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第3课时　抛物线形实物及运动轨迹问题
1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
2.学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力．
3.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，会用转化和数形结合的思想解决实际问题．
1.探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法．（重点）
2.如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型．（难点）
知识链接：
前面我们已经学习了实际问题中图形、利润的二次函数最值问题，回顾一下相关知识．
　探究点：利用二次函数解决抛物线形实物问题
问题：如图是抛物线形拱桥，当拱顶（记为M）离水面4 m时，水面宽（记为AB）10 m．当水面上升1 m时，水面宽度（记为CD）是多少？
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线对应的二次函数．为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系．
解：设这条抛物线对应的二次函数为y=ax2.由抛物线经过点（5，－4），可得－4=a 52.解得a=－．因此，这条抛物线对应的二次函数为y=－x2.当水面上升1 m时，水面的纵坐标为－3.令－x2=－3.解得x=±．故当水面上升1 m时，水面宽度是5 m．
方法总结：|x|是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
如图，一名运动员在距离篮球框中心4 m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为2.5 m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5 m．如果篮框中心距离地面3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？
（解答过程见配套课件）
反思：建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题→建立二次函数模型→利用二次函数的图象和性质求解→实际问题的解．
1.（5分）如图是一个抛物线形拱桥，量得两个数据，若以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式为　y=－x2　．
2.（9分）［一材多题］ 小明在校运动会上掷铅球．
（1）第1次掷球时，铅球行进高度h（m）和飞行时间t（s）满足的函数解析式为h=－t2＋t＋，则当铅球距离地面的高度最大时，飞行时间为　2　s．
（2）第2次掷球时，如图，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数解析式为y=－（x＋1）（x－7），铅球落到A点处，则OA=　7　m．
［等价设问］ 小明此次掷球的成绩是　7　m．
3.（12分）跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m，距地面均为1 m，丙、丁两名同学分别站在距甲同学拿绳的手水平距离1 m，2.5 m处．绳子在甩到最高处时，刚好通过他们的头顶．已知丙同学的身高是1.5 m，建立如图所示的直角坐标系，请你算一算丁同学的身高．
解：设抛物线的表达式为y=ax2＋bx＋c，由图可知抛物线过（－1，1），（0，1.5），（3，1）三点．代入易求其表达式为y=－x2＋x＋．∵丁同学头顶的横坐标为1.5，∴y=－×1.52＋×1.5＋=1.625，即丁同学的身高为1.625 m．
4.（14分）图①是李村河上一座拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1 m，拱桥的跨度为10 m．桥洞与水面的最大距离是5 m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图②所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求两盏景观灯之间的水平距离．
解：（1）由题意知抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴的交点坐标是（0，1）．设抛物线的解析式为y=a（x－5）2＋5，代入点（0，1），得a=－．∴抛物线的解析式为y=－（x－5）2＋5（0≤x≤10）．
（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，令y=4，即4=－（x－5）2＋5，解得x1=，x2=．∴两盏景观灯之间的水平距离为－=5（m）．
　　
　　

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