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3　矩形的性质与判定
第1课时　矩形的性质
1.掌握矩形的性质和“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，应用矩形的性质进行有关证明与计算．
2.探索并能证明矩形的性质定理．
3.通过观察、猜想、验证等过程，学生经历知识的形成过程，进一步培养学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力．
重点：掌握矩形的性质定理．
难点：利用矩形的性质进行证明和计算．
知识链接：平行四边形和菱形的性质有哪些？
　探究点一：矩形的性质
思考：因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，但由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
做一做：如图，取一张矩形纸片，用直尺画出它的对角线．
（1）平行四边形的对角相等，邻角互补，那么矩形的四个角会有怎样的关系呢？
矩形的四个角都相等，都是直角．
（2）测量我们刚刚画出的两条对角线长度，这两个长度有什么关系？
两条对角线长度相等．
下面我们一起来验证一下：
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与DB相交于点O．
求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；（2）AC=DB．
证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB（矩形的对角相等），AB∥DC（矩形的对边平行）．∴∠ABC＋∠BCD=180°．又∵∠ABC=90°，∴∠BCD=90°．∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°．
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC（矩形的对边相等）．在△ABC和△DCB中，∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB．∴AC=DB．
归纳总结：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．
几何语言描述：在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O，故∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB．
如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长．
（解答过程见配套课件）
　探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E．
问题5：BE是一条怎样的线段？它的长度与斜边AC有什么关系？由此你能得到怎样的结论？你能证明你发现的结论吗？
BE是直角三角形ABC斜边AC上的中线．它的长度是斜边AC长度的一半．
结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．下面对它进行证明．
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线．求证：BO=AC．
证明：如图，延长BO至D，使OD=BO，连接AD，CD．∵AO=OC，BO=OD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形．∴AC=BD．∴BO=BD=AC．
归纳总结：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，交AB于点D，O为AC的中点，P为BC的中点，连接DO，DP．求证：PD⊥OD．
证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠PCD＋∠OCD=90°．
∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠ADC=90°．
∴△BDC和△ADC都是直角三角形．
∵点P为BC的中点，
∴PD是Rt△BDC的斜边BC上的中线．
∴PD=PC=PB=BC．∴∠PDC=∠PCD．
∵点O为AC的中点，∴OD是Rt△ADC的斜边AC上的中线．∴OD=OC=OA=AC．∴∠ODC=∠OCD．∴∠PDC＋∠ODC=∠PCD＋∠OCD=90°，即∠PDO=∠PDC＋∠ODC=90°．∴PD⊥OD．
1.矩形具有而菱形不具有的性质是(　A　)
A.对角线相等 B.两组对边分别平行
C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
(1)若AB＝6，AD＝8，则BD＝　10　；
(2)若AO＝1，则AC＝　2　，BD＝　2　；
(3)若∠ACB＝30°，则∠AOB＝　60　°，△AOB的形状是　等边　三角形.
3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点.
(1)若BD＝5，则AC＝　10　；
(2)若AB＝4，BC＝3，则BD＝　2.5　；
(3)若∠C＝50°，则∠ABD的度数为　40°　.
　　
　　
　　
　　
　　

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