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26.4　实际问题与二次函数
第1课时　最大高度和最大面积问题
1.通过图形的面积关系列出函数解析式；用二次函数的知识分析解决有关面积的实际问题；体会二次函数是刻画现实世界的有效模型．
2.从“数”（解析式）和“形”（图象）的角度理解二次函数与实际生活中“最值”问题之间的联系，体会“数形结合”的思想．通过转化建模，会用数学的思维思考现实世界．
1.用二次函数的知识分析解决有关面积的实际问题．（重点）
2.通过图形的面积关系列出函数解析式．（难点）
知识链接：前面我们学习了实际问题与一元二次方程，回顾一下相关知识．
　探究点一：求二次函数的最大（或最小）值
在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是h=－4.9t2＋2.8t＋11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位．）
追问1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？
重心的最大高度h与起跳后的时间t之间的关系．
追问2：如何判断运动员起跳后经过多长时间达到最高点，最高点对应函数图象的哪个点呢？
画出二次函数图象（见教材P51图26.4－1），最高点对应函数图象的顶点．
追问3：运动员起跳后，运动中最大高度对应函数中的哪个值？
函数的最大值（顶点的纵坐标）．
追问4：如何求出运动员跳水过程中重心的最大高度？
解：对于二次函数h=－4.9t2＋2.8t＋11，当t=－=－≈0.3时，h有最大值==11.4.因此，运动员起跳后大约0.3 s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4 m．
　探究点二：二次函数与几何图形面积的最值
用总长为20 m的篱笆围成一个矩形菜园（一面靠墙，墙的可用长度不超过10 m），当垂直于墙的边长为多少米（设为x）时，菜园的面积S最大？
思考：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？
矩形的面积S与垂直于墙的边长x的关系．
分析：设垂直于墙的边长为x m，则其邻边长为　（20－2x）　m，矩形菜园的面积S=　x（20－x）=－x2＋20x　．
问题：当x是多少时，菜园的面积S最大？
学生自行完成解答，教师点评，注意x取值应具有现实意义．
归纳总结：二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式求函数的最大值或最小值；
3.当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的范围求函数最值．
变式：用一段长为60 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园．
（1）当墙长32 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
（2）当墙长18 m时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
（解答过程见配套课件）
1.（4分）用长度一定的绳子围成一个矩形，若矩形的一边长x（m）与面积y（m2）满足函数关系式y=－（x－12）2＋144（0＜x＜24），则该矩形的面积最大为　144 m2　．
2.（4分）已知一个直角三角形两直角边的和为30，则这个直角三角形面积的最大值为　112.5　．
3.（5分）如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t－5t2，则小球飞行的最大高度为　20 m　．
4.（5分）如图，用总长度为12 m的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，求矩形框架ABCD的最大面积．
书写通关
解：设　AB=x m　．
根据题意得　S矩形ABCD=AB AD=x =－x2＋4x=－（x－2）2＋4　．
当x=　2　时，S矩形ABCD取得最大值，最大面积为　4 m2　．
答：　矩形框架ABCD的最大面积为4 m2　．
5.（12分）如图，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等，∴AB=AD=BC=CD=4，BE=AH=4－x，∠A=∠D=90°，EH=HG=FG=EF，∠AEH=∠GHD．∵∠AEH＋∠AHE=90°，∴∠AHE＋∠DHG=90°．∴∠EHG=90°．∴四边形EFGH是正方形．∴y=EH2=AE2＋AH2=x2＋（4－x）2=2x2－8x＋16（0＜x＜4）．
（2）存在．∵y=2x2－8x＋16=2（x－2）2＋8，2＞0，∴y有最小值，最小值为8.即四边形EFGH的面积存在最小值，最小值为8.
　　
　　
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