是y轴，顶点是坐标原点，也是抛物线的最低点；
不同点：开口大小不同．
（2）当a＞0时，二次函数y=ax2的图象开口大小有什么规律？
当a＞0时，a越大，开口越小．
探究3：类似于对函数y=ax2（a＞0）的研究，可以在同一平面直角坐标系中画出函数y=－x2，y=－x2，y=－2x2的图象（教材P35图26.2－5），观察这些抛物线有什么共同点和不同点．
共同点：开口向下，对称轴是y轴，顶点是坐标原点；不同点：开口大小不同．
思考：当a＜0时，二次函数y=ax2的图象开口大小有什么规律？
当a＜0时，a越小，抛物线的开口越小．
归纳总结：
y=ax2 a＞0 a＜0
开口方向与大小 开口向上 开口向下
a越大，开口越小 a越小，开口越小
对称性 关于y轴对称，对称轴是直线x=0
顶点与最值 顶点坐标是（0，0）
当x=0时，y最小=0 当x=0时，y最大=0
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大 当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小
1.（4分）二次函数y=x2的图象的顶点坐标是（B）
A．（1，0）　　B．（0，0）　　C．（－1，0）　　D．（0，）
2.（4分）如果抛物线y=（m－1）x2的开口向上，那么m的取值范围是（A）
A．m＞1　　B．m≥1　　C．m＜1　　D．m≤1
3.（8分）抛物线y=2x2，y=－2x2，y=x2共有的性质是（B）
A．开口向下　　B．对称轴是y轴　　C．都有最高点　　D．y随x的增大而增大
4.（4分）已知抛物线y=ax2的图象如图所示，下列说法错误的是（D）
A．a＜0
B．y的最大值为0
C．抛物线有最高点
D．a越大，抛物线开口越小
5.（8分）已知点（x1，y1），（x2，y2）是函数y=（m－3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是　m＜3　．
　　草图通关：y=（m－3）x2
　　
m－3＜0
是否符合（√）　　　
m－3＞0
是否符合（×）
6.（12分）已知抛物线y=ax2经过点A（－1，－3）．
（1）判断点B（1，－3）是否在此抛物线上；
（2）若点P（m，－6）在此抛物线上，求点P的坐标．
解：（1）∵点A（－1，－3）在抛物线上，∴由对称性可知点B在此抛物线上．
（2）由题意得a=－3，∴抛物线的解析式为y=－3x2.将点P（m，－6）代入，得－3m2=－6，解得m1=，m2=－，∴点P的坐标为（，－6）或（－，－6）．
　　
　　
　　

展开更多......

收起↑